Rotenberg方程解对非光滑边界参数的连续依赖性

The continuous dependence of the Rotenberg equation’s solution on the parameters of non⁃smooth boundary

摘要

在L¹空间上考虑带有非光滑边界条件的Rotenberg方程，证明了方程的主算子是稠定的预解正算子，进而得到其共轭算子定义域的正锥在全共轭空间的正锥中共尾，由此证明了主算子所生成半群的谱界等于增长阶，并进而证明了方程解对边界参数的连续依赖性。

Abstract

This paper investigates the Rotenberg equation with non-smooth boundary conditions in L¹ space. We prove that the main operator of the equation is densely defined and resolvent-positive. Furthermore， it is shown that the positive cone in the domain of its adjoint operator is cofinal within the positive cone of the entire adjoint space. Consequently， the spectral bound of the semigroup generated by the main operator is demonstrated to coincide with its growth order. Additionally， the continuous dependence of solutions on boundary parameters is rigorously established.

引言

Rotenberg^［1］于1983年引入如下的积-微分方程描述了种群细胞的增长

\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial \psi }{\partial t}\left(\mu ,v,t\right)=-v\frac{\partial \psi }{\partial \mu }(\mu ,v,t)-\sigma (\mu ,v\left(\psi \right)\mu ,v,t)+\\ {\int }_a^{b}r(\mu ,v,v\mathrm{\text{'}}\left(\psi \right)\mu ,v\mathrm{\text{'}},t)\mathrm{d}v\mathrm{\text{'}}\\ \psi \left(\mu ,v,\mathrm{0}\right)={\psi }_{\mathrm{0}}(\mu ,v)\\ \psi \left(\mathrm{0},v,t\right)=\left(H\psi \right)\left(\mathrm{1},v,t\right)\end{array}\right.（1）

式中，变量\mu \in \left(\mathrm{0,1}\right)表示细胞成熟度，\mu =\mathrm{0}表示细胞出生，\mu =\mathrm{1}表示细胞凋亡；变量v=\frac{\mathrm{d}\mu }{\mathrm{d}t}\in \left(a,b\right)表示细胞的成熟速率；未知函数\psi \left(\mu ,v,t\right)表示在t时刻成熟度为\mu、成熟速率为v的细胞种群密度；函数r\left(\mu ,v,v\mathrm{\text{'}}\right)表示成熟度为\mu的种群细胞成熟速率由v转变为v\mathrm{\text{'}}的速率；函数\sigma \left(\mu ,v\right) 表示种群细胞的总转变截面，具体表达式为^［1］

\sigma \left(\mu ,v\right)={\int }_a^{b}r\left(\mu ,v,v\mathrm{\text{'}}\right)dv\text{'}\in L_{\mathrm{\infty }}[\left(\mathrm{0,1}\right)\times (a,b)]

边界条件中的算子H是一个正的线性算子，根据不同种群细胞的遗传规律，H有不同的数学表示式，常见的有非局部边界条件、积分边界条件以及非光滑边界条件等。

方程（1）是一类Boltzmann方程，其研究对于其他Boltzmann型方程具有重要的参考价值，如线性中子输运方程、大气辐射转移方程等。因此，方程（1）引起了广泛的关注并产生了大量的相关研究成果。Boulanouar^［2-3］研究了方程的主算子生成半群及谱分析的相关问题，Jeribi 等^［4］ 研究了Rotenberg方程主算子生成C_{\mathrm{0}}半群及半群的不可约性，从而得到主算子的谱由至多有限离散本征值组成等结果。Boulanouar^［2］证明了Rotenberg方程是全局稳定的，并证明了生成半群的正则性和不可约性。Lebowitz等^［5］证明了若边界算子正则，其方程主算子生成的半群不可约。吴红星等^［6］考虑了无碰撞项的模型并在L^p空间上得到了本质谱稳定的结论。王胜华等^［7-8］考虑去除方程的积分项，讨论了方程主算子的谱及占优本征值的存在性。Boulanouar^［9-10］考虑带有积分边界条件的结构化Rotenberg方程，得到了方程主算子生成半群的不可约性以及方程解的渐进性，之后吴红星等^［11］将上述结果推广到L^p空间上去。

不同情况的边界算子H表示细胞在分裂和成长过程中出现的不同生物遗传规则，在数学上表示不同的转移规则。实际上对于不同的边界条件模型结果也有所不同，例如如下所示的非局部边界条件^［2］

\psi \left(\mathrm{0},v,t\right)=\alpha \psi \left(\mathrm{1},v,t\right)+\frac{\beta }{v}{\int }_a^{b}k\left(v,v\mathrm{\text{'}}\right)\psi \left(\mathrm{1},v\mathrm{\text{'}},t\right)v\text{'}dv\text{'}

其中的正核函数k\left(v,v\mathrm{\text{'}}\right)为有界可测函数，并且满足归一化条件

{\int }_a^{b}k\left(v,v\mathrm{\text{'}}\right)\mathrm{d}v=\mathrm{1}

以及如下所示的积分边界条件^［8-9］

h\left(v\right)\psi \left(\mathrm{0},v,t\right)=p{\int }_a^{b}k\left(v,v\mathrm{\text{'}}\right)h\left(v\mathrm{\text{'}}\right)\psi \left(\mathrm{1},v\mathrm{\text{'}},t\right)dv\text{'}

上述列出的边界条件对应不同的生物学转移规则，考虑的现实因素侧重点也不尽相同，所以不同边界条件中参数的含义也有差别。例如非光滑边界条件考虑到细胞分裂中环境等因素导致子细胞变异的情况，将继承亲代细胞周期v的子细胞个数记为\alpha，变异细胞成熟速率v\mathrm{\text{'}}的子细胞个数记为\beta。事实上在种群细胞增殖的过程中伴随着细胞凋亡，但这部分死亡细胞并不会考虑进\sigma \left(\mu ,v\right)中，而是会计入边界条件的参数当中；另外在具体应用中，这些参数有时需要实验测定（如细胞分裂指数法测绘细胞繁殖曲线），有时需要做理论估计。考虑到上述两种情况，参数的变化对解的影响需加以注意。这也正是本文研究的主要动机。

本文研究具有如下形式的非局部边界条件^［12-13］的Rotenberg方程

\left(H_{\beta }\psi \right)\left(\mathrm{1},v,t\right)=\frac{\beta }{v}{\int }_a^{b}k\left(v,v\mathrm{\text{'}}\right)\psi \left(\mathrm{1},v^{\mathrm{\text{'}}},t\right)v\text{'}dv\text{'}

式中\beta表示能够分裂的每一有丝分裂子细胞的平均数，\beta =\mathrm{1}保证了细胞通量的连续性。记正核函数k\left(v,v\mathrm{\text{'}}\right)的本性上确界为\tilde{k}。

1　空间与算子

本节将给出工作空间，并给出所研究的Rotenberg方程主算子的定义。

定义空间X=L^{\mathrm{1}}\left(\left[\mathrm{0,1}\right]\times \left[a,b\right];\mathrm{d}\mu \mathrm{d}v\right)，用X^{\mathrm{*}}表示X的共轭空间，X_{+}=\left\{\phi \in X|\phi \ge \mathrm{0}\right\}表示X的正锥。

定义边界空间如下。

X^{\mathrm{0}}=L^{\mathrm{1}}\left(\left\{\mathrm{0}\right\}\times \left[a,b\right];v\mathrm{d}v\right)

X^{\mathrm{1}}=L^{\mathrm{1}}\left(\left\{\mathrm{1}\right\}\times \left[a,b\right];v\mathrm{d}v\right)

定义Sobolev空间

W=\left\{\phi \in X\left|v\frac{\partial \phi }{\partial \mu }\right.\in X\right\}

边界算子定义为

H_{\beta }:X^{\mathrm{1}}\to X^{\mathrm{0}}{\phi }^{\mathrm{1}}\to {\phi }^{\mathrm{0}}=H_{\beta }{\phi }^{\mathrm{1}}

其中，{\phi }^{\mathrm{0}}=\phi \left(\mathrm{0},v,t\right)，{\phi }^{\mathrm{1}}=\left(\mathrm{1},v,t\right)表示函数的边值。

定义算子A_{\beta }为

A_{\beta }\phi =-v\frac{\partial \phi }{\partial \mu }\left(\mu ,v,t\right)

定义域 D\left(A_{\beta }\right)=\left\{\phi \in W|{\phi }^{\mathrm{0}}=H_{\beta }{\phi }^{\mathrm{1}}\right\}。

流算子定义为

B\phi =A_{\beta }\phi -\sigma \left(\mu ,v\right)\phi \left(\mu ,v,t\right)

其中，D\left(B_{\beta }\right)=D\left(A_{\beta }\right)。

定义碰撞算子

C\phi ={\int }_a^{b}k\left(\mu ,v,v\mathrm{\text{'}}\right)\phi \left(\mu ,v\mathrm{\text{'}},t\right)dv\text{'}

则Rotenberg方程的主算子为P=B_{\beta }+C。

定义域 D\left(P\right)=D\left(B_{\beta }\right)=D\left(A_{\beta }\right)。

于是，方程（1）可以转化为如下的Cauchy问题。

\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial \psi }{\partial t}\left(\mu ,v,t\right)=P\psi \\ \psi \left(\mu ,v,\mathrm{0}\right)={\psi }_{\mathrm{0}}\left(\mu ,v\right)\end{array}\right.（2）

2　算子的性质

定义1^［14］ 若X中的元素x,y满足x-y\in X_{+}就称x\ge y，这样的关系“\ge”为一种序关系。

定义2^［14］ 对E的某个子集C满足对任意f\in E，存在g\in C，使得f\le g，则称E的子集C在E中共尾。

定理1 算子A_{\beta }是闭稠定算子。

证明：注意到A_{\beta }是微分算子，显然是闭算子。

下面证明\overline{D\left(A_{\beta }\right)}=X。

对\forall \psi \in X，存在D\left(A_{\beta }\right)中的函数列{\psi }_{nn}满足\left(H_{\beta }{\psi }_{nn}\right)\left(\mathrm{1},v\right)={\psi }_{nn}\left(\mathrm{0},v\right)，首先取{\psi }_n为如下形式。

J_{\epsilon }{\psi }_n\left(\mu ,v\right)=\left(j_{\epsilon }{\psi }_n\right)\left(\mu ,v\right)={\int }_{{\mathbb{R}}^n}{j}_{\epsilon }\left(\mu -y\right){\psi }_n\left(y,v\right)\mathrm{d}y

这里J_{\epsilon }为磨光算子，取\epsilon =\frac{\mathrm{1}}{n}，则

{\psi }_{nn}=J_{\epsilon }{\psi }_n\left(\mu ,v\right)

为一列光滑函数，显然{\psi }_{nn}\in D\left(A_{\beta }\right)，并且利用磨光性有

\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}‖{\psi }_{nn}-{\psi }_n‖=\underset{\epsilon \to {\mathrm{0}}^{+}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{‖{\psi }_{nn}-{\psi }_n‖}_{L^{\mathrm{1}}}=\mathrm{0}

那么

\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}‖{\psi }_{nn}-\psi ‖\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}‖{\psi }_n-{\psi }_{nn}‖+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}‖{\psi }_n-\psi ‖=\mathrm{0}

证毕。

定理2 算子A_{\beta }是预解正算子。

证明：对任意给定的g\left(\mu ,v,t\right)\in X，算子A_{\beta }的预解方程为

(\lambda I-A_{\beta })\psi =g

求解上述方程可以得到

\psi \left(\mu ,v,t\right)=\psi \left(\mathrm{0},v,t\right){\mathrm{e}}^{-\frac{\lambda \mu }{v}}+\frac{\mathrm{1}}{v}{\int }_{\mathrm{0}}^{\mu }g\left(\mu \mathrm{\text{'}},v,t\right)\cdot e^{\frac{\lambda \left({\mu }^{\text{'}}-\mu \right)}{v}}d\mu \text{'}（3）

取\mu =\mathrm{1}，则式（3）变为

\psi \left(\mathrm{1},v,t\right)=\psi \left(\mathrm{0},v,t\right){\mathrm{e}}^{-\frac{\lambda }{v}}+\frac{\mathrm{1}}{v}{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}g\left(\mu \mathrm{\text{'}},v,t\right)\cdot e^{\frac{\lambda \left({\mu }^{\text{'}}-\mathrm{1}\right)}{v}}d\mu \text{'}（4）

定义如下算子。

E_{\lambda }\phi =\phi (\mathrm{0},v,t){\mathrm{e}}^{-\frac{\lambda \mu }{v}}

F_{\lambda }g=\frac{\mathrm{1}}{v}{\int }_{\mathrm{0}}^{\mu }g\left({\mu }^{\mathrm{\text{'}}},v,t\right){\mathrm{e}}^{\frac{\lambda \left({\mu }^{\text{'}}-\mu \right)}{v}}\mathrm{d}{\mu }^{\mathrm{\text{'}}}

G_{\lambda }\phi =\phi \left(\mathrm{0},v,t\right){\mathrm{e}}^{-\frac{\lambda }{v}}

K_{\lambda }g=\frac{\mathrm{1}}{v}{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}g\left(\mu \mathrm{\text{'}},v,t\right)e^{\frac{\lambda \left({\mu }^{\text{'}}-\mathrm{1}\right)}{v}}d\mu \text{'}

对\forall \mathrm{R}\mathrm{e}\lambda >\mathrm{0}利用Hölder不等式可以证明算子E_{\lambda }、F_{\lambda }、G_{\lambda }、K_{\lambda }是有界正算子^［12］，并且‖E_{\lambda }‖\le \frac{b}{\mathrm{R}\mathrm{e}\lambda },‖F_{\lambda }‖\le \frac{b-a}{\mathrm{R}\mathrm{e}\lambda },‖G_{\lambda }‖\le b{\mathrm{e}}^{-\frac{\mathrm{R}\mathrm{e}\lambda }{b}},‖K_{\lambda }‖\le b-a。那么式（3）、（4）可以简化为

\psi =E_{\lambda }H{\psi }^{\mathrm{1}}+F_{\lambda }g （3′）

{\psi }^{\mathrm{1}}=G_{\lambda }H{\psi }^{\mathrm{1}}+K_{\lambda }g （4′）

记{\lambda }_{\mathrm{0}}=b\mathrm{l}\mathrm{n}(\beta \tilde{k}b(b-a))，\mathrm{R}\mathrm{e}\lambda >\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{{\lambda }_{\mathrm{0}},\mathrm{0}\}时G_{\lambda }H一致有界。由此利用式（3'）与（4'）及边界条件可得

{\psi }^{\mathrm{1}}={\left(I-G_{\lambda }H\right)}^{-\mathrm{1}}{K}_{\lambda }g

\psi =E_{\lambda }H{\left(I-G_{\lambda }H\right)}^{-\mathrm{1}}{K}_{\lambda }g+F_{\lambda }g

因此

\begin{array}{l}{\left(\lambda I-A_{\beta }\right)}^{-\mathrm{1}}=E_{\lambda }H{\left(I-G_{\lambda }H\right)}^{-\mathrm{1}}{K}_{\lambda }+F_{\lambda }=\\ \sum _{n\ge \mathrm{0}}{E}_{\lambda }H{\left(G_{\lambda }H\right)}^n{K}_{\lambda }+F_{\lambda }\end{array}（5）

当\mathrm{R}\mathrm{e}\lambda >\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{{\lambda }_{\mathrm{0}},\mathrm{0}\}，式（5）中的每一项都是正的。L^{\mathrm{1}}空间中的函数范数f\left(x,y\right)定义如下：若f\left(x,y\right)\in L^{\mathrm{1}}([x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}}]\times [y_{\mathrm{1}},y_{\mathrm{2}}])，则

‖f‖={\int }_{x_{\mathrm{1}}}^{x_{\mathrm{2}}}{\int }_{y_{\mathrm{1}}}^{y_{\mathrm{2}}}\left|f(x,y)\right|\mathrm{d}x\mathrm{d}y

根据L^{\mathrm{1}}空间中范数的定义

\begin{array}{l}‖\psi \left(\mu ,v,t\right)‖={\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}{\int }_a^b\left|\psi \left(\mu ,v,t\right)\right|\mathrm{d}\mu \mathrm{d}v\le \\ {\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}{\int }_a^b\left|\left(\sum _{n\ge \mathrm{0}}{E}_{\lambda }H{\left(G_{\lambda }H\right)}^n{K}_{\lambda }\right)g\right|\mathrm{d}\mu \mathrm{d}v+{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}{\int }_a^b\left|F_{\lambda }g\right|\mathrm{d}\mu \mathrm{d}v\end{array}

由此当\mathrm{R}\mathrm{e}\lambda >\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{{\lambda }_{\mathrm{0}},\mathrm{0}\}时有^［12］

那么可以估算得到

‖\psi \left(\mu ,v,t\right)‖\le \frac{b-a}{\lambda }\left(\frac{b\beta }{\mathrm{1}-c}\left(b-a\right)+\mathrm{1}\right)‖g‖（6）

即当\lambda >\mathrm{0}时，算子(\lambda I-A_{\beta })可逆，并且其逆算子有界，所以A_{\beta }是预解正算子。

证毕。

另外记B_{\beta }=A_{\beta }-\sum，其中算子\sum是如下的乘法算子

\left\{\begin{array}{l}\sum \psi =\sigma \left(\mu ,v\right)\psi \left(\mu ,v,t\right)\\ D\left(\sum \right)=D\left(A_{\beta }\right)\end{array}\right.

根据\sigma \left(\mu ,v\right)实际生物学意义，\underset{-}{\sigma }\le \sigma \left(\mu ,v\right)\le\overline{\sigma }，即乘法算子\sum是正的有界算子。考虑到

\lambda I-P=\lambda I-\left(A_{\beta }-\mathrm{\Sigma }+C\right)=\left(\lambda I-A_{\beta }\right)+\left(\mathrm{\Sigma }+C\right)

其中\sum +C是有界正算子，由A_{\beta }是预解正算子可知主算子P是预解正算子。

定理3 A_{\beta }的共轭算子{A_{\beta }}^{\mathrm{*}}存在，并且{A_{\beta }}^{\mathrm{*}}\phi =v\frac{\partial \phi }{\partial \mu }，其中该共轭算子的定义域为

\begin{array}{l}D\left(A_{\beta }^{\mathrm{*}}\right)=\left\{\phi \left|v\frac{\partial \phi }{\partial \mu }\in X\right.\right.,\phi \left(\mathrm{1},v\mathrm{\text{'}},t\right)=\\ \left.{\int }_a^b\beta k\left(v,v\mathrm{\text{'}}\right)\phi \left(\mathrm{0},v,t\right)\mathrm{d}v\right\}\end{array}

证明： \forall \psi \in D\left(A_{\beta }\right)，\forall \phi \in D\left({A_{\beta }}^{\mathrm{*}}\right)有

\begin{array}{l}〈A_{\beta }\psi ,\phi 〉={\int }_a^b{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}-v\frac{\partial \psi }{\partial \mu }\cdot \phi \mathrm{d}v\mathrm{d}\mu =\\ {\int }_a^b-v\left[\psi \phi {|}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}-{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\psi \cdot v\frac{\partial \phi }{\partial \mu }\mathrm{d}\mu \right]\mathrm{d}v\end{array}

代入边界条件有

\begin{array}{l}{\int }_a^b-v\left[\psi \phi \right]{|}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\mathrm{d}v={\int }_a^b-v[\psi \left(\mathrm{1},v\right)\phi \left(\mathrm{1},v\right)-\\ \frac{\beta }{v}\phi \left(\mathrm{0},v\right){\int }_a^{b}k\left(v,v^{\mathrm{\text{'}}}\right)\psi \left(\mathrm{1},v^{\text{'}}\right)v^{\mathrm{\text{'}}}\mathrm{d}{v}^{\mathrm{\text{'}}}]\mathrm{d}v=\\ {\int }_a^b{v}^{\mathrm{\text{'}}}\psi \left(\mathrm{1},v^{\text{'}}\right)\left[-\phi \left(\mathrm{1},v^{\text{'}}\right)+{\int }_a^b\beta k\left(v,v^{\mathrm{\text{'}}}\right)\phi \left(\mathrm{0},v\right)\mathrm{d}v\right]\mathrm{d}{v}^{\mathrm{\text{'}}}\end{array}

根据v及\psi的任意性可取

\phi \left(\mathrm{1},v\mathrm{\text{'}},t\right)={\int }_a^b\beta k\left(v,v\mathrm{\text{'}}\right)\phi \left(\mathrm{0},v,t\right)\mathrm{d}v

此时〈A_{\beta }\psi ,\phi 〉=〈\psi ,{A_{\beta }}^{\mathrm{*}}\phi 〉。证毕。

定理4 D{\left({A_{\beta }}^{\mathrm{*}}\right)}_{+}在X_{+}^{\mathrm{*}}中共尾，其中D{\left({A_{\beta }}^{\mathrm{*}}\right)}_{+}=X_{+}^{\mathrm{*}}\bigcap D\left({A_{\beta }}^{\mathrm{*}}\right)表示A_{\beta }共轭算子定义域的正锥。

证明：根据定理3，

D\left({A_{\beta }}^{\mathrm{*}}\right)=\left\{\phi |v\frac{\partial \phi }{\partial \mu }\in X,\phi \left(\mathrm{1},v\mathrm{\text{'}},t\right)=\beta {\int }_a^{b}k\left(v^{\text{'}},v\right)\phi \left(\mathrm{0},v,t\right)\mathrm{d}v\right\}

取\phi \left(\mu ,v,t\right)\in X_{+}^{\mathrm{*}}，和

g\left(\mu ,v\right)=M\left({\int }_a^b\beta k\left(v,v^{\mathrm{\text{'}}}\right)\phi \left(\mathrm{0},v\right){\mathrm{e}}^{-\lambda \left(\mathrm{1}-\mu \right)}\mathrm{d}v+{\int }_{\mu }^{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{-\lambda \left({\mu }^{\mathrm{\text{'}}}-\mu \right)}\mathrm{d}{\mu }^{\mathrm{\text{'}}}\right)

其中，M=‖\phi ‖+\frac{\mathrm{1}}{‖\phi ‖}。首先验证g\in D{\left({A_{\beta }}^{\mathrm{*}}\right)}_{+}。通过简单计算可知

v\frac{\partial g}{\partial \mu }\in L^{\mathrm{\infty }}

并且

\left(\mathrm{1},v,t\right)=M\phi \left(\mathrm{1},v,t\right)=M{\int }_a^b\beta k\left(v,v^{\mathrm{\text{'}}}\right)g\left(\mathrm{0},v,t\right)\mathrm{d}v

而g\left(\mu ,v,t\right)>\mathrm{0}，所以g\in D{\left(A_{\beta }^{\mathrm{*}}\right)}_{+}，并且\phi \le g，所以结论成立。

由D\left(A_{\beta }\right)=D\left(B_{\beta }\right)可得D{\left({A_{\beta }}^{\mathrm{*}}\right)}_{+}=D{\left(B_{\beta }^{\mathrm{*}}\right)}_{+}。根据定理4可知D{\left(B_{\beta }^{\mathrm{*}}\right)}_{+}在X_{+}^{\mathrm{*}}中共尾，即对\forall \phi \in X_{+}^{\mathrm{*}}，存在g\in D{\left(B_{\beta }^{\mathrm{*}}\right)}_{+}，有\phi \le g。又因为C是一个正的有界算子，那么存在f\in D{\left({\left(P\right)}^{\mathrm{*}}\right)}_{+}，使得g\le f。则对\forall \phi \in X_{+}^{\mathrm{*}}，存在f\in D{\left({\left(P\right)}^{\mathrm{*}}\right)}_{+}，有\phi \le g\le f。根据共尾的定义可知D{\left({\left(P\right)}^{\mathrm{*}}\right)}_{+}在X_{+}^{\mathrm{*}}中共尾。结合P是预解正算子的结论可以得到下面的定理。

定理5 Rotenberg方程（1）的主算子P是一个正的C_{\mathrm{0}}半群的生成元，并且满足s\left(P\right)=w\left(P\right)，其中s\left(P\right)=\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{w\in \mathbb{R}|\left(w,\mathrm{\infty }\right)\subset \rho \left(P\right),\forall \lambda >w,R(\lambda ;P)\ge \mathrm{0}\}表示算子的谱界，w\left(P\right)=\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{w\in \mathbb{R}|\exists M\ge \mathrm{1},\mathrm{使得}\forall t\ge \mathrm{0},‖T\left(t\right)‖\le M{\mathrm{e}}^{wt}\}表示算子的增长阶。

定理6 当{\beta }_{\mathrm{1}}\to {\beta }_{\mathrm{2}}时，

‖R\left(\lambda ,A_{{\beta }_{\mathrm{1}}}\right)-R\left(\lambda ,A_{{\beta }_{\mathrm{2}}}\right)‖\to \mathrm{0}

证明： 由式（5）可得

{\psi }_{{\beta }_{\mathrm{1}}}\left(\mu ,v\right)-{\psi }_{{\beta }_{\mathrm{2}}}\left(\mu ,v\right)={\left(\sum _{n\ge \mathrm{0}}{E}_{\lambda }H{\left(G_{\lambda }H\right)}^n{k}_{\lambda }\right)}_{{\beta }_{\mathrm{1}}}g-

{\left(\sum _{n\ge \mathrm{0}}{E}_{\lambda }H{\left(G_{\lambda }H\right)}^n{k}_{\lambda }\right)}_{{\beta }_{\mathrm{2}}}g（7）

类似于预解正算子的证明过程，式（7）通过三角不等式可得

‖\left[R\left(\lambda ,A_{{\beta }_{\mathrm{1}}}\right)-R\left(\lambda ,A_{\begin{array}{c}{\beta }_{\mathrm{2}}\end{array}}\right)\right]g\left(\mu ,v\right)‖=

‖{\psi }_{{\beta }_{\mathrm{1}}}\left(\mu ,v\right)-{\psi }_{{\beta }_{\mathrm{2}}}\left(\mu ,v\right)‖=

{\int }_a^b{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left|{\psi }_{{\beta }_{\mathrm{1}}}\left(\mu ,v\right)-{\psi }_{{\beta }_{\mathrm{2}}}\left(\mu ,v\right)\right|\mathrm{d}\mu \mathrm{d}v\le

\mathrm{2}\frac{b-a}{\lambda }\frac{b({\beta }_{\mathrm{1}}-{\beta }_{\mathrm{2}})}{\mathrm{1}-c}\left(b-a\right)‖g‖

由此可以看出当{\beta }_{\mathrm{1}}\to {\beta }_{\mathrm{2}}时，有‖\left[R\left(\lambda ,A_{{\beta }_{\mathrm{1}}}\right)-\right.

\left.R\left(\lambda ,A_{{\beta }_{\mathrm{2}}}\right)\right]g\left(\mu ,v\right)‖\to \mathrm{0}。考虑到g是任意的，那么结论成立。

证毕。

定理7 （I）当{\beta }_{\mathrm{1}}\to {\beta }_{\mathrm{2}}时，

‖R\left(\lambda ,B_{{\beta }_{\mathrm{1}}}+C\right)-R\left(\lambda ,B_{{\beta }_{\mathrm{2}}}+C\right)‖\to \mathrm{0}

（Ⅱ）Rotenberg方程（1）的解对边界参数\beta连续依赖。

证明： （I） 已知算子\sum +C是有界正算子，那么存在M>\mathrm{0}使得‖\sum +C‖\le M。

因此当\lambda >(b-a)M\left(\frac{b\beta }{\mathrm{1}-c}\left(b-a\right)+\mathrm{1}\right)时，有

令

\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{0}}^N}‖{\left[{\left(\lambda I-A_{{\beta }_{\mathrm{1}}}\right)}^{-\mathrm{1}}\left(\mathrm{\Sigma }+C\right)\right]}^n-{\left[{\left(\lambda I-A_{{\beta }_{\mathrm{2}}}\right)}^{-\mathrm{1}}\left(\mathrm{\Sigma }+C\right)\right]}^n‖=\\ {\displaystyle \sum _{n=\mathrm{0}}^N}‖a_n‖\end{array}

\forall {\epsilon }_n>\mathrm{0},\exists {\delta }_n>\mathrm{0},当时，有

n=\mathrm{0}，‖a_{\mathrm{0}}‖=\mathrm{0}；

n=\mathrm{1}，

‖a_{\mathrm{1}}‖=‖{\left(\lambda I-A_{{\beta }_{\mathrm{1}}}\right)}^{-\mathrm{1}}\left(\mathrm{\Sigma }+C\right)-{\left(\lambda I-A_{{\beta }_{\mathrm{2}}}\right)}^{-\mathrm{1}}\left(\mathrm{\Sigma }+C\right)‖\le

‖{\left(\lambda I-A_{{\beta }_{\mathrm{1}}}\right)}^{-\mathrm{1}}-{\left(\lambda I-A_{{\beta }_{\mathrm{2}}}\right)}^{-\mathrm{1}}‖‖\mathrm{\Sigma }+C‖

假设当n=N-\mathrm{1}时，

则当n=N时，‖a_N‖=‖{\left[{\left(\lambda I-A_{{\beta }_{\mathrm{1}}}\right)}^{-\mathrm{1}}\left(\mathrm{\Sigma }+C\right)\right]}^{N-\mathrm{1}}·\left[{\left(\lambda I-A_{{\beta }_{\mathrm{1}}}\right)}^{-\mathrm{1}}\left(\mathrm{\Sigma }+C\right)\right]-{\left[{\left(\lambda I-A_{{\beta }_{\mathrm{2}}}\right)}^{-\mathrm{1}}\left(\mathrm{\Sigma }+C\right)\right]}^{N-\mathrm{1}}·

\left[{\left(\lambda I-A_{{\beta }_{\mathrm{2}}}\right)}^{-\mathrm{1}}\left(\mathrm{\Sigma }+C\right)\right]‖\le ‖{\left[{\left(\lambda I-A_{{\beta }_{\mathrm{1}}}\right)}^{-\mathrm{1}}\left(\mathrm{\Sigma }+C\right)\right]}^{N-\mathrm{1}}‖·

‖{\left(\lambda I-A_{{\beta }_{\mathrm{1}}}\right)}^{-\mathrm{1}}-{\left(\lambda I-A_{{\beta }_{\mathrm{2}}}\right)}^{-\mathrm{1}}‖\cdot ‖\mathrm{\Sigma }+C‖+

‖{\left[{\left(\lambda I-A_{{\beta }_{\mathrm{1}}}\right)}^{-\mathrm{1}}\left(\mathrm{\Sigma }+C\right)\right]}^{N-\mathrm{1}}-{\left[{\left(\lambda I-A_{{\beta }_{\mathrm{2}}}\right)}^{-\mathrm{1}}\left(\mathrm{\Sigma }+C\right)\right]}^{N-\mathrm{1}}‖·

取\frac{\epsilon }{\mathrm{3}(N-\mathrm{1})}=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{{\epsilon }_{\mathrm{1}},{\epsilon }_{\mathrm{2}},\cdots ,{\epsilon }_N\right\},{\delta }_N=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\left\{{\delta }_{\mathrm{1}},\right.{\delta }_{\mathrm{2}},\cdots ,{\delta }_N\}，当时

根据数学归纳法，对任意正整数n\le N

\begin{array}{l}‖{\left[{\left(\lambda I-A_{{\beta }_{\mathrm{1}}}\right)}^{-\mathrm{1}}\left(\Sigma +C\right)\right]}^n-\\ {\left[{\left(\lambda I-A_{{\beta }_{\mathrm{2}}}\right)}^{-\mathrm{1}}\left(\Sigma +C\right)\right]}^n‖\to \mathrm{0}\end{array}

那么对上述\epsilon >\mathrm{0}，\exists N使得

\exists \delta >\mathrm{0}，当时有

‖R\left(\lambda ,B_{{\beta }_{\mathrm{1}}}+C\right)-R\left(\lambda ,B_{{\beta }_{\mathrm{2}}}+C\right)‖=

‖{\left(\lambda I-A_{{\beta }_{\mathrm{1}}}+\mathrm{\Sigma }+C\right)}^{-\mathrm{1}}-{\left(\lambda I-A_{{\beta }_{\mathrm{2}}}+\mathrm{\Sigma }+C\right)}^{-\mathrm{1}}‖=

‖{\left[I-{\left(\lambda I-A_{{\beta }_{\mathrm{1}}}\right)}^{-\mathrm{1}}\left(\mathrm{\Sigma }+C\right)\right]}^{-\mathrm{1}}{\left(\lambda I-A_{{\beta }_{\mathrm{1}}}\right)}^{-\mathrm{1}}-

\begin{array}{c}{\left[I-{\left(\lambda I-A_{{\beta }_{\mathrm{2}}}\right)}^{-\mathrm{1}}\left(\mathrm{\Sigma }+C\right)\right]}^{-\mathrm{1}}{\left(\lambda I-A_{{\beta }_{\mathrm{2}}}\right)}^{-\mathrm{1}}\end{array}‖=

‖{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}{\left[{\left(\lambda I-A_{{\beta }_{\mathrm{1}}}\right)}^{-\mathrm{1}}\left(\mathrm{\Sigma }+C\right)\right]}^n{\left(\lambda I-A_{{\beta }_{\mathrm{1}}}\right)}^{-\mathrm{1}}-

{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}{\left[{\left(\lambda I-A_{{\beta }_{\mathrm{2}}}\right)}^{-\mathrm{1}}\left(\mathrm{\Sigma }+C\right)\right]}^n{\left(\lambda I-A_{{\beta }_{\mathrm{2}}}\right)}^{-\mathrm{1}}‖\le

‖{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}{\left[{\left(\lambda I-A_{{\beta }_{\mathrm{1}}}\right)}^{-\mathrm{1}}\left(\mathrm{\Sigma }+C\right)\right]}^n‖\times

‖{\left(\lambda I-A_{{\beta }_{\mathrm{1}}}\right)}^{-\mathrm{1}}-{\left(\lambda I-A_{{\beta }_{\mathrm{2}}}\right)}^{-\mathrm{1}}‖+

\left\{{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{0}}^N}‖{\left[{\left(\lambda I-A_{{\beta }_{\mathrm{1}}}\right)}^{-\mathrm{1}}\left(\mathrm{\Sigma }+C\right)\right]}^n-{\left[{\left(\lambda I-A_{{\beta }_{\mathrm{2}}}\right)}^{-\mathrm{1}}\left(\mathrm{\Sigma }+C\right)\right]}^n‖\right\}\times

‖{\left(\lambda I-A_{{\beta }_{\mathrm{2}}}\right)}^{-\mathrm{1}}‖+\left\{{\displaystyle \sum _{n=N+\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}‖{\left[{\left(\lambda I-A_{{\beta }_{\mathrm{1}}}\right)}^{-\mathrm{1}}\left(\mathrm{\Sigma }+C\right)\right]}^n‖+{\displaystyle \sum _{n=N+\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}‖{\left[{\left(\lambda I-A_{{\beta }_{\mathrm{2}}}\right)}^{-\mathrm{1}}\left(\mathrm{\Sigma }+C\right)\right]}^n‖\right\}\times

根据定理6可得结论成立；

（Ⅱ） 由结论（Ⅰ）知，Rotenberg方程（1）的主算子P的预解式对边界参数连续依赖，所以主算子P生成的C_{\mathrm{0}}正半群对边界参数连续依赖，则迁移方程解对边界参数连续依赖。

证毕。

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