基于双频法的蜂群柔性阵列位置、相位与通信时延误差联合校正算法

A joint calibration algorithm for position, phase and time⁃delay errors in swarm⁃based flexible arrays using the dual⁃frequency method

摘要

无人蜂群可以形成柔性阵列，实现灵巧的波束形成，但其性能受蜂群节点定位精度的影响较大.传统蜂群阵列位置估计受到GPS定位精度影响，精度通常在0.1~1 m.当阵列校正载波的半波长小于定位误差时，传统阵列误差校正算法会因相位混叠难以实施.当阵列同时存在通信时延误差和相位误差时，阵列误差更加难以校正.为此，提出一种基于双频法的阵列误差联合校正算法.该算法基于双频差异构建等效低频测量，优选了频差设计方案，突破定位误差建模的半波长限制，可以得到高精度的校正性能.仿真实验结果表明，当位置误差与通信时延误差同时存在时，该算法在不同信噪比条件下均能实现高效的误差联合校正.

Abstract

Drone swarms can form flexible arrays to achieve agile beamforming，but their performance relies on precise node localization. Traditional swarm array position estimation is constrained by GPS accuracy，typically within 0.1~1 m. When the half⁃wavelength of the array calibration carrier is smaller than the positioning error，conventional array error calibration algorithms fail due to phase ambiguity. The challenge is further compounded when both communication time⁃delay errors and phase errors coexist in the array. To address these issues，this paper proposes a joint array error calibration algorithm based on a dual⁃frequency method. By constructing equivalent low⁃frequency measurements from dual⁃frequency differences and optimizing the frequency difference design，the algorithm overcomes the half⁃wavelength limitation in error modeling and achieves high⁃precision calibration. Simulation results demonstrate that the proposed method enables efficient joint error correction under various signal⁃to⁃noise ratio conditions，even when both positional errors and communication time⁃delay errors are present.

Graphical abstract

关键词

蜂群柔性阵列 / 误差校正 / 双频法 / 等效频率法

Key words

swarm⁃based flexible array / error calibration / dual⁃frequency method / equivalent frequency method

随着无人机自主能力的不断提高，无人机蜂群可以凭借集群优势，在探测、通信、电子对抗等任务中实现更加复杂的功能.蜂群中每个无人机上搭载一个全向感知天线，可以整体形成构型可控的移动天线集群阵列.这种蜂群阵列由于各节点之间的相对位置不固定，具有柔性阵列特点^［1］，获得了雷达^［2-3］、通信^［4-5］、电子对抗^［6-7］等诸多领域学者的关注.

蜂群柔性阵列在实施高精度探测、定位时，其性能受蜂群节点定位精度的影响较大.现有的蜂群无人机定位技术包括基于无线射频信号的定位^［8］、激光/视觉同步定位与建图^［9-10］（Simultaneous Localization and Mapping，SLAM）以及惯性导航^［11］三种.以上三种方法虽然校正精度较高，但是算法复杂度高，使用阵列信号处理中阵列误差校正的方法可以凭借较小的计算资源开销补全GPS精度不足的问题.典型的误差校正方法包括有源误差校正与自校正算法.和自校正算法相比，有源校正算法复杂度更低，且误差较大时仍能保证收敛性，目前在轻量化的无人蜂群中应用更为广泛.

针对面型阵列，袁春姗等^［12］基于简化多阶维纳滤波（Simplified Multi⁃Stage Wiener Filter，SMSWF）算法设计了一种阵元位置幅相误差的快速有源校正算法，采用单校正源输出信号，参数估计性能好，且计算量小.程丰等^［13］利用已知的阵列旋转角度，基于最大似然准则估计阵列幅相误差并通过该估计结果来实现幅相误差校正，无需测量校正源信号方向角，克服了校正源信号方向角不容易精确测量的困难.针对幅相误差和互耦误差同时存在的问题，彭文灿^［14］提出一种融合入侵杂草优化算法 （Invasive Weed Optimization，IWO）与粒子群算法（Particle Swarm Optimization，PSO）的一种幅相误差和互耦误差的单源联合校正算法.柔性阵列的误差是动态变化的，和单校正源相比，多校正源可以提供更丰富的参考信号，能实现更准确的校正.刘源^［15］利用收发共置多输入多输出（Multiple Input Multiple Output，MIMO）雷达虚拟阵列导向矢量列空间不满秩的特性，在多校正源基础上提出一种基于杂波回波的MIMO雷达收发阵列通道幅相误差校正方法.刘志远^［16］针对时延与相位误差，采用位置固定的外标校正源进行校正；针对位置误差，结合了两步加权最小二乘法与基于最大似然估计的牛顿迭代法，实现可动阵列位置误差的估计与校正.但该方法的位置误差估计算法的复杂度高，获得高精度的位置需要数量庞大的校正源，而且拓展到三维空间时精度会下降.

上述工作对阵列位置误差的建模都基于误差小于半波长的假设.然而，在蜂群柔性阵列中，无人机节点常使用GPS定位，其精度在0.1~1 m.在此位置误差下，当阵列校正源工作频段超过150 MHz时，阵列位置误差会超过半波长，导致相位混叠.这时，上述方法就无法实现理论设计的校正效果.宋奇^［17］针对阵元位置误差大于半波长的问题，利用粗估得到的误差矢量与波达角估计值，产生模糊范围，并在该范围内，基于不同角度对应的抖动量相等的假设，基于单频模型设计了一维线阵的位置误差校正方法.该方法虽然能解决位置误差超过半波长的问题，但仅适用于一维线阵，而且相位搜索与重复比较的过程导致算法的实时性不好，实际应用的潜力有限.

在三维重建^［18-19］、GNSS （Global Navigation Satellite System）定位^［20］等领域中，为了弥补单一频率中的相位混叠问题，可以采用双频法，利用不同频率信号的相位变化组合来提高测量精度与范围.针对蜂群柔性阵列的高精度位置估计的需要，引入双频法有望解决蜂群柔性阵列位置误差超过半波长带来的相位混叠问题.基于以上考虑，并考虑实际蜂群中存在的相位和通信时延误差，本文提出了一种基于双频法的联合误差校正算法.该算法采用多校正源，以简化多阶维纳滤波^［12］算法为基础，先确定位置误差引入的相位差，通过等效频率法将位置误差缩小至半波长以内，更新位置信息后，即可采用单频方法对各类误差进行精确校正.仿真结果验证了该校正算法的有效性，还证明其具备较好的参数估计性能.

1 算法推导

1.1　误差条件下的多校正源接收信号模型

蜂群柔性阵列误差中，带来总相位变化的误差主要包括阵列位置误差、阵元相位误差与通信时延误差.位置误差是GPS定位过程导致的，相位误差是天线单元制造规格不一致导致的，通信时延误差是信道变化引起的.本文不考虑基于误差成因分析的校正方法，仅通过阵列信号处理的手段来完成误差估计和校正.

假设整个柔性阵列共有M个阵元，第m个阵元的位置用\left[\begin{array}{ccc}{x}_m& y_m& z_m\end{array}\right]表示，由GPS得到.位置误差用\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{\Delta }{x}_m& \mathrm{\Delta }{y}_m& \mathrm{\Delta }{z}_m\end{array}\right]表示，相位误差用{\mathit{\psi }}_m表示，时延误差用{\tau }_m表示.整个阵列的阵元位置\mathit{P}、位置误差\mathrm{\Delta }\mathit{P}、相位误差\psi与通信时延误差\mathit{\tau }可以分别表示为：

\mathit{P}=\left[\begin{array}{ccc}{x}_{\mathrm{1}}& y_{\mathrm{1}}& z_{\mathrm{1}}\\ x_{\mathrm{2}}& y_{\mathrm{2}}& z_{\mathrm{2}}\\ ⋮& ⋮& ⋮\\ x_M& y_M& z_M\end{array}\right](1)

\mathrm{\Delta }\mathit{P}=\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{\Delta }{x}_{\mathrm{1}}& \mathrm{\Delta }{y}_{\mathrm{1}}& \mathrm{\Delta }{z}_{\mathrm{1}}\\ \mathrm{\Delta }{x}_{\mathrm{2}}& \mathrm{\Delta }{y}_{\mathrm{2}}& \mathrm{\Delta }{z}_{\mathrm{2}}\\ ⋮& ⋮& ⋮\\ \mathrm{\Delta }{x}_M& \mathrm{\Delta }{y}_M& \mathrm{\Delta }{z}_M\end{array}\right](2)

\psi ={\left[\begin{array}{cccc}{\psi }_{\mathrm{1}}& {\psi }_{\mathrm{2}}& \cdots & {\psi }_M\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}(3)

\mathit{\tau }={\left[\begin{array}{cccc}{\tau }_{\mathrm{1}}& {\tau }_{\mathrm{2}}& \cdots & {\tau }_M\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}(4)

图1展示了阵列校正模型中各阵元和多校正源的示意图，其中，校正源位于阵列远场不同的固定方位上，俯仰角、方位角已知.

假设各个校正源均以载频f_{\mathrm{1}},f_{\mathrm{2}}发射校正信号，信号s_k\left(n\right)波形已知，信号功率为{\sigma }_s^{\mathrm{2}}.噪声功率为{\sigma }_n^{\mathrm{2}}.在该模型中，当三种误差同时存在时，以载频f_{\mathrm{1}}为例，若第k个校正源的俯仰角为{\theta }_k、方位角为{\varphi }_k，则阵列接收到的第k个校正源信号{\mathit{g}}_{\left(\mathrm{1},k\right)}可以表示为：

{\mathit{g}}_{\left(\mathrm{1},k\right)}\left(n\right)={\mathit{\Gamma }}_{\mathrm{1}}{\mathit{\nu }}_{\left(\mathrm{1},k\right)}\odot {\mathit{a}}_{\left(\mathrm{1},k\right)}{s}_k\left(n\right)+{\mathit{n}}_k\left(n\right)(5)

{\mathit{\Gamma }}_{\mathrm{1}}=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\left(\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(j\mathit{\psi }+\mathrm{2}\mathrm{\pi }j{f}_{\mathrm{1}}\mathit{\tau }\right)\right)(6)

\begin{array}{l}{\mathit{\nu }}_{\left(\mathrm{1},k\right)}=\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-j\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{{\lambda }_{\mathrm{1}}}\mathrm{\Delta }\mathit{P}\left[\begin{array}{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_k\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\varphi }_k\\ \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_k\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\varphi }_k\\ \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_k\end{array}\right]\right)\\ k=\mathrm{1,2},\cdots ,K\end{array}(7)

其中，\odot为矩阵Hadamard积，{\mathit{\Gamma }}_{\mathrm{1}}为相位与通信时延误差的M\times M维对角矩阵，{\mathit{\nu }}_{\left(\mathrm{1},k\right)}为阵元位置误差矩阵，{\mathit{n}}_k\left(n\right)为M\times \mathrm{1}维高斯白噪声数据向量，且噪声与信号s_k\left(n\right)互不相关.{\mathit{a}}_{\left(\mathrm{1},k\right)}为第k个信号源的导向矢量，可以表示为：

\begin{array}{l}{\mathit{a}}_{\left(\mathrm{1},k\right)}=\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-j\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{{\lambda }_{\mathrm{1}}}\mathit{P}\left[\begin{array}{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_k\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\varphi }_k\\ \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_k\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\varphi }_k\\ \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_k\end{array}\right]\right)\\ k=\mathrm{1,2},\cdots ,K\end{array}(8)

不难看出，几种误差最终会使各个阵元接收信号的初始相位发生变化.其中，位置误差导致初始相位随着信号源的俯仰角与方位角改变，通信时延误差导致初始相位随着信号载频的变化而改变.当位置误差超过半波长时，初始相位的变化范围会超过\pm \mathrm{\pi }.目前普遍认为，蜂群柔性阵列适合工作在UHF（300 MHz~3 GHz）频段.在该频段下，以\mathrm{100}\mathrm{p}\mathrm{s}的通信时延误差为例，这种水平的误差带来的相位变化不会超过\mathrm{\pi }.

1.2　基于双频法的阵列误差联合校正方法

接收信号包括位置误差、通信时延误差、相位误差以及噪声（式（5））.针对前三者因素开展对误差的校正，但需要考虑噪声产生的影响.因此，在校正中，将总位置误差的估计值\mathrm{\Delta }\mathit{P}分解为与校正信号相关的阵元误差估计\mathrm{\Delta }{\mathit{P}}_c和与噪声相关的误差估计\mathrm{\Delta }{\mathit{P}}_n，即：

\mathrm{\Delta }\mathit{P}=\mathrm{\Delta }{\mathit{P}}_c+\mathrm{\Delta }{\mathit{P}}_n(9)

首先，分别提取两个载频对应的实际导向矢量.以载频f_{\mathrm{1}}为例，由于信号波形已知，采用SMSWF方法^［12］直接求出与信号子空间相对应的归一化多阶维纳滤波器系数，即：

{\mathit{h}}_{\left(\mathrm{1},k\right)}=\frac{E\left[{\mathit{g}}_{\left(\mathrm{1},k\right)}\left(n\right)s_{\left(k\right)}^{\mathrm{H}}\left(n\right)\right]}{{‖E\left[{\mathit{g}}_{\left(\mathrm{1},k\right)}\left(n\right)s_{\left(k\right)}^{\mathrm{H}}\left(n\right)\right]‖}_{\mathrm{2}}}(10)

其中，E\left[•\right]表示取N个样本的平均值.不考虑噪声带来的误差，{\mathit{h}}_{\left(\mathrm{1},k\right)}的具体形式可表示为：

\begin{array}{l}{\mathit{h}}_{\left(\mathrm{1},k\right)}=\\ \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(j\mathit{\psi }+\mathrm{2}\mathrm{\pi }j{f}_{\mathrm{1}}\mathit{\tau }-j\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{{\lambda }_{\mathrm{1}}}\left(\mathit{P}+\mathrm{\Delta }\mathit{P}\right)\left[\begin{array}{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_k\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\varphi }_k\\ \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_k\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\varphi }_k\\ \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_k\end{array}\right]\right)\end{array}(11)

可以看出，排除噪声带来的误差，多阶维纳滤波器系数就是含误差导向矢量.用{\mathit{b}}_k={\mathit{h}}_{\left(\mathrm{1},k\right)}\oslash {\mathit{h}}_{\left(\mathrm{2},k\right)}表示第k个校正源载频f_{\mathrm{1}},f_{\mathrm{2}}各自对应的归一化多阶维纳滤波器系数{\mathit{h}}_{\left(\mathrm{1},k\right)},{\mathit{h}}_{\left(\mathrm{2},k\right)}按对应元素相除的结果，其中，\oslash表示向量对应元素相除，则{\mathit{b}}_k可以表示为：

{\mathit{b}}_k=\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(j\mathrm{2}\mathrm{\pi }\left(f_{\mathrm{1}}-f_{\mathrm{2}}\right)\mathit{\tau }-j\mathrm{2}\mathrm{\pi }\left(\frac{\mathrm{1}}{{\lambda }_{\mathrm{1}}}-\frac{\mathrm{1}}{{\lambda }_{\mathrm{2}}}\right)\left(\mathit{P}+\mathrm{\Delta }\mathit{P}\right)\left[\begin{array}{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_k\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\varphi }_k\\ \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_k\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\varphi }_k\\ \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_k\end{array}\right]\right)(12)

不难发现，{\mathit{b}}_k的形式等效为一个频率为f_c=f_{\mathrm{1}}-f_{\mathrm{2}}的信号的含误差导向矢量，将f_c称为等效频率.其对应的等效波长{\lambda }_c可以表示为：

{\lambda }_c=\frac{{\lambda }_{\mathrm{2}}{\lambda }_{\mathrm{1}}}{{\lambda }_{\mathrm{2}}-{\lambda }_{\mathrm{1}}}(13)

因此，用等效频率f_c与等效波长{\lambda }_c将{\mathit{b}}_k表示为以下形式：

\begin{array}{l}{\mathit{b}}_k=\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(j\mathrm{2}\mathrm{\pi }{f}_c\mathit{\tau }-j\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{{\lambda }_c}\left(\mathit{P}+\mathrm{\Delta }\mathit{P}\right)\left[\begin{array}{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_k\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\varphi }_k\\ \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_k\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\varphi }_k\\ \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_k\end{array}\right]\right)=\\ \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(j\mathrm{2}\pi f_c\mathit{\tau }-j\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{{\lambda }_c}\mathrm{\Delta }\mathit{P}\left[\begin{array}{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_k\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\varphi }_k\\ \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_k\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\varphi }_k\\ \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_k\end{array}\right]\right)\odot \\ \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-j\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{{\lambda }_c}\mathit{P}\left[\begin{array}{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_k\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\varphi }_k\\ \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_k\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\varphi }_k\\ \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_k\end{array}\right]\right)={\mathit{\gamma }}_k^c\odot {\mathit{a}}_k^c\\ k=\mathrm{1,2},\cdots ,K\end{array}(14)

其中，{\mathit{a}}_k^c为对应的理想等效导向矢量，{\mathit{\gamma }}_k^c是误差项引起的信号变化.对{\mathit{\gamma }}_k^c取相位，得：

{\mathit{\kappa }}_k^c=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\left({\mathit{\gamma }}_k^c\right)=\mathrm{2}\mathrm{\pi }{f}_c\mathbf{\tau }-\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{{\lambda }_c}\mathrm{\Delta }\mathit{P}\left[\begin{array}{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_k\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\varphi }_k\\ \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_k\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\varphi }_k\\ \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_k\end{array}\right](15)

设\mathrm{\Delta }{\mathit{\kappa }}_k^c={\mathit{\kappa }}_k^c-{\mathit{\kappa }}_{\mathrm{1}}^c,k=\mathrm{2},\cdots ,K，可以得到：

\mathrm{\Delta }{\mathit{\kappa }}_k^c=-\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{{\lambda }_c}\mathrm{\Delta }\mathit{P}\left[\begin{array}{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_k\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\varphi }_k-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{\mathrm{1}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\varphi }_{\mathrm{1}}\\ \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_k\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\varphi }_k-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{\mathrm{1}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\varphi }_{\mathrm{1}}\\ \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_k-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{1}}\end{array}\right]=-\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{{\lambda }_c}\mathrm{\Delta }\mathit{P}{\mathit{\theta }}_{\mathrm{c}\mathrm{s},k}(16)

其中，

{\mathit{\theta }}_{\mathrm{c}\mathrm{s},k}={\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_k\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\varphi }_k-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{\mathrm{1}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\varphi }_{\mathrm{1}}& \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_k\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\varphi }_k-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{\mathrm{1}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\varphi }_{\mathrm{1}}& \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_k-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{1}}\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}

为导向差向量，由此可以构成一个\left(K-\mathrm{1}\right)\times \mathrm{1}的相位误差矩阵：

\mathrm{\Delta }{\mathit{\kappa }}_c={\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{\Delta }{\mathit{\kappa }}_{\mathrm{2}}^c& \cdots & \mathrm{\Delta }{\mathit{\kappa }}_K^c\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}

有：

\mathrm{\Delta }{\mathit{\kappa }}_c=-\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{{\lambda }_c}\mathrm{\Delta }\mathit{P}{\mathit{\theta }}_{cs}(17)

其中，{\mathit{\theta }}_{cs}={\left[\begin{array}{lll}{\mathit{\theta }}_{\mathrm{c}\mathrm{s},\mathrm{2}}& \cdots & {\mathit{\theta }}_{\mathrm{c}\mathrm{s},K}\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}.根据最小二乘原则，可以得到阵元位置误差参数的估计值为：

\mathrm{\Delta }{\widehat{\mathit{P}}}_c=-\frac{{\lambda }_c}{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}\mathrm{\Delta }{\mathit{\kappa }}_c{\mathit{\theta }}_{cs}^{\mathrm{T}}{\left({\mathit{\theta }}_{cs}{\mathit{\theta }}_{cs}^{\mathrm{T}}\right)}^{-\mathrm{1}}(18)

由于噪声的影响，此时得到的阵元位置误差与实际值仍然存在偏差\mathrm{\Delta }{\mathit{P}}_n，但是两频率分量f_{\mathrm{1}}与f_{\mathrm{2}}的半波长均超过该偏差.此时用估计出的位置误差更新理论位置，使用两个频率的归一化多阶维纳滤波器系数{\mathit{h}}_{\left(\mathrm{1},k\right)},{\mathit{h}}_{\left(\mathrm{2},k\right)}分别按照单频法计算位置误差与相位误差.更新后的理论位置{\mathit{P}}_n可以表示为：

{\mathit{P}}_n=\mathit{P}+\mathrm{\Delta }{\widehat{\mathit{P}}}_c(19)

则对应的待估计的位置误差的偏差为：

\mathrm{\Delta }{\widehat{\mathit{P}}}_n=\mathrm{\Delta }\mathit{P}-\mathrm{\Delta }{\widehat{\mathit{P}}}_c

由于相位误差\mathit{\psi }与时延误差\mathit{\tau }均只对导向矢量相位有影响，在频率f_{\mathrm{1}},f_{\mathrm{2}}下，两者带来的总相位误差分别为{\mathit{\phi }}_{\mathrm{1}},{\mathit{\phi }}_{\mathrm{2}}：

{\mathit{\phi }}_i=\mathit{\psi }+\mathrm{2}\mathrm{\pi }{f}_i\mathit{\tau },i=\mathrm{1,2}(20)

将两个频率的接收信号数据分开使用，仿照袁春姗等^［12］的方法，可以计算出对应的位置误差偏差\mathrm{\Delta }{\widehat{\mathit{P}}}_n与两频率各自对应的总相位误差{\widehat{\mathit{\phi }}}_{\mathrm{1}},{\widehat{\mathit{\phi }}}_{\mathrm{2}}：

\mathrm{\Delta }{\widehat{\mathit{P}}}_i^n=-\frac{{\lambda }_i}{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}\mathrm{\Delta }{\mathit{\kappa }}_i{\mathit{\theta }}_{cs}^{\mathrm{T}}{\left({\mathit{\theta }}_{cs}{\mathit{\theta }}_{cs}^{\mathrm{T}}\right)}^{-\mathrm{1}},i=\mathrm{1,2}(21a)

\begin{array}{l}{\widehat{\mathit{\phi }}}_i=\frac{\mathrm{1}}{K}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}\left({\mathit{\kappa }}_{(i,k)}+\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{{\lambda }_i}\mathrm{\Delta }{\widehat{\mathit{P}}}_i^n\left[\begin{array}{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_k\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\varphi }_k\\ \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_k\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\varphi }_k\\ \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_k\end{array}\right]\right)\\ i=\mathrm{1,2}\end{array}(21b)

两频率分量各自得到的位置误差偏差不同，这是由于两者各自的接收信号噪声不同，影响了式（21a）中的\mathrm{\Delta }{\mathit{\kappa }}_{\mathrm{1}},\mathrm{\Delta }{\mathit{\kappa }}_{\mathrm{2}}.将两者取平均，得到剩余位置误差更精确的估计值\mathrm{\Delta }{\widehat{\mathit{P}}}_n：

\mathrm{\Delta }{\widehat{\mathit{P}}}_n=\frac{\mathrm{\Delta }{\widehat{\mathit{P}}}_{\mathrm{1}}^n+\mathrm{\Delta }{\widehat{\mathit{P}}}_{\mathrm{2}}^n}{\mathrm{2}}(22)

由此，可以得到校正后的总位置误差估计值\mathrm{\Delta }\widehat{\mathit{P}}：

\mathrm{\Delta }\widehat{\mathit{P}}=\mathrm{\Delta }{\widehat{\mathit{P}}}_c+\mathrm{\Delta }{\widehat{\mathit{P}}}_n(23)

工程实际中，使用\mathrm{\Delta }{\widehat{\mathit{P}}}_n分别代替式（21b）中的\mathrm{\Delta }{\widehat{\mathit{P}}}_{\mathrm{1}}^n与\mathrm{\Delta }{\widehat{\mathit{P}}}_{\mathrm{2}}^n，{\widehat{\mathit{\phi }}}_{\mathrm{1}},{\widehat{\mathit{\phi }}}_{\mathrm{2}}的估计精度更高.再将{\widehat{\mathit{\phi }}}_{\mathrm{1}},{\widehat{\mathit{\phi }}}_{\mathrm{2}}代入式（20），分别可以得到时延误差的估计值\widehat{\mathit{\tau }}与相位误差的估计值\widehat{\mathit{\psi }}：

\widehat{\mathit{\tau }}=\frac{{\widehat{\mathit{\phi }}}_{\mathrm{1}}-{\widehat{\mathit{\phi }}}_{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}\mathrm{\pi }\left(f_{\mathrm{1}}-f_{\mathrm{2}}\right)}(24a)

\widehat{\mathit{\psi }}=\frac{{\widehat{\mathit{\phi }}}_{\mathrm{1}}+{\widehat{\mathit{\phi }}}_{\mathrm{1}}-\mathrm{2}\mathrm{\pi }\left(f_{\mathrm{1}}+f_{\mathrm{2}}\right)\widehat{\mathit{\tau }}}{\mathrm{2}}(24b)

1.3　校正算法

以下算法给出了双频法联合误差校正的具体步骤.

算法

基于SMSWF法的双频阵列误差联合校正算法

输入：载频f_{\mathrm{1}},f_{\mathrm{2}}；整个阵列的阵元位置矩阵\mathit{P}；校正源各自俯仰角{\theta }_k、方位角{\varphi }_k、发射波形s_k\left(n\right)，阵列接收到的各个校正源以两载频分别发出的信号{\mathit{g}}_{\left(\mathrm{1},k\right)},{\mathit{g}}_{\left(\mathrm{2},k\right)}.

输出：位置误差估计值\mathrm{\Delta }\widehat{\mathit{P}}、时延误差估计值\widehat{\mathit{\tau }}与相位误差估计值\widehat{\mathit{\psi }}.

步骤1.根据式（10）计算各个校正源对应的归一化多阶维纳滤波器系数{\mathit{h}}_{\left(\mathrm{1},k\right)},{\mathit{h}}_{\left(\mathrm{2},k\right)}；

步骤2.根据{\mathit{h}}_{\left(\mathrm{1},k\right)},{\mathit{h}}_{\left(\mathrm{2},k\right)}计算每个校正源各自对应的{\mathit{b}}_k；

步骤3.按照式（14）和式（15）的步骤，利用{\mathit{b}}_k与对应的理想等效导向矢量{\mathit{a}}_k^c计算位置与通信时延误差带来的相位变化{\mathit{\kappa }}_k^c；

步骤4.根据式（16）与式（18），计算粗略估计的位置误差\mathrm{\Delta }{\widehat{\mathit{P}}}_c；

步骤5.根据式（19）更新阵元位置{\mathit{P}}_n；

步骤6.利用{\mathit{P}}_n与各个校正源对应的{\mathit{h}}_{\left(\mathrm{1},k\right)},{\mathit{h}}_{\left(\mathrm{2},k\right)}，根据式（21a）计算两频率对应的位置误差偏差估计结果\mathrm{\Delta }{\widehat{\mathit{P}}}_{\mathrm{1}}^n,\mathrm{\Delta }{\widehat{\mathit{P}}}_{\mathrm{2}}^n，并根据式（22）和式（23）计算得到总位置误差的估计值\mathrm{\Delta }\widehat{\mathit{P}}；

步骤7.根据式（21b）计算相位与时延带来的总相位误差估计结果{\widehat{\mathit{\phi }}}_{\mathrm{1}},{\widehat{\mathit{\phi }}}_{\mathrm{2}}，再根据式（24）计算得到时延误差的估计值\widehat{\mathit{\tau }}与相位误差的估计值\widehat{\mathit{\psi }}.

2 仿真分析

2.1　仿真条件设置

为了验证本文所提方法的性能，设计了校正效果演示实验和不同算法校正效果的对比实验；同时，对不同频差选取方案进行测试，并对所提方法对不同信噪比（Signal⁃to⁃Noise Ratio，SNR）的校正效果进行了分析.为了控制实验变量和保证结果的可比性，各实验中的信号源方位、阵列构型、阵元个数、通信时延误差范围、相位误差范围及位置误差范围的参数保持一致，具体取值如表1所示.阵元编号方法如图2所示.

为了评价本文算法在位置误差超过半波长情况下的校正性能，对于参数的设置，蜂群工作频率3 GHz对应的半波长为0.05 m，位置误差的绝对值最大为1 m，相当于20倍半波长.各实验中，校正频率对应的半波长均不超过0.052 m，这样的参数设置满足“位置误差超过半波长”的要求.评价指标上，分别计算各类型误差的总体校正精度指标（acc），计算方法如下：

acc=\left(\mathrm{1}-\frac{\mathrm{校正}\mathrm{后误}\mathrm{差最}\mathrm{大范}\mathrm{围}}{\mathrm{校正}\mathrm{前误}\mathrm{差分}\mathrm{布范}\mathrm{围}}\right)\times \mathrm{100}\mathrm{\%}

2.2　双频法校正效果

本实验旨在展示所提算法在位置误差超过半波长情况下的校正性能.设置SNR=\mathrm{20}\mathrm{d}\mathrm{B}，频差为50 MHz.仿真所得结果如图3所示.其中，图3a和图3b分别为位置误差的校正结果与估计误差，图3c和图3d分别为通信时延误差的校正结果与估计误差，图3e和图3f分别为相位误差的校正结果与估计误差.位置误差、时延误差、相位误差三者的最大估计误差分别为7.64×10^-5 m，6.00 ps与6.43°，均在图中标示出来.其中，相位误差与时延误差虽然估计值与实际相差较大，但是两者为阵列带来的总误差估计值与实际吻合，分别如图3g，图3h和图3i，图3j所示.其中，频率1对应总误差的最大估计误差为0.135°，频率2对应总误差的最大估计误差为0.182°，两者的校正精度分别达到99.67%和99.55%.这样的阵列位置与相位误差的估计精度在3 GHz工作频率下可以满足实际系统对信号处理精度的要求，能够有效支持后续的波束形成、DOA估计等高精度阵列信号处理任务.

2.3　双频法频差选取实验

双频法中，选取的频差越大，等效波长越小.在位置误差范围一定的情况下，当频差超过一定范围时，式（16）可能因为相位混叠不成立.理论上，只存在位置误差时，一维线阵最大校正频差对应的等效波长为位置误差范围的两倍.但是由于幅相与通信时延误差、噪声带来的相位提取误差等因素的存在，实际可用的频差要小于上述范围.本实验验证了在通信时延、相位误差等因素存在的情况下，实际可用的最大频差.由于双频法的频差选取只与位置、相位、通信时延误差有关，本实验得出的频差选取实验结论适用于UHF频段内所有频率.

固定SNR=\mathrm{20}\mathrm{d}\mathrm{B},选择50，70，90，110 MHz作为频差，分别绘制阵列阵元位置误差、相位误差、通信时延误差在不同频差下的测量误差，如图4所示.图4a和图4b展示了阵元位置误差的校正结果，图4c和图4d展示了通信时延误差的校正结果，图4e和图4f为相位误差的校正结果.由图可见，和50与70 MHz相比，选择90与110 MHz作为频差校正时，均出现了大量阵元的三种误差都没有实现校正的情况.以位置误差的校正效果为例，如图4b所示，部分阵元位置误差的估计误差达到3 m以上，超过了校正前的位置误差范围；如图4a所示，选择50与70 MHz，所有阵元校正后的位置误差均在10^-5 m数量级.同样的现象在相位与通信时延误差的校正效果的对比中也有出现.工程实际中，考虑到频差越大，物理实现难度越高，UHF频段内，针对实验中的误差范围，建议选择50 MHz作为双频法的频差.

2.4　 SNR不同时的误差校正效果

本实验验证了在位置误差超过半波长的前提下，校正算法在SNR不同时的校正效果.固定频差为50 MHz，选择SNR=\mathrm{10,15,20}\mathrm{d}\mathrm{B}，分别绘制阵列阵元位置误差、相位误差、通信时延误差以及两载频在通信时延与相位误差影响下的总误差在SNR不同时的测量误差，如图5所示.图5a~c分别为校正算法在位置误差、通信时延误差与相位误差上的校正结果，图5d和图5e分别为两个频率下的总相位.可以看出，从10 dB到20 dB，所有误差校正后的误差最大值随着SNR的增大而减小，但是位置误差、通信时延与相位误差带来的总误差在校正后都保持在较小的范围内.当位置误差不超过2×10^-4 m时，两个频率各自对应的总相位误差{\mathit{\phi }}_{\mathrm{1}}与{\mathit{\phi }}_{\mathrm{2}}均不超过0.4°.

2.5　与传统算法的对比

本实验分别对比了所提双频校正算法与文献［12］的算法和专利［21］在位置误差超过半波长前提下的校正效果.由于文献［12］的算法只能校正位置与相位误差，所以本实验进行了两项对比：位置误差的校正结果、阵元相位误差+通信时延误差带来的总相位误差{\mathit{\phi }}_{\mathrm{1}}的校正结果.对比实验中，SNR=\mathrm{20}\mathrm{d}\mathrm{B}，双频法频差选择50 MHz.按照所给定的误差范围，对于3 GHz工作频率，{\mathit{\phi }}_{\mathrm{1}}处于-20°~128°，跨度为148°.

图6a和图6b分别展示了本文提出算法和传统算法的位置误差的估计误差，图7a和图7b分别展示了本文提出算法和传统算法的总相位估计误差.实验结果表明，传统算法的位置误差的估计误差与误差范围基本处于同一数量级.总相位误差{\mathit{\phi }}_{\mathrm{1}}的估计误差分布在-200°~300°，这个跨度是校正前的四倍以上，说明位置误差超过半波长时，传统校正算法几乎失效.基于双频法的校正算法位置误差的最大估计误差小于7×10^-5 m，总相位误差{\mathit{\phi }}_{\mathrm{1}}的最大估计误差小于0.20°.

对比本文算法与专利［21］在位置误差超过半波长情况下的校正效果，选择SNR=\mathrm{20}\mathrm{d}\mathrm{B}，双频法的频差选择50 MHz，对比项目与上一个实验一致.另外，考虑到专利［21］为线阵校正算法，将表1所提的阵列构型调整为排列在x轴上的10倍半波长均匀线阵，阵元16个，校正源数量不变，俯仰角取值不变，方位角的取值依次变为\left[-\mathrm{40}°,\mathrm{40}°,\mathrm{55}°,-\mathrm{20}°\right].对应实验校正只使用校正源方位角信息.为了平衡算法的收敛性与运行时间，根据专利［21］提出的ADMM算法参数，选择步长{\rho }_{\mathrm{1}}={\rho }_{\mathrm{2}}=\mathrm{10}，ADMM的最大迭代次数K_{\mathrm{0}}=\mathrm{200}，位置误差最大迭代次数T_{\mathrm{0}}=\mathrm{100}，BFGS算法最多迭代50次.

图8a和图8b分别展示了本文提出的算法与专利［21］所提算法的位置误差的估计误差，图9a和图9b分别展示了本文提出的算法与专利［21］所提算法的总相位估计误差.

实验结果表明，梁军利等的专利^［21］所提算法位置误差的最大估计误差为实际位置误差所处范围的2~3倍；总相位误差{\mathit{\phi }}_{\mathrm{1}}估计误差分布在-150°~100°，这个跨度是校正前的两倍左右.说明其位置误差超过半波长时，专利［21］提出的校正算法几乎失效.基于双频法的校正算法位置误差的最大估计误差小于8×10^-5 m，总相位误差{\mathit{\phi }}_{\mathrm{1}}最大估计误差小于0.30°.

从上述对比实验结果可以看出，传统算法在位置误差超过半波长时几乎失效，而本文所提算法不受半波长的约束，无论是位置误差还是总相位误差，校正精度提升了3~4个数量级，证明了所提算法在位置误差远超半波长的情况下的有效性.

3 结论

本文在SMSWF方法的基础上引入双频法，实现了位置误差超过半波长的情况下，位置、相位、通信时延误差的联合校正.仿真实验证实了所提方法的有效性，并给出了UHF频段内特定柔性阵列的频差选择.

同时，实验结果表明，在SNR=\mathrm{10}~\mathrm{20}\mathrm{d}\mathrm{B}时，所提算法具有较好的参数估计性能.由于等效频率法采用了含高斯白噪声变量相除的结构，该方法在SNR较小的环境中误差估计性能会受噪声相位影响急剧下降，后续需要改进误差相关的观测量表达式结构.

工程实际中，有源校正可能存在校正源位置存在误差、远场假设不准确以及特殊环境不允许多方位放置校正源等问题，这也是后续研究的工作方向.

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基金资助

航空科学基金(20240020053003)

航空科学基金(20200020053001)

电磁空间安全全国重点实验室开放基金