线弹性问题的一类无稳定子弱有限元法

摘要

线弹性问题源自机械制造及航空等工程应用。线弹性问题中的微分方程较复杂，其解析解目前还是未知的。经典有限元法常被用于数值求解线弹性问题，但难以克服“闭锁”现象。为此研究者提出了弱有限元法，方法引入了弱微分算子（弱梯度、弱散度等），并且用间断多项式函数离散问题中的微分方程。在弱有限元法中，近似函数的连续性通常由边界函数及稳定子共同保证，即通过加入稳定子来保证数值格式的稳定性，这会导致数值格式结构复杂、计算量大且逼近速度慢。为了克服这些问题，研究者提出了无稳定子的弱有限元法，通过提高弱梯度算子的逼近多项式次数来保证格式的稳定性。本文提出了一种无稳定子的弱有限元法，引入了弱梯度和弱散度算子，并且分别用分片线性和分片二次多项式逼近单元内部的位移和边界位移。本文引入了辅助变量，给出了与问题等价的混合格式，并证明格式关于Lamé常数一致收敛，从而能够克服“闭锁”现象。相比含稳定子的弱有限元法，本文的格式结构简单，逼近速度更快。数值算例验证了理论结果。

关键词

线弹性问题 / 弱有限元方法 / 稳定子