考虑切削刃钝圆半径后刀面磨损的微铣削力预测

Prediction of Micro-milling Forces Considering Flank Wear with Cutting Edge Radius

摘要

为精确预测微铣削过程中的切削力，提出综合考虑切削刃钝圆半径、后刀面磨损与刀具跳动的微铣削力机理模型，建立了微铣刀后刀面磨损与切削刃钝圆半径之间的精确解析关系，并对刀具跳动下的切削刃余摆线轨迹进行了精确分析，构建了瞬时未变形切屑厚度和切入切出角的解析模型，确定了考虑后刀面磨损的刀具-工件切触区域和切削力系数模型，进而构建了同时涵盖切削刃钝圆半径、后刀面磨损及刀具跳动等关键因素的微铣削力通用模型。通过微铣削实验与切削力结果的统计分析，当考虑后刀面磨损时，3个方向平均力预测误差分别减小了35%、27%和58%，验证了该模型的有效性。进一步通过案例分析探讨了后刀面磨损对切削力系数、平均力误差和均方根误差的影响，证明了在微铣削力建模中考虑后刀面磨损的必要性。

Abstract

To accurately predict cutting forces in the micro-milling processes， a micro-milling force mechanism model was proposed that comprehensively considering the cutting edge radius， tool flank wear and tool runout. A precise analytical relationship between flank wear of micro-milling tools and the cutting edge radius was established and the trochoidal trajectory of the cutting edge was accurately analyzed under tool runout. An analytical model was constructed for instantaneous undeformed chip thickness and entry-exit angles， along with a tool-workpiece contact area and cutting force coefficient model that accounted for flank wear. Consequently， a generalized micro-milling force model was developed， incorporating critical factors such as cutting edge radius， flank wear and tool runout. The effectiveness of the proposed model was validated through micro-milling experiments and statistical analysis of cutting force results. When flank wear is considered， the average prediction errors of forces in three directions are reduced by 35%， 27% and 58%， respectively. Furthermore， the case studies were conducted to investigate the effects of flank wear on cutting force coefficients， mean force error and root mean square error， demonstrating the necessity of considering flank wear in micro-milling force modeling.

Graphical abstract

关键词

微铣削 / 切削力 / 切削刃钝圆半径 / 后刀面磨损 / 刀具跳动

Key words

micro-milling / cutting force / tool edge radius / flank wear / tool runout

0 引言

航空航天、微电子和光学等领域对微小零部件的制造需求迅速增加。微铣削技术加工精度高、灵活性好、适用于加工各种金属材料，在复杂零部件制造方面发挥着重要作用。微铣削中尺寸效应^［1］、刀具跳动^［2］以及刀具磨损^［3］等现象导致切削力增大，进而影响加工过程稳定性。切削力机械模型以参数少、建模过程简单且预测精度高的优势得到了广泛应用。

微铣削力机械模型的研究主要涉及未变形切屑厚度建模、切触区域确定和切削力系数辨识等。未变形切屑厚度的精确建模是精确预测切削力的关键。已有的未变形切屑厚度模型考虑了刀具跳动^［4］、挠性变形^［5］、最小切厚^［6］、刀具磨损^［7］和累积效应^［8］等因素。ZHANG等^［9］考虑刀具倾斜跳动、挠性变形、最小切厚等多因素建立了未变形切屑厚度模型。WAN等^［10］探索了切削力与刀具挠度耦合效应下的未变形切屑厚度。DING等^［11］考虑刀具跳动、后刀面磨损及最小切厚来确定未变形切屑厚度。

切触区域的确定对微铣削力精确预测具有重要影响。ZHANG等^［9］提出考虑刀具跳动与刀具挠度因素的切入切出角求解算法。JING等^［12］考虑多齿同时参与切削的情况来确定更加精确的切触区域。DAMBLY等^［13］采用Tri-dexel方法建立工件模型并将刀具视为扫掠体积的三角形网格表面，从而分析刀具与工件之间的切触关系。笔者团队综合考虑刀具跳动和临界位置处实际切入角和切出角来确定切触区域^［14］。目前涉及切触区域的研究主要是考虑刀具跳动的影响，亦或考虑尺寸效应以及刀具几何特征。

切削力系数辨识是微铣削力精确预测的关键。DOU等^［15］建立考虑后刀面磨损的解析铣削力模型，其中切削力系数为随刀具磨损变化的参数。MAMMADOV等^［16］提出了一种广义切削力系数识别模型，该模型从由加工试验采集到的切削力中提取前刀面上的切削力系数，在频域中估计切削力系数从而考虑跳动效应。笔者团队将每齿刀具切削力系数建立为刀具每齿径向磨损量的指数函数^［17］，基于运动学分析将切削刃位置与预加工工件形态相互统一^［18］，以此建立微铣削力模型。

现有研究鲜有系统建立刀具钝圆半径与后刀面磨损的关联规律，也未能将该规律与刀具跳动等因素共同纳入微铣削力解析建模。为此，本文面向切削力精确预测，在切屑建模、切触区域确定和切削力系数辨识中综合引入钝圆半径-磨损关系及刀具跳动的影响，基于实际刀具半径模型解析刀刃余摆线轨迹，建立了涵盖瞬时未变形切屑厚度、切入切出角及磨损效应的切削力系数模型，从而提出了一种通用的微铣削力预测方法，为相关建模与力学分析提供了参考。

1 通用微铣削力模型构建

1.1 微铣削力模型

微铣削过程的几何关系如图1所示，针对典型的两齿微端铣刀建立笛卡儿坐标系Oxyz。微端铣刀底部中心O为坐标系统原点，x轴沿刀具进给方向，z轴沿刀轴向上，y轴依据右手定则确定。采用机械力学模型方法将刀具切削刃沿刀轴方向分割为一系列相等的微元。刀具旋转角可表示为

φ=ωt=2πnt/60（1）

式中：t为切削时间，s；ω为主轴角速度，rad/s；n为主轴转速，r/min。

将作用于切屑微元的切向切削力、径向切削力和轴向切削力转化到进给、法向和轴向三个方向上，分别沿着切触区域积分，并对所有切削刃上的受力进行求和，得到同一时刻下当旋转角为φ时在x、y和z轴方向上的总切削力为

\left[\begin{array}{c}{F}_x(\phi )\\ \begin{array}{l}{F}_y(\phi )\\ F_z(\phi )\end{array}\end{array}\right]=\frac{R_{\mathrm{a}}}{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\beta }\left[\begin{array}{ccc}-A_{\mathrm{0}}& -B_{\mathrm{0}}& \mathrm{0}\\ B_{\mathrm{0}}& -A_{\mathrm{0}}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{0}}^{N-\mathrm{1}}}{\int }_{{\theta }_{\mathrm{e}\mathrm{n}}}^{{\theta }_{\mathrm{e}\mathrm{x}}}h(\theta )\mathrm{d}\theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{K}_{\mathrm{t}\mathrm{c}}\\ \begin{array}{l}{K}_{\mathrm{r}\mathrm{c}}\\ K_{\mathrm{a}\mathrm{c}}\end{array}\end{array}\right]（2）

A_{\mathrm{0}}={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{0}}^{N-\mathrm{1}}}{\int }_{{\theta }_{\mathrm{e}\mathrm{n}}}^{{\theta }_{\mathrm{e}\mathrm{x}}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta h(\theta )\mathrm{d}\thetaB_{\mathrm{0}}={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{0}}^{N-\mathrm{1}}}{\int }_{{\theta }_{\mathrm{e}\mathrm{n}}}^{{\theta }_{\mathrm{e}\mathrm{x}}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta h(\theta )\mathrm{d}\theta

\theta (i,t,z)=\phi -\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }i}{N}-\frac{z\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\beta }{R_{\mathrm{a}}}

式中：h(\theta )为瞬时未变形切屑厚度，μm，{\theta }_{\mathrm{e}\mathrm{n}}、{\theta }_{\mathrm{e}\mathrm{x}}分别为切削刃的切入角和切出角，（°），K_{\mathrm{t}\mathrm{c}}、K_{\mathrm{r}\mathrm{c}}、K_{\mathrm{a}\mathrm{c}}分别为刀具实际的切向、径向和轴向切削力系数，N/mm²；R_{\mathrm{a}}为实际刀具半径，μm；\beta为刀具螺旋角，（°）；θ为切屑微元的径向浸入角；z为对应于当前切削刃上任意特定点处的轴向切深；i（i=0，1，…，N-1）为切削刃序号（采用逆时针设置），其中N为切削刃总数。

1.2 考虑后刀面磨损的刀具半径建模

图2为刀具实际半径、刀具半径减小量和考虑切削刃钝圆半径的后刀面磨损示意图。基于刀具底部端面建立考虑切削刃钝圆半径的刀尖坐标系O_{\mathrm{E}}{x}_{\mathrm{E}}{y}_{\mathrm{E}}。

在刀尖坐标系O_{\mathrm{E}}{x}_{\mathrm{E}}{y}_{\mathrm{E}}中，经过刀轴中心且与刀尖圆弧相切的直线为y_{\mathrm{E}}轴，切点到刀轴中心的方向为y_{\mathrm{E}}轴方向。与y_{\mathrm{E}}轴垂直且与刀尖圆弧相切的直线为x_{\mathrm{E}}轴。x_{\mathrm{E}}轴与y_{\mathrm{E}}轴的交点即为刀尖坐标系原点O_{\mathrm{E}}。线段CJ为前刀面，圆弧CAH为切削刃圆弧，线段HL为后刀面，线段VB为后刀面磨损量V_B，刀具半径减小量\mathrm{\Delta }R为O_{\mathrm{E}}W，磨损实际刀具半径R_{\mathrm{a}}为OW。刀具磨损是动态变化的，随着切削长度的增大，刀具后刀面磨损量逐步增大。它先后经历了图2c~图2f所示的4个阶段。

对于4个不同阶段，综合刀具端面切削刃切削部分的精确解析建模、刀具半径减小量\mathrm{\Delta }R和后刀面磨损量V_{\mathrm{B}}的对应关系以及图2所示的几何关系，可推导出考虑切削刃钝圆半径影响的后刀面磨损下实际刀具半径的计算模型，其表达式如下：

R_{\mathrm{a}}=\left\{\begin{array}{l}R-r+\sqrt[]{r^{\mathrm{2}}-\frac{V_{\mathrm{B}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}}}{V}_{\mathrm{B}}\in [\mathrm{0,2}r\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha )\\ R-r+r\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha -V_{\mathrm{B}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha +\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}\alpha \sqrt[]{\Delta }\\ V_{\mathrm{B}}\in [\mathrm{2}r\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha ,r(\mathrm{1}+\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{c}\alpha ))\\ R-r+r\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha -V_{\mathrm{B}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha -\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}\alpha \sqrt[]{\Delta }\\ V_{\mathrm{B}}\in [r(\mathrm{1}+\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{c}\alpha ),r(\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{c}\alpha +\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\gamma +\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\alpha \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\gamma ))\\ R-\frac{V_{\mathrm{B}}+r(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\alpha -\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{c}\alpha -\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\gamma -\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\gamma )}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\alpha -\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\gamma }\\ V_{\mathrm{B}}\in [r(\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{c}\alpha +\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\gamma +\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\alpha \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\gamma ),V_{\mathrm{B}}^{\mathrm{*}}]\end{array}\right.（3）

\begin{array}{c}\Delta =[V_{\mathrm{B}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\alpha +r(\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{t}}^{\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\alpha \mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{c}\alpha +\mathrm{1})]}^{\mathrm{2}}-\\ \mathrm{s}\mathrm{e}{\mathrm{c}}^{\mathrm{2}}\alpha [V_{\mathrm{B}}+r{(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\alpha -\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{c}\alpha )]}^{\mathrm{2}}\end{array}

式中：R为无磨损新刀具的半径；r为切削刃钝圆半径；\gamma为刀具前角；\alpha为刀具后角；V_{\mathrm{B}}^{\mathrm{*}}为图2c所对应微铣削阶段的最大磨损临界值，对于每一个V_{\mathrm{B}}都有唯一的R_{\mathrm{a}}与之对应。

1.3 瞬时未变形切屑厚度建模

精确的瞬时未变形切屑厚度模型对预测微切削力至关重要。两齿微端铣刀未变形切厚示意图见图3。

综合考虑切削刃钝圆半径影响下的后刀面磨损、刀具跳动、当前刀尖轨迹和前一周期刀尖轨迹，计算瞬时未变形切屑厚度。依据切削刃余摆线轨迹可确定第 i 个切削刃上的点P_i 对应时刻 t_i 下在位置角{\theta }_i处的瞬时未变形切屑厚度为

h=\left|{\mathit{P}}_i{\mathit{P}}_{i-j}\right|=\sqrt[]{\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}{\theta }_i+\mathrm{1}}\left|R_{\mathrm{a}}\right.\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\omega t_i-\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }i}{N}-

\frac{z\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\beta }{R_{\mathrm{a}}})+r_{\mathrm{0}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\omega t_i+\lambda )-R_{\mathrm{a}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\omega t_{i-j}-\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }(i-j)}{N}-\frac{z\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\beta }{R_{\mathrm{a}}})-\left.r_{\mathrm{0}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\omega t_{i-j}+\lambda )\right|（4）

{\theta }_i=\omega t_i-\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }i}{N}-\frac{z\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\beta }{R_{\mathrm{a}}}{\theta }_i\ne \frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}}+m\mathrm{\pi }m\in \mathbf{N}

式中：P_{i-j}为对应时刻t_{i-j}下第i-j个切削刃上的点，其中t_{i-j}可依据切削刃余摆线轨迹采用牛顿迭代法求得，且t_{i-j}=t_i-\frac{\mathrm{2}j\mathrm{\pi }}{N\omega }，t_i可由θ_i 的表达式进行确定；r_{\mathrm{0}}为刀具跳动距离；\lambda为刀具跳动角。

1.4 切触区域建模

切触区域是指切削过程中刀具和工件的作用区域。刀具跳动导致微铣刀刀心位置变化。刀具磨损导致刀具切削刃的半径减小，从而引起切削刃余摆线轨迹的变化，最终导致切入角和切出角的变化。下文综合考虑切削刃钝圆半径的后刀面磨损和刀具跳动，依据当前切削刃轨迹和前一周期切削刃轨迹来建立切入角和切出角模型。

微铣削过程中切削刃的切入角和切出角示意图见图3，其中，蓝色实线和红色虚线分别表示第i个切削刃余摆线轨迹和第i-\mathrm{1}个切削刃余摆线轨迹，P_{\mathrm{e}\mathrm{n}}、P_{\mathrm{e}\mathrm{x}}分别对应于第i个切削刃切入加工区域和切出加工区域的位置，O_{\mathrm{e}\mathrm{n}}、O_{\mathrm{e}\mathrm{x}}分别为第i个切削刃在位置P_{\mathrm{e}\mathrm{n}}和P_{\mathrm{e}\mathrm{x}}时的刀心位置，O_{\mathrm{e}\mathrm{n}}^{\text{'}}、O_{\mathrm{e}\mathrm{x}}^{\text{'}}分别为第i-j个切削刃在位置P_{\mathrm{e}\mathrm{n}}和P_{\mathrm{e}\mathrm{x}}时的刀心位置，{\theta }_{\mathrm{e}\mathrm{n}}、{\theta }_{\mathrm{e}\mathrm{x}}分别为第i个切削刃的切入角和切出角。

点P_{\mathrm{e}\mathrm{n}}在第i个切削刃余摆线轨迹上时，该点坐标可以表示为

\left.\begin{array}{c}{x}_{P_{\mathrm{e}\mathrm{n}}}=R_{\mathrm{a}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\omega t_{i\mathrm{e}\mathrm{n}}-\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }i}{N}-\frac{z\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\beta }{R_{\mathrm{a}}})+x_{O_{\mathrm{e}\mathrm{n}}}\\ y_{P_{\mathrm{e}\mathrm{n}}}=R_{\mathrm{a}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\omega t_{i\mathrm{e}\mathrm{n}}-\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }i}{N}-\frac{z\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\beta }{R_{\mathrm{a}}})+y_{O_{\mathrm{e}\mathrm{n}}}\end{array}\right\}（5）

\left.\begin{array}{l}{x}_{O_{\mathrm{e}\mathrm{n}}}=\frac{f{t}_{i\mathrm{e}\mathrm{n}}}{\mathrm{60}}+r_{\mathrm{0}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\omega t_{i\mathrm{e}\mathrm{n}}+\lambda )\\ y_{O_{\mathrm{e}\mathrm{n}}}=r_{\mathrm{0}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\omega t_{i\mathrm{e}\mathrm{n}}+\lambda )\end{array}\right\}（6）

式中：x_{O_{\mathrm{e}\mathrm{n}}}、y_{O_{\mathrm{e}\mathrm{n}}}分别为点O_{\mathrm{e}\mathrm{n}}的横坐标和纵坐标；f为进给速度；t_{i\mathrm{e}\mathrm{n}}为第i个切削刃底经过点P_{\mathrm{e}\mathrm{n}}的时刻。

点P_{\mathrm{e}\mathrm{n}}在第i-j个切削刃余摆线轨迹上时，该点坐标可表示为

\left.\begin{array}{c}{x}_{P_{\mathrm{e}\mathrm{n}}}=R_{\mathrm{a}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\omega t_{(i-j)\mathrm{e}\mathrm{n}}-\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }(i-j)}{N}-\frac{z\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\beta }{R_{\mathrm{a}}})+x_{O_{\mathrm{e}\mathrm{n}}^{\text{'}}}\\ y_{P_{\mathrm{e}\mathrm{n}}}=R_{\mathrm{a}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\omega t_{(i-j)\mathrm{e}\mathrm{n}}-\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }(i-j)}{N}-\frac{z\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\beta }{R_{\mathrm{a}}})+y_{O_{\mathrm{e}\mathrm{n}}^{\text{'}}}\end{array}\right\}（7）

\left.\begin{array}{l}{x}_{O_{\mathrm{e}\mathrm{n}}^{\text{'}}}=\frac{f{t}_{(i-j)\mathrm{e}\mathrm{n}}}{\mathrm{60}}+r_{\mathrm{0}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\omega t_{(i-j)\mathrm{e}\mathrm{n}}+\lambda )\\ y_{O_{\mathrm{e}\mathrm{n}}^{\text{'}}}=r_{\mathrm{0}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\omega t_{(i-j)\mathrm{e}\mathrm{n}}+\lambda )\end{array}\right\}（8）

式中：t_{(i-j)\mathrm{e}\mathrm{n}}为第i-j个切削刃底经过点P_{\mathrm{e}\mathrm{n}}的时刻。

由于式（5）和式（7）均为点P_{\mathrm{e}\mathrm{n}}坐标的表达式，则可得如下方程组：

\mathit{F}(\mathit{t})=\left[\begin{array}{c}{f}_{\mathrm{1}}(\mathit{t})\\ f_{\mathrm{2}}(\mathit{t})\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{f}_{\mathrm{1}}(t_{(i-j)en},t_{ien})\\ f_{\mathrm{2}}(t_{(i-j)en},t_{ien})\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\mathrm{0}\\ \mathrm{0}\end{array}\right]（9）

其中，\mathit{t}、f_{\mathrm{1}}(\mathit{t})、f_{\mathrm{2}}(\mathit{t})和\mathit{F}(\mathit{t})是为了方便分析引入的辅助函数，可分别表示为

\mathit{t}=\left[\begin{array}{c}{t}_{(i-j)en}\\ t_{ien}\end{array}\right]

\begin{array}{c}{f}_{\mathrm{1}}(t_{(i-j)\mathrm{e}\mathrm{n}},t_{i\mathrm{e}\mathrm{n}})=R_{\mathrm{a}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\omega t_{(i-j)\mathrm{e}\mathrm{n}}-\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }(i-j)}{N})+\\ \frac{f{t}_{(i-j)\mathrm{e}\mathrm{n}}}{\mathrm{60}}+r_{\mathrm{0}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\omega t_{(i-j)\mathrm{e}\mathrm{n}}+\lambda )-R_{\mathrm{a}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\omega t_{i\mathrm{e}\mathrm{n}}-\frac{\mathrm{2}\pi i}{N})-\\ \frac{f{t}_{i\mathrm{e}\mathrm{n}}}{\mathrm{60}}-r_{\mathrm{0}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\omega t_{i\mathrm{e}\mathrm{n}}+\lambda )\end{array}

\begin{array}{c}{f}_{\mathrm{2}}(t_{(i-j)\mathrm{e}\mathrm{n}},t_{i\mathrm{e}\mathrm{n}})=R_{\mathrm{a}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\omega t_{(i-j)\mathrm{e}\mathrm{n}}-\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }(i-j)}{N})+\\ r_{\mathrm{0}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\omega t_{(i-j)\mathrm{e}\mathrm{n}}+\lambda )-R_{\mathrm{a}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\omega t_{i\mathrm{e}\mathrm{n}}-\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }i}{N})-\\ r_{\mathrm{0}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\omega t_{i\mathrm{e}\mathrm{n}}+\lambda )\end{array}

式（9）是两个相互独立的变量t_{(i-j)\mathrm{e}\mathrm{n}}和t_{i\mathrm{e}\mathrm{n}}的非线性方程组，可采用解非线性方程组的Newton迭代算法进行求解。取迭代初始值为

{\mathit{t}}_{\mathrm{0}}=\left[\begin{array}{c}{t}_{(i-j)\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{0}}\\ t_{i\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{0}}\end{array}\right]

设迭代次数为k，则Newton迭代公式为

{\mathit{t}}_{k+\mathrm{1}}={\mathit{t}}_k-(\mathit{J}({\mathit{t}}_k{))}^{-\mathrm{1}}\mathit{F}({\mathit{t}}_k)

其中，函数\mathit{J}({\mathit{t}}_k)为函数\mathit{F}({\mathit{t}}_k)的雅可比矩阵，且有

\mathit{J}({\mathit{t}}_k)=\frac{\partial (f_{\mathrm{1}},f_{\mathrm{2}})}{\partial (t_{(i-j)\mathrm{e}\mathrm{n}k},t_{i\mathrm{e}\mathrm{n}k})}=\left[\begin{array}{cc}\frac{\partial f_{\mathrm{1}}}{\partial t_{(i-j)\mathrm{e}\mathrm{n}k}}& \frac{\partial f_{\mathrm{1}}}{\partial t_{i\mathrm{e}\mathrm{n}k}}\\ \frac{\partial f_{\mathrm{2}}}{\partial t_{(i-j)\mathrm{e}\mathrm{n}k}}& \frac{\partial f_{\mathrm{2}}}{\partial t_{i\mathrm{e}\mathrm{n}k}}\end{array}\right]

\begin{array}{c}\frac{\partial f_{\mathrm{1}}}{\partial t_{(i-j)\mathrm{e}\mathrm{n}k}}=\omega R_{\mathrm{a}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\omega t_{(i-j)\mathrm{e}\mathrm{n}k}-\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }(i-j)}{N})+\frac{f}{\mathrm{60}}+\\ \omega r_{\mathrm{0}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\omega t_{(i-j)\mathrm{e}\mathrm{n}k}+\lambda )\end{array}

\begin{array}{c}\frac{\partial f_{\mathrm{1}}}{\partial t_{i\mathrm{e}\mathrm{n}k}}=-\omega R_{\mathrm{a}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\omega t_{i\mathrm{e}\mathrm{n}k}-\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }i}{N})-\frac{f}{\mathrm{60}}-\\ \omega r_{\mathrm{0}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\omega t_{i\mathrm{e}\mathrm{n}k}+\lambda )\end{array}

\begin{array}{c}\frac{\partial f_{\mathrm{2}}}{\partial t_{(i-j)\mathrm{e}\mathrm{n}k}}=-\omega R_{\mathrm{a}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\omega t_{(i-j)\mathrm{e}\mathrm{n}k}-\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }(i-j)}{N})-\\ \omega r_{\mathrm{0}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\omega t_{(i-j)\mathrm{e}\mathrm{n}k}+\lambda )\end{array}

\frac{\partial f_{\mathrm{2}}}{\partial t_{i\mathrm{e}\mathrm{n}k}}=\omega R_{\mathrm{a}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\omega t_{i\mathrm{e}\mathrm{n}k}-\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }i}{N})+\omega r_{\mathrm{0}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\omega t_{i\mathrm{e}\mathrm{n}k}+\lambda )

当函数\mathit{F}({\mathit{t}}_k)的模不大于特定误差限\epsilon（即\left|\mathit{F}({\mathit{t}}_k)\right|\le \epsilon）时，认为式（9）是收敛的。

当时间t_{i\mathrm{e}\mathrm{n}}已确定，依据式（5）和式（6）可确定点P_{\mathrm{e}\mathrm{n}}和点O_{\mathrm{e}\mathrm{n}}的坐标。由图3可得考虑刀具跳动和后刀面磨损的切入角为

{\theta }_{\mathrm{e}\mathrm{n}}=\omega t_{i\mathrm{e}\mathrm{n}}-\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }i}{N}-\frac{z\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\beta }{R_{\mathrm{a}}}（10）

类似地，可确定点P_{\mathrm{e}\mathrm{x}}和点O_{\mathrm{e}\mathrm{x}}的坐标。考虑刀具跳动和后刀面磨损的切出角为

{\theta }_{\mathrm{e}\mathrm{x}}=\omega t_{i\mathrm{e}\mathrm{x}}-\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }i}{N}-\frac{z\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\beta }{R_{\mathrm{a}}}（11）

式中：t_{i\mathrm{e}\mathrm{x}}为第i个切削刃底经过点P_{\mathrm{e}\mathrm{x}}的时刻。

1.5 切削力系数建模

刀具磨损使刀具几何形状改变，影响切削力系数。后刀面磨损是微铣刀磨损的主要形式之一。由刀具磨损导致的切削力增大，通过切削力系数的增量体现于切削力模型中。基于此，假定后刀面磨损量对切削力系数增量的影响可采用二次多项式形式描述为

\left.\begin{array}{l}{K}_{\mathrm{t}\mathrm{c}}=k_{\mathrm{t}\mathrm{c}}+a_{\mathrm{t}\mathrm{c}}{V}_{\mathrm{B}}^{\mathrm{2}}+b_{\mathrm{t}\mathrm{c}}{V}_{\mathrm{B}}+c_{\mathrm{t}\mathrm{c}}\\ K_{\mathrm{r}\mathrm{c}}=k_{\mathrm{r}\mathrm{c}}+a_{\mathrm{r}\mathrm{c}}{V}_{\mathrm{B}}^{\mathrm{2}}+b_{\mathrm{r}\mathrm{c}}{V}_{\mathrm{B}}+c_{\mathrm{r}\mathrm{c}}\\ K_{\mathrm{a}\mathrm{c}}=k_{\mathrm{a}\mathrm{c}}+a_{\mathrm{a}\mathrm{c}}{V}_{\mathrm{B}}^{\mathrm{2}}+b_{\mathrm{a}\mathrm{c}}{V}_{\mathrm{B}}+c_{\mathrm{a}\mathrm{c}}\end{array}\right\}（12）

式中：k_{\mathrm{t}\mathrm{c}}、k_{\mathrm{r}\mathrm{c}}、k_{\mathrm{a}\mathrm{c}}分别为无磨损新刀具的切向、径向和轴向切削力系数；a_{\mathrm{t}\mathrm{c}}、b_{\mathrm{t}\mathrm{c}}、c_{\mathrm{t}\mathrm{c}}、a_{\mathrm{r}\mathrm{c}}、b_{\mathrm{r}\mathrm{c}}、c_{\mathrm{r}\mathrm{c}}、a_{\mathrm{a}\mathrm{c}}、b_{\mathrm{a}\mathrm{c}}、c_{\mathrm{a}\mathrm{c}}为通过拟合确定的常数参数。

2 模型验证与分析

2.1 实验设置

为验证所提模型的准确性，本研究在MIKRON HSM600U高速加工中心上进行了一系列微铣削实验，实验设置如图4所示。

实验采用两齿硬质合金微端铣刀。刀具直径为0.5 mm，螺旋角为30°，前角为10°，后角为5°，切削刃钝圆半径为2 μm。工件材料是AISI4340合金结构钢，尺寸为30 mm×60 mm×25 mm。

切削力测量所用仪器为Kistler 9119三向测力仪，用于测量x、y和z方向的切削力，采样频率为24 kHz。采用工业相机拍摄刀具底部端面的方式测量刀具磨损。采用正交试验法设计切削实验，具体切削参数如表1所示。

本实验采用全槽铣削方式，每切削一道沟槽（60 mm）测一次刀具磨损，每组实验测量10次，即每一把刀具切削的总行程为10×60 mm。后刀面磨损量V_B取两个切削刃后刀面磨损量V_B1和V_B2的平均值。图5展示了第4组实验中刀具在切削前、第1次、第6次和第10次切削完成后的磨损图像。

2.2 切削力模型验证与统计分析

每组实验中，通过刀柄标注记号保证了刀具跳动参数相同。依据测量得到的力和所建立的切削力模型，采用图6所示的算法标定刀具跳动参数(r_{\mathrm{0}},\lambda )。并依据图6所示的流程进行切削力预测。

为验证所提模型的有效性，本文采用平均力的误差E、平均绝对误差E_MAE（mean absolute error，MAE）、均方根误差E_RMSE（root mean square error， RMSE）和决定系数R^{\mathrm{2}}这4个指标来评估模型。为突出反映后刀面磨损的影响，分析表1所列9组实验中每组第10次铣削过程的切削力预测值和测量值的吻合程度。

图7给出了预测的平均力误差E，可以看出，考虑后刀面磨损时，x和y方向上预测平均力的误差均在15%以下，z方向上预测平均力的误差在17%以下，表明所建立的模型是有效的。图7还显示，相比于不考虑刀具磨损，考虑后刀面磨损时x、y、z方向上预测平均力的误差分别减小了35%、27%和58%以上。这说明后刀面对3个方向力的影响显著，且对z方向力的影响最大。这是由于随着切削长度的增大，刀具底部端面在z方向上的磨损加剧，导致z方向上的切厚增大，从而导致z方向力增大显著。

图8和图9分别给出了预测力的平均绝对误差E_MAE和均方根误差E_RMSE，可以看出，考虑后刀面磨损时的结果更优，3个方向上预测力的E_MAE和E_RMSE均较小，这说明将后刀面考虑到微铣削力建模中是必要的。

本文还对所提模型的决定系数R^{\mathrm{2}}进行了分析，从表2中的结果可见，模型在x和y方向上的决定系数R^{\mathrm{2}}均大于0.7，表明本文铣削力模型在x和y方向上拟合良好。此外，通过计算得出z方向上的R^{\mathrm{2}}存在负值，超出决定系数应为0～1的范围，这是由于z向受力过小，对测量误差和系统振动等过于敏感，因此导致决定系数在该方向上并不适用。

2.3 后刀面磨损的影响

为研究后刀面磨损的影响，下文以第4组实验为例来讨论。

2.3.1 后刀面磨损对切触区域的影响

图10所示为第4组实验第10次切削后的切入角和切出角。相比于不考虑后刀面磨损，考虑后刀面磨损时两个切削刃切入角减小，提前切入，切出角增大，延迟切出。0号切削刃切触区域为182.89°，相比于不考虑后刀面磨损时切触区域增大了0.15°。1号切削刃在最小轴向切深处和最大轴向切深处的切触区域分别为147.63°和160.30°，相比于不考虑后刀面磨损时切触区域分别增大了0.07°和0.76°。后刀面磨损导致切触区域增大，即使影响不是很显著。

2.3.2 后刀面磨损对切削力系数的影响

以第4组实验为例来研究后刀面磨损对切削力系数的影响。通过实验测量不同阶段下的切削力和后刀面磨损量，由式（2）可得不同阶段下的切削力系数。依据式（12），采用最小二乘法拟合得到系数a_{\mathrm{t}\mathrm{c}}、b_{\mathrm{t}\mathrm{c}}、c_{\mathrm{t}\mathrm{c}}、a_{\mathrm{r}\mathrm{c}}、b_{\mathrm{r}\mathrm{c}}、c_{\mathrm{r}\mathrm{c}}、a_{\mathrm{a}\mathrm{c}}、b_{\mathrm{a}\mathrm{c}}和c_{\mathrm{a}\mathrm{c}}的值，进而可得切削力系数为

\left.\begin{array}{l}{K}_{\mathrm{t}\mathrm{c}}=\mathrm{1.096}{V}_{\mathrm{B}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{15.37}{V}_{\mathrm{B}}+\mathrm{6300}\\ K_{\mathrm{r}\mathrm{c}}=\mathrm{0.2532}{V}_{\mathrm{B}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{65.43}{V}_{\mathrm{B}}+\mathrm{3664}\\ K_{\mathrm{a}\mathrm{c}}=\mathrm{0.1602}{V}_{\mathrm{B}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{8.963}{V}_{\mathrm{B}}+\mathrm{189.3}\end{array}\right\}（13）

图11为第4组实验中切削力系数与后刀面磨损量的关系图。可知，切削力系数随着后刀面磨损量的增大而增大。在第10次测试后，切削力系数在x、y和z方向上分别增大了57.75%、55.85%和495.39%，说明后刀面磨损对3个方向上切削力系数的影响显著。后刀面磨损对轴向切削力系数K_{\mathrm{a}\mathrm{c}}的影响最大，这是由于刀具底部端面轴向磨损的加剧导致轴向切厚增大，从而导致轴向力增大速率很快，进而导致轴向切削力系数K_{\mathrm{a}\mathrm{c}}显著增大。这说明不同磨损阶段下切削力系数的准确评估对切削力的预测有关键性影响。

2.3.3 后刀面磨损对切削力的影响

为研究后刀面磨损对切削力的影响，选择第4组实验的第1次和第10次切削结果进行讨论，如图12所示。由图12a~图12b可知，第1次切削时后刀面磨损较小，后刀面磨损对切削力的影响很小。由图12b~图12d可知，相比于第1次切削，第10次切削后x、y和z方向上的切削力峰值分别增大了48.2%、48.39%和209%。后刀面磨损导致两个切削刃的切削力幅值增大，后刀面磨损对3个方向力的影响显著，且对轴向力的影响最大。考虑后刀面磨损的力模型的预测值与实验值吻合。由此可知，建立考虑后刀面磨损的模型是很有必要的。

2.3.4 后刀面磨损对整个切削过程力的影响

为评估所提模型在整个切削过程中的有效性，对切削力随切削长度不断增大的变化规律及其误差进行统计分析。

1）平均切削力误差。第4组实验中平均切削力的误差如图13所示。考虑后刀面磨损时，整个切削过程中3个方向上预测平均力的误差控制在20%以内，这表明该模型是有效的。在不考虑后刀面磨损的影响下，整体而言，随着切削长度的增大，3个方向上的平均力误差均呈现出上升的趋势；然而，也存在少数数据点偏离这一规律的情况，如切削至300 μm时，x方向上的平均切削力误差表现出异常。当不考虑后刀面磨损的影响时，平均切削力误差在x、y和z方向上分别达到42.6%、36.1%和83.55%。这表明不考虑后刀面磨损的预测模型仅适用于刀具未磨损或轻微磨损时的切削初始阶段。而随着切削长度逐渐增大，刀具磨损加剧，预测偏差会越来越大，这验证了在切削力建模中考虑后刀面磨损的必要性。

2）切削力的均方根误差。第4组实验中预测切削力的均方根误差如图14所示。相比于不考虑后刀面磨损，在考虑后刀面磨损时，随着切削长度的增大，3个方向上的均方根误差均偏小，这说明本文模型是有效的。随着切削长度的增大，3个方向上的均方根误差分别呈现略微增大的趋势，其原因是，刀具磨损引起的切削过程不稳定因素会导致均方根误差的增大。

3 结 论

1）本文聚焦于微铣削过程切削力通用解析模型的构建，提出了综合考虑后刀面磨损、切削刃钝圆半径和刀具跳动的通用切削力预测模型。

2）应用平均力误差、平均绝对误差、均方根误差和决定系数进行统计分析，验证了模型的有效性，3个方向上的平均力预测误差分别减小了35%、27%和58%。通过评估峰值绝对误差、中值绝对误差和归一化均方根误差，验证了在微铣削力建模中考虑后刀面磨损的必要性。

3）案例分析发现，后刀面磨损会扩大刀具-工件啮合。后刀面磨损显著影响三向切削力和切削力系数，尤其是轴向力和轴向力系数。

本文方法可泛化到纳米金刚石等超硬材料加工，为丰富微铣削机理和加工过程优化方法提供了理论参考。后续可基于本文方法开展加工稳定性、多轴微铣削规划及复合材料切削机理等研究。

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基金资助

国家自然科学基金(52575593)

国家自然科学基金(52175528)