强边着色图中特定彩虹圈的存在性

The existence of specific rainbow cycles in strongly edge-colored graphs

摘要

在满足Ore-型度条件的强边着色图中，考虑指定长度彩虹圈和通过指定顶点（边）不同长度彩虹圈的存在性。对于顶点数为n的强边着色图G，首先证明了若图G中任意相邻顶点度数之和不小于\frac{\mathrm{4}n}{\mathrm{3}}，则G包含长度至少为\frac{n}{\mathrm{3}}+\mathrm{2}的彩虹圈；接着证明了若图G中任意两个顶点度数之和不小于\frac{\mathrm{4}n}{\mathrm{3}}，则G包含长度至少为n-\mathrm{1}的彩虹圈；最后证明了若图G中任意两个顶点度数之和不小于\frac{\mathrm{4}n}{\mathrm{3}}\left(\frac{\mathrm{4}n+\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right)，则至多存在一个顶点w，使得对于除w外其余顶点导出子图中的任意顶点u（边e），G包含通过顶点u（边e）且长度为l\left(\mathrm{3}\le l\le n-\mathrm{1}\right)的彩虹圈。研究结果丰富了强边着色图中特定彩虹圈在Ore-型度条件下的存在性理论。

Abstract

The existence of rainbow cycles with specified lengths and rainbow cycles with different lengths that pass through a specified vertex （edge） in strongly edge-colored graphs satisfying Ore-type degree condition is considered. For a strongly edge-colored graph G on n vertices， it is first proved that if the sum of the degrees of any two adjacent vertices in the graph G is not less than\frac{\mathrm{4}n}{\mathrm{3}}， then G contains a rainbow cycle with length at least \frac{n}{\mathrm{3}}+\mathrm{2}； Then it is proved that if the sum of the degrees of any two vertices in the graph G is not less than \frac{\mathrm{4}n}{\mathrm{3}}， then G contains a rainbow cycle with length at least n-\mathrm{1}； it is finally proved that if the sum of the degrees of any two vertices in the graph G is not less than \frac{\mathrm{4}n}{\mathrm{3}}\left(\frac{\mathrm{4}n+\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right)， then there is at most one vertex w such that for any vertex u （edge e） in the induced subgraph of the remaining vertices except for w，G contains a rainbow cycle of length l\left(\mathrm{3}\le l\le n-\mathrm{1}\right) passing through u(e). The research results enrich the existence theory of specific rainbow cycles in strongly edge-colored graphs under Ore-type degree condition.

关键词

强边着色图 / 彩虹圈 / 彩虹哈密顿圈 / 彩虹顶点（边）泛圈

Key words

strongly edge-colored graph / rainbow cycle / rainbow Hamilton cycle / rainbow vertex （edge）- pancyclicity

图的哈密顿性是图论中的经典问题之一。1952年，DIRAC^［1］证明了满足最小度\delta \left(G\right)\ge \frac{n}{\mathrm{2}}且顶点数为n的图G包含哈密顿圈。1960年，ORE^［2］推广了该结论，并证明了对任意两个不相邻顶点u、v满足度和d\left(u\right)+d\left(v\right)\ge n且顶点数为n的图G包含哈密顿圈。随后，图中哈密顿圈存在性及其相关问题备受关注^［3-6］。其中DIRAC^［1］与ORE^［2］的经典结果为后续研究奠定了坚实的基础。

随着相关研究的不断推进，边着色图中彩虹圈的存在性问题也受到广泛关注^［7-12］。边着色图是指具有从边集到自然数集的固定映射的图。正常边着色图是指任意相邻边颜色均不同的边着色图；彩虹图是指满足任意两条边的颜色均不同的边着色图。文献［13-17］进一步在正常边着色图中探讨了彩虹圈的存在性。而强边着色图是指满足任意长度为3的路均为彩虹路的边着色图。强边着色图相对正常着色图而言着色条件更强，这也使得确保强边着色图中彩虹圈的存在性条件更具特殊性。

近年来，强边着色图中的彩虹圈取得了重要进展。2019年，CHENG等^［18］在Dirac-型度条件下证明了强边着色图中彩虹哈密顿圈的存在性。2021年，WANG等^［19］在Dirac-型度条件下证明了强边着色图的彩虹顶点泛圈性，即通过每个顶点且长度为3到顶点数的彩虹圈。2022年，LI等^［20］进一步在Dirac-型度条件下研究了强边着色图的彩虹边泛圈性，即通过每条边且长度为3到顶点数的彩虹圈。

受以上研究的启发，本文在满足Ore-型度条件的强边着色图中，考虑指定长度彩虹圈和通过指定顶点（边）不同长度彩虹圈的存在性，并证明在邻接顶点或任意顶点对的度和条件下，强边着色图中存在相应彩虹圈。研究结果进一步完善强边着色图中特定彩虹圈在Ore-型度条件下的存在性理论。

1 预备知识

本文考虑简单图，即没有环或重边的图。分别用V\left(G\right)和E\left(G\right)表示图G的顶点集和边集。图G中顶点v的度是指G中与v关联的边的数目，记作d_G\left(v\right)，简记为d\left(v\right)。图G中所有顶点度的最小值称为最小度，记作\delta \left(G\right)。称图G中点边交错的序列W=v_{\mathrm{0}}{e}_{\mathrm{1}}{v}_{\mathrm{1}}{e}_{\mathrm{2}}{v}_{\mathrm{2}}\dots \dots e_k{v}_k为G的途径，其中，对i\in \{\mathrm{0}， \mathrm{1,2},\dots ,k\}，v_i\in V\left(G\right)，e_i\in E\left(G\right)且v_{i-\mathrm{1}}和v_i是e_i的端点。对于图G的途径W=v_{\mathrm{0}}{e}_{\mathrm{1}}{v}_{\mathrm{1}}{e}_{\mathrm{2}}{v}_{\mathrm{2}}\dots \dots e_k{v}_k，若，则称W为图G的路。若W=v_{\mathrm{0}}{e}_{\mathrm{1}}{v}_{\mathrm{1}}{e}_{\mathrm{2}}{v}_{\mathrm{2}}\dots \dots e_k{v}_k为图G的路，且满足v_{\mathrm{0}}=v_k，则称W为图G的圈。圈的长度是指圈中所含边的数目。若顶点数为n的图G包含n个顶点的圈，则称该圈为G的哈密顿圈。设图G是顶点数为n的边着色图，若图G的每个顶点（边）都包含在G中长度为l\left(\mathrm{3}\le l\le n\right)的彩虹圈上，则称G是彩虹顶点（边）泛圈的。

设n是正整数，且G是顶点数为n的强边着色图。对于顶点u\in V\left(G\right)，用N\left(u\right)表示与u相邻顶点所组成的集合。设C_p=v_{\mathrm{1}}{v}_{\mathrm{2}}\dots \dots v_p{v}_{\mathrm{1}}是图G中的彩虹p圈，用N_{C_p}\left(v_i\right)表示在C_p中与v_i相邻顶点的集合。如果H是G的彩虹子图，那么c\left(H\right)表示H中出现所有颜色的集合。如果颜色f\in c\left(C_p\right)，那么称颜色f为旧颜色；否则，称颜色f为新颜色。如果c\left(e\right)\in c\left(C_p\right)，那么称这条边e是旧边；否则，称这条边e是新边。对于V\left(G\right)中任意两个不相交顶点集V_{\mathrm{1}}\mathrm{、}{V}_{\mathrm{2}}，用E\left(V_{\mathrm{1}},V_{\mathrm{2}}\right)表示V_{\mathrm{1}}\mathrm{、}{V}_{\mathrm{2}}之间边的集合，即E\left(V_{\mathrm{1}},V_{\mathrm{2}}\right)=\left\{v_{\mathrm{1}}{v}_{\mathrm{2}}\in E\left(G\right):v_{\mathrm{1}}\in V_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{2}}\in V_{\mathrm{2}}\right\}；用E_{\mathrm{0}}\left(V_{\mathrm{1}},V_{\mathrm{2}}\right)表示E\left(V_{\mathrm{1}},V_{\mathrm{2}}\right)之间新边的集合。

引理1.1^［18］ 设n是正整数，且G是顶点数为n的强边着色图。若\delta \left(G\right)\ge \frac{\mathrm{2}n}{\mathrm{3}}，则G包含彩虹哈密顿圈。

引理1.2^［19］ 设n是正整数，且G是顶点数为n的强边着色图。若对于任意顶点u\in V\left(G\right)满足\delta \left(G\right)\ge \frac{\mathrm{2}n}{\mathrm{3}}，则G包含通过顶点u且长度为l\left(\mathrm{3}\le l\le n\right)的彩虹圈。

引理1.3^［20］ 设n是正整数，且G是顶点数为n的强边着色图。若对于任意边e\in E\left(G\right)满足\delta \left(G\right)\ge\frac{\mathrm{2}n+\mathrm{1}}{\mathrm{3}}，则G包含通过边e且长度为l\left(\mathrm{3}\le l\le n\right)的彩虹圈。

2 主要结果

定理2.1 设n是正整数，且G是顶点数为n的强边着色图。若对于任意顶点u、v，使得uv\in E\left(G\right)满足d\left(u\right)+d\left(v\right)\ge \frac{\mathrm{4}n}{\mathrm{3}}，则G包含长度至少为\frac{n}{\mathrm{3}}+\mathrm{2}的彩虹圈。

证明 设n是正整数，且G是顶点数为n的强边着色图。因为d\left(u\right)+d\left(v\right)\ge \frac{\mathrm{4}n}{\mathrm{3}}，且uv\in E\left(G\right)，所以N\left(u\right)\bigcap N\left(v\right)\ne \mathrm{\varnothing }。又因为G是强边着色图，所以G包含一个彩虹三角形。

下证图G包含长度至少为\frac{n}{\mathrm{3}}+\mathrm{2}的彩虹圈。假设C_p=v_{\mathrm{1}}{v}_{\mathrm{2}}\dots \dots v_p{v}_{\mathrm{1}}是最长的彩虹圈。为方便叙述，设c\left(v_i{v}_{i+\mathrm{1}}\right)=i，其中，\mathrm{1}\le i\le p-\mathrm{1}，且c\left(v_p{v}_{\mathrm{1}}\right)=p。对于N_{C_p}\left(v_{\mathrm{1}}\right)中的任意顶点v_j\left(\mathrm{2}\le j\le p\right)，因为图G是强边着色，所以颜色j不属于CN\left(v_{\mathrm{1}}\right)。又因为\mathrm{2}\le j\le p，v_{\mathrm{1}}在C_p上关联的颜色为1和p，且v_{\mathrm{2}},v_p\in N_{C_p}\left(v_{\mathrm{1}}\right)，所以至少存在|N_{C_p}\left(v_{\mathrm{1}}\right)|-\mathrm{1}个旧颜色不属于CN\left(v_{\mathrm{1}}\right)。因此，至多有p-\left(|N_{C_p}\left(v_{\mathrm{1}}\right)|-\mathrm{1}\right)个旧颜色属于CN\left(v_{\mathrm{1}}\right)。因为\mathrm{1}和p是CN\left(v_{\mathrm{1}}\right)中的旧颜色，所以属于E\left(v_{\mathrm{1}},V\left(G\right)\backslash V\left(C_p\right)\right)中的旧颜色数至多是

p-\left(\left|N_{C_p}\left(v_{\mathrm{1}}\right)\right|-\mathrm{1}\right)-\mathrm{2}=p-\left|N_{C_p}\left(v_{\mathrm{1}}\right)\right|-\mathrm{1}。

因为E\left(v_{\mathrm{1}},V\left(G\right)\backslash V\left(C_p\right)\right)=d\left(v_{\mathrm{1}}\right)-\left|N_{C_p}\left(v_{\mathrm{1}}\right)\right|,

\begin{array}{l}\mathrm{所以}\left|E_{\mathrm{0}}\left(v_{\mathrm{1}},V\left(G\right)\backslash V\left(C_p\right)\right)\right|\ge d\left(v_{\mathrm{1}}\right)-\left|N_{C_p}\left(v_{\mathrm{1}}\right)\right|-\\ \left(p-\left|N_{C_p}\left(v_{\mathrm{1}}\right)\right|-\mathrm{1}\right)=d\left(v_{\mathrm{1}}\right)-p+\mathrm{1}\mathrm{。}\end{array}

因为E\left(v_{\mathrm{2}},V\left(G\right)\backslash V\left(C_p\right)\right)=d\left(v_{\mathrm{2}}\right)-\left|N_{C_p}\left(v_{\mathrm{2}}\right)\right|,

\begin{array}{l}\mathrm{所以}\left|E_{\mathrm{0}}\left(v_{\mathrm{2}},V\left(G\right)\backslash V\left(C_p\right)\right)\right|\ge d\left(v_{\mathrm{2}}\right)-\left|N_{C_p}\left(v_{\mathrm{2}}\right)\right|-\\ \left(p-\left|N_{C_p}\left(v_{\mathrm{2}}\right)\right|-\mathrm{1}\right)=d\left(v_{\mathrm{2}}\right)-p+\mathrm{1}\mathrm{。}\end{array}

事实上，在V\left(G\right)-V\left(C_p\right)中不存在顶点u使得u{v}_{\mathrm{1}}\mathrm{、}u{v}_{\mathrm{2}}是新边；否则，\left\{C-\left\{v_{\mathrm{1}}{v}_{\mathrm{2}}\right\}\right\}\bigcup \left\{u{v}_{\mathrm{1}},u{v}_{\mathrm{2}}\right\}是一个更长的彩虹圈，与假设矛盾。因为

d\left(v_{\mathrm{1}}\right)-p+\mathrm{1}+d\left(v_{\mathrm{2}}\right)-p+\mathrm{1}+p\le n,

所以p\ge d\left(v_{\mathrm{1}}\right)+d\left(v_{\mathrm{2}}\right)-n+\mathrm{2}\ge \frac{\mathrm{4}n}{\mathrm{3}}-n+\mathrm{2}=\frac{n}{\mathrm{3}}+\mathrm{2}\mathrm{。}

由此可得存在长度至少为\frac{n}{\mathrm{3}}+\mathrm{2}的彩虹圈。

定理2.2 设n是正整数，且G是顶点数为n的强边着色图。若对于任意顶点u,v\in V\left(G\right)满足d\left(u\right)+d\left(v\right)\ge \frac{\mathrm{4}n}{\mathrm{3}}，则G包含长度至少为n-\mathrm{1}的彩虹圈。

证明 设n是正整数，且G是顶点数为n的强边着色图。假设G对于任意顶点u,v\in V\left(G\right)满足d\left(u\right)+d\left(v\right)\ge \frac{\mathrm{4}n}{\mathrm{3}}。接下来，对图G是否存在一个顶点w使得，分两种情形进行讨论。

情形1 对于任意顶点u\in V\left(G\right)，均有d\left(u\right)\ge \frac{\mathrm{2}n}{\mathrm{3}}。由引理1.1，直接可得G包含彩虹哈密顿圈。

情形2 图G存在一个顶点w使得。

设G^{\text{'}}=G-w。对于任意顶点v\in V\left(G\right)\backslash \left\{w\right\}，由条件d\left(w\right)+d\left(v\right)\ge \frac{\mathrm{4}n}{\mathrm{3}}可得d_G\left(v\right)\ge \frac{\mathrm{4}n}{\mathrm{3}}-⌈\frac{\mathrm{2}n}{\mathrm{3}}⌉+\mathrm{1}。

因此，d_{G^{\text{'}}}\left(v\right)\ge \frac{\mathrm{4}n}{\mathrm{3}}-⌈\frac{\mathrm{2}n}{\mathrm{3}}⌉\mathrm{。}

接下来，比较\frac{\mathrm{2}\left(n-\mathrm{1}\right)}{\mathrm{3}}和\frac{\mathrm{4}n}{\mathrm{3}}-⌈\frac{\mathrm{2}n}{\mathrm{3}}⌉的大小：

\frac{\mathrm{4}n}{\mathrm{3}}-⌈\frac{\mathrm{2}n}{\mathrm{3}}⌉-\frac{\mathrm{2}\left(n-\mathrm{1}\right)}{\mathrm{3}}=\frac{\mathrm{2}\left(n+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{3}}-⌈\frac{\mathrm{2}n}{\mathrm{3}}⌉\mathrm{。}

当n=\mathrm{3}k时，\frac{\mathrm{2}\left(n+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{3}}-⌈\frac{\mathrm{2}n}{\mathrm{3}}⌉=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}；

当n=\mathrm{3}k+\mathrm{1}时，\frac{\mathrm{2}\left(n+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{3}}-⌈\frac{\mathrm{2}n}{\mathrm{3}}⌉=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}；

当n=\mathrm{3}k+\mathrm{2}时，\frac{\mathrm{2}\left(n+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{3}}-⌈\frac{\mathrm{2}n}{\mathrm{3}}⌉=\mathrm{0}。

综上，总有\frac{\mathrm{2}\left(n+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{3}}\ge ⌈\frac{\mathrm{2}n}{\mathrm{3}}⌉。因此，\frac{\mathrm{4}n}{\mathrm{3}}-⌈\frac{\mathrm{2}n}{\mathrm{3}}⌉\ge \frac{\mathrm{2}\left(n-\mathrm{1}\right)}{\mathrm{3}}。于是，对于任意顶点v\in V\left(G^{\text{'}}\right)，有d_{G^{\text{'}}}\left(v\right)\ge \frac{\mathrm{4}n}{\mathrm{3}}-⌈\frac{\mathrm{2}n}{\mathrm{3}}⌉\ge \frac{\mathrm{2}\left(n-\mathrm{1}\right)}{\mathrm{3}}。根据引理1.1，可得若d_{G^{\text{'}}}\left(v\right)\ge \frac{\mathrm{2}\left(n-\mathrm{1}\right)}{\mathrm{3}}，则G\mathrm{\text{'}}包含长度为n-\mathrm{1}的彩虹哈密顿圈，从而G中也包含长度为n-\mathrm{1}的彩虹哈密顿圈。

定理2.3 设n是正整数，且G是顶点数为n的强边着色图。若对于任意顶点u,v\in V\left(G\right)满足d\left(u\right)+d\left(v\right)\ge \frac{\mathrm{4}n}{\mathrm{3}}，则至多存在一个顶点w，使得对于任意顶点u\in V\left(G-w\right)，图G包含通过顶点u且长度为l\left(\mathrm{3}\le l\le n-\mathrm{1}\right)的彩虹圈。

证明 设n是正整数，且G是顶点数为n的强边着色图。假设G对于任意顶点u,v\in V\left(G\right)满足d\left(u\right)+d\left(v\right)\ge \frac{\mathrm{4}n}{\mathrm{3}}。接下来，对图G是否存在一个顶点w使得，分两种情形进行讨论。

情形1 对于任意顶点u\in V\left(G\right)，均有d\left(u\right)\ge \frac{\mathrm{2}n}{\mathrm{3}}。由引理1.2，直接可得G包含通过顶点u且长度为l\left(\mathrm{3}\le l\le n\right)的彩虹圈。因此，在这种情形下，对于图G的任意顶点u，G包含通过顶点u且长度为l\left(\mathrm{3}\le l\le n-\mathrm{1}\right)的彩虹圈。

情形2 图G存在一个顶点w使得。

设G^{\text{'}}=G-w。对于任意顶点u\in V\left(G\right)\backslash \left\{w\right\}，由条件d\left(w\right)+d\left(u\right)\ge \frac{\mathrm{4}n}{\mathrm{3}}可得d_G\left(u\right)\ge \frac{\mathrm{4}n}{\mathrm{3}}-⌈\frac{\mathrm{2}n}{\mathrm{3}}⌉+\mathrm{1}。

因此，d_{G^{\text{'}}}\left(u\right)\ge \frac{\mathrm{4}n}{\mathrm{3}}-⌈\frac{\mathrm{2}n}{\mathrm{3}}⌉。

接下来，比较\frac{\mathrm{2}\left(n-\mathrm{1}\right)}{\mathrm{3}}和\frac{\mathrm{4}n}{\mathrm{3}}-⌈\frac{\mathrm{2}n}{\mathrm{3}}⌉的大小：

\frac{\mathrm{4}n}{\mathrm{3}}-⌈\frac{\mathrm{2}n}{\mathrm{3}}⌉-\frac{\mathrm{2}\left(n-\mathrm{1}\right)}{\mathrm{3}}=\frac{\mathrm{2}\left(n+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{3}}-⌈\frac{\mathrm{2}n}{\mathrm{3}}⌉\mathrm{。}

当n=\mathrm{3}k时，\frac{\mathrm{2}\left(n+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{3}}-⌈\frac{\mathrm{2}n}{\mathrm{3}}⌉=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}；

当n=\mathrm{3}k+\mathrm{1}时，\frac{\mathrm{2}\left(n+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{3}}-⌈\frac{\mathrm{2}n}{\mathrm{3}}⌉=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}；

当n=\mathrm{3}k+\mathrm{2}时，\frac{\mathrm{2}\left(n+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{3}}-⌈\frac{\mathrm{2}n}{\mathrm{3}}⌉=\mathrm{0}。

综上，总有\frac{\mathrm{2}\left(n+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{3}}\ge ⌈\frac{\mathrm{2}n}{\mathrm{3}}⌉。因此，\frac{\mathrm{4}n}{\mathrm{3}}-⌈\frac{\mathrm{2}n}{\mathrm{3}}⌉\ge \frac{\mathrm{2}\left(n-\mathrm{1}\right)}{\mathrm{3}}。于是，对于任意顶点u\in V\left(G^{\text{'}}\right)，有d_{G^{\text{'}}}\left(u\right)\ge \frac{\mathrm{4}n}{\mathrm{3}}-⌈\frac{\mathrm{2}n}{\mathrm{3}}⌉\ge \frac{\mathrm{2}\left(n-\mathrm{1}\right)}{\mathrm{3}}。根据引理1.2，可得若d_{G^{\text{'}}}\left(u\right)\ge \frac{\mathrm{2}\left(n-\mathrm{1}\right)}{\mathrm{3}}，则G^{\text{'}}包含通过顶点u且长度为l\left(\mathrm{3}\le l\le n-\mathrm{1}\right)的彩虹圈。由于图G中d\left(u\right)+d\left(v\right)\ge \frac{\mathrm{4}n}{\mathrm{3}}，若存在度数小于\frac{\mathrm{2}n}{\mathrm{3}}的顶点w，则顶点w是唯一的；否则，与已知条件矛盾。因此，至多存在一个顶点w，使得对于任意顶点u\in V\left(G-w\right)，G包含通过顶点u且长度为l\left(\mathrm{3}\le l\le n-\mathrm{1}\right)的彩虹圈。

定理2.4 设n是正整数，且G是顶点数为n的强边着色图。若对于任意顶点u,v\in V\left(G\right)满足d\left(u\right)+d\left(v\right)\ge \frac{\mathrm{4}n+\mathrm{2}}{\mathrm{3}}，则至多存在一个顶点w，使得对于任意边e\in E\left(G-w\right)，图G包含通过边e且长度为l\left(\mathrm{3}\le l\le n-\mathrm{1}\right)的彩虹圈。

证明 设n是正整数，且G是顶点数为n的强边着色图。假设G对于任意顶点u,v\in V\left(G\right)满足d\left(u\right)+d\left(v\right)\ge \frac{\mathrm{4}n+\mathrm{2}}{\mathrm{3}}。接下来，对图G是否存在一个顶点w使得，分两种情形进行讨论。

情形1 对于任意顶点u\in V\left(G\right)，均有d\left(u\right)\ge \frac{\mathrm{2}n+\mathrm{1}}{\mathrm{3}}。由引理1.3，直接可得G包含通过边e且长度为l\left(\mathrm{3}\le l\le n\right)的彩虹圈。因此，在这种情形下，对于图G的任意边e，G包含通过边e且长度为l\left(\mathrm{3}\le l\le n-\mathrm{1}\right)的彩虹圈。

情形2 图G存在一个顶点w使得

。

设G^{\text{'}}=G-w。对于任意顶点v\in V\left(G\right)\backslash \left\{w\right\}，由条件d\left(w\right)+d\left(v\right)\ge \frac{\mathrm{4}n+\mathrm{2}}{\mathrm{3}}可得

d_G\left(v\right)\ge \frac{\mathrm{4}n+\mathrm{2}}{\mathrm{3}}-⌈\frac{\mathrm{2}n+\mathrm{1}}{\mathrm{3}}⌉+\mathrm{1}。

因此，d_{G^{\text{'}}}\left(v\right)\ge \frac{\mathrm{4}n+\mathrm{2}}{\mathrm{3}}-⌈\frac{\mathrm{2}n+\mathrm{1}}{\mathrm{3}}⌉。接下来，比较\frac{\mathrm{2}\left(n-\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}}{\mathrm{3}}和\frac{\mathrm{4}n+\mathrm{2}}{\mathrm{3}}-⌈\frac{\mathrm{2}n+\mathrm{1}}{\mathrm{3}}⌉的大小：

\begin{array}{l}\frac{\mathrm{4}n+\mathrm{2}}{\mathrm{3}}-⌈\frac{\mathrm{2}n+\mathrm{1}}{\mathrm{3}}⌉-\frac{\mathrm{2}\left(n-\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}}{\mathrm{3}}=\\ \frac{\mathrm{2}n+\mathrm{3}}{\mathrm{3}}-⌈\frac{\mathrm{2}n+\mathrm{1}}{\mathrm{3}}⌉\mathrm{。}\end{array}

当n=\mathrm{3}k时，\frac{\mathrm{2}n+\mathrm{3}}{\mathrm{3}}-⌈\frac{\mathrm{2}n+\mathrm{1}}{\mathrm{3}}⌉=\mathrm{0}；

当n=\mathrm{3}k+\mathrm{1}时，\frac{\mathrm{2}n+\mathrm{3}}{\mathrm{3}}-⌈\frac{\mathrm{2}n+\mathrm{1}}{\mathrm{3}}⌉=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}；

当n=\mathrm{3}k+\mathrm{2}时，\frac{\mathrm{2}n+\mathrm{3}}{\mathrm{3}}-⌈\frac{\mathrm{2}n+\mathrm{1}}{\mathrm{3}}⌉=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}。

综上，总有\frac{\mathrm{2}n+\mathrm{3}}{\mathrm{3}}\ge ⌈\frac{\mathrm{2}n+\mathrm{1}}{\mathrm{3}}⌉。因此

\frac{\mathrm{4}n+\mathrm{2}}{\mathrm{3}}-⌈\frac{\mathrm{2}n+\mathrm{1}}{\mathrm{3}}⌉\ge \frac{\mathrm{2}\left(n-\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}}{\mathrm{3}}=\frac{\mathrm{2}n-\mathrm{1}}{\mathrm{3}}。

于是，对于任意顶点v\in V\left(G^{\text{'}}\right)，有d_{G^{\text{'}}}\left(v\right)\ge \frac{\mathrm{4}n+\mathrm{2}}{\mathrm{3}}-⌈\frac{\mathrm{2}n+\mathrm{1}}{\mathrm{3}}⌉\ge \frac{\mathrm{2}n-\mathrm{1}}{\mathrm{3}}。根据引理1.3，可得若d_{G^{\text{'}}}\left(v\right)\ge \frac{\mathrm{2}n-\mathrm{1}}{\mathrm{3}}，则G^{\text{'}}包含通过边e且长度为l\left(\mathrm{3}\le l\le n-\mathrm{1}\right)的彩虹圈。由于图G中d\left(u\right)+d\left(v\right)\ge \frac{\mathrm{4}n+\mathrm{2}}{\mathrm{3}}，若存在度数小于\frac{\mathrm{2}n+\mathrm{1}}{\mathrm{3}}的顶点w，则这样的顶点w是唯一的；否则，与已知条件矛盾。因此，至多存在一个顶点w，使得对于任意边e\in E\left(G-w\right)，G包含通过边e且长度为l\left(\mathrm{3}\le l\le n-\mathrm{1}\right)的彩虹圈。

3 结束语

本文分别证明了顶点数为n的强边着色图在对于任意邻接顶点u，v满足d\left(u\right)+d\left(v\right)\ge \frac{\mathrm{4}n}{\mathrm{3}}的条件下包含长度至少为\frac{n}{\mathrm{3}}+\mathrm{2}的彩虹圈；在对于任意顶点u，v满足d\left(u\right)+d\left(v\right)\ge \frac{\mathrm{4}n}{\mathrm{3}}条件下包含长度至少为n-\mathrm{1}的彩虹圈，同时包含通过至多除一个例外顶点的任意顶点u且长度为l\left(\mathrm{3}\le l\le n-\mathrm{1}\right)的彩虹圈；在对于任意顶点u，v满足d\left(u\right)+d\left(v\right)\ge \frac{\mathrm{4}n+\mathrm{2}}{\mathrm{3}}的条件下包含通过至多除与一个例外顶点关联的边的任意边e且长度为l\left(\mathrm{3}\le l\le n-\mathrm{1}\right)的彩虹圈。研究结果丰富了强边着色图中特定彩虹圈在Ore-型度条件下的存在性理论。后续可进一步考虑顶点数为n的强边着色图，在非邻接顶点对满足d\left(u\right)+d\left(v\right)\ge n+\mathrm{1}条件下彩虹哈密顿圈的存在性问题，以及非邻接顶点对满足d\left(u\right)+d\left(v\right)\ge n+\mathrm{1}\left(d\left(u\right)+d\left(v\right)\ge n+\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{3}}\right)条件下彩虹顶点（边）泛圈性问题。

参考文献

[1] DIRAC G A. Some theorems on abstract graphs［J］. The Proceedings of the London Mathematical Society，1952，3（1）：69-81.

[2] ORE O. Note on Hamilton circuits［J］. American Mathematical Monthly，1960，67（1）：55.

[3] FAN G H. New sufficient conditions for cycles in graphs［J］. The Journal of Combinatorial Theory，1984，37（3）：221-227.

[4] POSA L. A theorem concerning Hamilton lines［J］. Theoretical Mathematical Physics，1962，7：225-226.

[5] BONDY J A. Large cycles in graphs［J］. Discrete Mathematics，1971，1（2）：121-132.

[6] CHVÁTAL V. On Hamilton’s ideals［J］. Journal of Combinatorial Theory，Series B，1972，12（2）：163-168.

[7] GUO S， HUANG F， YUAN J. Proper cycles and rainbow cycles in 2-triangle-free edge-colored complete graphs［J］. Graph and Combinatorics，2023，39（6）：112.

[8] EHARD S， MOHR E. Rainbow triangles and cliques in edge-colored graphs［J］. European Journal of Combinatorics，2020，84：103037.

[9] CZYGRINOW A， MOLLA T， NAGLE B，et al. On odd rainbow cycles in edge-colored graphs［J］. European Journal of Combinatorics，2021，94（1）：103316.

[10] LI L Y， LI X L. Vertex-disjoint rainbow cycles in edge-colored graphs［J］. Discrete Mathematics，2022，345（7）：112878.

[11] WU F F， BROERSMA H， ZHANG S G，et al. Properly colored and rainbow C 4 ’s in edge-colored graphs［J］. Journal of Graph Theory，2024，105（1）：110-135.

[12] DING L H， HU J， WANG G H，et al. Properly colored short cycles in edge-colored graphs［J］. European Journal of Combinatorics，2022，100：103436.

[13] JANZER O. Rainbow Turán number of even cycles，repeated patterns and blow-ups of cycles［J］. Israel Journal of Mathematics，2023，253（2）：813-840.

[14] KIM J， LEE J， LIU H，et al. Rainbow cycles in properly edge-colored graphs［J］. Combinatorica，2024，44（4）：909-919.

[15] ALON N， BUCI M， SAUERMANN L，et al. Essentially tight bounds for rainbow cycles in proper edge-colorings［J］. Proceedings of the London Mathematical Society，2025，130（4）：e70044.

[16] JANZER O. Rainbow Turán number of even cycles，repeated patterns and blow-ups of cycles［J］. Israel Journal of Mathematics，2023，253（2）：813-840.

[17] HALFPAP A， LIDICKÝ B， MASAŘÍK T. Proper rainbow saturation numbers for cycles［J］. Discrete Mathematics，2026，349（7）：115053.

[18] CHENG Y Y， SUN Q， TAN T S，et al. Rainbow hamiltonian cycles in strongly edge-colored graphs［J］. Discrete Mathematics，2019，342（4）：1186-1190.

[19] WANG M Q， QIAN J G. Rainbow vertex-pancyclicity of strongly edge-colored graphs［J］. Discrete Mathematics，2021，344（1）：112-164.

[20] LI L Y， LI X L. Rainbow edge-pancyclicity of strongly edge-colored graphs［J］. Theoretical Computer Science，2022，907：26-33.

基金资助

国家自然科学基金项目(12301456)

国家自然科学基金项目(12471334)

陕西高校优秀青年人才支持计划项目(202120009)

延安大学博士科研启动项目(YDBK2021-03)

延安大学创新创业训练项目(D2024117)