多策略改进花斑翠鸟优化算法及其应用

Multi Strategy Improved Optimization Algorithm for PKO and Its Application

摘要

针对基本花斑翠鸟优化算法（PKO）搜索过程中存在种群多样性降低、收敛速度变慢、陷入局部最优解等问题，提出多策略改进花斑翠鸟优化算法（IPKO）。首先，采用拉丁超立方抽样方法对种群个体进行初始化，丰富其多样性。其次，在全局搜索和局部开发阶段引入非线性惯性权重，加快算法在搜索空间的收敛速度。然后，借鉴青蒿素优化算法的后巩固策略，提高算法跳出局部最优解的能力。将IPKO算法对12个基准测试函数进行寻优性能分析，而后与粒子群算法（PSO）、正余弦优化算法（SCA）、麻雀搜索算法（SSA）、灰狼优化算法（GWO）、乌燕鸥优化算法（STOA）和PKO进行比较。实验结果表明该算法相较于其他算法寻优精度和收敛速度更为优秀。此外，将该算法应用于三杆桁架设计优化问题，结果表明该算法在解决实际工程问题时寻优效果优于PKO，验证了该算法的有效性和鲁棒性。

Abstract

An improved pied kingfisher optimizer (IPKO) with multiple strategies is proposed to address the issues of reduced population diversity, slower convergence speed, and the tendency to get stuck in local optima during the search process of the basic pied kingfisher optimizer (PKO). Firstly, the Latin hypercube sampling method is employed to initialize the population, thereby enhancing its diversity. Secondly, a nonlinear inertia weight is introduced in both the global search and local development stages to expedite the algorithm’s convergence speed. Then, by adopting the post-consolidation strategy from the artemisinin optimization algorithm, the algorithm’s capability to avoid local optima is enhanced. An optimization performance analysis is conducted on the IPKO algorithm using 12 benchmark test functions, and it is compared with particle swarm optimization (PSO), sine cosine algorithm (SCA), sparrow search algorithm (SSA), grey wolf optimizer (GWO), and sooty tern optimization algorithm (STOA), and PKO. The experimental results indicate that the IPKO algorithm exhibits superior convergence accuracy and speed compared to the other algorithms. Additionally, the IPKO algorithm is applied to the optimization problem of three-bar truss design, and the results demonstrate that its accuracy in solving practical engineering problems is better than that of PKO, thereby verifying the effectiveness and robustness of the algorithm.

Graphical abstract

关键词

花斑翠鸟 / 优化算法 / 拉丁超立方抽样 / 非线性惯性权重 / 后巩固策略

Key words

pied kingfisher / optimization algorithm / Latin hypercube sampling / nonlinear inertia weight / post consolidation strategy

随着科学技术的不断发展，优化复杂工程应用问题显得愈发重要。由于智能优化算法具有实现简单、高效灵活、易于求解等特点，研究人员逐渐将其应用于解决实际工程问题。文献[1]结合灰狼优化算法和正交学习估算光伏微网光学材料的不确定参数。文献[2]基于简化粒子群优化算法管理微电网可再生能源。文献[3]利用Pareto鲸鱼优化算法优化电机次级侧尺寸结构。文献[4]提出融合多策略改进灰狼优化算法求解汽轮机转子应力监测问题。文献[5]基于改进D-S证据理论的多元算法融合模型对软岩隧道围岩变形程度进行预测。

花斑翠鸟优化算法（Pied Kingfisher Optimizer, PKO）^[6]是Bouaouda等人于2024年受花斑翠鸟狩猎行为启发而提出的一种智能优化算法。与其他智能优化算法相比，花斑翠鸟优化算法表现出良好的问题寻优能力。然而在迭代后期，花斑翠鸟优化算法同样存在种群多样性单一、收敛速度变慢、陷入局部最优解等问题。

为解决上述问题，提出一种多策略改进花斑翠鸟优化算法（Improved Pied Kingfisher Optimizer, IPKO）。首先采用拉丁超立方抽样方法丰富种群个体的多样性。其次，在全局搜索和局部开发阶段引入非线性惯性权重，加快算法的收敛速度。然后，借鉴青蒿素优化算法的后巩固策略，提高算法跳出局部最优解的能力。最后，利用12个基准测试函数验证该算法的有效性和鲁棒性，并将其与另外5个算法进行比较，结果表明IPKO相较于其他智能优化算法均具有比较优势。

1 基本花斑翠鸟优化算法

基本花斑翠鸟优化算法模拟了花斑翠鸟在水面上的狩猎行为，具有收敛精度高、搜索能力强、实用性好等优点。首先，花斑翠鸟交替采用栖息和悬停策略在参数空间进行搜索；其次，花斑翠鸟发现猎物后会迅速潜入水中开展狩猎；最后，通过培养与水獭的共生关系提高算法跳出局部最优空间的可能性。基本花斑翠鸟优化算法主要包括搜索阶段、开发阶段和逃逸阶段3个步骤。

1.1 搜索阶段

花斑翠鸟优化算法在搜索阶段主要包括栖息和悬停两种策略。通过观察花斑翠鸟的狩猎行为可以发现，该鸟类综合考虑各种因素后交替选择栖息和悬停策略。花斑翠鸟个体位置的更新公式如下所示：

{\mathit{X}}_i\left(t+\mathrm{1}\right)={\mathit{X}}_i\left(t\right)+\alpha \times T\times \left({\mathit{X}}_j\left(t\right)-{\mathit{X}}_i\left(t\right)\right)（1）

式中：i,j=\mathrm{1,2},\dots ,N\mathrm{且}i\ne j;{\mathit{X}}_i\left(t\right)表示第i只花斑翠鸟个体在第t次迭代的位置；\alpha表示[-1,1]范围内的随机数；N表示种群规模。参数T表示花斑翠鸟个体在搜索阶段选择栖息或者悬停策略，当花斑翠鸟个体选择栖息策略时，如下所示：

T=\left(e-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(\sqrt[\gamma ]{\frac{t}{T_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}}\right)\right)\times \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta（2）

式中：T_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}表示最大迭代次数；恒定值\gamma设置为8；\beta表示[0, 2\mathrm{\pi }]范围内的随机角度。

当花斑翠鸟个体在空中悬停时，计算公式如下所示：

T=\delta \times \sqrt[\gamma ]{\frac{t}{T_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}}（3）

\delta =\epsilon \times \frac{F(j)}{F(i)}（4）

式中：F(i)和F(j)表示第i和第j只花斑翠鸟个体的适应度；\epsilon表示[0,1]范围内的随机数。

1.2 开发阶段

花斑翠鸟在栖息地主要依赖于快速准确的潜水能力进行捕食，加上锋利的喙和出色的视野，使其成为水生环境中优秀的猎手。花斑翠鸟在开发阶段进行潜水的数学模型如下所示：

{\mathit{X}}_i\left(t+\mathrm{1}\right)=X_i\left(t\right)+ϵ\times o\times \alpha \times \left(b-{\mathit{X}}_{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}\left(t\right)\right)（5）

式中：i=\mathrm{1,2},\dots ,N;{\mathit{X}}_{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}\left(t\right)表示当前花斑翠鸟种群的最优解；ϵ、o和b表示花斑翠鸟个体的狩猎能力，计算公式如下所示：

ϵ=\zeta \times \frac{F(i)}{F_{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}}（6）

o=\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}{(\frac{-t}{T_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}})}^{\mathrm{2}}（7）

b={\mathit{X}}_i\left(t\right)+o^{\mathrm{2}}\times \eta \times {\mathit{X}}_{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}\left(t\right)（8）

式中：F(i)表示第i只花斑翠鸟个体的适应度；F_{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}表示花斑翠鸟种群最优解的适应度；\zeta表示[0,1]范围的随机数；\eta表示标准正态分布生成的随机数。

1.3 逃逸阶段

花斑翠鸟与水獭间通过共生关系使双方相互受益，提高其生存能力。花斑翠鸟将猎物从躲藏的地方吓出后水獭进行捕食，同时花斑翠鸟捕捉没有被水獭捕食的猎物，从而达到互惠的效果，上述行为的计算公式如下所示：

{\mathit{X}}_i\left(t+\mathrm{1}\right)=\left\{\begin{array}{cc}{\mathit{X}}_m\left(t\right)+o\cdot \alpha \cdot \mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{s}\left({\mathit{X}}_i\left(t\right)-{\mathit{X}}_n\left(t\right)\right),& \theta >(\mathrm{1}-E);\\ {\mathit{X}}_i\left(t\right),& \mathrm{其他}.\end{array}\right.（9）

o=\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}{\left(\frac{-t}{T_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}\right)}^{\mathrm{2}}（10）

E=E_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}-\left(E_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}-E_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\right)\times \left(\frac{t}{T_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}\right)（11）

式中：i=\mathrm{1,2},\dots ,N;{\mathit{X}}_m\left(t\right)和{\mathit{X}}_n\left(t\right)表示随机选择两只花斑翠鸟个体的空置；\theta表示[0,1]范围的随机数；E表示花斑翠鸟的捕食效率；E_max和E_min表示捕食效率的最大值和最小值，通常设置为0.5和0。

2 多策略改进花斑翠鸟优化算法

2.1 拉丁超立方抽样

拉丁超立方抽样（Latin Hypercube Sampling, LHS）属于一种高维空间统计抽样方法，能够在搜索空间生成分布均匀的样本^[7]。具体步骤为将区间[0,1]均匀划分为n等份，然后在每个子区间\left[\frac{i}{n},\frac{i+\mathrm{1}}{n}\right]随机选择抽样点并进行置换，从而确保每个参数轴分布均匀且不重复。计算公式如下所示：

{\mathit{X}}_i\left(\mathrm{1}\right)=\left(b_{\mathrm{u}}-b_{\mathrm{l}}\right)\times \mathit{\vartheta }+b_{\mathrm{l}}（12）

式中：\mathit{\vartheta }表示拉丁超立方抽样函数生成的向量；b_u和b_l表示搜索空间的上界和下界。

图1和图2分别为随机初始化、LHS初始化分布两种方法的散点图和直方图，通过图1和图2可以看出相较于随机初始化方法，LHS初始化生成样本分布更为均匀。因此，多策略改进花斑翠鸟优化算法使用拉丁超立方体抽样初始化种群，帮助种群在初始化阶段跳出某些个体过度集中的区域，提高算法的整体优化效率。

2.2 非线性惯性权重

非线性惯性权重是调整智能优化算法全局搜索能力和局部开发能力的关键因素。针对迭代后期花斑翠鸟收敛速度变慢的问题，在搜索阶段引入非线性惯性权重自适应调整花斑翠鸟选择栖息和悬停策略的概率，从而起到平衡作用，计算公式如下所示：

w=\mathrm{0.8}-\frac{{\mathrm{e}}^{t·T_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}^{-\mathrm{1}}}-\mathrm{1}}{\mathrm{e}-\mathrm{1}}\times \mathrm{0.5}（13）

非线性惯性权重变化规律如图3所示。算法迭代初期w值较大，花斑翠鸟个体主要利用栖息策略在大范围内进行搜索，提高算法的全局搜索能力。随着迭代次数不断增加，w值呈现减小的趋势，花斑翠鸟个体使用悬停策略的概率不断增加，达到缩小搜索范围的目的，便于算法寻找最优解。非线性惯性权重不仅提高了算法的局部开发能力，而且加快了算法的收敛速度。

2.3 后巩固策略

青蒿素优化算法^[8]是2024年研究人员受到青蒿素治疗疟疾启发而提出的一种智能优化算法。当体内大多数寄生虫被清除时，仍然有一小部分寄生虫对青蒿素产生耐药性。这些寄生虫进入休眠阶段降低其生物活性，使药物难以发挥杀伤作用。如果停止治疗，寄生虫休眠后可能导致疾病复发，因此需要借助后巩固策略清除残余的寄生虫，提高算法跳出局部最优空间的可能性。本文引入青蒿素优化算法的后巩固策略提升算法性能，计算公式如下所示：

（14）

式中，\kappa表示[0,1]范围内的随机数。

2.4 多策略改进花斑翠鸟优化算法流程

本文提出多策略改进花斑翠鸟优化算法，首先采用拉丁超立方抽样方法丰富种群多样性。其次在搜索阶段引入非线性惯性权重加快算法的收敛速度。然后借鉴青蒿素优化算法的后巩固策略，提高算法跳出局部最优空间的可能性。

多策略改进花斑翠鸟优化算法步骤如下。

步骤1：初始化算法参数，包括种群数量、搜索空间维度、最大迭代次数等；

步骤2：使用拉丁超立方抽样方法初始化花斑翠鸟种群；

步骤3：对花斑翠鸟种群适应度进行排序，得出全局最优解{\mathit{X}}_{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}\left(t\right);

步骤4：在搜索阶段，花斑翠鸟种群使用非线性惯性权重交替选择栖息和悬停策略对空间进行搜索；

步骤5：在开发阶段，花斑翠鸟种群使用潜水方式进行狩猎;

步骤6：在逃逸阶段，花斑翠鸟种群通过共生关系捕食猎物进行位置更新;

步骤7：花斑翠鸟种群运用青蒿素优化算法的后巩固策略减少算法陷入局部空间停滞的可能性;

步骤8：判断算法是否达到终止条件，如果达到则输出花斑翠鸟种群最优解位置，否则重复步骤3~步骤7。

3 实验仿真与结果分析

3.1 实验参数设置

选择粒子群算法（Particle Swarm Optimization, PSO）^[9]、正余弦优化算法（Sine Cosine Algorithm, SCA）^[10]、麻雀搜索算法（Sparrow Search Algorithm, SSA）^[11]、灰狼优化算法（Grey Wolf Optimizer, GWO）^[12]、乌燕鸥优化算法（Sooty Tern Optimization Algorithm, STOA）^[13]、花斑翠鸟优化算法（PKO）和多策略改进花斑翠鸟优化算法（IPKO）进行对比。

实验操作系统为Windows 10，CPU为Intel（R）Core（TM）i7-6700HQ，内存为16 GB。所有算法均独立运行50次，种群规模为30，最大迭代次数设置为300，其他参数设置如表1所示。

3.2 测试函数

为验证IPKO的寻优性能，对12个基准测试函数进行仿真实验，前9个为CEC 2022测试函数，后3个为CEC 2020测试函数，测试函数具体信息如表2所示。

其中：F₁~F₃、F₉~F₁₁是单峰测试函数，用于衡量算法收敛速度和准确性；F₄、F₅、F₁₂是混合函数，F₆~F₈是组合函数，具有单个全局最优值和多个局部最优值，用于评估算法的全局搜索能力。

3.3 与其他智能算法的对比分析

将IPKO与其他算法在前9个基准测试函数上进行寻优实验，由于篇幅限制只显示前6个基准测试函数的结果，具体如表3所示。

通过观察表3结果发现，对于F_{\mathrm{1}}，IPKO和SSA、PKO的寻优效果最佳。对于F_{\mathrm{2}}、F_{\mathrm{3}}、F_{\mathrm{4}}、F_{\mathrm{6}}，IPKO的平均值和标准差均优于其他算法。对于F_{\mathrm{5}}，IPKO收敛精度最好，但是标准差略弱于PKO。综合上述分析可以看出IPKO的搜索能力优于其他算法。图4为IPKO与其他智能优化算法对测试函数的收敛曲线。

由于篇幅限制只显示F₃、F₇、F₉的收敛曲线，从图4中可以看出IPKO在函数寻优时收敛精度优于PKO和其他智能优化算法，表明该算法具有良好的寻优能力。

3.4 3种改进策略有效性分析

为验证本文提出3种改进策略的有效性，从第3.2节选择最后3个基准测试函数进行对比实验，将IPKO与采用拉丁超立方抽样方法初始化的花斑翠鸟优化算法（IPKO1）、引入非线性惯性权重的花斑翠鸟优化算法（IPKO2）和融入青蒿素优化算法后巩固策略的花斑翠鸟优化算法（IPKO3）进行比较。实验结果如表4和图5所示。

通过对表4和图5的实验结果进行观察可以看出，对于F_{\mathrm{10}}，IPKO寻优平均值均优于采用单一策略的花斑翠鸟优化算法，但是标准差略弱于IPKO1和IPKO2，强于IPKO3。对于F_{\mathrm{11}}和F_{\mathrm{12}}，IPKO寻优平均值和标准差均优于采用单一策略的花斑翠鸟优化算法。

综上所述，单一策略优化的花斑翠鸟优化算法虽然性能上有一定程度提升但不明显，使用多种改进策略能够有效提高基本花斑翠鸟优化算法的寻优能力。

4 IPKO在工程优化问题的应用

4.1 三杆桁架设计问题

三杆桁架属于结构工程中常见的结构类型,目前在结构建筑和机械设备得到广泛应用。三杆桁架设计优化问题^[14-15]中涉及决策变量为3个杆的横截面积，分别使用变量x_{\mathrm{1}}\mathrm{、}{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{、}{x}_{\mathrm{3}}表示，由对称性得出x_{\mathrm{1}}=x_{\mathrm{3}}，则三杆桁架设计优化问题可简化为调整横截面积x_{\mathrm{1}}和x_{\mathrm{2}}使得三杆桁架体积最小化，约束条件为每个桁架构件受到应力\sigma约束。该优化问题包括1个目标函数、３个不等式约束和2个决策变量，计算公式如下所示：

\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}f\left(x\right)=(\mathrm{2}\sqrt[]{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{1}}+x_{\mathrm{2}})\times l（15）

g_{\mathrm{1}}\left(x\right)=\left(P\frac{\sqrt[]{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{1}}+x_{\mathrm{2}}}{\sqrt[]{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}{x}_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}}-\sigma \right)\le \mathrm{0}（16）

g_{\mathrm{2}}\left(x\right)=\left(P\frac{x_{\mathrm{2}}}{\sqrt[]{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}{x}_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}}-\sigma \right)\le \mathrm{0}（17）

g_{\mathrm{3}}\left(x\right)=\left(P\frac{\mathrm{1}}{\sqrt[]{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{2}}+x_{\mathrm{1}}}-\sigma \right)\le \mathrm{0}（18）

式中：\mathrm{0}\le x_i\le \mathrm{1},i=\mathrm{1,2}；l=\mathrm{100}\mathrm{c}\mathrm{m};P=\mathrm{2}\mathrm{k}\mathrm{N}/\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}};

\sigma =\mathrm{2}\mathrm{k}\mathrm{N}/\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}。

4.2 实验结果与分析

使用PKO和IPKO分别对该问题进行优化，实验结果如图6和表5所示。从图6可以看出，两种算法的适应度随着迭代次数不断增加而减小，最终输出满足约束条件的横截面积参数。相较而言，IPKO在迭代次数为50时已经呈现收敛趋势，收敛速度明显优于PKO。通过分析表5实验结果可以看到IPKO在平均值和标准差两个方面均优于PKO,表明IPKO与PKO相比在收敛精度和稳定性上具有比较优势。

5 结束语

在PKO的基础上，采用拉丁超立方抽样方法初始化丰富种群多样性。其次，在全局搜索和局部开发阶段引入非线性惯性权重，加快算法的收敛速度。然后，借鉴青蒿素优化算法的后巩固策略，提高算法跳出局部最优空间的可能性。最后，对12个基准测试函数进行仿真实验，并与PSO、SCA、SSA、GWO、STOA和PKO等算法对比。实验结果表明，本文算法的寻优精度和收敛速度更为优秀。最后，将其应用于三杆桁架设计问题，结果表明本文算法在工程优化方面的性能优于其他算法，能够有效解决实际工程优化问题。

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