正规矩阵的几个等价条件

摘要

目的依据正规矩阵的定义、Schur引理和矩阵酉等价,以及它们的相关性质,从矩阵的酉等价和矩阵的特征值、特征向量等方面,给出了复数域上的矩阵是正规矩阵的几个等价条件.方法由矩阵酉等价的定义、Schur引理、向量长度的定义、特征值和特征向量的相关性质、拉格朗日插值公式,对给出的几个等价条件加以证明.结果通过酉矩阵的定义:设矩阵U∈Mn(C),若U′U=E,则称U为酉矩阵;Schur引理:任何一个n阶复矩阵A∈Mn(C)都酉相似于一个上三角矩阵B,即存在一个n阶酉矩阵U,使得B=U′AU,其中B的对角线上的元素是A的特征值;矩阵的酉等价,以及正规矩阵的性质,给出了复数域上的矩阵是正规矩阵的7个等价条件:1、A∈Mn(C)是正规矩阵酉等价于A的每个矩阵都是正规矩阵;2、A∈Mn(C)是正规矩阵x∈Cn,有|Ax|=|A′x|.(其中,y∈Cn,规定|y|=y′y);3、A∈Mn(C)是正规矩阵A与一个具有互异特征值的正规矩阵可交换;4、λ∈C是给定的数,则A∈Mn(C)是正规矩阵A+λE是正规矩阵;5、A∈Mn(C)是正规矩阵对于所有的x,y∈Cn,有(Ax)′(Ay)=(A′x)′(A′y);6、A∈Mn(C)是正规矩阵A的每个特征向量也是A′的一个特征向量;7、A∈Mn(C)是正规矩阵存在次数至多为n-1的多项式P(x),使得A′=P(A).结论为以后研究正规矩阵的相关性质以及进一步推广酉矩阵、实对称矩阵和Hermite矩阵提供理论依据.

关键词

酉矩阵 / 正规矩阵 / 酉等价