求解一类时间分数阶扩散方程的深度学习方法

摘要

偏微分方程可以用深度学习方法求解，其求解思路是构建损失函数、采集样本点，然后在采集到的时空样本点上利用随机梯度下降法训练神经网络，直接去逼近方程，从而把方程求解问题转化为极小化损失函数的问题.特别地，对时间分数阶扩散方程而言，损失函数刻画了神经网络与方程的分数阶算子、初值条件、边界条件等的逼近程度.常见的损失函数有均方误差损失函数及交叉熵误差函数.理论上，使损失函数减小到零的神经网络就是方程的解.本文证明，用深度学习方法求解时间分数阶扩散方程时均方误差损失函数可以减小到零，且相应的神经网络在解区域上一致收敛到方程的真解，因而此时的神经网络就是方程的解.数值算例验证了理论分析.

关键词

神经网络 / 时间分数阶扩散方程 / 数值分析