基于体心立方点阵力学等效的批产卫星结构设计与力学分析

Batch-producted Satellites Structural Design and Mechanics Analysis Based on Mechanics Equivalence of Body-centered Cubic Lattices

摘要

针对体心立方点阵填充卫星结构仿真复杂、计算量大的问题，提出一种基于等效建模方法的解决方案。将Timoshenko梁理论和三明治理论结合，建立了点阵夹芯板的力学等效模型，并引入杆长修正参数提高模型精度。仿真与实验结果表明：在约束模态条件下，等效模型网格数量降至原模型的0.48%，前6阶固有频率最大误差不超过5.60%，且振型保持一致。卫星动力学分析进一步验证了该等效模型在整星模态分析和谐响应分析中的有效性，显著降低了建模难度与计算成本，为批量生产卫星点阵结构设计提供了可靠的技术支持。

Abstract

To address the challenges of high complexity and computational costs in simulating satellite structures with body-centered cubic（BCC） lattice fills，an equivalent modeling approach was proposed. A mechanics equivalent model for lattice core sandwich panels was established using Timoshenko beam theory and sandwich theory， and a strut length correction parameter was introduced to improve the accuracy. Simulation and experimental results show that under constrained modal conditions， the equivalent model reduces the number of mesh elements to 0.48% of the original， with a maximum error in the first six natural frequencies of no more than 5.60%， while maintaining consistent mode shapes. Satellite dynamic analysis further confirmed the effectiveness of the equivalent model in global modal analysis and harmonic response analysis. The method significantly reduces modeling difficulty and computational costs， and provides reliable technical support for the design of batch-produced satellite lattice structures.

Graphical abstract

关键词

批产卫星 / 体心立方点阵 / 力学等效 / 动力学分析

Key words

batch-produced satellite / body-centered cubic lattice / mechanical equivalence / dynamic analysis

0 引言

随着航天产业的快速发展，卫星批产制造已成为重要发展方向^［1-2］。该方向主要致力于实现高效率、高质量和高一致性的制造目标。传统蜂窝夹层结构在批产中面临显著瓶颈：制造过程高度依赖人工，导致生产周期长，且难以保证批次间性能的一致性。点阵结构凭借其高比刚度和较高的设计自由度，在卫星结构件等航天应用中展现出显著优势^［3-4］。然而，增材制造产能不足和仿真分析网格划分困难、计算量大等问题制约了该类结构在批产卫星中的广泛应用。

目前，金属点阵的增材制造仍面临制造效率低和成形尺寸受限的挑战，难以满足大型批产卫星结构件的应用需求。张海日^［5］采用蜡模增材制造结合熔模铸造的工艺，显著提高了制造效率，适应批产卫星的产能要求。

在整星仿真验证分析中，复杂点阵结构存在网格划分困难、计算量庞大等问题，导致设计迭代效率较低^［6-8］。通过基于芯子层的力学等效分析与夹芯板的三明治理论，可将点阵结构等效为壳体模型，从而显著降低仿真计算复杂度。当前相关等效方法主要分为数据驱动与模型驱动两类。

在采用数据驱动方法研究点阵结构等效力学性能方面，已有大量学者开展了相关工作^［9-11］。该方法依赖于大量力学试验^［12］和数值仿真^［13］获取点阵性能数据，并运用如机器学习、响应面法、克里金法及多项式回归等代理模型建模技术，建立从点阵设计参数到力学性能的数值映射关系^［14］。此类方法绕开了复杂的理论建模过程，能够直接从数据中学习到高度非线性映射关系，并在充足的高精度数据支持下具有良好的预测精度，然而也存在对数据的强烈依赖、数据获取成本高以及物理可解释性较弱等问题。

部分学者采用模型驱动方法研究点阵结构的等效力学性能。张海日^［5］基于Gibson-Ashby理论，将点阵芯子的力学性能视为与其相对密度正相关，并结合数据驱动方式对该理论模型进行拟合，建立了从相对密度到力学性能的映射关系，该方法在回避复杂力学理论的同时增强了模型的物理可解释性。陈雪岩^［15］基于Euler-Bernoulli梁理论，推导了点阵芯子的等效力学性能模型，虽具有较强的物理可解释性，但未考虑剪切变形的影响。杨鄂川等^［7］、郭璐^［16］采用Timoshenko梁理论进行等效力学性能推导，在模型中计入了剪切变形效应，但未考虑点阵中实际存在的杆件重叠长度，导致理论模型与仿真变形结果之间存在差异，无法充分解释其误差。

本文提出一种基于Timoshenko梁理论与三明治理论的点阵夹芯板等效建模方法，系统引入节点处杆长重合时的几何修正系数方法，以准确表征实际点阵结构的几何特征。相较于以往忽略杆件重合的理想化梁模型，该修正显著提高了等效刚度的预测精度。基于此模型，进一步开展了系统的仿真与实验验证，并最终将其成功应用于批量化生产卫星结构的动力学分析与优化设计中，有力支撑了点阵结构在航天批量化生产场景下的工程应用。

1 BCC点阵夹芯板的理论等效模型

1.1 BCC点阵夹芯板结构

体心立方（body-centered cubic，BCC）夹芯板主要由蒙皮与点阵芯子两部分组成，两者可通过整体制造或钎焊等工艺进行连接，其结构示意如图1所示。

BCC点阵芯子由胞元沿三维空间周期性排列而成，每个胞元包含8根圆形截面杆件，这些杆件在胞元中心点处相交。胞元的主要设计参数包括：单根杆的长度l、杆件直径d、杆与水平面的夹角θ。胞元高度H、胞元长度L均可通过设计参数表达，几何关系如图2所示。

1.2 BCC点阵芯子的相对密度

相对密度是评估点阵轻量化性能、力学性能和功能适用性的关键指标。点阵芯子是由胞元在空间中周期性排列构成，计算整体结构的相对密度可等效为求解胞元的相对密度ρ_c：

{\rho }_{\mathrm{c}}=\rho \frac{V_{\mathrm{c}}}{V}=\rho \frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }{d}^{\mathrm{2}}l}{H{L}^{\mathrm{2}}}（1）

式中：ρ为材料的密度；V_c为胞元体积；V为胞元外接六面体体积。

1.3 BCC点阵芯子的等效弹性参数

针对卫星结构轻量化与高刚度的应用需求，并考虑增材制造及熔模铸造工艺所限定的特征尺寸（如杆径d≥1 mm），本文聚焦于低相对密度、工作在线弹性阶段的点阵结构，开展其力学等效性能研究，旨在建立宏观等效参数与细观构型的关联，为后续结构设计与优化提供依据。

1.3.1 BCC点阵芯子的等效压缩模量和泊松比

鉴于BCC胞元的对称性，选择胞元中一根杆作为代表进行理论分析，如图3所示。当胞元受到单轴压缩时，杆的两端能够在主方向上自由移动，图3b展示了杆件在压缩作用下的变形情况。

杆件可以看作是一个受轴向力、剪力和弯矩作用的固支梁。在梁坐标系中，轴向位移δ_N 和剪切挠度δ_P 由下式给出^［15］：

{\delta }_N=\frac{Nl}{EA}（2）

{\delta }_P=\frac{P{l}^{\mathrm{3}}}{\mathrm{12}EI}+k_{\mathrm{1}}\frac{Pl}{GA}（3）

k_{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{7}+\mathrm{12}\nu }{\mathrm{6}+\mathrm{12}\nu }

式中：N为杆承受的压缩力；P为杆承受的剪切力；E为材料的弹性模量；G为材料的剪切模量；I为杆的惯性矩；A为杆的横截面积；k₁为圆形截面的剪切修正常数；ν为材料的泊松比。

BCC胞元杆长重合误差原理如图4所示。因各杆长非理想杆长，故引入压缩杆长修正系数m，由几何关系可知，修正后的杆长l₁可表示为

l_{\mathrm{1}}=l-mdm\in \left(\mathrm{0},\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\theta \right)（4）

每根杆受力可表示为

N=\frac{F}{\mathrm{4}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\thetaP=\frac{F}{\mathrm{4}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta（5）

式中：F为胞元承受的压缩力。

胞元的三向位移可表示为

\left.\begin{array}{l}{\delta }_x=\mathrm{2}{\delta }_{x\mathrm{1}}=\sqrt[]{\mathrm{2}}({\delta }_P\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta -{\delta }_N\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta )\\ {\delta }_y={\delta }_x\\ {\delta }_z=\mathrm{2}{\delta }_{z\mathrm{1}}=-\mathrm{2}({\delta }_P\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta +{\delta }_N\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta )\end{array}\right\}（6）

式中：δ_x 、{\delta }_y为正交的胞元切向变形量；δ_x1为杆的切向变形量；δ_z 为胞元法向变形量；δ_z1为杆的法向变形量。

则胞元在压缩方向的等效模量E_c和等效泊松比ν_c可表示为

\left.\begin{array}{l}{E}_{\mathrm{c}}=\frac{{\sigma }_z}{{\epsilon }_z}=\frac{F/L^{\mathrm{2}}}{{\delta }_z/H}\\ {\nu }_{\mathrm{c}}=-\frac{{\epsilon }_x}{{\epsilon }_z}=-\frac{{\delta }_x/L}{{\delta }_z/H}\end{array}\right\}（7）

式中：σ_z 为胞元承受应力；ε_z 为胞元应变。

化简可得

\left.\begin{array}{l}{E}_{\mathrm{c}}=\frac{\mathrm{\pi }E\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta }{\mathrm{2}\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}\theta }[\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}\theta {(\frac{l_{\mathrm{1}}}{d})}^{\mathrm{2}}+\frac{(\mathrm{7}+\mathrm{12}\nu )(\mathrm{1}+\nu )}{\mathrm{3}+\mathrm{6}\nu }·\\ \mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}\theta {(\frac{l_{\mathrm{1}}}{d})}^{\mathrm{4}}+\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}\theta {(\frac{l_{\mathrm{1}}}{d})}^{\mathrm{2}}{]}^{-\mathrm{1}}\\ {\nu }_{\mathrm{c}}=\frac{\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}{(\frac{l_{\mathrm{1}}}{d})}^{\mathrm{2}}+\frac{(\mathrm{1}+\nu )(\mathrm{7}+\mathrm{12}\nu )}{\mathrm{3}+\mathrm{6}\nu }-\mathrm{1}}{\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{t}}^{\mathrm{2}}\theta [\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}{(\frac{l_{\mathrm{1}}}{d})}^{\mathrm{2}}+\frac{(\mathrm{1}+\nu )(\mathrm{7}+\mathrm{12}\nu )}{\mathrm{3}+\mathrm{6}\nu }]+\mathrm{1}}\end{array}\right\}（8）

1.3.2 BCC点阵芯子的等效剪切模量

如图5a所示，BCC胞元在x-y平面内承受切向力

F_{xy}=\frac{\sqrt[]{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}{\tau }_{xy}{L}^{\mathrm{2}}（9）

式中：τ_xy 为胞元承受的切应力。

根据几何对称性可知杆内力P表达式如下：

P=\frac{F_{xy}}{\mathrm{2}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta }（10）

对应轴向变形δ_xy 可表示为

{\delta }_{xy}=\frac{P{l}_{\mathrm{2}}}{EA}（11）

l_{\mathrm{2}}=l-ndn\in (\mathrm{0},\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\theta )（12）

式中：l₂为修正后的杆长；n为剪切杆长修正系数。

杆受力与变形的几何关系如图5b、图5c所示。根据图5c中的几何关系，对应切应变可表示为

\left.\begin{array}{l}{\gamma }_{\mathrm{0}}=\mathrm{2}\gamma =\mathrm{2}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\gamma \\ \mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\Phi =\frac{\frac{\sqrt[]{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}L-{\delta }_{xy}}{\frac{\sqrt[]{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}L+{\delta }_{xy}}\\ \gamma =\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{4}}-\Phi \end{array}\right\}（13）

式中：γ₀为胞元切应变；γ为杆切应变；Φ为图5c中的夹角。

等效剪切模量G_c可表示为

G_{\mathrm{c}}=\frac{{\tau }_{xy}}{{\gamma }_{\mathrm{0}}}=\frac{EA\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}\theta }{L{l}_{\mathrm{2}}}=\frac{E\mathrm{\pi }{d}^{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta }{\mathrm{8}{l}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}（14）

1.3.3 BCC点阵芯子的等效刚度

芯子的等效刚度如图6所示。由BCC胞元的对称性可知，其刚度矩阵 K 可表示为

\mathit{K}=\left[\begin{array}{cccccc}\frac{\mathrm{1}}{E_{\mathrm{c}}}& -\frac{{\nu }_{\mathrm{c}}}{E_{\mathrm{c}}}& -\frac{{\nu }_{\mathrm{c}}}{E_{\mathrm{c}}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ -\frac{{\nu }_{\mathrm{c}}}{E_{\mathrm{c}}}& \frac{\mathrm{1}}{E_{\mathrm{c}}}& -\frac{{\nu }_{\mathrm{c}}}{E_{\mathrm{c}}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ -\frac{{\nu }_{\mathrm{c}}}{E_{\mathrm{c}}}& -\frac{{\nu }_{\mathrm{c}}}{E_{\mathrm{c}}}& \frac{\mathrm{1}}{E_{\mathrm{c}}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \frac{\mathrm{1}}{G_{\mathrm{c}}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \frac{\mathrm{1}}{G_{\mathrm{c}}}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \frac{\mathrm{1}}{G_{\mathrm{c}}}\end{array}\right]（15）

1.4 BCC点阵夹芯板的力学等效

夹芯板的力学等效理论核心在于通过芯子和面板的协同作用实现高比刚度的轻量化设计。现有的等效理论如表1所示^［17-19］，三明治理论的等效精度高于其他两者的精度^［19］。本文采用三明治理论将蒙皮和芯子分别等效。

2 BCC夹芯板的等效模型验证

2.1 BCC芯子的静力学等效验证

为验证芯子等效准确性，建立实体芯子和等效实体芯子的有限元模型，分别对两种模型开展压缩工况和剪切工况的静力学分析，边界条件如图7所示。

等效实体芯子的网格单元数为实心芯子网格数量的0.95%~1.94%，如图8a所示。由图8b、图8c可知，在压缩工况和剪切工况下，等效前后变形量的最大相对值为3.6%，满足等效精度要求。

为验证本文方法的有效性，对比文献［20］中的等效结果和未考虑杆长修正系数的等效结果，如图9所示。其中，ECC表示边立方胞元、FCC表示面心立方胞元，GBCC表示梯度体心立方胞元，BCC _xy 表示带xy杆的体心立方胞元。对于压缩模量，引入等效修正系数的方法精度高于文献中的等效精度，显著提高了本文的等效精度。在文献［15］中，剪切相对误差为12%，本文引入杆长修正系数的误差为3%，具有一定优势。

2.2 BCC夹芯板的静力学等效验证

同理，建立实体夹芯板和等效实体夹芯板的有限元模型，分别对两种模型开展压缩工况和剪切工况的静力学分析，其边界条件如图10所示。分别在上蒙皮施加均布力，下蒙皮提供支撑及固定约束。

如图11a所示，等效实体芯子网格数为实体芯子网格数的1.45%~2.90%，若采用等效壳体，网格数量可降低为实体芯子网格数量的0.23%~0.48%。由图11b、图11c可知，在压缩工况下，等效前后法向变形量的最大相对误差为6.47%，侧向变形量的最大相对误差为20.7%；在剪切工况下，受力方向变形量的最大相对误差为10.5%，满足等效精度要求。

2.3 BCC夹芯板的模态等效验证

2.3.1 BCC夹芯板的模态仿真验证

为验证BCC点阵夹芯板在自由模态、空载约束模态、加载约束模态下的等效准确性，设置三种工况的边界条件如图12所示。

以实体模型仿真结果作为对照组，计算等效前后的相对误差。由图13可知，在三种工况下，等效夹芯板的最大相对误差分别为8.23%、2.5%和6.39%；等效壳体的最大相对误差分别为13.78%、8.14%和5.60%。等效壳体理论刚度高于等效实体理论刚度，故其固有频率普遍偏高。实体模型在第三种工况下存在大量局部模态，故仅对比具有参考价值的前5阶模态。忽略局部模态的情况下，等效前后各阶振型趋于一致。

2.3.2 BCC夹芯板的模态实验验证

通过Polytec激光测振仪开展自由模态实验，验证点阵夹芯板等效性能的准确性。设备量程为0~25 MHz，满足实验要求。实验样件及工装放置在大理石平台上，可减少实验平台的振动变形和振动信号的衰减；将压电陶瓷片贴在样件背部，降低人工手动激励对实验结果的影响。上位机与激光测振仪通过网线通信，在上位机实现数据可视化。模态试验系统构成如图14所示。

自由模态实验和3种形态的BCC点阵夹芯板在空载自由模态下仿真的固有频率如图15a所示。模态实验样件的幅频曲线及各阶振型如图15b~图15h所示。

由实验结果可知，样件的振型与实体仿真模型的振型基本一致。自由模态实验的前6阶固有频率的最大误差为8.41%，可证明等效模型的动态性能等效的准确性。

3 批产卫星结构设计与动力学分析

3.1 批产卫星结构设计

为验证批产卫星的动态性能，首先基于点阵结构开展批产卫星结构设计，卫星包络及胞元包络尺寸如表2所示。由于受熔模铸造工艺限制，胞元杆径最小为1 mm，故选择1 mm杆径的体心立方胞元填充卫星结构。

针对点阵结构在边界区域可能因共形设计导致的胞元裁切问题，根据连接需要，采用高刚度预埋件进行封边的结构设计，以确保内部填充区域的点阵胞元排列完整、规则，从而规避边缘裁切对整体力学等效模型的影响。因此，文中建立的等效模型适用于内部规则点阵区域的分析。

3.2 批产卫星模态分析

为整星框架结构赋予等效夹芯板的力学参数，以验证整星模态分析的可行性。整星的固有频率如表3所示，振型如图16所示，易知卫星不会与火箭发生共振。

3.3 批产卫星谐响应分析

在发射过程中，火箭对卫星产生低频正弦波激励，故需在设计阶段开展谐响应分析，根据观测点的最大振动幅值判定是否满足设计约束。由图17可知，该卫星的5个观测点的最大振幅均低于10g的加速度，故该结构满足设计约束。

4 结论

本文从力学分析、仿真分析和实验角度研究了金属BCC夹芯板的力学性能，旨在解决金属BCC夹芯板网格规模庞大、仿真效率低下、整星动力学分析资源不足的问题。

1）考虑重合杆长的设计参数与胞元力学性能的映射关系，建立了BCC芯子和夹芯板的力学等效模型。

2）通过芯子和夹芯板的有限元分析验证了力学模型的准确性，可显著降低计算量。在加载模态状态下，等效壳体网格数为实体夹芯板的0.48%，前6阶固有频率最大误差为5.60%。

3）建立了基于体心立方点阵力学等效参数的批产卫星有限元模型，并开展动力学分析。模态分析结果表明，卫星不会与火箭发生共振；谐响应分析结果表明，卫星5个关键测点的最大振幅值均在设计要求范围内，满足设计约束。

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基金资助

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