基于有限差分法的双层滑带滑坡抗滑桩的受力特征

Mechanical Characters of Anti⁃Sliding Piles of Landslide with Double Sliding Zones Based on Finite Difference Method

摘要

目前，抗滑桩的变形与内力计算理论多针对单层滑带滑坡，而三峡库区大部分堆积层滑坡发育双层滑带. 鉴于此，考虑双层滑带滑坡的物质组成差异，构建了双层滑带滑坡-抗滑桩相互作用概化模型，提出了双层滑移条件下的滑坡推力计算方法，基于地基系数法和有限差分原理推导了双层滑带滑坡中抗滑桩受力特征的计算公式. 之后，以马家沟滑坡为工程案例，采用数值模拟方法研究了双层滑带滑坡的推力分布规律，并对理论计算方法进行了验证. 结果表明，该计算方法能很好的反映双层滑带滑坡滑移特征，桩身的变形与内力分布具有明显的规律：桩身位移沿桩顶往下逐渐减小，伴有一定反弯现象；桩身剪力和弯矩具有两个极大值和一个极小值，剪力极大值位于滑面处，弯矩极大值位于滑面下方2~3 m，极小值位于深层滑体内. 滑坡推力分布形式和抗滑桩设计参数是影响桩体受力特征的重要因素. 该方法可为双层滑带滑坡的抗滑桩设计提供理论依据.

Abstract

Existing theoretical analysis of the deformation and internal force of anti⁃sliding piles are mostly designed for single⁃sliding zone landslides, while most of the accumulation layer landslides in the Three Gorges reservoir area develop double sliding zones. Considering the difference in material composition of landslides with double sliding zones, a generalized model for the interaction between landslides with double sliding zones and anti⁃sliding is constructed. to study the internal force and deformation of anti⁃sliding piles. Then a calculation method of landslide thrust under double⁃layer sliding condition is proposed to derive the equations of deformation and internal force of anti⁃slide pile in landslides with double sliding zones based on the foundation coefficient method and the finite difference principle. Numerical simulation method was used to research the distribution laws of landslide thrust and verify the newly proposed approach via the Majiagou landslide as example. The results of the theoretical and numerical simulation methods well show the sliding characteristics of landslides with double sliding zones. Meanwhile, the distribution of the deformation and internal forces show a great regularity: the displacement of the pile decreases gradually from the top to bottom accompanied by reverse bending phenomenon, the shear force and bending moment of the pile exist two maximum values and one minimum value, and the maximum values of the shear force are located at the sliding surface while the maximum values of the bending moment are located 2~3 m below the sliding surface, and the minimum value is located in the deep sliding body. In addition, the distribution of landslide thrust and the vital design parameters of anti⁃sliding piles are important factors that affect the mechanical characteristics of the pile. The proposed method can provide a theoretical reference for the design of anti⁃sliding piles of landslide with double sliding zones.

Graphical abstract

关键词

双层滑带滑坡 / 抗滑桩 / 变形与内力 / 有限差分原理 / 推力分布 / 数值模拟.

Key words

landslide with double sliding zones / anti⁃sliding piles / deformation and internal forces / finite difference theory / distribution of landslide thrust / numerical simulation

0 引言

滑坡作为一种常见的地质灾害，其发生往往会给周围的人们和建筑设施等带来极大的危害，针对不同类型的滑坡，选择合适的防治措施尤为重要. 滑坡的发育受斜坡的基础地质条件控制（周超等，2020），特别是对于一些大型复杂的滑坡，由于坡体内部复杂的物质组成和应力状态，往往发育有多层滑动带（贺可强，1998）. 抗滑桩作为一种横向受力支挡结构，有效地将坡体下滑的驱动力传递到下部基岩（Liu et al.，2020），在工程实践中得到广泛的应用. 准确的了解抗滑桩与滑坡的相互作用，是加强抗滑桩结构设计必要前提（Hu et al.，2017）.

目前，关于抗滑桩的内力计算，国内外很多学者都开展了理论分析研究. Ito and Matsui（1975）利用塑性变形理论和塑性流动理论，提出了岩土体塑性变形产生的抗滑桩侧向力估算方法. 还有学者运用傅里叶级数函数和Cesaro sum方法，通过测斜数据推导出了桩体不同深度的挠度函数. 悬臂桩法作为主流的抗滑桩内力计算方法，很多学者都对传统方法进行了改进. 为避免计算结果受表中系数截断误差的影响，戴自航等（2002，2003）基于地基系数法，将桩体进行等量差分，提出了计算弹性抗滑桩全桩内力的有限差分方法. 钱同辉等（2011）同时考虑桩、梁和土之间的变形协调共同作用，提出了更适用于工程上多排桩的内力计算模型. 苏爱军等（2018）考虑抗滑桩受荷段与抗滑段的接触关系，将桩体划分为3段，减小了传统“两段法”带来的误差. 近年来，锚索抗滑桩由于更好的加固性能，在防治工程中受到推广（桂树强等，2003），与普通抗滑桩不同，需考虑锚索与抗滑桩的相互协调作用（桂树强，2005）. 杨佑发和许绍乾（2003）基于传统的“K⁃K法”，推导出了锚索抗滑桩的内力有限差分计算公式. 吴润泽等（2015）通过将锚索桩模型划分为预应力施加和滑坡推力两个阶段，改进了锚索桩的内力计算方法.

在实际工程中，大型坡体往往地层复杂，滑床由多种岩性地层组成. 王贵华等（2019）基于对桩-锚变形协调原理的分析，提出了复合多层条件下的锚索抗滑桩计算模型. 詹红志等（2014）、董曼曼等（2017）考虑了多层滑床中地基系数的差异，改进了传统的抗滑桩内力计算方法. 同时许多研究者利用物理模型试验和数值分析方法研究桩-岩（土）相互作用（郑颖人和赵尚毅，2004；Li et al.，2016；王成汤等，2020；杨虎锋等，2022），结果表明，这两种方法不仅可以更直观地得到内部应力应变特征，还可以验证理论计算结果的合理性.

三峡库区作为滑坡地质灾害频发区域，具有特殊的地层岩性组合和岸坡结构特征（李松林等，2020），许多大型堆积层滑坡常发育双层滑面，如黄土坡滑坡（倪卫达等，2013）、红石包滑坡（李英等，2008）和史家坡滑坡等. Hu et al.（2017）通过布置多场综合信息监测平台，监测复杂多滑带滑坡抗滑桩的受力特征. 杨登芳等（2022）、张杰豪等（2021）利用物理模型试验分别研究了多层滑带滑坡的变形演化过程和抗滑桩受力特征.

综上所述，前人的抗滑桩内力计算研究多针对单滑面滑坡和多层滑床滑坡，鲜有考虑双层滑带滑坡的复杂结构，对多滑面滑坡的研究局限于成因定性分析，缺少抗滑桩全桩内力计算方法，难以满足双层滑带滑坡的抗滑桩结构设计需求.

为此，本文在构建双层滑带滑坡-抗滑桩相互作用概化模型的基础上，提出双层滑带滑坡的推力计算方法，考虑不同地层的地基系数的差异，建立了抗滑桩不同桩段的挠曲微分方程，而后结合有限差分法，提出了双层滑带条件下抗滑桩的内力计算模型，并且编写了相应的计算和图形处理程序，得到双层滑带滑坡中抗滑桩的受力特征. 在此基础上，以三峡库区典型堆积层多层滑带滑坡为实例，利用FLAC3D数值模拟开展滑坡推力分布规律研究，并对计算模型进行合理性检验，为具有双层滑带的滑坡进行抗滑桩防治设计提供理论依据.

1 双层滑带滑坡推力计算

1.1　弹性地基系数法简介

传统的地基系数法在对单滑带滑坡弹性抗滑桩进行内力计算时，将受荷段视为悬臂桩，嵌固段视为弹性地基梁，抗滑桩受力如图1所示.

假设埋设在坡体中的抗滑桩同时受到左侧主动岩土压力q（z）和右侧被动岩土压力p（z）的作用. 在实际运用中，将抗滑桩以滑动面为界，分为受荷段和嵌固段以进行受力和变形分析，基于弹性地基梁理论，建立抗滑桩在滑坡剩余下滑力作用下全桩长的挠曲控制方程组：

，(1)

式中：\lambda =\sqrt[\mathrm{4}]{\raisebox{1ex}{$K{b}_{\mathrm{0}}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\mathrm{4}EI$}\right.}，称为桩土变形系数（m^-1）；H表示抗滑桩长（m）；h₁表示抗滑桩受荷段桩长（m）；K为地基系数（kN/m³）；b₀为抗滑桩计算宽度（m）.

1.2　双层滑带滑坡推力计算

对于双层滑带滑坡，考虑坡体中存在双层滑面，以各层滑面为分界面划分桩体，根据弹性地基梁理论以及简化计算的目的，基本假定如下：

（1）抗滑桩按弹性地基梁考虑；

（2）视抗滑桩-岩土体相互作用为平面问题，将滑坡简化具有一定厚度的岩土层；

（3）坡体中发育两层滑面，分别位于基覆界面和基岩中的软弱层；

（4）浅层滑体和深层滑体部分的推力大小分别为q₁（z）、q₂（z）；

（5）浅层滑体的地基系数随深度线性增大，深层滑体和滑床的地基系数为常数；

（6）抗滑段滑动面接近水平，不考虑桩侧摩阻力和黏着力、桩身轴力以及桩底应力的影响.

基于上述假定，考虑双层滑带滑坡中坡体物质组成和地基系数的差异，建立双层滑带滑坡-抗滑桩相互作用概化模型，如图2所示.

剩余推力法作为传统的滑坡推力计算方法，在对双滑带滑坡进行剩余推力计算时，需要考虑双层滑体的双层滑移和相互之间作用力. 在简化滑面为多段折线型的基础上，不考虑相邻条块之间的力和地下水的作用，对双层滑带滑坡的条块单元划分和受力分析如图3所示，其中3b和3c分别表示编号为i的浅层滑体条块和对应其正下方编号为j+1的深层滑体条块.

（1）对于浅层滑体条块i：

下滑力：

T_i=W_i\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\alpha }_i+E_{i-\mathrm{1}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}({\alpha }_{i-\mathrm{1}}-{\alpha }_i),(2)

抗滑力：

R_i=\left[W_i\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\alpha }_i+E_{i-\mathrm{1}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}({\alpha }_{i-\mathrm{1}}-{\alpha }_i)\right]\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}{\varphi }_{\mathrm{1}}+c_i{l}_i,(3)

剩余下滑力：

其中：

{\psi }_i=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left({\alpha }_{i-\mathrm{1}}-{\alpha }_i\right)-\frac{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}{\varphi }_{\mathrm{1}}}{K_{s\mathrm{1}}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left({\alpha }_{i-\mathrm{1}}-{\alpha }_i\right),(5)

式中：E_i 为第i条块对i+1条块的剩余推力；W_i 为第i条块自重；φ_i 为第i条块底部摩擦角；c_i 为第i条块底部粘聚力；α_i 为第i条块底坡角；l_i 为第i条块底边长度.

在对深层滑体条块j+1进行受力分析时，应考虑因浅层滑体滑动带来的力的作用，设条块i底面对条块j+1的法向力和切向力分别为U_i 和V_i，根据条块力的平衡可得：

U_i=W_i\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\alpha }_i+E_{i-\mathrm{1}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left({\alpha }_{i-\mathrm{1}}-{\alpha }_i\right),(6)

V_i=\left[W_i\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\alpha }_i+E_{i-\mathrm{1}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}({\alpha }_{i-\mathrm{1}}-{\alpha }_i)\right]\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}{\varphi }_{\mathrm{1}}+c_i{l}_i.(7)

可将浅层条块i对深层条块j+1的作用力U_i和R_i 分界为水平力P_i 和竖直力Q_i ：

P_i=V_i\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\alpha }_i-U_i\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\alpha }_i,(8)

Q_i=V_i\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\alpha }_i+U_i\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\alpha }_i.(9)

（2）对于深层条块j+1：

下滑力：

T_{j+\mathrm{1}}=\left(W_{j+\mathrm{1}}+Q_i\right)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\alpha }_{j+\mathrm{1}}+P_i\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\alpha }_{j+\mathrm{1}}+E_j\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}({\alpha }_j-{\alpha }_{j+\mathrm{1}}),(10)

抗滑力：

\begin{array}{l}{R}_{j+\mathrm{1}}=\left[\left(W_{j+\mathrm{1}}+Q_i\right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\alpha }_{j+\mathrm{1}}-P_i\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\alpha }_{j+\mathrm{1}}+\right.\\ \left.E_j\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}({\alpha }_j-{\alpha }_{j+\mathrm{1}})\right]\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}{\varphi }_{\mathrm{2}}+c_{j+\mathrm{1}}{l}_{j+\mathrm{1}}^{}\end{array},(11)

剩余下滑力：

\begin{array}{l}{E}_{j+\mathrm{1}}=\left(W{}_{j+\mathrm{1}}{}^{}+Q_i\right)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\alpha }_{j+\mathrm{1}}+P_i\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\alpha }_{j+\mathrm{1}}\\ -\frac{\left[\left(W{}_{j+\mathrm{1}}{}^{}+Q_i\right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\alpha }_{j+\mathrm{1}}+P_i\right]\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}{\varphi }_{\mathrm{2}}+c_{j+\mathrm{1}}{l}_{j+\mathrm{1}}}{K_{s\mathrm{2}}}\\ +E_j{\psi }_j\end{array},(12)

其中：

{\psi }_{j+\mathrm{1}}=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left({\alpha }_j-{\alpha }_{j+\mathrm{1}}\right)-\frac{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}{\varphi }_{\mathrm{2}}}{K_{s\mathrm{2}}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left({\alpha }_j-{\alpha }_{j+\mathrm{1}}\right),(13)

式中：符号E_j 、W_j 、φ_j 、c_j 、α_j 、l_j 意义同前.

利用式（4）和式（12）可分别计算浅层滑体与深层滑体部分的剩余推力.

1.3　滑坡推力分布函数

滑坡推力分布形式直接影响抗滑桩上的内力分布及大小，选择正确的滑坡推力分布图式是桩体内力分布计算结果准确与否的关键. 滑体的土性和厚度的差异，决定了抗滑桩上的滑坡推力分布图形的多样性，一般认为受荷段桩后推力的分布形式有矩形、梯形或三角形以及抛物线形（戴自航，2002）.

为提高推力函数的适用性和简化计算过程，本文依据文献（戴自航和彭振斌，2002）中不同形式的推力分布函数提出统一的滑坡推力拟合函数，如下：

q(z)=\left[a{\left(\frac{z}{h_{\mathrm{1}}}\right)}^{\mathrm{2}}+b\left(\frac{z}{h_{\mathrm{1}}}\right)+\mathrm{1}-\frac{a}{\mathrm{3}}-\frac{b}{\mathrm{2}}\right]\frac{E_n}{h_{\mathrm{1}}},(14)

式中：q（z）为不同深度z处的滑坡推力（kPa），h₁为滑动面以上桩长（m），a、b均为常数；En为滑坡单宽剩余推力（kN/m）. 如表1所示，a、b取不同值可实现矩形、三角形、抛物线型推力的拟合. ζ 为深度系数，ζh₁为滑坡推力合力距桩顶的距离.

2 双层滑带滑坡抗滑桩内力计算

如图4所示，设抗滑桩全长为H，以滑面为界，全桩分3段，从上往下桩长依次为h₁₁，h₁₂，h₂，即受荷段桩长h₁=h₁₁+h₁₂，嵌固段桩长h₂. 桩后滑坡推力按式（14）所给函数分布. 桩的截面尺寸为a_L×b_L （长×宽），桩的抗弯刚度为EI（E为桩的弹性模量，I为惯性矩）. 为满足双层滑带滑坡的多物质组成结构特征，桩前不同深度岩土体的地基系数分别取K₁（z）=mz（0<z<h₁₁），K₁=K₂=K（h₁₁<z<H）.

令：

Q(z)=\left[a{\left(\frac{z}{h_{\mathrm{1}}}\right)}^{\mathrm{2}}+b\left(\frac{z}{h_{\mathrm{1}}}\right)+\mathrm{1}-\frac{a}{\mathrm{3}}-\frac{b}{\mathrm{2}}\right]\frac{E_{n}L}{h_{\mathrm{1}}}

式中：L为桩间距（m）.

将各桩段按等长h进行离散，根据中心差分法的原理，在每段上下分别多增设两个虚拟节点，离散后的桩段节点如图5所示.

（1）　浅层受荷段桩体内力推导

浅层受荷桩体 （0<z<h₁₁）的挠曲微分方程为：

EI\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{4}}x}{\mathrm{d}{z}^{\mathrm{4}}}+b_{\mathrm{0}}mzx=Q_{\mathrm{1}}(z).(15)

由桩顶往下至第一层滑动面采用等量分段h将桩长离散化，如图5b所示，则任意节点n处的控制差分方程为：

\frac{EI}{h^{\mathrm{4}}}(x_{n+\mathrm{2}}-\mathrm{4}{x}_{n+\mathrm{1}}+\mathrm{6}{x}_n-\mathrm{4}{x}_{n-\mathrm{1}}+x_{n+\mathrm{2}})+b_{\mathrm{0}}mzx=Q_{\mathrm{1}}(z),(16)

即：

x_{n-\mathrm{2}}-\mathrm{4}{x}_{n-\mathrm{1}}+(\mathrm{6}+\frac{h^{\mathrm{5}}}{EI}mn{b}_{\mathrm{0}})x_n-\mathrm{4}{x}_{n+\mathrm{1}}+x_{n+\mathrm{2}}=Q_{\mathrm{1}}(z),(17)

桩身弯矩：EI\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}x}{\mathrm{d}{z}^{\mathrm{2}}}=M_t，有限差分可得：

\frac{EI}{h^{\mathrm{2}}}(x_{-\mathrm{1}}+x_{\mathrm{1}}-\mathrm{2}{x}_{\mathrm{0}})=M_t,(18)

即：

x_{-\mathrm{1}}=\mathrm{2}{x}_{\mathrm{0}}-x_{\mathrm{1}}+\frac{h^{\mathrm{2}}{M}_t}{EI},(19)

桩身剪力：EI\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{3}}x}{\mathrm{d}{z}^{\mathrm{3}}}=P_t，有限差分可得：

\frac{EI}{\mathrm{2}{h}^{\mathrm{3}}}(-x_{-\mathrm{2}}+\mathrm{2}{x}_{-\mathrm{1}}-\mathrm{2}{x}_{\mathrm{1}}+x_{\mathrm{2}})=P_t,(20)

即：

x_{-\mathrm{2}}=\mathrm{2}{x}_{-\mathrm{1}}-\mathrm{2}{x}_{\mathrm{1}}+x_{\mathrm{2}}-\frac{\mathrm{2}{h}^{\mathrm{3}}{P}_t}{EI},(21)

一般抗滑桩桩顶自由，弯矩M_t =0，剪力P_t =0，代入式（19）、式（21）可得：

x_{-\mathrm{1}}=\mathrm{2}{x}_{\mathrm{0}}-x_{\mathrm{1}},(22)

x_{-\mathrm{2}}=\mathrm{2}{x}_{-\mathrm{1}}-\mathrm{2}{x}_{\mathrm{1}}+x_{\mathrm{2}}.(23)

令（17）中n=0，可得：

x_{-\mathrm{2}}-\mathrm{4}{x}_{-\mathrm{1}}-\mathrm{4}{x}_{\mathrm{1}}+x_{\mathrm{2}}=Q_{\mathrm{1}}(\mathrm{0}).(24)

将式（22）和式（23）代入式（24），可得：

x_{\mathrm{0}}=\mathrm{2}{x}_{\mathrm{1}}-x_{\mathrm{2}}+(\mathrm{1}-\frac{a}{\mathrm{3}}-\frac{b}{\mathrm{2}})\frac{E_n{h}^{\mathrm{4}}}{\mathrm{2}EI{h}_{\mathrm{1}}}.(25)

令：a_{-\mathrm{1}}=\mathrm{2},b_{-\mathrm{1}}=\mathrm{1},c_{-\mathrm{1}}=\mathrm{0},

a_{\mathrm{0}}=\mathrm{2},b_{\mathrm{0}}=\mathrm{1},c_{\mathrm{0}}=(\mathrm{1}-\frac{a}{\mathrm{3}}-\frac{b}{\mathrm{2}})\frac{E_n{h}^{\mathrm{4}}}{\mathrm{2}EI{h}_{\mathrm{1}}},

则式（22）和（25）可表达为：

x_{-\mathrm{1}}=a_{-\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{0}}-b_{-\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{1}}+c_{-\mathrm{1}},(26)

x_{\mathrm{0}}=a_{\mathrm{0}}{x}_{\mathrm{1}}-b_{\mathrm{0}}{x}_{\mathrm{2}}+c_{\mathrm{0}}.(27)

仿此，可得：

\left\{\begin{array}{l}{x}_n=a_n{x}_{n+\mathrm{1}}-b_n{x}_{n+\mathrm{2}}+c_n\\ x_{n-\mathrm{1}}=a_{n-\mathrm{1}}{x}_n-b_{n-\mathrm{1}}{x}_{n+\mathrm{1}}+c_{n-\mathrm{1}}\\ x_{n-\mathrm{2}}=a_{n-\mathrm{2}}{x}_{n-\mathrm{1}}-b_{n-\mathrm{2}}{x}_n+c_{n-\mathrm{2}}\end{array}\right..(28)

将式（28）代入式（17）整理可得：

\begin{array}{l}\left(a_{n-\mathrm{2}}{a}_{n-\mathrm{1}}-b_{n-\mathrm{2}}+\mathrm{6}+\frac{h^{\mathrm{5}}}{EI}mn{b}_{\mathrm{0}}-\mathrm{4}{a}_{n-\mathrm{1}}\right)x_n\\ =\left(a_{n-\mathrm{2}}{b}_{n-\mathrm{1}}-\mathrm{4}{b}_{n-\mathrm{1}}+\mathrm{4}\right)\\ x_{n+\mathrm{1}}-x_{n+\mathrm{2}}+\left(\mathrm{4}-a_{n-\mathrm{2}}\right)c_{n-\mathrm{1}}\\ -c_{n-\mathrm{2}}+\frac{Q_{\mathrm{1}}(z)h^{\mathrm{4}}}{EI}\end{array}.(29)

若令：

\left\{\begin{array}{l}{d}_n=a_{n-\mathrm{2}}{a}_{n-\mathrm{1}}-b_{n-\mathrm{2}}+\mathrm{6}+\frac{h^{\mathrm{5}}}{EI}mn{b}_{\mathrm{0}}-\mathrm{4}{a}_{n-\mathrm{1}}\\ a_n=\frac{a_{n-\mathrm{2}}{b}_{n-\mathrm{1}}-\mathrm{4}{b}_{n-\mathrm{1}}+\mathrm{4}}{d_n}\\ c_n=\frac{\left(\mathrm{4}-a_{n-\mathrm{2}}\right)c_{n-\mathrm{1}}-c_{n-\mathrm{2}}+\frac{Q_{\mathrm{1}}(z)h^{\mathrm{4}}}{EI}}{d_n}\\ b_n=\raisebox{1ex}{$\mathrm{1}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$d_n$}\right.\end{array}\right.,(30)

则式（29）仍可以表达成（28）所示.

（2）　中层受荷段桩体内力推导

深层受荷桩体（h₁₁<z<h₁）挠曲微分方程为：

EI\frac{d^{\mathrm{4}}x}{d{z}^{\mathrm{4}}}+k{b}_{\mathrm{0}}x=Q_{\mathrm{2}}(z) .(31)

该段仍为受荷段，将桩长离散化，如图5（c）所示，则任意节点n处的控制差分方程为

\frac{EI}{h^{\mathrm{4}}}(x_{n+\mathrm{2}}-\mathrm{4}{x}_{n+\mathrm{1}}+\mathrm{6}{x}_n-\mathrm{4}{x}_{n-\mathrm{1}}+x_{n+\mathrm{2}})+k{b}_{\mathrm{0}}{x}_n=Q_{\mathrm{2}}(z),(32)

整理变换得：

x_{n+\mathrm{2}}=\mathrm{4}{x}_{n+\mathrm{1}}-(\mathrm{6}+\frac{h^{\mathrm{4}}}{EI}k{b}_{\mathrm{0}})x_n+\mathrm{4}{x}_{n-\mathrm{1}}-x_{n-\mathrm{2}}+\frac{Q_{\mathrm{2}}(z)h^{\mathrm{4}}}{EI}.(33)

（3）　嵌固段桩体内力推导

嵌固段桩体（h₁<z<H）的挠曲微分方程为：

\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{4}}x}{\mathrm{d}{z}^{\mathrm{4}}}+\mathrm{4}{\lambda }^{\mathrm{4}}x=\mathrm{0}.(34)

该段为嵌固段，将桩长离散化，如图5d所示，则任意节点n处的控制差分方程为：

\frac{\mathrm{1}}{h^{\mathrm{4}}}(x_{n+\mathrm{2}}-\mathrm{4}{x}_{n+\mathrm{1}}+\mathrm{6}{x}_n-\mathrm{4}{x}_{n-\mathrm{1}}+x_{n+\mathrm{2}})+\mathrm{4}{\lambda }^{\mathrm{4}}x=\mathrm{0},(35)

即：

x_{n-\mathrm{2}}-\mathrm{4}{x}_{n-\mathrm{1}}+\left(\mathrm{6}+\mathrm{4}{\lambda }^{\mathrm{4}}{h}^{\mathrm{4}}\right)x_n-\mathrm{4}{x}_{n+\mathrm{1}}+x_{n+\mathrm{2}}=\mathrm{0}.(36)

引入桩底边界条件时，主要有3种情况：

① 桩底为自由支承（弯矩M=0，剪力P=0），可得：

x_{-\mathrm{1}}=\mathrm{2}{x}_{\mathrm{0}}-x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{0}}=\frac{\mathrm{2}{x}_{\mathrm{1}}-x_{\mathrm{2}}}{\mathrm{1}+\mathrm{2}{\lambda }^{\mathrm{4}}{\mathrm{h}}^{\mathrm{4}}},

令：

a_{-\mathrm{1}}=\mathrm{2},b_{-\mathrm{1}}=\mathrm{1},a_{\mathrm{0}}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{1}+\mathrm{2}{\lambda }^{\mathrm{4}}{\mathrm{h}}^{\mathrm{4}}},b_{\mathrm{0}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{2}{\lambda }^{\mathrm{4}}{\mathrm{h}}^{\mathrm{4}}},

则有：

\left\{\begin{array}{l}{x}_{-\mathrm{1}}=a_{-\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{0}}-b_{-\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{1}}\\ x_{\mathrm{0}}=a_{\mathrm{0}}{x}_{\mathrm{1}}-b_{\mathrm{0}}{x}_{\mathrm{2}}\end{array}\right..(37)

② 桩底为铰支承（弯矩M=0，位移x=0），有：

x_{-\mathrm{1}}=\mathrm{2}{x}_{\mathrm{0}}-x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{0}}=\mathrm{0},

令：a_{-\mathrm{1}}=\mathrm{2},b_{-\mathrm{1}}=\mathrm{1},a_{\mathrm{0}}=\mathrm{0},b_{\mathrm{0}}=\mathrm{0}.

③ 桩底为固定支承（位移x=0，转角θ=0），有：

x_{-\mathrm{1}}=x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{0}}=\mathrm{0},

令：a_{-\mathrm{1}}=\mathrm{0},b_{-\mathrm{1}}=-\mathrm{1},a_{\mathrm{0}}=\mathrm{0},b_{\mathrm{0}}=\mathrm{0}.

可以看出，3种桩底边界条件具有相同形式的迭代方程，可表示为：

\left\{\begin{array}{l}{x}_n=a_n{x}_{n+\mathrm{1}}-b_n{x}_{n+\mathrm{2}}\\ x_{n-\mathrm{1}}=a_{n-\mathrm{1}}{x}_n-b_{n-\mathrm{1}}{x}_{n+\mathrm{1}}\\ x_{n-\mathrm{2}}=a_{n-\mathrm{2}}{x}_{n-\mathrm{1}}-b_{n-\mathrm{2}}{x}_n\end{array}\right.,(38)

代入式（37）整理可得：

\begin{array}{l}\left[a_{n-\mathrm{2}}{a}_{n-\mathrm{1}}-b_{n-\mathrm{2}}-\mathrm{4}{a}_{n-\mathrm{1}}+(\mathrm{6}+\mathrm{4}{\lambda }^{\mathrm{4}}{h}^{\mathrm{4}})\right]x_n+\\ \left(-a_{n-\mathrm{2}}{b}_{n-\mathrm{1}}+\mathrm{4}{b}_{n-\mathrm{1}}-\mathrm{4}\right)x_{n+\mathrm{1}}+x_{n+\mathrm{2}}=\mathrm{0}\end{array},(39)

令：

\left\{\begin{array}{l}{c}_n=a_{n-\mathrm{2}}{a}_{n-\mathrm{1}}-b_{n-\mathrm{2}}-\mathrm{4}{a}_{n-\mathrm{1}}+\mathrm{6}+\mathrm{4}{\lambda }^{\mathrm{4}}{h}^{\mathrm{4}}\\ a_n=\frac{a_{n-\mathrm{2}}{b}_{n-\mathrm{1}}-\mathrm{4}{b}_{n-\mathrm{1}}+\mathrm{4}}{c_n}\\ b_n=\mathrm{1}/c_n\end{array}\right.,(40)

则式（39）仍可表达成式（38）.

根据桩在基覆界面和滑动面处的连续性，依次满足位移连续、转角连续、剪力连续和弯矩连续条件，可得到方程组式（41）和式（42）.

\left\{\begin{array}{l}{x}_{N_{\mathrm{1}}}=x_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\text{'}}}\\ x_{N_{\mathrm{1}}+\mathrm{1}}-x_{N_{\mathrm{1}}-\mathrm{1}}=x_{+\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}}-x_{-\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}}\\ x_{N_{\mathrm{1}}-\mathrm{2}}-\mathrm{2}{x}_{N_{\mathrm{1}}-\mathrm{1}}+\mathrm{2}{x}_{N_{\mathrm{1}}+\mathrm{1}}-x_{{\mathrm{N}}_{\mathrm{1}}+\mathrm{2}}=\\ x_{-\mathrm{2}}^{\mathrm{\text{'}}}-\mathrm{2}{x}_{-\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}}+\mathrm{2}{x}_{+\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}}-x_{+\mathrm{2}}^{\mathrm{\text{'}}}\\ x_{N_{\mathrm{1}}-\mathrm{1}}+x_{N_{\mathrm{1}}+\mathrm{1}}-\mathrm{2}{x}_{N_{\mathrm{1}}}=x_{-\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}}+x_{+\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}}-\mathrm{2}{x}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\text{'}}}\end{array}\right.,(41)

\left\{\begin{array}{l}{x}_{N_{\mathrm{3}}}^{\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}}=x_{N_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{\text{'}}}\\ x_{N_{\mathrm{3}}+\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}}-x_{N_{\mathrm{3}}-\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}}=x_{N_{\mathrm{2}}-\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}}-x_{N_{\mathrm{2}}+\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}}\\ \begin{array}{l}{x}_{N_{\mathrm{3}}+\mathrm{2}}^{\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}}-{\mathrm{2}}_{N_{\mathrm{3}}+\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}}+{\mathrm{2}}_{N_{\mathrm{3}}-\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}}-x_{N_{\mathrm{3}}-\mathrm{2}}^{\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}}=\\ x_{N_{\mathrm{2}}-\mathrm{2}}^{\mathrm{\text{'}}}-\mathrm{2}{x}_{N_{\mathrm{2}}-\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}}+\mathrm{2}{x}_{N_{\mathrm{2}}+\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}}-x_{N_{\mathrm{2}}+\mathrm{2}}^{\mathrm{\text{'}}}\end{array}\\ x_{N_{\mathrm{3}}-\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}}+x_{N_{\mathrm{3}}+\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}}-\mathrm{2}{x}_{N_{\mathrm{3}}}^{\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}}=x_{N_{\mathrm{2}}+\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}}+x_{N_{\mathrm{2}}-\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}}-\mathrm{2}{x}_{N_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{\text{'}}}\end{array}\right.,(42)

求解此方程组，可得到桩身在浅层滑面和深层滑面附近处截面的位移，再利用式（28）、式（33）、式（40）通过迭代法可求得桩身任意截面处的位移，进而推导出相应的桩身内力. 桩体任意截面处的内力计算公式为：

M_n=\frac{EI}{h^{\mathrm{2}}}\left(x_{n-\mathrm{1}}+x_{n+\mathrm{1}}-\mathrm{2}{x}_n\right),(43)

Q_n=\frac{EI}{\mathrm{2}{h}^{\mathrm{3}}}\left(x_{n+\mathrm{2}}-\mathrm{2}{x}_{n+\mathrm{1}}+\mathrm{2}{x}_{n-\mathrm{1}}-x_{n-\mathrm{2}}\right),(44)

式中：x_n、Q_n、M_n 分别为抗滑桩任意截面处的位移、剪力和弯矩.

为了便于计算结果的输出，让上述推导过程程序化和可视化，根据本文所提出的理论方法，编写了相应程序来计算双层滑带滑坡中抗滑桩各段的位移、内力情况. 通过已知参数计算出各段差分点系数，由式（30）、（40）构成语句，采用循环结构实现迭代过程，计算各段系数a_n，b_n，c_n，d_n，然后利用边界连续条件由式（41）、（42）构成各段虚拟点位移方程组矩阵，采用主元消去法求解位移矩阵，得到边界处虚拟点位移. 最后由式（28）、（33）、（40）采用循环结构迭代计算出全桩位移，进而利用式（43）、式（44）推导出全桩内力，同时采用plot命令语句将计算结果以图形的形式输出. 程序计算流程如图6所示.

3 工程实例分析

3.1　工程概况

马家沟滑坡位于湖北省秭归县归州镇彭家坡村，处于长江支流吒溪河左岸. 滑坡长537 m，宽150~210 m，滑体平均厚度12.7 m，总面积约9.68 km²，总方量约127.8×10⁴ m³. 主滑方向290°，整体为顺向坡. 滑床地层为侏罗系上统遂宁组（J₃S），岩性以灰白色长石石英砂岩、细砂岩为主，夹紫红色粉砂质泥岩、泥岩；滑体部分为第四系松散堆积物，主要由崩坡积物、残坡积物和人工堆积物组成. 坡体主要发育两层滑面，浅层滑动面位于基覆界面处，平均深度12.5 m；深层滑动面发育于基岩软弱层中，平均深度25.0 m.

考虑坡体物质组成差异，采用不同的地基系数：浅层滑体为松散堆积物，地基系数的比例系数取m=3 000 kN/m⁴；深层滑体和基岩为粉砂质泥岩、砂岩、砂质泥岩互层，相应的地基系数（董曼曼等，2017）分别为1.5×10⁵、3.9×10⁵、2.5×10⁵ kN/m³；利用等效法对多层地基系数进行深度加权换算，由式（45）：

K_a=\frac{K_{\mathrm{1}}{h}_{\mathrm{1}}+K_{\mathrm{2}}{h}_{\mathrm{2}}+K_{\mathrm{3}}{h}_{\mathrm{3}}}{h},(45)

式中：K₁、K₂、K₃分别为不同岩体的地基系数，h₁、h₂、h₃为相应岩体的厚度，h为总厚度.

综合确定深层滑体和滑床的地基系数K=205 000 kN/m³. 抗滑桩采用C30钢筋混凝土，桩间距L=8 m，截面尺寸3 m×2 m，桩的弹性模量E=30 GPa，抗滑桩总长H=40 m，第一层滑面以上桩长h₁₁=12.5 m，第二层滑面以上桩长h₁=25.0 m，滑面以下嵌固段h₂=15 m. 在进行计算时，采用等量差分段h=0.01 m.

3.2　数值概化模型

为检验本文所提出的计算方法的合理性，采用数值模拟方法对程序算法结果进行验证. 具体方法为：通过将马家沟滑坡剖面模型导入ANSYS，建立假三维数值计算模型，模型尺寸为550 m×200 m×20 m. 模型以四边形网格为主进行划分，并对滑带附近的网格进行细分，共划分为23 376个节点和18 675个网格单元，如图7所示，然后导入FLAC3D中进行计算. 滑体、滑床和滑带均采用摩尔-库伦本构模型，抗滑桩采用pile结构单元，沿坡体模型拉伸方向同时布置多根单排pile桩单元. 模型的左右边界和底部边界施加固定约束，顶部边界自由. 所采用的岩土体物理力学参数见表2.

3.3　滑坡推力分布形式分析

滑坡推力分布形式作为影响抗滑桩受力计算结果准确性的重要因素，本文在数值模拟过程中进一步研究了双层滑带滑坡的推力分布特征，并代入理论计算中进行对比分析.

根据计算结果，双层滑带滑坡的推力分布具有明显的分段性特征：以浅层滑面S1为界，上下滑体推力均近似呈梯形分布，为研究两者之间的相关性，通过单个改变滑体与滑体参数，进行数值模拟得到相应的计算结果，并对结果进行对比分析，总结出上下两层滑带的参数是影响双层滑带滑坡推力分布形式的主要因素，对比参数选取和结果分别如表3、图8所示.

由图8可以看出，在不同的滑带参数取值情况下，桩后滑坡推力分布规律基本一致. 但当浅层滑带力学参数增大时，浅层滑面S1处的滑坡推力有所减小，深层滑面S2处的滑坡推力有所增大；当深层滑带力学参数增大时，浅层滑面S1处的滑坡推力有所增大，深层滑面S2处的滑坡推力

有所减小. 对于参数2和参数5，当深层滑带力学参数大于浅层滑带时，上下部分的滑坡推力均遵循梯形分布形式；而当深层滑带力学参数小于浅层滑带时，在深层滑带上方约5 m处滑坡推力出现最大. 马家沟滑坡浅层滑带位于基覆界面处，深层滑带位于基岩内软弱夹层，浅层滑带力学参数小于深层滑带，类似于参数1、3和4组合，即滑坡推力遵循分段式梯形分布.

为进一步量化马家沟双层滑带滑坡的推力分布规律，对不同参数组合下的推力分布曲线进一步开展分析. 设桩顶推力为P₀，浅层滑面处突变前后推力分别为P₁、P₀’，深层滑面处推力为P₂. 各参数组合下的推力特征值如表4所示.

对于遵循分段式梯形推力分布的参数1、3和4组合，滑坡推力的深度系数ζ值相近，因此理论计算时，设浅层滑体和深层滑体推力均为梯形分布，上下推力大小分别由式（4）和式（12）确定. 利用改进的剩余推力法对马家沟滑坡进行推力计算，结果表明浅层滑体推力E₁和深层滑体推力E₂分别为1 719.45 kN/m、3 198.24 kN/m. 推力分布函数采用式（14）形式，上下两层的推力深度系数ζ分别取0.55和0.63. 拟合后滑坡推力曲线如图9所示，可以看出，此时的滑坡拟合推力与数值模拟结果基本一致.

3.4　理论计算与数值模拟结果对比分析

利用有限元法得到的抗滑桩变形与内力分布更能反映实际坡体在滑移过程中抗滑桩的受力状态. 参考图9~11，采用分段式梯形推力分布对本文理论方法进行了计算，并与数值模拟结果进行了对比分析，结果显示，两者计算结果虽然在量值上有一定差异，但分布规律基本一致，表明本文对双层滑带滑坡中抗滑桩的内力计算方法是可靠的.

3.4.1　桩体位移分析

由图10桩身位移图可以看出，抗滑桩桩身位移沿桩顶向下呈逐渐减小的趋势，至嵌固端下部35 m深左右基本趋于零，理论计算与数值模拟结果具有相似的规律；在浅层滑面S1以上，桩身顺滑体滑移方向产生弯曲变形，而在深层滑面S2上方深度15~25 m处有一定反弯的迹象，但反弯量远小于上部桩体的弯曲量，是因为双层滑带滑坡的分段式梯形分布中，深层滑体的滑坡推力要大于浅层滑体部分的滑坡推力，这一结果刚好反映实际双层滑带滑坡在滑移过程中，不同深度的滑体滑移程度不同，会产生相对运动，从而在桩体横向位移变形曲线上呈现反弯趋势. 数值分析结果也具有相似的规律，由于不同深度滑体的相互运动作用，在位移曲线上体现出一定的反弯现象.

3.4.2　桩体剪力分析

通过图11桩身剪力分布图可以看出，理论计算与数值模拟的桩身剪力分布具有相似的规律：在浅层滑体内，在深度0~7 m范围内，桩身剪力呈较小的负值，而后随着埋深的增加而不断增加，在12.5 m浅层滑面S1处达到第一个极大值；在深层滑体内，剪力随着埋深的增加先减小后又增大，在25 m深层滑面S2处达到第二个极大值. 数值模拟结果具有相似的规律，但在深度0~12.5 m范围内的负剪力分布范围更为明显.

这是由于在双层滑移的过程中，浅层滑体与深层滑体会产生相对运动，浅层滑体的滑移速率更快，深层滑体会产生相对向后的运动. 从图8，图9中的滑坡推力分布曲线可以看出，在浅层滑面S1附近，滑坡推力会突变式减小，与此同时，抗滑桩埋藏位置较深，此时桩前抗滑力较大，桩身在两层滑体的相对运动过程中受到“反弯”作用，从而产生剪力向负值增大的趋势；对于理论计算模型，由于深层滑体中抗滑桩前的地基抵抗力采用K法计算，岩土体抗力要比上层滑体要大的多，在深度12.5~18.0 m范围内剪力不断减小；在深度范围18~25 m内，滑坡推力快速增大，桩身剪力不断增大；而后在滑面以下的嵌固端内，桩体不受滑坡推力的作用，只受岩土体抗力作用，剪力随深度增加逐渐减小，在桩底处回到零值. 数值分析结果的一致性规律进一步验证了理论计算方法的合理性.

3.4.3　桩体弯矩分析

通过图12桩身弯矩图可以发现，双层滑带滑坡中抗滑桩桩身弯矩主要有3个极值点，具体体现为：在浅层滑体中，在深度0~10 m左右，桩体弯矩为较小负值，往下弯矩逐渐增大，在15 m左右达到第一个极大值；在深层滑体内，弯矩又逐渐减小，在23 m左右达到极小值，往下弯矩又继续增大，在深度28 m左右达到第二个极大值；而后桩身弯矩快速减小，至桩底降为零.

数值模拟的桩身弯矩分布规律与理论计算结果基本一致：弯矩的两个极大值分别位于浅层滑面S1和深层滑面S2下方，但比理论结果的位置深2~3 m，一个极小值位于深层滑面S2上方2~3 m处. 同时数值模拟在浅层滑体深度范围内多一部分明显的负弯矩，这是因为在深度0~12.5 m范围桩身更加突出的反弯现象造成的.

4 影响因素分析

双层滑带滑坡中抗滑桩的变形特征与内力分布受诸多因素的影响，主要包括滑坡推力分布形式和抗滑桩设计参数（截面尺寸、桩底支承条件等）两个方面. 因此，本节基于上文提出的理论模型，计算并讨论滑坡推力分布形式和抗滑桩设计参数对内力分布的影响.

4.1　滑坡推力分布形式的影响

在研究双层滑带滑坡的推力分布形式时，由于上下两层滑体的相对滑移，推力呈分段式梯形分布，但当两层滑体的相对运动程度逐渐减小时，滑坡推力也逐渐趋于常见的几种分布规律. 因此本节讨论了不同推力分布形式对桩身内力与变形的影响. 假定抗滑桩截面尺寸：长×宽=3 m×2 m，桩底为自由支承.

由图13可看出，不同的推力分布形式下抗滑桩受力特征相似. 滑坡推力分布形式对抗滑桩桩身位移变化规律有一定的影响：深层滑体中抗滑桩的位移增长幅度较小，均具有一定程度的反弯现象，其中分段式梯形推力分布形式反弯程度最大；在浅层滑体中，抗滑桩桩身位移增长幅度区别较大：矩形>梯形>分段式梯形>抛物线型>三角形，5种不同推力分布形式下桩顶位移分别为8.8 mm，5.1 mm，4.6 mm，4.5 mm和2.7 mm.

对于矩形与梯形推力分布，上部滑体的滑坡推力相比其他分布形式较大，因而在0~12.5 m深度范围内桩身剪力值呈先增大后减小再增大，并在浅层滑面S1处达到极大值. 抛物线型、矩形、三角形、梯形和分段式梯形推力分布条件下桩身剪力最大值（绝对值）分别位于12.5 m、6.5 m、25 m、25 m和25 m处.

不同推力形式下的桩身弯矩分布规律一致，弯矩最大值（绝对值）均位于浅层滑面S1下方2~3 m. 对于抛物线型与矩形分布，桩身弯矩将全部为正值，尽管仍存在极小值，弯矩分布规律不变，但桩身整体处于桩前受压、桩后受拉状态.

4.2　抗滑桩截面尺寸的影响

在研究抗滑桩截面尺寸对桩身内力与变形的影响时，滑坡推力采用分段式梯形分布，桩底为自由支承.

由图14可知，抗滑桩截面尺寸对抗滑桩内力整体分布规律影响较小，对位移、剪力和弯矩的极值影响较大. 随着截面尺寸的增大，桩顶位移逐渐减小，桩身截面尺寸越大，减小效果愈弱. 当截面长度和截面宽度增加相同幅度时，桩顶位移分别减小5.17%和14.85%，可见截面宽度影响更大. 同时随着抗滑桩截面尺寸的增大，深层滑体桩身段的“反弯”效果逐渐减弱.

由图14b可知，随着抗滑桩尺寸的增大，桩身剪力逐渐增大，剪力极大值的位置不变，分别位于浅层滑面S1与深层滑面S2处，而剪力极小值的深度逐渐增大. 剪力在S2处的极大值的增幅要大于S1处的极大值的增幅，同时桩身最大剪力的增幅随桩截面尺寸增逐渐减弱，由26.1%降至0.8%.

由图14c可知，桩身弯矩随截面尺寸的增大总体呈不断增大的趋势，同时最大桩身弯矩作用深度逐渐增大，由28.6 m增至29.8 m，但仍然处于浅层滑面S2的下方；随着桩截面尺寸的增大，浅层滑体内的桩身负弯矩的范围逐渐减小，而深层滑体内的桩身负弯矩的范围逐渐增大.

4.3　桩底支承条件的影响

抗滑桩桩底支承条件与嵌固段的桩体长度和岩土体力学性质和风化破碎程度有关，因此研究不同桩底支承条件下抗滑桩内力与变形特征具有重要意义. 在研究桩底支承条件对桩身内力与变形的影响时，滑坡推力采用分段式梯形分布，抗滑桩截面尺寸为3 m×2 m.

由图15可知，不同桩底支承条件下上部受荷段的桩身变形与内力几乎没有差别，但嵌固段差别较大：桩底约束条件为自由支承时，桩底位移为负值，而对于铰支承与固定支承，桩底位移趋于零；对于嵌固段的桩身剪力，3种桩底支承条件下剪力先减小为负值，再逐渐增大. 当桩底约束为自由支承时，桩底剪力趋于零，而当桩底约束为铰支承和固定支承时，桩底剪力不为零，并且在数值上（绝对值）Q_固定>Q_铰支>Q_自由；3种桩底支承条件下嵌固段的桩身弯矩先增大后减小，桩底约束条件为自由支承和铰支承时，桩底弯矩趋于零，为固定支承时，桩底弯矩为负值.

5 结论

（1）本文基于传统的剩余推力法，考虑不同滑体之间的相互作用，提出了双层滑带滑坡的推力计算方法，并给出了适用性更强的滑坡推力拟合函数.

（2）改进了传统的弹性地基系数法：考虑双层滑带滑坡的物质组成差异和运动特征，分别建立受荷段和嵌固段的挠曲微分方程，并利用有限差分法求解抗滑桩任一截面的位移和内力，同时编写相应的计算程序实现迭代求解方程 .

（3）利用FLAC3D有限元数值分析提出双层滑带滑坡的分段式梯形推力分布规律，上下两层滑体部分的推力E₁、E₂分别为1 719.45 kN/m、3 198.24 kN/m，合力作用点分别距离分段桩体顶部0.55h₁₁和0.63h₁₂（h₁₁和h₁₂分别为上下两段受荷桩长），从而确定滑坡的推力分布函数，与数值结果吻合较好，并代入理论进行抗滑桩内力计算.

（4）理论计算得到的抗滑桩受力特征，相比数值模拟结果分布规律基本一致：桩身位移沿桩顶往下逐渐减小，伴随一定反弯现象；桩身剪力和弯矩具有两个极大值，一个极小值：剪力极大值位于滑面处，弯矩极大值位于滑面下方2~3 m，剪力和弯矩的极小值均位于深层滑体中. 表明本文所建理论模型是可靠的，能够较好的反映双层滑带滑坡中抗滑桩的受力特征.

（5）滑坡推力分布形式和抗滑桩设计参数（截面尺寸、桩底支承条件）是影响抗滑桩受力特征的重要因素，尤其是假设推力分布形式与实际区别较大时，桩身受力偏差很大. 因此，在进行抗滑桩结构设计时，要合理的确定计算参数.

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基金资助

国家自然科学基金国际（地区）合作与交流项目(42020104006)

地学长江计划项目(CUGCJ1802)