复杂产品设计指标分解动态演化关联定量分析方法

Dynamic Evolution Correlation Quantitative Analysis Method of Complex Product Design Specification Decomposition

摘要

针对复杂产品设计指标演化过程中的复杂相互作用关系往往会使模块设计参数被高估或低估而导致设计反复迭代的问题，提出一种定量分析设计指标动态演化过程中的相互作用关系的方法。首先，以设计结构矩阵为基础，结合回归分析和灰熵关联度计算方法构建了设计指标耦合关联强度的计算模型，定量分析了设计指标分解的多重耦合关系；然后，引入群落生态学理论，提出了基于Lotka-Volterra模型的设计指标分解动态演化关联定量分析方法，表征设计指标分解过程中的相互作用关系，通过融合设计指标分解的耦合关联与演化关联定量分析结果来实现复杂产品设计指标分解动态演化关联关系的定量分析；最后，以高速列车转向架轴重和制动能力指标分解为例，验证了所提方法的可行性和有效性。

Abstract

Aiming at the problems that the complex interaction relationship in the evolution processes of the complex product design specification often caused the module design parameters to be overestimated or underestimated， which led to repeated iteration of design， a method was proposed for quantitatively analyzing the interaction relationship in the dynamic evolution processes of the design specifications. Firstly， based on the design structure matrix， combined with regression analysis and grey entropy correlation degree calculation method， the calculation model of design specification coupling correlation strength was constructed， and the multiple coupling relationship of design specification decomposition was quantitatively analyzed. Then， the theory of community ecology was introduced， and based on Lotka-Volterra model， a quantitative analysis method of dynamic evolution correlation of design specification decomposition was proposed to characterize the interaction relationship in the processes of design specification decomposition. By further integrating the quantitative analysis results of coupling correlation and evolution correlation of design specification decomposition， the quantitative analysis of dynamic evolution correlation relationship of complex product design specification decomposition was realized. Finally， taking the axle load and braking capacity specification decomposition of a high-speed train bogie as an example， the feasibility and effectiveness of the method were verified.

Graphical abstract

关键词

复杂产品 / 设计指标 / 关联建模 / 动态演化 / 定量分析

Key words

complex product / design specification / correlation modeling / dynamic evolution / quantitative analysis

0 引言

复杂产品的正向设计是一种系统分解的过程，即将产品的顶层设计指标逐级向下设计的一类设计方法，一般需要经过需求分析、概念设计、详细设计、仿真验证、测试验证多个阶段。产品设计指标（product design specification，PDS）是正向设计的输入，列举了产品的性能、环境、质量、生命周期等元素，可以用来衡量产品的技术性能^［1］。设计指标分解是一个将复杂的设计目标或总体设计指标按照一定的逻辑和层次关系，逐步拆解为多个更具体、更细化的子指标或参数的过程。然而，复杂产品层级结构复杂，多个层级指标之间存在着复杂的相互作用关系。构建产品设计指标之间的关联模型，并将设计指标准确分解至设计参数是保证产品先进性、功能与性能兼容性和参数匹配性的根本，是决定正向设计周期长短和成功与否的首要环节^［2］。

针对产品指标关联模型的构建，目前研究主要通过将性能目标与设计参数关联映射来实现，主要的方法有基于复杂网络理论的建模方法、基于设计结构矩阵（design structure matrix，DSM）的矩阵建模方法^［3］、基于灰色关联分析的建模方法^［4］等。复杂网络具有直观易读的特点，吴庆鸣等^［5］基于关联网络构建三层设计参数的逐层传递结构，实现了复杂产品的变型设计分析；詹敏等^［6］结合可拓基元对设计参数进行形式化的表达，通过构建产品参数基元网络模型优化了产品变更传播路径。设计结构矩阵便于研发流程过程逻辑的分析和优化重构，彭翔等^［7］利用关联矩阵构建设计变量与设计函数的耦合度矩阵，结合敏感度计算定性分析耦合度，实现了设计模型的分解；胡舟宇等^［8］提出一种层次进化的设计结构矩阵方法，描述了不同粒度区间元素关联关系；FAZELI等^［9］提出一种设计结构矩阵和扩展公理设计、质量功能展开方法相结合的方法来建立技术指标与参数之间的关联模型。

可见，当前国内外学者针对产品设计指标关联建模已开展了一定研究，大多集中在指标与设计参数之间的关联映射上。然而，复杂产品所涉及的指标和参数繁多，指标内部之间与参数内部之间也会存在强耦合关系，倘若不从全局定量分析设计指标分解的关联关系，则会造成得到的设计指标分解局部最优解难以满足整体性能要求。同时，在需求和技术的不断驱动下复杂产品族谱呈现渐进演化的模式^［10］，演化过程中形成的设计指标和设计参数相互作用关系也会对设计指标分解产生影响，倘若忽略演化过程中的关联关系，则会造成部分模块设计参数被高估或低估的问题，进而使得设计指标无法满足要求或限制功能结构的创新设计^［11］。近年来，围绕产品性能演化过程中性能指标间的交互作用已涌现出相关研究成果。ZHANG等^［12］引入群落生态学理论中的物种竞争合作模型即Lotka-Volterra方程建立了系统和组件与生态个体的映射关系，进而实现了系统性能的提高。群落生态学^［13］已在飞机工程技术演化预测^［14］、复杂产品指标分解^［15］和协同设计^［16］等领域得到成功应用，且在复杂产品的设计指标分解方向开展了初步探索^［2］。如何突破群落生态学与复杂产品设计指标分解不同学科的壁垒，实现复杂产品设计指标分解动态演化关联定量分析有待研究。

本文针对复杂产品设计指标演化过程中产生的设计指标分解动态演化关联关系，提出一种设计指标分解动态演化关联定量分析方法。首先以设计结构矩阵为基础，结合回归分析和灰熵关联度计算复杂产品设计指标耦合关联；进而引入群落生态学理论，基于Lotka-Volterra模型定量分析设计指标演化过程中的演化关联关系；然后提出耦合关联与演化关联的关联融合方法，形成全面的复杂产品设计指标分解关联模型；最后以高速列车转向架轴重和制动能力指标分解关联的定量分析为例验证所提方法的可行性。

1 设计指标分解关联特性分析及方法

复杂产品层级结构复杂，设计参数众多，设计指标在分解过程中存在复杂的关联关系，同时存在不同层级设计指标分解关联和同层级设计指标分解关联，这分别对应复杂产品顶层设计指标之间与模块设计参数之间的关联、各模块设计参数之间的关联。此外，随着需求和技术的不断驱动，复杂产品会呈现渐进演化的模式，对设计指标分解过程产生影响。基于上述不同维度出发，可以将复杂产品设计指标分解关联可以分为耦合关联和演化关联两类。

耦合关联指的是以某一特定的复杂产品为对象，在设计指标分解过程中产生的关联关系揭示单个产品内部的设计指标分解关联，是理解产品族谱各代产品共性与差异演化规律的基础，耦合关联中设计指标与设计参数之间的关联呈现多重耦合和表征模糊特点，体现在设计指标与设计参数之间存在关联、设计参数之间存在关联以及设计指标之间存在关联。

而演化关联则是从产品族演化视角下对耦合关联的补充。演化关联模型指的是复杂产品族谱演化过程中形成的相互作用关系。产品演化过程如产品的诞生、模块的替代升级、模块的优化和部件的替代升级再到新产品系统的出现会形成设计指标分解演化关联，通常可将设计指标分解的演化关联定义为抑制、冲突、促进和依赖四类，见表1。

为实现设计指标的合理分解，本文提出的复杂产品设计指标分解动态演化关联定量分析方法如图1所示。首先基于复杂产品设计指标分解关联特性分析，针对复杂产品设计指标分解中指标与参数之间存在多重耦合且关联表征模糊等问题，采用设计结构矩阵进行耦合关联的定量计算；然后针对复杂产品设计指标演化过程中的相互作用关系分析问题，借鉴群落生态学的研究方法，利用Lotka-Volterra模型进行设计指标分解演化关联建模；最后基于构建的关联模型将设计指标分解耦合关联强度融入至动态演化关联中，形成复杂产品指标与参数的综合关联强度，并提出求解方法以实现动态演化关联定量分析。

2 设计指标分解耦合关联强度计算

设计指标分解耦合关联建模是针对复杂产品顶层设计指标分解过程中产生的不同层级设计指标和参数、同层级设计指标或参数之间的多重耦合关联关系进行定量计算的过程，采用合适的方法进行关联模型的构建是实现耦合关联准确求解的关键。

2.1 基于设计结构矩阵的关联模型构造

针对复杂产品中存在不同层级的设计指标与设计参数关联关系，多域矩阵（multi-domain matrix，MDM）作为设计结构矩阵的发展，能够有效地处理不同领域之间的交互关系。复杂产品设计指标的综合关联矩阵由三部分组成：左上角为表征设计指标关联关系的矩阵 Y_m×m 、右下角为表征设计参数关联关系的矩阵 X_n×n 以及左下角（右上角）为表征设计指标与设计参数关联关系的矩阵 C_n×m。其中m为复杂产品设计指标的数量，n为复杂产品模块设计参数的数量。综合关联矩阵 A_{（m+n）×（m+n）}具备如下特点：①对称性，即矩阵中以对角线为对称轴的两个元素相等；②综合关联矩阵的行列元素数量为复杂产品设计指标和模块设计参数的数量之和，均为m+n；③主对角线元素值均为1，即主对角线元素前面m个元素代表设计指标之间的关联关系值，后面n个元素代表设计参数之间的关联关系值，且数值均为1。

2.2 设计指标分解耦合关联强度求解

针对复杂产品顶层设计指标和模块设计参数之间的关联表征模糊问题，需要采用合适的方法定量计算指标与参数之间的关联关系。常见的参数重要度计算方法（如质量功能展开和层次分析法）存在较强的主观性，代理模型敏感度计算法需要大量数据训练，无法考虑到自变量间相关性对整体的影响，可解释性较差。回归分析方法能表征因变量与一个或多个自变量之间的关系，能有效定量分析设计参数与性能目标之间的潜在关系。多元线性回归模型可表示为

\left.\begin{array}{l}\mathit{Y}=\mathit{X}\mathit{B}+\mathit{E}\\ \mathit{E}~N(\mathrm{0},{\sigma }^{\mathrm{2}}{\mathit{I}}_m)\end{array}\right\}（1）

\mathit{Y}=\left[\begin{array}{c}{y}_{\mathrm{1}}\\ y_{\mathrm{2}}\\ ⋮\\ y_m\end{array}\right]\mathit{X}=\left[\begin{array}{cccc}\mathrm{1}& x_{\mathrm{11}}& \cdots & x_{\mathrm{1}n}\\ \mathrm{1}& x_{\mathrm{21}}& \cdots & x_{\mathrm{2}n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ \mathrm{1}& x_{m\mathrm{1}}& \cdots & x_{mn}\end{array}\right]

\mathit{B}={\left[\begin{array}{ccccc}{\beta }_{\mathrm{0}}& {\beta }_{\mathrm{1}}& {\beta }_{\mathrm{2}}& \dots & {\beta }_n\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}

\mathit{E}=({\epsilon }_{\mathrm{1}},{\epsilon }_{\mathrm{2}},\dots ,{\epsilon }_m{)}^{\mathrm{T}}

式中：y_{i^{\text{'}}}(i^{\text{'}}=\mathrm{1,2},\dots ,m)为复杂产品的第i^{\text{'}}个顶层设计指标；x_{i^{\text{'}}{j}^{\text{'}}}(i^{\text{'}}=\mathrm{1,2},\cdots ,m;j^{\text{'}}=\mathrm{1,2},\cdots ,n)为第i^{\text{'}}个设计指标的第j^{\text{'}}个设计参数；{\beta }_{j^{\text{'}}}(j^{\text{'}}=\mathrm{1,2},\cdots ,n)为第j^{\text{'}}个模块设计参数所对应的回归系数；{\beta }_{\mathrm{0}}为截距，是所有模块设计参数取值为0时的值；\mathit{E}为m维随机误差向量；{\epsilon }_{i^{\text{'}}}(i^{\text{'}}=\mathrm{1,2},\dots ,m)为第i^{\text{'}}个设计指标的随机误差；{\sigma }^{\mathrm{2}}为误差方差；{\mathit{I}}_m为m阶单位矩阵。

利用回归分析计算模块设计参数对顶层设计指标的影响程度，主要包括两个方面：①设计指标和参数与多元线性回归模型的显著性，表征回归模型的有效性，如复相关系数检验、F检验；②复杂产品模块设计参数对顶层设计指标的影响程度，如标准化回归系数、t检验。

针对复杂产品同层级设计参数的关联分析，大都基于专家经验给出，缺乏有效的定量分析手段。复杂产品设计参数之间多数呈现非线性关系，灰色关联分析^［17］作为一种多因素统计分析方法，结合信息熵理论，能结合系统信息中的不确定性进行设计参数之间关联强度的计算。

2.3 基于多重耦合度的综合关联矩阵求解

通过回归分析和灰熵关联计算设计参数的重要度，然而在复杂产品指标分解过程中呈现出的多重耦合关联是无法计算的，因此在前面设计参数重要度的基础上，需要定义复杂产品设计指标与参数多重耦合度计算方法，以便对综合关联矩阵完整表达。

假设指标分解过程中涉及到m个设计指标以及n个设计参数，通过前述关联矩阵构建步骤即可得到设计指标与设计参数的关联关系矩阵 C_n×m 和设计参数的关联关系矩阵 X_n×n，分别通过回归分析和灰熵关联计算矩阵内部元素c_{j_{\mathrm{1}}{i}_{\mathrm{2}}}和x_{j_{\mathrm{1}}{j}_{\mathrm{2}}}。为体现各个设计指标权重的一致性，需对矩阵元素进行归一化处理，其表达式如下：

c_{j_{\mathrm{1}}{i}_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{*}}=M{c}_{j_{\mathrm{1}}{i}_{\mathrm{2}}}/{\displaystyle \sum _{i_{\mathrm{2}}=\mathrm{1}}^m}{c}_{j_{\mathrm{1}}{i}_{\mathrm{2}}}（2）

x_{j_{\mathrm{1}}{j}_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{*}}=N{x}_{j_{\mathrm{1}}{j}_{\mathrm{2}}}/{\displaystyle \sum _{j_{\mathrm{2}}=\mathrm{1}}^n}{x}_{j_{\mathrm{1}}{j}_{\mathrm{2}}}（3）

式中：c_{j_{\mathrm{1}}{i}_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{*}}(j_{\mathrm{1}}=\mathrm{1,2},\cdots ,n;i_{\mathrm{2}}=\mathrm{1,2},\dots ,m)为设计指标与设计参数关联关系矩阵中第j_{\mathrm{1}}个设计参数对第i_{\mathrm{2}}个设计指标的归一化重要度；c_{j_{\mathrm{1}}{i}_{\mathrm{2}}}为通过回归分析求得的设计参数对设计指标的重要度；M为所有设计指标与其对应的设计参数的重要度之和；x_{j_{\mathrm{1}}{j}_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{*}}(j_{\mathrm{1}},j_{\mathrm{2}}=\mathrm{1,2},\cdots ,n)为设计参数关联关系矩阵中第j_{\mathrm{1}}个设计参数与第j_{\mathrm{2}}个设计参数的归一化关联度；x_{j_{\mathrm{1}}{j}_{\mathrm{2}}}为通过灰熵关联求得的设计参数之间的关联度；N为所有设计参数与其余设计参数之间的关联度之和。

引入布尔型变量v，v值可反映设计指标与设计参数之间、各设计参数之间是否存在耦合关系，不体现耦合关联度的大小，其表达式如下：

v_{j_{\mathrm{1}}{i}_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{c}},v_{j_{\mathrm{1}}{j}_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{x}}=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{0}{c}_{j_{\mathrm{1}}{i}_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{*}},x_{j_{\mathrm{1}}{j}_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{*}}=\mathrm{0}\\ \mathrm{1}{c}_{j_{\mathrm{1}}{i}_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{*}},x_{j_{\mathrm{1}}{j}_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{*}}\ne \mathrm{0}\end{array}\right.（4）

式中：v_{j_{\mathrm{1}}{i}_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{c}}为第j_{\mathrm{1}}个设计参数与第i_{\mathrm{2}}个设计指标之间的布尔型变量；v_{j_{\mathrm{1}}{j}_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{x}}为第j_{\mathrm{1}}个设计参数与第j_{\mathrm{2}}个设计参数之间的布尔型变量。

若两个设计参数与同一个设计指标之间存在耦合关联，则其中一个设计参数取值会影响另一个设计参数的最优取值；若两个设计指标均与同一个设计参数之间存在关联，那这两个设计指标之间也存在间接耦合的关联。

两个设计指标之间的耦合度大小与如下两个方面有关：①设计指标分解下所有关联模块设计参数的重要度；②与两个设计指标同时存在关联关系的模块设计参数数量。设计指标自身耦合度为1，若两个设计指标的耦合模块设计参数越多，且与该设计指标相关的设计参数相对重要度越大，则这两个设计指标之间的耦合度越高，计算方法如下：

y_{i_{\mathrm{1}}{i}_{\mathrm{2}}}=\left\{\begin{array}{l}\frac{{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^n}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(c_{k{i}_{\mathrm{1}}},c_{k{i}_{\mathrm{2}}})}{{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^n}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(c_{k{i}_{\mathrm{1}}},c_{k{i}_{\mathrm{2}}})}(\mathrm{1}+\frac{{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^n}{v}_{k{i}_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{c}}{v}_{k{i}_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{c}}}{m})i_{\mathrm{1}}\ne i_{\mathrm{2}}\\ \mathrm{1}{i}_{\mathrm{1}}=i_{\mathrm{2}}\end{array}\right.（5）

式中：y_{i_{\mathrm{1}}{i}_{\mathrm{2}}}(i_{\mathrm{1}},i_{\mathrm{2}}=\mathrm{1,2},\dots ,m)为第i_{\mathrm{1}}个设计指标与第i_{\mathrm{2}}设计指标之间的耦合度；c_{k{i}_{\mathrm{1}}}、c_{k{i}_{\mathrm{2}}}分别为通过回归分析求得的第k个设计参数对第i_{\mathrm{1}}个设计指标和第i_{\mathrm{2}}个设计指标的重要度；v_{k{i}_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{c}}、v_{k{i}_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{c}}分别为第k个设计参数与第i_{\mathrm{1}}个设计指标和第i_{\mathrm{2}}个设计指标之间的布尔型变量，可由式（4）计算得到。

两个模块设计参数之间的耦合度大小与如下两个方面有关：①一个模块设计参数对另一个模块设计参数的影响度；②与两个模块设计参数同时存在关联的设计指标数量。设计参数自身关联度为1，若与设计参数同时存在关联的设计指标数量越多、设计参数与同层级设计参数的关联度越大，则两个设计参数的耦合度就越高，计算方法如下：

x_{j_{\mathrm{1}}{j}_{\mathrm{2}}}^{\text{'}}=\left\{\begin{array}{l}\frac{{\displaystyle \sum _{l=\mathrm{1}}^n}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(x_{l{j}_{\mathrm{1}}},x_{l{j}_{\mathrm{2}}})}{{\displaystyle \sum _{l=\mathrm{1}}^n}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(x_{l{j}_{\mathrm{1}}},x_{l{j}_{\mathrm{2}}})}(\mathrm{1}+\frac{{\displaystyle \sum _{l=\mathrm{1}}^n}{v}_{l{j}_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{x}}{v}_{l{j}_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{x}}}{n})j_{\mathrm{1}}\ne j_{\mathrm{2}}\\ \mathrm{1}{j}_{\mathrm{1}}=j_{\mathrm{2}}\end{array}\right.（6）

式中：x_{j_{\mathrm{1}}{j}_{\mathrm{2}}}^{\text{'}}(j_{\mathrm{1}},j_{\mathrm{2}}=\mathrm{1,2},\dots ,n)为第j_{\mathrm{1}}个设计参数与第j_{\mathrm{2}}个设计参数之间的关联度，x_{l{j}_{\mathrm{1}}}、x_{l{j}_{\mathrm{2}}}分别为通过灰熵关联求得的第l个设计参数与第j_{\mathrm{1}}个设计参数和第j_{\mathrm{2}}个设计参数之间的关联度；v_{l{j}_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{x}}、v_{l{j}_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{x}}分别为第l个设计参数与第j_{\mathrm{1}}个设计参数和第j_{\mathrm{2}}个设计参数之间的布尔型变量，可由式（4）计算得到。

3 设计指标分解动态演化关联建模及求解

3.1 设计指标分解生态映射

传统的设计指标关联建模方法难以有效应对复杂产品在产品演化过程中形成的设计指标分解关联关系，产品演化的实际数据无法得到有效应用，导致部分设计参数被高估或低估，进而限制复杂产品的创新设计。群落生态学是研究群落与环境相互关系的一门科学，对研究种群特性、物种组成与更新，以及群落的演替规律具有重要作用，它在产品设计中的研究方法大多可以描述为产品系统要素生态映射和系统要素的仿真分析。产品系统要素生态映射即将产品设计的各个要素映射为群落生态系统中的生态主体要素。系统要素的仿真分析即基于生态系统中的个体交互仿真分析探讨系统特性。

群落生态学中一个物种对另一个物种的作用可以简单地区分为有利、有害和无影响，分别表示该物种对另一物种的存活发展有益，该物种会阻碍另一物种的存活发展，该物种与另一物种之间并无直接的相关关系。复杂产品在演化过程中产生的演化关联关系（即抑制、冲突、促进、依赖）本质上是设计指标或参数个体之间有利、有害关系的体现。将两者融合即可总结出如下6类相互作用关系类型，如表2所示，其中“+”、“-”、“0”分别代表有利、有害、无影响关系。

3.2 基于Lotka-Volterra方程的设计指标分解关联建模

复杂产品设计指标分解关联建模可通过群落生态学中Lotka-Volterra方程（简称L-V方程）实现。L-V方程是表示两个物种关系的微分方程动态模型，用于模拟鲨鱼与鱼类之间的种群变化，经常用来模拟生态系统中的个体关系，经过不断发展形成了在工程系统中应用的一般形式，其表达式如下：

\left.\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}P(t)}{\mathrm{d}t}=a_{p}P(t)-b_{p}P{(t)}^{\mathrm{2}}+g_{pq}P(t)Q(t)\\ \frac{\mathrm{d}Q(t)}{\mathrm{d}t}=a_{q}Q(t)-b_{q}Q{(t)}^{\mathrm{2}}+g_{qp}Q(t)P(t)\end{array}\right\}（7）

式中：P(t)、Q(t)分别为系统要素P和Q随时间变化的函数；a_p、a_q分别为系统要素P和Q的内禀增长率；b_p、b_q分别为系统要素P和Q的增长阻力因素；g_{pq}、g_{qp}分别为系统要素Q对P的作用系数和系统要素P对Q作用系数。

复杂产品设计指标分解往往会涉及到多个模块部件的设计参数，当两个关联模型无法满足要求时，将其扩展为具有1个设计指标和n个模块设计参数的关联模型，其表达式如下：

\left.\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}{Y}_{\mathrm{0}}}{\mathrm{d}t}=a_{\mathrm{0}}{Y}_{\mathrm{0}}-b_{\mathrm{0}}{Y}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}+{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{C}_{\mathrm{0}{j}_{\mathrm{3}}}{Y}_{\mathrm{0}}{X}_{j_{\mathrm{3}}}\\ \frac{\mathrm{d}{X}_{\mathrm{1}}}{\mathrm{d}t}=a_{\mathrm{1}}{X}_{\mathrm{1}}-b_{\mathrm{1}}{X}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+C_{\mathrm{10}}{X}_{\mathrm{1}}{Y}_{\mathrm{0}}\\ \frac{\mathrm{d}{X}_{j_{\mathrm{3}}}}{\mathrm{d}t}=a_{j_{\mathrm{3}}}{X}_{j_{\mathrm{3}}}-b_{j_{\mathrm{3}}}{X}_{j_{\mathrm{3}}}^{\mathrm{2}}+C_{j_{\mathrm{3}}\mathrm{0}}{X}_{j_{\mathrm{3}}}{Y}_{\mathrm{0}}\\ \frac{\mathrm{d}{X}_n}{\mathrm{d}t}=a_n{X}_n-b_n{X}_n^{\mathrm{2}}+C_{n\mathrm{0}}{X}_n{Y}_{\mathrm{0}}\end{array}\right\}（8）

其中，Y_{\mathrm{0}}、X_{j_{\mathrm{3}}}（j₃=1，2，…，n）分别为复杂产品设计指标和第j_{\mathrm{3}}个模块设计参数；系数a_{\mathrm{0}}、a_{j_{\mathrm{3}}}（j₃=1，2，…，n）分别为复杂产品设计指标和第j_{\mathrm{3}}个设计参数的内禀演化率，可以为增长率或是下降率，与投入成本、指标自身特性相关；系数b_{\mathrm{0}}、b_{j_{\mathrm{3}}}（j₃=1，2，…，n）分别为复杂产品设计指标和第j_{\mathrm{3}}个设计参数的演化阻力率，往往决定了其演化的上下限，与环境、约束条件等因素相关；系数C_{\mathrm{0}{j}_{\mathrm{3}}}、C_{j_{\mathrm{3}}\mathrm{0}}（j₃=1，2，…，n）为设计指标和第j_{\mathrm{3}}个设计参数的交互项系数，分别表示第j_{\mathrm{3}}个设计参数S_{j_{\mathrm{3}}}对设计指标S_{\mathrm{0}}的作用关系以及设计指标S_{\mathrm{0}}对第j_{\mathrm{3}}个设计参数S_{j_{\mathrm{3}}}的反作用关系。

通过比较模型中的相互作用系数，可得到6种演化关联所对应的C_{\mathrm{0}{j}_{\mathrm{3}}}和C_{j_{\mathrm{3}}\mathrm{0}}取值，如表3所示。

3.3 基于复杂产品演化数据的关联模型求解

关联模型的求解实质上是利用复杂产品指标和参数演化数据进行未知系数拟合的过程，L-V方程属于微分方程组，解析解无法直接求得，需要先进行L-V方程的数值求解，随后利用优化算法根据时间序列拟合模型系数。4阶龙格库塔法作为求解微分方程的常用方法，具有精度高、程序简单的特点，因此可采用4阶龙格库塔法求解方程的数值解。

数据拟合的过程主要包括系数初始值的确定以及系数最优值的搜寻两个部分。通过模拟退火^［18］算法进行L-V方程系数初始局部最优值的搜寻，随后利用最小二乘法进一步拟合模型系数，以达到精度要求，如图2所示，具体步骤如下。

1）设定初始温度T₀、降温系数α以及最大迭代次数V_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}，并将该降温系数作为后续迭代过程的降温准则；在迭代过程中，第v+1次迭代的温度T_v+1的计算表达式为。

2）形成一组初始系数解x₀，将x₀代入至L-V方程中，利用Runge-Kutta得到设计指标及参数的数值解，并计算目标函数F（x₀），定义为方程数值解与实际数据之间的偏差。

3）通过扰动产生一个新解x₁，计算F（x₁）并判断其与F（x₀）的大小，若F（x₁）≤F（x₀），则接受新解x₁；否则，按照Metropolis准则接受x₁。

4）判断是否达到最大迭代次数以及收敛条件，若达到则输出最优初始解；否则，按照降温策略更新温度T₁，重复上述过程，最终输出L-V方程局部最优初始系数。

5）将上述求出的初始解代入并求解L-V方程，得到不同数据点设计指标和参数的数值解X和Y。

6）计算X、Y与设计指标和参数实际数据点之间的误差，并作为计算的目标函数。

7）判断是否满足收敛条件和精度要求，若均满足，则输出L-V方程最优拟合系数；否则，利用优化算法（如梯度下降法）重新调整系数值，并返回到步骤5）。

4 关联模型融合

在复杂产品指标分解耦合关联分析中，直接建立顶层设计指标与模块设计参数的关联模型使得关联求解复杂度增加，因此引入模块总体参数，通过计算模块总体参数与模块设计参数间的关联强度来体现设计指标与模块设计参数的关联。多数模块设计参数难以体现演化规律，通过计算模块总体参数与模块设计参数间的耦合关联强度来体现设计指标与模块设计参数的关联，通过计算设计指标与模块总体参数间的演化关联强度来体现设计指标与模块设计参数的关联。将上述两类关联模型融合形成全面的复杂产品设计指标分解关联模型，如图3所示。

以复杂产品设计指标y₁的分解为例，y₁的分解涉及到s个模块M_u （u=1，2，…，s），与y₁相关的各个模块设计参数数量均为t，则第u个模块的第v个设计参数可以表示为{\xi }_{uv}（u=1，2，…，s；v=1，2，…，t），模块总体参数可表示为模块设计参数的函数，记为z_u =f（{\xi }_{u\mathrm{1}}，{\xi }_{u\mathrm{2}}，…，{\xi }_{uv}）（u=1，2，…，s；v=1，2，…，t）。通过计算得到模块总体参数z_u 与模块设计参数{\xi }_{uv}之间的耦合关联强度、设计指标y₁与模块总体参数z_u 之间的演化关联强度，则设计指标y₁与设计参数{\xi }_{uv}之间的关联强度R_u 的计算表达式为

R_u={\displaystyle \sum _{u=\mathrm{1}}^s}{\displaystyle \sum _{v=\mathrm{1}}^t}{\alpha }_{uv}{w}_{\mathrm{2}}(z_u,y_{\mathrm{1}})（9）

式中：{\alpha }_{uv}为设计参数{\xi }_{uv}与模块总体设计参数z_u 的关联强度；w_{\mathrm{2}}(z_u,y_{\mathrm{1}})表示模块总体设计参数z_u 与设计指标y₁的关联强度，z_u={\displaystyle \sum _{v=\mathrm{1}}^t}{\alpha }_{uv}{\xi }_{uv}。

5 实例研究与应用验证

高速列车转向架轴重与制动能力的设计指标分解存在较强的耦合相关，以高速列车转向架轴重和制动能力指标分解为例说明上述方法的应用。

5.1 转向架轴重和制动能力耦合关联模型构建

从转向架设计指标分解体系中提取与轴重和制动能力相关的关键模块为构架、轮对以及制动模块。考虑到构架、轮对和制动模块的设计参数众多，本文选取具有关键影响的设计参数进行分析^［19］，如表4所示。通过前述耦合关联计算方法构建综合关联矩阵（下三角），如图4所示。

以轴重设计参数中构架设计参数耦合关联强度计算为例说明上述矩阵求解步骤，构架关联的设计参数为x₁~x₅，在构架材料确定的前提下质量可以转换为构架的体积，为便于分析，以构架的体积代替质量作为构架模块的总体参数，结合设计参数的取值范围，利用试验设计的方法得到多组设计参数集。利用SolidWorks转向架三维模型改变设计参数得到构架的不同体积，部分数据如表5所示。

利用MATLAB进行回归分析，取显著性水平为0.05，查找F分布表得到回归模型的F检验临界值为2.621，计算得到的F检验值为27.3，大于临界值，验证了回归方程的整体有效性。依次进行t检验以及标准化回归系数检验，并取两种检验值的权重系数分别为0.8与0.2，得到结果如表6所示。采用灰熵关联度计算方法从表5中抽取参考和比较序列，得到构架设计参数的关联度如表7所示。

轮对关联的设计参数为x₆~x₁₃，制动能力关联的设计参数为x₁₃~x₁₉以及x₆、x₉、x₁₂，耦合关联强度与上述轴重耦合关联强度计算一致。

5.2 转向架轴重和制动能力演化关联模型求解

基于前述参数选取和演化关联模型求解方法，对转向架轴重和制动能力进行演化关联模型构建和求解工作。模拟退火算法的初始温度设置为100 ℃，冷却速率取0.9，中止温度为0.001，最大迭代次数选择为1000。L-V方程中，a、b、C为待拟合参数，定义a的初值为0，下限为0，上限取正无穷；定义b的初值为0，下限为0，上限为正无穷；定义C的初值为0，取值区间为负无穷到正无穷。得到的拟合后轴重和制动能力演化关联模型分别如下：

\left.\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}{Y}_{\mathrm{0}}}{\mathrm{d}t}=\mathrm{5.70}{Y}_{\mathrm{0}}-\mathrm{6.97}{Y}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{5.53}{Y}_{\mathrm{0}}{X}_{\mathrm{1}}+\mathrm{4.94}{Y}_{\mathrm{0}}{X}_{\mathrm{2}}\\ \frac{\mathrm{d}{X}_{\mathrm{1}}}{\mathrm{d}t}=\mathrm{11.69}{X}_{\mathrm{1}}-\mathrm{5.51}{X}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{19.37}{X}_{\mathrm{1}}{Y}_{\mathrm{0}}\\ \frac{\mathrm{d}{X}_{\mathrm{2}}}{\mathrm{d}t}=\mathrm{2.45}{X}_{\mathrm{2}}-\mathrm{2.12}{X}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{5.17}{X}_{\mathrm{2}}{Y}_{\mathrm{0}}\end{array}\right\}（10）

\left.\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}{Y}_{\mathrm{0}}}{\mathrm{d}t}=\mathrm{0.34}{Y}_{\mathrm{0}}-\mathrm{0.38}{Y}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{0.18}{Y}_{\mathrm{0}}{X}_{\mathrm{1}}+\\ \mathrm{2.18}{Y}_{\mathrm{0}}{X}_{\mathrm{2}}-\mathrm{1.46}{Y}_{\mathrm{0}}{X}_{\mathrm{3}}\\ \frac{\mathrm{d}{X}_{\mathrm{1}}}{\mathrm{d}t}=\mathrm{0.19}{X}_{\mathrm{1}}-\mathrm{0.29}{X}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}\\ \frac{\mathrm{d}{X}_{\mathrm{2}}}{\mathrm{d}t}=\mathrm{0.28}{X}_{\mathrm{2}}-\mathrm{0.22}{X}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{0.03}{X}_{\mathrm{2}}{Y}_{\mathrm{0}}\\ \frac{\mathrm{d}{X}_{\mathrm{3}}}{\mathrm{d}t}=\mathrm{0.82}{X}_{\mathrm{3}}-\mathrm{0.71}{X}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{0.25}{X}_{\mathrm{3}}{Y}_{\mathrm{0}}\end{array}\right\}（11）

式（10）中，Y₀、X₁、X₂分别为平均轴重、构架质量和轮对质量；式（11）中，Y₀、X₁、X₂、X₃分别为制动力、紧急制动减速度、车轴理论最大截面应力和转向架质量。

5.3 转向架轴重和制动能力分解模型构建及求解

结合前述轴重和制动能力耦合关联以及演化关联求解结果，将耦合和演化关联强度进行归一化处理，并计算出设计指标与设计参数之间的综合关联矩阵。对轴重和制动能力分解的综合关联矩阵依次进行降维、聚类处理，得到聚类后的耦合度矩阵二元树如图5所示，其中横坐标表示轴重和制动能力的设计参数样本索引，索引1~19表示x₁~x₁₉，索引20~24表示y₁~y₅；综合关联矩阵降至二维空间后，综合关联矩阵新的行和列转化为二元树分支，纵坐标中的设计模型距离则表示相邻分支之间的距离。将轴重和制动能力划分为3个设计模型，分别是由y₁、y₅和x₁~x₅组成的设计模型1，由y₂、y₃和x₆~x₁₃组成的设计模型2，以及由y₄和x₁₄~x₁₉组成的设计模型3，计算得到3个设计模型的聚合度依次为0.6027、1.1104和2.7898。

对于构架质量、轮对质量等模块总体设计参数，与模块设计参数之间并无理论计算公式，利用数据样本进行2阶多项式的拟合，得到构架质量和轮对质量分别与设计参数之间的关系式为

\begin{array}{c}{f}_{\mathrm{1}}(x)=\mathrm{0.3864}+\mathrm{0.3312}{x}_{\mathrm{1}}-\mathrm{0.2568}{x}_{\mathrm{2}}+\mathrm{0.6976}{x}_{\mathrm{3}}+\\ \mathrm{0.1129}{x}_{\mathrm{4}}+\mathrm{0.8188}{x}_{\mathrm{5}}-\mathrm{0.0228}{x}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}-\end{array}

\mathrm{0.3362}{x}_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}+\mathrm{0.5519}{x}_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{3}}+\cdots（12）

\begin{array}{c}{f}_{\mathrm{2}}(x)=\mathrm{0.0328}+\mathrm{0.0827}{x}_{\mathrm{1}}+\mathrm{0.0982}{x}_{\mathrm{2}}+\mathrm{0.2724}{x}_{\mathrm{3}}+\\ \mathrm{0.1123}{x}_{\mathrm{4}}+\mathrm{0.1458}{x}_{\mathrm{5}}+\mathrm{0.1574}{x}_{\mathrm{6}}-\mathrm{0.0334}{x}_{\mathrm{7}}-\end{array}

\mathrm{0.0910}{x}_{\mathrm{8}}+\cdots（13）

式（12）中，f₁（x）表示构架质量，x₁~x₅表示构架的设计参数；式（13）中，f₂（x）表示轮对质量，x₁~x₈表示轮对的设计参数。经过测试集验证，构架质量和轮对质量的多项式代理模型拟合精度分别为0.935和0.921，符合精度要求。

协同分配法是一种解决设计参数最优分配问题的方法，将设计参数分解问题分为主系统和子系统规划，通过一致性约束协调参数的分配。在转向架设计模型划分的基础上，借鉴协同分配法的思想进行转向架设计指标分解模型的构建。构架质量、轮对质量、制动力的设计模型分别由F_{\mathrm{T}\mathrm{P}\mathrm{1}}\sim F_{\mathrm{T}\mathrm{P}\mathrm{3}}表示，其表达式如下：

\left.\begin{array}{l}\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}{F}_{\mathrm{T}\mathrm{P}\mathrm{1}}=(m_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{1}}\sim x_{\mathrm{5}})\\ \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}{J}_{\mathrm{1}}=(F_{\mathrm{T}\mathrm{P}\mathrm{1}}-F_{\mathrm{T}\mathrm{P}\mathrm{1}}^{\mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{s}}{)}^{\mathrm{2}}+(m_{\mathrm{1}}-m_{\mathrm{1}}^{\mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{s}}{)}^{\mathrm{2}}\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.m_{\mathrm{1}}=\mathrm{0.3864}+\mathrm{0.3312}{x}_{\mathrm{1}}-\mathrm{0.2568}{x}_{\mathrm{2}}+\mathrm{0.6976}{x}_{\mathrm{3}}+\\ \mathrm{0.1129}{x}_{\mathrm{4}}+\mathrm{0.8188}{x}_{\mathrm{5}}-\mathrm{0.0228}{x}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{0.3362}{x}_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}+\\ \mathrm{0.5519}{x}_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{3}}+\cdots \\ F_{\mathrm{T}\mathrm{P}\mathrm{1}}\in [a_{\mathrm{1}}^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}},b_{\mathrm{1}}^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}]\end{array}\right\}（14）

\left.\begin{array}{l}\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}{F}_{\mathrm{T}\mathrm{P}\mathrm{2}}=(m_{\mathrm{2}},x_{\mathrm{6}}~x_{\mathrm{13}})\\ \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}{J}_{\mathrm{2}}=(F_{\mathrm{T}\mathrm{P}\mathrm{2}}-F_{\mathrm{T}\mathrm{P}\mathrm{2}}^{\mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{s}}{)}^{\mathrm{2}}+(m_{\mathrm{2}}-m_{\mathrm{2}}^{\mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{s}}{)}^{\mathrm{2}}\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.m_{\mathrm{2}}=\mathrm{0.0328}+\mathrm{0.0827}{x}_{\mathrm{1}}+\mathrm{0.0982}{x}_{\mathrm{2}}+\mathrm{0.2724}{x}_{\mathrm{3}}+\\ \mathrm{0.1123}{x}_{\mathrm{4}}+\mathrm{0.1458}{x}_{\mathrm{5}}+\mathrm{0.1574}{x}_{\mathrm{6}}-\mathrm{0.0334}{x}_{\mathrm{7}}-\\ \mathrm{0.0910}{x}_{\mathrm{8}}+\cdots \\ F_{\mathrm{T}\mathrm{P}\mathrm{2}}\in [a_{\mathrm{2}}^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}},b_{\mathrm{2}}^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}]\end{array}\right\}（15）

\left.\begin{array}{l}\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}{F}_{\mathrm{T}\mathrm{P}\mathrm{3}}=(B,x_{\mathrm{14}}~x_{\mathrm{19}})\\ \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}{J}_{\mathrm{3}}=(F_{\mathrm{T}\mathrm{P}\mathrm{3}}-F_{\mathrm{T}\mathrm{P}\mathrm{3}}^{\mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{s}}{)}^{\mathrm{2}}+(B-B_{}^{\mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{s}}{)}^{\mathrm{2}}\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.B=(x_{\mathrm{15}}{x}_{\mathrm{16}}{x}_{\mathrm{17}}{x}_{\mathrm{18}}{x}_{\mathrm{19}}{x}_{\mathrm{13}})/({\mathrm{10}}^{\mathrm{6}}{x}_{\mathrm{14}}{x}_{\mathrm{12}})\\ F_{\mathrm{T}\mathrm{P}\mathrm{3}}\in [a_{\mathrm{3}}^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}},b_{\mathrm{3}}^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}]\end{array}\right\}（16）

轴重、制动减速度的主规划设计模型由F_{\mathrm{T}\mathrm{P}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}}表示，其表达式如下：

\left.\begin{array}{l}\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}{F}_{\mathrm{T}\mathrm{P}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}}=(F_{\mathrm{T}\mathrm{P}\mathrm{1}},F_{\mathrm{T}\mathrm{P}\mathrm{2}},F_{\mathrm{T}\mathrm{P}\mathrm{3}},m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}},B)\\ \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\overline{M}=(m_{\mathrm{1}}+m_{\mathrm{2}}+m_{\mathrm{0}})/n_{\mathrm{1}}\\ \delta =-B/[{\mathrm{10}}^{\mathrm{6}}{M}_{\mathrm{1}}(\mathrm{1}+\gamma )]\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.J_{\mathrm{1}}=(F_{\mathrm{T}\mathrm{P}\mathrm{1}}-F_{\mathrm{T}\mathrm{P}\mathrm{1}}^{\mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{s}}{)}^{\mathrm{2}}+(m_{\mathrm{1}}-m_{\mathrm{1}}^{\mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{s}}{)}^{\mathrm{2}}\le \varphi \\ J_{\mathrm{2}}=(F_{\mathrm{T}\mathrm{P}\mathrm{2}}-F_{\mathrm{T}\mathrm{P}\mathrm{2}}^{\mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{s}}{)}^{\mathrm{2}}+(m_{\mathrm{2}}-m_{\mathrm{2}}^{\mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{s}}{)}^{\mathrm{2}}\le \varphi \\ J_{\mathrm{3}}=(F_{\mathrm{T}\mathrm{P}\mathrm{2}}-F_{\mathrm{T}\mathrm{P}\mathrm{3}}^{\mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{s}}{)}^{\mathrm{2}}+(B-B_{}^{\mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{s}}{)}^{\mathrm{2}}\le \varphi \\ F_{\mathrm{T}\mathrm{P}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}}\in [a_{\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}}^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}},b_{\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}}^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}]\end{array}\right\}（17）

式中：m₁为转向架构架的质量；x₁~x₅为构架的设计参数；m₂为转向架轮对的质量；x₆~x₁₃为轮对的设计参数；B为列车制动力的大小；x₁₄~x₁₉为制动的设计参数；J_e （e=1，2，3）为第e个设计模型在主规划分配取值下的一致性约束；上标sys表示此时设计变量取值为主优化F_{\mathrm{T}\mathrm{P}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}}的分配结果；\overline{M}为转向架的平均轴重；m₀为转向架除构架、轮对质量外的其余部分质量；n₁为转向架轴数，δ为列车的制动减速度；M₁为列车的计算整备质量；γ为列车的回转质量系数；\varphi为一致性约束限界值；a_e^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}、b_e^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}（e=1，2，3）分别为第e个设计模型设计变量的最小限界值和最大限界值；a_{\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}}^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\mathrm{、}{b}_{\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}}^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}分别为主规划模型设计变量的最小限界值和最大限界值。

5.4 结果分析

根据车型实际数据设置构架质量、轮对质量以及列车制动力模块总体参数的初始值，取初始值上下浮动20%作为约束范围。考虑到构建的主优化目标函数存在两个，采用较为成熟的非支配排序遗传算法进行模型的求解得到Pareto前沿解，并结合逼近理想解排序法（TOPSIS）方法设置构架质量、轮对质量最小值和列车制动力最大值为正理想解，结合层次分析法获得特征向量权重，对前沿解进行排序，并筛选出最优方案。3个设计模型的一致性误差收敛效果如图6所示，可以发现在第40次以后的变化趋势趋于水平，可认为优化收敛，目标函数值达到最小，对应的各个设计模型中的设计参数取值也可认为是最优分解结果。

在求解过程中制动形式、车轮直径等参数取值都是离散数据点，在交叉变异时的取值范围为离散数据集合。以构架为例，根据标准JISE4207《铁道车辆用转向架构架设计通则》，构架的板厚取值应在｛6，8，9，12，14，16 ｝mm中。通过协同分配法得到构架、轮对以及制动模块设计参数的最优分解结果，如表8所示，可以看出，设计参数分解值与实际数据间的偏差均在5%以下，在可接受范围之内。

设计参数最优分解值对应的构架质量、轮对质量以及列车制动力三个模块总体参数与实际值之间的对比如表9所示，可以看出，在满足车轴应力约束等条件限制下，利用本文方法分解得到的部分构架、轮对的设计参数（如横梁钢管壁厚、横梁钢管直径、车轴空心内径等）在已有的数据上实现了一定程度的降低，导致构架质量、轮对质量分别减小约0.805%和1.133%，转向架的轻量化水平得到提高，列车制动力在原有基础上增大了约4.74%。利用本文设计指标分解结果得到的平均轴重和制动减速度分别为12.34 t和1.076 m/s²，而该型车的实际数据分别为12.5 t和1.01 m/s²，相比之下，列车的平均轴重降低、制动减速度增大，表明轴重和制动减速度的设计指标分解结果较好。

与传统方法将轴重和制动能力进行单独分解不同，本文方法以综合关联强度划分的设计模型为基础，考虑轴重和制动能力分解耦合关联和动态演化关联，进而构建轴重和制动能力分解模型，实现了耦合设计参数的全局考虑，在设计指标合理分解的同时还可以实现轴重与制动能力的优化。

6 结论

1）针对产品设计指标分解呈现设计指标与参数多重耦合关联的问题，提出了一种产品设计指标分解综合关联矩阵的建模方法，以回归分析结合灰熵关联度为基础定量计算产品设计指标与参数间的多重耦合度，构建设计指标分解耦合关联模型。

2）引入群落生态学理论，提出了一种基于Lotka-Volterra方程的设计指标分解动态演化关联定量分析方法，利用模拟退火算法结合最小二乘法实现产品设计指标与参数演化关联求解。将产品设计指标演化关联融入设计指标分解耦合关联中，得到设计指标与参数的综合关联强度。

3）以高速列车转向架轴重和制动能力的分解关联为例，利用协同分配法进行轴重和制动能力分解的验证，并与实际数据对比分析证明方法的有效性和适用性。

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基金资助

国家自然科学基金(52575315)