具有交叉扩散的Gierer-Meinhardt系统斑图演化

摘要

Gierer-Meinhardt系统是一类典型的反应扩散系统，因其优良的动力学特性在生物模式形成领域得到了广泛研究。目前国内外关于该系统的时空演化研究绝大多数局限于自扩散驱动的不稳定性与图灵斑图，而关于交叉扩散驱动的不稳定性研究极少。本文提出了一类具有交叉扩散项的Gierer-Meinhardt反应扩散系统，利用特征多项式的特征值分析和稳定性定理，对系统唯一正平衡点进行了线性稳定性分析，确定了系统发生图灵不稳定的必要条件。通过选取交叉扩散系数作为分岔参数，进一步揭示了交叉扩散对系统图灵不稳定性的影响机理。此外，通过数值模拟方法，本文探讨了交叉扩散对于系统斑图演化的响应机制。研究发现：当自扩散驱动的系统稳定时，交叉扩散可以诱导Gierer-Meinhardt系统发生图灵不稳定并且生成不均匀结构图灵斑图；当自扩散驱动的系统不稳定时，交叉扩散不仅能够实现Gierer-Meinhardt系统斑图结构的蜕变，而且可以改变斑图的演化速度。具体来看，交叉扩散系数在能够诱导系统发生图灵不稳定的基础上，离分岔阈值越远，系统图灵斑图的空间结构中点状斑图所占的比例越大，演化速度越快。因此，交叉扩散对Gierer-Meinhardt系统的斑图产生、蜕变及演化速度都起着至关重要的作用。

关键词

交叉扩散 / Gierer-Meinhardt系统 / 图灵斑图 / 反应扩散方程