蔡氏电路组在微弱信号检测与参数测量中的应用

Application of Chua’s Circuit Group in Weak Signal Detection and Parameter Measurement

摘要

为降低对先验信息的依赖性，提升在低信噪比条件下的信号检测能力，同时有效刻画出信号的时频关系，利用蔡氏电路对噪声的强免疫性以及对信号初值的敏感性，构建蔡氏电路组并设计对应的信号检测方法。借鉴微积分思想，将复杂调制的待检测信号分割为多段短时线性信号，构建具有5个同步电路的蔡氏电路组，实现信号的高效检测和频率的精确测量。通过仿真实验，验证所提算法的有效性，并给出具有工程实践意义的仿真电路。

Abstract

To reduce the dependence on the prior information, improve the signal detection ability under the condition of low signal-to-noise ratio, and effectively describe the time-frequency relationship of the signal, the strong immunity of Chua’s circuit to noise and its sensitivity to the initial value of the signal are utilized to construct Chua’s circuit group, and to design the corresponding signal detection method. Drawing on the idea of calculus, the complex modulated signal to be detected is divided into multi-segment short-time linear signals, and Chua’s circuit group with five synchronous circuits is constructed. The efficient detection of the signal and the accurate measurement of the frequency are realized. Through simulation experiments, the effectiveness of the proposed algorithm is verified, and the simulation circuit with engineering practical significance is given.

Graphical abstract

关键词

微弱信号检测 / 参数测量 / 蔡氏电路 / 低信噪比 / 自适应

Key words

weak signal detection / parameter measurement / Chua’s circuit / low signal-to-noise ratio / adaptation

现代联合战场环境是集陆、海、空、天、电、网等高度一体化的“全领域”“高立体”的复杂战场环境，战场空间各个层次都呈现出密集、复杂、交错、多变的战场电磁环境，这对于信号的检测特别是微弱信号的检测提出了更加严峻的挑战^[1-3]。微弱信号检测和识别对于快速感知战场环境、分析战场态势从而获得制电磁信息权，并最终为指战员进行决策指挥提供充分的信息具有重要的意义。

近年来，学者们对复杂电磁环境下的弱信号检测问题进行深入探索，并取得丰硕成果^[4-7]。文献[8]基于压缩感知理论，推导出信号与噪声在投影空间中的概率密度分布函数，进而基于Neyman-Pearson准则设计检测器，实现在低信噪比条件下对弱信号的检测。文献[9]将随机共振（Stochastic Resonance, SR）系统的输出作为神经网络（Neural Network, NN）的输入，构建SRNN以实现在-38 dB条件下的高效弱信号检测。然而由于神经网络自身的泛化能力较弱，一旦输入信号与初始训练样本的区别较大时，其检测与识别效能受限。文献[10]利用隐马尔可夫模型（Hidden Markov Model, HMM）建立聚类方案进而识别信号与噪声，实现了在没有先验信息与信号结构未知条件下的检测，其性能接近混合克拉美罗下界（Cramér-Rao Lower Bound, CRLB）。然而该方法对于连续信号的检测效能受限。文献[11]利用信号功率谱密度（Power Spectral Density, PSD）中的丰富信息来检测窄带声纳信号，并证明出黎曼流形中的最优与欧几里得子空间等同，但该方法在低信噪比条件下效能受限。时频分析通过设计一个时间和频率的联合函数，在时间和频率域上描述信号的能量，展示信号的非平稳特性，然而随着信噪比的下降时间与频率分辨率之间此消彼长的矛盾以及性能恶化明显的两个不足限制着时频分析的性能^[12-13]。

针对上述微弱信号检测难、测参误差大等问题，利用微积分思想，将一段信号分割成多段短信号，对蔡氏电路（Chua’s Circuit, CC）的控制律进行改进，提升同步检测实时性，并利用同步电路组的方式，弱化信号检测中覆盖频段与精确性之间的矛盾，同时也能够提升系统整体的处理效率，并构建参数自适应调节流程，降低系统的资源消耗。该算法可实现对于调频信号的准确测量，同时对于定频、线性调频以及非线性调频信号均可使用。

1 蔡氏电路与同步控制

1.1 蔡氏电路

蔡氏电路是一种典型的非线性电路，具有对微弱信号的高敏感性以及对噪声的强免疫性，在信号检测领域中显现出巨大的潜力。学者们将待测信号作为蔡氏电路外加的微小扰动，进而实现对信号的检测。设外加扰动为r(t)=s(t)+n(t)，其中：s(t)是原始信号；n(t)是噪声。其电路图如图1所示。根据基尔霍夫定律以及电容C电感L与电压v电流i的关系，即i=C\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}、v=L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}，t表示时间。

构建图1的状态方程为

\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}{v}_{C_{\mathrm{1}}}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{1}}{R{C}_{\mathrm{1}}}\left(v_{C_{\mathrm{2}}}-v_{C_{\mathrm{1}}}\right)-\frac{\mathrm{1}}{C_{\mathrm{1}}}f\left(v_{C_{\mathrm{1}}}\right);\\ \frac{\mathrm{d}{v}_{C_{\mathrm{2}}}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{1}}{R{C}_{\mathrm{2}}}\left(v_{C_{\mathrm{1}}}-v_{C_{\mathrm{2}}}\right)+\frac{\mathrm{1}}{C_{\mathrm{2}}}{i}_{\mathrm{1}};\\ \frac{\mathrm{d}{i}_{\mathrm{1}}}{\mathrm{d}t}=-\frac{\mathrm{1}}{L}{v}_{C_{\mathrm{2}}}.\end{array}\right.（1）

式中：R为电阻；C_{\mathrm{1}}、C_{\mathrm{2}}分别为两个电容；v_{C_{\mathrm{1}}}、v_{C_{\mathrm{2}}}分别为电容两端的电压；i_{\mathrm{1}}为通过电感L的电流；f(v_{C_{\mathrm{1}}})为非线性电阻R_{\mathrm{N}}的伏安特性函数，其表达式为

（2）

式中，G{}_{\mathrm{a}}{}^{}、G{}_{\mathrm{b}}{}^{}为非线性电阻在不同区域增益的斜率。R_N的伏安特性如图2所示。

进行变量代换，令:

\left\{\begin{array}{l}x=v_{C_{\mathrm{1}}},y=v_{C_{\mathrm{2}}},z=R{i}_{\mathrm{1}};\\ \alpha =\frac{C_{\mathrm{2}}}{C_{\mathrm{1}}},\beta =\frac{R^{\mathrm{2}}{C}_{\mathrm{2}}}{L};\\ m_{\mathrm{0}}=R{G}_{\mathrm{a}},m_{\mathrm{1}}=R{G}_{\mathrm{b}}.\end{array}\right.（3）

则式（1）和式（2）可分别表示为：

\left\{\begin{array}{l}\dot{x}=\alpha \left(y-x-f\left(x\right)\right);\\ \dot{y}=x-y+z;\\ \dot{z}=-\beta y.\end{array}\right.（4）

（5）

1.2 蔡氏电路的同步

为实现对于弱信号的检测与频率测量，构建同步系统，如图3所示。

首先搭建两组初始参数完全相同的蔡氏电路I和II，蔡氏电路I用于外加检测信号，蔡氏电路II作为同步参考系统。当两组系统同步时，参考系统参数改变量即为待检测信号r(t)，从而实现对r(t)的检测与频率的测量。

假设原始信号的表达式为

s\left(t\right)=A_{\mathrm{0}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left[{\omega }_{\mathrm{0}}t+{\phi }_{\mathrm{0}}+g\left(t\right)\right]（6）

式中：A_{\mathrm{0}}为信号幅度；{\omega }_{\mathrm{0}}为信号频率；{\phi }_{\mathrm{0}}为信号相位；g\left(t\right)为调制量。其中，g(t)的表达式为:

g\left(t\right)=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{0};\\ k_{\mathrm{2}}{t}^{\mathrm{2}}+\cdot \cdot \cdot +k_i{t}^i+\cdot \cdot \cdot +k_n{t}^n,n\ge \mathrm{2}.\end{array}\right.（7）

式中，k_i为调制系数。

当g(t)为0时，信号s(t)即为余弦信号；当g(t)形式为k_{\mathrm{2}}{t}^{\mathrm{2}}时，s(t)为线性调频信号；否则s(t)为非线性调频信号。

将式（6）展开可得：

\begin{array}{l}s\left(t\right)=A_{\mathrm{0}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left({\omega }_{\mathrm{0}}t+{\phi }_{\mathrm{0}}\right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left[g\left(t\right)\right]-\\ A_{\mathrm{0}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left({\omega }_{\mathrm{0}}t+{\phi }_{\mathrm{0}}\right)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left[g\left(t\right)\right]\end{array}（8）

当g(t)的调制系数k_i很小或时间t很短时，有:

\left\{\begin{array}{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left[g\left(t\right)\right]\approx \mathrm{1};\\ \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left[g\left(t\right)\right]\approx \mathrm{0}.\end{array}\right.（9）

则原始信号可近似表示为

s\left(t\right)=A_{\mathrm{0}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left({\omega }_{\mathrm{0}}t+{\phi }_{\mathrm{0}}\right)（10）

为实现对微弱信号检测，要求系统电压远大于A{}_{\mathrm{0}}{}^{}，即可将待检测信号视为对于同步系统的微小扰动。从而将信号检测问题转换为两系统同步问题，将变化参数进行代换，实现系统快速同步。

原始信号如式（10）所示，其参数形式符合：

\ddot{s}\left(t\right)={\omega }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}s\left(t\right)（11）

即s(t)是上式方程的解，为便于分析与求解，构建新的一阶微分方程组如下：

\left\{\begin{array}{c}\dot{p}=-q;\\ \dot{q}={\omega }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}p.\end{array}\right.（12）

本研究重点在于信号的检测与频率参数的测量，后续的推导与论述中不涉及幅值与相位。将式（4）与式（12）联立，整合出微分方程组为：

\left\{\begin{array}{l}\dot{x}=\alpha \left(y-x-f\left(x\right)\right);\\ \dot{y}=x-y+z;\\ \dot{z}=-\beta \left(y-p\right);\\ \dot{p}=-q;\\ \dot{q}={\omega }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}p.\end{array}\right.（13）

此处利用二变量单项耦合同步法构建上述系统的参考系统与控制律分别为：

\left\{\begin{array}{l}{\dot{x}}_s=\alpha \left(y_s-x_s-f\left(x_s\right)\right)+u_{\mathrm{1}}\left(t\right);\\ {\dot{y}}_s=x_s-y_s+z_s;\\ {\dot{z}}_s=-\beta \left(y_s-A_s\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left({\omega }_{s}t+{\phi }_s\right)\right);\\ {\dot{p}}_s=-q_s+u_{\mathrm{4}}\left(t\right);\\ {\dot{q}}_s={\omega }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}{p}_s.\end{array}\right.（14）

\left\{\begin{array}{l}{u}_{\mathrm{1}}\left(t\right)=c_{\mathrm{1}}\left(x-x_s\right);\\ u_{\mathrm{4}}\left(t\right)=c_{\mathrm{4}}\left(p-p_s\right).\end{array}\right.（15）

令e_{\mathrm{1}}=x-x_s、e_{\mathrm{2}}=y-y_s、e_{\mathrm{3}}=z-z_s、e_{\mathrm{4}}=p-p_s、e_{\mathrm{5}}=q-q_s，可得系统的误差为：

\left\{\begin{array}{l}{\dot{e}}_{\mathrm{1}}=\alpha \left(e_{\mathrm{2}}-e_{\mathrm{1}}-\left(f\left(x\right)-f\left(x_s\right)\right)\right)-u_{\mathrm{1}}\left(t\right);\\ {\dot{e}}_{\mathrm{2}}=e_{\mathrm{1}}-e_{\mathrm{2}}+e_{\mathrm{3}};\\ {\dot{e}}_{\mathrm{3}}=-\beta e_{\mathrm{2}}+e_{\mathrm{4}};\\ {\dot{e}}_{\mathrm{4}}=-e_{\mathrm{5}}-u_{\mathrm{4}}\left(t\right);\\ {\dot{e}}_{\mathrm{5}}={\omega }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{4}}.\end{array}\right.（16）

由于两系统初始参数相同，且f(x)为分段连续函数，可得：

f\left(x\right)-f\left(x_s\right)=m\left(x-x_s\right)=m{e}_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{0}}\le m\le m_{\mathrm{1}}（17）

式（16）可以表示为

\left\{\begin{array}{l}{\dot{e}}_{\mathrm{1}}=-\left(\alpha +\alpha m+c_{\mathrm{1}}\right)e_{\mathrm{1}}+\alpha e_{\mathrm{2}};\\ {\dot{e}}_{\mathrm{2}}=e_{\mathrm{1}}-e_{\mathrm{2}}+e_{\mathrm{3}};\\ {\dot{e}}_{\mathrm{3}}=-\beta e_{\mathrm{2}}+e_{\mathrm{4}};\\ {\dot{e}}_{\mathrm{4}}=-e_{\mathrm{5}}-c_{\mathrm{4}}{e}_{\mathrm{4}};\\ {\dot{e}}_{\mathrm{5}}={\omega }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{4}}.\end{array}\right.（18）

因此，混沌同步问题就转换为系统误差在原点的稳定性问题。

2 基于蔡氏电路组的信号检测方法

2.1 蔡氏电路组的构建

根据上文论述，当g(t)的调制量k_i很小或者时间t很短时，信号可近似看作为式（10）。为此，借鉴微积分的思想，将一段信号分割为多段短时信号，利用蔡氏电路组对每一段信号进行测量，记录下每一段的频率参数，再将测量结果按照时序整合，从而实现对弱信号的检测与频率参数的测量。

由于蔡氏电路的频率响应为窄带响应，而调频信号其频率变化范围较大。借鉴机载雷达上多普勒滤波器组的设计理念，利用组的方式弱化覆盖频段与精确性之间的矛盾，提升信号检测的准确性与实时性，同时也为后续的自适应参数调节提供数据参考。构建蔡氏电路组进行信号检测，其示意图如图4所示。

将r(t)按照时间顺序均匀切割成l段短时信号\mathrm{\Delta }r(t_{\mathrm{1}})，\mathrm{\Delta }r(t_{\mathrm{2}})，…，\mathrm{\Delta }r(t_l)，对应的时间段分别为\mathrm{\Delta }{t}_{\mathrm{1}}，\mathrm{\Delta }{t}_{\mathrm{2}}，…，\mathrm{\Delta }{t}_l，将\mathrm{\Delta }{r}_k(t)（\mathrm{1}\le k\le l）作为外加扰动源，分别输入初始同步频率近似但不相同的n组同步电路中。同步电路I的同步频段为[{\omega }_s,{\omega }_s+\mathrm{\Delta }\omega ]，同步电路II的同步频段为[{\omega }_s+\mathrm{\Delta }\omega ,{\omega }_s+\mathrm{2}\mathrm{\Delta }\omega ]，依此类推，电路组即可覆盖[{\omega }_s,{\omega }_s+n\mathrm{\Delta }\omega ]频宽。当要检测外加信号时，首先对待检测信号的初始频率进行估计，调整电路组的初始参数使其落在频段内，根据每一组同步电路的输出结果进行处理，实现对于信号的检测与频率参数的测量。

2.2 频率测量方法

由于每组同步电路的初始参数与分段信号\mathrm{\Delta }r(t)的差距各不相同，导致每组同步电路的初始误差也不相同。为此，可根据误差的不同来测量待检测信号的频率，计算每一组同步电路误差的平方和，即：

\left\{\begin{array}{c}{E}_{\mathrm{1}}=e_{\mathrm{11}}^{\mathrm{2}}+e_{\mathrm{12}}^{\mathrm{2}}+e_{\mathrm{13}}^{\mathrm{2}};\\ E_{\mathrm{2}}=e_{\mathrm{21}}^{\mathrm{2}}+e_{\mathrm{22}}^{\mathrm{2}}+e_{\mathrm{23}}^{\mathrm{2}};\\ ⋮\\ E_n=e_{n\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+e_{n\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+e_{n\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}.\end{array}\right.（19）

上式作为评判指标，用以后续的参数测量。当待检测信号频率参数不变时，n组同步电路中可能存在一组或两组的误差最小，选取最早稳定同步后的系统频率参数，即为待检测信号的频率{\omega }_x。

当待检测信号为调频信号时，利用泰勒级数对式（7）在t_T处进行展开可得：

g\left(t\right)=\mathrm{2}{k}_{\mathrm{2}}\left(t-t_T\right)+o\left(t^{\mathrm{2}}\right)（20）

式中，o(t^{\mathrm{2}})为高阶无穷小的皮亚诺余项。因为时间较短，所以信号的调制主要以线性或非线性中的近似线性部分为主，即待检测信号为调频信号时，可将其视为线性调频信号进行处理。

虽然将原始信号分割为短时信号，但待检测信号在短时间段内频率依旧会改变。为方便说明，选取5组同步电路进行仿真，输入无噪声的线性调频信号，将其同时输入到5组同步电路中，其初始频点落在第3个同步系统范围内。在仿真时长的0.3 s内，信号频点从初始的处于第3组同步系统的频段[{\omega }_s+\mathrm{2}\mathrm{\Delta }\omega ,{\omega }_s+\mathrm{3}\mathrm{\Delta }\omega ]内线性下降到第1组同步系统的频段[{\omega }_s,{\omega }_s+\mathrm{\Delta }\omega ]。结合式（19）得到5组同步系统的误差分布，如图5所示。图5由下至上依次为第1组到第5组的误差变化曲线。通过图5可以明显看出，初始阶段同步电路III的误差最小，随着外加信号频率的降低，同步电路II的误差最小，最终同步电路I的误差最小。

由于待检测信号初始频点在第3组同步系统[{\omega }_s+\mathrm{2}\mathrm{\Delta }\omega ,{\omega }_s+\mathrm{3}\mathrm{\Delta }\omega ]频段内，因此，同步电路III初始误差应为最小，其误差最先接近于0。而随着待检测信号频率{\omega }_x的降低，当{\omega }_x落在同步电路II频段[{\omega }_s+\mathrm{\Delta }\omega ,{\omega }_s+\mathrm{2}\mathrm{\Delta }\omega ]中时，由于之前同步电路II的参数已经逐步调整，此时与待检测信号的频率{\omega }_x接近，此时同步电路II的误差最小且最接近于0，且由于此时{\omega }_x已经不在同步电路III的频段[{\omega }_s+\mathrm{2}\mathrm{\Delta }\omega ,{\omega }_s+\mathrm{3}\mathrm{\Delta }\omega ]内，同步电路III的误差呈现出增长的趋势。而随着{\omega }_x的进一步下降，{\omega }_x逐步落在同步电路I的频段内，其误差明显下降，这段时间内同步电路I的误差最小且最接近于0，且此时的{\omega }_x不在同步电路II频段内，因此，同步电路II的误差会上升。同样地，因为{\omega }_x偏离同步电路III的频段越来越远，虽然同步电路III能够逐步调节自身的参数，可由于外加信号的频率在改变，且同步系统本身也有延迟，同步电路III的误差虽然会下降，但难以接近于0，且会高于同步电路II的同步误差。由于信号并没有落在或趋向于同步电路IV和V所在的频段，因此，这两组误差始终较大，难以接近于0。上述仿真结果与分析说明不同同步电路对同一个信号的误差响应是不同的，这种区别不仅体现在某一时刻，而且是一种连续的情况。因此，可以利用此特性对信号频率进行测量。

为测量某一段短时调频信号\mathrm{\Delta }r(t)的频率，可在\mathrm{\Delta }t时间内均匀选取m个时刻，分别读取出每一时刻n组同步系统的误差，并取最小值E_{i\_\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}（\mathrm{1}\le i\le m），即：

\left\{\begin{array}{c}{E}_{\mathrm{1}\_\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(E_{\mathrm{11}},E_{\mathrm{12}},\dots ,E_{\mathrm{1}n}\right);\\ E_{\mathrm{2}\_\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(E_{\mathrm{21}},E_{\mathrm{22}},\dots ,E_{\mathrm{2}n}\right);\\ ⋮\\ E_{m\_\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(E_{m\mathrm{1}},E_{m\mathrm{2}},\dots ,E_{mn}\right).\end{array}\right.（21）

将得出的每一个最小值所对应的同步电路的编号记为j，并读取出第j组同步电路所对应频段的中心频点（{\omega }_s+(j-\mathrm{0.5})\mathrm{\Delta }\omega），以此记为{\omega }_i（\mathrm{1}\le i\le m）。最终对m组测量结果取均值为

{\omega }_e=\frac{\mathrm{1}}{m}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^m}{\omega }_i（22）

上述表达式即为此时间段待检测信号的近似频率{\omega }_e，从而实现对于此短时间段内的频率测量。同时，从上述流程可以看出，当外加信号为调频信号时，系统参数时刻调整，不可能达到同步。然而本算法并非记录系统稳定时的频点，而是根据前文所设计的控制律，使系统快速地趋近稳定，记录误差最小的点近似为实际频点。即所提算法只要求同步速率尽可能快，但系统同步并没有特别要求，可将限定条件放宽，这是本算法的一大优势。

2.3 参数自适应调节流程

在条件允许的情况下，虽然能够构建一个具有足够多同步电路的信号检测系统，然而这样必然会造成硬件资源的浪费，同时消耗大量的计算资源和时间，系统性价比较低。为此，构建一套参数自适应调整流程，利用较少的电路实现对于调频信号的检测。设第一段短时间\mathrm{\Delta }{t}_{\mathrm{1}}内测量出的待检测信号频率为{\omega }_{e\mathrm{1}}，设式（22）中求和的最后一项，即\mathrm{\Delta }{t}_{\mathrm{1}}内最后测量得到的频率参数{\omega }_m为{\omega }_{m\mathrm{1}}。为论述清晰，假设n为奇数，令z=(n+\mathrm{1})/\mathrm{2}。当n为偶数时，检测过程可简单调整，后文不再赘述。

参数自适应流程的核心是：记录第i段时间内最后一个测量时刻测量出的频率{\omega }_{mi}，并作为检测下一段短信号\mathrm{\Delta }r(t_{i+\mathrm{1}})时检测系统的中心频率，即同步电路z的中心频率。在实现对每一段信号进行检测时，中心频点均可自适应地初始化为与此段待检测信号频点近似的频点，以确保测量的准确性。构建参数自适应调节流程，实现对信号r(t)的检测与频率参数的测量。

步骤1：初始化系统参数，即得到系统在第一段时间内测量的结果{\omega }_{e\mathrm{1}}和{\omega }_{m\mathrm{1}}，令计数常量i初始值为1。

步骤2：判断循环中计数常量i的值是否大于待检测信号的分段数l，即流程的终止条件。如果大于分段数j，即系统完成对每一段短信号的测量，则输出所有的测量结果，否则开始下一次的测量，转到步骤3。

步骤3：读取测量上一段信号时，最后一次测量的频率参数{\omega }_{mi}，调整检测系统的中心频点，即第z个同步电路的中心频率{\omega }_{i+\mathrm{1}}，使其等于{\omega }_{mi}。

步骤4：调整检测系统参数，使检测系统中各组电路的中心频点依次为{\omega }_{i+\mathrm{1}}-(z-\mathrm{1})\mathrm{\Delta }\omega、{\omega }_{i+\mathrm{1}}-(z-\mathrm{2})\mathrm{\Delta }\omega、…、{\omega }_{i+\mathrm{1}}+(z-\mathrm{2})\mathrm{\Delta }\omega、{\omega }_{i+\mathrm{1}}+(z-\mathrm{1})\mathrm{\Delta }\omega，从而得到对信号\mathrm{\Delta }r(t_{i+\mathrm{1}})的信号检测系统。

步骤5：根据上一节测量方法，对信号\mathrm{\Delta }r(t_{i+\mathrm{1}})进行检测并测量其参数，得到此段短信号的实测频点{\omega }_{ei+\mathrm{1}}与最后一次测量的频率{\omega }_{mi+\mathrm{1}}，其中{\omega }_{mi+\mathrm{1}}用以调整下一次系统的参数，计数常量i的值加1，转入步骤2。

2.4 信号检测流程

构建基于蔡氏电路组的弱信号检测与参数测量流程，如下所示。

步骤1：将待检测信号r(t)分割为l段，并估计信号的初始频点用以初始化系统参数。

步骤2：检测第一段信号\mathrm{\Delta }r(t_{\mathrm{1}})，得到测量参数{\omega }_{e\mathrm{1}}和{\omega }_{m\mathrm{1}}。

步骤3：利用{\omega }_{e\mathrm{1}}和{\omega }_{m\mathrm{1}}初始化自适应系统的参数，检测剩余的信号段。

步骤4：对测量所得到的每段信号频率{\omega }_{e\mathrm{1}}进行滤波。

步骤5：将滤波后的测量频点与其测量时间点对应，绘制时频曲线。

上述流程中蔡氏电路组的数量n、信号的分段数l、每一次测量的点数m、每一组同步电路覆盖的频段范围\mathrm{\Delta }\omega这4个参数与实际的硬件条件及待检测信号的参数相关，可根据客观条件设定参数，后文仿真中会给出计算机仿真与电路仿真的具体参数，以作参考。

3 仿真验证

本节构建的检测系统对于同步速率要求较高，而蔡氏电路的同步速率与选用的元器件性能高度相关，利用不同性能的元器件所搭建的同步电路组，测量得到的结果可能差别较大，难以有效说明所提方法优势。为此，首先利用Matlab进行仿真，即忽略元器件性能差异所造成的影响，研究系统的理想性能，然后搭建一套具有5组同步电路的硬件测量系统，为后续工程实践提供参考借鉴。

3.1 可行性验证

为验证方法的可行性，直接对非线性调频信号进行频率测量，设待检测信号样式为

r\left(t\right)=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\mathrm{20}+\mathrm{40}t+\mathrm{20}{t}^{\mathrm{2}}+\mathrm{300}{t}^{\mathrm{3}}\right)（23）

信号时长为1 s，采样频率为10 kHz，分段数为100，每一段短信号中测量5次，采用5组同步电路，每组同步电路覆盖频段为10 Hz，初始覆盖频段范围为[\mathrm{0,50}]Hz，噪声为0。混沌参数分别为\alpha =\mathrm{9.8}、\beta =\mathrm{14.87}、m_{\mathrm{0}}=-\mathrm{1.27}、m_{\mathrm{1}}=-\mathrm{0.68}、{\omega }_{\mathrm{0}}=\mathrm{1}、c_{\mathrm{1}}=\mathrm{12.7}、c_{\mathrm{4}}=\mathrm{2}，系统初始值x(\mathrm{0})=x_s(\mathrm{0})=\mathrm{0.022}、y(\mathrm{0})=y_s(\mathrm{0})=-\mathrm{0.025}、z(\mathrm{0})=z_s(\mathrm{0})=\mathrm{0.01}，仿真环境为Intel(R) Core(TM) i5-4570、主频3.20 GHz、内存4 GB的联想PC。

利用所构建的测量系统对信号进行处理，同时对原始信号进行短时傅里叶变换（Short-Time Fourier Transform, STFT），结果如图6所示。

通过仿真对比可以看出，非线性调频信号的STFT存在时频分辨率之间的矛盾，难以直观详细地观察与测量出信号的频率。图6（c）为本节所提方法测量结果，将其初始阶段结果放大在图6（d）中进行展示，可以看出本节所提算法所得结果与图6（a）中的参数基本接近，为定量衡量所提算法，图6（e）给出了所提算法的误差曲线，其量级远小于实际参数。仿真结果表明，对于调频信号而言，信号检测系统具有一定的适用性。同时，所提方法可以通过增加同步电路组的数量以降低覆盖频段等方式，继续提升测量效能。为此，将所提方法与现有研究结果进行对比，定量衡量与评判所提算法的性能。

3.2 算法性能对比

对比参考文献[14]中IF估计的相对误差（Relative Error of the IF Estimation, REIF）的仿真结果，设置待检测信号参数与该文献中的参数相同，但将信噪比整体降低17 dB，同步电路组的参数与上一节中相似，对不同信噪比进行200次蒙特卡洛仿真实验，借鉴该文献中的REIF评估方法效能，得到仿真结果如图7所示。将所提方法信噪比降低17 dB后，方法效能与文献[14]结果近似。因为文献[14]基于时频分析，而时频分析性能随着信噪比的降低算法效能明显下降，而非线性电路具有对噪声的强免疫性，更加适用于低信噪比的条件。

对比文献[15]中IF估计的均方误差（Mean Square Error, MSE）仿真结果，将其环境噪声在降低19 dB后，参数设置相同，同样利用MSE作为评判标准，对不同信噪比条件下进行200次蒙特卡洛仿真实验，得到的仿真结果如图8所示。

借鉴文献[16]所得结果，将其进行转换得到对频率估计的MSE，与所提方法进行对比，其检测效能可提升约14 dB。仿真结果对比表明，利用蔡氏电路对噪声的免疫性以及对初值信号的敏感性，可以大幅度提升对于弱信号的检测能力。

3.3 电路的实现

为实现对应的同步电路，需要构造一个五维的微分方程组。为此，利用电压跟随器、反相加法器模块、积分器模块、反相器等模块组合实现，同步电路组如图9所示。将待检测信号加载在电源上，将第2.2节的频率测量方法写入数字信号处理器（Digital Signal Processing, DSP）中，即可实现对信号的检测及频率参数的测量。

设待检测信号为

r\left(t\right)=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\mathrm{5}t+\mathrm{40}{t}^{\mathrm{2}}\right)+n\left(t\right)（24）

信号的时长为10 s，采样频率为1 kHz，分段数为100，每一段短信号中测量5次，采用5组同步电路，每组同步电路覆盖频段为10 Hz，初始覆盖频段范围为[\mathrm{0,50}]Hz，噪声为-27 dB。将测量结果记录并与原始参数对比，如图10所示。从图10（b）可以看出，所提方法可以实现在低信噪比条件下对弱信号的检测。当待检测信号为LFM信号时，由于上一节的参数自适应调整系统，该测量方法的误差会逐步降低，相当于对信号的频率进行预判，从而得到更良好的结果。

4 结束语

构建基于蔡氏电路组的弱信号检测与参数测量系统，利用蔡氏电路对噪声的强免疫性与对信号初值的敏感性，能够有效地在强噪声背景下对弱信号进行检测并测量其频率参数。借鉴微积分的思想，将待检测信号切割成多段短信号，并结合滤波器组的思想，构建蔡氏电路组，根据组内不同参考频率的蔡氏电路对每一段短信号的反馈结果，实现对每一段短信号的测量。改进了同步电路的控制律，构建了系统参数自适应调整流程，弱化了测量精度与实时性之间的矛盾。同时，所提方法不需要了解或估计信号的频率调制方式，可直接测量出信号每一个小段时间内的频率。

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基金资助

国家社会科学基金(2023-SKJJ-C-054)