拟周期驱动Boussinesq方程响应解的存在性

Existence of response solutions of quasi-periodically forced Boussinesq equations

摘要

本文研究满足铰接边界条件的拟周期驱动Boussinesq方程 \left\{\begin{array}{l}{y}_{tt}(t,x)=\mu y_{xxxxx}+y_{xx}+(y^{\mathrm{3}}{)}_{xx}+\epsilon f(\omega t,x),x\in \tilde{\mathbb{T}}=[\mathrm{0},\pi ],\\ y(t,\mathrm{0})=y(t,\pi )=y_{xx}(t,\mathrm{0})=y_{xx}(t,\pi )=\mathrm{0}\end{array}\right.响应解的存在性，其中\mu >\mathrm{1},f:{\mathbb{T}}^d\times \tilde{\mathbb{T}}\to \mathbb{R},{\mathbb{T}}^d={(\mathbb{R}\backslash \mathrm{2}\pi \mathbb{Z})}^d是关于时间t的拟周期解析函数或拟周期高阶光滑函数，\omega =({\omega }_{\mathrm{1}},{\omega }_{\mathrm{2}},\cdots ,{\omega }_d)\in {\mathbb{R}}^d\backslash \{\mathrm{0}\}有理无关， 正整数d\ge \mathrm{2}， \epsilon任意小。根据驱动项不同的光滑性，本文利用压缩映射原理相应得到了方程响应解的存在性。与已有结果相比，本文将频率维度从2维提升到有限维，同时降低了对驱动项光滑性的要求。

Abstract

In this paper， the existence of response solutions of the following Boussinesq equation with quasi-periodic force term and hinged boundary condition is considered， \left\{\begin{array}{l}{y}_{tt}(t,x)=\mu y_{xxxxx}+y_{xx}+(y^{\mathrm{3}}{)}_{xx}+\epsilon f(\omega t,x),x\in \tilde{\mathbb{T}}=[\mathrm{0},\pi ],\\ y(t,\mathrm{0})=y(t,\pi )=y_{xx}(t,\mathrm{0})=y_{xx}(t,\pi )=\mathrm{0},\end{array}\right.where \mu >\mathrm{1},f:{\mathbb{T}}^d\times \tilde{\mathbb{T}}\to \mathbb{R},{\mathbb{T}}^d={(\mathbb{R}\backslash \mathrm{2}\pi \mathbb{Z})}^d is quasi-periodic with respect to t，d\ge \mathrm{2} is a natural number， \omega =({\omega }_{\mathrm{1}},{\omega }_{\mathrm{2}},\cdots ,{\omega }_d)\in {\mathbb{R}}^d\backslash \{\mathrm{0}\} is rationally independent， \epsilonis sufficiently small， For both analytic and highly differentiable force terms， the corresponding existences of response solutions of the equation are obtained.In comparison with the known results， we extend the two-dimensional frequency to finite dimension frequency， the analytic force term to highly differentiable force term.

关键词

Boussinesq方程 / 响应解 / 压缩映射原理

Key words

Boussinesq equation / response solution / contraction mapping principle（2020 MSC 35B20， 35L25 ）

作为描述波传播行为的基本方程，Boussinesq方程的广义形式为^［1-2］

y_{tt}(t,x)=\mu y_{xxxx}+y_{xx}+(g{(y))}_{xx},t\in \mathbb{R},x\in \mathbb{R},

其中的系数\mu的正负决定波的传播特性。当时，方程是适定的。当\mu >\mathrm{0}时，方程是非适定的， 即不是所有的初值都能定义发展方程。对于适定情形，文献［3-4］利用KAM理论构造了方程的拟周期解。对于非适定情形，文献［5-6］利用不动点理论构造了方程的中心流形和稳定流形。关于方程的更多研究可参见文献［7-8］以及其中的参考文献。

文献［1］研究了如下具有拟周期驱动的非适定Boussinesq方程

\left\{\begin{array}{l}{y}_{tt}(t,x)=\mu y_{xxxxx}+y_{xx}+(y^{\mathrm{3}}{)}_{xx}+\\ \epsilon f(\omega t,x),x\in \tilde{\mathbb{T}}=[\mathrm{0},\pi ],\\ y(t,\mathrm{0})=y(t,\pi )=y_{xx}(t,\mathrm{0})=y_{xx}(t,\pi )=\mathrm{0}\end{array}\right.（1）

其中，\mu >\mathrm{0},\omega =(\mathrm{1},\alpha ),\alpha \in \mathbb{R}\backslash \mathbb{Q},方程中的第2个等式称为铰链边界条件。在驱动项f为实解析、对驱动频率\omega不添加任何算术性条件（如Diophantine及Bryuno条件等）的前提下，文献［1］利用KAM理论证明方程存在解析解。简单计算可知，在铰链边界条件下，方程（1）中算子\sqrt[]{\mu {\partial }_{xxxx}+{\partial }_{xx}}的正交基为\{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}jx,j=\mathrm{1,2},\cdots \},所构成的相空间中的算子\sqrt[]{\mu {\partial }_{xxxx}+{\partial }_{xx}}对应的特征值为

\sqrt[]{\mu j^{\mathrm{4}}-j^{\mathrm{2}}}=j\sqrt[]{\mu j^{\mathrm{2}}-\mathrm{1}},j=\mathrm{1,2},\cdots（2）

当时，上述特征值在\mathrm{1}\le j\le \mathrm{1}/\sqrt[]{u}时是纯虚数 （椭圆方向），在j>\mathrm{1}/\sqrt[]{u}时则是实数（双曲方向）。纯虚数的出现导致级数展开中出现系数\mathrm{1}/(k·w),k\in {\mathbb{Z}}^d\backslash \{\mathrm{0}\},\omega \in {\mathbb{R}}^d，此时频率\omega是非共振的，即k\cdot \omega \ne \mathrm{0},k\in {\mathbb{Z}}^d\backslash \{\mathrm{0}\}。由Kronecker定理^［9］，有无穷多个k使得整系数组合k\cdot \omega任意趋近零。我们称此问题为小除数问题（小分母问题）^［10］。小除数问题最早由Poincaré在研究天体力学问题时提出，而KAM理论正是处理小除数问题的有效方法之一。另一方面，当\mu >\mathrm{1}时，对任意j\ge \mathrm{1}，特征值（2）都是非零实数，问题（1）只有双曲方向且非退化。此时，\mathrm{1}/(k·w)的分母具有远离零的下界，小除数问题不会出现。

本文考虑方程（1）当\mu >\mathrm{1}时的响应解，并将\omega =({\omega }_{\mathrm{1}},{\omega }_{\mathrm{2}},\cdots ,{\omega }_d)\in {\mathbb{R}}^d,d\in \mathbf{N}的维数由d=\mathrm{2}提升到d\ge \mathrm{2},同时将驱动项所满足的条件从实解析放松到高阶可微。后文的安排如下。第1节为预备知识，主要包括Banach空间及Banach代数的性质。第2节给出主要定理及其证明。最后，第3节总结所得结果。

1 预备知识

研究需要的函数空间、范数定义及空间的性质参见文献［5， 8， 11-12］。对{\rho }_{\mathrm{1}},{\rho }_{\mathrm{2}}\ge \mathrm{0}， 分别引入复环面{\mathbb{T}}_{{\rho }_{\mathrm{1}}}^d和{\mathbb{T}}_{{\rho }_{\mathrm{2}}}^d，即

{\mathbb{T}}_{{\rho }_{\mathrm{1}}}^d=\left\{\theta \in {\mathbb{C}}^d/{(\mathrm{2}\pi \mathbb{Z})}^d:\mathrm{R}\mathrm{e}({\theta }_j)\in \mathbb{T},|\mathrm{I}\mathrm{m}({\theta }_j)|\le {\rho }_{\mathrm{1}},j=\mathrm{1,2},\cdots ,d\right\},

{\tilde{\mathbb{T}}}_{{\rho }_{\mathrm{2}}}=\left\{x\in \mathbb{C}/(\pi \mathbb{Z}):\mathrm{R}\mathrm{e}(x)\in \tilde{\mathbb{T}},|\mathrm{I}\mathrm{m}(x)|\le {\rho }_{\mathrm{2}}\right\}\mathrm{。}

考虑函数u:{\mathbb{T}}_{{\rho }_{\mathrm{1}}}^d\times {\tilde{\mathbb{T}}}_{{\rho }_{\mathrm{2}}}\to \mathbb{C}，其傅里叶展开为

u(\theta ,x)=\sum _{k\in {\mathbb{Z}}^d,j\in \mathbb{Z}\backslash \{\mathrm{0}\}}{\widehat{u}}_{k,j}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}k\cdot \theta }\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}jx（3）

其中k\cdot \theta ={\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^d}{k}_j{\theta }_j,{\widehat{u}}_{k,j}是函数u的傅里叶系数。若u在{\mathbb{T}}_{{\rho }_{\mathrm{1}}}^d\times {\tilde{\mathbb{T}}}_{{\rho }_{\mathrm{2}}}上有界且解析， 则其傅里叶系数应满足

|{\widehat{u}}_{k,j}|\le \underset{(\theta ,x)\in {\mathbb{T}}_{{\rho }_{\mathrm{1}}}^d\times {\tilde{\mathbb{T}}}_{{\rho }_{\mathrm{2}}}}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}|u(\theta ,x)|{\mathrm{e}}^{-{\rho }_{\mathrm{1}}|k|-{\rho }_{\mathrm{2}}|j|},

其中|k|={\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^d}|k_j|\mathrm{。}

定义1.1 对于{\rho }_i\ge \mathrm{0},m_i\in {\mathbb{N}}_{+}(i=\mathrm{1,2})，用H^{{\rho }_{\mathrm{1}},{\rho }_{\mathrm{2}},m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}}表示定义在{\mathbb{T}}_{{\rho }_{\mathrm{1}}}^d\times {\tilde{\mathbb{T}}}_{{\rho }_{\mathrm{2}}}上的解析函数构成的空间， 其具有如下形式的有限范数：

显然(H^{{\rho }_{\mathrm{1}},{\rho }_{\mathrm{2}},m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}},‖\cdot ‖)是一个Banach空间，实际上它也是一个Hilbert空间。

当{\rho }_i=\mathrm{0}时，H^{m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}}:=H^{\mathrm{0,0},m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}}是一个标准的Sobolev空间，参见文献［13-14］。当{\rho }_i>\mathrm{0}时，空间H^{{\rho }_{\mathrm{1}},{\rho }_{\mathrm{2}},m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}}中的函数在{\mathbb{T}}_{{\rho }_{\mathrm{1}}}^d\times {\tilde{\mathbb{T}}}_{{\rho }_{\mathrm{2}}}的内部是解析。

注1 由（2）式可知，j\ne \mathrm{0}且\mu >\mathrm{1}使方程（1）中的线性算子在边界条件确定的相空间中所对应的特征值均不为零，这点对本文的结果至关重要，因为这是本文压缩映像原理成立的核心。因此，我们考虑形如（3）式的傅里叶展开(j\in \mathit{\mathbb{Z}}\backslash \mathrm{0})是合理的。

空间H^{{\rho }_{\mathrm{1}},{\rho }_{\mathrm{2}},m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}}具有以下两个代数性质，从而是一个Banach代数。

引理1.2（Sobolev情形）^［13-14］ 设m_{\mathrm{1}}>d/\mathrm{2},m_{\mathrm{2}}>\mathrm{1}/\mathrm{2}。则存在依赖于m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}},d的常数C_{m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}},d}>\mathrm{0},使得对任意u_{\mathrm{1}},u_{\mathrm{2}}\in H^{m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}}，乘积u_{\mathrm{2}}\cdot u_{\mathrm{2}}\in H^{m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}},且

{‖u_{\mathrm{1}}{u}_{\mathrm{2}}‖}_{m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}}\le C_{m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}},d}{‖u_{\mathrm{1}}‖}_{m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}}{‖u_{\mathrm{2}}‖}_{m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}}\mathrm{。}

引理1.3（解析情形）^［8，12］ 对于{\rho }_i>\mathrm{0}(i=\mathrm{1,2}),m_{\mathrm{1}}>d,m_{\mathrm{2}}>\mathrm{1}， 存在依赖于{\rho }_{\mathrm{1}},{\rho }_{\mathrm{2}},m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}},d的常数C_{{\rho }_{\mathrm{1}},{\rho }_{\mathrm{2}},m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}},d}>\mathrm{0}，使得对任意u_{\mathrm{1}},u_{\mathrm{2}}\inH^{{\rho }_{\mathrm{1}},{\rho }_{\mathrm{2}},m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}},乘积u_{\mathrm{1}}\cdot u_{\mathrm{2}}\in H^{{\rho }_{\mathrm{1}},{\rho }_{\mathrm{2}},m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}},且

{‖u_{\mathrm{1}}{u}_{\mathrm{2}}‖}_{{\rho }_{\mathrm{1}},{\rho }_{\mathrm{2}},m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}}\le C_{{\rho }_{\mathrm{1}},{\rho }_{\mathrm{2}},m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}},d}{‖u_{\mathrm{1}}‖}_{{\rho }_{\mathrm{1}},{\rho }_{\mathrm{2}},m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}}{‖u_{\mathrm{2}}‖}_{{\rho }_{\mathrm{1}},{\rho }_{\mathrm{2}},m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}}\mathrm{。}

2 主要结果

2.1 问题转化

称Y:{\mathbb{T}}^d\times \tilde{\mathbb{T}}\to \mathbb{R}为y的壳函数。为了构造方程（1）的响应解， 即拟周期解^［15-17］

y(t,x)=Y(\omega t,x)（4）

寻找壳函数Y是关键。由于频率\omega \in {\mathbb{R}}^d有理无关，{\{\omega t\}}_{t\in \mathbb{R}}在环面{\mathbb{T}}^d上是稠密的。我们将（4）式代入方程（1），由稠密性知y满足方程（4）等价于函数Y满足函数方程

(\omega \cdot {\partial }_{\theta }{)}^{\mathrm{2}}Y(\theta ,x)=\mu {\partial }_x^{\mathrm{4}}Y(\theta ,x)+{\partial }_x^{\mathrm{2}}Y(\theta ,x)+(Y^{\mathrm{3}}{)}_{xx}+\epsilon f(\theta ,x)（5）

即

\left[(\omega \cdot {\partial }_{\theta }{)}^{\mathrm{2}}-\mu {\partial }_x^{\mathrm{4}}-{\partial }_x^{\mathrm{2}}\right]Y(\theta ,x)=(Y^{\mathrm{3}}{)}_{xx}+\epsilon f(\theta ,x)（6）

引入算子

{\mathrm{ℒ}}_{\mu }:=(\omega \cdot {\partial }_{\theta }{)}^{\mathrm{2}}-\mu {\partial }_x^{\mathrm{4}}-{\partial }_x^{\mathrm{2}}（7）

则方程（6）可以改写为

{\mathrm{ℒ}}_{\mu }(Y(\theta ,x))=(Y^{\mathrm{3}}{)}_{xx}+\epsilon f(\theta ,x)（8）

若算子{\mathrm{ℒ}}_{\mu }可逆， 方程（8）可转化为如下的不动点方程：

Y(\theta ,x)={\mathrm{ℒ}}_{\mu }^{-\mathrm{1}}\left[(Y^{\mathrm{3}}{)}_{xx}+\epsilon f(\theta ,x)\right]\equiv {\mathrm{𝒯}}_{\mu }\left(Y(\theta ,x)\right)（9）

这里我们引入了一个新算子{\mathrm{𝒯}}_{\mu }。我们将在Banach空间H^{{\rho }_{\mathrm{1}},{\rho }_{\mathrm{2}},m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}}中应用压缩映射原理得到不动点方程（9）的解。显然，证明算子{\mathrm{𝒯}}_{\mu }具有压缩性的关键在于算子{\mathrm{ℒ}}_{\mu }^{-\mathrm{1}}的有界性。

2.2 驱动项解析情形

定理2.1 取\omega \in {\mathbb{R}}^d\backslash \{\mathrm{0}\}。设\mu >\mathrm{1}。设驱动项解析，即f\in H^{{\rho }_{\mathrm{1}},{\rho }_{\mathrm{2}},m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}}，{\rho }_i>\mathrm{0},i=\mathrm{1,2},且m_{\mathrm{1}}>d,m_{\mathrm{2}}>\mathrm{1}。则算子方程（9）存在唯一解析响应解Y\in H^{{\rho }_{\mathrm{1}},{\rho }_{\mathrm{2}},m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}}。

为了利用压缩映像原理证明定理2.1，我们需要估计式（9）中算子{\mathrm{𝒯}}_{\mu }从空间到自身的有界性，即估计{\mathrm{ℒ}}_{\mu }^{-\mathrm{1}}的界，其中的关键是函数的范数由傅里叶系数的大小显示。此外，我们需要在Banach空间H^{{\rho }_{\mathrm{1}},{\rho }_{\mathrm{2}},m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}}中选取一个半径为r的球，使算子{\mathrm{𝒯}}_{\mu }将球映射到自身，并且是一个压缩映射。

首先，我们估计算子{\mathrm{ℒ}}_{\mu }^{-\mathrm{1}}的界。对于方程（9），非线性映射Y\to (Y^{\mathrm{3}}{)}_{xx}从空间H^{{\rho }_{\mathrm{1}},{\rho }_{\mathrm{2}},m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}}到自身是无界算子，而Y\to {\mathrm{ℒ}}_{\mu }^{-\mathrm{1}}(Y^{\mathrm{3}}{)}_{xx}从空间H^{{\rho }_{\mathrm{1}},{\rho }_{\mathrm{2}},m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}-\mathrm{2}}到自身则是有界的。为了证明这一点，我们给出如下引理，高阶光滑情形类似。

引理2.2 令Y\in H^{{\rho }_{\mathrm{1}},{\rho }_{\mathrm{2}},m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}},{\rho }_{\mathrm{1}},{\rho }_{\mathrm{2}}>\mathrm{0},m_{\mathrm{1}}>d,m_{\mathrm{2}}>\mathrm{1},h(Y):=(Y^{\mathrm{3}}{)}_{xx}。则h是从空间H^{{\rho }_{\mathrm{1}},{\rho }_{\mathrm{2}},m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}}映射到空间H^{{\rho }_{\mathrm{1}},{\rho }_{\mathrm{2}},m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}-\mathrm{2}}的解析映射。此外，对任意X\in H^{{\rho }_{\mathrm{1}},{\rho }_{\mathrm{2}},m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}}，有

{‖Dh(Y)X‖}_{{\rho }_{\mathrm{1}},{\rho }_{\mathrm{2}},m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}-\mathrm{2}}\le \mathrm{3}{‖Y^{\mathrm{2}}‖}_{{\rho }_{\mathrm{1}},{\rho }_{\mathrm{2}},m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}}{‖X‖}_{{\rho }_{\mathrm{1}},{\rho }_{\mathrm{2}},m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}}\mathrm{。}

证明 取如下两个函数h_{\mathrm{1}}和h_{\mathrm{2}}，

h_{\mathrm{1}}:H^{{\rho }_{\mathrm{1}},{\rho }_{\mathrm{2}},m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}}\to H^{{\rho }_{\mathrm{1}},{\rho }_{\mathrm{2}},m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}-\mathrm{2}},Y\mapsto Y_{xx}，

h_{\mathrm{2}}:H^{{\rho }_{\mathrm{1}},{\rho }_{\mathrm{2}},m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}}\to H^{{\rho }_{\mathrm{1}},{\rho }_{\mathrm{2}},m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}},Y\mapsto Y^{\mathrm{3}}。

则h=h_{\mathrm{1}}\circ h_{\mathrm{2}}。由于h_{\mathrm{1}}和h_{\mathrm{2}}都是解析的，则函数h:H^{{\rho }_{\mathrm{1}},{\rho }_{\mathrm{2}},m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}}\to H^{{\rho }_{\mathrm{1}},{\rho }_{\mathrm{2}},m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}-\mathrm{2}}也是解析的。因此，

\begin{array}{l}D\left[h(Y)X\right]=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\xi }h(Y+\xi X)\left|{}_{\xi =\mathrm{0}}\right.=\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\xi }{\left({(Y+\xi X)}^{\mathrm{3}}\right)}_{xx}\left|{}_{\xi =\mathrm{0}}\right.=\mathrm{3}(Y^{\mathrm{2}}{X)}_{xx}\mathrm{。}\end{array}

再由引理1.3知

{‖D\left[h(Y)X\right]‖}_{{\rho }_{\mathrm{1}},{\rho }_{\mathrm{2}},m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}-\mathrm{2}}\le \mathrm{3}{‖Y^{\mathrm{2}}X‖}_{{\rho }_{\mathrm{1}},{\rho }_{\mathrm{2}},m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}}\le \mathrm{3}{‖Y^{\mathrm{2}}‖}_{{\rho }_{\mathrm{1}},{\rho }_{\mathrm{2}},m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}}{‖X‖}_{{\rho }_{\mathrm{1}},{\rho }_{\mathrm{2}},m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}}\mathrm{。}

引理得证。

注2 由引理2.2可知，映射Y\to (Y^{\mathrm{3}}{)}_{xx}从空间H^{{\rho }_{\mathrm{1}},{\rho }_{\mathrm{2}},m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}}到空间H^{{\rho }_{\mathrm{1}},{\rho }_{\mathrm{2}},m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}-\mathrm{2}}是有界的。值得注意的是，引理的结论可以扩充至更一般的非线性映射Y\to (g{(Y))}_{xx}，如g(Y)=Y^{\mathrm{2}}或 g(Y)=Y^{\mathrm{4}}等。换言之，引理的结果适用于任何非线性映射而不仅仅是(Y^{\mathrm{3}}{)}_{xx}。

接下来证明Y\to {\mathrm{ℒ}}_{\mu }^{-\mathrm{1}}(Y^{\mathrm{3}}{)}_{xx}从空间H^{{\rho }_{\mathrm{1}},{\rho }_{\mathrm{2}},m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}}到自身是有界的。结合引理2.2，我们只需证明{\mathrm{ℒ}}_{\mu }^{-\mathrm{1}}:H^{{\rho }_{\mathrm{1}},{\rho }_{\mathrm{2}},m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}-\mathrm{2}}\to H^{{\rho }_{\mathrm{1}},{\rho }_{\mathrm{2}},m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}}是有界的。

引理2.3 对任意\mu >\mathrm{1}，算子

{\mathrm{ℒ}}_{\mu }^{-\mathrm{1}}:H^{{\rho }_{\mathrm{1}},{\rho }_{\mathrm{2}},m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}-\mathrm{2}}\to H^{{\rho }_{\mathrm{1}},{\rho }_{\mathrm{2}},m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}}

有界。

证明 考虑函数V\in H^{{\rho }_{\mathrm{1}},{\rho }_{\mathrm{2}},m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}-\mathrm{2}}，其傅里叶展开为

V(\theta ,x)=\sum _{k\in {\mathbb{Z}}^d,j\in \mathbb{Z}\backslash \{\mathrm{0}\}}{\widehat{V}}_{k,j}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}k\cdot \theta }\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}jx\mathrm{。}

将算子{\mathrm{ℒ}}_{\mu }^{-\mathrm{1}}作用在函数V(\theta ,x)上得

{\mathrm{ℒ}}_{\mu }^{-\mathrm{1}}(V)(\theta ,x)=\sum _{\underset{j\in \mathbb{Z}\backslash \{\mathrm{0}\}}{k\in {\mathbb{Z}}^d}}\frac{\mathrm{1}}{-{(k\cdot \omega )}^{\mathrm{2}}-\mu j^{\mathrm{4}}+j^{\mathrm{2}}}{\widehat{V}}_{k,j}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}k\cdot \theta }\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}jx,

其中j\ne \mathrm{0}来源于铰链边界条件。显然，当\mu >\mathrm{1},j\in \mathbb{Z}\backslash \{\mathrm{0}\}时，(\mu j^{\mathrm{4}}-j^{\mathrm{2}})\ne \mathrm{0}成立。另外，{\mathrm{ℒ}}_{\mu }^{-\mathrm{1}}(V)在空间H^{{\rho }_{\mathrm{1}},{\rho }_{\mathrm{2}},m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}}中的范数可以表示为

\begin{array}{l}{\mathrm{ℒ}}_{\mu }^{-\mathrm{1}}{(V)}_{{\rho }_{\mathrm{1}},{\rho }_{\mathrm{2}},m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}=\sum _{\begin{array}{c}k\in {\mathbb{Z}}^d\\ j\in \mathbb{Z}\backslash \{\mathrm{0}\}\end{array}}\frac{\mathrm{1}}{|-{(k\cdot \omega )}^{\mathrm{2}}-\mu j^{\mathrm{4}}+j^{\mathrm{2}}{|}^{\mathrm{2}}}{\left|{\widehat{V}}_{k,j}\right|}^{\mathrm{2}}·\\ {\mathrm{e}}^{\mathrm{2}{\rho }_{\mathrm{1}}|k|}{\left(|k{|}^{\mathrm{2}}+\mathrm{1}\right)}^{m_{\mathrm{1}}}·{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}{\rho }_{\mathrm{2}}|j|}{\left(j^{\mathrm{2}}+\mathrm{1}\right)}^{m_{\mathrm{2}}}=\\ \begin{array}{c}\begin{array}{l}\sum _{\underset{j\in \mathbb{Z}\backslash \{\mathrm{0}\}}{k\in {\mathbb{Z}}^d}}\frac{(j^{\mathrm{2}}{+\mathrm{1})}^{\mathrm{2}}}{|-{(k\cdot \omega )}^{\mathrm{2}}-\mu j^{\mathrm{4}}+j^{\mathrm{2}}{|}^{\mathrm{2}}}{\left|{\widehat{V}}_{k,j}\right|}^{\mathrm{2}}·\\ {\mathrm{e}}^{\mathrm{2}{\rho }_{\mathrm{1}}|k|}{\left(|k{|}^{\mathrm{2}}+\mathrm{1}\right)}^{m_{\mathrm{1}}}·{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}{\rho }_{\mathrm{2}}|j|}{\left(j^{\mathrm{2}}+\mathrm{1}\right)}^{m_{\mathrm{2}}-\mathrm{2}}\le \end{array}\end{array}\\ \underset{\underset{j\in \mathbb{Z}\backslash \{\mathrm{0}\}}{k\in {\mathbb{Z}}^d}}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}\frac{(j^{\mathrm{2}}{+\mathrm{1})}^{\mathrm{2}}}{\left|-{(k\cdot \omega )}^{\mathrm{2}}-\mu j^{\mathrm{4}}+{j^{\mathrm{2}}}^{\left|\mathrm{2}\right.}\right.}{‖V‖}_{{\rho }_{\mathrm{1}},{\rho }_{\mathrm{2}},m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}-\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\mathrm{。}\end{array}

为后文叙述方便， 定义算子

\begin{array}{l}{\widetilde{\mathrm{ℒ}}}_{\mu }^{-\mathrm{1}}(k,j):\mathrm{ }=\frac{j^{\mathrm{2}}+\mathrm{1}}{{(k\cdot \omega )}^{\mathrm{2}}+\mu j^{\mathrm{4}}-j^{\mathrm{2}}}=\\ \frac{j^{\mathrm{2}}}{{(k\cdot \omega )}^{\mathrm{2}}+\mu j^{\mathrm{4}}-j^{\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{1}}{{(k\cdot \omega )}^{\mathrm{2}}+\mu j^{\mathrm{4}}-j^{\mathrm{2}}},\end{array}

其中k\in {\mathbb{Z}}^d且j\in \mathbb{Z}\backslash \{\mathrm{0}\}\mathrm{。}

由于k=\mathrm{0}的情况比较容易估计， 我们仅给出算子{\widetilde{\mathrm{ℒ}}}_{\mu }^{-\mathrm{1}}(k,j)当k\ne \mathrm{0}时第一项上界的估计，第二项的估计是类似的。考虑算子

\begin{array}{l}{N}_{\mu }(a,t):=\frac{a^{\mathrm{2}}+\mu t^{\mathrm{2}}-t}{t},\\ a=(k\cdot \omega )\in \mathbb{R}\backslash \{\mathrm{0}\},t=j^{\mathrm{2}}\in {\mathbb{N}}_{+}\mathrm{。}\end{array}

由于\mu >\mathrm{1}， 显然有

\begin{array}{l}{N}_{\mu }(a,t)>\frac{\mu t^{\mathrm{2}}-t}{t}=\mu t-\mathrm{1}\ge \\ \mu -\mathrm{1}=:C_{\mu }>\mathrm{0},\end{array}

其中C_{\mu }是关于\mu的常数（从这里之后，我们将用C_{\mu }代替只依赖于\mu的任意常数，且不再加以区分）。因此，

\underset{k\in {\mathbb{Z}}^d,j\in \mathbb{Z}\backslash \{\mathrm{0}\}}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}\left|{\tilde{\mathbf{L}}}_{\mu }^{-\mathrm{1}}(k,j)\right|\le \underset{a\in \mathbb{R},t\in {\mathbb{N}}_{+}}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}\left|N_{\mu }^{-\mathrm{1}}(a,t)\right|\le C_{\mu },

即

{‖{\mathrm{ℒ}}_{\mu }^{-\mathrm{1}}(V)‖}_{{\rho }_{\mathrm{1}},{\rho }_{\mathrm{2}},m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}}\le C_{\mu }{‖V‖}_{{\rho }_{\mathrm{1}},{\rho }_{\mathrm{2}},m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}-\mathrm{2}}\mathrm{。}

由于空间 H^{{\rho }_{\mathrm{1}},{\rho }_{\mathrm{2}},m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}}的范数可以由傅里叶系数特征化，定义

\begin{array}{l}{‖{\mathrm{ℒ}}_{\mu }^{-\mathrm{1}}‖}_{H^{{\rho }_{\mathrm{1}},{\rho }_{\mathrm{2}},m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}-\mathrm{2}}\to H^{{\rho }_{\mathrm{1}},{\rho }_{\mathrm{2}},m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}}}=\\ \underset{k\in {\mathbb{Z}}^d,j\in \mathbb{Z}\backslash \{\mathrm{0}\}}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}\left|{\widetilde{\mathrm{ℒ}}}_{\mu }^{-\mathrm{1}}(k,j)\right|\le C_{\mu }\end{array}（10）

因此，算子{\mathrm{ℒ}}_{\mu }^{-\mathrm{1}}:H^{{\rho }_{\mathrm{1}},{\rho }_{\mathrm{2}},m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}-\mathrm{2}}\to H^{{\rho }_{\mathrm{1}},{\rho }_{\mathrm{2}},m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}}是有界的，引理得证。

注3 引理2.3的证明得益于\mu >\mathrm{1}和j\ne \mathrm{0}。事实上，当\mu >\mathrm{1}时，方程（1）只有双曲方向，此时\mathrm{1}/|k,w|的分母有远离零的下界，不会产生小除数问题。因此，本文的证明不需要\omega满足任何非退化条件，如Diophantine或Brjuno条件。

定理2.1的证明 为了证明定理，需要在空间H^{{\rho }_{\mathrm{1}},{\rho }_{\mathrm{2}},m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}}中找到方程（9）的不动点。为此我们在空间H^{{\rho }_{\mathrm{1}},{\rho }_{\mathrm{2}},m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}}中选取一个以原点为圆心、半径为r的球{\mathbb{B}}_r(\mathrm{0})，使得\mathrm{𝒯}({\mathbb{B}}_r(\mathrm{0}))\subset {\mathbb{B}}_r(\mathrm{0})且\mathrm{𝒯}在{\mathbb{B}}_r(\mathrm{0})中是个压缩映射。具体而言，任取Y_{\mathrm{1}},Y_{\mathrm{2}}\in {\mathbb{B}}_r(\mathrm{0})，选取r满足 由引理2.1可得

这说明算子\mathrm{𝒯}在球{\mathbb{B}}_r(\mathrm{0})中是压缩映射。

接下来，选取任意Y\in {\mathbb{B}}_r(\mathrm{0})，则有

\begin{array}{l}{‖\mathrm{𝒯}(Y)‖}_{{\rho }_{\mathrm{1}},{\rho }_{\mathrm{2}},m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}}\le {‖\mathrm{𝒯}(\mathrm{0})‖}_{{\rho }_{\mathrm{1}},{\rho }_{\mathrm{2}},m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}}+\\ {‖\mathrm{𝒯}(Y)-\mathrm{𝒯}(\mathrm{0})‖}_{{\rho }_{\mathrm{1}},{\rho }_{\mathrm{2}},m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}}\le \\ C_{\mu }\cdot |\epsilon |\cdot {‖f‖}_{{\rho }_{\mathrm{1}},{\rho }_{\mathrm{2}},m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}r\mathrm{。}\end{array}

由于\epsilon任意小，我们有C_{\mu }\cdot |\epsilon |\cdot {‖f‖}_{{\rho }_{\mathrm{1}},{\rho }_{\mathrm{2}},m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}}\le r/\mathrm{2}\mathrm{。}因此， C_{\mu }\cdot |\epsilon |\cdot {‖f‖}_{{\rho }_{\mathrm{1}},{\rho }_{\mathrm{2}},m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}r\le r\mathrm{。}因此，\mathrm{𝒯}({\mathbb{B}}_r(\mathrm{0}))\subset {\mathbb{B}}_r(\mathrm{0})。综上，由Banach空间H^{{\rho }_{\mathrm{1}},{\rho }_{\mathrm{2}},m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}}中的不动点定理可知，方程（9）存在着唯一不动点Y\in H^{{\rho }_{\mathrm{1}},{\rho }_{\mathrm{2}},m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}}。

2.3 驱动项高阶光滑情形

定理2.4 取\omega \in {\mathbb{R}}^d\backslash \{\mathrm{0}\}。设\mu >\mathrm{1}，驱动项f\in H^{m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}}高阶光滑且m_{\mathrm{1}}>d/\mathrm{2},m_{\mathrm{2}}>\mathrm{1}/\mathrm{2}.则方程（9）存在唯一光滑响应解Y\in H^{m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}}。

对于驱动项高阶光滑情形，我们有以下两个引理。鉴于证明过程完全类似于解析情形的两个引理，这里我们略去证明过程。

引理2.5 令Y\in H^{m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}},m_{\mathrm{1}}>d/\mathrm{2},m_{\mathrm{2}}>\mathrm{1}/\mathrm{2},h(Y):=(Y^{\mathrm{3}}{)}_{xx}\mathrm{。}则h是从空间H^{m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}}映射到空间H^{m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}-\mathrm{2}}的解析映射。此外，对任意的X\in H^{m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}}，有

{‖Dh(Y)X‖}_{m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}-\mathrm{2}}\le \mathrm{3}{‖Y^{\mathrm{2}}‖}_{m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}}{‖X‖}_{m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}}\mathrm{。}

引理2.6 对于任意\mu >\mathrm{1}，算子{\mathrm{ℒ}}_{\mu }^{-\mathrm{1}}:H^{m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}-\mathrm{2}}\to H^{m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}}有界且{{\mathrm{ℒ}}_{\mu }^{-\mathrm{1}}}_{H^{m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}-\mathrm{2}}\to H^{m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}}}\le C_{\mu }\mathrm{。}

定理2.4的证明 类似解析情形， 我们基于引理2.4和引理2.5在空间H^{m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}}中选择球{\mathbb{B}}_r(\mathrm{0})，其中半径r满足任取Y_{\mathrm{1}},Y_{\mathrm{2}}\in {\mathbb{B}}_r(\mathrm{0})，有

因此，算子\mathrm{𝒯}在球{\mathbb{B}}_r(\mathrm{0})中是压缩映射。任取Y\in {\mathbb{B}}_r(\mathrm{0})， 由于\epsilon任意小，我们有

\begin{array}{l}{‖\mathrm{𝒯}(Y)‖}_{m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}}\le {‖\mathrm{𝒯}(\mathrm{0})‖}_{m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}}+\\ {‖\mathrm{𝒯}(Y)-\mathrm{𝒯}(\mathrm{0})‖}_{m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}}\le \\ C_{\mu }\cdot |\epsilon |\cdot {‖f‖}_{m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}r\le r\mathrm{。}\end{array}

因此，\mathrm{𝒯}({\mathbb{B}}_r(\mathrm{0}))\subset {\mathbb{B}}_r(\mathrm{0})。由不动点定理， 方程（9）存在唯一的解Y\in H^{m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}}。定理得证。

参考文献

[1] Wang F F， Cheng H Y， Si J G.Response solution to ill-posed Boussinesq equation with quasi-periodic forcing of Liouvillean frequency ［J］.J Nonlinear Sci， 2020， 30： 657-710.

[2] Boussinesq J.Théorie des ondes et des remous qui se propagent le long d’un canal rectangulaire horizontal， en communiquant au liquide contenu dans ce canal des vitesses sensiblement pareilles de la surface au fond ［J］.J Math Pures Appli， 1872， 17： 55-108.

[3] Shang C Y.Global attractor for the Ginzburg–Landau thermoviscoelastic systems with hinged boundary conditions ［J］.J Math Anal Appl， 2008， 343： 1-21.

[4] Shi Y L， Xu J X， Xu X D， et al.On the quasi-periodic solutions for generalized Boussinesq equation with higher order nonlinearity ［J］.Appl Anal， 2015， 94： 1977-1996.

[5] De La Llave R.A smooth center manifold theorem which applies to some ill-posed partial differential equations with unbounded nonlinearities ［J］.J Dyn Differ Equ， 2009， 21： 371-415.

[6] Cheng H Y， De La Llave R.Stable manifolds to bounded solutions in possibly ill-posed PDEs ［J］.J Differ Equations， 2020， 268： 4830-4899.

[7] De La Llave R， Sire Y.A posteriori KAM theorem for Whiskered Tori in Hamiltonian partial differential equations with applications to some ill-posed equations ［J］.Arch Rational Mech Anal， 2019， 231： 971-1044.

[8] Wang F F， De La Llave R.Response solutions to quasi-periodically forced systems， even to possibly ill-posed PDEs， with strong dissipation and any frequency vectors ［J］.SIAM J Math Anal， 2020， 52： 3149-3191.

[9] Kronecker L.Näherungsweise ganzzahlige Auflösung linearer Gleichungen ［M］.Berlin： Monatsber Königlich Preuss Akad Wiss， 1884.

[10] Poincaré H.Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste： Vol.3 ［M］.Paris： Gauthier-Villars et fils， imprimeurs-libraires， 1899.

[11] Cheng H Y， De La Llave R， Wang F F.Response solutions to the quasi-periodically forced systems with degenerate equilibrium： a simple proof of a result of W.Si and J.Si and extensions ［J］.Nonlinearity， 2021， 34： 372-393.

[12] Xu X D， De La Llave R， Wang F F.The existence of solutions for nonlinear elliptic equations： Simple proofs and extensions of a paper by Y.Shi ［J］.J Differ Equations， 2022， 318： 20-57.

[13] Adams R A， Fournier J F.Sobolev spaces ［M］.Oxford： Elsevier， 2003.

[14] Taylor M E.Partial differential equations： Vol.3 ［M］.Cham： Springer， 1996.

[15] Pöschel J.A KAM-theorem for some nonlinear partial differential equations ［J］. Ann Scuola Norm Sci， 1996， 23： 119-148.

[16] Pöschel J.A lecture on the classical KAM theorem ［J］.Proc Symp Pure Math 2001， 69： 707-732.

[17] Kappeler T， Pöschel J.KdV & KAM ［M］.Berlin： Springer， 2013.

基金资助

国家自然科学基金(12101434)

四川省自然科学基金(24NSFSC4934)