分数阶van der Pol-Rayleigh系统Hopf分岔控制

摘要

对分数阶van der Pol-Rayleigh系统在主共振条件下参数变化引起的Hopf分岔进行了深入研究。首先，针对该分数阶非线性振动系统，利用多尺度法和比较系数方法计算了系统的近似解析解，并通过分离其实部和虚部的数学处理手段，得到了系统在主共振条件下的幅频关系解析表达式，为后续稳定性分析奠定了理论基础。其次，基于第一李雅普诺夫指数和雅可比矩阵特征值分析方法，系统地探究了系统的稳定性条件，并根据其特征方程的求解结果精确计算了Hopf分岔点的位置，确定了系统发生周期性振荡的临界参数值。然后，通过静态分岔的理论分析深入讨论了Hopf分岔的类型及其动力学特性，揭示了系统在参数变化过程中的拓扑结构演化规律。最后，通过详细的数值模拟对幅频响应曲线进行了全面分析，有效验证了解析理论推导的正确性和适用性，并借助分岔图、相图、时序图等多种可视化手段，深入分析了不同参数变化对Hopf分岔产生的影响，为分数阶非线性系统的动力学行为预测和参数优化设计提供了重要的理论参考和数值依据。

关键词

van der Pol-Rayleigh系统 / 多尺度法 / 第一李雅普诺夫指数 / 静态分岔 / Hopf分岔

基金资助

国家自然科学基金(52005360); 中央引导地方科技发展资金(YDZJSX2022A053); 山西省基础研究计划面上项目(202403021221189); 山西省高等教育科技创新项目(2021L403); 智能优化计算与区块链技术山西省重点实验室开放基金(IOCBT2025ZZY02); 大同市应用基础研究计划(2022060); 大同市科技计划(2025009)