基于虚拟多通道的时间调制超表面DOA估计方案

Virtual Multi-channel Direction of Arrival Estimation for Time-varying Metasurfaces

摘要

针对现有时间维度波达方向（DOA）估计方案复杂度高和精度低的问题，提出一种基于虚拟多通道的时间调制超表面（TVM）DOA估计方案。该方案首先利用TVM的谐波效应，设计周期调制函数对入射信号进行调制，将单通道接收信号映射到多阶谐波之上，以此等价多通道接收信号；其次，设计正交方向图对信号进行接收，获得相互独立的虚拟多通道信号；最后，获得通过与调制函数相关的傅里叶系数矩阵估计出自相关矩阵，利用多信号分类（MUSIC）算法进行DOA估计。仿真结果表明，设计的DOA估计方案可以较好地实现单通道的DOA估计，能够最大程度逼近基于多通道阵列的DOA算法估计性能。

Abstract

To address the problems of high complexity and low accuracy associated with existing time-domain direction of arrival (DOA) estimation schemes, a novel approach based on virtual multi-channel in time-varying metasurface (TVM) is proposed. The harmonic properties of TVM are exploited in this method, with the incident signal being modulated by a periodic modulation function. This modulation maps the single-channel received signal to multiple harmonics, effectively equivalent to multi-channel reception by distributing the single-channel signal across multiple harmonic orders. Subsequently, an orthogonal pattern is designed to receive the signal, resulting in the acquisition of mutually independent virtual multi-channel signals. The autocorrelation matrix is then estimated using the Fourier coefficient matrix related to the modulation function, and the multi-signal classification (MUSIC) algorithm is employed for DOA estimation. Numeric simulations have demonstrated the validity of the virtual multi-channel scheme. The performance of this approach closely approximates that of DOA estimation based on multi-channel arrays.

Graphical abstract

关键词

DOA估计 / 时间调制超表面 / 多信号分类算法

Key words

DOA estimation / time-varying metasurface / multiple signal classification

0 引言

波达方向（Direction of Arrival, DOA）估计是雷达和无线通信中的一项关键技术,在阵列信号处理、传感器网络、遥感等领域得到了广泛的研究。例如，在卫星移动通信^[1]中，需要获得DOA估计辅助形成高精确度的定向波束。在智能天线技术中^[2]，DOA估计有助于引导波束形成，从而实现大容量通信。特别是随着物联网和第六代通信技术（6G）的快速发展，对低功耗、高数据速率的通信需求日益增加，这将进一步增加对DOA估计技术的需求^[3]。

根据估计所需数据维度不同，DOA估计方法可以分为两类。一类是多通道DOA估计，天线阵列中每个阵元后接一个射频链路，这必然导致复杂的硬件结构以及很高的功耗。在过去的研究中已经开发了许多DOA估计算法，这些算法主要利用多通道之间的相位差、振幅差或时间差来估计入射方向，保证了DOA估计的估计精度。经典算法包括以多信号分类（Multiple Signal Classification, MUSIC）算法^[4]和通过旋转不变性技术估计信号参数算法^[5]。后续还提出了子空间拟合类算法，如最大似然^[6]以及加权子空间拟合算法^[7]；此外以正交匹配追踪算法^[8]为代表的压缩感知算法已被用于从稀疏信号中恢复DOA。另一类是单通道DOA估计，整个天线阵列中只后接一个射频链路，具有结构简单、功耗低的优势。单通道估计算法主要包括利用音码复用的Watson-Watt方法^[9]、伪多普勒方法^[10]和干涉仪方法^[11]等。然而，这些方法存在精度低、计算复杂度高或抗干扰能力弱等问题。时间调制阵列增加了时间维度从而改善了单通道DOA估计精度低的问题^[12-14]，引起了人们的极大关注。然而，现有的方法依然存在很大的局限性，一是实现高性能DOA估计时计算复杂度的增加^[12]；二是在信噪比较低时，高次谐波的测量误差过大影响DOA估计精度^[13]；三是需要一个高速射频开关来满足理想的方波函数^[14]。

近年来，超表面作为一种主动调控电磁波振幅、相位和极化的新型材料受到了广泛的关注^[15]。超表面以其低成本、低功耗和硬件结构简单的优势，在多个领域都有着极其重要的应用^[16]。例如在可编程全息成像^[17]、可重构波束赋形^[18]、卫星移动通信^[19]以及合成孔径雷达系统^[20]等多个领域都进行了深入的研究。特别的，文献[21]在超表面设计时引入了时间维度提出了时间调制超表面（Time-varying Metasurface, TVM）的概念，为电磁波调控提出了新的自由度。具体而言，文献[22]提出了一种基于TVM的DOA估计方法，通过每列单元接收信号时延构建多通道数据，通过推导时延和方向的关系实现一维DOA估计，但是该方案估计精度低，工作带宽窄。文献[23]提出了利用一系列的随机双波束构建多通道数据，但是其计算复杂度较高。文献[24]提出利用入射信号功率构建多通道数据，并采用了正交匹配追踪算法实现了DOA，但精度有待提高。

针对以上问题，设计了一种基于虚拟多通道的时间调制超表面DOA估计方案。该方案设计时间调制函数对单通道信号进行调制分解，构建虚拟多通道，获得多维信号接收空间。然后设计了一种方向图正交的机制，保证能从拓展的频谱中恢复出相互独立的虚拟多通道信号。最后设计基于虚拟多通道的MUSIC算法恢复获得DOA估计结果。仿真结果表明了本文方案具有较高的估计精度，能够逼近传统多通道天线阵列DOA估计能力。

1 系统模型

考虑一个M列的TVM，相邻列单元间距为d，假设每列单元均由同一信号控制，每个TVM单元通过对变容二极管施加控制电压动态地控制元件的反射系数，如图1所示。因此整个超表面可以等效为阵列单元间距为d、阵元数为M的天线阵列。

考虑远场发射器发射的载频为f_c 的L个独立的同频窄带信号，其第m列单元的接收信号可表示为

x_m\left(t\right)={\displaystyle \sum _{l=\mathrm{1}}^L}{s}_l\left(t\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\mathrm{2}\mathrm{\pi }{f}_{c}t}{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\beta \left(m-\mathrm{1}\right)d\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_l}+n_m\left(t\right)（1）

式中：s_l （t）是来自θ_l 的窄带信号；\beta =\mathrm{2}\mathrm{\pi }/\lambda是频率为f_c 的波数；n_m （t）是零均值高斯白噪声，方差为σ²。因此在单通道模型中，接收信号y（t）可以表示为

y\left(t\right)={\displaystyle \sum _{m=\mathrm{1}}^M}{\Gamma }_m\left(t\right)x_m\left(t\right)（2）

式中：Γ_m (t)为第m列中的周期时间调制函数，可以表示为各阶谐波的线性组合：

{\Gamma }_m\left(t\right)={\displaystyle \sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}}{c}_{mk}{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\mathrm{2}\mathrm{\pi }k{f}_{\mathrm{0}}t}（3）

式中：f₀表示调制频率；c_mk 表示Γ_m (t)的第k阶傅里叶系数，有

c_{mk}=\frac{\mathrm{1}}{T_{\mathrm{0}}}{\int }_{\mathrm{0}}^{T_{\mathrm{0}}}{\Gamma }_m\left(t\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\mathrm{2}\mathrm{\pi }k{f}_{\mathrm{0}}t}\mathrm{d}t（4）

式中：T_{\mathrm{0}}=\mathrm{1}/f_{\mathrm{0}}表示调制周期。综上所述，接收信号可以表示为

y\left(t\right)={\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{+\infty }}{\displaystyle \sum _{l=\mathrm{1}}^L}\left({\displaystyle \sum _{m=\mathrm{1}}^M}{c}_{mk}{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\beta \left(m-\mathrm{1}\right)d\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_l}\right)s_l(t){\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\mathrm{2}\mathrm{\pi }k{f}_{\mathrm{0}}t}+n\left(t\right)（5）

由式（5）可知，由于超表面的时间调制，入射信号会产生一种非线性现象，其特征是在基波分量之外会产生大量的谐波，即信号频谱分布在f_c+k{f}_{\mathrm{0}},k\in \left\{-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }\right\}无穷多个频点上。同时，不同阶谐波所对应的方向图也不同，第k阶谐波方向图等效表示为

{\phi }_k(\theta )={\displaystyle \sum _{m=\mathrm{1}}^M}{c}_{mk}{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\beta \left(m-\mathrm{1}\right)d\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta }（6）

由此可见，入射信号的不同阶谐波被不同的方向图进行接收。因此，每个谐波分量对应于一个信道接收,从而虚拟多通道信号接收。基于此本文提出了基于虚拟多通道的时间调制超表面DOA估计方案，在必须确保所使用的谐波分量的能量占比最大化的同时，同时保证对应方向图之间的正交性和高增益。正交性保证了估计自由度；高增益性保证了所有角度的估计性能。

2 所提方案

基于虚拟多通道的时间调制超表面DOA估计方案流程如图2所示。首先，设计基于TVM的时间调制函数，获得相同增益的频率响应，并且充分利用谐波能量保证信号接收效果；其次，设计正交方向图以提供DOA估计所需自由度，并使其增益平均来获得整个空域的信号接收；最后，根据上述设计获得虚拟多通道信号接收，并设计一种基于虚拟多通道的MUSIC算法，实现了DOA估计。

2.1 时间调制函数设计

因此本文设计奈奎斯特脉冲作为时间调制函数，其是辛格函数的常用逼近函数^[25]:

r\left(t\right)=A_n\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}c\left(\mathrm{2}\mathrm{\pi }t/{\tau }_n\right)\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\mathrm{2}{\rho }_n\mathrm{\pi }t/{\tau }_n\right)}{\mathrm{1}-{\left(\mathrm{4}{\rho }_{n}t/{\tau }_n\right)}^{\mathrm{2}}}（7）

式中：A_n 为脉冲在t=\mathrm{0}时的幅度；τ_n 为脉冲宽度；ρ_n 为滚降因子。其频谱为近似的门函数可以实现谐波的能量集中，并且保证谐波幅度相同。

随后将r(t)以T₀为周期进行延拓，获得TVM第1列的时间调制函数：

{\Gamma }_{\mathrm{1}}(t)=r(t+n{T}_{\mathrm{0}})（8）

根据傅里叶变换性质，时域周期延拓对应频域抽样，因此得到以f_{\mathrm{0}}=\mathrm{1}/T_{\mathrm{0}}为间隔的抽样频谱。构造过程如图3所示。

其中第1列傅里叶系数可以表示为

（9）

式中：{\xi }_n=\frac{{\tau }_n}{T_{\mathrm{0}}}；{\overline{w}}_{\mathrm{1,2}}=\frac{T_{\mathrm{0}}(\mathrm{1}\pm {\rho }_n)}{{\tau }_n}。τ_n 决定有多少阶谐波处于频谱平坦区域内；ρ_n 的大小影响着频谱衰减部分所占的宽度。

2.2 正交方向图设计

相同的时间调制函数频域振幅决定了方向图增益的平均，正交方向图可以描述为谐波对应方向图主瓣指向不同的方向。波束扫描可以通过对天线单元施加额外相移实现主瓣波束的搬移，该过程可以表示为

{\phi }_k(\theta )={\displaystyle \sum _{m=\mathrm{1}}^M}A{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\beta \left(m-\mathrm{1}\right)d\left(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta +\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{\mathrm{0}}\right)}（10）

考虑参考波束扫描原理实现正交方向图，因此式（10）与式（6）等价，联立可得

c_{mk}=A{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\mathrm{\pi }\left(m-\mathrm{1}\right)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{\mathrm{0}}}（11）

式中：A表示振幅，由第2.1节给出；{\mathrm{e}}^{j\left(m-\mathrm{1}\right)\mathrm{\pi }\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{\mathrm{0}}}表示相位。此时傅里叶系数等价于波束扫描原理中的加权系数。傅里叶系数中相位由时域函数的时移产生，可以描述为

f\left(t+t_m\right)\stackrel{\mathrm{ℱ}}{\leftrightarrow }{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}w{t}_m}F\left(jw\right)（12）

联立式（11）和式（12）可得

t_m=\left(m-\mathrm{1}\right)\frac{T_{\mathrm{0}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{\mathrm{0}}}{\mathrm{2}}（13）

此时时间调制函数可以写为

{\Gamma }_m\left(t\right)={\Gamma }_{\mathrm{1}}\left(t-t_m\right)（14）

由式（13）可以看出，当TVM以第1列为基，每列依次时移(T_{\mathrm{0}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{\mathrm{0}})/\mathrm{2}时，频域方向图峰值指向会移位θ₀。特别的，对于M列均匀阵列而言，当t_m=T_{\mathrm{0}}/M时，可以获得正交方向图，此时每个子表面的方向图峰值与其余子表面的零陷重合。图4给出了8列TVM所对应方向图

2.3 基于虚拟多通道的MUSIC算法

根据奈奎斯特定理，当调制频率f₀大于或等于信号S(t)的带宽时，边带之间不存在重叠，每个边带信号和中心频率信号都可以用滤波器分离。

因此，根据上述调制函数和正交方向图设计，在单通道接收机中，接收信号经过低噪声放大器、混频器、低通滤波器，然后过模拟数字转换器进行采样得到谐波分量γ_k。第k阶谐波分量可以表示为

{\gamma }_k\left(t\right)={\displaystyle \sum _{l=\mathrm{1}}^L}{\displaystyle \sum _{m=\mathrm{1}}^M}{c}_{mk}{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\beta \left(m-\mathrm{1}\right)d\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_l}{s}_l\left(t\right)+n\left(t\right)（15）

每阶谐波分量可以等价成一个通道的接收信号，因此\mathit{\gamma }\left(t\right)={\left[{\gamma }_{-K}\left(t\right),\cdots ,{\gamma }_k\left(t\right),\cdots ,{\gamma }_K\left(t\right)\right]}^{\mathrm{T}}为等效多通道信号，可以表示为

\mathit{\gamma }\left(t\right)={\mathit{C}}^{\mathrm{T}}\left(\mathit{A}s\left(t\right)+N\left(t\right)\right)（16）

式中：\mathit{A}=\left[\mathit{\alpha }({\theta }_{\mathrm{1}}),\cdots ,\mathit{\alpha }({\theta }_L)\right]为阵列流形矩阵；\mathit{\alpha }(\theta )={\left[\mathrm{1},\cdots ,{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\beta d\left(M-\mathrm{1}\right)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta }\right]}^{\mathrm{T}}远场信号导向矢量；\mathit{C}\in {\mathbb{C}}^{M\times x\left(\mathrm{2}K+\mathrm{1}\right)}为傅里叶系数矩阵；T表示矩阵转置；K为傅里叶系数最高阶。傅里叶系数矩阵由下式给出

\mathit{C}=\left[\begin{array}{ccc}{c}_{\mathrm{1}\left(-K+\mathrm{1}\right)}& \cdots & c_{M\left(-K+\mathrm{1}\right)}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ c_{\mathrm{1}K}& \cdots & c_{MK}\end{array}\right]（17）

在实际应用中，假设数据快拍数为NN，则协方差矩阵由接收数据的有限长度估计。因此，信号协方差矩阵可以表示为：

\begin{array}{l}{\widehat{\mathit{R}}}_{YY}=\frac{\mathrm{1}}{NN}{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{NN}}\mathit{\gamma }\left(n\right){\mathit{\gamma }}^{\mathrm{H}}\left(n\right)=\\ {\mathit{C}}^{\mathrm{T}}\mathit{A}{\widehat{\mathit{R}}}_{ss}{\mathit{A}}^{\mathrm{H}}{\left({\mathit{C}}^{\mathrm{T}}\right)}^{\mathrm{H}}+{\sigma }^{\mathrm{2}}\mathit{I}\end{array}(18)

{\widehat{\mathit{R}}}_{ss}=\frac{\mathrm{1}}{NN}{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{NN}}s\left(n\right)s^{\mathrm{H}}\left(n\right)(19)

式中，H表示矩阵共轭转置。对{\widehat{\mathit{R}}}_{YY}进行特征值分解，可得

{\widehat{\mathit{R}}}_{YY}={\mathit{U}}_{\mathrm{s}}{\lambda }_{\mathrm{s}}{\mathit{U}}_{\mathrm{s}}^{\mathrm{H}}+{\mathit{U}}_{\mathrm{N}}{\lambda }_{\mathrm{N}}{\mathit{U}}_{\mathrm{N}}^{\mathrm{H}}（20）

式中： U_S是由{\widehat{\mathit{R}}}_{YY}的特征值中较大的L个特征向量组成的子空间，称为信号子空间； U_N是由剩余特征向量组成的子空间，称为噪声子空间。因此谱函数可以表示为

P\left(\theta \right)=\frac{\mathrm{1}}{{\mathit{A}}^{\mathrm{H}}\left(\theta \right){\left({\mathit{B}}^{\mathrm{T}}\right)}^{\mathrm{H}}{\mathit{U}}_{\mathrm{N}}{\mathit{U}}_{\mathrm{N}}^{\mathrm{H}}{\mathit{B}}^{\mathrm{T}}\mathit{A}\left(\theta \right)}（21）

由于信号子空间和噪声子空间是正交的，来波方向会使谱函数分母为0，进而出现谱峰。因此可以通过对θ进行遍历，搜索谱峰获得DOA估计结果。

3 仿真结果与分析

本节中，通过数值模拟获得了时间调制函数参数的最优设置，通过和现有方案的对比证明了本文所提出方案的有效性，所有仿真都进行了1 000次蒙特卡罗模拟。DOA估计的均方根误差（Root Mean Square Error, RMSE）可以定义为

E_{\mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{S}}=\sqrt[]{\frac{\mathrm{1}}{J}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^J}{\displaystyle \sum _{l=\mathrm{1}}^L}{\left({\widehat{\theta }}_l\left(j\right)-{\theta }_l\right)}^{\mathrm{2}}}（22）

式中：J是蒙特卡洛实验数；{\widehat{\theta }}_l\left(j\right)为第l个信号第j次蒙特卡洛估计值。相关参数如表1所示。

3.1 时间调制函数参数的影响

在本小节中，仿真模拟了τ_n 和ρ_n 两个参数对DOA估计结果的影响。首先设置ρ_n 为0，考虑信噪比（Signal-to-Noise Ratio, SNR）以2 dB的步长从-8 dB增加到20 dB。不同τ_n 取值下的RMSE随SNR的变化如图5所示。结果表明，随着τ_n 的减小，DOA估计性能变好。特别的，当{\tau }_n=T_{\mathrm{0}}/\mathrm{8}时，性能增加到达瓶颈，对应正谐波数等于阵元数，达到阵列估计最大自由度。此时再减小τ_n，DOA估计性能不会得到改善。

其次设置τ_n 为T_{\mathrm{0}}/\mathrm{8}，考虑不同ρ_n 取值下的RMSE随SNR的变化如图6所示。结果表明，随着ρ_n 的减小，DOA估计性能变好。这是因为当ρ_n 增大时，谱衰减变缓，高次谐波的幅度会降低影响估计效果。当时，性能会趋于稳定，这个结论与函数设计原则相吻合。

3.2 不同方案性能对比

在本节中，将本文所提方案与现有文献[13-14]所提方案和MUSIC方案进行对比。文献[13]首先提出了基于时间维度的DOA估计方法。文献[14]通过谐波特征矩阵和谐波分量之间的数学关系恢复多通道信号。

首先图7给出了在快拍数为100、SNR为0 dB时，在不同来波方向时RMSE变化情况。可以看出,在文献[13]方案中只能保证±40°之间的DOA估计性能。本文所提方案虽然相较于在ULA上采用MUSIC算法估计性能较差，但是比文献[14]方案具有较大的提升。同时在来波方向大于75°时本文所提方案依旧有一定的估计效果。这是由于高次谐波的方向图指向大角度，一定程度上克服了大角度估计这个难题。

图8给出了在快拍数为100、来波方向在±40°之间随机时，在不同SNR时RMSE变化情况。可以看出，文献[13]方案在SNR较高时估计性能较好，但是随着SNR的降低估计性能有显著下降。本文方案相较于文献[14]方案有了较大的提升，并且能够逼近在多通道阵列中使用MUSIC算法的DOA估计性能。

4 结束语

提出并验证了一种结构简洁、成本低廉的基于虚拟多通道的时间调制超表面DOA估计方案。在所提方案中，不同谐波的方向图主瓣指向不同的方向，组成了新的谐波信号接收空间进行DOA估计。针对时间调制函数设计，提出了奈奎斯特脉冲实现均衡的频率响应。通过利用函数时移模拟了波束扫描，实现全空间的观测。数值仿真验证了方向图设计的重要性以及不同参数设置下的DOA估计性能。实验结果表明，所提方案可以较好地实现单通道的DOA估计，同时能够逼近多通道的空间谱估计算法，并且在大角度估计时有性能提升。

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基金资助

国家自然科学基金(U22A2001)

嵩山实验室资助项目(221100211300-0X)