小样本下基于比能值和ELM-AdaBoost的数控铣削能效优化模型构建方法

Optimization Model Construction Method of CNC Milling Energy Efficiency Based on Specific Energy Values and ELM-AdaBoost under Small Samples

摘要

针对数控铣削过程能效数据采集成本高、传统数控铣削能效模型在小样本数据下预测精度低的问题，提出了一种基于比能值和极限学习机（ELM）-自适应增强算法（AdaBoost）的能效优化模型。通过正交试验设计获取试验数据，构建基于比能值的机理模型，结合ELM与AdaBoost形成ELM-AdaBoost数据模型，最后集成能效预测模型，在保证预测精度的同时有效减少模型对数据量的需求。建立以最小比能值和最低加工成本为目标的能效优化模型，通过非支配排序遗传算法Ⅱ和熵权- TOPSIS进行最优工艺参数求解与优化，加工试验验证了提出方法的可行性。

Abstract

Aiming at the problems of high cost of energy efficiency data acquisition in CNC milling processes and low prediction accuracy of traditional CNC milling energy efficiency model under small sample data， an energy efficiency optimization model was proposed based on specific energy values and extreme learning machine（ELM）-adaptive enhancement algorithm（AdaBoost）. The experimental data were obtained through orthogonal experimental design， a mechanism model was constructed based on specific energy value， combined ELM and AdaBoost to form ELM-AdaBoost data model， and finally integrated the energy efficiency prediction model， which might guarantee the prediction accuracy while effectively reduce the model's demands for data volume. The energy efficiency optimization models were established with the objectives of minimum specific energy value and minimum machining costs， and the optimal processing parameters were solved and optimized by non-dominated sorting genetic algorithm Ⅱ and entropy weight-TOPSIS， and the machining experiments were conducted to verify the feasibility of the proposed method.

Graphical abstract

关键词

数控铣削 / 比能值 / 能效优化 / 小样本学习

Key words

CNC milling / specific energy value / energy efficiency optimization / small sample learning

0 引言

随着全球对能源需求的持续增加以及不可再生资源的持续减少，高效节能与优化技术在机械制造领域逐渐成为了学术界和制造业的研究热点。机械制造领域的能效优化研究中，传统单一机理模型依赖大量理论假设，数据驱动模型则需海量标注数据，两者在小样本场景下均面临预测精度不足的挑战。在数控铣削领域，数据采集成本高、数据量少制约着能效优化模型的构建与应用，小样本下的能效建模成为亟待解决的问题。

基于机理的数控机床能耗和能效模型通过研究数控机床在加工过程中能量消耗的物理机理来描述和预测机床能量消耗行为^［1］。SUWA等^［2］发现材料去除率与比能耗之间存在幂函数关系，提高材料去除率能够提升能效。LAI等^［3］通过分析材料去除和热控制的耦合效应，证明了强制冷却模式在提高切削能效中的有效性，但在变切削参数下预测误差较大。XIAO等^［4］对数控机床的子系统进行细分，基于各个子系统的能耗特性建立了数控铣削的能耗模型，但小样本下难以覆盖工艺参数组合，预测精度受限。李聪波等^［5］通过研究数控铣削加工过程中刀具组合，揭示了刀具直径和刀具可行域对加工能耗的影响，构建了多刀具数控铣削能耗函数。ZHU等^［6］基于热力学理论建立了以喷射质量流量和切削参数为变量的热平衡模型，估计了气体喷射参数对切削区域热平衡的影响。上述研究主要是围绕切削力、材料去除率、能量守恒定律等方面展开，基于机理建立的模型具有较强的泛化性，但对试验数据和理论分析的深度要求很高，依赖大量理论假设与试验数据，小样本下难以覆盖各种参数组合，预测精度受限。

基于数据驱动的数控机床能耗和能效模型，通过特定规则和方法分析数据间的相关性来量化数据的相互作用关系，并从数据的角度分析系统的运作机制^［7］。谢阳等^［8］提出了融合随机森林和长短时记忆神经网络的机床能耗识别与预测方法，能够有效预测不同状态下的机床能耗。鲍宏等^［9］利用支持向量回归算法建立了能效预测模型，并建立了以加工时间和能效为目标的优化模型。WANG等^［10］利用迁移学习方法，通过少量试验快速建立目标机床的能耗模型。SU等^［11］运用支持向量回归算法，基于切削参数和刀具磨损建立了能效预测模型，发现此改进模型的预测精度优于仅基于切削参数的模型。AWAN等^［12］采用高斯回归过程、决策树和人工神经网络三种机器学习算法进行能耗预测，结果显示高斯过程回归算法的表现最佳，且与机理模型趋势一致。上述研究表明，基于数据建立的模型没有考虑数控机床能量消耗的内在机制，而是直接建立工艺参数与机床能耗之间的关联模型。这类模型无需机理推导，但在小样本下的预测精度与泛化能力受限。

在数控加工目标优化的相关研究中，BAO等^［13］提出了基于碳排放建模和直觉模糊搜索算法的非金属激光切割工艺参数协同优化方法，通过建立碳排放边界和量化模型，验证了参数优化对提高能效降低碳排放的有效性。ZHAO等^［14］提出了一种基于强化学习的切削参数动态优化方法，此方法在降低能耗、生产时间和成本方面优于传统粒子群优化算法。PANGESTU等^［15］利用禁忌搜索和分散搜索算法求解以主轴转速、进给速度、切削深度和粗加工次数为变量，以能耗、碳排放、生产时间和生产成本为目标的多目标多道次车削优化模型。PAWANR等^［16］以能耗最小和表面质量最佳为目标进行优化，并通过理想解相似性排序法识别影响能耗和表面质量的关键切削用量要素，结果表明切削深度是主要影响因子。上述研究表明，在数控加工目标优化研究中，常以加工能耗、成本以及切削时间为核心优化目标，采用智能优化算法进行工艺参数和切削路径的寻优。

以上方法为数控铣削能效优化模型的建立提供了理论和方法基础，却未针对小样本场景优化。由此，本文提出了一种小样本下基于比能值和极限学习机-自适应增强算法（ELM-AdaBoost）的能效优化模型。

1 数控铣削能效预测模型构建机制

对于数控铣削能效模型的构建，由于铣削加工过程复杂，难以从机理特性的角度还原其内部原理，因此构建准确的机理模型十分困难，然而机床的实时数据包含了能耗特征的潜在特性，只从数据本身直接建立数据模型会使模型无法考虑已有的机理信息，从而导致预测结果精度低等问题。本文提出的能效预测模型同时考虑机理与数据模型的构建，通过机理模型提供物理先验，数据模型修正机理误差，有效提高小样本下的预测精度。

设y_{\mathrm{m}\mathrm{0}}为机理模型映射函数，y_{\mathrm{m}\mathrm{1}}为机理模型输出结果，y_{\mathrm{d}\mathrm{0}}为数据模型映射函数，y_{\mathrm{d}\mathrm{1}}为数据模型输出结果，则有

y_{\mathrm{m}\mathrm{1}}=y_{\mathrm{m}\mathrm{0}}(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},\dots ,x_n)

y_{\mathrm{d}\mathrm{1}}=y_{\mathrm{d}\mathrm{0}}(n,f,a_{\mathrm{e}},a_{\mathrm{p}},y_{\mathrm{t}})

式中：(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},\dots ,x_n)为机理模型的输入参数；主轴转速n、进给速度f、切削深度a_{\mathrm{p}}、切削宽度a_{\mathrm{e}}为数据模型的输入参数；y_{\mathrm{t}}为试验数据真实值。

设y_{\mathrm{e}}是机理模型输出值与真实值之间的误差，{\widehat{y}}_{\mathrm{e}}是数据模型对误差的预测结果，表示为

y_{\mathrm{e}}=y_{\mathrm{t}}-y_{\mathrm{m}\mathrm{1}}

{\widehat{y}}_{\mathrm{e}}=y_{\mathrm{d}\mathrm{1}}(n,f,a_{\mathrm{e}},a_{\mathrm{p}},y_{\mathrm{t}})

将机理模型的预测结果y_{\mathrm{m}\mathrm{1}}与数据模型预测误差{\widehat{y}}_{\mathrm{e}}结合得到能效预测模型的预测结果：

y=y_{\mathrm{m}\mathrm{1}}+{\widehat{y}}_{\mathrm{e}}

综上所述，能效预测模型的建模方法见图1。

2 数控铣削机理模型与数据模型构建

2.1 铣削加工各阶段能耗建模

根据铣削加工能耗特性，待机阶段、辅助阶段、空载阶段、切削阶段能耗模型如下：

待机阶段能耗模型为

E_{\mathrm{s}\mathrm{t}}={\int }_{\mathrm{0}}^{t_{st}}{P}_{st}dt

式中：P_{\mathrm{s}\mathrm{t}}为数控机床待机功率；t_{\mathrm{s}\mathrm{t}}为数控机床待机时间。

辅助阶段能耗模型为

E_{\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{x}}={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\int }_{\mathrm{0}}^{t_i}{P}_i{h}_i(k)\mathrm{d}t

式中：P_i为第i个辅助子系统的运行功率；t_i为第i个辅助子系统的运行时间；若第i个辅助子系统开启，则h_i(k)=\mathrm{1}，否则为0。

空载阶段能耗模型为

E_{\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{r}}={\int }_{\mathrm{0}}^{t_{\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{l}\mathrm{e}}}{P}_{\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{l}\mathrm{e}}\mathrm{d}t+{\int }_{\mathrm{0}}^{t_{idle}}{P}_{st}dt+{\int }_{\mathrm{0}}^{t_x}{P}_{x-af}dt+{\int }_{\mathrm{0}}^{t_y}{P}_{y-\mathrm{a}\mathrm{f}}\mathrm{d}t+

{\int }_{\mathrm{0}}^{t_{z^{+}}}{P}_{z^{+}-\mathrm{a}\mathrm{f}}\mathrm{d}t+{\int }_{\mathrm{0}}^{t_{z^{-}}}{P}_{z^{-}-\mathrm{a}\mathrm{f}}\mathrm{d}t

\mathrm{式中}:P_{\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{l}\mathrm{e}}为主传动系统空转功率；t_{\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{l}\mathrm{e}}为空转时间；P_{x-\mathrm{a}\mathrm{f}}为进给传动系统x轴方向进给功率；P_{y-\mathrm{a}\mathrm{f}}为进给传动系统y轴方向进给功率；P_{z^{+}-\mathrm{a}\mathrm{f}}、P_{z^{-}-\mathrm{a}\mathrm{f}}分别为进给传动系统z轴正向和负向进给功率；t_x、t_y、t_{z^{+}}、t_{z^{-}}为各自进给时间。

切削阶段能耗模型为

E_{\mathrm{m}}={\int }_{\mathrm{0}}^{t_{\mathrm{m}}}(P_{\mathrm{s}\mathrm{t}}+P_{\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{l}\mathrm{e}}+P_{x-\mathrm{a}\mathrm{f}}+P_{\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{t}})\mathrm{d}t

式中：P_{\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{t}}为切削功率；t_{\mathrm{m}}为切削时间。

数控铣削加工总能耗E_{\mathrm{T}}包括待机能耗E_{\mathrm{s}\mathrm{t}}、辅助能耗E_{\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{x}}、空载能耗E_{\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{r}}和切削能耗E_{\mathrm{m}}，基于比能值表示的能耗模型如下：

y=\frac{E_{\mathrm{T}}}{V}=\frac{E_{\mathrm{s}\mathrm{t}}+E_{\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{r}}+E_{\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{x}}+E_{\mathrm{m}}}{V} （1）

式中：V为材料去除体积。

2.2 ELM-AdaBoost集成的数据驱动算法

单一数据驱动模型在小样本数据下的泛化能力差，容易过拟合，预测性能无法得到有效保证。ELM作为一种快速的单隐藏层前馈神经网络算法，通过随机生成隐藏层的权重和阈值，并利用最小二乘法求解输出层权重，具有训练速度快、泛化能力强等优点。AdaBoost算法将多个弱学习器通过迭代调整的方法组合成一个强学习器，使得集成模型具备精度高、不易过拟合和适用性广等优点。本节提出\mathrm{E}\mathrm{L}\mathrm{M}-\mathrm{A}\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{B}\mathrm{o}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{t}集成数据驱动模型，可以充分发挥两者的优势。AdaBoost算法对ELM模型进行优化和增强，通过迭代训练多个ELM弱学习器并赋予它们不同的权重，使最终的集成模型可以在降低模型对数据需求量的同时，更好地拟合数据，提高模型预测精度与泛化能力。算法流程见图2。

2.2.1 极限学习机（ELM）

ELM包括输入层、隐含层和输出层，在ELM的训练和预测阶段，输入层与隐含层的权重系数和隐含层的阈值通过随机初始化确定，并保持不变，随后，利用最小二乘法计算隐含层到输出层的权重系数，因此，ELM具有卓越的泛化能力和快速的学习效率^［17］。ELM的基本建模流程如下。

1）构建输入矩阵与真实值向量。设训练集包含m=27组铣削试验数据，数据样本集的输入矩阵为 X，每行{\mathit{X}}_i对应1组铣削工艺参数，列分别为主轴转速n、进给速度f、切削深度a_p和切削宽度a_e，真实值向量{\mathit{S}}_{\mathrm{t}}对应27组试验的比能值。

2）计算隐藏层输出矩阵 H。隐藏层输出矩阵 H 的每个元素h_{i,j}表示第i组样本在第j个隐藏层神经元的输出：

h_{i,j}=f({\mathit{w}}_j\bullet {\mathit{X}}_i+{\theta }_j)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{\mathrm{e}}^{-({\mathit{w}}_j(n_i,f_i,a_{\mathrm{p},i},a_{\mathrm{e},i}+{\theta }_j))}}

{\mathit{X}}_i=(n_i,f_i,a_{\mathrm{p},i},a_{\mathrm{e},i}){\mathit{w}}_j=(w_{j\mathrm{1}},w_{j\mathrm{2}},w_{j\mathrm{3}},w_{j\mathrm{4}})

式中：{\mathit{w}}_j为第j个隐藏层神经元的输入权重。

3）求解输出权重\mathit{\beta }与预测值{\mathit{S}}_{\mathrm{E}}。计算式为

\mathit{\beta }={\mathit{H}}^{+}\bullet {\mathit{S}}_{\mathrm{t}}

其中，{\mathit{H}}^{+}为隐藏层输出矩阵的Moore-Penrose广义逆，由Moore-Penrose广义逆矩阵求解方法^［18］解得。ELM对第i组样本的比能值预测结果为

S_{\mathrm{E},i}={\mathit{H}}_i\bullet \mathit{\beta }

\mathrm{式中}:{\mathit{H}}_i是 H 的第i行，对应第i组样本的隐藏层输出。

本文使用的激活函数为\mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{d}函数，通过对隐藏层节点数进行多次设定，发现当节点数为10时，模型的预测效果最好，因此，本文ELM模型中隐藏层节点数取为固定值10。

2.2.2 AdaBoost算法

AdaBoost算法通过训练数据的误差来进行权重的调整和再训练。通过这种方式生成多个性能较弱的学习器及其相应的权重，并将这些具有较低预测性能的弱学习器根据权重进行加权合成，得到一个预测性能较好的强学习器。输入特征向量 X 为数控铣削的工艺参数组合，包括主轴转速n、进给速度f、切削深度a_p和切削宽度a_e。AdaBoost回归算法的具体步骤如下。

1）迭代初始化。设迭代总轮次为K，初始样本权重矩阵{\mathit{D}}_{\mathrm{1}}的每个元素D_{\mathrm{1}}({\mathit{X}}_i)表示第1轮迭代中第i组铣削样本的权重，即

D_{\mathrm{1}}({\mathit{X}}_i)=\mathrm{1}/m

{\mathit{D}}_{\mathrm{1}}分布用于第1个ELM弱回归器h_{\mathrm{1}}的训练，{\mathit{D}}_k分布用于第k个ELM弱回归器h_k的训练。

2）循环迭代。进行K轮迭代，记每一轮迭代中ELM弱回归器的编号为k，k\in \{\mathrm{1,2},\dots ,K\}，具体的迭代过程为：①基于权重D_k({\mathit{X}}_i)，在数据集D上训练ELM弱回归器h_k({\mathit{X}}_i)=S_{\mathrm{E},k,i}，S_{\mathrm{E},k,i}是第k轮ELM对第i组样本的预测值；②计算当前ELM弱回归器h_k的误差率e_k和权重{\omega }_k：

e_k={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^m}{D}_k\left({\mathit{X}}_i\right)\frac{(S_{\mathrm{t},i}-h_k({\mathit{X}}_i{))}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}{\left|S_{\mathrm{t},j}-h_k({\mathit{X}}_j)\right|}^{\mathrm{2}}}k=\mathrm{1,2},\dots ,m

{\omega }_k=\frac{e_k}{\mathrm{1}-e_k}

式中：S_{\mathrm{t},i}为样本的真实比能值；\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}{\left|S_{\mathrm{t},j}-h_k({\mathit{X}}_j)\right|}^{\mathrm{2}}为第k轮所有样本的最大平方误差。

③更新训练样本集的权重分布，以便在下一轮中更关注当前模型预测误差较大的样本，权重更新公式为

D_{k+\mathrm{1}}({\mathit{X}}_i)=\frac{D_k({\mathit{X}}_i)}{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^m}{D}_{k+\mathrm{1}}({\mathit{X}}_i){\omega }_k^{\mathrm{1}-\frac{(S_{\mathrm{t},i}-h_k({\mathit{X}}_i{))}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}{\left|S_{\mathrm{t},i}-h_k({\mathit{X}}_i)\right|}^{\mathrm{2}}}}}{\omega }_t^{\mathrm{1}-\frac{(S_{\mathrm{t},i}-h_k({\mathit{X}}_i{))}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}{\left|S_{\mathrm{t},i}-h_k({\mathit{X}}_i)\right|}^{\mathrm{2}}}}

④令k\leftarrow k+\mathrm{1}，回到第①步。

3）结束迭代。将所有的ELM弱回归器根据它们的权重组合起来，得到ELM-AdaBoost模型对第i组铣削样本的比能值最终预测结果：

S_{\mathrm{A}\mathrm{B},i}={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^m}\mathrm{l}\mathrm{n}(\frac{\mathrm{1}}{{\omega }_k})h_k({\mathit{X}}_i) （2）

3 试验验证

为了验证所建立的能效预测模型的预测性能，以南京四开机床厂SKDX5060型数控雕铣机为试验平台，其工作台尺寸为550 mm×600 mm，分别有x、y、z三个方向自由度，冷却条件为油冷却。试验采用钨钢铝用三刃立铣刀，立铣刀直径为2.5 mm，如图3所示。工件为6061铝合金毛坯件，直径为50 mm，如图4所示。在试验过程中使用AWS2103型三相功率分析仪采集数控铣削加工过程中的功率和能耗数据。接线方式为三相四线，数据记录现场如图5所示。

3.1 数据获取

为在确保数据可信度的同时控制试验规模，本文采用L₂₇（3¹³）正交试验表进行试验设计。由正交表的均衡分散性实现多因子水平的均匀采样，同时对关键指标进行3次重复测量，通过方差分析验证数据重复性误差小于5%，确保试验结果的可靠性与可重复性。本试验将主轴转速、进给速度、切削深度和切削宽度这4个工艺参数作为试验因子，为准确评估这些因子对铣削功率的影响，在数控雕铣机和刀具的技术参考范围内为每个试验因子选取3个水平，结果见表1。

根据正交试验设计进行铣削，记录每组切削试验下的切削功率P_{\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{t}}、总能耗E_{\mathrm{T}}以及基于比能值的试验数据真实值y_{\mathrm{t}}，如表2所示。进一步地，在正交试验的试验因子水平范围内，随机选取22组工艺参数设计验证试验，得到试验数据（表2）。

3.2 数据管理

3.2.1 数据拟合

由于铣削过程中主传动空转功率、进给功率受转速-负载耦合效应影响，难以通过理论推导完全量化，因此基于27组正交试验数据与2.1节的数控铣削各阶段能耗模型构建经验机理模型，且通过后续融合模型补偿系统误差。为保证数据的可靠性，本文通过设置多组重复试验求平均值的方法得到待机功率135.75\mathrm{W}；在试验过程中仅使用冷却系统和照明系统，它们的功率分别为143.92\mathrm{W}、22.56 \mathrm{W}。对试验数据进行回归拟合得到以下数学模型：

主传动系统空转功率的数学模型为

x、y、z轴的进给功率数学模型为

\begin{array}{c}{P}_{x-\mathrm{a}\mathrm{f}}=\mathrm{1.787}\times {\mathrm{10}}^{-\mathrm{6}}{f}_x^{\mathrm{2}}-\mathrm{0.001}\mathrm{47}{f}_x+\mathrm{6.631}\\ P_{y-\mathrm{a}\mathrm{f}}=\mathrm{1.377}\times {\mathrm{10}}^{-\mathrm{6}}{f}_y^{\mathrm{2}}+\mathrm{0.002}\mathrm{89}{f}_y+\mathrm{9.049}\\ P_{z^{+}-\mathrm{a}\mathrm{f}}=\mathrm{1.589}\times {\mathrm{10}}^{-\mathrm{6}}{f}_{z^{+}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{0.0146}{f}_{z^{+}}+\mathrm{10.372}\\ P_{z^{-}-\mathrm{a}\mathrm{f}}=\mathrm{8.501}\times {\mathrm{10}}^{-\mathrm{7}}{f}_{z^{-}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{0.0129}{f}_{z^{-}}+\mathrm{6.382}\end{array}

切削功率的数学模型为^［19］

P_{\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{t}}=\mathrm{0.149}{n}^{\mathrm{0.589}}{a}_{\mathrm{p}}^{\mathrm{0.9222}}{f}^{\mathrm{0.2502}}{a}_{\mathrm{e}}^{\mathrm{0.2252}}

3.2.2 数据预处理

1）数据归一化。在样本数据集中，不同特征之间的数量级存在很大差异，如主轴转速和进给速度的数量级与切削深度和切削深度的数量级相差甚大，会导致模型的预测精度下降。本文利用最小最大化法^［20］对样本数据集进行归一化处理：

x^{\text{'}}=\frac{x-x_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}}{x_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}-x_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}}(x_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}^{\text{'}}-x_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}^{\text{'}})+x_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}^{\text{'}}

式中：x^{\text{'}}为经过归一化处理的样本数据；x_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}^{\text{'}}、x_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}^{\text{'}}分别为经过归一化处理后的样本数据取值区间的最大值和最小值；x为未经过归一化处理的样本数据；x_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}、x_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}分别为未经过归一化处理后的样本数据取值区间的最大值和最小值；本文选择的归一化区间为［0，1］。

2）数据集划分。在本文中，将正交试验的27组数据作为训练集，用以训练模型；同时，将验证试验的22组数据作为测试集，用以评估模型的预测性能。这种分离的数据集划分方式旨在确保模型训练和性能测试的独立性和有效性。

3.3 结果分析

3.3.1 试验结果

为分析并评价不同能效模型的预测性能，对BP神经网络模型（BPNN）、支持向量回归模型（SVR）、ELM-AdaBoost模型、机理模型、能效预测模型的预测值与实际值进行对比，结果如图6~图10所示。

为定量分析并比较不同模型在能效预测方面的表现，采用均方根误差（RMSE）、平均绝对误差（MAE）和平均绝对百分比误差（ MAPE）三种评价指标来评估模型的预测性能，结果如表3所示。

对比三种数据驱动模型在数控铣削能效预测上的表现可以得出，基于ELM-AdaBoost的能效模型的预测性能更佳。在ELM-AdaBoost、机理模型、能效预测模型的试验对比中，能效预测模型优于机理模型和ELM-AdaBoost。试验结果说明了基于能效预测模型预测数控铣削能效方法的有效性与优越性。

3.3.2 模型精度分析

本文构建的能效预测模型通过机理与数据的深度融合，在小样本场景下实现了预测精度的突破，其精度提升机制可从以下三方面展开解析。

1）比能值机理模型的物理约束与误差奠基作用。①机理模型的物理约束作用：传统数据驱动模型在小样本下易因数据分布稀疏出现异常预测，而比能值机理模型基于能量守恒与材料去除规律，明确了不同工艺参数组合下SEC的合理区间，从根源上约束了预测结果的合理性，减少了极端误差的产生。②机理模型的系统误差量化：机理模型虽无法完全刻画铣削过程中的各种效应，但其输出值与真实值的偏差具有明确的物理意义，即主要来源于未被机理方程覆盖的非线性能耗成分，这种结构化误差为后续数据模型的补偿目标提供了清晰指向，避免了数据模型盲目拟合噪声数据。

2）ELM-AdaBoost集成模型的误差补偿与泛化增强机制。①ELM的小样本适配性：ELM通过随机初始化输入层-隐含层权重与阈值，仅需求解输出层权重即可完成训练，在27组训练样本下仍能保持稳定的学习效率。②AdaBoost的误差聚焦能力：AdaBoost通过动态调整样本权重，使后续ELM弱学习器优先聚焦于前序模型预测误差较大的样本，AdaBoost在迭代中逐步提高其权重，使集成模型专门学习该类样本工况下的误差规律。③多弱学习器的协同增益：AdaBoost通过加权融合多个ELM弱学习器，将单一模型的随机误差进行均化，提升了预测结果的稳定性，这对小样本下模型的泛化能力至关重要。

3）机理-数据融合架构的协同增效原理。能效预测模型先通过机理模型输出初步SEC预测值，再以“机理预测值与真实值的误差”为目标，利用ELM-AdaBoost模型学习工艺参数与该误差的映射关系，最终实现误差补偿。这种“先粗估后精修”的模式使数据模型无需学习完整的能效映射关系，仅需聚焦于机理模型未覆盖的非线性误差成分，大幅降低了模型对样本数量的需求。

3.3.3 模型泛化潜力分析

能效预测模型在小样本条件下展现出良好的泛化能力，主要得益于机理模型与数据模型的合理分工与协同作用。机理模型基于能量守恒与材料去除规律，对能效变化趋势作出基本判断，在数据稀缺的情况下维持预测的合理性。数据模型聚焦于机理模型未能覆盖的误差部分，通过ELM-AdaBoost结构对残差进行建模与补偿，提升模型的适应性与稳定性。

在跨工况应用中，机理模型通过调整材料系数或工艺参数边界，仍可提供具有一定物理意义的预测结果，数据模型在此基础上对局部非线性误差进行修正，增强了模型对新工况的响应能力。这种“先建模、后修正”的策略，降低了对样本数量的需求，为模型在实际加工环境中的推广应用提供了基础。

4 数控铣削工艺参数多目标优化

4.1 能效优化模型构建

本文以主轴转速n、进给速度f、切削深度a_p和切削宽度a_e为优化变量，建立以最小比能值E_C和最低加工成本C为目标的优化模型，验证预测模型的工程应用价值。

加工成本聚焦核心构成要素，仅考虑刀具成本C_{\mathrm{t}}、电能成本C_{\mathrm{p}}和人工成本C_{\mathrm{w}}，目标函数为

C=C_{\mathrm{t}}+C_{\mathrm{p}}+C_{\mathrm{w}}=\frac{t_{\mathrm{m}}}{T_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{o}\mathrm{l}}}{C}_{\mathrm{t}\mathrm{1}}+E_{\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{e}}{C}_{\mathrm{p}\mathrm{1}}+t_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{l}}{C}_{\mathrm{w}\mathrm{1}}

式中：T_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{o}\mathrm{l}}为刀具寿命；C_{\mathrm{t}\mathrm{1}}为单个刀具成本；E_{\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{e}}为一次加工过程总电能消耗；C_{\mathrm{p}\mathrm{1}}为单位电价；t_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{l}}为总加工时间；C_{\mathrm{w}\mathrm{1}}为小时人工费用。

优化过程需满足机床与加工约束，刀具寿命约束范围为^［21］

\begin{array}{c}{T}_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{o}\mathrm{l}}=\frac{C_{\mathrm{T}}}{v^{x_{\mathrm{T}}}{f}_z^{y_{\mathrm{T}}}{a}_{\mathrm{p}}^{u_{\mathrm{T}}}{a}_{\mathrm{e}}^{w_{\mathrm{T}}}{z}^{p_{\mathrm{T}}}{D}^{q_{\mathrm{T}}}}\end{array}\ge \left[T\right]

式中：[T]为刀具使用寿命要求；C_{\mathrm{T}}为刀具使用寿命系数；x_{\mathrm{T}}、y_{\mathrm{T}}、u_{\mathrm{T}}、w_{\mathrm{T}}、p_{\mathrm{T}}、q_{\mathrm{T}}分别为切削速度v、每齿进给量f_z、切削深度a_{\mathrm{p}}、切削宽度a_{\mathrm{e}}、齿数z和刀具直径D关于刀具寿命的影响系数，均可通过切削手册获取。

加工工件的表面粗糙度必须满足零件质量的最低粗糙度要求：

Ra=\mathrm{318}\frac{f_z^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}D}\le \left[Ra\right]

式中：Ra为工件表面粗糙度；［Ra］为工件允许的最大表面粗糙度。

综上所述，可建立如下面向高能效的数控铣削工艺参数多目标优化模型：

\left.\begin{array}{l}\begin{array}{c}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}{E}_{\mathrm{C}}(n,f,a_{\mathrm{p}},a_{\mathrm{e}})\\ \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}C(n,f,a_{\mathrm{p}},a_{\mathrm{e}})\end{array}\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.n_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\le n\le n_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}{f}_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\le f\le f_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\\ a_{\mathrm{p}}\le \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}D{a}_{\mathrm{e}}\le \frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}D\\ P_{\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{t}}\le \eta P_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}Ra\le \left[Ra\right]\\ T_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{o}\mathrm{l}}\ge \left[T\right]\end{array}\right\}（3）

其中，\eta为最大切削功率占额定功率的比例。根据实际加工条件，并查询切削用量手册，数控铣削相关参数取值如表4所示。

4.2 优化求解与结果验证

采用\mathrm{N}\mathrm{S}\mathrm{G}\mathrm{A}-\mathrm{Ⅱ}算法求解多目标优化模型，算法参数设置为：种群个数S=100，最大迭代次数T_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=200，交叉概率P_{\mathrm{c}}=0.9，变异概率P_{\mathrm{m}}=0.1，自变量迭代步长分别为100、10、0.01、0.01，迭代到最大次数后得到的Pareto解集见图11。

利用熵权-TOPSIS方法对\mathrm{P}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{o}解集进行评价与决策，得到比能值E_C和加工成本C权重系数分别为0.5723和0.4277，然后通过TOPSIS法对非支配解集进行评价并获得评价后的排序结果，如表5所示，其中排序为1的方案即为Pareto解集待决策方案中的最优解。

由表5可知，数控铣削工艺参数多目标优化的最优解为n=10 500 r/min、f=760 mm/min、a_{\mathrm{p}}=0.48 mm、a_{\mathrm{e}}=0.56 mm、E_C=155.37 J/mm³、C=1.504元。为验证优化结果的合理性与优越性，使用优化后的工艺参数进行铣削加工试验，将最优解、优化后实际铣削试验结果和表2的最优工艺参数组合进行对比，如表6所示。

多目标优化最优解与铣削试验值的E_C误差为4.57%，加工成本C误差为2.27%，说明了利用NSGA-Ⅱ和熵权-TOPSIS方法求解数控铣削工艺参数多目标优化模型的有效性。对比铣削参数优化前后结果可知，使用优化后的工艺参数进行试验，对比优化前试验结果，比能值由207.55 J/mm³降低到162.81J/mm³，降低了21.56%，加工成本由1.675元降低到1.539元，降低了8.06%，说明优化后的工艺参数实现了提高能效和降低成本的目标，同时也证明了小样本下基于能效优化模型进行数控铣削工艺参数优化方法的有效性。

5 结论

本文针对小样本数据，结合正交试验设计，对各个模型进行了对比分析，建立了基于比能值机理模型和ELM-AdaBoost数据模型的能效预测模型，并在此基础上建立了以最小比能值和最低加工成本为目标，以主轴转速、进给速度、切削深度、切削宽度为优化变量的能效优化模型。针对能效优化模型使用\mathrm{N}\mathrm{S}\mathrm{G}\mathrm{A}-\mathrm{Ⅱ}算法进行求解，并通过熵权-TOPSIS方法对得到的\mathrm{P}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{o}解集进行评价与决策，最终选择最优工艺参数组合进行试验验证。试验结果表明优化方案的比能值降低了21.56%，加工成本降低了8.06%，证明了该方法的有效性。

本研究中刀具参数、切削路径、加工工艺也是影响铣削效果的一个重要因素，因此刀具参数、切削路径、加工工艺对铣削加工效益的影响会是下一步研究重点。

参考文献

[1] ZHAO G， ZHAO Y， MENG F， et al. Prediction Model of Machine Tool Energy Consumption in Hard-to-process Materials Turning［J］. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology， 2020， 106（9）： 4499-4508.

[2] SUWA H， SAMUKAWA T. Energy Efficiency in Machining Systems Based on Power-law Model for Specific Energy Consumption［J］. Procedia CIRP， 2022， 107： 931-936.

[3] LAI K， CAO H， LI H， et al. Coupling Evaluation for Material Removal and Thermal Control on Precision Milling Machine Tools［J］. Frontiers of Mechanical Engineering， 2022， 17（1）： 12.

[4] XIAO Y， JIANG Z， GU Q， et al. A Novel Approach to CNC Machining Center Processing Parameters Optimization Considering Energy-saving and Low-cost［J］. Journal of Manufacturing Systems， 2021， 59： 535-548.

[5] 李聪波，吴磊，沈欢，等.面向能耗的2.5D型腔数控铣削加工刀具组合优化选择［J］.计算机集成制造系统，2017，23（2）：293-304.

[6] LI Congbo， WU Lei， SHEN Huan， et al. Optimization of Tool Combination Selection in 2.5D Pocket NC Milling for Energy Consumption Reduction ［J］. Computer Integrated Manufacturing Systems， 2017， 23（2）： 293-304.

[7] ZHU L， WANG Y， ZHANG X， et al. Thermal Equilibrium Modeling of Cutting Zone Cooled by Supercritical CO₂： a Case Study on Ti-6Al-4V Validated with Experimental Data［J］. Journal of Manufacturing Processes， 2023， 98： 54-66.

[8] 周金华，任军学，蔡菊.基于RBF神经网络的航空叶片铣削残余应力预测［J］.计算机集成制造系统，2018，24（2）：361-370.

[9] ZHOU Jinhua， REN Junxue， CAI Ju. Prediction of Residual Stress for Machining Aviation Engine Blade Based on RBF Neural Network ［J］. Computer Integrated Manufacturing Systems， 2018， 24（2）： 361-370.

[10] 谢阳，戴逸群，张超勇，等. 融合集成模型与深度学习的机床能耗识别与预测方法［J］. 中国机械工程，2023，34（24）：2963-2974.

[11] XIE Yang， DAI Yiqun， ZHANG Chaoyong， et al. A Method for Identifying and Predicting Energy Consumption of Machine Tools by Combining Integrated Models and Deep Learning［J］. China Mechanical Engineering， 2023， 34（24）： 2963-2974.

[12] 鲍宏， 杨靖， 柯庆镝， 等. 基于支持向量回归的熔丝制造3D打印能效优化模型［J］. 中国机械工程， 2022， 33（18）： 2215-2226.

[13] BAO Hong， YANG Jing， KE Qingdi， et al. An Energy Efficiency Optimization Model of Fused Filament Fabrication 3D Printing Based on Support Vector Regression［J］. China Mechanical Engineering， 2022， 33（18）： 2215-2226.

[14] WANG Q， CHEN X， CHEN M， et al. A Rapid Modelling Method for Machine Tool Power Consumption Using Transfer Learning［J］. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology， 2024， 131（3）： 1551-1566.

[15] SU Y， LI C， ZHAO G， et al. Prediction Models for Specific Energy Consumption of Machine Tools and Surface Roughness Based on Cutting Parameters and Tool Wear［J］. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers， Part B： Journal of Engineering Manufacture， 2021， 235（6/7）： 1225-1234.

[16] AWAN M R， GONZÁLEZ ROJAS H A， HAMEED S， et al. Machine Learning-based Prediction of Specific Energy Consumption for Cut-off Grinding［J］. Sensors， 2022， 22（19）： 7152.

[17] BAO H， GUO S， ZHANG L， et al. Research on Process Parameter Collaborative Optimization of Non-metal Laser Cutting Based on Carbon Emission Modeling and Intuitionistic Fuzzy Sets［J］. Concurrent Engineering， 2020， 28（2）： 142-157.

[18] ZHAO X， LI C， TANG Y， et al. Reinforcement Learning-based Cutting Parameter Dynamic Decision Method Considering Tool Wear for a Turning Machining Process［J］. International Journal of Precision Engineering and Manufacturing—Green Technology， 2024， 11（4）： 1053-1070.

[19] PANGESTU P， PUJIYANTO E， ROSYIDI C N. Multi-objective Cutting Parameter Optimization Model of Multi-pass Turning in CNC Machines for Sustainable Manufacturing［J］. Heliyon， 2021， 7（2）： e06043.

[20] PAWANR S， KANT GARG G， ROUTROY S. Multi-objective Optimization of Machining Parameters to Minimize Surface Roughness and Power Consumption Using TOPSIS［J］. Procedia CIRP， 2019， 86： 116-120.

[21] NI Q， ZHUANG S， SHENG H， et al. An Ensemble Prediction Intervals Approach for Short-term PV Power Forecasting［J］. Solar Energy， 2017， 155： 1072-1083.

[22] WANG X， YANG Z， WONG P K， et al. Novel Paralleled Extreme Learning Machine Networks for Fault Diagnosis of Wind Turbine Drivetrain［J］. Memetic Computing， 2019， 11（2）： 127-142.

[23] 李鹏宇. 面向能效的数控铣削加工工艺参数优化模型及方法研究［D］. 重庆：重庆大学，2014.

[24] LI Pengyu. Research on Energy Efficiency OrientedCNC Milling Process ParametersOptimization Model and Method ［D］. Chongqing：Chongqing University， 2014.

[25] HE H， GARCIA E A. Learning from Imbalanced Data［J］. IEEE Transactions on Knowledge and Data Engineering， 2009， 21（9）： 1263-1284.

[26] 艾兴， 肖诗纲. 切削用量简明手册［M］. 3版. 北京： 机械工业出版社， 1994.

[27] AI Xing， XIAO Shigang. A Concise Manual of Cutting Parameters［M］. 3rd ed. Beijing： China Machine Press， 1994.

基金资助

国家重点研发计划(2020YFB1711604)

机械系统与振动国家重点实验室开放基金(MSV202114)

合工大智能院科技成果培育专项(Y2023AC0008)

国家自然科学基金(51505119)