基于纤维-气动耦合的变刚度蛇形机器人分层驱动器设计及其多步态研究

Design and Multi-gait Implementation of Layered Actuators Based on Fiber-Pneumatic Coupled Variable-stiffness Snake Robots

摘要

针对轮式蛇形机器人在复杂地形中易翻倒、适应性不强的问题，提出了一种基于纤维干扰变刚度原理的多步态气动蛇形机器人。该机器人气腔采用三层结构气动驱动器，通过气压调控实现刚度动态调整，并结合模块化设计集成气泵、电磁阀及单向轮等组件。实验结果表明，驱动器弯曲角度与气压成正相关，双层气腔结合纤维增强的设计使承载能力显著提高。通过协调转向与承载驱动器，机器人可完成蛇形直线运动、C形转角运动及手风琴型运动，并跨越自身高度三分之一的障碍物。模块化结构降低了维护成本，支持快速功能扩展。研究结果为轮式软体蛇形机器人提供了高效驱动方案，为其在救援、管道检测等复杂场景的应用奠定基础。

Abstract

To address the issues of wheeled snake robots， such as easy toppling and poor adaptability in complex terrains， a pneumatic snake robot with multiple gaits was proposed based on the principle of fiber interference variable stiffness. The robot used a triple-layer structure pneumatic actuator to dynamically adjust stiffness via air pressure. The modular design integrated components such as air pumps， electromagnetic valves， and unidirectional wheels. The experimental results show that the bending angle of the actuator is positively correlated with the air pressure. The design of dual-cavity combined with fiber reinforcement significantly enhances the load-bearing capacity. By coordinating the steering and load-bearing actuators， the robot may perform serpentine linear motion， C-shaped turns， and accordion-like motion， even crossing obstacles a third of the height. The modular structure reduces maintenance costs and supports rapid functional expansion. These findings offer an efficient actuation solution for wheeled soft snake robots， and support applications in complex scenarios such as rescue and pipe inspection.

Graphical abstract

关键词

蛇形机器人 / 气动 / 纤维干扰变刚度 / 多步态

Key words

snake robot / pneumatic / fiber interference variable stiffness / multi-gait

0 引言

近年来，机器人产业的发展取得了显著进步，越来越多的机器人产品成为日常生活的一部分^［1］。柔性爬行机器人已成为该领域的重要研究方向之一^［2］，它在探索、搜索、救援等需要人机交互的领域得到了广泛应用^［3］。与传统的刚性机器人相比，由柔性材料制成的软体机器人更擅长在狭小空间中移动，使它们能够更高效、更灵活地完成任务^［4］。

现有研究主要将蛇形机器人分为轮式和无轮式两种类型^［5］。无轮式蛇形机器人主要通过身体摆动来模仿蛇的自然运动^［6］。QI等^［7］提出了一种由多材料构成的蛇皮，并具有正交各向异性摩擦特性，使软体蛇形机器人能够在不平坦的地形上熟练地执行波滑动作。轮式蛇形机器人在侧面或底部装有轮子，通过减少移动过程中的摩擦提高了其灵活性和机动性^［8］。与无轮式蛇形机器人相比，轮式蛇形机器人具有更高的移动效率和更好的可操作性^［9］。然而，这些机器人在不平坦表面上可能容易翻倒，并且在克服遇到的障碍物时面临挑战。

为解决上述问题，WANG等^［10］利用单向轮的特性，制造了一种能够穿越狭窄管道和崎岖地形的蛇形机器人。此外，将轮式和无轮式蛇形机器人结合起来^［11］，根据环境在两种模式之间切换也可以增强对各种地形的适应性。对于具有集成气动驱动的蛇形机器人，目前还没有最优解决方案。然而，自然界中的许多软体生物结构（如尺蠖和象鼻等^［12］）表现出了杰出的环境适应性，并且可根据需要调整其刚度。同样，可将可变刚度的概念与气动执行器集成，使它们能够在必要时通过改变刚度来完成特定任务^［13-14］。

将纤维结构与气动驱动器结合并控制执行器的压力变化，是实现可变刚度的一种广泛且高效的方法。受这一概念启发，HU等^［15］开发了一种软硬混合结构，制造出了具有可调刚度的软体手腕。YIN等^［16］提出了一种类似人类的手指，具有可变刚度和轻柔抓取易碎物体的能力。LIU等^［17］将可变刚度的概念应用于可穿戴设备，实现了刚度提高6倍以上的效果。尽管可变刚度机制已被广泛应用于软体机器人并能与之完美集成，但它与蛇形机器人的结合研究较少，特别是在轮式软体蛇形机器人中的应用。轮式蛇形机器人具有高机动性，能够高效地完成搜索、救援和探索等任务。然而，它们的环境适应性较差，无法克服障碍物，需要改变原始运动路径，这对机器人控制提出了挑战。通过将轮式蛇形机器人的气动执行器设计为可变刚度，驱动器在必要时可作为支撑，使蛇形机器人能够克服障碍物。这种方法不仅将机器人的运动维度从平面扩展到立体，还增强了其环境适应性和机动性。

在现有气动驱动器的研究中，多数方案依赖于单层气腔结构或简单的气压控制实现弯曲运动，虽在一定程度上实现了软体机器人的柔性驱动，但仍存在刚度调节范围有限、承载能力不足等问题。基于此，本文设计了一组适用于软体蛇形机器人的变刚度驱动器，提出了硅胶-凯夫拉纤维-硅胶的三层复合结构驱动器，该设计不仅通过双层气腔与纤维缠绕的耦合结构显著提高了刚度和负载能力，还能借助单一气压输入实现对弯曲角度和刚度的独立调控。这一设计在保证驱动器柔性的同时大幅增强了其环境适应性与功能多样性，与现有研究相比具有明显的结构创新性和功能集成性优势。

1 气动驱动器设计及实验研究

1.1 气动驱动器的设计

纤维增强机制是一种常用于气动驱动器的变刚度方法，其原理是将纤维增强材料与气动驱动器相结合，利用纤维增强材料的高强度和气动驱动器的柔性，通过外部控制（如气压、机械约束或智能材料）改变驱动器的刚度特性，从而适应不同的工作需求。本文采用的驱动器如图1所示，该驱动器由三层结构组成：内部硅胶层、中间凯夫拉纤维层以及外部硅胶层。当向内硅胶层中通入气压时，凯夫拉纤维层会限制气腔的径向膨胀，同时它受内外硅胶层的挤压而为驱动器增大了刚度。而限制层的作用是为了使驱动器在通入气体后朝着期望的方向发生偏转。

1.2 气动驱动器的制造

明确驱动器的结构后，本节将对驱动器的制造进行阐述。驱动器的制造方法采用模具制造的方式，将所用模具利用三维软件建模，并通过3D打印技术打印。模具内侧均匀涂抹凡士林，以便脱模更加方便。将混合均匀的硅胶溶液倒入模具中进行第一层气腔制造，并将模具密封放置在温度为38 ℃的恒温箱中凝固。4 h后取出模具并脱模，然后在气腔表面缠上凯夫拉纤维并粘上限制层。接着进行第二层气腔的制造，方法与上述方法相同。制造流程如图2所示。

该气腔结构为单气腔，并由硅胶材料制造而成。当驱动器用于蛇形机器人时，需要发挥延展性控制机器人的转向，同时也要有一定的支撑性以带动机器人跨越障碍物。结合需求，本文选择的硅胶材料为HC9020。常用的硅胶类型及其物理特性如表1所示。

1.3 气动驱动器的仿真及实验研究

为研究驱动器弯曲角度与输入气压之间的关系，将模型导入ABAQUS软件中进行仿真研究。硅胶作为常见的超弹性材料，其力学特性是非线性的，通常视为各向同性且不可压缩材料的一种，被广泛应用于气动驱动器的制造中。硅胶材料常用的本构模型包含：Mooney-Rivlin模型、Yeoh模型、Ogden模型、Neo Hooke模型等。其中，Yeoh模型最适合大变形的气动模型，其应变能函数W_{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}}可表示为

W_{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}}={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}{C}_{i\mathrm{0}}(I_{\mathrm{1}}{-\mathrm{3})}^i+{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}\frac{\mathrm{1}}{D_i}{(J-\mathrm{1})}^{\mathrm{2}i}（1）

I_{\mathrm{1}}={\lambda }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+{\lambda }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{\lambda }_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}

式中：C_i0、D_i 为待定系数；J为弹性体积比，由于橡胶是一种不可压缩的材料，故取J=1；{\lambda }_{\mathrm{1}}、{\lambda }_{\mathrm{2}}、{\lambda }_{\mathrm{3}}分别为硅胶材料在轴向、周向、径向的伸长率。

由图2可知驱动器的制造过程。设纤维以螺旋角θ缠绕于硅胶气腔表面，当气腔充气膨胀时，径向应变{\epsilon }_{\mathrm{r}}被纤维限制，周向应变{\epsilon }_{\mathrm{c}}部分释放。根据几何相容条件，纤维和硅胶基体在变形过程中必须满足良好的几何协调性，以保证整体结构的完整性和稳定性。由此可得

\mathrm{\Delta }{L}_{\mathrm{f}}=L_{\mathrm{0}}({\lambda }_{\mathrm{c}}\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}\theta +{\lambda }_{\mathrm{z}}\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}\theta -\mathrm{1})（2）

式中：\mathrm{\Delta }{L}_{\mathrm{f}}为纤维的长度变化量；{\lambda }_{\mathrm{c}}、{\lambda }_{\mathrm{z}}分别为纤维的周向、轴向伸长率；L_{\mathrm{0}}为纤维初始长度。

若纤维不可伸长，则有

{\lambda }_{\mathrm{c}}\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}\theta +{\lambda }_{\mathrm{z}}\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}\theta=1（3）

前文已对硅胶的Yeoh模型进行了介绍，现对硅胶-纤维复合体的本构模型进行介绍。纤维产生张力T_{\mathrm{f}}，其应变能函数为

W_{\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{r}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{E}_{\mathrm{f}}{A}_{\mathrm{f}}{\epsilon }_{\mathrm{f}}^{\mathrm{2}}\delta (\theta )（4）

{\epsilon }_{\mathrm{f}}={\lambda }_{\mathrm{c}}\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}\theta +{\lambda }_{\mathrm{z}}\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}\theta -\mathrm{1}

式中：E_{\mathrm{f}}为纤维弹性模量；A_{\mathrm{f}}为纤维横截面积；{\epsilon }_{\mathrm{f}}为纤维应变，即纤维在受力或变形过程中沿其长度方向的相对伸长；\delta (\theta )表示与纤维方向有关的能量密度分布函数。

由此推导出基于纤维干扰变刚度原理的气动驱动器数学模型，其表达式如下：

\left.\begin{array}{l}{W}_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{l}}=W_{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}}+W_{\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{r}}\\ p\mathrm{d}(\mathrm{\Delta }V)=\mathrm{d}{W}_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{l}}\\ k=\frac{\partial {\lambda }_{\mathrm{z}}}{\partial S}=f(p,C_{i\mathrm{0}},E_{\mathrm{f}},\theta )\end{array}\right\}（5）

式中：W_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{l}}为硅胶-纤维复合体的应变能函数；p为输入气压；\mathrm{\Delta }V为气腔体积的变化量；k为弯曲曲率；S为与纤维应变相关的位置坐标；f(p,C_{i\mathrm{0}},E_{\mathrm{f}},\theta )表示弯曲曲率函数。

设气腔弯曲形成的圆弧半径为R，可得弯曲曲率与输入气压的关系为

k=\frac{\mathrm{3}\mathrm{\pi }{R}^{\mathrm{3}}p\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}\theta }{\mathrm{4}{E}_{\mathrm{f}}{A}_{\mathrm{f}}+\mathrm{2}{C}_{i\mathrm{0}}{R}^{\mathrm{2}}(\mathrm{1}+\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}\theta )}（6）

对于此类双层结构的气动驱动器，为得出弯曲角度{\theta }_{\mathrm{o}}与输入气压p的关系，假定单层截面的尺寸为宽度w和高度h，双层堆叠的总高度为2h，其中中性轴位于层间界面。纤维层贯穿两层，凯夫拉纤维在其中连续分布。核心假设包括：层间无滑移（即纤维约束保证变形协调）；气压均匀分布（即每层受力相等）；硅胶材料参数与单层相同。

双层气压作用下产生的叠加力矩为

M_{\mathrm{p}}={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}pwh{d}_i(\frac{h}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{3}h}{\mathrm{2}})=\mathrm{2}pw{h}^{\mathrm{2}}（7）

d_{\mathrm{1}}=\frac{h}{\mathrm{2}}d_{\mathrm{2}}=h+\frac{h}{\mathrm{2}}

其中，M_{\mathrm{p}}为气压产生的总力矩，该力矩由硅胶和纤维共同产生，二者分别产生的力矩如下：

\left.\begin{array}{l}{M}_{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}}=\frac{E_{\mathrm{s}}{I}_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{l}}}{R}\\ M_{\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{r}}=T_{\mathrm{f}}h\end{array}\right\}（8）

I_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{l}}=\frac{w{(\mathrm{2}h)}^{\mathrm{3}}}{\mathrm{12}}T_{\mathrm{f}}=E_{\mathrm{f}}{A}_{\mathrm{f}}{\epsilon }_{\mathrm{f}}{\epsilon }_{\mathrm{f}}=\frac{h}{R}

式中：I_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{l}}为总惯性矩；E_{\mathrm{s}}为硅胶的弹性模量；M_{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}}为硅胶产生的力矩；M_{\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{r}}为纤维产生的力矩。

由此得出总阻力力矩为

M_{\mathrm{e}}=M_{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}}+M_{\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{r}}=\frac{h^{\mathrm{2}}}{R}(\frac{\mathrm{2}{E}_{\mathrm{s}}}{\mathrm{3}}wh+E_{\mathrm{f}}{A}_{\mathrm{f}})（9）

将式（9）联立虚功方程M_{\mathrm{e}}\mathrm{d}{\theta }_{\mathrm{o}}=p\mathrm{d}V，并代入R=\frac{L_{\mathrm{0}}}{{\theta }_{\mathrm{o}}}，L_{\mathrm{0}}为驱动器的初始长度，可得弯曲角度与输入气压的关系为

{\theta }_{\mathrm{o}}=\sqrt[]{\frac{\mathrm{32}h{E}_{\mathrm{s}}}{\mathrm{3}p{L}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{16}{E}_{\mathrm{f}}{A}_{\mathrm{f}}}{pw{L}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}}}（10）

搭建出的实验设备如图3a所示，将仿真模型导入ABAQUS软件中，设定参数后进行仿真，得到的部分仿真结果如图3b所示。记录实验与仿真数据，得到的对比结果如图4所示。仿真结果与实验结果相互佐证，得到的输入气压与弯曲角度的变化关系可为蛇形机器人的运动控制提供理论基础。

为突出本文设计驱动器的优越性，且能够更好地完成期望步态，拟开展三组对比实验。在保证驱动器尺寸相同的前提下，实验一为单层气腔结构且外部添加凯夫拉纤维，实验二为双层气腔结构但未添加凯夫拉纤维，实验三为双层气腔结构且添加凯夫拉纤维。

由于单层驱动器的气压耐受性有限，因此将实验气压设定为40 kPa，得到的实验结果如图5所示。实验一所用驱动器为单层结构，虽有凯夫拉纤维限制纵向膨胀，但没有第二层气腔的相对挤压，承载能力较差，比例因子（比例因子为承载质量与驱动器质量的比值）还不足1；与实验三相比，实验二只差凯夫拉纤维限制纵向膨胀，虽然驱动器的质量相差无几，但是承载质量却不如实验三。

该实验结果论证了本文所设计驱动器的高效性，且输入气压的数值较小，并未最大程度发挥出驱动器的最大承载能力。后续实验表明，若增大输入气压，则其比例因子可达2.26左右。

图6展示了图5所示实验三中承载驱动器的初始状态以及负载100、150、225 g砝码时充气前后的状态。实验由气泵提供气压，气体通过调压阀控制输出额定气压40 kPa。为保证实验的单一变量，采用断气静置的方式进行放气，这会导致调压阀的出气口气压不为零。当载荷为225 g时，承载驱动器在通入40 kPa气压后驱动器与地面之间仍有明显夹角。由此便可推断出，比例因子2.26并不是承载驱动器的极限。后续实验表明，当输入气压为50 kPa时，驱动器的承载能力可以达到250 g。

2 蛇形机器人模块化设计

2.1 模块单元的设计

如图7所示，本文设计的驱动器类型分为两种，即控制机器人转向的转向驱动器（绿色），以及控制机器人抬头的承载驱动器（红色）。前文已明确了输入气压与弯曲角度之间的关系（即绿色驱动器的研究内容），也对红色驱动器的承载能力进行了说明。现对蛇形机器人的模块化设计进行说明。

模块前后均有3个气动驱动器与之相连接，模块内部集成了气泵、电磁阀等电子元件。除此之外，图例中所用驱动器的尺寸相同，但限制层所处位置有所区别。例如，绿色驱动器的限制层处于气腔的侧边，当气腔充气时使气腔向左右弯曲，从而控制机器人的转向；红色驱动器的限制层处于气腔的上边，当对气腔进行充气时使气腔向上弯曲，以带动蛇形机器人的头部跨越障碍物。

2.2 模块单元的制造

每个模块单元含有连接部件与控制部件，气动驱动器与单元体为连接部件，而在单元体中集成的电子元件为控制部件。其中气动驱动器的制造已在前文进行了说明，而单元体及单向轮均采用3D打印技术制造完成。 为达到单向滚动的功能，在单向轮与滚轴之间添加相匹配的HF型（无内圈）冲压滚针轴承，从而实现单向滚动的功能。通过搭配驱动器的形变，使蛇形机器人发生位移运动。电子元件均采用常用的标准件。由于单元体具有分层结构，电子元件可以有序地在单元体中排列。

3 蛇形机器人步态实验研究

3.1 气动软体蛇形机器人的制造

本文设计的蛇形机器人由连接模块和控制单元两部分组成，所设计出的模块单元如图7所示。单元体集成了气泵（ES-3910）、电磁阀（SMC-DC12V）、电池（12 V锂电池）、单向轮（光敏树脂）等结构。上述电子元件具有可拆卸性，若在室内进行实验时，则可将控制单元与动力单元外置，从而通过减小蛇形机器人的质量，以更好地完成期望任务。

制造出的蛇形机器人如图8所示，该蛇形机器人共有三段，分别由三个单元体及两段驱动器构成。为方便实验操作，采用外接气源的方式提供能量供给。此外，为减小机器人自身的质量，模块控制单元壁均采用空心结构。在承载驱动器的支撑下设计出的模块单元可以轻易抬起，可跨越高度为自身高度三分之一的障碍物，从而验证了承载驱动器的有效性。翻越障碍物时，承载驱动器与转向驱动器协调配合，以共同完成越障动作。

3.2 气动软体蛇形机器人步态研究

气动软体蛇形机器人作为一种新型的柔性机器人，具有高度的灵活性和适应性，能够在复杂地形中灵活移动。它的运动能力主要依赖于蛇形步态、转向运动和手风琴运动等多样化的运动模式。本研究围绕这些关键步态展开深入探讨，旨在优化机器人的运动性能，提高其在复杂环境中的适应性和效率。

为精确描述蛇形机器人的复杂运动行为，建立其模块化运动学模型是分析与控制的基础。该模型将机器人视为由一系列刚性连杆通过主动关节串联而成的链式结构，通过定义统一的运动学描述框架，系统刻画各模块间的位姿传递关系。设机器人由N个相同模块组成，每个模块简化为质点，可得

\mathit{q}=(x_{\mathrm{1}},y_{\mathrm{1}},{\theta }_{\mathrm{1}},\dots ,x_N,y_N,{\theta }_N{)}^{\mathrm{T}}\in {\mathbf{R}}^{\mathrm{3}N}

\mathit{\varphi }=({\varphi }_{\mathrm{1}},{\varphi }_{\mathrm{2}},\dots ,{\varphi }_{N-\mathrm{1}}{)}^{\mathrm{T}}\in {\mathbf{R}}^{N-\mathrm{1}}

\mathit{u}=(p_{\mathrm{1}},p_{\mathrm{2}},\dots ,p_{N-\mathrm{1}}{)}^{\mathrm{T}}

其中，\mathit{q}为机器人的位姿向量，由N个模块位置（x_i，y_i，{\theta }_i）组成，(x_i,y_i)为第i模块的质心坐标，{\theta }_i为第i模块的全局朝向角，i=1，2，…，N；\mathit{\varphi }为机器人的关节角度，是一个N-1维的向量；\mathit{u}为驱动输入，是一个由每个关节的气压值组成的向量。

已知相邻模块的间距恒定，且假定模块长度为L，则有

\left[\begin{array}{c}(x_{i+\mathrm{1}}{x}_i{)}^{\mathrm{2}}+(y_{i+\mathrm{1}}-y_i{)}^{\mathrm{2}}-L^{\mathrm{2}}\\ \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_i(x_{i+\mathrm{1}}-x_i)+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_i(y_{i+\mathrm{1}}-y_i)-L\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\varphi }_i\\ \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_i(x_{i+\mathrm{1}}-x_i)+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_i(y_{i+\mathrm{1}}-y_i)-L\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\varphi }_i\end{array}\right]（11）

机器人的动力学方程可表示为

\mathit{M}\ddot{\mathit{q}}+\mathit{C}\dot{\mathit{q}}={\mathit{J}}_{\mathrm{\varphi }}^{\mathrm{T}}\mathit{\tau }+{\mathit{J}}_{\mathrm{c}}^{\mathrm{T}}\mathit{\lambda }+F_{\mathrm{f}}（12）

\mathit{M}=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}},\dots ,m_{\mathrm{N}},I)

\mathit{\tau }=(k_{\mathrm{0}}{p}_{\mathrm{1}},k_{\mathrm{0}}{p}_{\mathrm{2}},\dots ,k_{\mathrm{0}}{p}_{N-\mathrm{1}}{)}^{\mathrm{T}}

式中：\mathit{M}为质量矩阵，\mathit{M}\in {\mathbf{R}}^{\mathrm{3}N\times \mathrm{3}N}；m_{\mathrm{1}}~m_{\mathrm{N}}为模块1~模块N的质量；I为转动惯量； C 为科里奥利力矩阵；{\mathit{J}}_{\mathrm{\varphi }}^{}为驱动器雅可比矩阵；\mathit{\tau }为驱动器力矩向量；k_{\mathrm{0}}为比例因子；{\mathit{J}}_{\mathrm{c}}为接触力雅可比矩阵；\mathit{\lambda }为地面反力或约束力矢量；F_{\mathrm{f}}为黏滞摩擦力。

3.2.1 蛇形直线运动

蛇形直线运动主要依赖于蛇身体的弯曲和伸展动作，通过交替收缩和放松身体两侧的肌肉产生波形运动，进而推动身体前进。本研究拟采用Serpenoid曲线对直线运动进行说明，其关节角度按行波规律变化，可表示为

{\varphi }_i(t)=A\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\omega t-ni)i=\mathrm{1,2},\dots ,N-\mathrm{1}（13）

式中，A为振幅，由气压p映射，且A=c_{\mathrm{1}}{p}^{\mathrm{2}/\mathrm{3}}，c_{\mathrm{1}}为常数；ω为角频率且\omega =\mathrm{2}\mathrm{\pi }f，f为频率；n为波数，n=\mathrm{2}\mathrm{\pi }/N。

由图4所示的驱动器弯曲实验可知弯曲角与气压之间的关系，得到{\theta }_{\mathrm{o}}=g(p)\approx k_{\mathrm{p}}p，其中k_{\mathrm{p}}为不同气压下的曲线斜率。而驱动器装在蛇形机器人中，其弯曲角度会减小，可得关节的实际弯曲角度{\varphi }_i=\eta {\theta }_{\mathrm{o}}，其中\eta为比例因子，取\eta=0.7（由实验数据测出）。同时考虑行波传播延迟，得出优化后的公式为

{\varphi }_i(t)=k_{\mathrm{p}}{p}_i(t)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\omega t-\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }i}{N})（14）

式中：p_i(t)为第i关节的实时气压。

对蛇形直线运动的速度进行分析，通过链式法则计算了关节的速度，{\varphi }_i与{\theta }_i为不同的角度变量。每个模块的切向速度为

v_{\mathrm{t},i}={\dot{s}}_i=\frac{\partial s_i}{\partial {\varphi }_i}{\varphi }_i+\frac{\partial s_i}{\partial {\theta }_i}{\dot{\theta }}_i（15）

式中：s_i为第i模块沿身体中心线的弧长坐标。

而实际过程中的气动驱动器存在响应延迟的现象，需添加气动驱动器动态响应延迟的数学模型。通过引入一个一阶低通滤波器的传递函数，将指令角速度{\dot{\varphi }}_i^{\mathrm{c}\mathrm{m}\mathrm{d}}转化为实际角速度{\dot{\varphi }}_i^{\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{l}}，可表示为

{\dot{\varphi }}_i^{\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{l}}=\frac{\mathrm{1}}{{\tau }_{\mathrm{t}}s+\mathrm{1}}{\dot{\varphi }}_i^{\mathrm{c}\mathrm{m}\mathrm{d}}（16）

式中：{\tau }_{\mathrm{t}}为气动系统的时间常数；s为拉普拉斯算子。

联立法向速度约束v_{\mathrm{n},i}\le {\mu }_{\mathrm{n}}{v}_{\mathrm{t},i}({\mu }_{\mathrm{n}}\ll \mathrm{1})，{\mu }_{\mathrm{n}}为法向摩擦因数。在前进过程中，将速度分为切向与法向，而在机器人运动达到稳态时，其水平方向受力为零，通过积分得到推力表达式并令其为零，从而得到前进速度v_{\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{w}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}}的近似解，其表达式为

v_{\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{w}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}}\approx \frac{\omega A^{\mathrm{2}}LN}{\mathrm{4}}(\frac{\mathrm{1}}{{\mu }_{\mathrm{t}}}-\frac{\mathrm{1}}{{\mu }_{\mathrm{n}}}){\eta }_{\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{y}}（17）

式中：{\mu }_{\mathrm{t}}为切向摩擦因数；{\eta }_{\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{y}}为机械效率。

在该运动模式下蛇形机器人将会形成具有周期性的行波，并稳步向前推进形成蛇形直线运动。图9展示了所设计蛇形机器人的蛇形直线运动。由前文可知，设计出的蛇形机器人共有三组控制单元，并由两组驱动器连接。蛇形直线运动并不涉及承载驱动器，只用到两组转向驱动器。为更好地观察蛇形机器人的运动情况，划定了绿色参照线，并在每张图的右上角标注了充气气腔（红色代表充气气腔）。将转向气腔分为两组，前左、后右为一组，前右、后左为一组。利用转向气腔模拟蛇身体两侧的肌肉，通过对两组气腔进行充气放气来模拟蛇类生物收缩和放松身体两侧的肌肉。由图9可知，蛇形机器人的单个驱动器充气时长t约为15 s，恢复原态则需5 s左右。所设计的蛇形机器人体长约为0.65 m，完成一个身位位移所需的时间约为220 s，其移动速度维持在0.003 m/s。

蛇形机器人移动速度主要由驱动器的充气、放气频率决定。现有的蛇形机器人移动速度较低，主要是由于驱动器的压力承载能力有限，导致驱动器的变形效率降低。基于此，在以后的研究中可以通过优化气体流道，在模块内部设计更低流阻的气动流道，并选用更大口径的电磁阀，以减少气压输送过程中的延迟和损耗、加快响应速度；或是对非承重的模块外壳进行拓扑优化，采用碳纤维杆等轻质高强材料替代部分3D打印结构，以大幅减小机器人自重，从而在相同驱动力下获得更大加速度；或选用撕裂强度更高、弹性模量更优的硅胶材料，在保证驱动柔顺性的同时允许施加更高的工作气压，以产生更大的驱动力和更快的弯曲速度。

3.2.2 C形转角运动

C形转角运动是蛇形机器人的一种典型步态。C形转角运动是指蛇形机器人的身体在运动过程中形成类似字母C的形状，通过身体的弯曲和伸展来实现转向的一种步态。C形转角运动具有较强的转向能力，能够在有限的空间内实现较大的转角，机动性高；通过合理控制关节角度和波形参数可以灵活地调整转向速度和幅度，以适应不同的运动需求；在一些复杂地形和狭窄空间中，这种步态可使机器人更好地避开障碍物，从而提高通过性。

若C形转角运动的转向中心为O、转向半径为R_{\mathrm{c}}以及弯曲角为{\varphi }_{\mathrm{d}}，则满足如下关系：

R_{\mathrm{c}}=\frac{L}{\mathrm{2}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}({\varphi }_{\mathrm{d}}/\mathrm{2})}\approx \frac{L}{{\varphi }_{\mathrm{d}}}（18）

式中：{\varphi }_{\mathrm{d}}为关节的弯曲角。

式（18）为理想情况下得出的转向半径与弯曲角度之间的关系。由于驱动器充气时存在延迟现象，故需在等式中添加延迟因子。此外，蛇形机器人在执行C形转角运动时，内侧轮存在静摩擦，外侧轮存在动摩擦。由此所产生的修正半径为\mathrm{\Delta }R({\mu }_{\mathrm{k}},{\mu }_{\mathrm{s}})，则实际转向半径R_{\mathrm{c}}^{\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{l}}为

R_{\mathrm{c}}^{\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{l}}=\frac{L}{{\varphi }_{\mathrm{d}}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\frac{{\tau }_{\mathrm{t}}{\dot{\varphi }}_{\mathrm{d}}}{{\varphi }_{\mathrm{d}}}}+\mathrm{\Delta }R({\mu }_{\mathrm{k}},{\mu }_{\mathrm{s}})（19）

\mathrm{\Delta }R({\mu }_{\mathrm{k}},{\mu }_{\mathrm{s}})=k_{\mathrm{f}}(\frac{{\mu }_{\mathrm{s}}}{{\mu }_{\mathrm{k}}}-\mathrm{1})

式中：k_{\mathrm{f}}为摩擦耦合系数；{\mu }_{\mathrm{s}}为静摩擦因数；{\mu }_{\mathrm{k}}为动摩擦因数。

在C形转角运动过程中，由于身体弯曲程度较高，机器人与地面的接触面积相对减小，可能会导致抓地力不足，尤其在光滑或松软的地面易出现打滑现象，进而影响转向效果。本文设计的蛇形机器人具备基于纤维干扰变刚度原理的驱动器，并搭配单向轮可以有效避免这一问题。C形转角运动同样由转向驱动器控制，并将前左、后左驱动器为一组，前右、后右驱动器为一组。如图10所示，蛇形机器人向左转向，依次对前右、后右驱动器进行充气放气，约至时间t=160 s后机器人完成了90°的转弯。值得注意的是，该转角机制应用于本文所设计的蛇形机器人时，机器人本身扫过的面积较为狭小，不会因区域限制而无法完成转向动作。但频繁的大幅度弯曲和伸展运动会使机器人承受较大的机械应力，加速关节和连接部件的磨损，会缩短机器人的使用寿命；而且，这种步态对机器人的控制系统要求较高，需要精确的关节角度控制和协调的波形传播控制，否则易出现运动不协调或转向失控的情况。模块化设计可以有效解决这一问题，不仅损坏零件便于更换，其独特的机械结构还能简化整体控制过程。

3.2.3 手风琴型运动

手风琴型运动是一种模仿蛇类动物在狭窄空间中移动的运动形式，同样是通过身体的压缩和伸展来实现前进。以一个周期运动为例，蛇形机器人的头部和腹部会依次抬起。机器人身体的一部分会固定并与地面产生较大摩擦力作为支点，另一部分则通过关节的伸缩运动使身体向前推进。这种运动方式使机器人能够在有限的空间内实现有效的位移。与蛇形直线运动不同的是，手风琴型运动同时兼顾了纵向位移与横向位移。

手风琴型运动形成的主要原因是关节的相位延迟，收缩波从头部（i=1）向尾部（i=N-1）传播。相邻关节延迟时间\mathrm{\Delta }t=\frac{T}{N}（T为完整收缩周期）。模块位置递推方程如下：

\left[\begin{array}{c}{x}_{i+\mathrm{1}}\\ y_{i+\mathrm{1}}\\ {\theta }_{i+\mathrm{1}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}_i+L\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}({\theta }_i+{\varphi }_i)\\ y_i+L\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}({\theta }_i+{\varphi }_i)\\ {\theta }_i+{\varphi }_i\end{array}\right]（20）

蛇形机器人不同模块位置的更迭会伴随着不同关节角度的变化，由此推导出关节角度传播方程：

{\varphi }_i(t)={\varphi }_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}+\frac{{\varphi }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}-{\varphi }_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}}{\mathrm{1}+\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(-k_{\mathrm{0}}(t-t_{\mathrm{0},i}))}（21）

式中：{\varphi }_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}为关节角度最小值；{\varphi }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}为关节角度最大值；k_{\mathrm{0}}为收缩波传播速率；t_{\mathrm{0},i}为第i关节的相位延迟，t_{\mathrm{0},i}=i\mathrm{\Delta }t。

图11展示了蛇形机器人手风琴型运动的时序过程，头部在t=0时开始收缩，随后收缩波依次在t=\mathrm{\Delta }t和t=2\mathrm{\Delta }t时传递到中部和尾部，各部分的伸展则分别在t=\frac{T}{\mathrm{3}}（头部）、t=\frac{T}{\mathrm{3}}+\mathrm{\Delta }t（中部）和t=T（尾部）时完成，通过控制各模块动作的时间延迟来实现整体协调运动。在图12中开展了实验验证研究，手风琴型运动所需的驱动器仍为转向驱动器，只需将左前与右后驱动器依次充气放气即可达到运动目的。

4 结语

本文基于纤维干扰变刚度原理设计了一种多步态气动蛇形机器人。使用三层结构（硅胶-凯夫拉纤维-硅胶）实现刚度动态调整，从而完成蛇形直线运动、C形转角运动、手风琴型运动及跨越障碍物运动。对每种步态都通过数学模型阐述了其运动原理，并结合实验进行补充说明。通过采用模块化设计，不仅能够降低成本，还可实现快速调整长度和功能，配合气动驱动器的独特设计以及在模块单元上的几何分布，可使蛇形机器人完成多种步态，从而为其在搜索、救援等任务的实际应用奠定了基础。

未来，将结合传感器反馈和实时控制算法的进一步优化，有望推动气动软体蛇形机器人在灾难救援、管道检测和医疗手术等领域的广泛应用。

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基金资助

湖北省自然科学基金杰出青年项目(2022CFA041)