物理引导的神经网络模型预测铝带冷轧轧制力

Physics-guided Neural Network Model for Predicting Rolling Forces in Aluminum Strip Cold Rolling

摘要

铝带冷轧过程中轧制力的精确预测是优化工艺和保障产品质量的关键，传统的物理模型难以精确捕捉复杂因素间的相互作用，而纯数据驱动模型缺乏物理约束且泛化能力受限。为构建一种兼具物理可解释性和高预测精度的铝带冷轧轧制力预测模型，以5182铝带为研究对象并拟合了屈服强度模型，对大量实际生产数据进行预处理后，采用PSO-Nelder-Mead算法对传统Hill轧制力模型进行了优化，提高了该模型的预测能力。在此基础上，提出了一种物理引导的神经网络（PGNN）模型。该模型以卷积神经网络为基础，在损失函数中融入了基于优化数学模型的物理约束项，使得模型在数据驱动的同时遵循物理规律，并使用贝叶斯优化对模型超参数进行寻优。最后将所建模型使用实际生产数据进行验证。研究结果表明，PGNN模型在验证集上展现出良好的预测性能，预测精度显著高于优化前后的数学模型且泛化能力良好，损失函数的迭代分析也辅证了物理约束的有效性。

Abstract

Accurate prediction of rolling forces in aluminum strip cold rolling was essential for process optimization and ensuring product quality. Traditional physical models often struggled to accurately capture the complex interactions among various factors， while purely data-driven models typically lacked physical constraints and exhibited limited generalization ability. In order to develop a rolling force prediction model for aluminum strip cold rolling that combined both physical interpretability and high prediction accuracy， taking 5182 aluminum strip as the research object， a yield strength model was fitted. After preprocessing a large volume of real production data， the traditional Hill rolling force model was optimized by using the PSO-Nelder-Mead algorithm， which significantly improved the predictive capability. Then， a PGNN model was proposed. This model was based on a convolutional neural network， integrating a physical constraint term derived from the optimized mathematical model into the loss function，which enabled the model to follow the physical laws while simultaneously being data-driven. Bayesian optimization was employed to optimize the model's hyperparameters. Finally， the established model was verified by using actual production data. The results show that the PGNN model exhibits excellent prediction performance on the validation set. The prediction accuracy is significantly higher than that of the mathematical models both before and after optimization， and shows strong generalization ability. Furthermore， the iterative analysis of the loss function further confirms the effectiveness of the physical constraints.

Graphical abstract

关键词

铝带冷轧 / 轧制力预测 / 物理引导神经网络 / 数据驱动 / 物理约束

Key words

aluminum strip cold rolling / rolling force prediction / physics-guided neural network（PGNN） / data-driven / physical constraint

0 引言

铝带冷轧是现代工业生产中至关重要的加工工艺之一，其产品广泛应用于建筑、交通运输、包装等领域^［1］。轧制力作为冷轧过程中的关键参数，直接影响轧制产品的尺寸精度、力学性能以及轧机设备的运行状态^［2］。准确预测轧制力对优化轧制工艺参数、提高产品质量、降低生产能耗以及保障设备安全具有重要意义^［3-4］。

传统的轧制力预测方法主要依赖于基于物理模型的理论计算^［5］。这些模型通常基于塑性变形理论、摩擦理论等基本原理，通过建立数学方程来描述轧制过程^［6-7］。然而，冷轧过程是一个复杂的非线性系统，受多种因素影响，如材料性能、轧辊参数、带钢和轧辊的变形关系等^［8-10］。传统的物理模型往往难以精确捕捉这些复杂因素之间的相互作用，导致预测精度有限^［11-12］。此外，建立精确的物理模型需要对轧制过程有深入的理解，且模型参数的获取和标定也存在一定难度。

近年来，随着人工智能技术的快速发展，数据驱动的机器学习方法在工业领域的应用日益广泛^［13-15］。神经网络作为一种强大的非线性建模工具，在处理复杂系统建模和预测问题上展现出优越的性能^［16-17］。基于神经网络的轧制力预测方法通过学习历史轧制数据中的隐含规律，能够有效捕捉输入与输出之间的非线性关系，从而实现对轧制力的预测^［18-20］。然而，纯粹的数据驱动模型往往缺乏对物理过程的深入理解，其预测结果可能存在物理意义上的偏差，且在训练数据不足或数据分布发生变化时，模型的泛化能力可能受到限制^［21-23］。

为克服传统物理模型和纯数据驱动模型的不足，将物理知识融入神经网络模型成为一种新的研究方向。物理引导的神经网络（physics-guided neural networks，PGNN）通过在神经网络的损失函数中引入物理方程或物理约束，使得模型在学习数据的同时也遵循基本的物理规律^［24］。这种方法结合了数据驱动的灵活性和物理模型的可解释性，有效提高了模型的预测精度和泛化能力，并确保了预测结果的物理合理性。

为实现铝带冷轧轧制力的精准预测，本文构建一种了PGNN模型。通过将轧制过程中的物理机理与神经网络模型相结合，能够在保证模型可解释性的前提下更准确地预测轧制力，可为优化轧制工艺提供理论参考。

1 铝带冷轧机组布置

铝带冷轧机组是实现铝带厚度减薄和性能优化的重要生产线。如图1所示，国内某铝带六辊可逆冷轧机组由一系列相互关联的设备组成，包括开卷机、入口段设备、六辊轧机、出口段设备和卷取机等。

开卷机负责展开待轧制的铝带卷，并通过入口段的夹送辊和导向辊将铝带平稳地送入轧机。在进入轧机之前，铝带会经过着色辊组涂抹轧制液，并由入口测厚仪和入口测速仪监测其初始状态。六辊轧机是整个机组的核心，其辊系结构由一对工作辊、一对中间辊和一对支撑辊构成，其辊系参数如表1所示。

这种配置使得六辊轧机在实现大压下量的同时能够通过工作辊和中间辊的弯辊有效控制铝带的板形。轧制后的铝带经由出口段处理，挤干辊组负责去除多余轧制液，出口测厚仪、出口测速仪和出口板形仪则对铝带的最终厚度、速度和板形进行在线监测。最后，铝带由卷取机收卷成成品卷或进行下一个道次的轧制。

2 数据预处理

不论使用常规数学模型还是机器学习模型，数据预处理是必要的。以铝带牌号5182为研究对象，从生产现场获取的大量数据共3417条，其中轧制力及工艺数据难免存在噪声，这是生产过程中的工艺波动、材料性能不均、传感器测量偏差等原因导致的。首先，铝带冷轧过程中的不同工艺参数及轧制力的尺度大不相同，应当对不同尺度的数据进行归一化处理，即将所有的数据放置［0，1］区间内。这样才能对数据的分布和为下一步处理做好数据基础，归一化后的数据如图2中降噪前所示，其中h₀为入口厚度；h₁为出口厚度；B为铝带宽度；σ₁为前张力；σ₀为后张力；P为轧制力。图2中外部轮廓（小提琴形状）代表数据的核密度估计，轮廓越宽的位置表示数据在该数值附近出现的频率越高（分布越集中），轮廓越窄的位置表示数据分布越稀疏；轮廓内部嵌套的6种颜色的矩形条则是由25%和75%分位数点构成的对应参数的核心区间，位于须线之外的离散点代表超出1.5倍四分位距（interquartile range， IQR）的离群值，反映了系统运行中的极端异常波动。

Tukey's fences法在数据降噪方面是被公认的有效处理方法，该方法认为数据点的值在（Q₁-k₀I_IQR，Q₃+k₀I_IQR）范围内是有效的，其中Q₃为数据分布的上四分位数，Q₁为下四分位数，I_IQR为四分位距，I_IQR=Q₃-Q₁，k₀为系数。当k₀=3时，代表值极端异常；当k₀=1.5时，代表值中度异常。本文取系数k₀=1.5。由图2可以看出，降噪前的数据存在较多的异常点，将数据进行降噪后异常点数量明显减少，数据分布也更加均匀。完成数据降噪后，开展数据集划分工作，将得到的降噪数据随机划分为8∶2的训练集和验证集，为后续模型训练做好数据准备。

3 铝带冷轧轧制力模型的优化

轧制力模型的优化以变形抗力的精确预测为前提。变形抗力是随轧制道次不断累积的特征参数，需在模型优化前预先精确预测每个道次在不同压下量下的变形抗力^［25］。

本文以5182铝合金为例，通过实验测得其屈服强度总随压下率的关系，如图3所示，拟合得到的计算表达式如下：

{\sigma }_{\mathrm{s}}=\mathrm{135}+\mathrm{43.04}{r}_{\mathrm{t}}^{\mathrm{0.405}}（1）

式中：σ_s为屈服强度，MPa；r_{\mathrm{t}}为总压下率，%。

得到铝带屈服强度的拟合表达式后，即可用于不同压下量的变形抗力计算，以进一步实现轧制力的精确预测。

铝带冷轧与常规钢种的冷轧采用相同的轧制力基础模型，同时由于铝带强度较低，因此满足工作辊压扁的圆弧假设，可以使用工程上实用的Hill轧制力模型，其表达式如下：

P=Q_{\mathrm{F}}(K_{\mathrm{m}}-\xi )B\sqrt[]{R^{\text{'}}\mathrm{\Delta }h}+

\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\sqrt[]{\frac{\mathrm{1}-{\nu }^{\mathrm{2}}}{E}}{K}_{\mathrm{m}}\frac{h_{\mathrm{1}}}{\mathrm{\Delta }h}(K_{\mathrm{m}}-\xi )B\sqrt[]{R^{\text{'}}\mathrm{\Delta }h}（2）

\begin{array}{c}{Q}_{\mathrm{F}}=\mathrm{1.08}-\mathrm{1.02}r+\mathrm{1.79}r\mu \sqrt[]{\frac{R^{\text{'}}(\mathrm{1}-r)}{h_{\mathrm{1}}}}\\ \xi =\mathrm{0.3}{\sigma }_{\mathrm{1}}+\mathrm{0.7}{\sigma }_{\mathrm{0}}\end{array}

式中：Q_F为外摩擦影响系数；Δh为道次压下量，mm；ξ为张力影响系数，MPa；K_{\mathrm{m}}为道次平均变形抗力，MPa；R'为工作辊压扁半径，mm；r为道次压下率，%；μ为摩擦因数；ν为泊松比；E为弹性模量，MPa。

一般认为工作辊在冷轧轧制过程中会产生弹性压扁，可以认为本轧机工作辊压扁后依然为圆弧形状，其计算方法如下：

R^{\text{'}}=R[\mathrm{1}+\frac{\mathrm{16}(\mathrm{1}-{\nu }^{\mathrm{2}})P}{\mathrm{\pi }EB\mathrm{\Delta }h}]（3）

式中：R为工作辊原始半径，mm。

常规冷轧过程中的轧制力计算方法为：设定初始轧制力→计算工作辊压扁半径→计算轧制力→计算工作辊压扁半径，经过多次迭代后工作辊压扁半径收敛并输出最终的轧制力值。对于铝带，虽可采用基础模型，但模型中的部分特性参数并不适用，因此对模型进行优化是必要的。

首先，铝带冷轧过程与常规轧制过程中的摩擦因数并不相同，摩擦因数与工艺润滑、轧辊与带钢之间的接触状态、轧辊与带钢的表面形貌有关^［26］。此外，外摩擦影响系数Q_F中的3个系数和张力影响系数ξ中的系数均适合于常规冷轧工况，对于铝带生产，应对其Q_F中的3个系数与ξ中的系数进行重新回归。

同时，考虑到单一优化算法在复杂非线性目标函数优化中易陷入局部最优或收敛速度慢的缺点，本文建立了基于粒子群优化（particle swarm optimization，PSO）和Nelder-Mead单纯形法的PSO-Nelder-Mead的全局+局部精细化系数搜索模型。首先，利用PSO算法进行全局探索，快速定位参数空间的有希望区域；随后采用高效的直接搜索方法即Nelder-Mead算法对PSO算法获得的初步最优解进行局部精细化搜索，以实现加速收敛并提高解的精度。

PSO和Nelder-Mead的基本结构已经成熟，也有相关研究证明了它们在工业生产中的实用性^［27-28］，本文所提PSO-Nelder-Mead算法的流程如图4所示。

由图4可知，所提方法共反算了两次摩擦因数，第一次是提高基础模型的摩擦因数精度，第二次是在系数优化之后，目的是提高摩擦因数对优化系数的适配性。此外，PSO算法能够在复杂的参数空间中进行有效的全局探索，降低了陷入局部最优的风险，为局部搜索提供了良好的起始点。Nelder-Mead算法在局部搜索方面表现出色，能够快速地收敛到最优解附近，弥补了PSO算法在收敛后期速度较慢的不足。通过结合全局和局部搜索策略，有效提高了优化效率和辨识精度，输出的优化系数分别为Q_F=｛2.29，1.49，2.34｝和ξ=｛0.39，0.61｝，优化模型和基础模型在验证集中的预测性能如图5所示。

图5中，基础模型实现了第一次摩擦因数反算，优化模型进行了两次摩擦因数反算，两者的最终值分别为0.0529和0.0535。从图5中优化模型和基础模型在实测值与预测值的表现中来看，基础模型的预测轧制力值偏小，且在小轧制力工艺中尤为明显。相比之下，优化模型在各工艺段的区间内预测性能比较稳定。从性能指标来看，相比于基础模型，优化模型的决定系数R²增大了约0.1、平均绝对百分比误差R_MAPE（mean absolute percentage error，MAPE）降低了4.5%、均方根误差R_RMSE（root mean square error，RMSE）降低了约280 kN，优化模型的预测性能明显更优，有效提高了预测的精度。但总体来看，优化后数学模型的精度依然有限，物理机理虽然具有可解释性和泛化能力，但是在更高精度的需求中表现不佳。上述各性能指标的计算表达式如下：

\left.\begin{array}{l}{R}^{\mathrm{2}}=\mathrm{1}-[{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}(y_i^{}-y_i^{\text{'}}{)}^{\mathrm{2}}]/[{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}(y_i^{}{-\overline{y})}^{\mathrm{2}}]\\ R_{\mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{S}\mathrm{E}}=\sqrt[]{\frac{\mathrm{1}}{N}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}(y_i^{}-y_i^{\text{'}}{)}^{\mathrm{2}}}\\ R_{\mathrm{M}\mathrm{A}\mathrm{P}\mathrm{E}}=\frac{\mathrm{1}}{N}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}\left|\frac{y_i^{}-y_i^{\text{'}}}{y_i^{}}\right|\end{array}\right\}（4）

式中：y_i^{}为第i个样本的实测值；y_i^{\text{'}}为第i个样本的预测值；\overline{y}为实测值平均值；N为样本总量。

4 物理引导的神经网络模型

传统的数学模型和纯数据驱动模型在铝带冷轧轧制力预测中各有优劣。数学模型基于物理原理，具有良好的可解释性，但在复杂工况下精度受限；纯数据驱动模型（如深度学习）在数据量充足时能够捕捉复杂的非线性关系，但缺乏物理约束，可能产生不符合物理规律的预测结果，且泛化能力有待提升。为结合两者的优势，本文构建了一种物理引导的神经网络（PGNN）模型用于预测铝带冷轧轧制力。

PGNN模型通过在神经网络的损失函数中引入物理约束项将物理规律融入到模型的训练过程中，使得模型在学习数据的同时也遵循基本的物理原理，从而提高模型的预测精度、泛化能力和物理一致性。本研究构建的PGNN模型结构基于卷积神经网络（CNN），并结合了轧制力预测的物理模型，本文模型的整体架构如图6所示。

4.1 模型结构

本研究采用CNN模型作为PGNN 模型的基础结构。CNN模型在处理序列数据方面具有优势，能够有效地从轧制过程参数中提取局部和全局特征。模型的具体结构如下：

1）输入层。模型的输入为轧制过程参数的归一化数据，包括入口厚度、出口厚度、前张力、后张力、变形抗力、铝带宽度和道次压下率等。这些参数以序列的形式输入到网络中，其输入序列为\mathit{X}=(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},\dots ,x_M)，其中M为输入参数的数量。

2）卷积层。模型包含两层卷积层，用于提取输入参数的特征。卷积操作通过一个卷积核在输入序列上滑动并进行点积运算，从而生成特征图。对于第一层卷积层，输入序列为 X，卷积核为{\mathit{W}}^{(\mathrm{1})}=(w_{\mathrm{1}}^{(\mathrm{1})},w_{\mathrm{2}}^{(\mathrm{1})},\dots ,w_n^{(\mathrm{1})})，其中n为卷积核大小。输出特征图{\mathit{F}}_{\mathrm{c}}^{(\mathrm{1})}的第i个元素的计算表达式为

F_{\mathrm{c},i}^{(\mathrm{1})}={\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}{x}_{i+j-\mathrm{1}}{w}_j^{(\mathrm{1})}+b^{(\mathrm{1})}（5）

其中，b^{(\mathrm{1})}为偏置项。通过在输入序列上滑动卷积核，可以得到完整的特征图{\mathit{F}}_{\mathrm{c}}^{(\mathrm{1})}，采用零填充操作保持输出特征图的长度与输入序列相似。在本研究中，填充大小设置为卷积核大小的一半。卷积层后接ReLU（z）激活函数，其中z为神经元的净输入。ReLU（z）激活函数引入了非线性，以增强模型的表征能力，其计算表达式为

\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{L}\mathrm{U}(z)=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(\mathrm{0},z)（6）

3）池化层。池化操作在特征图上滑动一个池化窗口，并取窗口内的最大值作为输出。对于第一层池化层，输入为特征图{\mathit{F}}_{\mathrm{c}}^{(\mathrm{1})}，池化窗口大小为p。输出特征图{\mathit{F}}_{\mathrm{p}}^{(\mathrm{1})}的第s个元素计算表达式为

F_{\mathrm{p},s}^{(\mathrm{1})}=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(F_{\mathrm{p},s,p}^{(\mathrm{1})},F_{\mathrm{p},s,p+\mathrm{1}}^{(\mathrm{1})},\dots ,F_{\mathrm{p},s,p+p-\mathrm{1}}^{(\mathrm{1})})（7）

最大池化操作减少了特征图的维度，同时保留了最重要的特征信息，有助于降低模型的计算复杂度和防止过拟合。第二层卷积层和池化层的计算过程与第一层类似，只是输入变为第一层池化层的输出{\mathit{F}}_{\mathrm{p}}^{(\mathrm{1})}，并使用不同的卷积核{\mathit{W}}_{}^{(\mathrm{2})}、偏置b_{}^{(\mathrm{2})}和池化窗口大小。

4）全连接层。经过两层卷积和池化后的特征图被展平为一个向量，并输入到两个全连接层。全连接层将展平后的特征向量与权重矩阵相乘并加上偏置，然后通过ReLU激活函数进行非线性变换。对于第一个全连接层，输入向量为 V，权重矩阵为{\mathit{W}}_{\mathrm{f}\mathrm{c}\mathrm{1}}，偏置为{\mathit{b}}_{\mathrm{f}\mathrm{c}\mathrm{1}}。输出向量{\mathit{H}}_{\mathrm{1}}的计算表达式为

{\mathit{H}}_{\mathrm{1}}=\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{L}\mathrm{U}(\mathit{V}{\mathit{W}}_{\mathrm{f}\mathrm{c}\mathrm{1}}+{\mathit{b}}_{\mathrm{f}\mathrm{c}\mathrm{1}})（8）

第二个全连接层的计算过程与第一个类似，最终输出为预测的轧制力。

5）输出层。输出层为一个神经元，用于预测轧制力的降噪值。输出层不使用激活函数，直接输出全连接层的计算结果。

4.2 物理约束

为将物理规律融入到神经网络模型中，本文在模型的损失函数中引入了基于优化数学模型改进的物理约束项，它考虑了材料变形抗力、摩擦因数、轧辊半径等因素。物理约束项的目标是使神经网络的预测结果尽可能地接近物理模型根据相同输入参数计算出的结果。具体而言，对于每一个训练样本，本文使用其原始降噪的物理输入参数通过优化数学模型公式计算出一个物理预测值。物理约束项的输入参数与CNN完全相同，使用降噪后的训练集数据进行计算，在PGNN模型训练过程中，物理模型不仅单纯进行迭代求解轧辊压扁等复杂过程，同时还作为一个固定的物理关系来约束神经网络的输出。

4.3 损失函数

PGNN模型的总损失函数由数据损失和物理损失两部分组成。

1）数据损失。数据损失是衡量神经网络预测结果与真实轧制力之间的差异。本研究采用均方误差（MSE）作为数据损失函数L_data，对于N个样本，有L_{\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{a}}=\frac{\mathrm{1}}{N}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}({\widehat{P}}_i-P_i{)}^{\mathrm{2}}。其中，{\widehat{P}}_i为神经网络的预测轧制力，P_i为真实的轧制力。

2）物理损失。物理损失是衡量神经网络预测结果与物理模型计算结果之间的差异。本研究同样采用MSE作为物理损失函数L_physics，对于N个样本，有L_{\mathrm{p}\mathrm{h}\mathrm{y}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{s}}=\frac{\mathrm{1}}{N}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^N}({\widehat{P}}_i-P_{\mathrm{p}\mathrm{h}\mathrm{y}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{s},i}{)}^{\mathrm{2}}。其中，P_{\mathrm{p}\mathrm{h}\mathrm{y}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{s},i}为物理模型计算的轧制力。

因此，总损失函数是数据损失和物理损失的加权和，可表示为

L_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{l}}=\alpha L_{\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{a}}+\beta L_{\mathrm{p}\mathrm{h}\mathrm{y}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{s}}（9）

式中：\alpha、\beta分别为数据损失权重和物理损失权重，且\alpha +\beta =\mathrm{1}。

本研究采用\alpha +\beta =\mathrm{1}的约束条件，这一约束是PGNN领域中一种常见的实践方法。通过确保\alpha +\beta =\mathrm{1}约束条件，可使总损失函数的量纲与数据损失和物理损失保持一致，避免因权重过大或过小而导致总损失数值范围剧烈变化，从而有利于优化器的稳定训练。并且将\alpha和\beta视为数据拟合和物理一致性在总损失中的相对重要性分配。当\alpha增大时，模型更侧重于拟合数据；当\beta增大时，模型更侧重于遵循物理规律。这种归一化方式使权重具有直观的物理意义，便于调节和解释。

4.4 自适应物理约束

针对物理模型在小轧制力工况下存在的预测偏差问题，本文引入了自适应物理约束项以增强模型的鲁棒性和对复杂工况的适应性。为此设计了一种动态调整策略，使物理约束的权重\beta能够根据神经网络当前预测的轧制力P_{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{d}}进行自适应调整。新的损失函数可表示为

L_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{l}}=\alpha L_{\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{a}}+{\beta }_{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{e}}{L}_{\mathrm{p}\mathrm{h}\mathrm{y}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{s}}（10）

其中，\alpha为固定的数据损失权重，而{\beta }_{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{e}}则根据如下公式动态计算：

{\beta }_{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{e}}={\beta }_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}+({\beta }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}-{\beta }_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}})·

\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(-m(P_{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{d}}-P_{\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}}))}（11）

其中，P_{\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}}为预设的轧制力阈值，用于区分小轧制力工况；m为Sigmoid函数的陡峭系数，本研究中设定m=\mathrm{1}，当自适应策略通过动态调整物理约束的权重，使得预测轧制力接近预设阈值时，物理约束的强度能够平滑地变化，从而能够更好地适应不同工况；{\beta }_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}、{\beta }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}分别为物理约束的最小和最大权重，其中{\beta }_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}=\mathrm{0.1}、{\beta }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=\mathrm{1}-\alpha。该机制使P_{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{d}}处于小轧制力区域（即P_{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{d}}<P_{\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}}）时，{\beta }_{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{e}}趋近于{\beta }_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}，从而降低物理约束的强度，允许模型更多地从数据中学习以弥补物理模型在该区域的潜在局限性或数据稀疏性；而在正常轧制力工况下，{\beta }_{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{e}}趋近于{\beta }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}，以确保物理约束的强大引导作用。

4.5 模型训练与优化

PGNN模型的训练过程采用Adam优化器，通过最小化总损失函数来更新神经网络的权重和偏置。训练过程中，模型同时考虑数据损失和物理损失，使得神经网络的预测结果既能拟合训练数据，又能遵循数学模型公式的物理规律。

为找到最优的神经网络超参数（学习率、批量大小、卷积核大小、卷积核数量），本研究采用了贝叶斯优化方法。贝叶斯优化是一种高效的全局优化算法，通过构建目标函数的概率模型智能地选择下一个评估点，从而在较少的评估次数内找到最优解。在贝叶斯优化过程中，目标函数定义为在验证集上的负均方误差。优化器在预定义的超参数搜索空间内进行迭代，每次根据当前的评估结果更新概率模型，并选择下一个最有潜力的超参数组合进行评估。经过贝叶斯优化，最终将获得在验证集上表现最佳的一组超参数。在训练过程中，对每次迭代的训练集和验证集分别记录总损失、数据损失和物理损失，以便分析模型的收敛情况和各损失项的变化趋势。

5 结果与分析

5.1 消融实验

为深入探究物理约束项对模型性能的影响，并为本文所提PGNN模型的设计提供理论支撑，开展了消融实验。本节对比了纯数据驱动模型（\alpha=1，\beta=0）和纯物理模型（\alpha=0，\beta=1）在铝带冷轧轧制力预测任务上的性能表现。

5.1.1 实验设置

本消融实验在与PGNN模型相同的训练和验证数据集上进行。主要对比了如下两种极端模型配置：

1）纯数据驱动模型。此时损失函数仅包含数据损失项，模型完全依赖于数据进行学习，其本质上是一个标准的CNN模型。

2）纯物理模型。此时损失函数仅包含物理损失项，模型完全通过遵循物理规律进行训练，不直接拟合数据标签。直接使用PSO-Nelder-Mead算法优化后的物理模型。

5.1.2 实验结果

从表2和表3中可以看出，纯数据驱动模型在拟合复杂数据方面表现出色，但其预测结果可能缺乏物理可解释性，且在数据稀疏或分布不均的工况下泛化能力可能受限；而纯物理模型虽然具有明确的物理意义，但其固有的简化假设和参数不确定性使其难以达到高精度预测。综上可知，PGNN模型的设计正是为了结合这两种方法的优势，以实现性能与物理合理性的最佳平衡。

5.2 敏感性分析

为探究损失函数中数据损失权重\alpha和物理损失权重\beta（满足\alpha +\beta =\mathrm{1}）对PGNN模型性能的影响，有必要进行敏感性分析。通过系统地改变\alpha的取值范围（0.1~0.9）并评估模型在训练集和验证集上的各项性能指标，以确定最佳的权重组合，从而实现预测精度和物理合理性的平衡。

5.2.1 实验设置

敏感性分析在与PGNN模型相同的训练和验证数据集上进行。设定\alpha的取值范围为｛0.1，0.2，…，0.9｝，并根据\alpha +\beta =\mathrm{1}的关系确定相应的\beta值。对于每个\alpha值，笔者独立训练PGNN模型并记录它在训练集和验证集上的R²、R_RMSE以及R_MAPE指标。

5.2.2 实验结果

观察表4所示的验证集性能指标可知，R²值在0.962~0.969之间波动，R_MAPE在4.08%~4.43%之间波动。这表明在设定的\alpha取值范围内，PGNN模型均能保持较高的预测精度，验证了物理约束与数据驱动结合的有效性。由表4还可知，在所有测试的\alpha值中，当\alpha=0.3时，PGNN模型在验证集上取得了最佳的综合性能，此时R_RMSE为401.0 kN，R²达到0.969，R_MAPE为4.08%。这表明在此权重配置（即数据损失权重\alpha=0.3，物理损失权重 \beta=0.7）下，PGNN模型能够最好地平衡数据拟合能力和物理规律的遵循。

5.3 PGNN模型预测性能分析

将所建立的PGNN模型应用到降噪后的训练集数据，并在验证集中进行测试，要求其误差界限在±10%以内，如图7所示。超参数的寻优结果如表5所示。

由图7可以得出，PGNN模型在验证集中的表现良好，绝大部分数据的预测精度均在±10%的误差线内，且颜色越深的地方数据密度越大，说明大量数据的预测精度较高。但小轧制力部分依然存在少量数据的预测偏差较大，其原因为物理模型对PGNN模型的约束，导致PGNN模型在小轧制力预测时出现与物理模型相似的偏差结果。究其根本在于物理模型在小轧制力工况下的固有局限性以及损失函数中固定权重带来的“刚性”（即无法动态适应不同工况对数据拟合和物理约束的侧重）。

将适应小轧制力的自适应物理约束应用于本研究，其修正最后结果如图8所示。

实验结果表明，引入自适应物理约束项后显著提高了模型在小轧制力工况下的预测精度和鲁棒性。图7和图8分别展示了改进前后模型在小轧制力区域的预测误差分布对比，可清晰表明小轧制力预测偏差得到了有效缓解。这验证了自适应物理约束策略在提高模型对复杂工况适应性方面的有效性。

5.4 各模型性能对比

本研究对比了优化前的数学模型（MM1）、优化后的数学模型（MM2）、物理信息神经网络（physics-informed neural networks，PINN）^［29］、PGNN和单纯CNN模型在验证集中的各项性能指标，如图9所示。

由图9明显得出，各模型的预测性能排序从高至低依次为CNN、PGNN、PINN、MM2、MM1，其中CNN的预测性能最好，但并不具备物理可解释性；优化前后的数学模型的物理可解释性最高，但预测性能相对较差；且在图9中PGNN的预测性能优于PINN的预测性能，其原因在于PINN倾向于将物理方程作为“硬约束”，要求模型严格满足物理定律，仅在物理定律精确且数据稀疏时表现出色。然而，在实际工业场景中物理模型往往是简化的，且数据中存在测量误差和未建模的复杂因素。PGNN是将物理约束作为损失函数中的一项（而非唯一的或绝对主导的损失），并通过可调节的权重来平衡数据损失和物理损失，使其能够更加灵活地适应实际数据与理想物理模型之间的偏差。这种“软约束”的引入允许模型在保持物理合理性的同时，能够更好地拟合真实世界的复杂性。

综上，PGNN模型综合考虑了物理机理和预测性能，在保证了物理可解释性的前提下尽可能地提高了预测精度，综合性能表现最佳。

5.5 PGNN损失分析

由前文敏感性分析可知，当\alpha=0.3、\beta=0.7时PGNN模型的综合性能最佳。在最佳权重下PGNN模型的总损失、数据损失和物理损失随迭代次数的变化如图10所示。

由图10可知，各项损失在第一次迭代过程中迅速收敛至较低的水平，然后在第20次迭代后逐渐趋于稳定。而权重\beta相对较高的配置（\beta=0.7）也直接导致了图10中物理损失在训练过程中持续低于数据损失的现象。较高的物理损失权重使得优化器在训练初期更倾向于快速降低物理损失，引导模型迅速收敛至物理上可行的解空间。即使在其他\alpha值下，只要权重\beta不为零，物理损失通常也会因物理模型本身的准确性而保持在较低水平，但权重\beta越高，它对总损失的贡献和对优化方向的引导作用就越明显，从而强化了物理损失的主导地位。这也说明\alpha=0.3、\beta=0.7的权重组合是经过系统敏感性分析后，在保证模型整体预测精度最优的前提下，充分利用物理知识的引导作用并兼顾数据拟合能力和工程实用性考量而确定的最佳选择。

5.6 PGNN模型工业部署展望

PGNN模型在实际工业环境中部署的实时性和计算成本是衡量其工程实用性的关键指标。本研究对训练完成的PGNN模型进行了推理性能评估。在配置为Intel Core i7-10700 CPU， 32 GB RAM的计算环境下，PGNN模型单次轧制力预测的平均推理时间约为5 ms。该模型参数量约为120万，模型文件大小约为4.8 MB。与传统的迭代式物理模型相比，PGNN模型在预测时无需复杂的迭代求解过程，其计算效率显著提高，能够满足冷轧生产线上毫秒级的实时预测需求。此外，相较于大型深度学习模型，PGNN的模型结构相对轻量，所需的计算资源和内存占用较低，这使其更易于部署到工业控制系统或边缘计算设备中，为实现轧制过程的在线优化和智能控制提供了坚实基础。

6 结论

本文针对铝带冷轧过程中轧制力预测精度不足的问题，提出了一种物理引导的神经网络（PGNN）模型。通过将轧制过程的物理机理与神经网络模型相结合，有效提高了模型的预测精度和泛化能力。得出结论如下：

1）对铝带冷轧过程数据进行了预处理，包括归一化和降噪处理，为后续模型训练奠定了数据基础。针对铝带冷轧的特点拟合了屈服强度模型，并对传统的Hill轧制力模型进行了优化，引入了基于PSO-Nelder-Mead算法的系数搜索模型，有效提高了数学模型的预测精度。

2）构建了基于卷积神经网络（CNN）的PGNN模型。该模型在损失函数中引入了基于优化数学模型的物理约束项，使得模型在学习数据的同时遵循物理规律，并建立自适应物理约束项，增强了模型的鲁棒性。通过贝叶斯优化方法对模型超参数进行了优化，进一步提高了模型的性能。

3）将所建立的PGNN模型应用于实际生产数据并进行验证。研究结果表明，PGNN模型在验证集上表现良好，绝大部分数据的预测精度在±10%误差线内。与优化前后的数学模型相比，PGNN模型在R²、R_RMSE和R_MAPE等性能指标上均有显著提高，且模型具有良好的泛化能力；与单纯CNN模型相比，PGNN模型在保证了物理可解释性的前提下预测性能良好，综合性能表现最佳。损失函数的迭代变化趋势也进一步验证了物理约束的有效性，模型依然保持良好的物理可解释性。

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基金资助

河北省自然科学基金(E2024203125)

河北省省级科技计划创新应用场景专项(252Q0303D)

河北省省级科技计划数字产业创新发展专项(252F0303D)

唐山市科技计划(24140203C)