一个与五边形数相关的数论函数方程的可解性

The solvability of an arithmetic function equation related to pentagon number

摘要

利用Smarandache函数S(n)、Smarandache LCM函数SL(n)、广义Euler函数φ₂(n)的定义、性质,研究了与五边形数相关的数论函数方程$S\left(S L\left(n^{23}\right)\right)=k \varphi_{2}\left[\frac{n(3 n-1)}{2}\right]$的可解性问题,其中k∈Z⁺(Z⁺是正整数集).得到如下结果:数论函数方程$S\left(S L\left(n^{23}\right)\right)=k \varphi_{2}\left[\frac{n(3 n-1)}{2}\right]$的全部正整数解为(k,n)=(13,2),(2,12),(1,27).

Abstract

By using the definition and properties of Smarandache function S(n), Smarandache LCM function SL(n) and generalized Euler function φ₂(n), the solvability problems of arithmetic function equations $S\left(S L\left(n^{23}\right)\right)=k \varphi_{2}\left[\frac{n(3 n-1)}{2}\right]$ related to pentagon number are studied, in which k∈Z⁺ (Z⁺ is a set of positive integers). The results are as follows: all positive integer solutions of the arithmetic function equations $S\left(S L\left(n^{23}\right)\right)=k \varphi_{2}\left[\frac{n(3 n-1)}{2}\right]$ are (k,n)=(13,2), (2,12), (1,27).

关键词

Smarandache函数S(n) / Smarandache LCM函数SL(n) / 广义欧拉函数φ₂(n) / 五边形数 / 正整数解

Key words

Smarandache function S(n) / Smarandache LCM function SL(n) / generalized Euler function φ₂(n) / pentagonal numbers / positive integer solution

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基金资助

贵州省科学技术基金项目(黔科合基础:ZK[2021]313号)

贵州师范大学学术新苗基金项目(黔师新苗[2021]B09号)