多策略徒步旅行优化算法

Multi-strategy Hiking Optimization Algorithm

摘要

针对徒步旅行优化算法（HOA）存在收敛速度慢、全局搜索和局部开发能力不平衡等问题，提出一种多策略徒步旅行优化算法（MSHOA）。首先，采用Chebyshev混沌映射初始化提高种群质量；其次，融入自适应扩张因子策略提高算法收敛速度；再次，引入部分维度重组与突变策略增强算法跳出局部极值的能力。将MSHOA与粒子群算法（PSO）、鲸鱼优化算法（WOA）、哈里斯鹰优化算法（HHO）、飞蛾扑火优化算法（MFO）在12个基准测试函数上进行仿真实验。结果表明，MSHOA相较于其他优化算法寻优精度更高、收敛速度更快。最后，将MSHOA应用于减速器设计和焊接梁设计问题。实验结果表明，该算法相较于标准HOA具有显著优势，验证了其在求解实际应用问题中的可行性。

Abstract

A multi-strategy hiking optimization algorithm (MSHOA) is proposed in this paper to address the limitations of slow convergence speed and imbalanced global-local search capabilities in the original hiking optimization algorithm (HOA). Initially, Chebyshev chaotic mapping is employed to enhance population initialization quality. Subsequently, an adaptive expansion factor strategy is incorporated to accelerate convergence speed. Thirdly, a partial dimension recombination and mutation strategy is introduced to strengthen the algorithm's ability to escape local optima. Comprehensive simulation experiments are conducted on 12 benchmark functions comparing MSHOA with particle swarm optimization (PSO), whale optimization algorithm (WOA), Harris hawks optimization (HHO), and moth-flame optimization (MFO). Results demonstrate that MSHOA achieves superior optimization accuracy and faster convergence compared to other algorithms. Finally, engineering validation through speed reducer design and welded beam design applications confirms that MSHOA exhibits significant performance advantages over standard HOA, proving its effectiveness in solving real-world engineering problems.

Graphical abstract

关键词

徒步旅行优化算法 / Chebyshev混沌映射 / 自适应扩张因子策略 / 部分维度重组与突变策略 / 减速器设计 / 焊接梁设计

Key words

hiking optimization algorithm / Chebyshev chaotic mapping / adaptive expansion factor strategy / partial dimension recombination and mutation strategy / speed reducer design / welded beams design

随着元启发优化算法的快速发展，其在求解实际工程问题时重要性日益凸显。文献[1]使用遗传算法计算无人装备系统网络维修保障优化路径。文献[2]使用人工蜂—鱼群算法在多接入边缘计算场景下权衡降低任务卸载的总时延与总能耗。文献[3]利用头脑风暴优化算法解决多目标优化中存在等价解数量不足和决策空间多样性维护难问题。文献[4]提出改进鲸鱼优化算法求解到达时间差非线性方程。文献[5]使用改进灰狼算法优化船舶调度，有效提升港口泊位调度效率。文献[6]使用融合多策略蚁狮算法求解空军航材配置中多目标决策问题。专家学者在前期研究中发现相较于传统元启发算法，鱼鹰优化算法^[7]、黑猩猩搜索算法^[8]、蜣螂优化算法^[9]、精英金豺优化算法^[10]、金鹰优化算法^[11]等新型元启发优化算法在函数寻优方面表现优异，但仍然存在收敛速度较慢和容易陷入局部空间停滞等不足，面对局部极值较多、变量维度较高等复杂问题时尤为突出。

针对上述问题，提出一种多策略徒步旅行优化算法（Multi-strategy Hiking Optimization Algorithm, MSHOA）。徒步旅行优化算法（Hiking Optimization Algorithm, HOA）^[12]是研究人员在2024年提出的一种新型元启发优化算法，其灵感源于徒步旅行者登顶山脉、丘陵或山峰的经历，具有结构简单、便于实现、效率较高等特点。本文在标准HOA的基础提出以下改进策略：首先，采用Chebyshev混沌映射初始化，提高种群遍历性和质量；其次，通过自适应扩张因子策略提高算法收敛速度；再次，引入部分维度重组与突变策略增强迭代后期算法跳出局部极值的能力。将所提算法与粒子群算法（Particle Swarm Optimization，PSO）、鲸鱼优化算法（Whale Optimization Algorithm, WOA）、哈里斯鹰优化算法（Harris Hawks Optimization, HHO）、飞蛾扑火优化算法（Moth-flame Optimization Algorithm, MFO）在12个基准测试函数进行仿真实验。实验结果表明，所提算法的寻优精度和收敛速度更为优秀。最后，将其应用于求解减速器设计和焊接梁设计问题。实验结果表明，所提算法性能优于其他对比算法，能够有效解决实际工程应用问题。

1 徒步旅行优化算法仿生原理

HOA的设计灵感来源于徒步旅行者试图登顶山脉、丘陵或岩石山峰的经历。徒步旅行过程中旅行者需要考虑地形的陡峭程度，通过避开高度陡峭的地形保持步行速度。标准HOA中旅行者个体位置更新时，需要考虑地形或者陡峭坡度以确定其速度，具体如式（1）~式（4）所示：

W_i(t)=\mathrm{6}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{3.5}\left|S_i(t)+\mathrm{0.05}\right|}（1）

S_i(t)=\frac{d_{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}}\left(h\right)}{d_{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}}\left(x\right)}=\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(\theta )（2）

W_i\left(t\right)=W_i\left(t-\mathrm{1}\right)+\gamma \bullet (x_{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}\left(t\right)+sf\bullet x_i\left(t\right))（3）

x_i\left(t+\mathrm{1}\right)=x_i\left(t\right)+W_i\left(t\right)（4）

式中：W_i(t)表示第t次迭代时第i个旅行者个体的速度；S_i(t)表示地形坡度；d_{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}}\left(h\right)和d_{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}}\left(x\right)表示旅行者个体所在海拔和水平距离；\theta表示地形的倾斜角度；\gamma表示[0,1]范围的随机数；sf表示扫描因子，确保旅行者个体不会偏离领队太远，便于看到领队的方向并接收其发出的信号。

2 多策略徒步旅行优化算法

2.1 Chebyshev混沌映射

标准HOA采用随机初始化种群导致徒步旅行种群质量下降，降低算法的寻优精度和收敛速度。而Chebyshev混沌映射^[13]是将个体位置映射到[-1,1]范围内的一维混沌映射过程，使徒步旅行种群分布更加均匀，起到丰富种群多样性的作用，从而提升算法的整体搜索效率，可表示为

m\left(i+\mathrm{1}\right)=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(a\bullet \mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{-\mathrm{1}}\left(m\left(i\right)\right)\right),i=\mathrm{1,2},\dots ,N（5）

式中：N表示种群数量；a表示调整系数，通常取4。

利用式（5）映射到搜索空间得出混沌初始解，可表示为

x_i^j=l_{\mathrm{b},}{}_i^j+\left(u_{b,}{}_i^j-l_{b,}{}_i^j\right)\bullet x\left(i\right),i=\mathrm{1,2},\dots ,N,j=\mathrm{1,2},\dots ,D（6）

式中：D表示搜索空间维度；u_{\mathrm{b}}和l_{\mathrm{b}}分别表示搜索空间的上界和下界；x_i^j表示混沌初始解。

2.2 自适应扩张因子

由于标准HOA中旅行者个体位置更新存在局限性，容易陷入局部最优解，旅行者个体位置更新过程中只受到当前个体和托布勒徒步旅行函数影响，使种群难以跳出局部最优解，导致出现个体聚集现象。为缓解上述问题，提出一种自适应扩张因子策略增加徒步旅行的移动步长，随着迭代次数不断增加，算法在迭代前期具有较强的全局探索能力，后期具有优异的局部开发能力，可表示为

c=\left\{\begin{array}{c}\mathrm{8}\bullet {\mathrm{e}}^{-\frac{t}{T_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}},t\le \frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\bullet T_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}};\\ \mathrm{2}\bullet {\mathrm{e}}^{-\frac{t}{T_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}},t>\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\bullet T_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}.\end{array}\right.（7）

式中：c表示自适应扩张因子；t表示当前迭代次数；T_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}表示最大迭代次数。

经改进后，更新式（3）如式（8）所示:

W_i\left(t\right)=W_i\left(t-\mathrm{1}\right)+c\bullet \gamma \bullet (x_{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}\left(t\right)+{\alpha }_i(t)\bullet x_i\left(t\right))（8）

2.3 部分维度重组与突变策略

众所周知，进化方式能够增强旅行者徒步个体中具有竞争力的特征^[14]。算法迭代过程中旅行者个体包含部分信息可能已经落入全局最优解的附近邻域，而其他部分未在此范围内导致整体适应度较差。将不同维度的优异信息整合到同一个体中，从而达到提升该个体质量的目的。同时对旅行者个体中较差信息进行变异操作，丰富种群多样性，减少陷入局部最优空间停滞的可能性。因此，采用部分维度重组与突变策略能够增强算法的寻优精度和收敛速度。

部分维度重组策略的更新机制为随机选择某个旅行者个体和当前旅行者个体进行比较，按照差异大小降序排列，然后选择前k个位置信息进行重组。该策略计算公式可表示为

（9）

突变策略的更新机制为随机选择第t次迭代中最优个体的k个位置，然后使用Chebyshev混沌映射将其替换。该策略计算公式可表示为

（10）

k=D\cdot \left({\alpha }_{max}-t\bullet \left(\frac{{\alpha }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}-{\alpha }_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}}{T}\right)\right)（11）

x_{i,k}^{\mathrm{m}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e}}\left(t\right)=x_{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}\left(t\right)\bullet \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\left[i(\mathrm{0,1})\right]\bullet x_i^j（12）

式中：x_{i,j,k}^{\mathrm{s}\mathrm{w}\mathrm{a}\mathrm{p}}\left(t\right)表示随机选择第h个旅行者个体和当前旅行者个体，选择前k个位置信息进行重组后的个体；x_{i,k}^{\mathrm{m}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e}}\left(t\right)表示随机选择第t次迭代中最优个体的k个位置；{\alpha }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}和{\alpha }_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}分别表示个体位置变化数量的最大值和最小值；\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\left[i(\mathrm{0,1})\right]表示随机生成0或者1。

2.4 多策略徒步旅行优化算法实现步骤

将第2.1~2.3节中各种改进策略应用于标准HOA后更新为MSHOA，具体步骤如下。

1）设置算法参数，包括种群数量、搜索空间维度和范围、最大迭代次数；

2）使用Chebyshev混沌映射，按照式（5）~式（6）初始化种群;

3）计算旅行者个体适应度并选出最优个体;

4）采用自适应扩张因子策略，根据式（1）~式（4）和式（7）~式（8）进行个体位置更新；

5）使用部分维度重组与突变策略，按照式（9）~式（12）更新并计算适应度,若该个体的适应度优于原有个体的适应度则替代，否则保持不变;

6）判断算法是否达到终止条件，如果达到则输出种群最优解位置，否则重复步骤3）~步骤5）。

MSHOA流程如图1所示。

3 仿真实验与结果分析

3.1 实验环境

实验使用操作系统为Intel（R）Core（TM）i5-7200U CPU@2.50 GHz（4 CPUs），内存为8 GB。

3.2 实验参数

选择PSO^[15]、WOA^[16]、HHO^[17]、MFO^[18]、标准HOA和MSHOA进行仿真实验。所有算法均独立运行50次，种群规模为30，最大迭代次数设置为300，其他参数设置如表1所示。

3.3 基准测试函数

为验证MSHOA的寻优性能，将其与上述4种算法对12个基准测试函数进行仿真实验。基准测试函数主要用于衡量算法寻优效果和收敛速度，维度为30，范围均为工[-100，100]。

3.4 算法性能对比分析

将PSO、WOA、HHO、MFO、HOA和MSHOA进行基准测试函数寻优对比，实验结果如表2和表3所示。

由表2和表3可知，在8组基准测试函数中，对于F_{\mathrm{1}}\mathrm{、}{F}_{\mathrm{2}}\mathrm{、}{F}_{\mathrm{3}}\mathrm{、}{F}_{\mathrm{4}}\mathrm{、}{F}_{\mathrm{5}}\mathrm{、}{F}_{\mathrm{8}}，MSHOA相对其他算法在平均值和稳定性方面优势明显；对于F_{\mathrm{7}}，MSHOA的平均值和标准差略优于其他算法；对于F_{\mathrm{6}}，MSHOA的平均值略优于其他算法，但是标准差弱于标准HOA。综上所述，MSHOA稳定性较高，寻优性能显著，表明MSHOA相较其他算法具有较强竞争力。

由于篇幅限制，仅显示所有算法对前4个基准测试函数的收敛曲线，如图2所示。对于F_{\mathrm{1}}\mathrm{、}{F}_{\mathrm{2}}\mathrm{、}{F}_{\mathrm{3}}\mathrm{、}F_{\mathrm{4}}，MSHOA相比其他算法优势显著，曲线在迭代过程早期就呈现出收敛趋势，验证了本文提出算法的有效性。

3.5 改进策略有效性分析

为验证本文提出的3种改进策略的有效性，选择最后4个基准测试函数进行对比实验，将标准HOA与采用Chebyshev混沌映射初始化的徒步旅行优化算法（HOA1）、引入自适应扩张因子策略的徒步旅行优化算法（HOA2）和融入部分维度重组与突变策略的徒步旅行优化算法（HOA3）进行比较。实验结果如表4所示。

由表4可知，3种使用改进策略的HOA算法对基准测试函数寻优时，观察平均值和标准差可看出寻优精度均有所提升，表明改进初始化策略在有限寻优条件下能够更充分挖掘搜索空间，自适应扩张因子策略能够有效提高算法的局部开发能力，部分维度重组和突变策略能够有效避免算法陷入局部最优解。观察平均值，除F_{\mathrm{11}}的MSHOA的平均值略弱于HOA3外，对其他基准测试函数寻优时其平均值均优于单一改进策略的HOA，表明MSHOA能够有效融合各种改进策略的优点。观察标准差发现对于F_{\mathrm{11}}，MSHOA的标准差均优于使用单一改进策略的HOA，但对其他的测试函数而言标准差略弱于使用单一改进策略HOA，表明该方法还存在提升空间。

为准确反映MSHOA和3种改进策略的收敛效果，图3展示了使用不同改进策略在F_{\mathrm{9}}\mathrm{、}{F}_{\mathrm{10}}\mathrm{、}{F}_{\mathrm{11}}\mathrm{和}

F_{\mathrm{12}}基准测试函数的收敛曲线。对于F_{\mathrm{9}}\mathrm{、}F_{\mathrm{10}}\mathrm{、}{F}_{\mathrm{12}}，MSHOA相比单一策略优势明显，收敛曲线在迭代过程中很快呈现出收敛趋势。对于F_{\mathrm{11}}，MSHOA在寻优精度上略微弱于HOA3，但收敛效率明显优于HOA3，迭代早期收敛速度很快，验证了3种改进策略的有效性。

4 MSHOA在实际工程问题中的应用

通过求解减速器设计和焊接梁设计问题，进一步验证本文提出的改进算法解决实际工程应用问题的优化能力。

4.1 减速器设计问题

减速器设计问题^[19]的目标函数是通过优化7个参数变量使减速器总重量最小。该优化问题包括1个目标函数、11个不等式约束和7个决策变量，其中：x_{\mathrm{1}}表示端面宽度；x_{\mathrm{2}}表示齿模数；x_{\mathrm{3}}表示小齿轮的齿数；x_{\mathrm{4}}表示轴承间的第1轴长度；x_{\mathrm{5}}表示轴承间的第2轴长度；x_{\mathrm{6}}表示第1轴直径；x_{\mathrm{7}}表示第2轴直径。具体如式（13）~式（24）所示：

f\left(x\right)=\mathrm{0.785}\mathrm{4}{x}_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\left(\mathrm{3.333}\mathrm{3}{x}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{14.033}\mathrm{4}{x}_{\mathrm{3}}-\mathrm{43.093}\mathrm{4}\right)-\mathrm{1.508}{x}_{\mathrm{1}}\left(x_{\mathrm{6}}^{\mathrm{2}}+x_{\mathrm{7}}^{\mathrm{2}}\right)+\mathrm{7.477}\mathrm{7}(x_{\mathrm{6}}^{\mathrm{3}}+x_{\mathrm{7}}^{\mathrm{3}})（13）

g_{\mathrm{1}}\left(x\right)=\frac{\mathrm{27}}{x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{3}}}-\mathrm{1}\le \mathrm{0}（14）

g_{\mathrm{2}}\left(x\right)=\frac{\mathrm{397.5}}{x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}}-\mathrm{1}\le \mathrm{0}（15）

g_{\mathrm{3}}\left(x\right)=\frac{\mathrm{1.934}{x}_{\mathrm{4}}^{\mathrm{3}}}{x_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{3}}{x}_{\mathrm{6}}^{\mathrm{4}}}-\mathrm{1}\le \mathrm{0}（16）

g_{\mathrm{4}}\left(x\right)=\frac{\mathrm{1.934}{x}_{\mathrm{5}}^{\mathrm{3}}}{x_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{3}}{x}_{\mathrm{7}}^{\mathrm{4}}}-\mathrm{1}\le \mathrm{0}（17）

g_{\mathrm{5}}\left(x\right)=\frac{\sqrt[]{{(\frac{\mathrm{745}{y}_{\mathrm{4}}}{y_{\mathrm{2}}{y}_{\mathrm{3}}})}^{\mathrm{2}}+\mathrm{16.9}\times {\mathrm{10}}^{\mathrm{6}}}}{\mathrm{110.0}{x}_{\mathrm{6}}^{\mathrm{3}}}-\mathrm{1}\le \mathrm{0}（18）

g_{\mathrm{6}}\left(x\right)=\frac{\sqrt[]{{(\frac{\mathrm{745}{y}_{\mathrm{4}}}{y_{\mathrm{2}}{y}_{\mathrm{3}}})}^{\mathrm{2}}+\mathrm{157.5}\times {\mathrm{10}}^{\mathrm{6}}}}{\mathrm{85.0}{x}_{\mathrm{6}}^{\mathrm{3}}}-\mathrm{1}\le \mathrm{0}（19）

g_{\mathrm{7}}\left(x\right)=\frac{x_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{3}}}{\mathrm{40}}-\mathrm{1}\le \mathrm{0}（20）

g_{\mathrm{8}}\left(x\right)=\frac{\mathrm{5}{x}_{\mathrm{2}}}{x_{\mathrm{1}}}-\mathrm{1}\le \mathrm{0}（21）

g_{\mathrm{9}}\left(x\right)=\frac{x_{\mathrm{1}}}{\mathrm{12}{x}_{\mathrm{2}}}-\mathrm{1}\le \mathrm{0}（22）

g_{\mathrm{10}}\left(x\right)=\frac{\mathrm{1.5}{x}_{\mathrm{6}}+\mathrm{1.9}}{x_{\mathrm{4}}}-\mathrm{1}\le \mathrm{0}（23）

g_{\mathrm{11}}\left(x\right)=\frac{\mathrm{1.1}{x}_{\mathrm{7}}+\mathrm{1.9}}{x_{\mathrm{5}}}-\mathrm{1}\le \mathrm{0}（24）

使用标准HOA和MSHOA求解减速器设计问题，实验结果如表5和图4所示。从图4可以看出，两种算法的适应度随着迭代次数增加而减小，最终输出满足约束条件的减速器总重量。MSHOA在迭代次数为3时，收敛速度明显快于标准HOA，平均值和标准差均优于标准HOA。

4.2 焊接梁设计问题

焊接梁设计问题^[20]的适应度函数是在长度l、高度T、厚度b和焊缝厚度h约束条件下，使制造焊接梁费用最少，包括1个适应度函数、7个不等式约束和4个决策变量。其中：x_{\mathrm{1}}表示焊缝厚度；x_{\mathrm{2}}表示长度；x_{\mathrm{3}}表示高度；x_{\mathrm{4}}表示厚度。具体如式（25）~式（41）所示：

f\left(x\right)=\mathrm{1.104}\mathrm{7}{x}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{2}}+\mathrm{0.048}\mathrm{11}{x}_{\mathrm{3}}{x}_{\mathrm{4}}\left(\mathrm{14.0}+x_{\mathrm{2}}\right)（25）

g_{\mathrm{1}}\left(x\right)=\Lambda \left(x\right)-\mathrm{136}\mathrm{00}\le \mathrm{0}（26）

g_{\mathrm{2}}\left(x\right)=\sigma \left(x\right)-\mathrm{136}\mathrm{00}\le \mathrm{0}（27）

g_{\mathrm{3}}\left(x\right)=\delta (x)-\mathrm{0.25}\le \mathrm{0}（28）

g_{\mathrm{4}}\left(x\right)=x_{\mathrm{1}}-x_{\mathrm{4}}\le \mathrm{0}（29）

g_{\mathrm{5}}\left(x\right)=\mathrm{600}\mathrm{0}-P_c(x)\le \mathrm{0}（30）

g_{\mathrm{6}}\left(x\right)=\mathrm{0.125}-x_{\mathrm{1}}\le \mathrm{0}（31）

g_{\mathrm{7}}\left(x\right)=\mathrm{1.104}\mathrm{71}{x}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{0.048}\mathrm{11}{x}_{\mathrm{3}}{x}_{\mathrm{4}}\left(\mathrm{14.0}+x_{\mathrm{2}}\right)-\mathrm{5.0}\le \mathrm{0}（32）

\Lambda \left(x\right)=\sqrt[]{{\left({\Lambda }_{\mathrm{1}}\right)}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}{\Lambda }_{\mathrm{1}}{\Lambda }_{\mathrm{2}}\bullet \frac{x_{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}R}+{\left({\Lambda }_{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{2}}}（33）

{\Lambda }_{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{600}\mathrm{0}}{\sqrt[]{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}}（34）

{\Lambda }_{\mathrm{2}}=\frac{MR}{J}（35）

M=\mathrm{600}\mathrm{0}\left(\mathrm{14}+\frac{x_{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}\right)（36）

R=\sqrt[]{\frac{x_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}}+{\left(\frac{x_{\mathrm{1}}+x_{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{2}}}（37）

J=\mathrm{2}\left\{\sqrt[]{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}\left[\frac{x_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{12}}+{\left(\frac{x_{\mathrm{1}}+x_{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{2}}\right]\right\}（38）

\sigma \left(x\right)=\frac{\mathrm{6}\times \mathrm{600}\mathrm{0}\times \mathrm{14}}{x_{\mathrm{4}}{x}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}}（39）

\delta \left(x\right)=\frac{\mathrm{4}\times \mathrm{600}\mathrm{0}\times {\mathrm{14}}^{\mathrm{3}}}{\mathrm{30}\times {\mathrm{10}}^{\mathrm{6}}{x}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{3}}{x}_{\mathrm{4}}}（40）

P_c\left(x\right)=\mathrm{2.006}\mathrm{5}\times \frac{\sqrt[]{x_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{4}}^{\mathrm{6}}}}{{\mathrm{14}}^{\mathrm{2}}}\left(\mathrm{1}-\frac{\mathrm{0.79}{x}_{\mathrm{3}}}{\mathrm{28}}\right)（41）

式中：\mathrm{0.1}\le x_{\mathrm{1}}\le \mathrm{2}；\mathrm{0.1}\le x_{\mathrm{2}}\le \mathrm{10}；\mathrm{0.1}\le x_{\mathrm{3}}\le \mathrm{10}；\mathrm{0.1}\le x_{\mathrm{4}}\le \mathrm{2}。

使用标准HOA和MSHOA优化焊接梁设计问题，实验结果如表7和图5所示。从图5可以看出，MSHOA收敛速度明显优于标准HOA。从表7可以看出，MSHOA的平均值和标准差均优于标准HOA，表明MSHOA能够获得较好结果。

5 结束语

在标准HOA的基础上，采用Chebyshev混沌映射初始化丰富种群多样性；其次，在全局搜索和局部开发阶段引入自适应扩张因子策略，加快算法的收敛速度；然后，利用部分维度重组与突变策略，提高算法跳出局部最优空间的可能性。对12个基准测试函数进行仿真实验，与PSO、WOA、HHO、MFO比较寻优结果，本文算法在寻优精度和收敛速度方面表现更优。进一步将其应用于求解减速器设计和焊接梁设计问题，实验结果表明该算法性能优于其他对比算法，能够有效解决实际工程应用问题。

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