基于本构嵌入深度学习模型的板材多点柔性成形回弹预测

Springback Prediction in Plate Forming Based on Constitutive Model Embedded Deep Neural Network

摘要

针对船舶三维数控弯板机这一船体外板成形设备，开展了板材回弹实验及仿真方法验证。考虑实际生产需求和加工精度，采用拉丁超立方采样方法间隔生成用于模型训练的工况数据，并采用验证后的仿真方法构建了模型训练集及预测集。提出了一种基于本构嵌入的深度学习模型（CE-DNN），在视觉几何组（VGG）网络中嵌入材料卷积层，构建融合材料参数、厚度及形状特征的多参数耦合学习框架。采用数据外推和训练集缩减策略量化评估该模型在数据受限场景下的性能，结果表明，该模型在材料、厚度和形状参数的训练数据量减少情况下具有一定的鲁棒性，同时在回弹数据外推预测方面具有一定的泛化性能。

Abstract

Several sheet metal forming experiments were conducted on the ship three-dimensional computational numerical control bending machine， and corresponding numerical method was validated by these experimental results. Considering actual production needs and processing accuracy， the Latin hypercube sampling method was employed to generate sampling points by intervals for model training， with the corresponding dataset obtained through numerical simulations and experimental validations. A constitutive equation-embedded deep learning neural network（CE-DNN） model was developed by optimizing the visual geometry group（VGG） network architecture through the integration of material-informed convolutional layers， thereby establishing a multi-parameter coupled learning system that synthesized material properties， thickness， and geometric features. The performance of the proposed model under data-constrained scenarios was quantitatively evaluated through data extrapolation and training set reduction strategies. Results demonstrate that the proposed model exhibites certain robustness when the training data for material， thickness， and shape parameters are reduced， while maintaining generalization capability in springback extrapolation prediction.

Graphical abstract

关键词

板材成形 / 回弹预测 / 深度学习 / 本构关系

Key words

sheet metal forming / springback prediction / deep learning / constitutive relationship

0 引言

在先进制造领域，板材成形的回弹偏差是制约航空航天蒙皮、汽车覆盖件和船舶大尺寸双曲率板等构件合格率的关键工艺瓶颈，因此，回弹预测对提高板材成形质量至关重要。SHEN等^［1］采用显式动态有限元法分析了方形压头加工船体板的冷成形过程，采用隐式有限元法分析了回弹过程，讨论了曲率和厚度对回弹的影响，通过与实验结果的比较，证实了数值方法的有效性。惠生猛等^［2］构建了铝锂合金的有限元模型，得到了不同工艺条件下构件的回弹半径信息，为机器学习回归预测模型提供了数据支持。DAVOODI等^［3］通过有限元模拟和实验，探讨了多点成形过程中材料性质、板材厚度、各向异性比例以及弹性层厚度、弹性层硬度和冲头元素数量等工艺参数对弹性回弹的影响。

金属材料在卸载阶段的复杂弹塑性响应使得传统基于增量成形理论的有限元预测方法往往面临计算耗时长，效率低的问题，为此有研究者通过机器学习技术构建工艺参数与回弹量的非线性映射模型，在保证精度的同时实现高效预测。LOW等^［4］提出了一种基于卷积神经网络（CNN）的预测框架，可以从输入的几何形状预测逐步成形的结果和误差分布。HE等^［5］提出了一种基于模拟退火粒子群优化算法（SAPSO）的高精度支持向量回归（SVR）模型来预测回弹，利用实验数据和SVR模型、反向传播神经网络模型对比预测回弹的准确性，验证了SAPSO-SVR模型在预测准确性方面的优越性。聂昕等^［6］提出了一种基于深度学习的汽车梁类零件回弹预测方法，并分别对比了基于LeNet-5、AlexNet、NiN的卷积神经网络模型作为几何截面识别模型的预测结果，验证了基于AlexNet模型的回弹预测准确度最高，鲁棒性更强。尽管机器学习算法和数值模拟方法在提高回弹预测效率和精度方面展现出强大能力，但这些预测技术的可靠性最终受制于其对材料真实变形行为的数学描述——材料本构模型的准确性。

对于金属板材塑性成形，无论是数值模拟方法还是机器学习算法，准确输入材料本构关系是提高板材回弹预测精度的关键。ZHANG等^［7］提出了一种五应力状态敏感屈服函数及修正的各向异性-非对称函数，通过对QP1180钢和AZ31镁合金不同应力状态实验及V形弯曲模拟，验证了该函数能较好地模拟材料塑性及回弹行为。SUMIKAWA等^［8］提出了一种考虑非线性行为的材料模型，并通过对弯曲帽形件进行冲压成形实验和回弹分析，验证了该模型的可靠性。考虑弹性模量的变化和分段硬化函数，YANG等^［9］提出了一种改进的材料模型，并通过实验结果验证了该模型在高强度钢板材回弹预测方面的准确性。材料本构模型的准确描述对机器学习的训练和预测精度有至关重要的影响，但是本构模型的表达形式较复杂会导致机器学习难以充分学习材料特征。

在机器学习方法不断发展的同时，部分学者开始考虑将材料本构模型嵌入机器学习算法中开展板材成形及回弹预测。LI等^［10］探讨了近年来机器学习算法在金属板材本构建模领域的应用，对比了数据驱动、物理模型结合机器学习模型、混合本构建模等方法的优势和局限性。LEE等^［11］以马氏体钢板为例对比了传统和先进的本构模型对超高强度钢回弹预测精度的差异，验证了合适的本构模型对准确预测回弹的重要性。LIU等^［12］将Swift材料本构关系的公式嵌入到深度神经网络（deep neural network， DNN）的损失函数中，开发了一种基于理论指导的深度神经网络模型，通过实验数据验证了该模型的预测精度优于SVR模型，并且在实验数据稀缺且分散情况下，该模型的泛化精度要优于纯数据驱动的DNN。目前已有的研究针对准确表达的本构模型和回弹预测结合较少，将材料本构模型表征准确同时又便于机器学习提取材料特征的研究仍有欠缺。

针对板材成形回弹预测模型泛化能力弱和物理可解释性差的问题，提出了一种基于材料本构关系的板材回弹预测深度学习模型（CE-DNN）。该模型将成形形状、厚度以及材料参数标签作为初始输入，在中间隐藏层嵌入材料应力-应变曲线对板材回弹量进行预测，结果表明该模型不仅提高了板材回弹预测效率，还增强了深度学习模型的泛化性和可解释性，使得预测结果更加可靠和易于理解。

1 实验与数值模拟

为了有效训练深度学习算法，提高算法的准确性和有效性，需要大量板材回弹前后的数据。训练数据由实验数据和数值仿真数据组成，其中，少量实验数据主要用于数值仿真方法的验证。

1.1 板材成形实验

板材成形实验主要采用船舶常用的Q235钢板和A5083铝合金板材。对Q235钢和A5083铝合金两种材料10 mm厚度的试样进行准静态拉伸试验，其真实应力-应变曲线及材料特性如图1和表1所示。

依据以上两种材料开展板材成形实验，冲压成形涉及工况统一命名形如“Q（A）RX111RY222T33”，其中Q表示成形材料为Q235钢，A表示成形材料为A5083铝合金；RX111表示X方向的成形曲率半径为111 mm；RY222表示Y方向的成形曲率半径为222 mm；T33表示板厚为33 mm。成形的板材形状均为双向曲度的鞍形板，其曲面公式为

\frac{X^{\mathrm{2}}}{{R_x}^{\mathrm{2}}}-\frac{Y^{\mathrm{2}}}{{R_y}^{\mathrm{2}}}=-\mathrm{2}pZ（1）

其中，X、Y、Z表示X方向、Y方向和Z方向的坐标值；R_x 为X方向的成形曲率半径；R_y 为Y方向的成形曲率半径；p为常系数，取0.005。曲面形状的三维示意图见图2，具体成形工况参数见表2。

利用图3所示的船舶三维数控弯板机SKWB-400开展板材在多压头作用下的塑性成形与回弹实验^［13］。在液压系统进行冲压成形前，依据所需成形曲线数据调整下模具压头高度形成需成形的曲线形状（图4a）；随后将板材置于调整好的下模具上，并确保其边缘与模具中心线对齐。液压系统驱动上模具压头向下运动，随着上压头、板材和下压头逐渐接触，方形压头自动旋转，当上压头、板材和下压头完全接触后（图4b），保压3~5 min，随后释放液压力，上压头抬起，板材发生回弹。

按照以上过程对三种工况进行冲压实验，图5~图7所示为三种工况卸载回弹后不同视图的板材形状。

采用Free Scan手持激光扫描仪扫描获取卸载回弹后板材的最终曲面形状，并通过Solidworks软件处理数据，得到板材的截面曲线形状，方便验证后续数值模拟仿真的可靠性。

1.2 数值方法验证

为了验证数值模拟的准确性，采用480 mm×480 mm×10 mm的Q235钢板和A5083铝合金板材开展数值模拟仿真。

通过ABAQUS软件建立三维数控弯板机的有限元模型，由于活络压头硬度较高，在成形过程中发生的变形和待成形件发生的变形相比可忽略不计，因此为提高效率将方形压头等效为一个刚体，其几何尺寸为58 mm×58 mm×10 mm。

以Z轴为上压头的运动（或板材的变形）方向，X轴和Y轴位于板材的中心轴线并沿板材的长宽方向，如图8所示。考虑到板材以及压头的对称性，取四分之一模型，约束对称面上每一个节点线位移和转动位移。上面的方形压头约束X、Y方向的线位移，下面的模具约束全部方向的线位移和转动位移。

板材采用壳单元，通过网格收敛性分析确定板材网格大小为5 mm×5 mm，上压头和下模具网格尺寸采用10 mm×10 mm×10 mm。采用罚函数法作为数值模拟的接触算法，保证板材与模具之间的不可穿透性。

在模拟加载过程中，给予所有上压头一个随时间增大的力，通过上压头向下运动作用于板材上引起板材变形，直至板材对下模具形成完整的包络面后加载结束。成形结束后，回弹阶段选取板材加载结束时候的应力状态作为回弹分析的初始状态，卸载后采集回弹数据。

对比各工况下实验与有限元模拟回弹后的不同X截面和Y截面曲线，截面曲线的最大回弹相对误差见表3，截面曲线对比如图9~图11所示。

图9~图11的结果表明，对于不同材料、不同成形曲率工况，数值模拟的结果都与实验结果吻合良好，验证了数值方法的准确性，因此后续可以采用该数值方法产生双曲率板材的成形及回弹量数据库，用于训练所提出的深度学习模型。

2 数据处理

2.1 基于拉丁超立方采样

拉丁超立方采样是一种高效的参数组合生成方法。它的核心思想是将每个参数的取值范围均匀分成若干区间，并确保每个区间内只随机抽取一个样本，这样可以用较少的样本量覆盖整个参数空间，避免重复或遗漏。

以船用双曲板为研究对象，工况参数变量分别是板材厚度、材料种类、X方向的成形曲率半径和Y方向的成形曲率半径，考虑到船体外板的常用厚度约8～18 mm，常见船体外板曲率约为1500～5000 mm，船用材料为Q235钢、EH36钢材和A5083铝合金等，采样数据参数范围如表4所示。材料种类中包含不同力学性能的Q235钢，如Q235（Y297）表示屈服强度为297 MPa的Q235钢，设定采样样本数目为100。

针对船用双曲板成形采样参数，首先将各连续型参数范围均匀划分为100个等概率子区间，离散型材料种类则通过区间重复分配实现均匀覆盖。考虑到实际船用双曲板的加工精度和使用范围，对采样规则预设间隔，其中厚度采样间隔为2 mm、曲率半径采样间隔为500 mm。在每个区间内抽取随机值，同时考虑预设间隔将连续值映射至离散整数，并随机排列各变量子区间以消除潜在人为相关性，最终生成100组无偏参数组合。

2.2 厚度数据

常用船体板材的厚度范围为8~18 mm，采用映射原则将厚度值映射为灰度值进行厚度数据图片的制作。将0~25.5 mm的板材厚度映射到0~255的灰度值，其中255（白色）表示厚度为25.5 mm，0（黑色）表示厚度为0，其余厚度进行等比缩放。以6 mm厚的板材为例，厚度数据图片的制作流程示意图见图12。

2.3 材料数据

材料参数以卷积核的方式嵌入到神经网络模型中，这些参数是通过拉伸试验获得每种材料的应力-应变曲线。在应力-应变曲线中选取离散的应力-应变数值，并转化为灰度值，生成64 pixel×64 pixel的灰度图。考虑到涉及的材料特性，采用灰度图的宽度用于表示应变，将0~0.1的材料应变映射到0~255的像素值；采用灰度值表示应力，将0~1700 MPa的板材应力映射到0~255的灰度值，其中255（白色）表示应力为1700 MPa，0（黑色）表示厚度为0，其余应力进行等比缩放，应力信息仅存在于灰度图的主对角线上，具体流程如图13所示。

2.4 形状与回弹数据

板材回弹前的形状数据采用统一度量表示：采集板材回弹前的Z坐标值，将全部形状数据的Z坐标值映射到RGB图中。图像的分辨力为256 pixel×256 pixel，每个像素的位置直接对应于板材在平面内的空间位置。竖直方向的坐标Z值通过RGB颜色亮度进行表示，其中蓝色表示最小的Z值（Z_min），而红色表示最大的Z值（Z_max）。RGB颜色值在0~255的范围内线性映射到Z_min~Z_max之间。考虑到所涉及工况中的形状数据，取Z_min为0，Z_max为220 mm，RGB颜色值的计算公式为

C=\frac{\mathrm{255}(Z_n-Z_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}})}{Z_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}-Z_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}}（2）

其中，C为RGB颜色值，Z_n 为板材上随机位置的Z坐标值，处理流程如图14所示。

板材回弹量数据的处理与形状数据的处理方式基本一致，采集马鞍面板回弹前后节点Z坐标值的差值ΔZ，即从0到最大回弹量ΔZ_max的范围内进行映射，以红色代表板材回弹量的最大值ΔZ_max，以蓝色代表板材回弹量的最小值，即0，中间的量进行同比例的缩放，得到256 pixel×256 pixel的RGB图，与输入的图片大小相同。

3 深度学习算法模型

3.1 整体结构

在基于VGG（visual geometry group）框架的卷积神经网络基础上给板材形状设置材料标签，并将材料本构关系以卷积核的形式嵌入到卷积神经网络模型中，即提出一种基于本构关系的深度学习网络模型，以实现复杂先进材料板材的回弹预测。CE-DNN（constitutive equation-embedded deep learning neural network）模型是由7个大层构成的框架，第Ⅰ层为输入层，涉及板材厚度和带标签的成形形状的输入，并通过卷积计算实现以上参数的融合。第Ⅱ到第Ⅲ层为中间层，对参数融合后的特征图进行特征提取，得到的特征图与处理后的材料卷积核进行卷积运算，但材料卷积核不接受反向传播调节，只作为固定权重卷积核表示材料参数，从而引导CNN网络的训练方向。第Ⅳ到第Ⅵ层同为中间层，对嵌入材料参数的特征图进行更高层次的特征提取。最后第Ⅶ层是输出层，通过转置卷积进行三次上采样将图片还原为256 pixel×256 piexl大小。CE-DNN模型框架及流程如图15所示。

3.2 预测模型

通过训练得到预测模型，输入板材的形状、厚度和材料数据对新工况进行回弹量预测，将得到的回弹量数据按2.4节进行逆变换，从RGB颜色值转换到真实回弹量，把回弹量ΔZ叠加在板材成形形状数据上，得到回弹后的板材形状，模型的预测流程如图16所示。

3.3 材料卷积

为了精确表达材料本构关系，不同于本构关系理论公式的表达形式，将材料的应力-应变曲线转化为灰度图嵌入到神经网络中，以减小材料力学性能的输入误差，从而提高模型的预测精度。

卷积层通过不同卷积核分配特征信息权重进行特征提取，材料卷积层将应力-应变曲线转化为特征矩阵形式，特征矩阵又作为卷积核与其他特征图进行卷积运算。为将材料的力学特性融入深度学习模型，从实验获取的应力-应变曲线中提取n个离散点｛σ_i，ɛ_i ｝{}_{i=\mathrm{1}}^n，通过构造对角矩阵 A 将离散应力值编码为卷积核矩阵：

\mathit{A}=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}({\sigma }_{\mathrm{1}},{\sigma }_{\mathrm{2}},\cdots ,{\sigma }_n)（3）

其中，σ_i 为对应材料在应变ɛ_i 下的应力值，应变ɛ_i 通过灰度值按照比例缩放表示。

图16中厚度数据和形状数据由Ⅰ~Ⅲ层进行卷积池化得到特征图矩阵 F：

\mathit{F}=\left[\begin{array}{cccc}{F}_{\mathrm{1,1}}& F_{\mathrm{1,2}}& \cdots & F_{\mathrm{1},H}\\ F_{\mathrm{2,1}}& F_{\mathrm{2,2}}& \cdots & F_{\mathrm{2},H}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ F_{H,\mathrm{1}}& F_{H,\mathrm{2}}& \cdots & F_{H,H}\end{array}\right]（4）

对矩阵 F 做填充保证卷积前后输出特征图与输出特征尺寸大小一致， 当n为偶数时，对特征矩阵进行非对称零值填充，矩阵的第一列和第一行填充p-1列和p-1行，第H列和第H行填充p列和p行，其中p=n/2，定义填充后的特征图矩阵为\tilde{\mathit{F}}，尺寸为（H+n-1）（H+n-1），即

{\tilde{F}}_{u,v}=\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}{F}_{u-p+\mathrm{1},v-p+\mathrm{1}}\mathrm{若}p\le u\le H+p-\mathrm{1}\mathrm{且}\\ p\le v\le H+p-\mathrm{1}\end{array}\\ \mathrm{0}\mathrm{其他}\end{array}\right.（5）

矩阵\tilde{\mathit{F}}与卷积核矩阵 A 卷积运算得到储存材料信息的矩阵 F_out：

{\mathit{F}}_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}=\tilde{\mathit{F}}\otimes \mathit{A}（6）

矩阵 F_out的每个元素定义如下：

{\left[F_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}\right]}_{u,v}={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\sigma }_i{\left[\tilde{\mathit{F}}\right]}_{(u+i-p+\mathrm{1}),(v+i-p+\mathrm{1})}（7）

u，v∈［1，H］ u+i-p+1，v+i-p+1∈［1，H+n-1］

3.4 材料参数匹配

为了在训练时保证每个形状信息都和材料信息相对应，在形状和厚度数据输入时需要额外增加一个标签标记输入，只用于在自定义层将板材的厚度和形状数据与材料数据进行匹配对应。图17为材料参数标记匹配的示意图。

3.5 损失函数

在CNN网络基础上增加均方误差（mean squared error， MSE）损失函数，用于衡量连续变量回归预测任务的模型损失，均方误差σ_MSE计算公式为

{\sigma }_{\mathrm{M}\mathrm{S}\mathrm{E}}=\frac{\mathrm{1}}{K}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}(Z_k-Z_k^{\mathrm{p}}{)}^{\mathrm{2}}（8）

式中：K为训练集数量；Z_k 为实际回弹量；Z_k^{\mathrm{p}}为预测回弹量。

对预测回弹量的RGB图与实际回弹量的RGB图进行对应像素计算，然后根据计算结果反向调节权重和偏置优化模型参数。

3.6 运行环境和超参数设置

选用Tensorflow2.6.0深度学习框架，使用Python3.9对模型代码进行编程。硬件设备中，GPU型号是NVIDIA Quadro P2000，显存大小为5 GB。训练过程中，对模型的每个参数的学习率均为0.0001，训练轮数为2000，批次大小为8，图像分辨力设为256 pixel×256 pixel。

4 结果与讨论

4.1 CE-DNN模型训练结果

CE-DNN深度学习模型的训练时间及训练精度如表5所示，损失函数曲线见图18。

通过CE-DNN模型对测试集工况数据进行预测。选取4组工况展示其实际回弹量和预测回弹量的差值误差，云图见图19。表6展示了4组工况的预测结果，最大回弹量相对误差代表实际最大回弹量和预测最大回弹量的差值与实际最大回弹量的比值。

由表6的CE-DNN模型的预测结果可知，该模型训练得到的预测结果的最大回弹量相对误差稳定在10%以内。

4.2 模型精度对比研究

将CE-DNN模型与朱凌等^［15］提出的全卷积神经网络（FCN）板材回弹预测模型进行对比。由于网络结构不同，FCN模型仅支持单一材料进行训练，因此两个模型均采用Q235材料进行模型训练。当两个模型训练损失函数均达到10{}^{-\mathrm{5}}数量级时，它们的预测结果如表7所示，可知，两个模型均能达到较高的预测精度，CE-DNN模型预测精度更高。

4.3 模型泛化性能研究

通过训练完成的预测模型分别对厚度、曲率和材料的外插数据进行回弹量预测，观察各个参数的预测结果以及参数敏感性。模型训练数据的厚度范围为8~18 mm，对模型进行厚度参数的泛化性能研究，外推百分比是指厚度数据超出训练数据厚度范围的百分比，“+”和“-”百分比分别表示厚度大于最大厚度的外推工况和小于最小厚度的外推工况。例如，QRX2000RY2000T19工况厚度为19 mm，超出厚度数据范围1 mm，外推百分比为1/（18-8）=10%。预测结果见表8。

由表8可知，CE-DNN模型关于厚度对回弹规律影响的学习有较强的泛化性能，厚度数据外推在超出模型数据库范围的30%以内时依然保持较高预测精度，但当外推范围进一步扩大至40%时，预测精度急剧下降。

对板材曲率数据进行外插预测，其中在X方向上的曲率半径范围为1500~2500 mm，在Y方向上的曲率半径范围为1500~5000 mm。板材的X、Y坐标分别通过256 pixel×256 pixel大小的RGB图的两边长的像素位来表示，Z坐标通过RGB图的颜色值表示，以上曲率数据的Z坐标值范围为0~110 mm，其中外推百分比是指外推曲率的最大Z坐标值超出数据范围的百分比。例如，QRX1500-RY1400T12工况的最大Z坐标值为119.27 mm，与Z坐标值范围上限100 mm作差为9.27 mm，与数据范围0~110 mm的比值即为外推百分比9.27/110=8.43%。这里只采用正外推百分比，避免曲率过小导致板材全弹性回弹。对模型进行曲率参数的泛化性能研究，预测结果见表9。

由表9可知，CE-DNN模型关于曲率对回弹规律影响的学习有一定的泛化能力，曲率数据外推在超出模型数据库范围的20%以内时可以保证较高预测精度，但当外推范围进一步扩大至26%时，预测精度急剧下降。

对材料数据进行外插预测，采用训练集之外的两种铝合金材料（铝合金2024和铝合金6061），这两种材料的屈服强度分别为97 MPa和77 MPa。为便于描述材料外推范围，对外推材料应力-应变曲线在0~0.1应变范围进行均匀间隔取点，计算每个点超出数据库应力值范围的百分比，取每个点的外推百分比均值，其中，数据库应力值范围是指取点处数据库包含的材料最大应力值到最小应力值。应力-应变信息如图20所示，对这两种材料外插数据进行预测，预测结果见表10。

根据表10关于材料数据的预测结果，CE-DNN模型关于材料对回弹规律影响的学习有一定的泛化性能，材料数据外推在超出模型数据库范围的30%以内时可以保证较高预测精度，但当外推范围进一步扩大至45%时，预测精度急剧下降。

4.4 模型参数敏感性分析

利用随机减少数据量后的回弹量数据进行模型训练，探究模型对各个参数的敏感性。将厚度工况数据量减少10%、30%和50%时，三种模型分别称为“厚度-10%”、“厚度-30%”和“厚度- 50%”，与原数据模型“厚度-0”对比预测结果，模型训练时间和训练精度如表11所示。4种厚度数据量的模型预测结果具体见表12。

由表12的预测结果可知，当减少10%厚度数据时，对比原模型预测精度，变化幅度较小，相对误差在10%以内；当厚度数据减少30%时，与原模型精度对比，最大回弹量相对误差有一定增大；当厚度数据进一步减少50%时，与原模型对比，相对误差大幅增大，预测精度下降。该模型随着厚度数据的减小，对回弹预测的学习能力下降。

随机选取各类曲率工况，剔除10%和30%曲率数据，两种模型分别称为“曲率-10%”和“曲率- 30%”，与原数据模型“曲率-0”对比预测结果，模型训练时间和训练精度如表13所示。三种曲率数据量的模型预测结果具体见表14。

由表14的预测结果可知，当减少10%曲率数据时，与原模型相比，相对误差变化较小，预测精度较高；当曲率数据减少30%时，相对误差大幅增加，相比原模型预测精度下降。对比厚度数据减少后的预测精度，模型学习对板材成形形状数据量更为敏感。

分别剔除20%和40%材料种类数据，即剔除1种和2种材料的所有成形及回弹数据，对该模型材料种类数据敏感性开展分析。对剔除材料种类的所有模型进行训练和预测，两类模型分别称为“材料-20%”和“材料-40%”，具体剔除材料以括号形式注明，例如“材料-20%（A5083）”即剔除材料为A5083。模型训练时间精度和训练时间如表15所示。与原数据模型“材料-0”对比预测最大回弹量相对误差，不同预测工况下的最大回弹量相对误差平均值及不同训练模型的最大回弹量相对误差平均值如表16所示。

根据表16中的预测结果，当材料种类数据减少时，预测的相对误差稳定在6.5%左右，预测精度与原模型的预测精度基本持平。这是因为本文所提出的材料嵌入模块是独立于原CNN框架之外的网络结构参与训练和预测的，材料种类数据的减少或增加对于整个训练框架影响较小，这也充分说明了本文所提出的模型可以更广泛地应用于不同材料甚至于先进复合材料板材的回弹预测。

5 结论

针对板材成形回弹建立了基于本构嵌入的回弹预测深度学习模型，以板材厚度和成形形状参数作为输入，并在网络结构中构建材料自定义层，通过材料卷积嵌入材料参数，从而实现对复杂材料性能金属板材的回弹预测。采用拉丁超立方采样方法生成模型训练的数据工况，根据材料种 类、厚度和曲率数据外推来测试模型的泛化能力，并通过分别减少材料种类、厚度和形状数据训练量来讨论模型对各个参数的学习能力强弱。通过以上研究工作，得到如下主要结论：

1）采用基于本构嵌入的深度学习（CE-DNN）模型对金属板材成形进行回弹预测，预测最大回弹量的相对误差在10%以内，验证了该模型的准确性。

2）模型在厚度、成形曲率和材料上具有一定的泛化性能，可对超出模型数据库30%厚度范围、20%成形曲率范围及30%材料范围内的板材回弹量进行较高精度的预测。

3）模型在厚度和成形曲率上具有一定的数据鲁棒性，可对减少模型数据量30%厚度数据、10%成形曲率数据范围内的板材回弹量进行较高精度预测；模型对成形曲率数据的敏感性更高；材料种类数据减少时模型仍然可以保证原预测精度，材料种类数据对本文的模型训练及预测影响较小。

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基金资助

国家自然科学基金(52201378)