基于数字孪生的齿轮传动系统振动性能监测方法

Digital Twin Based Vibration Performance Monitoring Method for Gear Transmission Systems

摘要

为更好地监测齿轮传动系统在运行过程中的振动状态，提出了基于数字孪生的齿轮传动系统振动性能监测方法。考虑物理模型、数字孪生模型和二者之间的交互，建立了齿轮传动系统的数字孪生框架。基于广义有限元法建立了齿轮传动系统的机理模型，利用其生成的仿真数据构建了代理模型，以替代计算耗时的机理模型。通过Sobol灵敏度分析方法对模型参数进行了筛选，结合试验数据采用遗传算法进行模型更新，并使用更新后的模型进行振动监测，从而完成了数字孪生模型的构建。以人字齿轮传动系统为例，应用所提方法对其进行了振动性能监测。研究结果表明，建立的数字孪生模型能准确地反映齿轮传动系统在运行过程中的振动性能，不同转速下经过更新后的模型在各个测点处仿真值与试验值之间的相对误差最大值为15.21%，验证了所提方法的有效性。

Abstract

In order to monitor the vibration states of the gear transmission systems during operation， a digital twin-based method was proposed for monitoring the vibration performances of the gear transmission systems. Considering the physical model， the digital twin model and the interaction between the two models， a digital twin framework of the gear transmission systems was developed. A mechanism model of the gear transmission systems was presented based on the generalized finite element method， and the simulation data produced were used to construct a surrogate model which was constructed using the simulation data generated by this mechanism model， so as to replace the original computationally expensive mechanism model. The model parameters were selected by the Sobol sensitivity analysis method， and a genetic algorithm was used to update the model in combination with the experimental data. The updated model was then used to monitor the vibration performances， thus completing the construction of the digital twin model. The proposed method was applied to monitor the vibration performances of a herringbone gear transmission system. The results show that the digital twin model may reflect the vibration performances of the gear transmission systems accurately during operation. Under different rotational speeds， the maximum relative error among the simulation and experimental results at each measurement point is as 15.21%， which verifies the effectiveness of the proposed method.

Graphical abstract

关键词

数字孪生 / 齿轮传动系统 / 模型更新 / 振动监测 / 代理模型

Key words

digital twin / gear transmission system / model update / vibration monitoring / surrogate model

0 引言

齿轮作为机械传动系统中重要的核心基础零部件，具有结构紧凑、传动效率高、传动平稳等优点，广泛应用于航空航天、高速列车、工业机器人等高端装备制造领域^［1］。齿轮传动系统的振动特性直接影响机械系统的运行可靠性与服役寿命，随着机械装备服役环境日益复杂，高转速、高负载、剧烈扰动等极端工况时有出现，从而导致齿轮传动系统的振动响应增大，因此对齿轮传动系统的振动性能进行监测尤为重要。

近年来，随着传感器检测、大数据分析、机器学习等新兴技术的不断发展，数字孪生技术逐渐成为研究热点^［2-3］。数字孪生以高保真仿真数字模型为基础，借助传感器信息和输入数据来映射和预测实际物理孪生实体的运行状态，为齿轮传动系统的振动性能监测提供了一种新方法。目前，数字孪生技术已被应用于传动系统的状态监测、寿命预测等方面。FENG等^［4］针对齿轮磨损评估建立了数字孪生模型，对机理模型参数进行了更新，结合迁移学习预测了齿轮的剩余使用寿命。CUI等^［5］提出了一种基于数字孪生和图域适应神经网络的滚动轴承剩余使用寿命预测方法，在模型更新中采用了机理模型。ZHOU等^［6］提出了一种基于振动的损伤监测数字孪生系统，结合实际监测数据对机理模型进行了校准更新，对风力涡轮机传动系统的疲劳寿命进行了监测。唐贤炬等^［7］基于数字孪生技术搭建了齿轮传动系统振动状态监测框架，进行数字孪生模型更新时运用了机理模型。

综上所述，构建高保真的数字孪生模型是数字孪生的核心。现有研究在进行数字孪生模型更新时大多直接采用机理模型，而复杂系统中机理模型计算时间较长，会显著影响数字孪生模型的计算速度。为此，本文提出了一种机理模型和数据驱动融合建模的数字孪生模型构建方法，基于广义有限元法建立了齿轮传动系统的机理模型，利用该模型生成的仿真数据构建了代理模型，以替代计算耗时的机理模型，并结合灵敏度分析和智能优化算法研究了数字孪生模型的更新方法，最后将更新后的数字孪生模型应用于人字齿轮传动系统的振动性能监测。

1 数字孪生模型构建

1.1 齿轮传动系统数字孪生框架

考虑物理模型、数字孪生模型及二者之间的交互，建立了图1所示的齿轮传动系统数字孪生框架。物理模型主要由齿轮传动系统物理实体及振动加速度信号采集系统组成，数字孪生模型包括机理模型、模型更新和振动监测，二者之间的交互为数字孪生模型通过接收物理模型的基本参数和试验数据来监测当前物理模型的振动性能，操作人员根据结果对物理模型进行维修。其中，机理模型采用动力学模型用于计算系统的振动性能，模型更新包括构建代理模型构建、参数敏感度分析、遗传算法优化，利用更新后的机理模型对齿轮传动系统进行振动监测。振动性能监测过程如下：

1）在齿轮传动系统运行期间，将信号采集系统获取轴承处的振动加速度作为试验值，将数字孪生模型计算的振动加速度作为仿真值，设置试验值与仿真值之间的误差阈值；

2）设置数字孪生模型的更新间隔，在当前时间段内若误差未超出阈值，则认为数字孪生模型可以反映系统振动性能，并继续使用模型进行振动监测；

3）若误差超出阈值则启动模型更新程序，直至阈值小于设定值，数字孪生模型的更新间隔以及误差阈值根据齿轮传动系统的实际运行情况确定。将更新后的参数代入模型中以监测系统的振动性能。

1.2 机理模型

基于齿轮传动系统离散化的广义有限元理论^［8］构建表征齿轮传动系统振动响应的动力学机理模型。齿轮传动系统被离散为齿轮节点、功率节点、轴承节点和轴节点。根据连接关系将齿轮传动系统划分为啮合单元、轴承单元和轴段单元。啮合单元将齿轮副等效成直径为基圆的刚性圆盘，通过沿啮合线方向相切的啮合刚度及误差将其耦合。轴承单元使用弹簧-阻尼模型。轴段单元使用Timoshenko梁理论进行建模。

针对人字齿轮副建立动力学模型，将人字齿轮视为两组螺旋角相反的斜齿轮，且通过弹性轴段连接。所建立的左侧人字齿轮的动力学模型如图2所示，其中｛x{}_{\mathrm{p}}^{\mathrm{L}}，y{}_{\mathrm{p}}^{\mathrm{L}}，z{}_{\mathrm{p}}^{\mathrm{L}}，θ{}_{x\mathrm{p}}^{\mathrm{L}}，θ{}_{y\mathrm{p}}^{\mathrm{L}}，θ{}_{z\mathrm{p}}^{\mathrm{L}}｝、｛x{}_{\mathrm{g}}^{\mathrm{L}}，y{}_{\mathrm{g}}^{\mathrm{L}}，z{}_{\mathrm{g}}^{\mathrm{L}}，θ{}_{x\mathrm{g}}^{\mathrm{L}}，θ{}_{y\mathrm{g}}^{\mathrm{L}}，θ{}_{z\mathrm{g}}^{\mathrm{L}}｝分别为主动轮和从动轮的广义坐标。该模型考虑了时变啮合刚度（time-varying meshing stiffness， TVMS）和综合啮合误差（comprehensive meshing error， CME）等多种激励。其中，CME主要来源于制造或装配误差、齿面修形和系统变形引起的齿轮副啮合错位量。某一时刻下TVMS表示为k{}_{\mathrm{m}}^{\mathrm{L}}，CME表示为e{}_{\mathrm{m}}^{\mathrm{L}}。小齿轮和大齿轮的基圆半径分别为r{}_{\mathrm{g}}^{\mathrm{L}}和r{}_{\mathrm{p}}^{\mathrm{L}}，θ为安装相位角，α为啮合角，β_b为基圆螺旋角，小齿轮逆时针旋转时γ=\alpha -\theta，小齿轮顺时针旋转时γ=\alpha +\theta。啮合阻尼的计算公式为

c_{\mathrm{m}}^{\mathrm{L}}=\mathrm{2}\zeta \sqrt[]{{\overline{k}}_{\mathrm{m}}^{\mathrm{L}}/(\mathrm{1}/m_{\mathrm{p}}^{\mathrm{e}\mathrm{q}\_\mathrm{L}}+\mathrm{1}/m_{\mathrm{g}}^{\mathrm{e}\mathrm{q}\_\mathrm{L}})}（1）

式中：ζ为啮合阻尼比，取值范围为［0.03，0.17］^［9］，模型初始值取ζ=0.05；\overline{k}{}_{\mathrm{m}}^{\mathrm{L}}为平均啮合刚度；m{}_{\mathrm{p}}^{\mathrm{e}\mathrm{q}\_\mathrm{L}}、m{}_{\mathrm{g}}^{\mathrm{e}\mathrm{q}\_\mathrm{L}}分别为主动轮和从动轮的等效质量。

齿轮副的啮合过程可视为线接触问题。将接触线离散化为一系列接触点，每个接触点的初始间隙为齿面误差。如图3所示，第i个接触点的初始间隙为x_{C_i}，变形量为x_{D_i}。在载荷F_i 作用下，接触点完成接触，啮合位置处的变形量x_{D_i} =x_{STE_i}-x_{C_i}，其中x_{STE_i} 为对应位置的刚体接近量，接触点的刚度k_i =F_i /（x_{STE_i}-x_{C_i} ）。

齿轮副的啮合刚度k_m由n个接触点的刚度相加得到，可表示为

k_{\mathrm{m}}={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}\frac{F_i}{x_{\mathrm{S}\mathrm{T}\mathrm{E}\_i}-x_{\mathrm{C}\_i}}（2）

综合啮合误差由下式计算得出：

e_{\mathrm{m}}=\frac{\mathrm{1}}{k_{\mathrm{m}}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{k}_i{x}_{\mathrm{C}\_i}（3）

不同啮合位置上的啮合刚度和综合啮合误差构成了齿轮系统的TVMS和CME激励。

根据连接关系将各单元的质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵进行组装，得到齿轮传动系统的质量矩阵 M_G、刚度矩阵 K_G和阻尼矩阵 C_G，则齿轮传动系统的动力学方程如下：

{\mathit{M}}_{\mathrm{G}}{\ddot{\mathit{x}}}_{\mathrm{G}}(t)+{\mathit{C}}_{\mathrm{G}}{\dot{\mathit{x}}}_{\mathrm{G}}(t)+{\mathit{K}}_{\mathrm{G}}(t)({\mathit{x}}_{\mathrm{G}}(t)-{\mathit{e}}_{\mathrm{G}}(t))={\mathit{F}}_{\mathrm{G}}（4）

式中： x_G为系统节点的广义坐标向量； e_G为综合啮合误差向量； F_G为载荷向量。

1.3 代理模型

采用最优拉丁超立方设计^［10］（optimal Latin hypercube design， OLHD）方法生成样本数据，通过动力学模型计算对应的实际响应，建立样本数据集。生成样本数据后对其进行归一化处理，计算表达式如下：

x_i^{\text{'}}=\frac{x_i-x_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}}{x_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}-x_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}}（5）

式中：x_i^{\text{'}}、x_i 分别为归一化处理后的数据和原始数据；x_min、x_max分别为样本数据中的最小值和最大值。

常见的代理模型包括Kriging（KRG）模型、人工神经网络（artificial neural network， ANN）模型和支持向量回归（support vector regression， SVR）模型。本研究分别建立这3种代理模型，选取其中预测效果最佳的模型作为齿轮传动系统机理模型的代理模型。

1.3.1 KRG模型

KRG是一种插值模型，其预测结果Y（x_k）主要由回归部分和非参数部分组成，表达式为^［11］

Y(x_{\mathrm{k}})={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^K}{\beta }_i{f}_i(x_{\mathrm{k}})+z(x_{\mathrm{k}})（6）

其中，x_k为训练样本；K为训练样本的多项式函数的数量；β_i 为回归参数；f_i （x_k）为训练样本的多项式函数；z（x_k）为随机误差，其协方差为

\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(z(x_{\mathrm{k}i}),z(x_{\mathrm{k}j}))={\sigma }^{\mathrm{2}}{\displaystyle \sum _{t=\mathrm{1}}^{N_{\mathrm{k}}}}{Q}_t(d_t)（7）

式中：N_k为输入变量的个数；d_t 为训练样本点x_ki 和x_kj 第t个分量的距离；Q_t （·）表示相关函数；σ²为z（x_k）的方差。

1.3.2 ANN模型

ANN模型是一种由多层神经网络组成的模型，每一层都包含多个神经元，这些神经元通过学习来建立输入与输出之间的复杂映射关系。本文采用多层感知机（multilayer perceptron， MLP）模型，该模型具有全连接结构，由输入层、隐藏层和输出层三部分构成^［12］。MLP模型使用反向传播（back propagation， BP）算法进行训练，通过前向传播计算网络输出，基于预测值与目标值之间的误差，按梯度下降方向将误差信号自输出层向前逐层传播，并对相应权重参数进行修正，从而最小化网络损失函数。MLP模型输出层的误差项由实际输出与期望输出直接计算得到，MLP模型隐藏层的误差项由后一层误差项逐层反向递推获得。得到误差项后，利用梯度下降法对网络参数进行更新。

一次前向传播和一次反向传播依次完成后可称为模型的一轮完整训练，每完成一轮训练，神经网络参数得到一次更新，重复训练使得模型达到预先设定的误差阈值或训练最大次数后，模型训练结束。

1.3.3 SVR模型

SVR模型是基于结构最小化原则的一种机器学习模型^［13］，可以更好地解决小样本学习问题，同时使用核函数将非线性问题转化为线性问题。假设训练样本集合｛（ x_si，y_si ）｝（i=1，2，…，N）， x_si， y_si ∈R，N为训练样本总数，考虑使用如下回归函数：

f({\mathit{x}}_{\mathrm{s}})=\mathit{w}\cdot \varphi ({\mathit{x}}_{\mathrm{s}})+b（8）

式中： w 、b分别为权值矢量和阈值；ϕ({\mathit{x}}_{\mathrm{s}})表示组合函数； w ·ϕ({\mathit{x}}_{\mathrm{s}})表示 w 与ϕ({\mathit{x}}_{\mathrm{s}})的内积。

采用最小化欧几里德空间的范数来寻找最小的 w 值，假定所有训练数据（ x_si，y_si ）均可在精度ε下采用线性函数拟合，则寻找最小 w 值的问题就可转变为凸优化问题，其表达式如下：

\left.\begin{array}{l}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{‖\mathit{w}‖}^{\mathrm{2}})\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.y_{\mathrm{s}i}-f({\mathit{x}}_{\mathrm{s}i})\le \epsilon \\ f({\mathit{x}}_{\mathrm{s}i})-y_{\mathrm{s}i}\le \epsilon \end{array}\right\}（9）

引入松弛因子ξ_i 、ξ{}_i^{*}和惩罚因子C，将凸优化问题转化为

\left.\begin{array}{l}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{‖\mathit{w}‖}^{\mathrm{2}}+C{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}{\xi }_i+{\xi }_i^{\mathrm{*}})\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.y_{\mathrm{s}i}-f({\mathit{x}}_{\mathrm{s}i})\le \epsilon +{\xi }_i\\ f({\mathit{x}}_{\mathrm{s}i})-y_{\mathrm{s}i}\le \epsilon +{\xi }_i^{\mathrm{*}}\\ {\xi }_i,{\xi }_i^{\mathrm{*}}\ge \mathrm{0}\end{array}\right\}（10）

式中：ξ_i 、ξ{}_i^{*}分别为样本点相对于2ε不敏感区间上下边界的松弛变量，前者对应上侧偏差，后者对应下侧偏差。

引入Lagrange乘子α_i 、α{}_i^{*}，根据对偶定理引入高斯径向基核函数k（ x_si， x_s）=exp（-| x_s-x_si |²/γ{}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}），其中γ{}_{\mathrm{0}}^{}为核宽度参数，将二次规划问题转化为

\left.\begin{array}{l}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\displaystyle \sum _{i,j=\mathrm{1}}^N}({\alpha }_i-{\alpha }_i^{\mathrm{*}})({\alpha }_j-{\alpha }_j^{\mathrm{*}})k({\mathit{x}}_{\mathrm{s}i},{\mathit{x}}_{\mathrm{s}j})+\\ {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}({\alpha }_i-{\alpha }_i^{\mathrm{*}})y_{\mathrm{s}i}-\epsilon {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}({\alpha }_i+{\alpha }_i^{\mathrm{*}}))\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}({\alpha }_i-{\alpha }_i^{\mathrm{*}})=\mathrm{0}\\ \mathrm{0}\le {\alpha }_i,{\alpha }_i^{\mathrm{*}}\le C\end{array}\right\}（11）

式中：α_i 、α{}_i^{*}分别为第i个训练样本对应式（10）中两类约束条件的Lagrange乘子；α_j 、α{}_j^{*}分别为第j个训练样本对应式（10）中两类约束条件的Lagrange乘子。

得到预测函数为

f({\mathit{x}}_{\mathrm{s}})={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}({\alpha }_i-{\alpha }_i^{\mathrm{*}})k({\mathit{x}}_{\mathrm{s}},{\mathit{x}}_{\mathrm{s}i})+b（12）

分别建立KRG、ANN和SVR三种模型后，选取决定系数R²作为衡量代理模型拟合精度的评价指标。决定系数R²可表征代理模型计算值与实际值之间的一致性，R²越接近1表明代理模型拟合精度越高，其计算公式为

R^{\mathrm{2}}=\mathrm{1}-\frac{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}(y_{i,\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}}-y_{i,\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{e}}{)}^{\mathrm{2}}}{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}({\overline{y}}_{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{e}}-y_{i,\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{e}}{)}^{\mathrm{2}}}（13）

式中：y_i，pre为代理模型预测值；y_i，true为实际值；{\overline{y}}_{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{e}}为实际值的平均值。

1.4 参数敏感度分析

为提高数字孪生模型的更新速度，基于Sobol全局敏感度分析法量化机理模型参数对输出的影响程度，筛选对齿轮传动系统振动响应影响较大的参数，其基本原理如下^［14］。

假设机理模型可以分解为

f_{\mathrm{1,2},\dots ,p}(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},\dots ,x_p)（14）

f_{\mathrm{0}}=E(Y)f_i(x_i)=E(Y\left|x_i\right.)-f_{\mathrm{0}}

f_{ij}(x_i,x_j)=E(Y\left|x_i,x_j\right.)-f_{\mathrm{0}}-f_i(x_i)-f_j(x_j)

式中：f₀为常数，等于输出的期望值E（Y）；f_i （x_i ）表示变量x_i 对系统输出的影响；f_j （x_j ）表示变量x_j 对系统输出的影响；f_ij （x_i，x_j ）表示变量x_i 和x_j 共同作用对系统输出的影响。

假设各变量相互独立，则式（14）等号右边各项相互正交，协方差为0。对式（14）等号两边同时求方差可得

V_{\mathrm{1,2},\dots ,p}(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},\dots ,x_p)（15）

\begin{array}{c}{V}_i=Va{r}_{x_i}(E_{x~i}(Y\left|x_i\right.))\\ V_{ij}=Va{r}_{x_{ij}}(E_{x~ij}(Y\left|x_i,x_j\right.))-V_i-V_j\end{array}

式中：Var（Y）表示总方差；V_i 为变量x_i 对系统输出的方差；V_j 为变量x_j 对系统输出的方差；V_ij 为变量x_i 和x_j 共同作用对系统输出的方差；E_x~i、E_x~ij 分别表示对除x_i 以及除x_i 、x_j 之外的变量集合取条件期望。

一阶灵敏度指数S_i 表示变量x_i 单独作用对系统输出的影响程度，其表达式为

S_i=\frac{V_i}{Var(Y)}（16）

总效应指数S_Ti 表示变量x_i 和其他变量共同作用对系统输出的敏感度，其表达式为

S_{\mathrm{T}i}=\mathrm{1}-\frac{V_{\sim i}}{Var(Y)}（17）

式中：V_~i 为除变量x_i 外其他参数共同作用的方差。

1.5 遗传算法优化

机理模型在构建过程中由于模型简化等原因，对齿轮传动系统振动响应的计算可能出现偏差，需要利用试验数据对机理模型参数进行更新。本文将模型更新问题转化为参数优化问题，将敏感度分析筛选的机理模型参数视为优化变量，结合试验数据构建目标函数，采用遗传算法（genetic algorithm， GA）进行优化。

图4所示为GA的优化过程，该算法首先设置目标参数（轴承刚度、阻尼和啮合阻尼比等）的初始值及其取值范围，并基于此创建初始种群。随后，通过适应度函数评估种群个体的性能，驱动选择、交叉和变异等操作的迭代应用。在每一代进化中，判断当前是否达到最大进化代数，若条件成立，则终止优化过程并输出最优参数组合；否则，修改参数取值范围后继续执行优化。

2 数字孪生模型验证

基于机械式封闭功率流人字齿轮振动试验系统（图5）对提出的数字孪生模型构建方法进行验证。试验系统主要由电机、测试齿轮箱、陪试齿轮箱、高速弹性轴、低速弹性轴、加载盘等部件组成。通过调整加载盘的转角以实现弹性轴的变形加载。为减少对振动测试信号的干扰，测试齿轮箱放置于半消声室中，并通过使用弹性轴和膜片联轴器来减少陪试齿轮箱到测试齿轮箱的振动传递。

图6所示为测点位置，将加速度传感器布置在测试齿轮箱小齿轮轴和大齿轮轴的轴承座上。表1列出了测试所需采集仪、加速度传感器、扭矩转速仪的型号与数量。选用亿恒28通道的MI-8014型数据采集系统，其配有模拟信号输出板卡、振声数据采集输入板卡，具备为系统进行实时测量、分析和控制的能力。PCB356A17型三向加速度传感器的量程为±10g，它在0.5~3000 Hz频率范围内有效，对应的灵敏度可达500 mV/g。扭矩转速仪中转速信号输出速度为每转60~120个脉冲，扭矩信号在零扭矩、正向满量程、反向满量程时的输出频率分别为10、15、5 kHz。

测试齿轮副为人字齿轮副，表2给出了齿轮的基本参数。该人字齿轮为船用齿轮，试验系统具有大齿宽和高功率的特点，设置试验扭矩为1441 N·m，转速为2500 r/min。在系统运行平稳后开始采集数据，采样频率为25.6 kHz，将采集数据的初始时刻定义为零时刻，采集时间长度设为12 s，4个测点处的振动信号如图7所示。

齿轮传动系统振动信号的均方根（root mean square， RMS）值反映了振动强度和能量量级^［15］，因此选取一段运行时间内空间振动加速度的RMS值来表征该人字齿轮传动系统的振动性能，其计算表达式如下：

R_h=\sqrt[]{\frac{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^H}{(\sqrt[]{x_{hi}^{\mathrm{2}}+y_{hi}^{\mathrm{2}}+z_{hi}^{\mathrm{2}}})}^{\mathrm{2}}}{H}}（18）

式中：R_h 为测点h的RMS值；H为采集的振动加速度数量；x_hi 、y_hi 、z_hi 分别为测点h沿x、y、z三个方向的第i个振动加速度值。

设置数字孪生模型的更新间隔为6 s，物理模型与数字孪生模型之间的相对误差阈值为20%。根据1.2节介绍的机理模型构建方法，本文建立了人字齿轮传动系统的动力学模型。图8所示为0~6 s运行时间内4个测点处振动加速度RMS试验值与仿真值的对比，图9所示为4个测点处试验值与仿真值之间的相对误差，可以看出相对误差已经明显超出阈值。这是由于在动力学模型构建过程中，忽略了齿轮、轴承的加工、安装误差等不确定性因素，简化了齿面精度、润滑等因素影响下复杂接触状态对实际系统刚度和阻尼的影响，使得动力学模型仿真结果与试验结果偏差较大，从而使得未经过更新的数字孪生模型仿真值与试验值之间的相对误差较大，需启动模型更新程序。

首先建立动力学模型的代理模型。依据经验选取了38个模型参数，包括时变啮合刚度、轴承刚度、阻尼以及啮合阻尼比等，各参数的初始值及取值范围如表3所示。利用OLHD方法生成38×1000组数据点，将其代入动力学模型中得到对应的振动加速度RMS值共4×1000组，均匀抽取100组数据作为测试集，剩余数据作为训练集，采用式（5）对数据进行归一化处理，分别建立了KRG、ANN和SVR这3种代理模型。3种代理模型在测试集上的拟合精度如图10所示，可以看出KRG模型在4个测点上的决定系数R²值均大于0.9，相较于其他两种代理模型表现最优，故选择KRG模型作为人字齿轮传动系统动力学模型的代理模型。

为提高模型更新效率，基于Sobol灵敏度分析方法对模型参数进行筛选，图11所示为各参数对动力学模型计算的4个测点处振动加速度RMS值的影响，选取一阶灵敏度指数和总效应指数大于0.1的参数作为数字孪生模型更新参数。由图11可知，x₁、x₂、x₃、x₅、x₆、x₇、x₈、x₁₉、x₂₃、x₂₄、x₂₅、x₂₆、x₃₀、x₃₇、x₃₈共15个参数入选。在之后的优化过程中，仅对这15个参数进行调整。

将灵敏度分析的结果作为优化变量，结合试验数据构建优化目标，使4个测点的振动加速度RMS试验值与仿真值之间的误差最小，则目标函数可定义为

\left.\begin{array}{l}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}F(x)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}{\displaystyle \sum _{h=\mathrm{1}}^{\mathrm{4}}}\left|\frac{R_h^{\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}-R_h^{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{m}}}{R_h^{\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}}\right|\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.x^{\mathrm{L}\mathrm{B}}\le x\le x^{\mathrm{U}\mathrm{B}}\end{array}\right\}（19）

式中：x为优化变量集合，x=｛x₁，x₂，x₃，x₅，x₆，x₇，x₈，x₁₉，x₂₃，x₂₄，x₂₅，x₂₆，x₃₀，x₃₇，x₃₈｝；R{}_h^{\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}为第h个测点处实测振动加速度的RMS值；R{}_h^{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{m}}为第h个测点处仿真振动加速度的RMS值，由KRG模型计算得出；x^LB为优化变量下界；x^UB为优化变量上界。

采用GA在优化变量的整个范围内搜索最优值。在优化过程中，种群规模设置为200，最大进化代数设置为150。表4所示为优化得到的模型参数，将其代入动力学模型后观察更新结果，如图12和图13所示。相较于模型更新之前，更新后的数字孪生模型计算的仿真值与试验值之间的相对误差小于2.0%，远小于设置阈值。

根据试验数据对表3中动力学模型参数进行更新后发现，数字孪生模型能更好地反映齿轮传动系统的振动性能，有利于对其进行状态监测。

3 基于数字孪生模型的振动监测

利用更新后的数字孪生模型继续预测该工况6~12 s内人字齿轮传动系统的振动性能，并与试验值进行对比，对比结果如图14和图15所示。可以看出，更新后的数字孪生模型依然能够准确地预测6~12 s内人字齿轮传动系统的振动性能，仿真值与试验值之间的相对误差仍小于2.0%，故不需要进行模型更新即可对系统进行振动性能监测。

为在不同工况条件下进一步测试该振动监测方法的有效性，将试验转速设为100~2700 r/min。如图16所示，经过更新后由数字孪生模型计算得

到的人字齿轮传动系统振动性能与试验测得的性能基本一致，两条曲线基本吻合。

表5给出了在不同转速下模型更新前后各测点处振动加速度RMS值的试验值与数字孪生模型仿真值之间的最大相对误差，从表中可以看出相对误差的最大值为15.21%，说明该数字孪生模型可以有效监测齿轮传动系统的振动性能，从而验证了所提出的基于数字孪生的齿轮传动系统振动性能监测方法的有效性，该方法可为齿轮传动系统的故障诊断和寿命预测提供可靠的数据支撑。

4 结论

本文提出了一种基于数字孪生的齿轮传动系统振动性能监测方法，数字孪生框架包括机理模型构建、模型更新和振动监测，采用人字齿轮传动系统对所提方法进行了验证。得到如下结论：

1）提出了机理模型与数据驱动的代理模型融合建模的数字孪生模型构建方法，利用人字齿轮传动系统验证了建模方法的正确性。

2）基于Sobol灵敏度分析方法对机理模型参数进行了筛选，结果表明部分轴承刚度和阻尼、啮合阻尼比及时变啮合刚度对齿轮传动系统的振动响应有较大影响。

3）通过开展不同转速下的试验，结合试验数据对模型参数进行调整，更新后的数字孪生模型仿真值与试验值基本一致，相对误差最大值为15.21%，说明该数字孪生模型能较好地反映系统的振动性能，为齿轮传动系统振动监测提供了一种新方法。

参考文献

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