脉冲半流的上度量平均维数

Upper metric mean dimensions for impulsive semi-flow

摘要

本文引入了脉冲半流的上度量平均维数这个刻画脉冲半流复杂性的新指标，研究了该上度量平均维数与脉冲半流上已有上度量平均维数的关系。本文证明，在脉冲半流连续的情况下，该上度量平均维数与已有的上度量平均维数相等，且正则脉冲半流拓扑共轭于一个连续流，二者的上度量平均维数相等。本文最后建立了脉冲半流关于该上度量平均维数的变分原理。

Abstract

In this paper，a new upper metric mean dimension is introduced for impulsive semi-flows to better characterize their complexity.First，relationship between the upper metric mean dimension and existing upper metric mean dimensions is investigated.Then the consistence of the upper metric mean dimension with existing upper metric mean dimensions is proven for the continuous semi-flows.Meanwhile，it is also proven that any regular impulsive semi-flow is semi-conjugate to a continuous semi-flow with the same upper metric mean dimension under suitable conditions.Finally，the variational principle for impulsive semi-flows is established.

关键词

脉冲半流 / 上度量平均维数 / 变分原理

Key words

impulsive semi-flow / upper metric mean dimension / variational principle（2020 MSC 37A35， 37B40）

作为描述脉冲演化过程的基本工具之一，脉冲半流刻画了连续过程被外界冲击突然打断时的演化，其中冲击的持续时间与整个演化过程的持续时间相比可以忽略不计。许多生物现象、 物理现象及最优控制模型都可以用脉冲半流来刻画。理论研究方面，无论是在有限维还是在无穷维空间中，人们对脉冲半流都非常感兴趣。其中，Lakshmikantham等^［1］的研究成功吸引了研究者对脉冲半流的关注。

近年来，对脉冲半流的研究陆续出现了一些成果，如文献［2-12］等。文献［13-14］各自引入了脉冲半流的熵，并证明，当脉冲半流连续时，这些拓扑熵与Bowen引入的经典拓扑熵是一致的，而对不连续脉冲半流这个结论则不成立。文献［15］引入了脉冲半流的τ-上度量平均维数和s-上度量平均维数，建立了关于τ-上度量平均维数的变分原理。

本文引入了脉冲半流相对于一个新的伪度量的上度量平均维数，研究了脉冲半流在连续和不连续情况下与该上度量平均维数的关系，以及该上度量平均维数与τ-上度量平均维数和s-上度量平均维数的关系。最后，本文建立了脉冲半流的上度量平均维数的变分原理。

1 预备知识

设\left(X,d\right)是一个紧度量空间，\psi :{\mathbb{R}}_{\mathrm{0}}^{+}\times X\to X是一个（不一定连续）半流，且\phi :{\mathbb{R}}_{\mathrm{0}}^{+}\times X\toX是一个连续半流，其中{\mathbb{R}}_{\mathrm{0}}^{+}=[\mathrm{0},+\mathrm{\infty })。设\mathrm{\epsilon }>\mathrm{0}。如果对任意x,y\in E,x\ne y，存在s\in \left[\mathrm{0},t\right]，使得d\left({\mathrm{\phi }}_s\left(x\right),{\mathrm{\phi }}_s\left(y\right)\right)>\mathrm{\epsilon }，则称F\subseteq X是X的一个\left(t,\mathrm{\epsilon }\right)-张成集。如果对任意x\in X，存在y\in F，使得对任意s\in \left[\mathrm{0},t\right],d\left({\mathrm{\phi }}_s\left(x\right),{\mathrm{\phi }}_s\left(y\right)\right)\le \mathrm{\epsilon }，则称E\subseteq X是X的一个\left(t,\mathrm{\epsilon }\right)-分离集。记sep\left(\mathrm{\phi },t,\mathrm{\epsilon }\right)为X的最大基数的\left(t,\mathrm{\epsilon }\right)-分离集，\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\left(\mathrm{\phi },t,\mathrm{\epsilon }\right)为X的最小基数的\left(t,\mathrm{\epsilon }\right)-张成集。

下面引入一些记号。若t\in \mathbb{R}，对任意正函数g\left(t\right)，令

\mathrm{𝒯}\left(g\left(t\right)\right):=\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}\frac{\mathrm{1}}{t}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}g\left(t\right)\mathrm{。}

对任意函数g(\mathrm{\epsilon })，其中\mathrm{\epsilon }\in {\mathbb{R}}^{+}，令

\mathrm{ℰ}\left(g\left(\mathrm{\epsilon }\right)\right):=\underset{\mathrm{\epsilon }\to \mathrm{0}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}\frac{g\left(\mathrm{\epsilon }\right)}{\left|\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{\epsilon }\right|}\mathrm{。}

若g(t,\mathrm{\epsilon })是关于t\in \mathbb{R}，\mathrm{\epsilon }\in {\mathbb{R}}^{+}的一个函数，令

\mathrm{ℰ}\mathit{𝒯}\left(g\left(t,\mathrm{\epsilon }\right)\right):=\underset{\mathrm{\epsilon }\to \mathrm{0}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}\frac{\mathrm{𝒯}\left(g\left(t,\epsilon \right)\right)}{\left|\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{\epsilon }\right|}\mathrm{。}

记

\overline{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_s}\left(X,\mathrm{\phi }\right)=\mathrm{ℰ}\mathrm{𝒯}\left(\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{p}\left(\mathrm{\phi },t,\epsilon \right)\right),

\overline{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_r}\left(X,\mathrm{\phi }\right)=\mathrm{ℰ}\mathrm{𝒯}\left(\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\left(\mathrm{\phi },t,\epsilon \right)\right)\mathrm{。}

定义1.1\left(X,\mathrm{\phi }\right)的上度量平均维数定义为：

\overline{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}}(X,\mathrm{\phi })={\overline{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}}}_s(X,\mathrm{\phi })=\overline{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_r}(X,\mathrm{\phi })\mathrm{。}

下面我们给出脉冲动力系统的定义。

定义1.2^［13］ 设函数\tau为对每个点x\in X，对应一族严格递增的非负数{\left({\mathrm{\tau }}_n\left(x\right)\right)}_{n\in A\left(x\right)}，其中l\in \mathbb{N}\bigcup \{\mathbb{\infty }\},A\left(x\right)=\{\mathrm{0,1},\cdots ,l\}，满足对所有x\in X,{\tau }_{\mathrm{0}}\left(x\right)=\mathrm{0}。我们称\mathrm{\tau }关于Z\subset X是可允许的（admissable），如果存在\mathrm{\eta }>\mathrm{0}满足：

1） 对任意x\in Z,{\tau }_{\mathrm{1}}\left(x\right)\ge \mathrm{\eta }，对任意 x\in X,n\in \mathbb{N}且n+\mathrm{1}\in A\left(x\right)，有

{\mathrm{\tau }}_{n+\mathrm{1}}\left(x\right)-{\mathrm{\tau }}_n\left(x\right)\ge \mathrm{\eta }；

2） 当时，{\mathrm{\tau }}_n\left(x\right)-s={\mathrm{\tau }}_{\mathrm{1}}\left({\mathrm{\psi }}_{{\mathrm{\tau }}_{n-\mathrm{1}}\left(x\right)+s}\left(x\right)\right)；

3） {\mathrm{\tau }}_{n+\mathrm{1}}\left(x\right)={\mathrm{\tau }}_{\mathrm{1}}\left({\mathrm{\psi }}_{{\mathrm{\tau }}_n\left(x\right)}\left(x\right)\right)。

对任意可允许函数\mathrm{\tau },x\in X,T>\mathrm{0}和，定义

{\mathrm{J}}_{T,\mathrm{\delta }}^{\mathrm{\tau }}\left(x\right)=(\mathrm{0},T]\setminus \bigcup _{j\in A\left(x\right)}\left({\mathrm{\tau }}_j\left(x\right)-\mathrm{\delta },{\mathrm{\tau }}_j\left(x\right)+\mathrm{\delta }\right)。

显然，当{\tau }_{\mathrm{1}}(x)>T时，J_{T,\mathrm{\delta }}^{\tau }(x)=(\mathrm{0},T]。

现在考虑连续半流\phi :{\mathbb{R}}_{\mathrm{0}}^{+}\times X\to X。一个非空紧子集D\subset X及连续映射I:D\to X。任给\xi >\mathrm{0}，令

定义1.3 设\left(X,\mathrm{\phi }\right)是一个动力系统，\mathrm{\lambda }>\mathrm{0},S\subset X,x\in S,U_S=\mathrm{\phi }\left(\left(-\lambda ,\lambda \right),S\right)是x的一个邻域。如果对任意\mathrm{y}\in U_S，存在唯一的z\in S和唯一的t\in \left(-\mathrm{\lambda },\mathrm{\lambda }\right)，使得\mathrm{\phi }\left(t,z\right)=y，那么称集合S是穿过x的一个\mathrm{\lambda }-截断。集合U_S称为是由S决定的穿过x的一个管。

定义1.4^［13］ 我们称D满足半管条件，若存在{\mathrm{\xi }}_{\mathrm{0}}>\mathrm{0}，满足：

1） 对任是一个开集；

2） 若对x\in X和t>\mathrm{0}有{\mathrm{\phi }}_t\left(x\right)\in D_{{\mathrm{\xi }}_{\mathrm{0}}}则存在及{\mathrm{\phi }}_{t^{\text{'}}}\left(x\right)\in D；

3） 对任意x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}}\in D及；

4） 存在C>\mathrm{0},满足对任意x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}}\in D，x_{\mathrm{1}}\ne x_{\mathrm{2}}，有

定义1.5 第一次脉冲时间函数{\tau }_{\mathrm{1}}:X\to {\mathbb{R}}_{\mathrm{0}}^{+}\bigcup \{\mathrm{\infty }\}定义为：

{\mathrm{\tau }}_{\mathrm{1}}\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\left\{t>\mathrm{0}:{\mathrm{\phi }}_t\left(x\right)\in D\right\},\mathrm{如果}\mathrm{存在}t>\mathrm{0},\\ \mathrm{使得}{\mathrm{\phi }}_t\left(x\right)\in D,\end{array}\\ +\mathrm{\infty },\mathrm{其他}\mathrm{。}\end{array}\right.

如果，我们定义第一次脉冲点为

x^{\mathrm{1}}=x^{\mathrm{1}}\left(x\right)={\mathrm{\phi }}_{{\mathrm{\tau }}_{\mathrm{1}}\left(x\right)}\left(x\right)\mathrm{。}

依次，若，则第\left(n+\mathrm{1}\right)次脉冲时间为

{\mathrm{\tau }}_{n+\mathrm{1}}\left(x\right)={\mathrm{\tau }}_{\mathrm{1}}\left(x\right)+{\sum }_{k=\mathrm{1}}^n{\mathrm{\tau }}_{\mathrm{1}}\left(I\left(x^k\right)\right),

第\left(n+\mathrm{1}\right)次脉冲点为

x^{n+\mathrm{1}}=x^{n+\mathrm{1}}\left(x\right)={\mathrm{\phi }}_{{\mathrm{\tau }}_{\mathrm{1}}\left(I\left(x^n\right)\right)}\left(I\left(x^n\right)\right)\mathrm{。}

令T\left(x\right)=\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\left\{{\mathrm{\tau }}_n\left(x\right):n\ge \mathrm{1}\right\}\mathrm{。}对点x\in X的脉冲漂移{\mathrm{\gamma }}_x:[\mathrm{0},T\left(x\right))\to X依次定义为

若{\mathrm{\tau }}_{\mathrm{1}}\left(x\right)>\mathrm{0}，且对任意x\in X,T\left(x\right)=\mathrm{\infty }，则称\left(X,\mathrm{\phi },D,I\right)是一个脉冲动力系统。若I\left(D\right)\bigcap D=\mathrm{\varnothing }，则对任意x\in X,T\left(x\right)=\mathrm{\infty }，且\mathrm{\tau }={\left\{{\mathrm{\tau }}_n\left(x\right)\right\}}_{n\ge \mathrm{1}}是关于D的可允许函数^［4］。

定义1.6 脉冲动力系统\left(X,\mathrm{\phi },D,I\right)的脉冲半流\mathrm{\psi }定义为：\mathrm{\psi }:{\mathbb{R}}_{\mathrm{0}}^{+}\times X\to X,\left(t,x\right)\mapsto {\mathrm{\gamma }}_x\left(t\right)\mathrm{。}

\mathrm{\psi }是一个半流，但不一定连续^［2］。当\left(X,\mathrm{\phi },D,I\right)是一个脉冲动力系统时，{\mathrm{\tau }}_{\mathrm{1}}:X\backslash D是下半连续的^［3］。任给\mathrm{\xi }>\mathrm{0}，令X_{\mathrm{\xi }}=X\mapsto \left(D\bigcup D_{\mathrm{\xi }}\right)。因D是紧集，I是连续映射，且I\left(D\right)\bigcap D=\mathrm{\varnothing }，所以可以选\mathrm{\xi }充分小，使得I\left(D\right)\bigcap D_{\mathrm{\xi }}=\mathrm{\varnothing }。若{\mathrm{\phi }}_{\mathrm{\xi }}\left(D_{\mathrm{\xi }}\right)\subset X_{\mathrm{\xi }}，则集合X_{\mathrm{\xi }}在\mathrm{\psi }作用下是向前不变的^［4］。要控制\mathrm{\phi }的轨道进入D的时刻，我们引入函数

{\mathrm{\tau }}^{\mathrm{*}}\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{\tau }}_{\mathrm{1}}\left(x\right),x\in X_{\mathrm{\xi }},\\ \mathrm{0},x\in D\mathrm{。}\end{array}\right.

后文总假设{\mathrm{\tau }}^{\mathrm{*}}是连续的。

定义1.7^［13］ 若存在s_{\mathrm{0}}>\mathrm{0},{\mathrm{\xi }}_{\mathrm{0}}>\mathrm{0}，满足

1） 对任意；

2） 对任意x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}}\in I\left(D\right)，x_{\mathrm{1}}\ne x_{\mathrm{2}}，有

3） 存在C>\mathrm{0}满足对任意x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}}\in I\left(D\right)，x_{\mathrm{1}}\le x_{\mathrm{2}}，有

,

则称I\left(D\right)是一个横截。

2 脉冲半流的上度量平均维数

定义2.1^［16］ 对x\in X,t>\mathrm{0}，流\mathrm{\psi }和\mathrm{\delta }>\mathrm{0}定义伪度量

d_{\mathrm{\delta }}^{\mathrm{1},\mathrm{\psi }}\left(x,y\right)=\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\left\{d\left({\mathrm{\psi }}_{s_{\mathrm{1}}}\left(x\right),{\mathrm{\psi }}_{s_{\mathrm{2}}}\left(y\right)\right):s_{\mathrm{1}},s_{\mathrm{2}}\in [\mathrm{0},\mathrm{\delta })\right\}\mathrm{。}

对\mathrm{\epsilon }>\mathrm{0},t>\mathrm{0}，集合F\subseteq X，如果对任意x\in X都存在y\in F，使得对任意s\in \left[\mathrm{0},t\right]，

,

则称F为X相对于d_{\mathrm{\delta }}^{\mathrm{1},\mathrm{\psi }}的\left(\mathrm{\psi },t,\mathrm{\epsilon },\mathrm{\delta }\right)-张成集。集合E\subseteq X称为X相对于d_{\mathrm{\delta }}^{\mathrm{1},\mathrm{\psi }}的\left(\mathrm{\psi },t,\mathrm{\epsilon },\mathrm{\delta }\right)-分离集，如果对任意x,y\in E,x\ne y，存在s\in \left[\mathrm{0},t\right]，使得

d_{\mathrm{\delta }}^{\mathrm{1},\mathrm{\psi }}\left(d\left({\mathrm{\psi }}_s\left(x\right),{\mathrm{\psi }}_s\left(y\right)\right)\right)\ge \mathrm{\epsilon }。

记\overline{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{p}}\left(\mathrm{\psi },t,\mathrm{\epsilon },\mathrm{\delta }\right)为X相对于d_{\mathrm{\delta }}^{\mathrm{1},\mathrm{\psi }}的最大基数的\left(\mathrm{\psi },t,\mathrm{\epsilon },\mathrm{\delta }\right)-分离集，\overline{\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}}\left(\mathrm{\psi },t,\mathrm{\epsilon },\mathrm{\delta }\right)为X相对于d_{\mathrm{\delta }}^{\mathrm{1},\mathrm{\psi }} 的最小基数的\left(\mathrm{\psi },t,\mathrm{\epsilon },\mathrm{\delta }\right)-张成集。

定义2.2^［17］ 对x\in X,t>\mathrm{0}，流\mathrm{\psi }和\mathrm{\delta }>\mathrm{0},定义伪度量

d_{\mathrm{\delta }}^{\mathrm{\psi }}\left(x,y\right)=\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\left\{d\left({\mathrm{\psi }}_{\mathrm{s}}\left(x\right),{\mathrm{\psi }}_s\left(y\right)\right):s\in [\mathrm{0},\mathrm{\delta })\right\}\mathrm{。}

类似地，对 \mathrm{\epsilon }>\mathrm{0},t>\mathrm{0}可以定义X相对于d_{\mathrm{\delta }}^{\mathrm{\psi }}的\left(\mathrm{\psi },t,\mathrm{\epsilon },\mathrm{\delta }\right)-张成集和\left(\mathrm{\psi },t,\mathrm{\epsilon },\mathrm{\delta }\right)-分离集。记\widehat{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{p}}\left(\mathrm{\psi },t,\mathrm{\epsilon },\mathrm{\delta }\right)为X相对于d_{\mathrm{\delta }}^{\mathrm{\psi }}的最大基数的\left(\mathrm{\psi },t,\mathrm{\epsilon },\mathrm{\delta }\right)-分离集，\widehat{\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}}\left(\mathrm{\psi },t,\mathrm{\epsilon },\mathrm{\delta }\right)为X相对于d_{\mathrm{\delta }}^{\mathrm{\psi }}的最小基数的\left(\mathrm{\psi },t,\mathrm{\epsilon },\mathrm{\delta }\right)-张成集。

定义2.3\left(X,\mathrm{\psi }\right)相对于d_{\mathrm{\delta }}^{\mathrm{1},\mathrm{\psi }}上度量平均维数定义为

\begin{array}{l}\widetilde{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_s}\left(X,\mathrm{\psi }\right)=\underset{\mathrm{\delta }\to \mathrm{0}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\mathrm{ℰ}\mathrm{𝒯}\left(\overline{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{p}}\left(\mathrm{\psi },t,\mathrm{\epsilon },\mathrm{\delta }\right)\right),\\ \widetilde{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_r}\left(X,\mathrm{\psi }\right)=\underset{\mathrm{\delta }\to \mathrm{0}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\mathrm{ℰ}\mathrm{𝒯}\left(\overline{\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}}\left(\mathrm{\psi },t,\mathrm{\epsilon },\mathrm{\delta }\right)\right)\mathrm{。}\end{array}

(X,\mathrm{\psi })相对于d_{\mathrm{\delta }}^{\mathrm{\psi }}的上度量平均维数定义为

\widehat{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_s}\left(X,\mathrm{\psi }\right)=\underset{\mathrm{\delta }\to \mathrm{0}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\mathrm{ℰ}\mathrm{𝒯}\left(\widehat{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{p}}\left(\mathrm{\psi },t,\mathrm{\epsilon },\mathrm{\delta }\right)\right),

\widehat{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_r}\left(X,\mathrm{\psi }\right)=\underset{\mathrm{\delta }\to \mathrm{0}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\mathrm{ℰ}\mathrm{𝒯}\left(\widehat{\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}}\left(\mathrm{\psi },t,\mathrm{\epsilon },\mathrm{\delta }\right)\right)\mathrm{。}

文献［15］已经证明{\widehat{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}}}_r\left(X,\mathrm{\psi }\right)\le {\widehat{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}}}_s\left(X,\mathrm{\psi }\right)\le \mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}^{\tau }\left(X,\mathrm{\psi }\right)。

引理2.4 设\mathrm{\psi }:{\mathbb{R}}_{\mathrm{0}}^{+}\times X\to X是一个半流，则

\begin{array}{l}\widehat{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_r}\left(X,\mathrm{\psi }\right)\le \overline{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_r}\left(X,\mathrm{\psi }\right),\\ \widehat{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_s}\left(X,\mathrm{\psi }\right)\le \overline{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_s}\left(X,\mathrm{\psi }\right)\mathrm{。}\end{array}

证明 对于\mathrm{\delta }>\mathrm{0},\mathrm{\epsilon }>\mathrm{0}及t>\mathrm{0}，如果F是一个\left(\mathrm{\psi },t,\mathrm{\epsilon }\right)-张成集，显然F是相对于d_{\mathrm{\delta }}^{\mathrm{1},\mathrm{\psi }}的\left(\mathrm{\psi },t,\mathrm{\epsilon },\mathrm{\delta }\right)-张成集。故

\overline{\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}}\left(\mathrm{\psi },t,\mathrm{\epsilon },\mathrm{\delta }\right)\le \left|F\right|\le \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\left(\mathrm{\psi },t,\mathrm{\epsilon }\right)\mathrm{。}

因为F是任意的，根据上度量平均维数的定义可得

\widetilde{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_r}\left(X,\mathrm{\psi }\right)\le \widetilde{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_r}\left(X,\mathrm{\psi }\right)。

同理，

\widehat{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_s}\left(X,\mathrm{\psi }\right)\le \overline{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_s}\left(X,\mathrm{\psi }\right)\mathrm{。}

证毕。

引理2.5^［13］ 设\mathrm{\phi }:{\mathbb{R}}_{\mathrm{0}}^{+}\times X\to X是一个连续半流。对每一个\mathrm{\alpha }>\mathrm{0}，存在\mathrm{\beta }>\mathrm{0}满足，对任意x\in X，任意，有

引理2.6 设\mathrm{\psi }:{\mathbb{R}}_{\mathrm{0}}^{+}\times X\to X是一个连续半流，则

\begin{array}{l}\widetilde{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_r}\left(X,\mathrm{\psi }\right)\ge \overline{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_r}\left(X,\mathrm{\psi }\right),\\ \widetilde{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_s}\left(X,\mathrm{\psi }\right)\ge \overline{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_s}\left(X,\mathrm{\psi }\right)\end{array}。

证明 对t\ge0，\mathrm{\alpha }>\mathrm{0}，根据引理3.5及文献［13］中的定理A，存在\mathrm{\beta }>\mathrm{0}，。若，F是一个相对于d_{\mathrm{\delta }}^{\mathrm{1},\mathrm{\psi }}的\left(\mathrm{\psi },t,\mathrm{\epsilon },\mathrm{\delta }\right)-张成集，则F是一个\left(\mathrm{\psi },t,\mathrm{\alpha }\right)-张成集。若E\subseteq X是X的一个\left(\mathrm{\psi },t,\mathrm{\alpha }\right)-分离集，则E是相对于d_{\mathrm{\delta }}^{\mathrm{1},\mathrm{\psi }}的一个\left(\mathrm{\psi },t,\mathrm{\epsilon },\mathrm{\delta }\right)-分离集。因此，

\begin{array}{l}\widetilde{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_r}\left(X,\mathrm{\psi }\right)\ge \overline{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_r}\left(X,\mathrm{\psi }\right),\\ \widetilde{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_s}\left(X,\mathrm{\psi }\right)\ge \overline{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_s}\left(X,\mathrm{\psi }\right)\end{array}。

证毕。

定理2.7 设\mathrm{\psi }:{\mathbb{R}}_{\mathrm{0}}^{+}\times X\to X是一个半流，则

1） \widetilde{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_r}\left(X,\mathrm{\psi }\right)\le \widetilde{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_s}\left(X,\mathrm{\psi }\right)，若\mathrm{\psi }连续，则\widetilde{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_r}\left(X,\mathrm{\psi }\right)=\widetilde{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_s}\left(X,\mathrm{\psi }\right)；

2） \widetilde{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_r}\left(X,\mathrm{\psi }\right)\le \widehat{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_r}\left(X,\mathrm{\psi }\right),\widetilde{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_s}\left(X,\mathrm{\psi }\right)\le \widehat{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_s}\left(X,\mathrm{\psi }\right)。

证明 1） 设\mathrm{\delta }>\mathrm{0},\mathrm{\epsilon }>\mathrm{0},t>\mathrm{0}。因为具有包含关系的集合的并构成一种偏序关系，根据 Zorn引理，我们可以选一个相对于度量d_{\mathrm{\delta }}^{\mathrm{1},\mathrm{\psi }}的一个最大的\left(\mathrm{\psi },t,\mathrm{\epsilon },\mathrm{\delta }\right)-分离集E，则E是一个相对于度量d_{\mathrm{\delta }}^{\mathrm{1},\mathrm{\psi }}的\left(\mathrm{\psi },t,\mathrm{\epsilon },\mathrm{\delta }\right)-张成集。否则，反设E不是一个相对于度量d_{\mathrm{\delta }}^{\mathrm{1},\mathrm{\psi }}的\left(\mathrm{\psi },t,\mathrm{\epsilon },\mathrm{\delta }\right)-张成集。则存在x\in X，使得对任意y\in E，存在t_{\mathrm{0}}\in \left[\mathrm{0},t\right]，使得

d_{\mathrm{\delta }}^{\mathrm{1},\mathrm{\psi }}\left({\mathrm{\psi }}_{t_{\mathrm{0}}}\left(x\right),{\mathrm{\psi }}_{t_{\mathrm{0}}}\left(y\right)\right)\ge \mathrm{\epsilon }。

则E\cup \{x\}是一个\left(\mathrm{\psi },t,\mathrm{\epsilon },\mathrm{\delta }\right)-分离集，这与E是最大分离集矛盾，假设不成立。因此，

\widetilde{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_r}\left(X,\mathrm{\psi }\right)\le \widetilde{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_s}\left(X,\mathrm{\psi }\right)。

若\psi连续，则由引理2.4和引理2.6可得\widehat{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_r}\left(X,\mathrm{\psi }\right)=\widetilde{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_s}\left(X,\mathrm{\psi }\right)。

2） 对任意x,y\in X,\mathrm{\delta }>\mathrm{0},d_{\mathrm{\delta }}^{\mathrm{1},\mathrm{\psi }}\left(x,y\right)\le d_{\mathrm{\delta }}^{\mathrm{\psi }}\left(x,y\right)\mathrm{。}类似1）的证明可得结论。证毕。

3 正则脉冲半流的上度量平均维数间的关系

定义3.1\mathrm{\psi }是脉冲动力系统\left(X,\mathrm{\phi },D,I\right)上的一个半流。\mathrm{\psi }称为是正则的，如果满足：

1） I是Lispschitz的；

2） I\left(D\right)\bigcap D=\mathrm{\varnothing }满足半管条件；

3） I\left(D\right)为横截，且{\mathrm{\tau }}^{\mathrm{*}}连续。

定义3.2 设半流\mathrm{\psi }:{\mathbb{R}}_{\mathrm{0}}^{+}\times X\to X和半流\tilde{\mathrm{\psi }}:{\mathbb{R}}_{\mathrm{0}}^{+}\times \tilde{X}\to \tilde{X}分别作用在度量空间\left(X,d\right)和 \left(\tilde{X},\tilde{d}\right)\mathrm{。}如果存在Lipschitz双射h:X\to \tilde{X}满足： {\overline{\psi }}_t\circ h=h\circ {\mathrm{\psi }}_t,\forall t\ge \mathrm{0}，则称\mathrm{\psi }和\tilde{\mathrm{\psi }} Lipschitz共轭。

设\left(X,\mathrm{\phi },D,I\right)是一个脉冲动力系统。我们考虑商空间X/\sim并赋予商拓扑，其中\sim是一个等价关系，即x\sim y\iff x=y,x=I\left(y\right),y=I\left(x\right),或I\left(x\right)=I\left(y\right)\mathrm{。}设\mathrm{\pi }:X\to X/\sim是自然投射。若d是X上的度量，定义\mathrm{\pi }\left(X\right)上的伪度量\tilde{d}（\tilde{d}诱导了商拓扑）为

\tilde{d}\left(\tilde{x},\tilde{y}\right)=\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\left\{d\left(p_{\mathrm{1}},q_{\mathrm{1}}\right)+d\left(p_{\mathrm{2}},q_{\mathrm{2}}\right)+\cdots +d\left(p_n,q_n\right)\right\},

其中p_{\mathrm{1}},q_{\mathrm{1}},\dots ,p_n,q_n是X中的点构成的链，满足

p_{\mathrm{1}}\sim x,q_{\mathrm{1}}\sim p_{\mathrm{2}},q_{\mathrm{2}}\sim p_{\mathrm{3}},\cdots ,q_n\sim y\mathrm{。}

下面的引理将要证明，在一定的假设下，上面的伪度量就是一个度量。

假设I\left(D\right)\bigcap D=\mathrm{\varnothing },I是Lipschitz映射且D_{\mathrm{\xi }}是开集。由文献［17］中命题5.4知\left(\mathrm{\pi }\left(X\right),\tilde{d}\right)是紧度量空间。因此，\mathrm{\pi }\left(X_{\mathrm{\xi }}\right)=\mathrm{\pi }\left(X\setminus D_{\mathrm{\xi }}\right)是一个紧度量空间。对任意x,y\in X_{\mathrm{\xi }},x\sim y当且仅当x=y。故{\left.\mathrm{\pi }\right|}_{X_{\mathrm{\xi }}}是从X_{\mathrm{\xi }}到\mathrm{\pi }\left(X_{\mathrm{\xi }}\right)的一个双射。对任意x\in X_{\mathrm{\xi }},t>\mathrm{0}，可以令\tilde{\mathrm{\psi }}\left(t,\tilde{x}\right)=\mathrm{\pi }\left(\mathrm{\psi }\left(t,x\right)\right)\mathrm{。}显然，\tilde{\mathrm{\psi }}:{\mathbb{R}}_{\mathrm{0}}^{+}\times \mathrm{\pi }\left(X_{\mathrm{\xi }}\right)\to \mathrm{\pi }\left(X_{\mathrm{\xi }}\right)是良定义的，而且满足对任意t\ge \mathrm{0},{\left.{\tilde{\mathrm{\psi }}}_t\circ \mathrm{\pi }\right|}_{X_{\mathrm{\xi }}}={\left.\mathrm{\pi }\circ {\mathrm{\psi }}_t\right|}_{X_{\mathrm{\xi }}}\mathrm{。}由文献［13］中命题4.3及引理4.1，对任意\tilde{x},\tilde{y}\in \mathrm{\pi }(X)，

\tilde{d}\left(\tilde{x},\tilde{y}\right)=\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{d\left(p,q\right):p\sim x,q\sim y\}\mathrm{。}

因此，{\left.\mathrm{\pi }\right|}_{X_{\mathrm{\xi }}}:X_{\mathrm{\xi }}\to \mathrm{\pi }\left(X_{\mathrm{\xi }}\right)是 Lipschitz映射，且\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}\left({\left.\mathrm{\pi }\right|}_{X_{\mathrm{\xi }}}\right)=\mathrm{1}。

引理3.3 在上面假设下，有\widetilde{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_r}\left(X_{\mathrm{\xi }},{\left.\mathrm{\psi }\right|}_{X_{\mathrm{\xi }}}\right)\le \widetilde{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_r}\left(\mathrm{\pi }\left(X_{\mathrm{\xi }}\right),\tilde{\mathrm{\psi }}\right)\mathrm{。}

证明 对t>\mathrm{0}，其中{\mathrm{\epsilon }}_{\mathrm{1}},{\mathrm{\epsilon }}_{\mathrm{2}}满足文献［18］中引理4.5及引理4.6的条件，\mathrm{\beta }满足文献［18］中引理4.2，若F是\mathrm{\pi }\left(X_{\mathrm{\xi }}\right)相对于d_{\mathrm{\delta }}^{\tilde{\mathrm{\psi }},\mathrm{1}}的一个\left(\tilde{\mathrm{\psi }},t,\mathrm{\epsilon },\mathrm{\delta }\right)-张成集，则根据引理2.6的证明可知F是\mathrm{\pi }\left(X_{\mathrm{\xi }}\right)的一个\left(\tilde{\psi },\mathrm{t},\mathrm{\alpha }\right)-张成集。又由于\tilde{\mathrm{\psi }}连续，F是\mathrm{\pi }\left(X_{\mathrm{\xi }}\right)的一个\left(\tilde{\mathrm{\psi }},t,\mathrm{2}\mathrm{\alpha }\right)-分离集。由文献［15］中定理A得F是\mathrm{\pi }\left(X_{\mathrm{\xi }}\right)相对于d_{\mathrm{\delta }}^{\tilde{\mathrm{\psi }}}的一个\left(\tilde{\mathrm{\psi }},t,\mathrm{\alpha },\mathrm{\delta }\right)-分离集。因为{\left.\mathrm{\pi }\right|}_{X_{\mathrm{\xi }}}:X_{\mathrm{\xi }}\to \mathrm{\pi }\left(X_{\mathrm{\xi }}\right)是Lipschitz映射且\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}\left({\left.\mathrm{\pi }\right|}_{X_{\mathrm{\xi }}}\right)=\mathrm{1}。根据文献［15］中引理4.5，{\mathrm{\pi }}^{-\mathrm{1}}\left(F\right)是X_{\mathrm{\xi }}相对于d_{\mathrm{\delta }}^{\mathrm{\psi }}的一个 \left({\left.\mathrm{\psi }\right|}_{X_{\mathrm{\xi }}},t,\mathrm{\alpha },\mathrm{\delta }\right)-分离集。对任意d_{\mathrm{\delta }}^{\mathrm{\psi },\mathrm{1}}\left(x,y\right)\le d_{\mathrm{\delta }}^{\mathrm{\psi }}\left(x,y\right)，{\mathrm{\pi }}^{-\mathrm{1}}\left(F\right)是X_{\mathrm{\xi }}相对于d_{\mathrm{\delta }}^{\mathrm{\psi },\mathrm{1}}的一个 \left({\left.\mathrm{\psi }\right|}_{X_{\mathrm{\xi }}},t,\mathrm{\alpha },\mathrm{\delta }\right)-分离集。再根据定理2.7得{\mathrm{\pi }}^{-\mathrm{1}}\left(F\right)是X_{\mathrm{\xi }}相对于d_{\mathrm{\delta }}^{\mathrm{\psi },\mathrm{1}}的一个\left({\left.\mathrm{\psi }\right|}_{X_{\mathrm{\xi }}},t,\mathrm{\alpha },\mathrm{\delta }\right)-张成集。则

\overline{\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}}\left({\left.\mathrm{\psi }\right|}_{X_{\mathrm{\xi }}},t,\mathrm{\alpha },\mathrm{\delta }\right)\le \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}\left({\mathrm{\pi }}^{-\mathrm{1}}\left(F\right)\right)=\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}\left(F\right)\mathrm{。}

显然有

\widetilde{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_r}\left(X_{\xi },{\left.\mathrm{\psi }\right|}_{X_{\mathrm{\xi }}}\right)\le \widetilde{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_r}\left(\mathrm{\pi }\left(X_{\mathrm{\xi }}\right),\tilde{\mathrm{\psi }}\right)\mathrm{。}

证毕。

引理3.4 在上面假设下，有

\widetilde{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_r}\left(X_{\mathrm{\xi }},{\left.\mathrm{\psi }\right|}_{X_{\mathrm{\xi }}}\right)\ge\widetilde{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_r}\left(\mathrm{\pi }\left(X_{\mathrm{\xi }}\right),\tilde{\mathrm{\psi }}\right)\mathrm{。}

证明 因为{\left.\mathrm{\pi }\right|}_{X_{\mathrm{\xi }}}:X_{\mathrm{\xi }}\to \mathrm{\pi }\left(X_{\mathrm{\xi }}\right)是Lipschitz映射且\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}\left({\left.\mathrm{\pi }\right|}_{X_{\mathrm{\xi }}}\right)=\mathrm{1}，所以对任意\mathrm{\epsilon }>\mathrm{0}及任意x,y\in X有。设\mathrm{\delta }>\mathrm{0},t>\mathrm{0}，且F\subseteq X是相对于d_{\mathrm{\delta }}^{\mathrm{1},\mathrm{\psi }}的一个\left(\mathrm{\psi },t,\mathrm{\epsilon },\mathrm{\delta }\right)-张成集。则\mathrm{\pi }\left(F\right)是相对于d_{\mathrm{\delta }}^{\mathrm{1},\tilde{\mathrm{\psi }}}的一个\left(\tilde{\mathrm{\psi }},t,\mathrm{\epsilon },\mathrm{\delta }\right)-张成集。显然结论成立。证毕。

注1 由文献［15］中引理4.8和引理4.10知，如果\mathrm{\psi }是一个正则的脉冲半流，\mathrm{\xi },\mathrm{\pi }满足上面的条件，则\widehat{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_s}\left(X,\mathrm{\psi }\right)=\overline{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}}\left(\mathrm{\pi }\left(X_{\xi }\right),\tilde{\psi }\right)。由\tilde{\mathrm{\psi }}是连续流及定理2.7有

\widehat{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_s}\left(X,\mathrm{\psi }\right)\ge \widetilde{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_s}\left(X,\mathrm{\psi }\right)\ge \widetilde{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_r}\left(X,\mathrm{\psi }\right)\mathrm{。}

故\widetilde{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_r}\left(X_{\mathrm{\xi }},{\left.\mathrm{\psi }\right|}_{X_{\mathrm{\xi }}}\right)\ge \widetilde{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_r}\left(X,\mathrm{\psi }\right)\mathrm{。}

引理3.5 设\mathrm{\psi }是脉冲动力系统\left(X,\mathrm{\phi },D,I\right)的正则半流，满足{\mathrm{\phi }}_{\mathrm{\xi }}\left(D_{\mathrm{\xi }}\right)\subseteq X_{\mathrm{\xi }}\setminus {\mathrm{\psi }}_{\mathrm{\xi }}\left(D\right)。则\widehat{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_r}\left(X_{\mathrm{\xi }},{\left.\mathrm{\psi }\right|}_{X_{\mathrm{\xi }}}\right)\le \widehat{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_r}\left(X,\mathrm{\psi }\right)。

证明 取文献［18］中引理4.3~引理4.6中的{\mathrm{\epsilon }}_{\mathrm{1}},{\mathrm{\epsilon }}_{\mathrm{2}},{\mathrm{\theta }}_{\mathrm{1}},{\mathrm{\theta }}_{\mathrm{2}},\mathrm{\rho }及邻域V_{\mathrm{1}},V_{\mathrm{2}}。我们可以选{\mathrm{\epsilon }}_{\mathrm{1}},{\mathrm{\epsilon }}_{\mathrm{2}}充分小，使得V_{\mathrm{1}}\bigcap V_{\mathrm{2}}=\mathrm{\varnothing }。对\mathrm{\alpha }>\mathrm{0}，取{\mathrm{\epsilon }}_{\mathrm{3}}>\mathrm{0}，使得

,

d\left(V_{\mathrm{1}},V_{\mathrm{3}}\right)>\mathrm{\alpha }。

由文献［18］中命题1，对\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\left\{\mathrm{\rho },\mathrm{\alpha },{\mathrm{\epsilon }}_{\mathrm{1}},{\mathrm{\epsilon }}_{\mathrm{2}},{\mathrm{\epsilon }}_{\mathrm{3}}\right\},t>\mathrm{3}\mathrm{\delta }，若F\subseteq X是相对于d_{\mathrm{\delta }}^{\mathrm{1},\mathrm{\psi }}的一个\left(\mathrm{\psi },t,\mathrm{\epsilon },\mathrm{\delta }\right)-张成集，则F^{\text{'}}=\left\{{\mathrm{\psi }}_{s\left(y\right)}\right.：y\in F\}是相对于d_{\mathrm{3}\mathrm{\delta }}^{\mathrm{1},\mathrm{\psi }}的一个\left({\left.\mathrm{\psi }\right|}_{X_{\mathrm{\epsilon }}},t-\mathrm{2}\mathrm{\delta },\mathrm{\epsilon },\mathrm{3}\mathrm{\delta }\right)-张成集，其中s\left(y\right)=\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\left\{s\ge \mathrm{0}:{\mathrm{\psi }}_{s\left(y\right)}\in X_{\mathrm{\xi }}\right\}。显然结论成立。证毕。

命题3.6 设\mathrm{\psi }是脉冲动力系统\left(X,\mathrm{\phi },D,I\right)的一个正则半流，且{\mathrm{\psi }}_{\mathrm{\xi }}\left(D_{\mathrm{\xi }}\right)\subseteq X_{\mathrm{\xi }}\setminus {\mathrm{\psi }}_{\mathrm{\xi }}\left(D\right)。则\widetilde{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_r}\left(X_{\mathrm{\xi }},{\left.\mathrm{\psi }\right|}_{X_{\mathrm{\xi }}}\right)=\widetilde{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_r}\left(X,\mathrm{\psi }\right)\mathrm{。}

证明 由引理3.5和注1得结论成立。

命题3.7 设\mathrm{\psi }是脉冲动力系统\left(X,\mathrm{\phi },D,I\right)的一个正则半流，且{\mathrm{\psi }}_{\mathrm{\xi }}\left(D_{\mathrm{\xi }}\right)\subseteq X_{\mathrm{\xi }}\setminus {\mathrm{\psi }}_{\mathrm{\xi }}\left(D\right)。则\overline{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}}\left(\mathrm{\pi }\left(X_{\mathrm{\xi }}\right),\tilde{\mathrm{\psi }}\right)=\widetilde{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_s}\left(X,\mathrm{\psi }\right),\overline{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}}\left(\mathrm{\pi }\left(X_{\mathrm{\xi }}\right),\right.\left.\tilde{\mathrm{\psi }}\right)=\widehat{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_r}\left(X,\mathrm{\psi }\right)\mathrm{。}

证明 根据文献［15］中定理A，定理2.7和引理3.4可得结论。

定理3.8 设\mathrm{\psi }是脉冲动力系统\left(X,\mathrm{\phi },D,I\right) 的一个正则半流，且满足 {\mathrm{\psi }}_{\mathrm{\xi }}\left(D_{\mathrm{\xi }}\right)\subseteq X_{\mathrm{\xi }}\setminus {\mathrm{\psi }}_{\mathrm{\xi }}\left(D\right)。则 \widetilde{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_r}\left(X,\mathrm{\psi }\right)=\widetilde{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_s}\left(X,\mathrm{\psi }\right)=\widehat{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_r}\left(X,\mathrm{\psi }\right)=\widehat{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_s}\left(X,\mathrm{\psi }\right)。

证明 根据引理3.4和引理3.5，得\widetilde{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_r}\left(X_{\mathrm{\xi }},{\left.\mathrm{\psi }\right|}_{X_{\mathrm{\xi }}}\right)=\widetilde{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_r}\left(\mathrm{\pi }\left(X_{\mathrm{\xi }}\right),\tilde{\mathrm{\psi }}\right)\mathrm{。}由命题3.6， 及\tilde{\mathrm{\psi }}连续，得

\widetilde{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}}\left(\mathrm{\pi }\left(X_{\mathrm{\xi }}\right),\tilde{\mathrm{\psi }}\right)=\widetilde{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_r}\left(\mathrm{\pi }\left(X_{\mathrm{\xi }}\right),\tilde{\mathrm{\psi }}\right)=\widetilde{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_{\mathrm{r}}}\left(X_{\mathrm{\xi }},{\left.\mathrm{\psi }\right|}_{X_{\mathrm{\xi }}}\right)=\widetilde{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_{\mathrm{r}}}\left(X,\mathrm{\psi }\right)\mathrm{。}

再根据命题3.7得

\begin{array}{l}\widetilde{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}}\left(\mathrm{\pi }\left(X_{\mathrm{\xi }}\right),\tilde{\mathrm{\psi }}\right)=\\ \widetilde{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_s}\left(X,\mathrm{\psi }\right)=\widehat{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_r}\left(X,\mathrm{\psi }\right)\mathrm{。}\end{array}

证毕。

定理3.9 设\mathrm{\psi }是脉冲动力系统(X,\mathrm{\phi },D,I)的一个正则半流，且满足{\mathrm{\psi }}_{\mathrm{\xi }}\left(D_{\mathrm{\xi }}\right)\subseteq X_{\mathrm{\xi }}\setminus {\mathrm{\psi }}_{\mathrm{\xi }}\left(D\right)。则存在一个紧度量空间\tilde{X}，\tilde{X}的一个连续半流\tilde{\mathrm{\psi }}及一个Lipschitz双射h:X_{\mathrm{\xi }}\to \tilde{X}，使得对任意t\ge \mathrm{0},\mathrm{有}{\tilde{\mathrm{\psi }}}_t\circ h=h\circ {\mathrm{\psi }}_t，且

\widetilde{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_r}\left(X,\mathrm{\psi }\right)=\widetilde{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_{\mathrm{s}}}\left(X,\mathrm{\psi }\right)=\widehat{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_r}\left(X,\mathrm{\psi }\right)=\widehat{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_s}\left(X,\mathrm{\psi }\right)=\overline{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}}\left(\tilde{X},\tilde{\mathrm{\psi }}\right)。

证明 首先，由定理3.8有

\widetilde{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_r}\left(X,\mathrm{\psi }\right)=\widetilde{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_{\mathrm{s}}}\left(X,\mathrm{\psi }\right)=\widehat{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_r}\left(X,\mathrm{\psi }\right)=\widehat{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_s}\left(X,\mathrm{\psi }\right)。

然后，根据命题3.7得

\overline{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}}\left(\mathrm{\pi }\left(X_{\mathrm{\xi }}\right),\tilde{\mathrm{\psi }}\right)=\widehat{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_r}\left(X,\mathrm{\psi }\right)\mathrm{。}

最后，令\tilde{X}=\mathrm{\pi }\left(X_{\mathrm{\xi }}\right),h={\left.\mathrm{\pi }\right|}_{X_{\mathrm{\xi }}}。显然h是X_{\mathrm{\xi }}\to \tilde{X}的一个Lipschitz 共轭，且\widehat{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_r}\left(X,\mathrm{\psi }\right)=\overline{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}}\left(\tilde{X},\tilde{\mathrm{\psi }}\right)。证毕。

4 脉冲半流s-上关于度量平均维数的变分原理

定义4.1\left(X,d\right)上的连续流\mathrm{\phi }称为一致Lipschitz连续，如果对任意t_{\mathrm{0}}>\mathrm{0},\mathrm{\epsilon }>\mathrm{0}，存在L\left(t_{\mathrm{0}}\right)>\mathrm{0}，使得即对任意t\in \left[\mathrm{0},t_{\mathrm{0}}\right]，

对任意\mathrm{\delta }>\mathrm{0}，令

\mathrm{\mu }\mapsto \widetilde{h_{\mathrm{\mu }}}\left(X,\mathrm{\psi },\mathrm{\epsilon },\mathrm{\gamma }\right)=\underset{\mathrm{\delta }\to \mathrm{0}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\mathrm{𝒯}\left(\widetilde{N_{\mathrm{\mu }}}\left(\mathrm{\psi },t,\mathrm{\epsilon },\mathrm{\gamma },\mathrm{\delta }\right)\right)，

\mathrm{\mu }\mapsto h_{\mathrm{\mu }}\left(X,\mathrm{\psi },\mathrm{\epsilon },\mathrm{\gamma }\right)=\underset{\mathrm{\delta }\to \mathrm{0}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\mathrm{𝒯}\left(N_{\mathrm{\mu }}\left(\mathrm{\psi },t,\mathrm{\epsilon },\mathrm{\gamma },\mathrm{\delta }\right)\right),

其中

{\tilde{N}}_{\mathrm{\mu }}\left(\mathrm{\psi },t,\mathrm{\epsilon },\mathrm{\delta },\mathrm{\gamma }\right)=\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\left\{\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}\left(E_K\right):E_K\right.是K相对于d_{\delta }^{\mathrm{1},\psi }的一个最大基数的\left(\mathrm{\psi },t,\mathrm{\epsilon },\mathrm{\delta }\right)-分离集，K\subset X，且\mathrm{\mu }\left(K\right)>\mathrm{1}-\mathrm{\gamma }\},

N_{\mathrm{\mu }}\left(\mathrm{\psi },t,\mathrm{\epsilon },\mathrm{\delta },\mathrm{\gamma }\right)=\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\left\{\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}\left(E_K\right):E_K\right.是K的一个最大基数的 \left(\mathrm{\psi },t,\mathrm{\epsilon },\mathrm{\delta }\right)-分离集，K\subset X,且\mathrm{\mu }\left(K\right)>\mathrm{1}-\mathrm{\gamma }\}。

记M_{\mathrm{\psi }}\left(X\right)为\mathrm{\psi }不变的测度集合。

定理4.2 设\mathrm{\psi }是脉冲动力系统(X,\mathrm{\phi },D,I)的一个正则半流，\mathrm{\phi }一致Lipschitz 连续。如果{\mathrm{\psi }}_{\mathrm{\xi }}\left(D_{\mathrm{\xi }}\right)\subseteq X_{\mathrm{\xi }}\setminus {\mathrm{\psi }}_{\mathrm{\xi }}\left(D\right)，且M_{\mathrm{\psi }}\left(X\right)\ne \mathrm{\varnothing }，则对任意 \mathrm{\gamma }\in \left(\mathrm{0,1}\right)有

\widetilde{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_s}\left(X,\mathrm{\psi }\right)=\mathrm{ℰ}\left(\underset{\mathrm{\mu }\in M_{\mathrm{\psi }}\left(X\right)}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{h}_{\mathrm{\mu }}\left(X,\mathrm{\psi },\mathrm{\epsilon },\mathrm{\gamma }\right)\right)。

证明 首先，根据定理3.\mathrm{8},\widetilde{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_s}\left(X,\mathrm{\psi }\right)=\overline{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}}\left(\mathrm{\pi }\left(X_{\mathrm{\xi }}\right),\tilde{\mathrm{\psi }}\right)。根据文献［19］中定理C，对任意\mathrm{\gamma }\in \left(\mathrm{0,1}\right)，

\overline{\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}}\left(\mathrm{\pi }\left(X_{\mathrm{\xi }}\right),\tilde{\mathrm{\psi }}\right)=\mathrm{ℰ}\left(\underset{\mathrm{\mu }\in M_{\tilde{\mathrm{\psi }}}\left(\mathrm{\pi }\left(X_{\mathrm{\xi }}\right)\right)}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{h}_{\mathrm{\mu }}\left(\mathrm{\pi }\left(X_{\mathrm{\xi }}\right),\tilde{\mathrm{\psi }},\mathrm{\epsilon },\mathrm{\gamma }\right)\right)。

根据文献［13］中引理4.8，映射\mathrm{\chi }:M_{\mathrm{\psi }}\left(X_{\mathrm{\xi }}\right)\to M_{\tilde{\mathrm{\psi }}}\left(\mathrm{\pi }\left(X_{\mathrm{\xi }}\right)\right)，\mu \mapsto \mathrm{\chi }\left(\mathrm{\mu }\right)对任意可测集A\subset \mathrm{\pi }\left(X_{\mathrm{\xi }}\right)满足,\mathrm{\chi }\left(\mathrm{\mu }\right)\left(A\right)=\mathrm{\mu }\left({\left.\mathrm{\pi }\right|}_{X_{\mathrm{\xi }}^{}}^{-\mathrm{1}}\left(A\right)\right)是一个双射。因此，

\mathrm{ℰ}\left(\underset{\mathrm{\mu }\in M_{\tilde{\mathrm{\psi }}}\left(\mathrm{\pi }\left(X_{\mathrm{\xi }}\right)\right)}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{h}_{\mathrm{\mu }}\left(\mathrm{\pi }\left(X_{\mathrm{\xi }}\right),\tilde{\mathrm{\psi }},\mathrm{\epsilon },\mathrm{\gamma }\right)\right)=\mathrm{ℰ}\left(\underset{\mathrm{\mu }\in M_{\mathrm{\psi }}\left(X_{\mathrm{\xi }}\right)}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{h}_{\mathrm{\chi }\left(\mathrm{\mu }\right)}\left(\mathrm{\pi }\left(X_{\mathrm{\xi }}\right),\tilde{\mathrm{\psi }},\mathrm{\epsilon },\mathrm{\gamma }\right)\right)\mathrm{。}

由文献［13］中引理4.7，有M_{\mathrm{\psi }}\left(X_{\mathrm{\xi }}\right)=M_{\mathrm{\psi }}\left(X\right)，以及

\mathrm{ℰ}\left(\underset{\mathrm{\mu }\in M_{\mathrm{\psi }}\left(X_{\mathrm{\xi }}\right)}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{h}_{\mathrm{\mu }}\left(X_{\mathrm{\xi }},\mathrm{\psi },\mathrm{\epsilon },\mathrm{\gamma }\right)\right)=\mathrm{ℰ}\left(\underset{\mathrm{\mu }\in M_{\mathrm{\psi }}\left(X\right)}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{h}_{\mathrm{\mu }}\left(X,\mathrm{\psi },\mathrm{\epsilon },\mathrm{\gamma }\right)\right)\mathrm{。}

因为\tilde{\psi }是连续流，容易证明

\widetilde{h_{\mathrm{\chi }\left(\mathrm{\mu }\right)}}\left(\mathrm{\pi }\left(X_{\mathrm{\xi }}\right),\tilde{\mathrm{\psi }},\mathrm{\epsilon },\mathrm{\gamma }\right)=h_{\mathrm{\chi }\left(\mathrm{\mu }\right)}\left(\mathrm{\pi }\left(X_{\mathrm{\xi }}\right),\tilde{\mathrm{\psi }},\mathrm{\epsilon },\mathrm{\gamma }\right)。

我们只需要证明

\mathrm{ℰ}\left(\underset{\mathrm{\mu }\in M_{\mathrm{\psi }}\left(X_{\mathrm{\xi }}\right)}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}\widetilde{h_{\mathrm{\chi }\left(\mathrm{\mu }\right)}}\left(\mathrm{\pi }\left(X_{\mathrm{\xi }}\right),\tilde{\mathrm{\psi }},\mathrm{\epsilon },\mathrm{\gamma }\right)\right)=\mathrm{ℰ}\left(\underset{\mathrm{\mu }\in M_{\mathrm{\psi }}\left(X_{\mathrm{\xi }}\right)}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{h}_{\mathrm{\mu }}\left(X_{\mathrm{\xi }},{\left.\mathrm{\psi }\right|}_{X_{\mathrm{\xi }}},\mathrm{\epsilon },\mathrm{\gamma }\right)\right)\mathrm{。}

一方面，对任意K\subset X_{\mathrm{\xi }}，其中\mathrm{\mu }\left(K\right)>\mathrm{1}-\mathrm{\gamma },\mathrm{\chi }\left(\mathrm{\mu }\right)\left(\mathrm{\pi }\left(K\right)\right)=\mathrm{\mu }\left(K\right)，\mathrm{\pi }是一个Lipschitz双射，且\mathrm{\pi }和{\mathrm{\pi }}^{-\mathrm{1}}都是保测的。因此，我们只需要比较K的\left(\mathrm{\psi },t,\mathrm{\epsilon }\right)-分离集和\mathrm{\pi }\left(K\right)相对于d_{\mathrm{\delta }}^{\mathrm{1},\mathrm{\psi }}的\left(\tilde{\mathrm{\psi }},t,\mathrm{\epsilon }\right)-分离集。显然，若E是K最大的一个(\mathrm{\psi },t,\mathrm{\epsilon }/\mathrm{2})-分离集，根据引理2.4和命题3.7，\mathrm{\pi }\left(E\right)是\mathrm{\pi }(K)相对于d_{\mathrm{\delta }}^{\mathrm{1},\mathrm{\psi }}的(\tilde{\mathrm{\psi }},t,\mathrm{\epsilon },\mathrm{\delta })-张成集。故

\mathrm{ℰ}\left(\underset{\mathrm{\mu }\in M_{\mathrm{\psi }}\left(X_{\mathrm{\xi }}\right)}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}\widetilde{h_{\mathrm{\chi }\left(\mathrm{\mu }\right)}}\left(\mathrm{\pi }\left(X_{\mathrm{\xi }}\right),\tilde{\mathrm{\psi }},\mathrm{\epsilon },\mathrm{\gamma }\right)\right)\le \mathrm{ℰ}\left(\underset{\mathrm{\mu }\in M_{\mathrm{\psi }}\left(X_{\mathrm{\xi }}\right)}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{h}_{\mathrm{\mu }}\left(X_{\mathrm{\xi }},\mathrm{\psi },\mathrm{\epsilon },\mathrm{\gamma }\right)\right)。

另一方面，根据命题3.7，对任意，若E是K相对于d_{\mathrm{\delta }}^{\mathrm{1},\mathrm{\psi }}的一个\left(\mathrm{\psi },t,\mathrm{\epsilon },\mathrm{\delta }\right)-分离集，则\mathrm{\pi }\left(E\right)是\mathrm{\pi }\left(K\right)相对于d_{\mathrm{\delta }}^{\mathrm{1},\tilde{\psi }}的\left(\tilde{\mathrm{\psi }},t,\mathrm{\epsilon }/\mathrm{2},\mathrm{\delta }\right)-分离集。类似引理2.4的证明可知\mathrm{\pi }\left(E\right)是\mathrm{\pi }\left(K\right)的\left(\tilde{\mathrm{\psi }},t,\mathrm{\epsilon }/\mathrm{2}\right)-分离集。因此，对任意\mathrm{\mu }\in M_{\mathrm{\psi }}\left(X_{\mathrm{\xi }}\right)，

h_{\mathrm{\mu }}\left(X_{\mathrm{\xi }},\mathrm{\psi },\mathrm{\epsilon },\mathrm{\gamma }\right)\le \widetilde{h_{\mathrm{\chi }\left(\mathrm{\mu }\right)}}\left(\mathrm{\pi }\left(X_{\mathrm{\xi }}\right),\tilde{\mathrm{\psi }},\frac{\mathrm{\epsilon }}{\mathrm{2}},\mathrm{\gamma }\right)。

故

\mathrm{ℰ}\left(\underset{\mathrm{\mu }\in M_{\mathrm{\psi }}\left(X_{\mathrm{\xi }}\right)}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}\widetilde{h_{\mathrm{\chi }\left(\mathrm{\mu }\right)}}\left(\mathrm{\pi }\left(X_{\mathrm{\xi }}\right),\tilde{\mathrm{\psi }},\mathrm{\epsilon }/\mathrm{2},\mathrm{\gamma }\right)\right)\ge \mathrm{ℰ}\left(\underset{\mathrm{\mu }\in M_{\mathrm{\psi }}\left(X_{\mathrm{\xi }}\right)}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{h}_{\mathrm{\mu }}\left(X_{\mathrm{\xi }},\mathrm{\psi },\mathrm{\epsilon },\mathrm{\gamma }\right)\right)。

证毕。

参考文献

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基金资助

国家自然科学基金(12201372)