自冲铆接头动态响应分析等效模型研究

Research on Equivalent Models for Dynamic Response Analysis of Self-piercing Rivet Joints

摘要

汽车车身在实际运行中时刻处于复杂路况导致的动态载荷作用下，而目前对自冲铆接（SPR）的研究集中于静态载荷响应分析，缺乏动态载荷的响应分析。提出了一种基于质量弹簧系统的自冲铆接接头动态建模分析方法。利用ABAQUS有限元分析识别自冲铆接头的拉伸、剪切刚度参数，将自冲铆接头与板材之间的连接抽象成为质量弹簧系统之间的连接关系；搭建了SPR三自由度非线性动态响应模型，利用有限元仿真对SPR动态响应等效模型进行验证。研究结果表明，SPR三自由度非线性动态响应模型可以实现对自冲铆接头动态响应的高效、准确预测。

Abstract

The vehicle bodies were subjected to dynamic loads arising from complex road conditions during actual operations， current research on SPR primarily focused on static load response analysis， with insufficient attention given to dynamic load response analysis. A dynamic modelling and analysis method for SPR joints was proposed based on a mass-spring system herein. ABAQUS finite element analysis was employed to identify the tensile and shear stiffness parameters of the SPR joints. The connection between the SPR joints and the sheet metal was abstracted as an interaction between mass-spring systems， establishing a three-degree-of-freedom nonlinear dynamic response model for SPR. Finite element simulation was used to validate the SPR dynamic response equivalent model. Research indicates that the SPR three-degree-of-freedom nonlinear dynamic response model enables efficient and accurate prediction of SPR joints dynamic responses.

Graphical abstract

关键词

自冲铆接头 / 动态响应 / 非线性分析 / 等效模型

Key words

self-piercing rivet（SPR） joint / dynamic response / nonlinear analysis / equivalent model

0 引言

自冲铆接（self-pierce riveting， SPR）是一种将两金属板通过铆钉刺穿，利用自锁结构形成连接的冷成形连接工艺，无需预先打孔，通过将带有凸环的铆钉直接压入软金属基材，利用铆钉与基材的变形实现永久性连接。相较于传统连接技术，SPR具有低能耗、环保、能够进行异种材料连接等优点，在汽车行业被广泛应用^［1］。由于SPR连接的静力学行为直接决定其结构承载性能与服役可靠性，同时也表现出复杂的非线性特征，因而静力学性能的研究成为近年来连接领域的热点^［2-4］，但静力学试验难以顾及失效过程中的微小变形与应力变化，因此，一些学者将有限元仿真与自冲铆接静力学试验相结合开展了相应研究。PORCARO等^［5］通过对比自冲铆接过程中的试验数据与利用LS-Dyna进行的r-自适应隐式求解技术仿真数据，证明了其试验技术的精确性。在此基础上，文献［6-7］结合试验与数值模拟，系统分析了AA6060-T4/T6铝板的SPR接头在准静态剪切/拉伸负载下的力学行为，分析了影响铆接质量的相关因素。MA等^［8］比较了传统SPR与摩擦自冲铆接（F-SPR）接头的静载性能，发现后者可在不降低强度的情况下有效抑制界面裂纹生成。ANG^［2］的试验结果进一步表明，随着设置速度的增加，拉剪强度提高明显，但过快的速度可能导致底板局部撕裂，降低剥离性能。ZHANG等^［9］通过球形模具有限元模型分析了模具直径和深度对接头力学性能的影响，发现适当增加模具尺寸可提高接头质量。ZHANG等^［10］针对5052铝合金，对自冲铆接中模具几何参数的变化进行了二维轴对称仿真，结果表明模具设计参数对铆接效率和接头性能具有显著影响。LIN等^［11］通过有限元仿真结合机器学习方法对自冲铆接接头的横向拉伸强度进行了预测，结果表明引入残余场参数可显著提高强度预测精度，他们的研究还揭示了材料屈服强度、铆钉几何尺寸及下板厚度对静载性能的关键影响。XUE等^［12］在此基础上建立了改进的简化连接单元模型，通过与静力学仿真及试验数据对比验证其在预测准静态拉伸与剪切响应时的准确性，证明该模型可在保持计算精度的同时显著提高分析效率。DOMITNER等^［13］采用系统的准静态剪切与拉伸试验，对比了自冲铆接、胶接及复合连接在不同铝合金板结构中的承载能力与破坏模式，结果显示自冲铆接具有更优的载荷承受稳定性与能量吸收特征。

自冲铆接静有限元研究可以很好地描绘出单个或多个自冲铆接头在受载时的力学行为，但有限元仿真不适于自冲铆接的大规模应用，因此研究者提出等效模型理论。等效模型是一种基于试验的简易模型，相较于有限元精细模型，它具有简单易用、精度较高的优点，尤其是在大规模仿真分析时，有限元方法碍于计算成本无法使用，而等效模型则可以发挥很好的作用，并得到较好效果。LI等^［14］提出了一种针对运载火箭螺栓法兰连接的新型简化动力学建模方法，传统的螺栓连接建模往往依赖有限元模型，计算量庞大且难以直接应用于系统级动力学分析，该方法可以有效地预测螺栓法兰连接的动态特性。YANG等^［15］利用三维有限元模型，将FRP钢筋-混凝土界面用非线性弹簧连接到质量节点上，实现了界面黏结力、滑移和结构惯性效应的联合分析。SI等^［16］以冷成形薄壁钢结构为研究对象，系统研究了SPR接头的抗剪强度与疲劳性能，通过剪切试验、疲劳试验及有限元分析，揭示了铆钉端距对接头承载力、失效模式及疲劳寿命的影响规律，并建立了疲劳寿命预测模型。HANSSEN等^［17］通过SPR的静力学试验识别了自冲铆接头的静力学行为并提出了大规模应用的SPR点连接器模型，能够高效准确地预测大规模自冲铆接的静力学连接行为。

综上可知，目前对SPR接头的静态失效行为的研究已经相对完善，但在实际服役环境中， SPR接头承受的往往是振动、冲击等的动态载荷，面对车身上数以百计的SPR接头，目前还缺少有效的应用于SPR接头动态响应分析的等效模型，导致无法进行SPR接头数量和位置优化，而这正是制约自冲铆接大规模推广应用的主要问题。为此，本文建立了应对SPR接头动态响应分析的等效模型，通过有限元仿真识别自冲铆接头的拉伸、剪切刚度参数，并利用有限元仿真对SPR动态响应等效模型进行验证。

1 SPR动态响应等效模型

自冲铆接所需要的材料包含冲头、压边圈、底模、铆钉以及上下板材，自冲铆接过程示意见图1，自冲铆接的过程可分为夹持、刺穿、展开和释放4个步骤。从自冲铆接成形过程的机理出发，将自冲铆接头的三维受力问题简化为二维受力模型在理论和工程上是合理且被广泛采用的。

自冲铆接头的二维受力如图2所示，高度为a的自冲铆接头在动态工况下主要受到横向的剪切力F_{\mathrm{S}}、纵向的拉伸力F_{\mathrm{T}}和转矩M。基于自冲铆接头的力学行为，搭建一种自冲铆接头三自由度等效动力学模型，将自冲铆接头的假设成为矩形质量块，自冲铆接头受到的剪切力与拉伸力抽象为剪切弹簧与拉伸弹簧变形而生成的剪切力与拉伸力。该模型作以下假设：①由于自冲铆接结构成形后铆钉与上下板材之间形成的互锁结构具有较好的轴对称性，可将该结构假设为受力均匀；②汽车车身在实际运行中承受的动态载荷主要属于高频微幅振动，在这种工况下，接头的位移响应远小于其几何特征尺寸，材料主要处于弹性阶段，因此可以假设系统连接区域满足小变形；③本文研究的重点在于建立能够准确反映接头固有频率和振型特征的等效模型，因此可以将自冲铆接结构设置为无阻尼状态。

自冲铆接头动态响应等效模型如图3所示，等效模型由质量块、剪切弹簧与拉伸弹簧组成，质量块的质量为m，长为b，高为a，其中O₁为质量块的质心，O为质量块下边中点位置。在质量块左右下角分别连接剪切弹簧1、3与拉伸弹簧2、4。质量弹簧系统受激励后质量块发生移动，此时质量块的转动惯量为J，转矩为M，此时质心O₁的横向位移为u，纵向位移为v，转角为\theta。

由刚体定轴转动速度相互关系可得

\left.\begin{array}{l}{\dot{u}}_{O_{\mathrm{1}}}=\dot{u}-r\dot{\theta }\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta =\dot{u}-r\dot{\theta }\\ \dot{v}{O}_{\mathrm{1}}=\dot{v}-r\dot{\theta }\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta =\dot{v}\\ \dot{\theta }{O}_{\mathrm{1}}=\dot{\theta }\end{array}\right\}（1）

r=\mathrm{2}/a

根据O点位移与模拟剪切弹簧及拉伸弹簧连接点的转换关系，可得

\left.\begin{array}{l}{\delta }_{\mathrm{1}}=u\\ {\delta }_{\mathrm{2}}=-\frac{b}{\mathrm{2}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta +v\approx v-\frac{b}{\mathrm{2}}\theta \\ {\delta }_{\mathrm{3}}=-u\\ {\delta }_{\mathrm{4}}=\frac{b}{\mathrm{2}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta +v\approx v+\frac{b}{\mathrm{2}}\theta \end{array}\right\}（2）

式中：{\delta }_i(i=\mathrm{1,2},\mathrm{3,4})为弹簧变形量。

可建立系统的无阻尼自由振动方程为

\mathit{M}\ddot{\mathit{x}}+\mathit{K}\mathit{x}=\mathrm{0}（3）

式中：\mathit{M}为质量矩阵；\mathit{x}为位移向量；\ddot{\mathit{x}}为加速度向量；\mathit{K}为刚度矩阵。

系统动能可表示为

T=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}m({\dot{u}}_{O_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+{\dot{v}}_{O_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}})+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}J{\dot{\theta }}^{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}m{\dot{u}}^{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}m{\dot{v}}^{\mathrm{2}}+

\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}(J+m{r}^{\mathrm{2}}){\dot{\theta }}^{\mathrm{2}}-mr\dot{u}\dot{\theta }（4）

假设系统所受到的剪切力F_{\mathrm{S}}与拉伸力F_{\mathrm{T}}随弹簧的变形量的增大而增大，形式如下：

\left.\begin{array}{l}{F}_{\mathrm{S}}=A{\delta }^{\mathrm{2}}+B\delta \\ F_{\mathrm{T}}=C{\delta }^{\mathrm{2}}+D\delta \end{array}\right\}（5）

此时该系统由振动所产生的剪切弹簧弹性势能U_{\mathrm{S}}与拉伸弹簧弹性势能U_{\mathrm{T}}为

\left.\begin{array}{l}{U}_{\mathrm{S}}={\int }_{\mathrm{0}}^{{\delta }_{\mathrm{2}}}(C{\xi }^{\mathrm{2}}+D\xi )\mathrm{d}\xi +{\int }_{\mathrm{0}}^{{\delta }_{\mathrm{4}}}(C{\xi }^{\mathrm{2}}+D\xi )\mathrm{d}\xi =\\ \frac{C}{\mathrm{3}}{{\delta }_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{3}}+\frac{D}{\mathrm{2}}{{\delta }_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}+\frac{C}{\mathrm{3}}{{\delta }_{\mathrm{4}}}^{\mathrm{3}}+\frac{D}{\mathrm{2}}{{\delta }_{\mathrm{4}}}^{\mathrm{2}}\\ U_{\mathrm{T}}=\mathrm{2}{\int }_O^{{\delta }_{\mathrm{1}}}(C{x}^{\mathrm{2}}+Dx)\mathrm{d}x=\frac{\mathrm{2}A}{\mathrm{3}}{{\delta }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{2}B}{\mathrm{2}}{{\delta }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}\end{array}\right\}（6）

将式（2）代入式（6）中，则系统的弹性势能表示为

U=U_{\mathrm{S}}+U_{\mathrm{T}}=\frac{\mathrm{2}A}{\mathrm{3}}{u}^{\mathrm{3}}+B{u}^{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{2}C}{\mathrm{3}}{v}^{\mathrm{3}}+

D{v}^{\mathrm{2}}+\frac{C{b}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}v{\theta }^{\mathrm{2}}+\frac{D{b}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}}{\theta }^{\mathrm{2}}（7）

拉格朗日方程通过动能与势能之差L描述系统动力学：

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i})-\frac{\partial L}{\partial q_i}=\mathrm{0}i=\mathrm{1,2},\mathrm{3}（8）

取广义坐标为q_{\mathrm{1}}=u、q_{\mathrm{2}}=v、q_{\mathrm{3}}=\theta，将式（4）、式（7）代入式（8）得到系统的无阻尼自由振动方程：

\left[\begin{array}{ccc}m& \mathrm{0}& -\frac{ma}{\mathrm{2}}\\ \mathrm{0}& m& \mathrm{0}\\ -\frac{ma}{\mathrm{2}}& \mathrm{0}& J-\frac{m{a}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\ddot{u}\\ \ddot{v}\\ \ddot{\theta }\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{2}A& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{2}C& \frac{C{b}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{u}^{\mathrm{2}}\\ v^{\mathrm{2}}\\ {\theta }^{\mathrm{2}}\end{array}\right]+

\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{2}B& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{2}D& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& b^{\mathrm{2}}(Cv+\frac{D}{\mathrm{2}})\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}u\\ v\\ \theta \end{array}\right]=\mathrm{0}（9）

在该非线性系统中，三个运动方程相互耦合，结合自冲铆接头实际工况，当系统在平衡点（u=\mathrm{0},v=\mathrm{0},\theta =\mathrm{0}）附近做微幅振动时，可忽略高阶非线性项，则此时该系统的无阻尼自由振动方程如下：

\left[\begin{array}{ccc}m& \mathrm{0}& -\frac{ma}{\mathrm{2}}\\ \mathrm{0}& m& \mathrm{0}\\ -\frac{ma}{\mathrm{2}}& \mathrm{0}& J-\frac{m{a}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\ddot{u}\\ \ddot{v}\\ \ddot{\theta }\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{2}B& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{2}D& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \frac{D{b}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{u}^{\mathrm{2}}\\ v^{\mathrm{2}}\\ {\theta }^{\mathrm{2}}\end{array}\right]=\mathrm{0}（10）

式（10）即可描述自冲铆接头的动态响应行为。

2 自冲铆接有限元建模及参数识别

2.1 自冲铆接有限元建模

本文建模仿真采用PORCARO等^［3］的自冲铆接试验条件，自冲铆接成形所需构建的模型包括铆钉冲头、压边圈、铆接钉、上下板材、凹模，其中凹模及铆钉的几何尺寸是影响铆钉成形质量的重要因素，铆钉及凹模的几何尺寸如图4所示。铆钉的材料参数及所选用的AA6060-T4铝合金材料参数如表1所示。

定义接触，采用“面-面”接触形式来模拟铆钉、模具与板材之间的相互作用。摩擦因数根据试验经验值设定为0.2，以保证材料流动行为的真实性。设置边界条件，下模固定不动，上模施加垂直位移，以驱动铆钉穿透上板并进入下板；为兼顾计算精度与效率，铆钉与接触区域的板材采用局部加密网格，网格最小尺寸为0.05~0.1 mm，以准确捕捉铆钉与板材间的塑性流动与材料间隙变化；非关键区域则采用较大单元尺寸以减小计算量。

上下板材的应力-应变曲线见图5。采用 ABAQUS/Explicit 求解器进行动力学显式积分计算，得到的自冲铆钉成形的载荷-位移仿真结果如图6所示。在第一阶段，铆钉与上板材发生接触后，铝板发生弹性变形，此时铆钉所受反力沿直线上升；第二阶段，当铆钉穿过上板但还未刺穿下板时，铆钉产生塑性变形，此时铆钉反力呈现出较为平缓的载荷上升；第三阶段，铆钉穿刺上板并继续挤下板，此时应力开始快速增加，为带有应力硬化效应的线性塑性变形阶段；第四阶段，当铆钉完成穿透上板后，铆钉逐渐穿透下层铝板致使下层铝板底部与模具完全接触，此时应力随应变呈现指数性增加。最终的整个自冲铆接成形仿真过程与PORCARO等^［3］的试验数据较为吻合，成形试验结果与仿真结果对比如图7所示，此仿真模型可用于后续自冲铆接板的拉伸剪切仿真。

2.2 SPR拉伸、剪切参数识别

将第2.1节中的自冲铆接成形结果模型嵌入到待拉伸、剪切仿真的板材中，该方法既保留了成形残余应力与接触状态，又能高效评估接头在结构件中的实际承载性能。自冲铆接板的剪切、拉伸模型如图8所示，通过约束下板位置，对上板施加相应位移，实现对自冲铆接头拉伸、剪切失效的仿真模拟。

自冲铆接板90°拉伸失效试验仿真的载荷位移和拉伸失效后效果如图9所示。由图9可以看出，变形第一阶段，载荷随位移成线性快速上升，外力开始作用于接头，导致上板材发生初步翘起，而下板材在约束下保持相对固定，此时，铆钉头部与上板接触区域主要承受拉伸应力，材料处于弹性变形范围内；第二阶段，随着位移增大，斜率开始放缓，进入塑性变形期，外力使上板发生明显的弯曲变形，导致自冲铆接头的内锁区域逐渐被拉开；第三阶段，载荷继续增大直至达到顶点，在此期间，接头内锁结构在拉力作用下产生塑性流动，上板孔边缘由于严重的应力集中开始萌生微小裂纹；第四阶段，超过峰值点后，载荷迅速下降，裂纹从上板孔边缘迅速扩展，导致上板最终被拉脱并与铆钉及下板组合体分离。由于仿真模型未充分考虑连接区域的微观断裂细节，所以仿真曲线在后段的下降速率及失效位移与试验数据存在一定误差。

自冲铆接板0°剪切失效试验仿真的载荷位移与剪切失效后的效果如图10所示。由图10可以看出，在发生剪切失效的第一阶段，外力呈线性加载特征，此时，铆钉与上下板材之间的间隙被消除，上下两块板材尚未产生明显的相对位移，接头处于稳定的弹性受力状态；第二阶段，随着外力的持续增大，板材进入塑性变形阶段，载荷增大速度放缓，在此过程中，上下板材之间发生明显的相对滑移，铆钉杆部受到强烈的剪切作用，并挤压周围板材形成塑性流动，当载荷达到峰值时，接头内锁区域的抗剪抗力达到极限；在第三阶段，达到峰值后，随着位移进一步增大，上板受拉扯部位出现裂纹并逐渐断裂，在板材被拉扯断裂的过程中，所受载荷缓慢下降，直至上下两板完全分离。同样由于仿真模型未充分考虑材料内部的细微断裂特征，所以仿真预测的峰值载荷及失效位移与试验值存在一定偏差。

由于自冲铆接头在实际工况中振动方式主要是在平衡点附近做微幅振动，因此本文所建立的动态响应等效模型所获取的拉伸、剪切刚度只需要考虑失效变形的第一阶段的刚度，即等效模型所提取的参数。仿真中产生的误差主要集中于后段曲线中，因此仿真中所产生的误差不影响等效模型的参数提取。

3 等效模型应用验证

利用有限元仿真方法，采用质量弹簧单元对所搭建的SPR动态响应分析等效模型进行验证，所构建的有限元模型如图11所示。有限元模型由质量点与弹簧组成，质量点质量设置为自冲铆接头的质量m=0.1 kg，同时从图9a与图10a中提取自冲铆接头的剪切刚度k_{\mathrm{s}}=\mathrm{4760}\mathrm{k}\mathrm{N}/\mathrm{m}\mathrm{m}、拉伸刚度k_{\mathrm{T}}=\mathrm{1125}\mathrm{k}\mathrm{N}/\mathrm{m}\mathrm{m}作为弹簧单元的刚度值。对动力学模型施加横向、纵向及斜向45°的脉冲力F=10 N，时间持续0.01 s，提取质量点的加速度响应曲线并进行傅里叶变换。对于所搭建的SPR动态响应分析等效模型，将质量点及剪切、拉伸刚度代入到式（10）中，提取等效模型质心点O₁的加速度响应情况，并进行傅里叶变换，分别得到图12所示的结构在冲击下的加速度响应与对应的傅里叶变换曲线。

从图12中可以看出，有限元仿真模型与所搭建的SPR动态响应分析等效模型具有较高的匹配度；在纵向、横向及耦合冲击下有限元模型及等效模型在频域曲线上出现相同主峰。峰值的差异来自于等效模型无法顾及到有限元模型设置的冲击响应时间，脉冲力F是在极短的时间内施加并撤去的。有限元模型需要通过应力波在网格单元间的传递来响应这一激励，且受到数值稳定时间步长的限制，这会导致高频能量在传播中产生细微的数值耗散。等效模型基于推导出的无阻尼自由振动方程，描述一种理想状态下的简谐运动或其组合，因此它能更完整地保留峰值幅值。这并不影响等效模型对自冲铆接头的动态响应的分析。整体来看，模型在不同方向激励下均能准确反映模型的动态响应特性，验证了所建SPR动态响应分析等效模型的合理性与有效性。

4 结论

1）基于自冲铆接头在二维受载状态下的力学简化假设，建立了由质量块、剪切弹簧及拉伸弹簧组成的三自由度非线性动力学模型，并通过拉格朗日方程推导系统的运动微分方程，提出了SPR动态响应分析等效模型理论。

2）提出了SPR动态响应分析等效模型理论的研究方法，通过提取自冲铆接头在拉伸与剪切下的载荷位移曲线，获得等效刚度参数并代入到等效模型公式中，进行了仿真验证。

3）通过质量弹簧系统的有限元分析验证了等效模型的准确性，构建了质量弹簧系统的动态响应模型，对比分析有限元模型与等效模型在脉冲载荷作用下的加速度时域响应与频域特征。通过傅里叶变换结果发现，等效模型与有限元模型的频域响应吻合良好，验证了所提出建模方法的正确性。

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基金资助

河南省科技攻关项目(242102241054)