双时间尺度温室环境最优控制仿真验证

A simulation validation for two‑time‑scale optimal control of greenhouse climate

摘要

针对温室环境最优控制中长时域天气预测误差导致控制性能下降的问题，依据北京市生菜和能源市场价格构建直接表征控制过程经济效益的控制目标模型，将气象站采集的北京市全年天气数据作为长时域天气预测依据，采用高斯白噪声、时序反转、时间替换3种方法产生不同的天气预测误差，并将转换后的天气数据作为仿真时所用的实际天气数据，采用温室-生菜互作机理模型作为仿真计算的系统模型，研究基于双时间尺度分解的滚动时域最优控制（Receding horizon optimal control， RHOC）的控制性能，从产量、成本、经济效益等方面与传统的模型预测控制（Model predictive control， MPC）进行对比分析。结果表明：MPC仅在完美天气预测下具有较高的控制性能，在使用高斯白噪声、时序反转和时间替换3种方法生成天气预测误差情景下，RHOC相比MPC在经济效益上分别提升了1.24%、20.59%和21.32%。本研究的量化分析结果验证了双时间尺度温室环境最优控制方法的优越性，为控制算法的在线实施提供了数据支撑。

Abstract

To address the problem of control performance degradation caused by long-term weather prediction errors in optimal control of greenhouse climate， a control objective model that represents the profit obtained in the control process was established based on lettuce and energy-related market prices in Beijing. Beijing’s annual weather data， collected from the weather station， were used as the reference for long-term weather predictions. Three methods， including Gaussian white noise， time series reversal， and time substitution， were used to generate weather prediction errors. These transformed weather data were then used as real weather data for simulations. A greenhouse-lettuce mechanistic model was taken as the system model for simulations. The control performance was analyzed for the two-time-scale decomposed Receding Horizon Optimal Control （RHOC）. Its yield， cost， and profit were compared with those from the traditional Model Predictive Control （MPC）. The results showed that： MPC exhibited superior performance only under perfect weather predictions， whereas RHOC improved the profit by 1.24%， 20.59%， and 21.32% respectively compared to MPC in scenarios with Gaussian white noise， time series reversal， and time substitution. The quantitative analysis in this study confirmed the superiority of the two-time-scale optimal control of greenhouse climate， and provided data support for the online implementation of control algorithms.

Graphical abstract

关键词

双时间尺度分解 / 温室环境 / 最优控制 / 模型预测控制 / 经济效益

Key words

two-time-scale decomposition / greenhouse climate / optimal control / model predictive control / profit

温室环境对作物生长至关重要，温度、湿度、光照、二氧化碳浓度等因素直接影响作物产量和品质。传统的温室环境控制方法多依赖于人工经验或固定规则，难以应对复杂多变的环境条件^［1-2］。智能控制的核心是模型算法^［3-4］，我国大规模智能玻璃温室通常配套荷兰智能环控器，模型算法被Priva、Hoogendoorn、Ridder等荷兰强势公司“卡脖子”，且没有结合我国环境和生产数据配套开发，导致生产经济效益低下。因此，亟需提出适用于我国的温室环境智能控制方法，实现温室生产经济效益最大化。

最优控制可以将经济效益作为控制目标以实现最大化^［5］，但由于温室环境和作物生长作用于不同的时间尺度，温室-作物互作模型存在刚性问题^［6］。已有研究通常采用分层递阶控制的系统架构^［7-8］，在作物层通过开环计算求解长时域温室环境最优控制的环境设定值轨迹，在温室环境层通过模型预测控制（Model predictive control， MPC）实现设定值跟随误差的最小化^［9-13］。由于长时域天气预测通常误差较大^［14］，跟随依据长时域天气预测求解的温室环境设定值导致控制性能下降。van Henten等^［15］基于奇异摄动理论提出了双时间尺度分解的温室环境最优控制架构，降低了长时域天气预测误差对控制性能的影响，并促进了滚动时域最优控制（Receding horizon optimal control， RHOC）闭环算法的在线实施。

Xu等^［16-20］基于双时间尺度分解方法拓展了自适应最优控制、日光温室最优控制、双闭环最优控制等研究，探讨了开关量最优控制和在线实施算法的控制性能。作为算法落地前的仿真验证，本研究拟采用高斯白噪声、时序反转、时间替换等方式产生不同天气预测误差，基于温室-生菜互作机理模型建立基于双时间尺度分解的RHOC算法，并与传统MPC算法进行对比，验证RHOC算法在面对天气预测误差时的鲁棒性，为温室环境最优控制现场试验提供理论依据和数据支撑。

1　控制问题构建

1.1　系统模型

本研究考虑温室环境与作物生长之间的互相影响，采用文献［21］中的温室-生菜互作机理模型。系统模型的4个模型状态分别为生菜干重、温室CO₂质量浓度、温室温度和温室绝对湿度。模型状态的动态表达式如下：

\frac{\mathrm{d}{X}_{\mathrm{d}}}{\mathrm{d}t}=c_{\mathrm{\alpha }\mathrm{\beta }}\cdot {\phi }_{\mathrm{p}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{t},\mathrm{c}}-c_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{p},\mathrm{d}}\cdot X_{\mathrm{d}}\cdot {\mathrm{2}}^{\left(\mathrm{0.1}{X}_{\mathrm{T}}-\mathrm{2.5}\right)}(1)

\frac{\mathrm{d}{X}_{\mathrm{c}}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{1}}{c_{\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p},\mathrm{c}}}\left[-{\phi }_{\mathrm{p}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{t},\mathrm{c}}+c_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{p},\mathrm{d}}\cdot X_{\mathrm{d}}\cdot {\mathrm{2}}^{\left(\mathrm{0.1}{X}_{\mathrm{T}}-\mathrm{2.5}\right)}+U_{\mathrm{c}}-{\phi }_{\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t},\mathrm{c}}\right](2)

\frac{\mathrm{d}{X}_{\mathrm{T}}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{1}}{c_{\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p},\mathrm{q}}}\left[U_{\mathrm{q}}-Q_{\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t},\mathrm{q}}+Q_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d},\mathrm{q}}\right](3)

\frac{\mathrm{d}{X}_{\mathrm{h}}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{1}}{c_{\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p},\mathrm{h}}}\left[{\phi }_{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{p},\mathrm{h}}-{\phi }_{\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t},\mathrm{h}}\right](4)

式中：X_{\mathrm{d}}为单位温室面积生菜干重，kg/m²；X_{\mathrm{c}}为温室CO₂质量浓度，kg/m³；X_{\mathrm{T}}为温室温度，℃；X_{\mathrm{h}}为温室湿度，kg/m³；{\phi }_{\mathrm{p}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{t},\mathrm{c}}为冠层光合作用速率，kg/（m²·s）；{\phi }_{\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t},\mathrm{c}}为经通风和泄漏进行的CO₂物质交换，kg/（m²·s）；Q_{\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t},\mathrm{q}}为经通风和温室覆盖材料进行的能量交换，W/m²；Q_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d},\mathrm{q}}为太阳辐射导致的热负荷，W/m²；{\phi }_{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{p},\mathrm{h}}为冠层蒸腾速率，kg/（m²·s）；{\phi }_{\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t},\mathrm{h}}为经通风和泄漏进行的水蒸汽物质交换，kg/（m²·s）；c_{\mathrm{\alpha }\mathrm{\beta }}为产量因子，本研究中c_{\mathrm{\alpha }\mathrm{\beta }}=\mathrm{0.544}；c_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{p},\mathrm{d}}为干物质的呼吸率，取c_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{p},\mathrm{d}}=\mathrm{2.65}\times {\mathrm{10}}^{-\mathrm{7}} s^-1；c_{\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p},\mathrm{c}}和c_{\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p},\mathrm{h}}分别为单位面积温室空气对CO₂和湿度的体积容积，均取c_{\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p},\mathrm{c}}=c_{\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p},\mathrm{h}}=\mathrm{4.1} m；c_{\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p},\mathrm{q}}为单位面积温室空气的热容积，取c_{\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p},\mathrm{q}}=\mathrm{3}\times {\mathrm{10}}^{\mathrm{4}}J/（m²·℃）。

为方便最优控制问题的构建，对系统模型进行状态空间表达。\mathit{x}={\left[\begin{array}{cccc}{X}_{\mathrm{d}}& X_{\mathrm{c}}& X_{\mathrm{T}}& X_{\mathrm{h}}\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}为系统模型状态，考虑到生菜作用于慢时间尺度而温室环境作用于快时间尺度，定义x_{\mathrm{s}}=X_{\mathrm{d}}为系统的慢状态，{\mathit{x}}_{\mathrm{f}}={\left[\begin{array}{ccc}{X}_{\mathrm{c}}& X_{\mathrm{T}}& X_{\mathrm{h}}\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}为系统的快状态。\mathit{u}={\left[\begin{array}{ccc}{U}_{\mathrm{c}}& U_{\mathrm{q}}& U_{\mathrm{v}}\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}为系统的控制输入，其中U_{\mathrm{c}}为单位温室面积CO₂补充速率，kg/（m²·s）；U_{\mathrm{q}}为单位温室面积加热功率，W/m²；U_{\mathrm{v}}为单位温室面积通风流量，m/s。\mathit{d}={\left[\begin{array}{cccc}{V}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}& V_{\mathrm{c}}& V_{\mathrm{T}}& V_{\mathrm{h}}\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}为系统的外界输入，其中V_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}为外界太阳辐射强度，W/m²；V_{\mathrm{c}}为外界CO₂质量浓度，kg/m³；V_{\mathrm{T}}为外界温度，℃；V_{\mathrm{h}}为外界绝对湿度，kg/m³。

1.2　控制目标模型

在长时域最优控制问题的求解中，优化目标为最大化经济效益，因此建立经济效益P随作物状态X_{\mathrm{d}}以及控制输入\mathit{u}变化的控制目标模型：

P\left(\mathit{u}\left(t\right)\right)=c_{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{i}}\cdot c_{\mathrm{f}\mathrm{w}}\cdot X_{\mathrm{d}}\left(t_{\mathrm{f}}\right)-{\displaystyle \underset{t_{\mathrm{0}}}{\overset{t_{\mathrm{f}}}{\int }}}\left(c_{\mathrm{C}{\mathrm{O}}_{\mathrm{2}}}\cdot U_{\mathrm{c}}\left(t\right)+c_{\mathrm{q}}\cdot U_{\mathrm{q}}\left(t\right)+c_{\mathrm{v}}\cdot U_{\mathrm{v}}\left(t\right)\right)\mathrm{d}t(5)

式中：c_{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{i}}为生菜（鲜）价格，本研究中c_{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{i}}=\mathrm{6.5}元/kg；c_{\mathrm{f}\mathrm{w}}为生菜鲜重和干重的比值^［21］，取c_{\mathrm{f}\mathrm{w}}=\mathrm{21}；c_{\mathrm{C}{\mathrm{O}}_{\mathrm{2}}}为CO₂补充成本，c_{\mathrm{C}{\mathrm{O}}_{\mathrm{2}}}=\mathrm{4} 元/kg；c_{\mathrm{q}}为加热成本，c_{\mathrm{q}}=\mathrm{1.69}\times {\mathrm{10}}^{-\mathrm{7}}元/J；c_{\mathrm{v}}为通风成本，c_{\mathrm{v}}=\mathrm{1.65}\times {\mathrm{10}}^{-\mathrm{5}} 元/m³；X_{\mathrm{d}}\left(t_{\mathrm{f}}\right)为收获时单位面积生菜干重，kg/m²；c_{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{i}}\cdot c_{\mathrm{f}\mathrm{w}}\cdot X_{\mathrm{d}}\left(t_{\mathrm{f}}\right)为收获时销售生菜所得收入，元/m²；t_{\mathrm{f}}-t_{\mathrm{0}}为控制时域，t_{\mathrm{f}}-t_{\mathrm{0}}=\mathrm{50} d；{\displaystyle \underset{t_{\mathrm{0}}}{\overset{t_{\mathrm{f}}}{\int }}}\left(c_{\mathrm{C}{\mathrm{O}}_{\mathrm{2}}}\cdot U_{\mathrm{c}}\left(t\right)+c_{\mathrm{q}}\cdot U_{\mathrm{q}}\left(t\right)+c_{\mathrm{v}}\cdot U_{\mathrm{v}}\left(t\right)\right)\mathrm{d}t为控制设备运行消耗的总成本，元/m²；P为单位面积经济效益，元/m²。各参数值均经过北京地区市场价格校正。

1.3　控制约束条件

在实际的控制问题求解中，系统状态和控制输入均存在约束条件。由于生菜在极端温室环境中会产生病态进而影响生菜品质，这种影响难以在控制目标中进行量化，因此对各温室环境设定硬约束。考虑到控制设备的输入量载荷，也应对控制输入设定约束。由于温室湿度对作物的影响主要通过相对湿度进行表达，因此定义温室相对湿度X_{\mathrm{R}\mathrm{h}}而非绝对湿度X_h表达约束情况。

温室环境的约束分别为：0≤室内CO₂质量浓度（X_{\mathrm{c}}）≤2.75×10^-3 kg/m³、6.5≤室内温度（X_{\mathrm{T}}）≤40 ℃、0≤室内相对湿度（X_{\mathrm{R}\mathrm{h}}） ≤ 90%；控制输入的约束分别为：0≤CO₂补充速率（U_{\mathrm{c}}）≤1.2×10^-6 kg/（m²·s）、0≤加热功率（U_{\mathrm{q}}）≤150 W/m²、0≤通风流量（U_{\mathrm{v}}）≤7.5×10^-3 m/s。

2　控制算法仿真环境构建

2.1　天气数据

天气数据是仿真计算的外界环境基础，本研究通过室外气象站采集了2017年北京市顺义农业环境综合试验基地天气数据，包括室外太阳辐射强度、CO₂质量浓度、温度和相对湿度。由于传感器故障，CO₂质量浓度采用均值8.84×10^-4 kg/m³。室外太阳辐射强度、温度和相对湿度数据见图1。

选取前50 d的天气数据作为长时域天气预测值，通过高斯白噪声、时序反转和时间替换3种方法形成3组数据用作仿真计算时的实际天气数据。其中，高斯白噪声方法针对不同天气数据的误差添加幅值分别为：室外太阳辐射强度V_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}上下浮动30%；室外CO₂质量浓度V_{\mathrm{c}}上下浮动10%；室外温度V_{\mathrm{T}}上下浮动5 ℃；室外相对湿度V_{\mathrm{R}\mathrm{h}}上下浮动10%。时序反转法是将图1中前50 d的天气数据按照时间顺序首尾颠倒作为真实天气数据，时间替换方法即选择全年最后50 d的数据作为真实天气数据。

2.2　双时间尺度分解

双时间尺度分解方法基于奇异摄动理论^［6］，在慢时间尺度基于长时域天气预测值求解最大化控制目标P（式（5））的最优控制问题，得到慢状态x_{\mathrm{s}}和慢协状态{\lambda }_{\mathrm{s}}（控制目标P对慢状态x_{\mathrm{s}}的灵敏度）。在求解快时间尺度最优控制问题时，将慢状态轨迹{\overline{x}}_{\mathrm{s}}和慢协状态轨迹{\overline{\lambda }}_{\mathrm{s}}作为控制目标J的一部分，公式为：

J\left(\mathit{u}\left(t\right)\right)={\displaystyle \underset{t_{\mathrm{0}}}{\overset{t_{\mathrm{f}}}{\int }}}\left[\begin{array}{l}-\left(c_{\mathrm{C}{\mathrm{O}}_{\mathrm{2}}}\cdot U_{\mathrm{c}}\left(t\right)+c_{\mathrm{q}}\cdot U_{\mathrm{q}}\left(t\right)+c_{\mathrm{v}}\cdot U_{\mathrm{v}}\left(t\right)\right)+\\ {\overline{\lambda }}_{\mathrm{s}}\left(c_{\mathrm{\alpha }\mathrm{\beta }}\cdot {\phi }_{\mathrm{p}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{t},\mathrm{c}}-c_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{p},\mathrm{d}}\cdot {\overline{x}}_{\mathrm{s}}\cdot {\mathrm{2}}^{\left(\mathrm{0.1}{X}_{\mathrm{T}}-\mathrm{2.5}\right)}\right)\end{array}\right]\mathrm{d}t(6)

通过双时间尺度分解，将经济效益对控制系统的影响建立在温室环境闭环控制算法中，既解决了系统模型的刚性问题，又可以通过短时域天气预测降低长时域预测误差对控制性能的影响。在短时域天气预测方法中，Tap^［22］证明了若控制时域短于1 h，“懒人”（”lazy-man”）天气预测（假设未来一段时域天气与当前检测值相同）方法可以取得较好的控制性能，从而促进了闭环算法的在线实施。快时间尺度闭环最优控制的仿真采样间隔为10 min，控制时域为1 h，控制间隔为20 min。基于双时间尺度分解的RHOC和传统MPC控制框架对比见图2。

2.3　慢时间尺度开环求解

当作物状态未进行反馈时，慢时间尺度最优控制仅在闭环控制开始前计算1次，提取计算得到的慢状态x_{\mathrm{s}}和慢协状态{\lambda }_{\mathrm{s}}数据用于快时间尺度闭环最优控制的控制目标J（式（6））。在慢时间尺度开环计算中，选取前50 d天气数据（图1）作为长时域天气预测值，采用伪谱法^［23］以0.5 h为采样间隔求解慢时间尺度最优控制，得到最大化经济效益P（式（5））的慢状态和慢协状态轨迹见图3。

通过开环计算得到的温室环境状态（CO₂质量浓度X_{\mathrm{c}}、温度X_{\mathrm{T}}、相对湿度X_{\mathrm{R}\mathrm{h}}）用作MPC闭环仿真计算中的温室环境设定值。在RHOC和MPC算法仿真中，采样间隔均为10 min，控制间隔均为20 min，控制时域均为1 h，天气预测均采用时域为1 h的“懒人”天气预测方法。MPC的温室环境设定值见图4。

3　闭环控制算法仿真分析

慢时间尺度伪谱法求解采用了基于Matlab平台的Tomlab软件，快时间尺度以伪谱法求解结果作为初始猜测，通过数字最优控制算法^［5］进行闭环算法仿真。仿真平台为MatlabR2020a，工作站CPU为10980XE，主频3.00 GHz，内存128 GB，Windows 11系统。

在闭环控制算法仿真计算中，以完美天气预测和3组存在天气预测误差情况下的天气数据作为实际天气数据，以闭环形式分别求解以最小化J（式（6））为控制目标的RHOC和最小化温室环境设定值跟随误差的MPC，求解得到作物产量、成本和经济效益等见表1。

对比完美天气预测下的开环算法和闭环算法结果发现，开环预测的经济效益通常要高于闭环算法实际所得，一方面原因是开环计算中采样间隔更长从而约束要求更低，另一方面原因是开环计算考虑了整个生产周期的长时域天气预测从而更有预见性。

对比所有闭环计算结果发现，仅当长时域天气预测没有误差时，MPC所得经济效益高于RHOC。在完美天气预测场景下，MPC因精确跟踪环境设定值轨迹使产量较RHOC高8.81%，但受限于控制成本（CO₂补充与加热能耗分别增加48.66%与10.13%），其经济效益仅比RHOC高2.91%。

在高斯白噪声、时序反转和时间替换3类存在天气预测误差的场景中，RHOC通过动态调整环境控制策略，使得经济效益比MPC分别高1.24%、20.59%与21.32%。在经济效益差异最大的时间替换场景中，RHOC通过降低温室环境控制强度（CO₂补充量低44.89%、加热能耗低20.94%、通风成本低48.24%），在牺牲部分产量（6.84%）的同时显著提升经济效益，验证了其对长期天气预测误差的鲁棒性。在此场景下，RHOC和MPC计算所得温室环境（CO₂质量浓度、温度、相对湿度）和作物产量（生菜鲜重）图5。

可见，在MPC算法中温室环境更有利于作物生长，尤其是CO₂质量浓度。RHOC由于采用短时域天气预测会导致对未来预见性不足，虽然环境维持能力和总产量均低于MPC，但整体经济效益远高于MPC，实现了以经济效益最大化为目标的最优控制。在经济效益差距最大的时间替换场景中，RHOC和MPC算法求解的CO₂补充率、加热功率、通风率见图6。

可知，为了在天气预测存在误差的情况下维持较好的温室环境设定值，MPC算法中控制输入所需的成本更高，而RHOC在面对长时域天气预测存在的误差时，可以通过基于实时天气检测值的短时域天气预测方法以提高控制算法对长时域天气预测误差的鲁棒性。

针对实际应用中存在突发气候变化和设备故障等工况，建议在温室物联网控制系统中设定备用的开关控制算法，若检测到温室环境出现极端值可切换至开关控制以避免极端天气对作物品质造成影响，另外设定警报系统通知种植者采取备用设备或手动控制方案。

4　结 论

基于双时间尺度分解的滚动时域最优控制通过短时域天气预测与长时域经济目标解耦，相比传统模型预测控制有效降低了温室环境控制系统对长时域天气预测精度的依赖。本研究提出不同的长时域天气预测误差分析方法，基于北京实际市场价格构建经济效益控制目标，通过闭环控制算法仿真证明了双时间尺度分解方法的优越性。仿真结果表明：由于MPC对环境设定值有较好的跟踪性能，仅在长时域天气预测完美时其经济效益比RHOC高2.91%；RHOC通过短时域天气预测动态捕捉天气变化，在高斯白噪声、时序反转及时间替换3类天气预测误差场景下，经济效益分别比MPC高1.24%、20.59%与21.32%。未来将针对我国实际温室进行模型构建和参数校正，搭建适用于最优控制算法的温室物联网试验平台，并探索双时间尺度分解最优控制与数据驱动强化学习结合的控制方法。

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基金资助

山东省重点研发计划(2022CXGC020708)

国家重点研发计划(2024YFD2000800)

国家自然科学基金项目(32371998)

现代农业产业技术体系(CARS-23-D02)

北京市设施蔬菜创新团队项目(BAIC01-2025)

中国农业大学 2115 人才工程资助