一类费马型差分方程亚纯解的存在性

摘要

[目的]研究一类费马型差分方程fⁿ（z）+P（z）f^m（z+c）=H（z）亚纯解的性质，其中H（z）=H₁（z）e^μ1zq+…+H_k（z）e^μkzq,q≥1,k≥1为整数，m和n为正整数，c为非0复常数，μ₁,…,μ_k是不同的非0复数，P（z）,H₁（z）,…,H_k（z）都是级小于q的整函数；探索更广泛的参数范围下解的存在性.[方法]运用Nevanlinna理论与Cartan第二基本定理，结合差分对数导数引理、Borel型定理等工具，对解的级、零点分布及函数结构进行精细估计.通过引入典型乘积和线性无关性讨论，将问题转化为整函数与指数函数的组合分析.[结果]在m≥k,n>2k或者mk+m的条件下，获得了方程解存在的必要条件与具体表达式.当k=1时，得到n=m以及解的显式形式，即解为单指数型函数；当k=2时，解为指数型函数并满足某些特定比例关系.给出了相应的例子证明了解的存在性，同时，构造了反例证明条件的必要性，并给出了一系列关于解不存在性的判据.该结果揭示了方程右端指数项个数与方程解的结构直接的紧密联系，是已有结果的广泛形式.[结论]本文结果减弱了已有定理中对n和m关系的限制，扩展了费马型差分方程可解的参数范围，揭示了右端项指数个数与解的结构之间的深刻联系.特别地，本文证明只有在特定的指数匹配条件下，此类方程才可能具有显式闭形解.所采用方法具有一般性，可为同类差分方程的研究提供新思路.

关键词

费马型差分方程 / 亚纯函数解 / 存在性 / Nevanlinna理论