非高斯噪声作用的非对称双稳耦合网络的随机共振

Stochastic resonance in asymmetric bistable coupled network subjected to non-Gaussian noise

摘要

本文研究了非高斯噪声和周期信号共同作用的非对称双稳耦合网络的随机共振.该网络可被建模为一个由N个耦合振荡器相互连接而成的系统，其中振荡器间的相互作用引起系统的随机共振.运用平均场理论，本文先对系统进行降维简化处理，然后利用路径积分法、等效非线性近似及高斯近似方法推导了简化系统的Langevin方程，最后基于双态模型理论得到了系统的信噪比.本文分析了非高斯噪声、耦合系数、信号和系统的非对称性对随机共振的影响.结果显示：i） 随各参数变化，SNR曲线均出现非单调行为，说明各参数都能引起随机共振；ii） 对非高斯噪声，增大其非高斯性、强度或关联时间均可增强随机共振；iii） 随耦合系数的增加，随机共振先增后减，因而耦合系数可被用于调控随机共振强度.

Abstract

In this paper， stochastic resonance in an N-dimensional asymmetric bistable coupled network system subjected to both harmonic signal and non-Gaussian noise is considered by using signal-to-noise ratio （SNR） as the measure.First， a simplified low-dimensional model for the coupled system is deduced based on the mean field theory.Second， the Langevin equation of the simplified model is obtained by using the path integral method， the equivalent nonlinearization method， Gaussian approximation and the slaving principle.Exact expression of SNR is deduced by using the Fokker-Planck equation based on the two-state model theory.Finally， the SNR measure is adopted to investigate the effects of non-Gaussian noise， coupling constant， asymmetric constant and periodic signal on the stochastic resonance.The main results are as follow.i） There exists non-monotonous behavior in every SNR curve for system parameter， which indicates the occurrence of stochastic resonance； ii） Stochastic resonance is enhanced with the increase of non-Gaussian parameter， correlation time or intensity of the non-Gaussian noise； iii） The coupling constant can maximize the stochastic resonance.

Graphical abstract

关键词

信噪比 / 非高斯噪声 / 非对称耦合网络系统 / 随机共振

Key words

SNR / non-Gaussian noise / asymmetric bistable coupled network system / stochastic resonance

随机共振（stochastic resonance，SR）最早被用于解释地球冰川的长周期现象^［1］，随后成为非线性系统研究的热点之一，相关研究成果爆发式增长。

经过40多年的发展，目前SR理论已在人工智能^［2］、能量采集^［3］、故障诊断^［4］及神经网络^［5］等领域得到广泛的应用。文献［6］研究了谐波激励和高斯白噪声共同作用的压电能量采集器的SR现象，发现噪声可以提高系统从环境振动中收集能量的效率。文献［7］借助统计复杂度理论讨论了不同噪声作用的双稳系统的SR行为。文献［8］讨论了含高斯白噪声的Fitzhugh-Nagumo模型的双重SR现象，发现双重SR只在一些特定的参数范围内发生。

在生物、化学及物理学等领域，非高斯噪声普遍存在。相比高斯噪声，非高斯噪声能够引起更加丰富的非线性行为，因而研究非高斯噪声作用的非线性系统的随机共振是有意义的。文献［9］研究了含Lévy噪声的忆阻神经元模型的自诱导SR行为，发现Lévy噪声引起的自诱导SR并不一定总比高斯噪声的更强。文献［10］利用数值模拟方法研究了含双态噪声和高斯白噪声的全局耦合系统的SR行为，发现只有当参数的值处于共振区时系统才能产生SR。文献［11］利用Shapiro-Loginov公式和Laplace变换研究了含三态噪声的分数阶耦合系统，推导了系统的输出幅值增益，并对系统的广义SR进行了研究。文献［12］对一类含非高斯噪声的Fitzhugh-Nagumo神经元系统进行了研究，发现在系统中引入非高斯噪声有利于增强系统的SR行为。

自然界中事物的联系错综复杂，相互交织，形成复杂网络。此时，仅含单个变量的一维系统往往无法满足研究需求。为了更深入地理解和解释事物间复杂的相互作用，人们提出了复杂网络系统^［13］。文献［14］研究了乘性噪声和加性噪声共同作用的N个阈值单元神经网络模型的SR，发现不同于加性噪声，增大乘性噪声强度时超阈值SR更强。文献［15］考虑了突触噪声作用的离散 Hopfield 神经网络的SR，发现选择适当的突触噪声有助于提高二进制信号的传输功率。文献［16］讨论了高斯色噪声作用的非对称耦合网络系统的SR，发现适当的耦合系数有利于增强系统的SR。

迄今为止，关于耦合网络系统的SR行为的研究大多仅限于高斯噪声，对非高斯噪声作用的耦合系统的SR行为的研究相对较少。本文考虑调和信号和非高斯噪声共同作用的N维非对称双稳耦合网络系统的SR。借助平均场理论、路径积分等近似处理方法，本文基于等效非线性近似和高斯近似方法得到了简化模型及其Langevin方程。运用双态模型理论，本文得到了简化系统的信噪比。最后，本文分析了噪声参数（非高斯性、关联时间及强度）、耦合系数及系统参数（非对称系数）等对SR的影响。

1 模型

考虑如下的非高斯噪声作用的N维过阻尼非对称双稳耦合网络系统^［17］：

\frac{\mathrm{d}{x}_i}{\mathrm{d}t}=x_i-{x_i}^{\mathrm{3}}+r+\frac{\theta }{N}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^N}\left(x_j-x_i\right)+{\eta }_i\left(t\right)+S\left(t\right)(1)

其中x_i为单自由度，i=\mathrm{1,2},\cdots ,N，r是非对称系数，\theta是耦合系数，N为系统尺度，周期信号S\left(t\right)=A\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\omega t\right)，其中A表示信号幅值，\omega表示信号频率。此外，非高斯噪声{\eta }_i\left(t\right)由如下的微分方程定义：

\frac{\mathrm{d}{\eta }_i}{\mathrm{d}t}=-\frac{\mathrm{1}}{\tau }\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{\eta }_i}{V}_q\left({\eta }_i\right)+\frac{\mathrm{1}}{\tau }{\epsilon }_i\left(t\right)(2)

式中

V_q\left({\eta }_i\right)=\frac{D}{\tau \left(q-\mathrm{1}\right)}\mathrm{l}\mathrm{n}\left[\mathrm{1}+\frac{\tau }{D}\left(q-\mathrm{1}\right)\frac{{{\eta }_i}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}\right]，

D是噪声强度，q刻画了噪声偏离高斯噪声的程度，\tau为非高斯噪声{\eta }_i\left(t\right)的关联时间，{\epsilon }_i\left(t\right)为高斯白噪声，满足

〈{\epsilon }_i\left(t\right)〉=\mathrm{0}，

〈{\epsilon }_i\left(t\right){\epsilon }_j\left(s\right)〉=\mathrm{2}D{\delta }_{ij}\delta \left(t-s\right)。

非高斯噪声{\eta }_i\left(t\right)具有如下的统计性质：

〈{\eta }_i\left(t\right)〉=\mathrm{0}，

〈{\eta }_i\left(t\right){\eta }_j\left(t\right)〉=\left\{\begin{array}{l}{\delta }_{ij}\frac{\mathrm{2}D}{\tau \left(\mathrm{5}-\mathrm{3}q\right)},q\in \left(-\mathrm{\infty },\mathrm{5}/\mathrm{3}\right),\\ \mathrm{\infty }\begin{array}{cc},q\in \left.\left[\mathrm{5}/\mathrm{3,3}\right.\right)\mathrm{。}& \end{array}\end{array}\right.

记x_i的平均场为X=\frac{\mathrm{1}}{N}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}{x}_i，其k阶波动矩为

M_k\left(t\right)=\frac{\mathrm{1}}{N}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}{\left[x_i\left(t\right)-X\left(t\right)\right]}^k。

对模型（1），借助平均场理论^［18］和Ito随机微分法则^［19］，我们有如下的简化随机微分方程：

\begin{array}{l}\dot{X}=X-M_{\mathrm{3}}-\mathrm{3}{M}_{\mathrm{2}}X-\mathrm{3}{M}_{\mathrm{1}}{X}^{\mathrm{2}}-X^{\mathrm{3}}+\\ r+\eta \left(t\right)+S\left(t\right)\end{array}(3)

\frac{{\dot{M}}_k}{k}=-M_{k+\mathrm{2}}-\mathrm{3}{M}_{k+\mathrm{1}}X+\left(\mathrm{1}-\mathrm{3}{X}^{\mathrm{2}}-\theta \right)M_k+\left(M_{\mathrm{3}}+\mathrm{3}{M}_{\mathrm{2}}X\right)M_{k-\mathrm{1}}+M_{k-\mathrm{1}}\varphi \left(t\right)+\frac{D}{\mathrm{5}-\mathrm{3}q}\left(k-\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{1}-\frac{\mathrm{1}}{N}\right)M_{k-\mathrm{2}}(4)

其中

\varphi \left(t\right)=-\frac{\mathrm{1}}{N}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}{\eta }_i\left(t\right)+{\eta }_i\left(t\right)，

\eta \left(t\right)=\frac{\mathrm{1}}{N}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}{\eta }_i\left(t\right)，

\eta \left(t\right)和\varphi \left(t\right)均为零均值非高斯噪声，满足

〈{\eta }^{\mathrm{2}}\left(t\right)〉=\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{2}D}{N\tau \left(\mathrm{5}-\mathrm{3}q\right)},q\in \left(-\mathrm{\infty },\mathrm{5}/\mathrm{3}\right),\\ \mathrm{\infty }\begin{array}{cc},q\in \left.\left[\mathrm{5}/\mathrm{3,3}\right.\right),& \end{array}\end{array}\right.

〈{\varphi }^{\mathrm{2}}\left(t\right)〉=\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{2}D}{N\tau \left(\mathrm{5}-\mathrm{3}q\right)},q\in \left(-\mathrm{\infty },\mathrm{5}/\mathrm{3}\right),\\ \mathrm{\infty }\begin{array}{cc},q\in \left.\left[\mathrm{5}/\mathrm{3,3}\right.\right)\mathrm{。}& \end{array}\end{array}\right.

由于非高斯噪声是非马尔可夫的，为得到模型的Langevin方程我们用路径积分法^［20］将（3）和（4）式中的非高斯噪声等效为高斯白噪声，得

\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}\eta }{\mathrm{d}t}=-\frac{\eta \left(t\right)}{{\tau }_{eff}}+\frac{\mathrm{1}}{{\tau }_{eff}}\epsilon \left(t\right),\\ \frac{\mathrm{d}\varphi }{\mathrm{d}t}=-\frac{\varphi \left(t\right)}{{\tau }_{eff}}+\frac{\mathrm{1}}{{\tau }_{eff}}\mathrm{\Gamma }\left(t\right)\end{array}\right.(5)

这里的等效噪声关联时间{\tau }_{eff}=\frac{\mathrm{2}\left(\mathrm{2}-q\right)}{\mathrm{5}-\mathrm{3}q}\tau，等效噪声强度D_{eff}={\left(\frac{\mathrm{2}\left(\mathrm{2}-q\right)}{\mathrm{5}-\mathrm{3}q}\right)}^{\mathrm{2}}D。根据统一色噪声原理^［21］，进一步近似处理后可得

\dot{X}=\frac{{\tau }_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}^{-\mathrm{1}}}{{\tau }_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}^{-\mathrm{1}}-c^{\text{'}}\left(X\right)}c\left(X\right)+\frac{{\tau }_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}^{-\mathrm{1}}}{{\tau }_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}^{-\mathrm{1}}-c^{\text{'}}\left(X\right)}\epsilon \left(t\right)(6)

\frac{{\dot{M}}_k}{k}=\frac{{\tau }_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}^{-\mathrm{1}}}{{\tau }_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}^{-\mathrm{1}}-k{d}^{\text{'}}\left(X\right)}d\left(X\right)+\frac{{\tau }_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}^{-\mathrm{1}}}{k{\tau }_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}^{-\mathrm{1}}-k^{\mathrm{2}}{d}^{\text{'}}\left(X\right)}\mathrm{\Gamma }\left(t\right)(7)

其中的\epsilon \left(t\right)、\mathrm{\Gamma }\left(t\right)均为高斯白噪声，满足

〈\epsilon \left(t\right)〉=〈\mathrm{\Gamma }\left(t\right)〉=\mathrm{0}，

〈\epsilon \left(t\right)\epsilon \left(t^{\text{'}}\right)〉=〈\mathrm{\Gamma }\left(t\right)\mathrm{\Gamma }\left(t^{\text{'}}\right)〉=\frac{\mathrm{2}{D}_{eff}}{N}\delta \left(t-t^{\text{'}}\right)c\left(X\right)=X-M_{\mathrm{3}}-\mathrm{3}{M}_{\mathrm{2}}X-\mathrm{3}{M}_{\mathrm{1}}{X}^{\mathrm{2}}-X^{\mathrm{3}}+r+S\left(t\right)(8)

d\left(X\right)=-\mathrm{3}{M}_{k+\mathrm{1}}X+\left(\mathrm{1}-\mathrm{3}{X}^{\mathrm{2}}-\theta \right)M_k+\left(M_{\mathrm{3}}+\mathrm{3}{M}_{\mathrm{2}}X\right)M_{k-\mathrm{1}}-M_{k+\mathrm{2}}+\frac{D}{\mathrm{5}-\mathrm{3}q}\left(k-\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{1}-\frac{\mathrm{1}}{N}\right)M_{k-\mathrm{2}}(9)

下面利用等效非线性近似方法^［19］对式（6）和（7）进行化简。令

f\left(x\right)=\frac{{\tau }_{eff}^{-\mathrm{1}}}{{\tau }_{eff}^{-\mathrm{1}}-c^{\text{'}}\left(x\right)}，

g\left(x\right)=\frac{{\tau }_{eff}^{-\mathrm{1}}}{{\tau }_{eff}^{-\mathrm{1}}-k{d}^{\text{'}}\left(x\right)}，

并将以上两式在X=\mathrm{0}处泰勒展开，得

f\left(x\right)\approx l_{\mathrm{1}}+l_{\mathrm{2}}X\approx f\left(\mathrm{0}\right)+f^{\text{'}}\left(\mathrm{0}\right)X(10)

g\left(x\right)\approx l_{\mathrm{3}}+l_{\mathrm{4}}X\approx g\left(\mathrm{0}\right)+g^{\text{'}}\left(\mathrm{0}\right)X(11)

其中

l_{\mathrm{1}}=f\left(\mathrm{0}\right)=\frac{{\tau }_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}^{-\mathrm{1}}}{{\tau }_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}^{-\mathrm{1}}-\mathrm{1}}，

l_{\mathrm{2}}=f^{\text{'}}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0}，

l_{\mathrm{3}}=g\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{1}，l_{\mathrm{4}}=g^{\text{'}}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0}。

接着，跟据波动累积量

K_n=M_n-{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{n-\mathrm{1}}}\frac{\left(n-\mathrm{1}\right)!}{k!\left(n-\mathrm{1}-k\right)!}{K}_{n-k}{M}_k。

由文献［8］可知，当n\ge \mathrm{3}时K_n的值趋近于零，因而这里取n=\mathrm{2}得到关于X和K_{\mathrm{2}}的随机微分方程，即

\begin{array}{l}\dot{X}=l_{\mathrm{1}}\left[X-K_{\mathrm{3}}-\mathrm{3}{K}_{\mathrm{2}}X-\mathrm{3}{K}_{\mathrm{1}}{X}^{\mathrm{2}}-X^{\mathrm{3}}\right.\\ \left.+r+S\left(t\right)\right]+l_{\mathrm{1}}\epsilon \left(t\right)\end{array}(12)

\begin{array}{l}\frac{{\dot{K}}_{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}=-\mathrm{3}{K}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{3}{K}_{\mathrm{3}}X+\left(\mathrm{1}-\mathrm{3}{X}^{\mathrm{2}}-\theta \right)K_{\mathrm{2}}\\ -K_{\mathrm{4}}+\frac{D}{\mathrm{5}-\mathrm{3}q}\left(\mathrm{1}-\frac{\mathrm{1}}{N}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{\Gamma }\left(t\right)\end{array}(13)

这里l_{\mathrm{1}}=f\left(\mathrm{0}\right)=\frac{{\tau }_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}^{-\mathrm{1}}}{{\tau }_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}^{-\mathrm{1}}-\mathrm{1}}。为克服处理系统中大量耦合振荡器的困难，我们通过高斯近似方法^［22］将式（12）和（13）化简为

\dot{X}=l_{\mathrm{1}}\left[X-\mathrm{3}{K}_{\mathrm{2}}X-X^{\mathrm{3}}+r+S\left(t\right)\right]+l_{\mathrm{1}}\epsilon \left(t\right)(14)

\frac{{\dot{K}}_{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}=-\mathrm{3}{k}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+\left(\mathrm{1}-\mathrm{3}{X}^{\mathrm{2}}-\theta \right)K_{\mathrm{2}}+\frac{D}{\mathrm{5}-\mathrm{3}q}(15)

接着，借助役使原理^［23］对式（14）和（15）进一步简化，得到如下的Langevin方程：

\dot{X}=-V^{\text{'}}\left(X\right)+l_{\mathrm{1}}\epsilon \left(t\right)+l_{\mathrm{1}}S\left(t\right)(16)

式中

V\left(X\right)=-\frac{a}{\mathrm{2}}{l}_{\mathrm{1}}{X}^{\mathrm{2}}+\frac{b}{\mathrm{4}}{l}_{\mathrm{1}}{X}^{\mathrm{4}}-r{l}_{\mathrm{1}}X。

令V^{\text{'}}\left(X\right)=\mathrm{0}可得系统的两个稳定点分别为

X_{+}=\mathrm{2}\sqrt[]{\frac{a}{\mathrm{3}b}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left[r\sqrt[]{\frac{\mathrm{27}b}{\mathrm{4}{a}^{\mathrm{3}}}}\right]\right]，

X_{-}=-\mathrm{2}\sqrt[]{\frac{a}{\mathrm{3}b}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left[r\sqrt[]{\frac{\mathrm{27}b}{\mathrm{4}{a}^{\mathrm{3}}}}\right]-\frac{\pi }{\mathrm{3}}\right]

和不稳定点

X_u=-\mathrm{2}\sqrt[]{\frac{a}{\mathrm{3}b}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left[r\sqrt[]{\frac{\mathrm{27}b}{\mathrm{4}{a}^{\mathrm{3}}}}\right]+\frac{\pi }{\mathrm{3}}\right]，

其中

a=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\theta -\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\left[{\left(\theta -\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{12}D}{\mathrm{5}-\mathrm{3}q}\right]}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}，

b=-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\left(\theta -\mathrm{1}\right){\left[{\left(\theta -\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{12}D}{\mathrm{5}-\mathrm{3}q}\right]}^{-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}。

图1为不同非对称系数r下的势函数V\left(X\right)的变化曲线，其中的参数为A=\mathrm{0.05}，q=\mathrm{0.7}，\theta =\mathrm{4}，D=\mathrm{0.3}及\tau =\mathrm{0.5}。显而易见，当非对称系数r=\mathrm{0}时V\left(X\right)是对称的；当非对称系数r逐渐增大时 V\left(X\right)的右势阱逐渐加深，左势阱则逐渐变浅。总之，V\left(X\right)的非对称性随非对称系数r的增大而逐渐增强，同时两势阱间的深度差逐渐增大。

2 随机共振

SR现象体现了噪声的建设性作用，即SR现象表明噪声的能量能够被转变为信号能量。

2.1 信噪比

借助经典的随机共振理论^［24］，我们得到系统（16）的近似Fokker-Planck方程：

\begin{array}{l}\frac{\partial p\left(X,t\right)}{\partial t}=-\frac{\partial }{\partial x}\left(A\left(X\right)p\left(X,t\right)\right)+\\ \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}}{\partial x^{\mathrm{2}}}\left(B\left(X\right)p\left(X,t\right)\right)\end{array}(17)

式中

\begin{array}{l}A\left(X\right)=l_{\mathrm{1}}\overline{A}\left(X\right)=\\ l_{\mathrm{1}}\left[aX-b{X}^{\mathrm{3}}+r\right.+A\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\omega t\right)],\end{array}

B\left(X\right)=l_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}\overline{B}\left(X\right)=l_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}\frac{\mathrm{2}{D}_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}}{N}。

求解方程（17），可得稳态概率密度函数

p_{st}\left(X\right)=N_{\mathrm{0}}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left[-\frac{\overline{\mathrm{\Phi }}}{l_{\mathrm{1}}\cdot D_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}/N}\right](18)

其中广义势函数

\overline{\mathrm{\Phi }}=l_{\mathrm{1}}\frac{D_{eff}}{N}\mathrm{l}\mathrm{n}B\left(X\right)-\int \overline{A}\left(X\right)\mathrm{d}X，

N_{\mathrm{0}}为归一化常数。

在绝热近似条件^［25］下，粒子在X_{+}和X_{-}的势阱之间相互跃迁的逃逸速率W{}_{\pm }{}^{}的表达式为：

\begin{array}{l}{W}_{\pm }=\frac{{\left|V^{″}\left(X_u\right)V^{″}\left(X_{\pm }\right)\right|}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}}{\mathrm{2}\pi }\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\\ \left\{-\frac{\overline{\mathrm{\Phi }}\left(X_u\right)-\overline{\mathrm{\Phi }}\left(X_{\pm }\right)}{l_{\mathrm{1}}\cdot D_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}/N}\right\}\end{array}(19)

根据双态模型理论^［26］，系统的SNR表达式为

\mathrm{S}\mathrm{N}\mathrm{R}=\frac{A^{\mathrm{2}}{l}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}\pi {\left({\alpha }_{\mathrm{1}}{\beta }_{\mathrm{2}}+{\alpha }_{\mathrm{2}}{\beta }_{\mathrm{1}}\right)}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}{\alpha }_{\mathrm{1}}{\alpha }_{\mathrm{2}}\left({\alpha }_{\mathrm{1}}+{\alpha }_{\mathrm{2}}\right)}(20)

这里

{\alpha }_{\mathrm{1}}=W_{+}\left|{}_{A\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\omega t\right)=\mathrm{0}}\right.，{\alpha }_{\mathrm{2}}=W_{-}\left|{}_{A\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\omega t\right)=\mathrm{0}}\right.，

{\beta }_{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{d}{W}_{+}}{\mathrm{d}S\left(t\right)}{\left|\right.}_{A\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\omega t\right)=\mathrm{0}},{\beta }_{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{d}{W}_{-}}{\mathrm{d}S\left(t\right)}{\left|\right.}_{A\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\omega t\right)=\mathrm{0}}。

2.2 随机共振

以SNR作为指标我们来分析非高斯噪声、系统参数及调和信号对SR的影响。

图2示出了SNR随系统尺度N和非高斯参数q的变化，其他参数A=\mathrm{0.05}，r=\mathrm{0.03}，\theta =\mathrm{4}，D=\mathrm{0.3}，\tau =\mathrm{0.15}。在图2a中，对不同的q，随N的增大SNR曲线先升后降，呈现单峰结构，说明SR出现。此外，随q的增大，SNR曲线的峰值逐渐增高、位置右移，说明非高斯参数能够促进SR。在图2b中，随q和N的增大， SNR曲面的峰值逐渐增大、位置向N增大的方向偏移，表明非高斯参数能够促进系统的SR，与图2a的结论一致。

图3示出了SNR对系统尺度N及非高斯噪声强度D的依赖，其他参数\tau =\mathrm{0.5}，A=\mathrm{0.05}，r=\mathrm{0.05}，\theta =\mathrm{4}，q=\mathrm{0.7}。在图3a中，对于不同的D，SNR曲线均呈现单峰结构，即SR发生。此外，随D的增大SNR的峰值也增大，SR行为变得更加显著。在图3b中，随D的增大SNR曲面的最大值也增大、位置向N增大的方向偏移，表明非高斯噪声强度对SR具有促进作用。

非高斯噪声的自关联时间\tau与系统尺度N对SR的影响如图4所示，其他参数为A=\mathrm{0.05}，\theta =\mathrm{4.0}，D=\mathrm{0.3}，q=\mathrm{0.7}，r=\mathrm{0.03}。在图4a中，对不同的\tau，SNR曲线随N的增大先增大后减小，呈单峰状，表明SR出现。另外，随\tau的增加，SNR的峰值增大、位置向N增大的方向偏移，表明自关联时间对SR具有促进作用。在图4b中，随\tau和N的增加，SNR曲面的最大值增大、位置向N增大的方向偏移，说明自关联时间可以促进系统的SR。

接下来我们考虑系统尺度N和耦合系数\theta对SR的影响，所得结果如图5所示，这里的参数\tau =\mathrm{0.5}，A=\mathrm{0.05}，r=\mathrm{0.03}，q=\mathrm{0.7}，D=\mathrm{0.2}。在图5a中，对不同的\theta，SNR曲线均呈现非单调变化，说明SR出现。另外，随\theta的增大，SNR曲线的峰值增大、向右偏移，说明耦合系数可以增强SR。随\theta的进一步增加，SNR曲线的峰值则逐渐减小，并向N减小的方向微小偏移，说明较大的耦合系数会抑制SR。综上，系统的SR随耦合系数的增大先增后减。在图5b中，随\theta和N的增大，SNR曲面的峰值先增后减，位置先向N增大的方向偏移，后向N减小的方向微小偏移，说明适当的耦合系数可以使SR达到最强。

SNR随系统尺度N和非对称系数r的变化如图6所示，其他参数为\tau =\mathrm{0.5}，A=\mathrm{0.05}，\theta =\mathrm{4}，q=\mathrm{0.7}，D=\mathrm{0.4}。在图6a中，对不同的r，SNR曲线随N的增大先增后减，表明系统产生SR。此外，随r的增大，SNR曲线的峰值增大、位置向左发生轻微偏移，表明非对称系数可以促进SR。在图6b中，随r的增大，SNR曲面的峰值增大、位置向N减少的方向偏移，说明当系统的非对称性变大时，SR峰值对应的系统尺度逐渐变小。

SNR对系统尺度N和调和信号振幅A的依赖如图7所示，其他参数\tau =\mathrm{0.5}，r=\mathrm{0.05}，\theta =\mathrm{4}，q=\mathrm{0.7}，D=\mathrm{0.4}。在图7a中，对不同的A， SNR曲线呈单峰状，说明系统发生SR。此外，随A的增大，SNR的峰值增加，对应的N则未发生明显变化。在图7b中，随A的增大SNR的峰值增大、位置均在N=\mathrm{5}处，说明信号振幅A可以促进SR。

3 结论

本文讨论了非高斯噪声和调和信号共同作用的N维非对称双稳耦合网络系统的SR。利用平均场理论，本文对系统进行了降维简化。由于非高斯噪声是非马尔可夫的，本文用路径积分法和统一色噪声逼近方法对噪声进行近似，再借助等效线性化和高斯近似得到简化系统的Langevin方程。最后本文基于双态模型理论得到了信噪比表达式。

本文的研究表明：

i） 噪声的非高斯参数、自关联时间和噪声强度对SR具有促进作用；

ii） 耦合系数能够优化SR；

iii） 当系统的非对称性减弱时SR峰值减小，当信号幅度增大时SR峰值增加，但峰值对应的系统尺度则没有明显变化。

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基金资助

国家自然科学基金(11602184)

甘肃省科技计划项目(24JRRA226)

甘肃省基础研究创新群体项目(25JRRA805)

兰州市科技局青年科技人才创新项目(2024-QN-179)

兰州交通大学“天佑青年托举人才计划”基金