基于改进灰狼算法的液滴碰撞扩散动态行为预测研究

Research on Dynamic Behavior Prediction of Droplet Collision and Diffusion Based on Improved Grey Wolf Algorithm

摘要

为探究液滴撞击与铺展动力学行为，提高液滴铺展工艺参数设计效率，基于有限元模型建立了智能优化算法的数据集，并提出了一种基于改进灰狼优化算法的极限学习机（ELM-IGWO）预测模型。以液滴初始直径、速度、高度以及材料的接触角作为输入，液滴最大铺展直径和中心厚度为输出，对液滴撞击与铺展的动力学行为进行了预测。通过与反向传播神经网络、遗传算法优化反向传播神经网络、极限学习机以及传统的灰狼优化极限学习机模型进行比较，发现所提算法在预测液滴撞击和扩散的动态行为方面具有更高的准确性。此外，利用基于人工神经网络的改进型多目标非支配排序遗传算法对液滴撞击与铺展的工艺参数进行优化，实验结果表明，预测的最大铺展直径与实验数据的平均相对误差为3.54%，中心厚度的预测误差为5.71%。

Abstract

To explore the dynamic behaviors of droplet impact and spreading and to further improve the efficiency of designing process parameters for droplet spreading， a dataset for an intelligent optimization algorithm was established based on a finite element model， and a prediction model based on extreme learning machine optimized by improved grey wolf optimizer（ELM-IGWO） was proposed. Using the initial droplet diameters， velocities， heights， and material contact angles as inputs， and maximum spreading diameters and central thicknesses of droplets as outputs， the dynamic behaviors of droplet impact and spreading were predicted. By comparing with the back propagation neural network（BP）， back propagation neural network optimized by genetic algorithm（BP-GA）， extreme learning machine（ELM）， and extreme learning machine optimized by grey wolf optimizer（ELM-GWO）models， it is found that the proposed algorithm has the greater accuracy in predicting the dynamic behaviors of droplet impact and spreading. In addition， the processing parameters of droplet impact and spreading were optimized by using an improved multi-objective non-dominant sorting genetic algorithm based on artificial neural networks（ANN-IMNSGA-Ⅱ），the experimental results show that the average relative error between the predicted maximum spreading diameters and the experimental data is as 3.54%， and the prediction error for the central thicknesses is as 5.71%.

Graphical abstract

关键词

液滴铺展 / 有限元模型 / 智能优化算法 / 预测模型

Key words

droplet impact / finite element model / intelligent optimization algorithm / prediction model

0 引言

液滴与固体表面间的动态接触行为作为多相界面科学的重要研究内容^［1］，在自然界和工程技术领域具有广泛性。系统研究液滴动态行为的界面动力学机理，不仅对揭示自然界中多尺度界面现象的本质规律具有基础科学价值，而且为工业制造领域的工艺革新和装备性能提升提供了关键理论支撑。通过建立液滴撞击过程的定量化表征模型，可有效指导表面润湿性调控^［2］、相变传热优化^［3］等工程实践，从而推动清洁能源利用、精密制造技术及先进材料研发等领域的创新发展。

国内外学者根据流体动力学的基本原理，围绕液滴撞击过程开展了大量实验与仿真研究。ABOLGHASEMIBIZAKI等^［4］通过对液滴沉积、局部墨水流动和溶剂挥发等物理过程进行分析建模，实现了曲面喷墨3D打印部件的形态预测。GUIMARÃES等^［5］通过建立数值模型预测了加工切削液和水在WC-10%Co（质量分数）切削工具表面的扩散行为。上述研究主要依赖传统有限元方法，在特定工况下取得了较高的模拟精度。然而近年来随着计算力学问题复杂性的不断提高，传统有限元方法在工程仿真领域面临着计算效率低、模型泛化能力不足等瓶颈，为此，研究者开始引入机器学习技术。机器学习通过引入新的工艺建模和优化方法，实现了高效的工艺优化^［6］。MENON等^［7］将物理模型和神经网络结合起来，利用少量的数据预测油墨的打印性能。HUANG等^［8］提出基于视频数据的无监督学习算法，用于对微滴喷射过程演变的研究。为了确保印刷微滴数量和位置的准确性，WANG等^［9］采用反向传播神经网络，以压力传感器数据为输入，微滴喷射状态为输出，建立了预测模型。ZHANG等^［10］将深度神经网络与NSGA-Ⅱ遗传算法相结合，实现了NiTi基超疏水表面制造工艺的预测与优化。

综上所述，现有研究在液滴撞击行为的数值模拟与机器学习建模方面已取得重要进展，但仍存在以下不足：基于传统有限元的仿真方法在计算效率与模型可迁移性方面难以满足复杂工艺场景的快速预测需求；当前机器学习模型多依赖于单一的数据驱动方式，对物理机制的融合尚不充分，且缺乏对液滴初始状态与表面特性等多因素耦合影响的系统建模。

针对上述问题，本文将传统有限元仿真与智能优化算法相融合，以解决有限元建模存在的计算效率受限与模型普适性不足的双重技术瓶颈问题，重点研究不同初始状态下液滴撞击不同接触角表面的动态行为。构建液滴撞击与铺展的仿真模型，结合高精度体积分数法（VOF）数值模拟，定量表征体积分数分布特征，研究速度场动态响应规律。在此基础上，提出一种基于改进型灰狼优化（improved grey wolf optimizer，IGWO）算法构建的极限学习机预测模型，利用正交试验建立25组模型作为训练集，对液滴撞击与铺展的动态行为进行预测，最后评估不同模型的预测效果。

1 有限元建模与仿真

1.1 系统实验装置

本文设计的液滴喷射系统主要由三轴平台、注射器、喷嘴、信号发生器、压电执行器、菱形放大器、基板等组成，为了记录并分析液滴铺展过程，利用Photron的Mini AX 200高速摄像机捕捉图像，最高拍摄速度为216 000帧/s，频闪LED用于拍摄过程中的照明。高速摄像机主要聚焦于液滴撞击基材的表面位置，并记录液滴撞击与铺展的过程。构成的系统如图1所示。

1.2 有限元模型建立

本文通过ANSYS Fluent软件建立液滴撞击与铺展的多耦合相变模型。该软件使用体积分数法来模拟和分析流体流动。由于液滴撞击与铺展的三维与二维模型仿真结果之间的误差较小^［10］，所以本文采用二维模型进行仿真分析。图2为液滴撞击与铺展过程的几何模型示意图。模型主要由空气域、液滴和固体域组成，其中液滴的半径为r，液滴的初始速度为脱离喷嘴口时的速度u，考虑重力加速度的影响(g=\mathrm{9.81}\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}})，撞击距离初始位置为h、接触角为\alpha的基板表面。在空气域的外部边界上施加开放边界条件，出口压力、液滴直径和液滴高度保持与实验条件相同。如图2所示，采用网格尺寸为0.01 mm的墙壁模型。在所建立的模型中作以下假设：初始液滴为球形；流体为不可压缩流体，液滴是牛顿流体且不可压缩，没有相变，同时气体为理想气体；在液滴撞击与铺展过程中，温度保持不变，且两种流体之间界面的表面张力是恒定且均匀的，壁面接触角、密度和黏度等物性参数均为常数，大小如表1所示。

在这种情况下，速度场\mathit{u}和压力p满足经典的单流体形式的Navier-Stokes方程^［11］：

\nabla \cdot \mathit{u}=\mathrm{0}（1）

\rho (\frac{\partial \mathit{u}}{\partial t}+\mathit{u}·\nabla \mathit{u})=-\nabla p+\nabla \cdot (\mu (\nabla \mathit{u}+{(\nabla \mathit{u})}^{\mathrm{T}}))+\rho g+F_{\sigma }（2）

式中：\rho为密度；\mu为动态黏度；g为重力加速度；F_{\sigma }为由表面张力引起的力。

气液界面随时间和空间的变化是液膜铺展的关注焦点，本文采用VOF方法跟踪本文中的液滴与空气之间的界面（自由表面）位置。 在单个单元中，密度和动力学黏度等物理参数由下式计算：

\rho ={\phi }_{\mathrm{l}}{\rho }_{\mathrm{l}}+{\phi }_{\mathrm{g}}{\rho }_{\mathrm{g}}（3）

\mu ={\phi }_{\mathrm{l}}{\mu }_{\mathrm{l}}+{\phi }_{\mathrm{g}}{\mu }_{\mathrm{g}}（4）

{\phi }_{\mathrm{l}}+{\phi }_{\mathrm{g}}=\mathrm{1}（5）

其中，\phi、\mu分别为体积分数和动力学黏度，其下标\mathrm{l}、\mathrm{g}分别表示液相和气相。空气和射流密度在研究范围内被认为是恒定的。沿流动方向考虑了重力对液膜铺展的影响，但忽略了液膜中的质量和传热^［12］。

本文选用工业生产中常用的有机溶剂作为液滴材料，具体参数见表1。基材选取工业中常用的45号钢。由于粗糙度会对接触点产生一定影响，因此随机选取三种不同粗糙度的45号钢进行观察。不同粗糙度表面的三维轮廓图像通过3D表面形貌测量仪器Sensofar进行测量，如图3所示。

1.3 有限元结果与验证

本文研究了直径1 mm、喷射高度10 mm、喷射速度4 m/s的液滴撞击在接触角α为150°的固体表面时不同时刻的形态变化，如图4所示。可以看出，液滴在一定高度落下之后，依次经历下落、第一次铺展和回缩、在回缩达到极值后进行第二次铺展和回缩，最后达到平衡状态。

为了确保仿真模型的有效性，通过实验对其进行验证。本文采用直径0.5 mm、碰撞速度1 m/s、撞击接触角30°的液滴进行实验，图5所示为液滴撞击固体壁面时液滴形态演变过程的实验结果与仿真结果对比。可以看出，仿真模型能够准确模拟液滴撞击固体壁面后发生铺展的情况，与实验的铺展过程基本一致，达到最大铺展直径后液滴逐渐达到平衡状态。

2 多目标算法优化模型

2.1 正交试验设计

液滴撞击与铺展在实际过程中受多因素同时控制，若想研究液滴撞击与铺展的所有参数组合不切实际且困难。因此本文利用正交试验设计方法^［13］结合有限元仿真，有效减少实验次数，同时获得有效的结果，以提高效率。本文设计的正交试验如表2所示。选择了4种因素5个水平作为研究对象，包括液滴初始直径、液滴高度、液滴初始速度和接触角。正交试验组成25组案例，其结果如表2所示。其中，每组实验在达到最大铺展直径时的体积分数云图见图6。

2.2 改进的灰狼优化算法（IGWO）

本文建立了一种改进灰狼优化（IGWO）算法，引入非线性收敛因子以增强算法的全局搜索能力。非线性收敛因子

\lambda =\mathrm{2}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(-{(\frac{\mathrm{1.5}i}{i_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}})}^{\mathrm{4}})（6）

式中：i为当前迭代次数；i_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}为最大迭代次数。

通过该收敛因子可以扩大搜索范围，从而延长λ衰减的时间，其变化如图7所示。可以看出，原始收敛因子的图像是线性递减的，整个过程中减小的速率不变。改进后收敛因子的图像在迭代初期减小较慢，从而使收敛因子λ以较大值持续较久，提高了搜索效率。后期减小较快，收敛因子λ以较小值持续较久，提高了灰狼算法搜索精度和全局搜索能力，避免出现局部最优解。

由图8可以看出，IGWO算法将极限学习机（extreme learning machine，ELM）的连接权重进行优化，将优化好的权重值赋予 ELM，避免了因 ELM 的权重大小不合适而导致的训练时间过长等问题，提高了模型预测精度。由于IGWO算法的效果需要通过调整灰狼种群的数量才能达到最佳预测结果，因此需对不同数量的种群运行改进灰狼算法优化的极限学习机（ELM-IGWO）模型，对比误差大小和收敛所需时间。然后将ELM-IGWO算法获得的计算结果与以下四种算法的计算结果进行比较：反向传播神经网络（BP）^［14］、遗传算法优化的反向传播神经网络（back propagation neural network optimized by genetic algorithm， BP-GA） ^［15］、极限学习机^［16］、灰狼算法优化的极限学习机（ELM-GWO）^［17］。对于每个实例，在同一实验环境中对每种算法运行 30 次测试，以避免意外事件的影响。

鉴于IGWO算法的预测性能受种群规模与迭代次数的共同影响，本文对这两个关键因素进行了参数敏感性分析。如图9a所示，在固定迭代次数为30的条件下，算法适应度值随种群规模增加而减小，并在种群数量达到50时趋于稳定；如图 9b所示，当种群规模固定为50时，适应度值随迭代次数增加显著减小，并在300次迭代后基本收敛。基于上述参数敏感性分析结果，为在保证算法寻优精度的同时兼顾计算效率，本文将后续所有对比实验的种群规模统一设定为50，迭代次数统一设定为300。

2.3 模型性能评价

为了评估不同模型的性能，将上文有限元仿真获得的25组数据作为训练集，根据正交试验原理建立表3所示的5组数据作为测试集，用于验证算法模型的准确性。

为了对比不同算法模型之间的性能，通过不同的指标来评价预测结果与仿真结果之间的偏差情况，包括平均绝对误差（σ_MAE）、可决系数（R² ）、均方根误差（σ_RMSE），如下式所示^［18］：

{\sigma }_{\mathrm{M}\mathrm{A}\mathrm{E}}=\frac{\mathrm{1}}{N}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}\left|y_i-{\widehat{y}}_i\right|（7）

R^{\mathrm{2}}=\mathrm{1}-\frac{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}(y_i-{\widehat{y}}_i{)}^{\mathrm{2}}}{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}(y_i{-\overline{y})}^{\mathrm{2}}}（8）

{\sigma }_{\mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{S}\mathrm{E}}=\sqrt[]{\frac{\mathrm{1}}{N}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}(y_i-{\widehat{y}}_i{)}^{\mathrm{2}}}（9）

式中：y_i、{\widehat{y}}_i、\overline{y}分别为实验值、预测输出值和预测输出的平均值。

图10为不同算法模型对最大铺展直径进行预测的回归图，图中的蓝线表示仿真结果与预测结果完全相等的直线，虚线表示预测结果与仿真结果误差为15%和30%。从图中可以看出，IELM-GWO模型R² 值最大（R² =0.9863），拟合的直线方程与蓝线方程（y=x）最接近，从而证明了经过IGWO优化的ELM算法预测效果最好。

表4给出了不同算法对最大铺展直径模型进行预测的性能指标结果，可以看出，模型的R² 由大到小依次为ELM-IGWO、ELM-GWO、BP-GA、ELM和BP；σ_RMSE和σ_MAE的值较小，其中σ_RMSE最大值为BP模型的1.9831，最小值为ELM-IGWO模型的0.3686；σ_MAE最大值为BP模型的0.309 78，最小值为ELM-IGWO的0.054 32。从表中可以看出，ELM-IGWO的σ_MAE和σ_RMSE值皆为最小值，分别为0.0052和0.0353；而R² 值最大为0.9987，表明提出的改进灰狼算法相比于原始灰狼算法对ELM优化效果更好。

图11为不同算法模型对中心厚度进行预测的回归图，可以看出，ELM-IGWO模型的R²值最高（R²=0.9987），图中的大部分数据点都分布在蓝线上，或者均匀分布在蓝线的两侧，这表明该模型具有良好性能。

2.4 ANN-IMNSGA-Ⅱ模型

液滴撞击与铺展过程机理复杂，影响液滴撞击与铺展参数的因素很多，而且参数之间也相互影响，长期以来靠经验选择液滴参数，从而导致效率低下，因此优化液滴撞击与铺展的工艺参数，提高工艺参数设计效率显得尤为重要。本文基于神经网络模型，提出了一种基于人工神经网络（ANN）的改进型多目标非支配排序遗传算法（ANN-IMNSGA-Ⅱ），具体流程如图12所示。

综合ANN-IMNSGA-Ⅱ在Pareto前沿及统计指标上的表现可知，ANN-IMNSGA-Ⅱ在总迭代次数为100时可以得到较好的结果。对比IMNSGA-Ⅱ与原始NSGA-Ⅱ经过100次迭代获得的Pareto最优解，如图13所示。两种方法均有较好的优化结果，相比原始的NSGA-Ⅱ，改进后的IMNSGA-Ⅱ算法得到的中心厚度和最大铺展直径的最小值更小，最优解数量更多且更具有支配性，表明改进的IMNSGA-Ⅱ算法优化效果更好。

由于目标变量为最大铺展直径和中心厚度，维数较低，最终优化后的最优解数量较少，因此对迭代100次时的优化结果进行分析验证。图14所示为ANN-IMNSGA-Ⅱ优化后的液滴撞击与铺展动态特性的两目标（最大铺展直径，中心厚度）Pareto前沿曲线的最优解集。从图中可以发现，在Pareto前沿曲线上有两个极点，极点A处取最大铺展直径的最小值，大小为0.254 83 mm，此时最小的中心厚度为0.780 23 mm；中心厚度在Pareto前沿曲线的极点B处取最小值，此时中心厚度的最小值为0.089 26 mm，最大铺展直径为1.262 87 mm，具体如表5所示。在中间点处的约束优化结果可以同时兼顾到考虑最大铺展直径和中心厚度，其值分别为0.583 31 mm和0.181 30 mm，此时各约束（初始液滴直径、喷射高度、液滴速度和接触角）分别为0.5 mm、10 mm、3 m/s和90°。

3 实验设计与验证

为了验证本文提出的改进算法的准确性，对基于前文搭建的实验平台进行验证。通过控制压电驱动器的脉冲来调整脉冲的间隔时间，从而在特定时刻捕获图像。选择一种接触角为90°的基材表面作为验证材料，实验过程中，液滴撞击与铺展的监测系统工作界面如图15所示。

为了准确获取液滴最大铺展直径和中心厚度，需对所拍摄图像进行像素处理。采用专业图像处理软件对所拍摄图像进行剪切、灰度处理以及分割图像阈值等方式，将所拍摄的图像转化为噪声小、结构清晰、便于检测的图像，从而获得液滴的最大铺展直径和中心厚度。

为了与仿真工况保持一致，在进行实验之前，使用接触角测量仪器测量材料的接触角。通过调整压电喷射装置的喷嘴直径与撞针的撞击速度来改变液滴的初始直径与初始速度，以获取符合目标参数的液滴，最后调整喷嘴与材料之间的距离，使其与仿真高度一致。

在t=0时（液滴的初始直径）记录液滴的直径，为了获得液滴的速度和加速度，记录两种不同的位移和时间点的数据，并使用下式进行计算：

v_{\mathrm{0}}=\frac{S}{t}-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}at（10）

式中：v_{\mathrm{0}}为液滴初始速度；S为位移；a为加速度。

通过实验，将获得的两组数据代入公式求解方程组，即可以得到v_{\mathrm{0}}的值。

为了避免偶然因素、减少误差、提高可信度，随机选取表3中第27组实验进行验证。对撞击与铺展过程进行多次实验，记录结果并求取平均值。本次实验总共记录了5次结果，具体如表6所示，其中第二组实验的结果如图16所示。从表6中可以看出，实验得到的最大铺展直径平均值为0.6104 mm， ANN-IMNSGA-Ⅱ预测结果0.583 31 mm与实验平均值的误差为4.45%；实验得到的中心厚度平均值为0.1988 mm，ANN-IMNSGA-Ⅱ预测结果0.181 30 mm与实验平均值的误差为8.76%。

通过对比本文所提方法与传统优化设计可以看出，优化后最大铺展直径和中心厚度曲线变化趋势与实验结果基本一致，且优化后的结果与实验误差较小，这说明基于ANN-IMNSGA-Ⅱ的优化方法可以适用于压电喷射系统打印质量的多目标优化，也从侧面验证了本文提出的压电喷射系统建模方法及所建模型的合理性。

4 结语

基于正交试验所建立的模型数据库构建了一种用于预测液滴撞击与铺展过程中最大铺展直径和中心厚度的人工神经网络模型，确定了影响撞击与铺展过程的参数和优化目标之间的非线性关系，同时作为多目标优化方法中预测最大铺展直径和中心厚度的目标函数。提出了一种基于非支配排序的改进IMNSGA-Ⅱ遗传算法，对打印质量指标进行寻优，得到Pareto最优解集。从最优解集中选出一个兼顾最大铺展直径最小且中心厚度也最小的参数设计方案搭建实验平台，对提出方法的有效性进行了验证，得出最大铺展直径的预测结果与实验之间的误差为3.54%，中心厚度预测结果与实验之间的误差为5.71%，实现了对液滴撞击与铺展过程多参数设计的优化。

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基金资助

杭州电子科技大学校基金(GK249909299001-027)