求解一类非线性抛物方程的单调有限差分方法

梁雨欣; 邓定文

工程数学学报 ›› 2026, Vol. 43 ›› Issue (1) : 38 -62.

梁雨欣, 邓定文

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摘要

对一维非线性Fisher-Kolmogorov-Petrovsky-Piscounov(Fisher-KPP)方程构造一类单调的差分格式。运用能量分析法证明了当网格比和方程参数满足一定条件时，该格式能够保持原问题的一些性质，包括保正性、保界性和保单调性。此外，运用离散的极值原理证明了数值解在最大范数下的收敛阶。当它用于求解Allen-Cahn方程时，所得数值解满足最大值原理，并保持能量耗散定律。这类算法及其理论结果可以直接推广到任意高维问题。最后，数值实验表明数值结果与理论结果相吻合。