Fuzzy-AHP法在顺层岩质边坡稳定性分析中的应用

Application of Fuzzy-AHP Method in the Stability Analysis of Bedding Rocky Slopes

摘要

为了解决矿山顺层岩质边坡稳定性评价中存在的模糊性和复杂性问题，建立了一种基于可拓理论中简单关联函数确定权重的模糊层次分析模型。首先从定性和定量2个方面确定顺层岩质边坡的评价指标，并采用简单关联函数确定权向量；然后将所得权向量结合模糊数学理论得出边坡稳定等级状态；最后将该模型应用于云南省某露天矿顺层岩质边坡稳定性评价中，运用强度折减法和极限平衡法验证模型的可行性。结果表明：该矿山B区顺层岩质边坡稳定性状态中，非常稳定、稳定、基本稳定、不稳定和非常不稳定的隶属度分别为0.0808、0.2641、0.4104、0.1820和0.0627，由最大隶属度原则可知，边坡处于基本稳定状态，与强度折减法和极限平衡法所得结果一致，验证了模型的可靠性。该模型能够避免评价过程中存在的主观性问题，评价结果更具客观性和合理性。

Abstract

To address the issues of ambiguity and complexity in assessing the stability of bedding rock slopes in mining environments，a fuzzy hierarchical analysis model was developed，utilizing the simple dependent degree from topological theory to ascertain the weights.Initially，extensive literature review and consideration of the specific characteristics of open-pit mine bedding rock slopes guide the selection of representative and typical stability evaluation indices.These indices include slope height，slope angle，uniaxial compressive strength of the rock，rock integrity index，as well as the internal friction angle and cohesion of structural surfaces，selected both qualitatively and quantitatively.Then the evaluation outcomes are assessed using the simple dependent degree to determine weights，thereby addressing the fuzzy and complex issues inherent in the evaluation of bedding rock slope stability in mining contexts.Subsequently，addressing the issue of constructing a judgment matrix via the analytic hierarchy process，subjective factors influencing the accuracy of evaluation results are considered.The simple dependency degree was employed to calculate the correlation magnitude of each index，facilitating the construction of a rational judgment matrix.Weights are then derived from this matrix and integrated with fuzzy theory to ascertain the slope stability level.The model is applied to assess the stability of a bedding rock slope in an open-pit mine in Yunnan Province.Its validity is confirmed through the strength reduction method and the limit equilibrium method.The findings indicate that the stability state of the rock slope in the Mine B area can be categorized as very stable，stable，basically stable，unstable，and very unstable，with respective affiliation degrees of 0.0808，0.2641，0.4104，0.1820 and 0.0627.According to the principle of maximum affiliation degree，the slope is classified as basically stable.The slope safety coefficient，determined using the strength reduction method，is 1.113，while the coefficient calculated via the limit equilibrium method is 1.121.These results align with those obtained through the fuzzy hierarchical analysis model presented in this study，thereby confirming the model’s reliability.The improved fuzzy hierarchical analysis method yields results that are more objective，accurate，and reasonable，offering a valuable reference for assessing the stability of bedding rock slopes.

Graphical abstract

关键词

边坡稳定性分析 / 顺层岩质边坡 / 简单关联函数 / 层次分析法 / 模糊数学

Key words

slope stability analysis / bedding rock slopes / simple dependent degree / analytic hierarchy process / fuzzy mathematics

顺层岩质边坡是坡面走向和倾向同岩层走向和倾向一致的边坡（孙书伟等，2024）。顺层岩质边坡分布广泛，由于其特殊的层理结构，其稳定性相对较差，失稳风险高（冯治国等，2023；赵海松等，2024），边坡一旦失稳将会严重影响矿山作业人员生命及财产安全，因此，科学、准确和客观地评估顺层岩质边坡的稳定性，对保障矿山安全生产尤为重要。然而，由于矿山边坡稳定性评价因素的复杂性和参数取值的模糊性，边坡稳定性评价成为一个多因素、不确定且复杂的系统问题（李志国等，2024）。

目前国内外学者针对边坡稳定性分析中存在的模糊性和复杂性等方面的问题开展了大量的研究。许多学者结合模糊数学和层次分析法对边坡稳定性进行分析评价（夏龙等，2017；Yao et al.，2022；Ye et al.，2023），但是传统的模糊层次分析法在确定权重方面存在主观性，影响最终评价结果的精度。为此，有学者采用客观熵权法进行改进（吴会军等，2021）。由于采用单一的主观赋权受人为主观因素的影响，而单一的客观赋权缺乏主观能动性，为了弥补二者的缺陷，学者们采用主客观组合赋权的方法进行优化改进（姜安民等，2019）。模糊综合评价法是解决边坡稳定性问题的常用分析方法，在此基础上，学者们拓展出许多新思路，例如：针对评价指标间的不相容性和模糊性问题，引入改进云模型对边坡稳定性进行评价分析（Chen et al.，2021；胥孝川等，2021；Chen et al.，2023；荣光旭等，2023；Wu et al.，2024）。可拓理论作为不确定性分析方法之一，也被广泛应用于解决边坡稳定性评价过程不相容问题中，如：程平等（2020）建立了层次分析法与可拓理论相结合的消落带边坡稳定性评价模型；乔建刚等（2020）建立了基于粗糙集理论确定指标权重，可拓理论评价边坡稳定性的模型，并对模型可靠性进行了验证。还有学者提出采用无人机摄影测量提取地形数据，从而合理建立稳定性评价指标体系（Bai et al.，2024），并运用层次分析法确定了各个指标权重以评价分析边坡稳定性。从已有研究可以看出，不确定性分析方法在不同地质条件和岩体结构边坡稳定性评价中取得了一定成果，然而，针对顺层岩质边坡稳定性评价方面的研究却鲜有报道。

基于此，本文针对顺层岩质边坡稳定性评价中因模糊性、复杂性和主观性等影响评价结果精度的问题，建立了一种不确定性分析方法。在过去采用的模糊层次分析基础上引用可拓理论中的简单关联函数（杨春燕等，2024），构建了Fuzzy-AHP评价模型。通过将该模型应用于云南省某露天矿顺层岩质边坡稳定性评价中，并将模型评价结果与强度折减法和极限平衡法所得结果作对比，论证本文评价模型的正确性。

1 Fuzzy-AHP综合评价模型

1.1 顺层岩质边坡评价指标体系的确定

影响顺层岩质边坡稳定性的因素众多，计算时若考虑所有因素将会造成计算量过大，考虑因素过少则会降低计算结果的准确度。因此，基于前人研究（李克钢等，2007；程平等，2020；何云勇等，2022），结合矿山现场实际测量结果，从定性和定量2个方面选取具有代表性且易量化的因素对边坡稳定性进行评价，包括边坡坡高（X₁）、边坡坡面角（X₂）、岩石单轴抗压强度（X₃）、岩体完整性指数（X₄）、结构面内摩擦角（X₅）、黏聚力（X₆）和结构面间距（X₇）共7个因素。

1.2 各项指标评价

（1）计算隶属度函数

参照前人研究中的边坡稳定性评价指标分级（李克钢等，2007；张向东等，2018；张亚平等，2024），将坡高、坡角、岩石单轴抗压强度和岩体完整性指数4个指标划分为非常稳定、稳定、基本稳定、不稳定和非常不稳定5个等级，具体划分如表1所示。结构面黏聚力、内摩擦角和结构面间距等级划分参照相关规范（中华人民共和国住房和城乡建设部，2014）和前人研究（周苏华等，2020；陈文强等，2022），如表2所示，结构面类型1~5分别对应边坡稳定性等级I~V级。各指标对应5个边坡稳定性等级的隶属度，选用常用的三角形隶属度函数进行计算，由于每个等级中间区间均与前后2个等级半区间相关，且区间中点隶属度为1，因此需要利用各个等级区间中点计算隶属度（苏永华，2007）。计算公式如下：

（1）

（2）

（3）

式中：μ_ij 为x_i 对应的各个等级边坡隶属度；a_i1、a_i2、a_i3、a_i4和a_i5分别为边坡稳定级别界限值；x_i 为实际测试值。

（2）简单关联函数

假设正域有限区间X=<a，b>，存在点M∈（a，b），点x∈（-∞，+∞）。当M=a和M=b时，关联度分别表示为

（4）

K(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x-a}{b-a},x\le b\\ \frac{b-x}{b-a},x>b\end{array}\right.（5）

式中：K（x）为评价指标x在等级区间<a，b>的关联度；K（x）在x=M时最大，且K（M）=1，即\underset{x\in (-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}K\left(x\right)=K\left(M\right)=\mathrm{1}；当x=a或x=b时，K（x）=0，即K（a）=K（b）=0。

设正域无限区间X=<a，+∞），M∈（a，+∞），x∈（-∞， +∞），\underset{x\in (-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}K\left(x\right)=K\left(M\right)=\mathrm{1}，当M=a时，则有：

（6）

若K（x）在X=<a，+∞>无最大值时，则取K（x）=x-a。

设正域无限区间X=（-∞，b>，M∈（-∞，b），x∈（-∞， +∞），\underset{x\in (-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}K\left(x\right)=K\left(M\right)=\mathrm{1}，当M=b时，则有：

K(x)=\left\{\begin{array}{l}b-x,x>b\\ \frac{\mathrm{1}+\left|b\right|}{\mathrm{1}+b-x+\left|b\right|},x\le b\end{array}\right.（7）

若K（x）在X=<-∞，b>无最大值时，则取K（x）=b-x。

（3）确定权向量

层次分析法（AHP）是一种定性与定量分析相结合的系统理论方法（赵黎等，2024）。层次分析法中判断矩阵的构造是影响最终结果精确度的关键环节，然而很多研究在此环节常常通过专家对各评价指标的主观判断进行两两比较，然后进行一致性检验，通过估计来调整判断矩阵，直至通过检验，不仅过程复杂，而且结果不一定具有客观性。然而，在不同情况下，同一评价指标参数取值不同对边坡稳定性的影响程度也是不同的（李克钢等，2007），应具体问题具体分析。为此，本文拟在前人研究基础上引入可拓理论中的简单关联度对指标进行重要性排序，根据重要性排序构造判断矩阵。此外，在原先9标度的基础上引入0.5~1.0之间数值并采用百分数形式对两两比较因素进行标度，此方法不仅能够考虑相同指标取值不同时对边坡稳定性的影响差异，同时还能在不夸大两两比较因素之间的重要程度关系的前提下，准确地求出各项指标的相对隶属度。具体计算步骤如下：

①根据简单关联函数计算出各指标大小排序，进而构造出相应的判断矩阵。根据式（4）~式（7）计算边坡稳定性评价系统中各指标v_ij 关于各等级X_ij 的关联度K_ij （v_ij，X_ij ）；然后，根据关联度确定各个指标最大关联度及其对应的评价等级；最后，对所有指标最大关联度进行排序，由此确定指标重要程度，并根据指标排序构造出判断矩阵。

②确定初始权向量。层次分析法在两两比较过程中存在主观因素，从而导致评价结果存在误差，一致性较差。为此，在原先9标度法的基础上，增加0.5~1.0之间的数值对两两比较指标的重要程度进行标度。该方法是把比较的2个指标看成一个整体，用百分比的形式确定因素重要程度；根据步骤（1）得出判断矩阵大小排序，对照表3中隶属度，得到初始权向量 W ′=｛W'₁，W'₂，…，W' _m ｝。其中，隶属度由（1-a）/a计算得到。

③确定权向量。对步骤（2）中得出的初始权向量 W '进行归一化处理得到所求权向量\mathit{W}：

\mathit{W}=\left(\frac{W_{\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}}}{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^m}{W}_i^{\mathrm{\text{'}}}},\frac{W_{\mathrm{2}}^{\mathrm{\text{'}}}}{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^m}{W}_i^{\mathrm{\text{'}}}},\frac{W_{\mathrm{3}}^{\mathrm{\text{'}}}}{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^m}{W}_i^{\mathrm{\text{'}}}},\dots ,\frac{W_m^{\mathrm{\text{'}}}}{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^m}{W}_i^{\mathrm{\text{'}}}}\right)（8）

④Fuzzy-AHP综合评价

假设边坡稳定性评价m类指标，首先根据隶属度函数计算式（1）~式（3）可得出隶属矩阵 R =｛R₁，R₂，R₃，R₄，R₅｝^T，其中，R₁、R₂、R₃、R₄和R₅为一类评价指标对各等级的隶属度；然后根据前面确定的权向量方法求出最终权向量 W；最后计算综合隶属度评价向量:

\mathit{B}=\mathit{R}°\mathit{W}（9）

式中：\mathrm{“}°\mathrm{”}为模糊合成算子，在此选用常用的加权平均模糊算子M（•，⊕）。

2 工程应用实例

2.1 露天矿山工程概况

云南省某建筑石料用灰岩矿山，矿区面积为0.3591 km²，矿区最高开采标高为1 328 m，最低开采标高为1 132 m，垂高为196 m。B区边坡位于矿区南侧，由于前期开采将边坡坡脚切断，形成了一个典型的潜在不稳定顺层岩质边坡，整体坡面倾角为37°~55°，边坡高度为140~198 m，总体倾向为313°~336°。边坡地层主要由中风化灰岩组成，边坡中发育一组优势结构面，该组结构面为岩体主控结构面，岩层产状与最终边坡产状基本一致，间距为1~2 m。选取B区典型剖面A-A'作为研究对象，其工程地质剖面如图1所示。根据现场实地勘察和矿山提供的地质资料，确定所研究边坡坡高为145 m，最终边坡坡面角确定为45°，结构面间距、黏聚力、内摩擦角以及岩石单轴抗压强度和岩体完整性指数实测值如表4所示。

2.2 基于Fuzzy-AHP边坡模型稳定性综合评价

根据式（1）~式（3）三角形隶属度函数，并对照表1和表2确定各个指标关于各等级区间隶属度大小，如表5所示。根据式（4）~式（7）得出各指标关于各等级区间关联度大小如表6所示，并确定每个指标最大关联度。由表6可知，各指标最大关联度分别为K₁₃、K₂₅、K₃₃、K₄₁、K₅₂、K₆₃和K₇₂（K_ij 表示表6中i指标与j等级关联度）。由于K₁₃、K₃₃、K₆₃和K₅₂、K₇₂对应的指标X₁、X₃、X₆和X₅、X₇分别属于第三等级（基本稳定）和第二等级（稳定），因此得出所有指标关联度排序，从大到小依次为X₂、X₃、X₆、X₁、X₇、X₅和X₄。这说明在此种状况下对边坡稳定性影响最大的是边坡坡面角，其次是岩石单轴抗压强度，岩体完整性指数影响最小。

根据上述给出的各指标重要程度排序并对照表3，得出判断矩阵 F ：

\mathit{F}=\left[\begin{array}{cccccc}\mathrm{1}& \mathrm{1}/\mathrm{2.5}& \mathrm{1}/\mathrm{2}& \mathrm{2.5}& \mathrm{2}& \begin{array}{cc}\mathrm{1}/\mathrm{1.5}& \mathrm{1.5}\end{array}\\ \mathrm{2.5}& \mathrm{1}& \mathrm{1.5}& \mathrm{4}& \mathrm{3.5}& \begin{array}{cc}\mathrm{2}& \mathrm{3}\end{array}\\ \mathrm{2}& \mathrm{1}/\mathrm{1.5}& \mathrm{1}& \mathrm{3.5}& \mathrm{3}& \begin{array}{cc}\mathrm{1.5}& \mathrm{2.5}\end{array}\\ \mathrm{1}/\mathrm{2.5}& \mathrm{1}/\mathrm{4}& \mathrm{1}/\mathrm{3.5}& \mathrm{1}& \mathrm{1}/\mathrm{1.5}& \begin{array}{cc}\mathrm{1}/\mathrm{3}& \mathrm{1}/\mathrm{2}\end{array}\\ \mathrm{1}/\mathrm{2}& \mathrm{1}/\mathrm{3.5}& \mathrm{1}/\mathrm{3}& \mathrm{1.5}& \mathrm{1}& \begin{array}{cc}\mathrm{1}/\mathrm{2.5}& \mathrm{1}/\mathrm{1.5}\end{array}\\ \begin{array}{l}\mathrm{1.5}\\ \mathrm{1}/\mathrm{1.5}\end{array}& \begin{array}{l}\mathrm{1}/\mathrm{2}\\ \mathrm{1}/\mathrm{3}\end{array}& \begin{array}{l}\mathrm{1}/\mathrm{1.5}\\ \mathrm{1}/\mathrm{2.5}\end{array}& \begin{array}{l}\mathrm{3}\\ \mathrm{2}\end{array}& \begin{array}{l}\mathrm{2.5}\\ \mathrm{1.5}\end{array}& \begin{array}{c}\begin{array}{cc}\mathrm{1}& \mathrm{2}\end{array}\\ \begin{array}{cc}\mathrm{0.5}& \mathrm{1}\end{array}\end{array}\end{array}\right]（8）

根据给出的判断矩阵并对照表3中隶属度，得出初始权向量 W ′=｛0.7391，1.0000，0.9048，0.5385，0.6000，0.8182，0.6667｝，对其进行归一化处理得到所求权向量 W =｛0.1403，0.1898，0.1718，0.1022，0.1139，0.1553，0.1266｝。从表5可得出边坡模糊评价矩阵 R ：

\mathit{R}=\left[\begin{array}{ccccc}\mathrm{0}& \mathrm{0.3}& \mathrm{0.7}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0.67}& \mathrm{0.33}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0.88}& \mathrm{0.12}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0.58}& \mathrm{0.42}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0.65}& \mathrm{0.35}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \begin{array}{l}\mathrm{0}\\ \mathrm{0.17}\end{array}& \begin{array}{l}\mathrm{0}\\ \mathrm{0.83}\end{array}& \begin{array}{l}\mathrm{0.78}\\ \mathrm{0}\end{array}& \begin{array}{l}\mathrm{0.22}\\ \mathrm{0}\end{array}& \begin{array}{l}\mathrm{0}\\ \mathrm{0}\end{array}\end{array}\right]（9）

因此，可计算出综合评价隶属度向量 B ：

\mathit{B}=\mathit{R}°\mathit{W}=\{\mathrm{0.0808,0.2641,0.4104,0.1820,0.0627}\}

根据最大隶属度原则，B区边坡处于基本稳定状态的隶属度为0.4104，处于非常稳定、稳定、不稳定和非常不稳定状态的隶属度分别为0.0808、0.2641、0.1820和0.0627。由此可知，计算出的最大隶属度（0.4104）与第二大隶属度（0.2641）相差0.1463，根据相关文献（李志国等，2024）中对评价结果有效性的检验公式，求出有效度值为0.5909，属于比较有效，说明由最大隶属度原则确定的边坡稳定性等级状态是合理的。

3 模型验证

3.1 强度折减法

为了验证上述Fuzzy-AHP模型的可靠性，选取云南省某露天矿南侧B区顺层岩质边坡A-A'剖面作为研究对象。为了提高计算效率，对边坡模型尺寸进行缩小和简化处理，首先采用CAD建立平面几何模型，然后导入Rhino中进行网格划分，利用Griddle对划分好的网格进行导出，最后导入FLAC^3D软件得到数值计算模型；对计算模型底部进行固定约束，模型侧面为水平约束，模型顶部坡表面为自由面，选用Mohr-Coulomb准则进行模拟计算。计算参数见表7，简化的计算模型和监测点布置如图2所示。

数值模拟结果如图3~图6所示。由剪切应变增量云图（图3）可知，最大剪切应变增量在1185台阶上部形成明显剪切带，边坡顶部未贯通，但最大剪切应变增量有形成贯通的趋势。由总位移和x方向位移云图（图4和图5）可以看出，最大位移分别为0.20 m和0.17 m，主要集中在1185台阶上部至边坡顶部，1185台阶处受滑动面挤压产生位移较小。由图6可知，A4、A3和A2监测点位移随时步的变化幅值最大，从4 790时步开始，随着时步的增加，位移不断增加，随着监测点高程的增加，边坡位移逐渐减小，说明边坡在重力作用下先从1185台阶上部开始发生滑动，边坡顶部最后发生滑动，坡体内部形成潜在滑动面；监测点A1和A5随时步的位移变化幅值相对平缓，1185台阶处近乎不发生位移，计算出的边坡安全系数为1.113。

根据相关规范标准和前人研究成果（李志国等，2024）（表8），由强度折减法计算得出安全系数为1.113的边坡处于基本稳定状态，与本文提出的Fuzzy-AHP评价模型所得结果一致。

3.2 极限平衡法

基于上述得出的数值模拟结果，选用Morgenster-Price法（M-P法）计算边坡安全系数。M-P法是极限平衡法中一种被广泛采用的分析方法，适用于任何假定滑面形状和地质复杂滑坡的稳定性计算（代雪等，2021）。过坡稳定性等级划分如表8所示。本文采用CAD软件建立顺层岩质边坡二维模型，导入slide 6.0软件中，计算结果如图7所示，其中，边坡安全系数为1.121，参照表8，边坡处于基本稳定性状态。由A-A'剖面稳定性计算结果（表9）可知，M-P法和强度折减法计算结果与本文提出的模糊层次分析模型所得结果一致，验证了模型的合理性与可靠性。

进一步将本文模型结果与传统模糊层次分析法（夏龙等，2017；周苏华等，2020；李志国等，2024）进行对比，结果显示传统模糊层次分析法计算得出边坡为非常稳定、稳定、基本稳定和非常不稳定的隶属度分别为0.1064、0.2323、0.3658、0.2137和0.0818，由最大隶属度原则可知边坡处于基本稳定状态，与本文模型得出的结果一致，进一步说明本文模型的合理性与可靠性。相比于传统模糊层次分析模型，改进后的模型能够避免在指标权重确定环节中存在的主观性问题，评价结果更具客观性。

4 结论

（1）针对顺层岩质边坡稳定性评价指标中存在的模糊性和复杂性问题，采用改进的模糊层次分析法进行评价。传统模糊层次分析法在确定权重环节过程中多受主观因素的影响，采用可拓理论中简单关联函数对此进行修正，改进后的模糊层次分析法相比传统的模糊层次分析法更具有合理性和客观性。

（2）将修正的模糊层次分析模型应用于云南省某露天矿B区顺层岩质边坡稳定性分析中，结果显示边坡状态为非常稳定、稳定、基本稳定、不稳定和非常不稳定的隶属度分别为0.0808、0.2641、0.4104、0.1820和0.0627，根据最大隶属度原则，该顺层岩质边坡处于基本稳定状态。

（3）运用强度折减法和极限平衡法共同验证了本文提出的模糊层次分析法的可靠性。由强度折减法和极限平衡法计算出的边坡安全系数分别为1.113和1.121，边坡处于基本稳定状态，与本文提出的模糊层次分析模型计算结果一致，证明了本文方法的可靠性和准确性。

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基金资助

国家自然科学基金项目“山区岩坡工程诱发灾害机理及其监测预警研究”(U1602232)