H不变凸函数的多目标规划的最优性条件

Optimality conditions for multi-objective programming of H-invariant convex functions

摘要

研究一类含有支撑函数的多目标规划问题，以弧连通凸函数的广义凸性理论为基础构建最优性条件。提出了一类新的H不变凸函数，运用H不变凸函数，针对一类多目标规划问题的解展开研究，借助新的凸性，得到了H不变凸函数最优性条件、H拟凸函数最优性充分条件以及H伪凸函数最优性条件。研究结果对H不变凸函数的最优性条件进行了推广。

Abstract

This paper investigates a class of multi-objective programming problems involving support functions， based on the generalized convexity theory of arcwise connected convex functions， optimality conditions are established. A novel class of H-invariant convex functions is introduced， and their application to the solutions of a specific class of multi-objective programming problems is explored. Leveraging this new convexity notion， optimality conditions for H-invariant convex functions are derived， along with sufficient optimality conditions for H-quasi-convex functions and optimality conditions for H-pseudo-convex functions， thereby extending the existing optimality conditions for H-invariant convex functions.

关键词

H

不变凸函数 / 对称梯度 / 最优性充分条件 / 多目标规划

Key words

H

invariant convex function / symmetric gradient / optimality sufficient condition / multi-objective programming

最优性条件是数学规划中重要的研究内容之一，很多学者利用不同的凸函数对这一问题进行了研究。文献［1-5］利用不同的凸函数研究了相应规划的最优性条件；文献［6］给出弧连通函数的定义；文献［7-9］利用弧连通函数，研究了多目标规划问题的对偶性；文献［10-15］研究了加入支撑函数的不同广义不变凸规划的最优性条件及对偶性条件；文献［16-17］运用区间值函数研究多目标规划的最优性条件；文献［18-20］研究了多目标规划的应用以及加入区间值函数的多目标规划的应用。

在上述文献研究的基础上，本文基于弧连通凸函数，提出了一类新的H不变凸函数，针对含带有支撑函数的对称可微多目标规划问题展开研究，建立了相关凸函数的最优性理论，得到了多目标规划问题的弱有效解，在H不变凸函数下推广了多目标规划问题的最优性条件。

1 相关概念及引理

设{\mathbf{R}}^n是n维欧氏空间，对于任何\mathit{x}=\{x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},\cdots， x_n{\}}^{\mathrm{T}},\mathit{y}=\{y_{\mathrm{1}},y_{\mathrm{2}},\cdots ,y_n{\}}^{\mathrm{T}},\mathit{x},\mathit{y}\in {\mathbf{R}}^n,定义：\mathit{x}\leqq \mathit{y}\iff {\mathit{x}}_i\leqq {\mathit{y}}_i;\mathit{x}\le \mathit{y}\iff {\mathit{x}}_i\leqq {\mathit{y}}_i，但i=\mathrm{1,2},\cdots ,n\mathrm{。}

本文考虑下面目标函数和约束函数都带有支撑函数的多目标规划问题：

\mathrm{M}\mathrm{V}\mathrm{P}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}F\left(\mathit{x}\right)=(f_{\mathrm{1}}(\mathit{x})+s(\mathit{x}|C_{\mathrm{1}}),\cdots ,f_k(\mathit{x})+\\ s(\mathit{x}|C_k)),\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.g_j(\mathit{x})+s(\mathit{x}|D_j)\le \mathrm{0},j=\mathrm{1,2},\cdots ,m,\\ x\in X\subset {\mathbf{R}}^n\mathrm{。}\end{array}\right.

其中，X为{\mathbf{R}}^n上的非空开集；令K=\{\mathrm{1,2},\cdots ,k\},M=\{\mathrm{1,2},\cdots ,m\},f_i(\mathit{x}):X\to \mathbf{R},i\in K,g_i(\mathit{x}):X\to \mathbf{R},j\in M，f_i(\mathit{x})和g_j(\mathit{x})皆为局部Lipschitz函数；C_i、D_j是{\mathbf{R}}^n中对于每一个i\in K和j\in M的紧函数。

令X^{\mathrm{0}}=\left\{\mathit{x}\in X|g_i(\mathit{x})+s(\mathit{x}|D_j)\le \mathrm{0},j\in M\right\}为MVP的可行解集。J({\mathit{x}}_{\mathrm{0}})=\{j|g_j({\mathit{x}}_{\mathrm{0}})+s({\mathit{x}}_{\mathrm{0}}|D_j)=\mathrm{0}\}，和表示在x上的支撑函数。

定义1^［7］ 令X\subset {\mathbf{R}}^n，若对于任意两个点{\mathit{x}}_{\mathrm{1}},{\mathit{x}}_{\mathrm{2}}\in X，都有一个定义在[\mathrm{0,1}]\subset \mathbf{R}上的连续函数H_{{\mathit{x}}_{\mathrm{1}},{\mathit{x}}_{\mathrm{2}}}(·)，满足：H_{{\mathit{x}}_{\mathrm{1}},{\mathit{x}}_{\mathrm{2}}}(\mathrm{0})={\mathit{x}}_{\mathrm{1}},H_{{\mathit{x}}_{\mathrm{1}},{\mathit{x}}_{\mathrm{2}}}(\mathrm{1})={\mathit{x}}_{\mathrm{2}}，称X为弧式连通集，简记为AC，将H_{{\mathit{x}}_{\mathrm{1}},{\mathit{x}}_{\mathrm{2}}}(·)称为连结{\mathit{x}}_{\mathrm{1}}\mathrm{、}{\mathit{x}}_{\mathrm{2}}的弧。

定义2^［6］ 令X\subset {\mathbf{R}}^n，若对于任意两个点{\mathit{x}}_{\mathrm{1}},{\mathit{x}}_{\mathrm{2}}\in X，总有向量函数\alpha ({\mathit{x}}_{\mathrm{1}},{\mathit{x}}_{\mathrm{2}})\mathrm{不恒}\mathrm{为}\mathrm{0}:X\times X\to X，使得[\mathrm{0,1}]\subset \mathbf{R}上的连续函数H_{{\mathit{x}}_{\mathrm{1}},{\mathit{x}}_{\mathrm{2}}}(·)，满足：H_{{\mathit{x}}_{\mathrm{1}},{\mathit{x}}_{\mathrm{2}}}(\lambda )={\mathit{x}}_{\mathrm{1}}+\lambda \alpha ({\mathit{x}}_{\mathrm{1}},{\mathit{x}}_{\mathrm{2}}),\lambda \in [\mathrm{0,1}]仍在X中，称X为广义弧式连通集，简称GAC，称H_{{\mathit{x}}_{\mathrm{1}},{\mathit{x}}_{\mathrm{2}}}(·)是由{\mathit{x}}_{\mathrm{1}}生成的弧。

易见在GAC中，必有H_{{\mathit{x}}_{\mathrm{1}},{\mathit{x}}_{\mathrm{2}}}(\mathrm{0})={\mathit{x}}_{\mathrm{1}}，选取\alpha ({\mathit{x}}_{\mathrm{1}},{\mathit{x}}_{\mathrm{2}})={\mathit{x}}_{\mathrm{2}}-{\mathit{x}}_{\mathrm{1}}，必有H_{{\mathit{x}}_{\mathrm{1}},{\mathit{x}}_{\mathrm{2}}}(\mathrm{1})={\mathit{x}}_{\mathrm{2}}，由此可知，AC必是GAC。

定义3^［6］ 假设X\subset {\mathbf{R}}^n是GAC，f是X上的实函数，若对于任意两个点{\mathit{x}}_{\mathrm{1}},{\mathit{x}}_{\mathrm{2}}\in X，f满足f(H_{{\mathit{x}}_{\mathrm{1}},{\mathit{x}}_{\mathrm{2}}}(\theta ))\le (\mathrm{1}-\theta )f({\mathit{x}}_{\mathrm{1}})+\theta f({\mathit{x}}_{\mathrm{2}}),\mathrm{0}\le \theta \le \mathrm{1}，则f是X上的广义弧式连通函数，简记为GCN。

定义4^［6］ 若f(x)是弧式连通集X\subset {\mathbf{R}}^n上的实函数，\forall {\mathit{x}}_{\mathrm{1}}\in X,{\mathit{x}}_{\mathrm{2}}\in X，\exists \mathrm{可微}\mathrm{弧}{H}_{{\mathit{x}}_{\mathrm{1}},{\mathit{x}}_{\mathrm{2}}}，使得f在t=0关于H_{{\mathit{x}}_{\mathrm{1}},{\mathit{x}}_{\mathrm{2}}}的右导数

(f^{+}(H_{{\mathit{x}}_{\mathrm{1}},{\mathit{x}}_{\mathrm{2}}}(\mathrm{0}))=\underset{t\to {\mathrm{0}}^{+}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{f(H_{{\mathit{x}}_{\mathrm{1}},{\mathit{x}}_{\mathrm{2}}}(t))-f({\mathit{x}}_{\mathrm{1}})}{t},

如果t\in [\mathrm{0,1}],\delta \in [\mathrm{0,1}],\underset{t\to {\mathrm{0}}^{+}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\delta (t)=\mathrm{0}，则

f[H_{{\mathit{x}}_{\mathrm{1}},{\mathit{x}}_{\mathrm{2}}}(t)]=f({\mathit{x}}_{\mathrm{1}})+t{f}^{+}(H_{{\mathit{x}}_{\mathrm{1}},{\mathit{x}}_{\mathrm{2}}}(\mathrm{0}))+\theta \delta (t)。

引理1^［10］f是集合X\subset {\mathbf{R}}^n上的实函数，f在x\in X满足对称可微，如果y\in {\mathbf{R}}^n满足y^{\mathrm{T}}h=f^s(x)h,\forall h\in {\mathbf{R}}^n，那么把f^s(x)叫做f在点x的对称梯度。

定义5 若X\subset {\mathbf{R}}^n是广义弧连通集，(f_i(\mathit{x})+{\mathit{x}}^{\mathrm{T}}{\mathit{\omega }}_i)是X上的实函数，p\mathrm{、}r为任意实数，\mathit{u}\in X，若对所有\mathit{x}\in X，\exists \mathit{\phi }:X\times X\to {\mathbf{R}}^n和\mathit{\eta }:X\times X\to {\mathbf{R}}^n，\mathrm{s}.\mathrm{t}.\forall p\ne \mathrm{0},r\ne \mathrm{0}有

\frac{\mathrm{1}}{r}({\mathrm{e}}^{r[(f_i(\mathit{x})+{\mathit{x}}^{\mathrm{T}}{\mathit{\omega }}_i)-(f_i(\mathit{u})+{\mathit{u}}^{\mathrm{T}}{\mathit{\omega }}_i)]}-\mathrm{1})\geqq \frac{\mathrm{1}}{p}(f_{i^{+}}^s(H_{\mathit{x},\mathit{u}}(\mathrm{0}))+{\omega }_i){\mathit{\phi }}^{\mathrm{T}}(\mathit{x},\mathit{u})({\mathrm{e}}^{p\mathit{\eta }(\mathit{x},\mathit{u})}-I)+{\rho }_i{d}_i^{\mathrm{2}}(\mathit{x},\mathit{u}),

则称(f_i(\mathit{x})+{\mathit{x}}^{\mathrm{T}}{\mathit{\omega }}_i)在\mathit{u}点是关于\mathit{\eta }和\mathit{\phi }的H不变凸函数。如果(f_i(\mathit{x})+{\mathit{x}}^{\mathrm{T}}{\mathit{\omega }}_i)在X中的每一点\mathit{u}都是关于\mathit{\eta }和\mathit{\phi }的H不变凸函数，那么(f_i(\mathit{x})+{\mathit{x}}^{\mathrm{T}}{\mathit{\omega }}_i)在X上为H不变凸函数。

定义6 若X\subset {\mathbf{R}}^n是广义弧连通集，(f_i(\mathit{x})+{\mathit{x}}^{\mathrm{T}}{\mathit{\omega }}_i)是X上的实函数，p\mathrm{、}r为任意实数，\mathit{u}\in X，若对所有\mathit{x}\in X，\exists \mathit{\phi }:X\times X\to {\mathbf{R}}^n和\mathit{\eta }:X\times X\to {\mathbf{R}}^n，\mathrm{s}.\mathrm{t}.\forall p\ne \mathrm{0},r\ne \mathrm{0}有

\frac{\mathrm{1}}{r}({\mathrm{e}}^{r[(f_i(\mathit{x})+{\mathit{x}}^{\mathrm{T}}{\mathit{\omega }}_i)-(f_i(\mathit{u})+{\mathit{u}}^{\mathrm{T}}{\mathit{\omega }}_i)]}-\mathrm{1})\leqq \mathrm{0}\Rightarrow

\begin{array}{l}\frac{\mathrm{1}}{p}(f_{i^{+}}^s(H_{\mathit{x},\mathit{u}}(\mathrm{0}))+{\mathit{\omega }}_i){\mathit{\phi }}^{\mathrm{T}}(\mathit{x},\mathit{u})({\mathrm{e}}^{p\mathit{\eta }(\mathit{x},\mathit{u})}-I)+\\ {\rho }_i{d}_i^{\mathrm{2}}(\mathit{x},\mathit{u})\leqq \mathrm{0},\end{array}

那么(f_i(\mathit{x})+{\mathit{x}}^{\mathrm{T}}{\mathit{\omega }}_i)称在\mathit{u}点是关于向量函数\mathit{\eta }和\mathit{\phi }的H拟凸函数。若函数(f_i(\mathit{x})+{\mathit{x}}^{\mathrm{T}}{\mathit{\omega }}_i)在X中的每一点\mathit{u}都是关于\mathit{\eta }和\mathit{\phi }的H拟凸函数，则称(f_i(\mathit{x})+{\mathit{x}}^{\mathrm{T}}{\mathit{\omega }}_i)在X上是H拟凸函数。

定义7 若X\subset {\mathbf{R}}^n是广义弧连通集，(f_i(\mathit{x})+{\mathit{x}}^{\mathrm{T}}{\mathit{\omega }}_i)是X上的实函数，p\mathrm{、}r为任意实数，\mathit{u}\in X，若对所有\mathit{x}\in X，\exists \mathit{\phi }:X\times X\to {\mathbf{R}}^n和\mathit{\eta }:X\times X\to {\mathbf{R}}^n，\mathrm{s}.\mathrm{t}.\forall p\ne \mathrm{0},r\ne \mathrm{0}有

\begin{array}{l}\frac{\mathrm{1}}{p}(f_{i^{+}}^s(H_{\mathit{x},\mathit{u}}(\mathrm{0}))+{\mathit{\omega }}_i){\mathit{\phi }}^{\mathrm{T}}(\mathit{x},\mathit{u})({\mathrm{e}}^{p\mathit{\eta }(\mathit{x},\mathit{u})}-I)+\\ {\rho }_i{d}_i^{\mathrm{2}}(\mathit{x},\mathit{u})\geqq \mathrm{0}\Rightarrow \end{array}

\frac{\mathrm{1}}{r}({\mathrm{e}}^{r[(f_i(\mathit{x})+{\mathit{x}}^{\mathrm{T}}{\mathit{\omega }}_i)-(f_i(\mathit{u})+{\mathit{u}}^{\mathrm{T}}{\mathit{\omega }}_i)]}-\mathrm{1})\geqq \mathrm{0},

那么称(f_i(\mathit{x})+{\mathit{x}}^{\mathrm{T}}{\mathit{\omega }}_i)在\mathit{u}点是关于向量函数\mathit{\eta }和\mathit{\phi }的H伪凸函数。如果(f_i(\mathit{x})+{\mathit{x}}^{\mathrm{T}}{\mathit{\omega }}_i)在X中的任意点\mathit{u}都是\mathit{\eta }和\mathit{\phi }的H伪凸函数，称(f_i(\mathit{x})+x^{\mathrm{T}}{\mathit{\omega }}_i)在X上为H伪凸函数。

定义8 （有效解）设{\mathit{x}}_{\mathrm{0}}\in X，如果不存在\mathit{x}\in X，使得f(\mathit{x})+s(\mathit{x}|C_i)\le f({\mathit{x}}_{\mathrm{0}})+s({\mathit{x}}_{\mathrm{0}}|C_i)，则称{\mathit{x}}_{\mathrm{0}}是MVP的有效解。

定义9 （弱有效解）设{\mathit{x}}_{\mathrm{0}}\in X，如果不存在\mathit{x}\in X，使得，则称{\mathit{x}}_{\mathrm{0}}是MVP的弱有效解。

2 最优性条件

定理1 假设{\mathit{x}}_{\mathrm{0}}是规划MVP的可行解\left({\mathit{x}}_{\mathrm{0}}\in X_{\mathrm{0}}\right)，如果以下条件成立：

1）存在\mathit{\lambda }=({\lambda }_{\mathrm{1}},\cdots ,{\lambda }_k)>\mathrm{0}， μ =（μ₁，…，μ_m ）≥0，使得

\mathrm{a}){\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^k}{\lambda }_i\left(f_{i^{+}}^s(H_{\mathit{x},{\mathit{x}}_{\mathrm{0}}}(\mathrm{0}))+{\mathit{\omega }}_i\right)+{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^m}{\mu }_j\left(g_{j^{+}}^s(H_{\mathit{x},{\mathit{x}}_{\mathrm{0}}}(\mathrm{0}))+{\mathit{v}}_j\right)=\mathrm{0};

\mathrm{b}){\mu }_j(g_j({\mathit{x}}_{\mathrm{0}})+{\mathit{x}}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{T}}{\mathit{v}}_j)=\mathrm{0};

\begin{array}{l}\mathrm{c})s({\mathit{x}}_{\mathrm{0}}|C_i)={\mathit{x}}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{T}}{\mathit{\omega }}_i,{\mathit{\omega }}_i\in C_i,\\ s({\mathit{x}}_{\mathrm{0}}|D_j)={\mathit{x}}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{T}}{\mathit{v}}_j,{\mathit{v}}_j\in D_j\mathrm{。}\end{array}

2）(f_i(\mathit{x})+{\mathit{x}}^{\mathrm{T}}{\mathit{\omega }}_i)在\mathit{u}是关于\mathit{\eta }和\mathit{\phi }的H不变凸函数；{\mu }_j(g_j(\mathit{x})+{\mathit{x}}^{\mathrm{T}}{\mathit{v}}_j)是关于\mathit{\eta }和\mathit{\phi }的H不变凸函数；{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^k}{\mathit{\omega }}_i{\rho }_i{d}_i^{\mathrm{2}}(\mathit{x},{\mathit{x}}_{\mathrm{0}})+{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^m}{\mu }_j{\overline{\rho }}_j{d}_j^{\mathrm{2}}(\mathit{x},{\mathit{x}}_{\mathrm{0}})\ge \mathrm{0}。

则{\mathit{x}}_{\mathrm{0}}是MVP的弱有效解。

证明 反证法。假设{\mathit{x}}_{\mathrm{0}}不是MVP的弱有效解，则存在可行解\mathit{x}\in X_{\mathrm{0}}使得

f_i({\mathit{x}}_{\mathrm{0}})+s({\mathit{x}}_{\mathrm{0}}|C_i)>f_i(\mathit{x})+s(\mathit{x}|C_i)\mathrm{。}

由定理1条件1）中的c）可得

\begin{array}{l}{f}_i({\mathit{x}}_{\mathrm{0}})+{\mathit{x}}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{T}}{\mathit{\omega }}_i=f_i({\mathit{x}}_{\mathrm{0}})+s({\mathit{x}}_{\mathrm{0}}\left|C_i)>\right.\\ f_i(\mathit{x})+s(\mathit{x}\left|C_i)\right.=f_i(\mathit{x})+{\mathit{x}}^{\mathrm{T}}{\mathit{\omega }}_i,\end{array}

即有

容易得到下式成立

（1）

由定理1中条件2）得

\begin{array}{l}\frac{\mathrm{1}}{r}({\mathrm{e}}^{r[(f_i(\mathit{x})+{\mathit{x}}^{\mathrm{T}}{\mathit{\omega }}_i)-(f_i({\mathit{x}}_{\mathrm{0}})+{\mathit{x}}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{T}}{\mathit{\omega }}_i)]}-\mathrm{1})\geqq \\ \frac{\mathrm{1}}{p}(f_{i^{+}}^s(H_{\mathit{x},\mathit{u}}(\mathrm{0}))+{\mathit{\omega }}_i){\mathit{\phi }}^{\mathrm{T}}(\mathit{x},{\mathit{x}}_{\mathrm{0}})({\mathrm{e}}^{p\mathit{\eta }(\mathit{x},{\mathit{x}}_{\mathrm{0}})}-I)+\\ {\rho }_i{d}_i^{\mathrm{2}}(\mathit{x},{\mathit{x}}_{\mathrm{0}}),\hspace{1em}(\mathrm{1}\le i\le k)\mathrm{。}\end{array}

结合式（1）可得

（2）

由\mathit{x}\in X_{\mathrm{0}}是可行解，结合{\mu }_j(g_j({\mathit{x}}_{\mathrm{0}})+{\mathit{x}}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{T}}{\mathit{v}}_j)=\mathrm{0}，可得

\frac{\mathrm{1}}{r}({\mathrm{e}}^{r[{\mu }_j(g_j(\mathit{x})+{\mathit{x}}^{\mathrm{T}}{\mathit{v}}_j)-{\mu }_j(g_j({\mathit{x}}_{\mathrm{0}})+{\mathit{x}}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{T}}{\mathit{v}}_j)]}-\mathrm{1})\le \mathrm{0},\hspace{1em}(\mathrm{1}\le j\le m)。（3）

因为{\mu }_j(g_j(\mathit{x})+{\mathit{x}}^{\mathrm{T}}{\mathit{v}}_j)是关于向量函数\mathit{\eta }和\mathit{\phi }的H不变凸函数，所以有下式成立：

\frac{\mathrm{1}}{p}{\mu }_j(g_{j^{+}}^s(H_{\mathit{x},{\mathit{x}}_{\mathrm{0}}}(\mathrm{0}))+{\mathit{v}}_j){\mathit{\phi }}^{\mathrm{T}}(\mathit{x},{\mathit{x}}_{\mathrm{0}})({\mathrm{e}}^{p\mathit{\eta }(\mathit{x},{\mathit{x}}_{\mathrm{0}})}-I)+{\overline{\rho }}_j{d}_j^{\mathrm{2}}(\mathit{x},{\mathit{x}}_{\mathrm{0}})\le \mathrm{0},\hspace{1em}(\mathrm{1}\le j\le m)\mathrm{。}（4）

又因为λ_i ≥0，i=1，2，…，k；μ_j ≥0，j=1，2，…，m，式（2）乘{\lambda }_i求和与式（4）求和相加，可得

（5）

由{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^k}{\mathit{\omega }}_i{\rho }_i{d}_i^{\mathrm{2}}(\mathit{x},{\mathit{x}}_{\mathrm{0}})+{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^m}{\mu }_j{\overline{\rho }}_j{d}_j^{\mathrm{2}}(\mathit{x},{\mathit{x}}_{\mathrm{0}})\ge \mathrm{0}可得

（6）

由定理1条件1）中a）可得

\begin{array}{l}\frac{\mathrm{1}}{p}{\mathit{\phi }}^{\mathrm{T}}(\mathit{x},{\mathit{x}}_{\mathrm{0}})\left[{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^k}{\lambda }_i(f_{i^{+}}^s(H_{\mathit{x},{\mathit{x}}_{\mathrm{0}}}(\mathrm{0}))+{\mathit{\omega }}_i)+\right.\\ \left.{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^m}{\mu }_j(g_{j^{+}}^s(H_{\mathit{x},{\mathit{x}}_{\mathrm{0}}}(\mathrm{0}))+{\mathit{v}}_j)\right]({\mathrm{e}}^{p\mathit{\eta }(\mathit{x},{\mathit{x}}_{\mathrm{0}})}-I)=\mathrm{0}\mathrm{。}\end{array}（7）

式（7）与式（6）矛盾。

所以{\mathit{x}}_{\mathrm{0}}是MVP的弱有效解，得证。

定理2 假设{\mathit{x}}_{\mathrm{0}}是规划MVP的可行解（即{\mathit{x}}_{\mathrm{0}}\in X_{\mathrm{0}}），如果以下条件成立：

1）存在 λ =（λ₁，…，λ_k ）>0， μ =（μ₁，…，μ_m ）≥0，使得

\mathrm{a}){\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^k}{\lambda }_i\left(f_{i^{+}}^s(H_{\mathit{x},{\mathit{x}}_{\mathrm{0}}}(\mathrm{0}))+{\mathit{\omega }}_i\right)+{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^m}{\mu }_j\left(g_{j^{+}}^s(H_{\mathit{x},{\mathit{x}}_{\mathrm{0}}}(\mathrm{0}))+{\mathit{v}}_j\right)=\mathrm{0};

\mathrm{b}){\mu }_j(g_j({\mathit{x}}_{\mathrm{0}})+{\mathit{x}}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{T}}{\mathit{v}}_j)=\mathrm{0};

\begin{array}{l}\mathrm{c})s({\mathit{x}}_{\mathrm{0}}|C_i)={\mathit{x}}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{T}}{\mathit{\omega }}_i,{\mathit{\omega }}_i\in C_i,\\ s({\mathit{x}}_{\mathrm{0}}|D_j)={\mathit{x}}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{T}}{\mathit{v}}_j,{\mathit{v}}_j\in D_j\end{array}。

2）{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^k}(f_i(\mathit{x})+{\mathit{x}}^{\mathrm{T}}{\mathit{\omega }}_i)在\mathit{u}是关于\mathit{\eta }和\mathit{\phi }的H伪凸函数；{\mu }_j(g_j(\mathit{x})+{\mathit{x}}^{\mathrm{T}}{\mathit{v}}_j)是关于\mathit{\eta }和\mathit{\phi }的H拟凸函数；{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^k}{\mathit{\omega }}_i{\rho }_i{d}_i^{\mathrm{2}}(\mathit{x},{\mathit{x}}_{\mathrm{0}})+{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^m}{\mu }_j{\overline{\rho }}_j{d}_j^{\mathrm{2}}(\mathit{x},{\mathit{x}}_{\mathrm{0}})>\mathrm{0}\mathrm{。}

则{\mathit{x}}_{\mathrm{0}}是MVP的弱有效解。

证明 设可行解\mathit{x}\in X_{\mathrm{0}}，由{\mu }_j(g_j(\mathit{x})+{\mathit{x}}^{\mathrm{T}}{\mathit{v}}_j)\le \mathrm{0}以及定理2条件1）中的b）可得

\frac{\mathrm{1}}{r}({\mathrm{e}}^{r[{\mu }_j(g_j(\mathit{x})+{\mathit{x}}^{\mathrm{T}}{\mathit{v}}_j)-{\mu }_j(g_j({\mathit{x}}_{\mathrm{0}})+{\mathit{x}}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{T}}{\mathit{v}}_j)]}-\mathrm{1})\le \mathrm{0},\hspace{1em}(\mathrm{1}\le j\le m)。

由定理2中条件2）可得

\frac{\mathrm{1}}{p}{\mu }_j(g_{j^{+}}^s(H_{\mathit{x},{\mathit{x}}_{\mathrm{0}}}(\mathrm{0}))+v_j){\mathit{\phi }}^{\mathrm{T}}(\mathit{x},{\mathit{x}}_{\mathrm{0}})({\mathrm{e}}^{p\mathit{\eta }(\mathit{x},{\mathit{x}}_{\mathrm{0}})}-I)+{\overline{\rho }}_j{d}_j^{\mathrm{2}}(\mathit{x},{\mathit{x}}_{\mathrm{0}})\le \mathrm{0},\hspace{1em}(\mathrm{1}\le j\le m)\mathrm{。}（8）

对式（8）进行求和可得

\begin{array}{l}\frac{\mathrm{1}}{p}{\mathit{\phi }}^{\mathrm{T}}(\mathit{x},{\mathit{x}}_{\mathrm{0}})\left[{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^m}{\mu }_j(g_{j^{+}}^s(H_{\mathit{x},{\mathit{x}}_{\mathrm{0}}}(\mathrm{0}))+{\mathit{v}}_j)\right]\cdot \\ ({\mathrm{e}}^{p\mathit{\eta }(\mathit{x},{\mathit{x}}_{\mathrm{0}})}-I)+{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^m}{\mu }_j{\overline{\rho }}_j{d}_j^{\mathrm{2}}(\mathit{x},{\mathit{x}}_{\mathrm{0}})\le \mathrm{0}\mathrm{。}\end{array}（9）

由定理2条件1）中的a）可得

\begin{array}{l}\frac{\mathrm{1}}{p}{\mathit{\phi }}^{\mathrm{T}}(\mathit{x},{\mathit{x}}_{\mathrm{0}})\left[{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^k}{\lambda }_i(f_{i^{+}}^s(H_{\mathit{x},{\mathit{x}}_{\mathrm{0}}}(\mathrm{0}))+{\mathit{\omega }}_i)+\right.\\ \left.{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^m}{\mu }_j(g_{j^{+}}^s(H_{\mathit{x},{\mathit{x}}_{\mathrm{0}}}(\mathrm{0}))+{\mathit{v}}_j)\right]({\mathrm{e}}^{p\mathit{\eta }(\mathit{x},{\mathit{x}}_{\mathrm{0}})}-I)=\mathrm{0}\mathrm{。}\end{array}（10）

由式（10）以及

{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^k}{\omega }_i{\rho }_i{d}_i^{\mathrm{2}}(\mathit{x},{\mathit{x}}_{\mathrm{0}})+{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^m}{\mu }_j{\overline{\rho }}_j{d}_j^{\mathrm{2}}(\mathit{x},{\mathit{x}}_{\mathrm{0}})>\mathrm{0}可得

\begin{array}{l}\frac{\mathrm{1}}{p}{\mathit{\phi }}^{\mathrm{T}}(\mathit{x},{\mathit{x}}_{\mathrm{0}})\left[{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^k}{\lambda }_i(f_{i^{+}}^s(H_{\mathit{x},{\mathit{x}}_{\mathrm{0}}}(\mathrm{0}))+{\mathit{\omega }}_i)+\right.\\ \left.{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^m}{\mu }_j(g_{j^{+}}^s(H_{\mathit{x},{\mathit{x}}_{\mathrm{0}}}(\mathrm{0}))+{\mathit{v}}_j)\right]({\mathrm{e}}^{p\mathit{\eta }(\mathit{x},{\mathit{x}}_{\mathrm{0}})}-I)+\\ {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^k}{\mathit{\omega }}_i{\rho }_i{d}_i^{\mathrm{2}}(\mathit{x},{\mathit{x}}_{\mathrm{0}})+{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^m}{\mu }_j{\overline{\rho }}_j{d}_j^{\mathrm{2}}(\mathit{x},{\mathit{x}}_{\mathrm{0}})>\mathrm{0}\mathrm{。}\end{array}（11）

由式（10）和式（11）可得

\begin{array}{l}\frac{\mathrm{1}}{p}{\mathit{\phi }}^{\mathrm{T}}(\mathit{x},{\mathit{x}}_{\mathrm{0}})\left[{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^k}{\lambda }_i(f_{i^{+}}^s(H_{\mathit{x},{\mathit{x}}_{\mathrm{0}}}(\mathrm{0}))+{\mathit{\omega }}_i)\right]({\mathrm{e}}^{p\mathit{\eta }(\mathit{x},{\mathit{x}}_{\mathrm{0}})}-\\ I)+{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^k}{\mathit{\omega }}_i{\rho }_i{d}_i^{\mathrm{2}}(\mathit{x},{\mathit{x}}_{\mathrm{0}})\geqq \mathrm{0}\mathrm{。}\end{array}（12）

由定理2中条件2）可知

\frac{\mathrm{1}}{r}\left({\mathrm{e}}^{r{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^k}[(f_i(\mathit{x})+{\mathit{x}}^{\mathrm{T}}{\mathit{\omega }}_i)-(f_i({\mathit{x}}_{\mathrm{0}})+{\mathit{x}}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{T}}{\mathit{\omega }}_i)]}-\mathrm{1}\right)\geqq \mathrm{0},

{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^k}\left[(f_i(\mathit{x})+{\mathit{x}}^{\mathrm{T}}{\mathit{\omega }}_i)-(f_i({\mathit{x}}_{\mathrm{0}})+{\mathit{x}}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{T}}{\mathit{\omega }}_i)\right]>\mathrm{0}\mathrm{。}

与{\mathit{x}}_{\mathrm{0}}是弱有效解的定义矛盾，所以{\mathit{x}}_{\mathrm{0}}是MVP的弱有效解，得证。

定理3 假设{\mathit{x}}_{\mathrm{0}}是规划MVP的可行解（即{\mathit{x}}_{\mathrm{0}}\in X_{\mathrm{0}}），如果以下条件成立：

1）存在 λ =（λ₁，…，λ_k ）>0， μ =（μ₁，…，μ_m ）≥0，使得

\mathrm{a}){\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^k}{\lambda }_i\left(f_{i^{+}}^s(H_{\mathit{x},{\mathit{x}}_{\mathrm{0}}}(\mathrm{0}))+{\mathit{\omega }}_i\right)+{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^m}{\mu }_j\left(g_{j^{+}}^s(H_{\mathit{x},{\mathit{x}}_{\mathrm{0}}}(\mathrm{0}))+{\mathit{v}}_j\right)=\mathrm{0};

\mathrm{b}){\mu }_j(g_j({\mathit{x}}_{\mathrm{0}})+{\mathit{x}}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{T}}{\mathit{v}}_j)=\mathrm{0};

\begin{array}{l}\mathrm{c})s({\mathit{x}}_{\mathrm{0}}|C_i)={\mathit{x}}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{T}}{\mathit{\omega }}_i,{\mathit{\omega }}_i\in C_i,\\ s({\mathit{x}}_{\mathrm{0}}|D_j)={\mathit{x}}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{T}}{\mathit{v}}_j,{\mathit{v}}_j\in D_j\mathrm{。}\end{array}

2）(f_i(\mathit{x})+{\mathit{x}}^{\mathrm{T}}{\mathit{\omega }}_i)(i\in K)在\mathit{u}是关于\mathit{\eta }和\mathit{\phi }的H拟凸函数；{\mu }_j(g_j(\mathit{x})+{\mathit{x}}^{\mathrm{T}}{\mathit{v}}_j)(j\in M)是关于\mathit{\eta }和\mathit{\phi }的H拟凸函数；{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^k}{\mathit{\omega }}_i{\rho }_i{d}_i^{\mathrm{2}}(\mathit{x},{\mathit{x}}_{\mathrm{0}})+{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^m}{\mu }_j{\overline{\rho }}_j{d}_j^{\mathrm{2}}(\mathit{x},{\mathit{x}}_{\mathrm{0}})>\mathrm{0}。

则x_{\mathrm{0}}是MVP的弱有效解。

证明 反证法。假设{\mathit{x}}_{\mathrm{0}}不是MVP的弱有效解，则存在可行解\mathit{x}\in X_{\mathrm{0}}使得

f_i({\mathit{x}}_{\mathrm{0}})+s({\mathit{x}}_{\mathrm{0}}|C_i)>f_i(\mathit{x})+s(\mathit{x}|C_i)\mathrm{。}

由定理3条件1）中的c）可得

\begin{array}{l}{f}_i({\mathit{x}}_{\mathrm{0}})+{{\mathit{x}}_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{T}}{\mathit{\omega }}_i=f_i({\mathit{x}}_{\mathrm{0}})+s({\mathit{x}}_{\mathrm{0}}\left|C_i)>\right.\\ f_i(\mathit{x})+s(\mathit{x}\left|C_i)\right.=f_i(\mathit{x})+{\mathit{x}}^{\mathrm{T}}{\mathit{\omega }}_i,\end{array}

则有

由，可得

\frac{\mathrm{1}}{r}\left({\mathrm{e}}^{r[(f_i(\mathit{x})+{\mathit{x}}^{\mathrm{T}}{\mathit{\omega }}_i)-(f_i({\mathit{x}}_{\mathrm{0}})+{\mathit{x}}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{T}}{\mathit{\omega }}_i)]}-\mathrm{1}\right)\leqq \mathrm{0},（13）

对式（13）i\in K项相加进行求和，可得

\frac{\mathrm{1}}{r}\left({\mathrm{e}}^{r{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^k}[(f_i(\mathit{x})+{\mathit{x}}^{\mathrm{T}}{\mathit{\omega }}_i)-(f_i({\mathit{x}}_{\mathrm{0}})+{\mathit{x}}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{T}}{\mathit{\omega }}_i)]}-\mathrm{1}\right)\leqq \mathrm{0}\mathrm{。}

由定理3中条件2）可得

\begin{array}{l}\frac{\mathrm{1}}{p}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^k}\left[(f_{i^{+}}^s(H_{\mathit{x},{\mathit{x}}_{\mathrm{0}}}(\mathrm{0}))+{\mathit{\omega }}_i){\mathit{\phi }}^{\mathrm{T}}(\mathit{x},{\mathit{x}}_{\mathrm{0}})({\mathrm{e}}^{p\mathit{\eta }(\mathit{x},{\mathit{x}}_{\mathrm{0}})}-I)\right]+\\ {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^k}{\rho }_i{d}_i^{\mathrm{2}}(\mathit{x},{\mathit{x}}_{\mathrm{0}})\leqq \mathrm{0}\mathrm{。}\end{array}（14）

由\mathit{x}是MVP的可行解以及{\mu }_j(g_j({\mathit{x}}_{\mathrm{0}})+{\mathit{x}}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{T}}{\mathit{v}}_j)=\mathrm{0}可得

\frac{\mathrm{1}}{r}\left({\mathrm{e}}^{r[{\mu }_j(g_j(\mathit{x})+{\mathit{x}}^{\mathrm{T}}{\mathit{v}}_j)-{\mu }_j(g_j({\mathit{x}}_{\mathrm{0}})+{\mathit{x}}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{T}}{\mathit{v}}_j)]}-\mathrm{1}\right)\leqq \mathrm{0},（15）

对式（15）j\in M项相加进行求和，可得

\frac{\mathrm{1}}{r}\left({\mathrm{e}}^{r{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^m}[{\mu }_j(g_j(\mathit{x})+{\mathit{x}}^{\mathrm{T}}{\mathit{v}}_j)-{\mu }_j(g_j({\mathit{x}}_{\mathrm{0}})+{\mathit{x}}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{T}}{\mathit{v}}_j)]}-\mathrm{1}\right)\leqq \mathrm{0}\mathrm{。}

由定理3中条件2）得

\begin{array}{l}\frac{\mathrm{1}}{p}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^m}\left[{\mu }_j(g_{j^{+}}^s(H_{\mathit{x},{\mathit{x}}_{\mathrm{0}}}(\mathrm{0}))+{\mathit{v}}_j){\mathit{\phi }}^{\mathrm{T}}(\mathit{x},{\mathit{x}}_{\mathrm{0}})({\mathrm{e}}^{p\mathit{\eta }(\mathit{x},{\mathit{x}}_{\mathrm{0}})}-I)\right]+\\ {\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^m}{\overline{\rho }}_j{d}_j^{\mathrm{2}}(\mathit{x},{\mathit{x}}_{\mathrm{0}})\leqq \mathrm{0}\mathrm{。}\end{array}（16）

将式（14）和（16）相加，可得

\begin{array}{l}\frac{\mathrm{1}}{p}{\mathit{\phi }}^{\mathrm{T}}(\mathit{x},{\mathit{x}}_{\mathrm{0}})\left[{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^k}{\lambda }_i(f_{i^{+}}^s(H_{\mathit{x},{\mathit{x}}_{\mathrm{0}}}(\mathrm{0}))+{\mathit{\omega }}_i)+\right.\\ \left.{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^m}{\mu }_j(g_{j^{+}}^s(H_{\mathit{x},{\mathit{x}}_{\mathrm{0}}}(\mathrm{0}))+{\mathit{v}}_j)\right]({\mathrm{e}}^{p\mathit{\eta }(\mathit{x},{\mathit{x}}_{\mathrm{0}})}-I)+\\ {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^k}{\mathit{\omega }}_i{\rho }_i{d}_i^{\mathrm{2}}(\mathit{x},{\mathit{x}}_{\mathrm{0}})+{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^m}{\mu }_j{\overline{\rho }}_j{d}_j^{\mathrm{2}}(\mathit{x},{\mathit{x}}_{\mathrm{0}})\le \mathrm{0}\mathrm{。}\end{array}（17）

由定理3条件1）中的a）以及

{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^k}{\mathit{\omega }}_i{\rho }_i{d}_i^{\mathrm{2}}(\mathit{x}，{\mathit{x}}_{\mathrm{0}})+{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^m}{\mu }_j{\overline{\rho }}_j{d}_j^{\mathrm{2}}(\mathit{x},{\mathit{x}}_{\mathrm{0}})>\mathrm{0}可得

\begin{array}{l}\frac{\mathrm{1}}{p}{\mathit{\phi }}^{\mathrm{T}}(\mathit{x},{\mathit{x}}_{\mathrm{0}})\left[{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^k}{\lambda }_i(f_i^s(H_{\mathit{x},{\mathit{x}}_{\mathrm{0}}}(\mathrm{0}))+{\mathit{\omega }}_i)+\right.\\ \left.{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^m}{\mu }_j(g_j^s(H_{\mathit{x},{\mathit{x}}_{\mathrm{0}}}(\mathrm{0}))+{\mathit{v}}_j)\right]({\mathrm{e}}^{p\mathit{\eta }(\mathit{x},{\mathit{x}}_{\mathrm{0}})}-I)+\\ {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^k}{\mathit{\omega }}_i{\rho }_i{d}_i^{\mathrm{2}}(\mathit{x},{\mathit{x}}_{\mathrm{0}})+{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^m}{\mu }_j{\overline{\rho }}_j{d}_j^{\mathrm{2}}(\mathit{x},{\mathit{x}}_{\mathrm{0}})>\mathrm{0}\mathrm{。}\end{array}（18）

式（17）与式（18）矛盾，所以{\mathit{x}}_{\mathrm{0}}是MVP的弱有效解，得证。

3 结束语

本文针对一类新型广义不变凸函数，探讨了带有支撑函数的对称可微多目标规划问题的最优性条件，得到了几个最优性充分条件。对H不变凸函数的对偶规划问题是今后研究的主要内容。

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基金资助

国家自然科学基金项目(12161086)