加权Fock空间上的对偶Toeplitz算子

Dual Toeplitz operators on the weighted Fock spaces

摘要

伴随着单位圆盘的Bergman空间正交补上对偶Toeplitz算子的半换位性得到刻画， 解析函数空间正交补空间上的对偶Toeplitz算子受到广泛关注。本文致力于研究高维加权Fock空间正交补空间上的对偶Toeplitz算子的有界性和紧性。对于符号函数f属于L_{\alpha }^{\mathrm{2}}的Toeplitz算子， 本文通过构造新函数g_{w,s}和积分运算等方法证明其仅在f属于L^{\mathrm{\infty }}时有界， 以及仅当\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}值为零时是紧的。这一发现填补了加权Fock空间上对偶Toeplitz算子研究的空白， 进一步丰富了加权Fock空间上的算子理论，也为其他解析函数空间上Toeplitz算子的研究奠定了基础。

Abstract

With the successful characterization of the semi-commutativity of dual Toeplitz operators on the orthogonal complement of the Bergman space over the unit disk， dual Toeplitz operators on the orthogonal complement of analytic function spaces have attracted widespread attention.In this paper we focus on the boundedness and compactness of the dual Toeplitz operators on the orthogonal complement of the high-dimensional weighted Fock spaces.For a Toeplitz operator with symbol f belongs to L_{\alpha }^{\mathrm{2}}， by constructing a new function g_{w,s} and integral operation， we prove that it is bounded only when f belongs to L^{\mathrm{\infty }}， and that it is bounded only when \Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }} is zero.This discovery fills in the blank of the previous understanding of dual Toeplitz operators on weighted Fock spaces， further enriches the conclusions in the field of operator theory， and lays a theoretical foundation for the study of Toeplitz operators on other analytic function spaces.

Graphical abstract

关键词

加权Fock空间 / 对偶Toeplitz算子 / 有界性 / 紧性

Key words

weighted Fock space / dual Toeplitz operator / boundedness / compactness（2020 MSC 47B35）

算子理论与复分析、调和分析、函数论及拓扑学等数学分支联系十分密切， 并且已被深入应用到其他学科领域， 如量子物理及控制论。Toeplitz算子、对偶Toeplitz算子、Hankel算子和对偶Hankel算子是函数空间上被广泛研究的特殊算子类， 对其进行深入研究可以更好理解解析函数空间的结构和性质， 为相关领域数学问题提供有力的研究工具和方法^［1-10］。

近年来， 解析函数空间正交补上的对偶Toeplitz算子受到广泛关注。Stroethoff和Zheng首先研究了单位圆盘的Bergman空间正交补上对偶Toeplitz算子的半换位性^［11］， 其结果后被推广到单位球或多圆盘上^［12-16］。随后，单位圆盘或单位球的Fock-Sobolev空间、Dirichlet空间和Hardy-Sobolev空间上的相应问题也相继被解决^［17-19］。在这些文献的启发下， 本文对加权Fock空间的正交补空间(F_{\alpha }^{\mathrm{2}}{)}^{\perp }上以f为符号的对偶Toeplitz算子S_f进行研究， 给出了S_f为有界和紧时的确切条件， 其中f\in L_{\alpha }^{\mathrm{2}}。

1 预备知识

用{\mathbb{C}}^n表示n维欧式空间， \mathrm{d}v为{\mathbb{C}}^n上的正规化勒贝格体积测度， 即

{\int }_{{\mathit{ℂ}}^n}{e}^{-|z{|}^{\mathrm{2}}}dv(z)=\mathrm{1}（1）

对于{\mathbb{C}}^n中的元素z=(z_{\mathrm{1}},z_{\mathrm{2}},\cdots ,z_n)和w=(w_{\mathrm{1}},w_{\mathrm{2}},\cdots ,w_n)， 记

（2）

用{\mathbb{N}}^n表示由n个非负整数组成的多重指标全体所成集合。对\beta =({\beta }_{\mathrm{1}},\cdots ,{\beta }_n)\in {\mathbb{N}}^n， 记

\begin{array}{l}|\beta |=|{\beta }_{\mathrm{1}}|+\cdots +|{\beta }_n|,\\ z^{\beta }=z_{\mathrm{1}}^{{\beta }_{\mathrm{1}}}\cdots z_n^{{\beta }_n},{\partial }^{\beta }={\partial }_{\mathrm{1}}^{{\beta }_{\mathrm{1}}}\cdots {\partial }_n^{{\beta }_n}\end{array}（3）

对和\alpha \in \mathbb{R}， 用L_{\alpha }^p({\mathbb{C}}^n)表示{\mathbb{C}}^n上满足

（4）

的可测函数f全体组成的集合。

将{\mathbb{C}}^n上整函数全体组成的集合记为H({\mathbb{C}}^n)。对于， 加权Fock空间F_{\alpha }^p定义为

F_{\alpha }^p:=L_{\alpha }^p({\mathbb{C}}^n)\bigcap H({\mathbb{C}}^n)（5）

其中范数为\Vert \cdot {\Vert }_{F_{\alpha }^p}:=\Vert \cdot {\Vert }_{L_{\alpha }^p}。当p=\mathrm{2}时， 加权Fock空间F_{\alpha }^{\mathrm{2}}关于以下内积

{〈f,g〉}_{L_{\alpha }^{\mathrm{2}}}:={\int }_{{\mathit{ℂ}}^n}f(z)\overline{g(z)}{e}^{-|z{|}^{\mathrm{2}}}\frac{\mathrm{1}}{{(\mathrm{1}+|z|)}^{\alpha }}dv(z)（6）

构成一个Hilbert空间。由Riesz表示定理知， F_{\alpha }^{\mathrm{2}}还是一个再生核的Hilbert空间^［20］。然而， 在上述内积定义下很难计算再生核的具体解析表达式。为此 我们在F_{\alpha }^{\mathrm{2}}上引入了一种新的内积{〈\cdot ,\cdot 〉}_{\alpha }， 它导出了一个与F_{\alpha }^{\mathrm{2}}上自然范数等价的范数， 并由此得到相对简易的再生核表达式。具体来说， 当\alpha \le \mathrm{0}时， 令

{〈f,g〉}_{\alpha }:={\int }_{{\mathit{ℂ}}^n}f(z)\overline{g(z)}{e}^{-|z{|}^{\mathrm{2}}}\frac{\mathrm{1}}{|z{|}^{\alpha }}dv(z)（7）

当\alpha >\mathrm{0}时， 令

\begin{array}{l}{〈f,g〉}_{\alpha }:={\int }_{{\mathit{ℂ}}^n}{f}_{\alpha /\mathrm{2}}^{-}(z)\overline{g_{\alpha /\mathrm{2}}^{-}(z)}{e}^{-|z{|}^{\mathrm{2}}}dv(z)+\\ {\int }_{{\mathit{ℂ}}^n}{f}_{\alpha /\mathrm{2}}^{+}(z)\overline{g_{\alpha /\mathrm{2}}^{+}(z)}{e}^{-|z{|}^{\mathrm{2}}}\frac{\mathrm{1}}{|z{|}^{\alpha }}dv(z)\end{array}（8）

\Vert \cdot {\Vert }_{{}_{\widetilde{F_{\alpha }^p}}}:={\left({\int }_{{\mathit{ℂ}}^n}|f(z)e^{-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}|z{|}^{\mathrm{2}}}{|}^p\frac{\mathrm{1}}{|z{|}^{\alpha }}dv(z)\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{p}}，

其中f_{\alpha /\mathrm{2}}^{-}为f的泰勒展开式中阶数不超过\alpha /\mathrm{2}的项之和， f_{\alpha /\mathrm{2}}^{+}=f-f_{\alpha /\mathrm{2}}^{-}。不难验证内积{〈\cdot ,\cdot 〉}_{\alpha }导出了一个与F_{\alpha }^{\mathrm{2}}上自然范数等价的Hilbert空间范数。

对于， 当\alpha \le \mathrm{0}时， 定义

\Vert \cdot {\Vert }_{\widetilde{F_{\alpha }^p}}:={\left({\int }_{{\mathbb{C}}^n}|f(z){\mathrm{e}}^{-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}|z{|}^{\mathrm{2}}}{|}^p\frac{\mathrm{d}v(z)}{|z{|}^{\alpha }}\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{p}}（9）

当\alpha >\mathrm{0}时， 定义

\begin{array}{l}\Vert \cdot {\Vert }_{\widetilde{F_{\alpha }^p}}:={\left({\int }_{{\mathit{ℂ}}^n}|f_{\alpha /p}^{-}(z)e^{-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}|z{|}^{\mathrm{2}}}{|}^{p}dv(z)\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{p}}+\\ {\left({\int }_{{\mathbb{C}}^n}|f_{\alpha /p}^{+}(z){\mathrm{e}}^{-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}|z{|}^{\mathrm{2}}}{|}^p\frac{\mathrm{d}v(z)}{|z{|}^{\alpha }}\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{p}}\end{array}（10）

易知\Vert \cdot {\Vert }_{\widetilde{F_{\alpha }^p}}与\Vert \cdot {\Vert }_{F_{\alpha }^p}等价^［20］。

对w\in {\mathbb{C}}^n和\alpha \in \mathbb{R}，记F_{\alpha }^{\mathrm{2}}上w处的再生核为K^{\alpha }(\cdot ,w)，并记K_w^{\alpha }(z)=K^{\alpha }(z,w)，且k_w^{\alpha }=\frac{K_w^{\alpha }}{\Vert K_w^{\alpha }{\Vert }_{F_{\alpha }^{\mathrm{2}}}}为F_{\alpha }^{\mathrm{2}}上的正规化再生核。注意到多项式形成F_{\alpha }^{\mathrm{2}}的一个稠密子集^［21］，并且单项式相互正交，可知

{\left\{{\varphi }_{\beta }(z)=\frac{z^{\beta }}{\sqrt[]{{〈z^{\beta },z^{\beta }〉}_{\alpha }}}\right\}}_{\beta \in {\mathbb{N}}^n}（11）

形成了F_{\alpha }^{\mathrm{2}}的一组标准正交基。直接计算可得

K_w^{\alpha }(z)=\sum _{\beta \in {\mathbb{N}}^n}{\varphi }_{\beta }(z)\overline{{\varphi }_{\beta }(w)}=\sum _{\beta \in {\mathbb{N}}^n}\frac{\mathrm{1}}{{〈z^{\beta },z^{\beta }〉}_{\alpha }}{z}^{\beta }{\overline{w}}^{\beta }（12）

其中\{{\varphi }_{\beta }{\}}_{\beta \in {\mathbb{N}}^n}是F_{\alpha }^{\mathrm{2}}的一组标准正交基。

当\alpha \le \mathrm{0}时，(F_{\alpha }^{\mathrm{2}},\Vert \cdot {\Vert }_{F_{\alpha }^{\mathrm{2}}})是L_{\alpha }^{\mathrm{2}}的一个闭子空间。若P_{\alpha }是从L_{\alpha }^{\mathrm{2}}到F_{\alpha }^{\mathrm{2}}的正交投影，则

P_{\alpha }f(z)={〈f,K_z^{\alpha }〉}_{F_{\alpha }^{\mathrm{2}}}（13）

对于f\in L^{\mathrm{\infty }}， 定义F_{\alpha }^{\mathrm{2}}上以f为符号的Toeplitz算子T_f，满足

T_{f}g=P_{\alpha }(fg),\forall g\in F_{\alpha }^{\mathrm{2}}（14）

定义从F_{\alpha }^{\mathrm{2}}到(F_{\alpha }^{\mathrm{2}}{)}^{\perp }的以f为符号的Hankel算子H_f， 满足

H_{f}g=Q_{\alpha }(fg)=(I-P_{\alpha })(fg),\forall g\in F_{\alpha }^{\mathrm{2}}（15）

其中Q_{\alpha }是从L_{\alpha }^{\mathrm{2}}到(F_{\alpha }^{\mathrm{2}}{)}^{\perp }的正交投影， I是F_{\alpha }^{\mathrm{2}}上的恒等算子。定义从(F_{\alpha }^{\mathrm{2}}{)}^{\perp }到(F_{\alpha }^{\mathrm{2}}{)}^{\perp }的以f为符号的对偶Toeplitz算子S_f， 满足

S_{f}u=Q_{\alpha }(fu)=(I-P_{\alpha })(fu),\forall u\in (F_{\alpha }^{\mathrm{2}}{)}^{\perp }（16）

对于两个非负量A和B（可能包含多个变量），如果存在一个常数C>\mathrm{0}使得A\ge CB（或A\le CB）成立， 则记作A\gtrsim B（或A\lesssim B）。如果A\gtrsim B且A\lesssim B， 则记A\simeq B。

2 主要结论及证明

为了得到主要结论， 首先需要证明一些引理。

引理2.1 设\alpha \le \mathrm{0}。对任意u\in (F_{\alpha }^{\mathrm{2}}{)}^{\perp }，有

\left(H_{\overline{f}}^{\mathrm{*}}\right)u=P_{\alpha }(uf)（17）

证明\forall z\in {\mathbb{C}}^n， 有

\begin{array}{l}\left(H_{\overline{f}}^{\mathrm{*}}\right)u(z)={〈H_{\overline{f}}^{*}u,K_z^{\alpha }〉}_{F_{\alpha }^{\mathrm{2}}}={〈u,H_{\overline{f}}{K}_z^{\alpha }〉}_{F_{\alpha }^{\mathrm{2}}}={\int }_{{\mathbb{C}}^n}u(w)\overline{H_{\overline{f}}{K}_z^{\alpha }(w)}\frac{{\mathrm{e}}^{-|w{|}^{\mathrm{2}}}}{{(\mathrm{1}+|w|)}^{\alpha }}\mathrm{d}v(w)=\\ {\int }_{{\mathbb{C}}^n}u(w)\overline{(I-P_{\alpha })(\overline{f}{K}_z^{\alpha })(w)}\frac{{\mathrm{e}}^{-|w{|}^{\mathrm{2}}}}{{(\mathrm{1}+|w|)}^{\alpha }}\mathrm{d}v(w)=\\ {\int }_{{\mathbb{C}}^n}u(w)\overline{[\overline{f}{K}_z^{\alpha }-P_{\alpha }(\overline{f}{K}_z^{\alpha })](w)}\frac{{\mathrm{e}}^{-|w{|}^{\mathrm{2}}}}{{(\mathrm{1}+|w|)}^{\alpha }}\mathrm{d}v(w)={\int }_{{\mathbb{C}}^n}u(w)\overline{\overline{f(w)}{K}_z^{\alpha }(w)}\frac{{\mathrm{e}}^{-|w{|}^{\mathrm{2}}}}{{(\mathrm{1}+|w|)}^{\alpha }}\mathrm{d}v(w)=\\ {\int }_{{\mathbb{C}}^n}u(w)f(w)\overline{K_z^{\alpha }(w)}\frac{{\mathrm{e}}^{-|w{|}^{\mathrm{2}}}}{{(\mathrm{1}+|w|)}^{\alpha }}\mathrm{d}v(w)={〈uf,K_z^{\alpha }〉}_{F_{\alpha }^{\mathrm{2}}}=P_{\alpha }(uf)(z)(\mathrm{18})\end{array}

证毕。

对于w=(w_{\mathrm{1}},w_{\mathrm{2}},\cdots ,w_n)\in {\mathbb{C}}^n和，

（19）

表示中心为w， 半径为s的球。当\alpha \in \mathbb{R}时， 对于z=(z_{\mathrm{1}},z_{\mathrm{2}},\cdots ,z_n)\in {\mathbb{C}}^n， 定义

g_{w,s}(z)=\overline{(z_{\mathrm{1}}-w_{\mathrm{1}})}{\mathrm{e}}^{|z{|}^{\mathrm{2}}}{(\mathrm{1}+|z|)}^{\frac{\alpha }{\mathrm{2}}}{\chi }_{B_n(w,s)}(z)（20）

其中{\chi }_{B_n(w,s)}(z)为B_n(w,s)上的特征函数。

引理2.2 当\alpha \le \mathrm{0}时， g_{w,s}\in (F_{\alpha }^{\mathrm{2}}{)}^{\perp }\mathrm{。}

证明 对\beta \in {\mathbb{N}}^n， 有

（21）

这表明z^{\beta }\perp g_{w,s}。由单项式列是F_{\alpha }^{\mathrm{2}}的一个正交基可知， g_{w,s}\in (F_{\alpha }^{\mathrm{2}}{)}^{\perp }\mathrm{。}

引理2.3^［20］ 设\alpha \in \mathbb{R}。则对任意z\in {\mathbb{C}}^n，有

\Vert K_z^{\alpha }{\Vert }_{F_{\alpha }^{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}\simeq {\mathrm{e}}^{|z{|}^{\mathrm{2}}}{(\mathrm{1}+|z|)}^{\alpha }（22）

对z,w\in {\mathbb{C}}^n和， 定义

{\gamma }_{w,s}(z)=\frac{g_{w,s}(z)}{\Vert g_{w,s}{\Vert }_{L_{\alpha }^{\mathrm{2}}}}（23）

引理2.4 设\alpha \le \mathrm{0}。则对任意f\in L_{\alpha }^{\mathrm{2}}，有

\underset{s\to \mathrm{0}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\Vert H_{\overline{f}}^{\mathrm{*}}{\gamma }_{w,s}{\Vert }_{F_{\alpha }^{\mathrm{2}}}=\mathrm{0}（24）

证明 由引理2.1的证明过程及\mathrm{H}\ddot{\mathrm{o}}\mathrm{l}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}不等式可知，

\begin{array}{l}|H_{\overline{f}}^{\mathrm{*}}{\gamma }_{w,s}(z)|=\left|{\int }_{{\mathit{ℂ}}^n}{\gamma }_{w,s}(t)f(t)\overline{K_z^{\alpha }(t)}{e}^{-|t{|}^{\mathrm{2}}}\frac{\mathrm{1}}{{(\mathrm{1}+|t|)}^{\alpha }}dv(t)\right|=\\ \left|{\int }_{B_n(w,s)}{\gamma }_{w,s}(t)f(t)\overline{K_z^{\alpha }(t)}{\mathrm{e}}^{-|t{|}^{\mathrm{2}}}\frac{\mathrm{1}}{{(\mathrm{1}+|t|)}^{\alpha }}\mathrm{d}v(t)\right|\le {\int }_{B_n(w,s)}|{\gamma }_{w,s}(t)f(t)\overline{K_z^{\alpha }(t)}{\mathrm{e}}^{-|t{|}^{\mathrm{2}}}\frac{\mathrm{1}}{{(\mathrm{1}+|t|)}^{\alpha }}|\mathrm{d}v(t)\le \\ {\left({\int }_{B_n(w,s)}|f(t){|}^{\mathrm{2}}|K_z^{\alpha }(t){|}^{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{-|t{|}^{\mathrm{2}}}\frac{\mathrm{1}}{{(\mathrm{1}+|t|)}^{\alpha }}\mathrm{d}v(t)\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}{\left({\int }_{B_n(w,s)}|{\gamma }_{w,s}(t){|}^{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{-|t{|}^{\mathrm{2}}}\frac{\mathrm{1}}{{(\mathrm{1}+|t|)}^{\alpha }}\mathrm{d}v(t)\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}=\end{array}

{\left({\int }_{B_n(w,s)}|f(t){|}^{\mathrm{2}}|K_z^{\alpha }(t){|}^{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{-|t{|}^{\mathrm{2}}}\frac{\mathrm{1}}{{(\mathrm{1}+|t|)}^{\alpha }}\mathrm{d}v(t)\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\Vert {\gamma }_{w,s}{\Vert }_{L_{\alpha }^{\mathrm{2}}}={\left({\int }_{B_n(w,s)}|f(t){|}^{\mathrm{2}}|K_z^{\alpha }(t){|}^{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{-|t{|}^{\mathrm{2}}}\frac{\mathrm{1}}{{(\mathrm{1}+|t|)}^{\alpha }}\mathrm{d}v(t)\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}（25）

结合\mathrm{F}\mathrm{u}\mathrm{b}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}定理和引理2.3可得

（26）

注意到f\in L_{\alpha }^{\mathrm{2}}， 由积分的绝对连续性可得

\underset{s\to \mathrm{0}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{\int }_{B_n(w,s)}|f(t){|}^{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{-|t{|}^{\mathrm{2}}}\frac{\mathrm{1}}{{(\mathrm{1}+|t|)}^{\alpha }}\mathrm{d}v(t)=\mathrm{0}（27）

所以\underset{s\to \mathrm{0}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\Vert H_{\overline{f}}^{\mathrm{*}}{\gamma }_{w,s}{\Vert }_{F_{\alpha }^{\mathrm{2}}}=\mathrm{0}\mathrm{。}证毕。

引理2.5 设\alpha \le \mathrm{0}。则对任意f\in L_{\alpha }^{\mathrm{2}}，有

|f(w)|=\underset{s\to \mathrm{0}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\Vert S_f{\gamma }_{w,s}{\Vert }_{L_{\alpha }^{\mathrm{2}}}（28）

证明 对于乘法算子M_f， 由引理2.1可知

M_{f}u=(I-P_{\alpha })(fu)+P_{\alpha }(fu)=S_{f}u+H_{\overline{f}}^{\mathrm{*}}u（29）

其中u\in (F_{\alpha }^{\mathrm{2}}{)}^{\perp }。将u={\gamma }_{w,s}代入上式得

M_f{\gamma }_{w,s}=S_f{\gamma }_{w,s}+H_{\overline{f}}^{\mathrm{*}}{\gamma }_{w,s}（30）

其中S_f{\gamma }_{w,s}\perp H_{\overline{f}}^{\mathrm{*}}{\gamma }_{w,s}。因此，

\begin{array}{l}\Vert M_f{\gamma }_{w,s}{\Vert }_{L_{\alpha }^{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}=\\ {〈S_f{\gamma }_{w,s}+H_{\overline{f}}^{*}{\gamma }_{w,s},S_f{\gamma }_{w,s}+H_{\overline{f}}^{*}{\gamma }_{w,s}〉}_{L_{\alpha }^{\mathrm{2}}}=\\ \Vert S_f{\gamma }_{w,s}{\Vert }_{L_{\alpha }^{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}+\Vert H_{\overline{f}}^{\mathrm{*}}{\gamma }_{w,s}{\Vert }_{L_{\alpha }^{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}\end{array}（31）

结合引理2.4可知

\underset{s\to \mathrm{0}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\Vert M_f{\gamma }_{w,s}{\Vert }_{L_{\alpha }^{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}=\underset{s\to \mathrm{0}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\Vert S_f{\gamma }_{w,s}{\Vert }_{L_{\alpha }^{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}（32）

注意到

\begin{array}{l}\Vert M_f{\gamma }_{w,s}{\Vert }_{L_{\alpha }^{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}=\\ {\int }_{{\mathbb{C}}^n}|(f{\gamma }_{w,s})(z){|}^{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{-|z{|}^{\mathrm{2}}}\frac{\mathrm{1}}{{(\mathrm{1}+|z|)}^{\alpha }}\mathrm{d}v(z)=\\ {\int }_{{\mathbb{C}}^n}|f(z){|}^{\mathrm{2}}\frac{|g_{w,s}(z){|}^{\mathrm{2}}}{\Vert g_{w,s}{\Vert }_{L_{\alpha }^{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{e}}^{-|z{|}^{\mathrm{2}}}\frac{\mathrm{1}}{{(\mathrm{1}+|z|)}^{\alpha }}\mathrm{d}v(z)=\end{array}

（33）

只需证明

（34）

直接计算可得

（35）

当时， 设

N=\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{{\mathrm{e}}^{-|z{|}^{\mathrm{2}}}|z\in B_n(w,s)\}（36）

可知N>\mathrm{0}。令M=\mathrm{1}/N。则对任意z\in B_n(w,s)， 有{\mathrm{e}}^{|z{|}^{\mathrm{2}}}\in [\mathrm{1},M]， 由此可得

（37）

以及

（38）

结合不等式（37）和（38）， 以及文献［22］定理8.8可知，

（39）

证毕。

定理2.6 设\alpha \le \mathrm{0}。若f\in L_{\alpha }^{\mathrm{2}}， 则S_f有界当且仅当f\in L^{\mathrm{\infty }}。此时， \Vert S_f\Vert =\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}。

证明 若f\in L^{\mathrm{\infty }}， 则对于任意u\in F_{\alpha }^{\mathrm{2}}， 有

\begin{array}{l}\Vert S_{f}u{\Vert }_{L_{\alpha }^{\mathrm{2}}}=\Vert (I-P_{\alpha })fu{\Vert }_{L_{\alpha }^{\mathrm{2}}}\le \\ \Vert fu{\Vert }_{L_{\alpha }^{\mathrm{2}}}\le \Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\Vert u{\Vert }_{L_{\alpha }^{\mathrm{2}}}\end{array}（40）

这表明S_f是有界的， 并且

\Vert S_f\Vert \le \Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}（41）

反之， 若S_f有界， 则对任意w\in {\mathbb{C}}^n有

\begin{array}{l}|f(w)|=\underset{s\to \mathrm{0}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\Vert S_f{\gamma }_{w,s}{\Vert }_{L_{\alpha }^{\mathrm{2}}}=\\ \underset{s\to \mathrm{0}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{\Vert S_f{\gamma }_{w,s}{\Vert }_{L_{\alpha }^{\mathrm{2}}}}{\Vert {\gamma }_{w,s}{\Vert }_{L_{\alpha }^{\mathrm{2}}}}\le \Vert S_f\Vert \end{array}（42）

对上式两边取上界可得

\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le \Vert S_f\Vert（43）

结合不等式（41）和（43）可得

\Vert S_f\Vert =\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}（44）

证毕。

引理2.7 设\alpha \le \mathrm{0}。\forall w\in {\mathbb{C}}^n， 当s\to \mathrm{0}时， {\gamma }_{w,s}在(F_{\alpha }^{\mathrm{2}}{)}^{\perp }上弱收敛到0。

证明 对任意u\in (F_{\alpha }^{\mathrm{2}}{)}^{\perp }， 由\mathrm{H}\ddot{\mathrm{o}}\mathrm{l}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}不等式可得

\begin{array}{l}\left|{〈{\gamma }_{w,s},u〉}_{L_{\alpha }^{\mathrm{2}}}\right|=\\ \left|{\int }_{{\mathit{ℂ}}^n}{\gamma }_{w,s}(z)\overline{u(z)}{e}^{-|z{|}^{\mathrm{2}}}\frac{\mathrm{1}}{{(\mathrm{1}+|z|)}^{\alpha }}dv(z)\right|=\\ \left|{\int }_{B_n(w,s)}{\gamma }_{w,s}(z)\overline{u(z)}{\mathrm{e}}^{-|z{|}^{\mathrm{2}}}\frac{\mathrm{1}}{{(\mathrm{1}+|z|)}^{\alpha }}\mathrm{d}v(z)\right|\le \\ {\int }_{B_n(w,s)}\left||{\gamma }_{w,s}(z)\overline{u(z)}{\mathrm{e}}^{-|z{|}^{\mathrm{2}}}\frac{\mathrm{1}}{{(\mathrm{1}+|z|)}^{\alpha }}\right|\mathrm{d}v(z)\le \\ {\left({\int }_{B_n(w,s)}|{\gamma }_{w,s}(z){|}^{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{-|z{|}^{\mathrm{2}}}\frac{\mathrm{1}}{{(\mathrm{1}+|z|)}^{\alpha }}\mathrm{d}v(z)\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}·\\ {\left({\int }_{B_n(w,s)}|u(z){|}^{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{-|z{|}^{\mathrm{2}}}\frac{\mathrm{1}}{{(\mathrm{1}+|z|)}^{\alpha }}\mathrm{d}v(z)\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}=\\ \Vert {\gamma }_{w,s}{\Vert }_{L_{\alpha }^{\mathrm{2}}}{\left({\int }_{B_n(w,s)}|u(z){|}^{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{-|z{|}^{\mathrm{2}}}\frac{\mathrm{1}}{{(\mathrm{1}+|z|)}^{\alpha }}\mathrm{d}v(z)\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}=\\ {\left({\int }_{B_n(w,s)}|u(z){|}^{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{-|z{|}^{\mathrm{2}}}\frac{\mathrm{1}}{{(\mathrm{1}+|z|)}^{\alpha }}\mathrm{d}v(z)\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\end{array}（45）

注意到u\in L_{\alpha }^{\mathrm{2}}， 所以由积分的绝对连续性可知， 当s\to \mathrm{0}时有

{\left({\int }_{B_n(w,s)}|u(z){|}^{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{-|z{|}^{\mathrm{2}}}\frac{\mathrm{1}}{{(\mathrm{1}+|z|)}^{\alpha }}\mathrm{d}v(z)\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\to \mathrm{0}（46）

这表明对任意u\in (F_{\alpha }^{\mathrm{2}}{)}^{\perp }， 有 因此， {\gamma }_{w,s}在(F_{\alpha }^{\mathrm{2}}{)}^{\perp }上弱收敛到0。证毕。

定理2.8 设\alpha \le \mathrm{0}。若f\in L^{\mathrm{\infty }}， 则S_f紧当且仅当\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\mathrm{0}。

证明 若\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\mathrm{0}， 由定理2.6可知S_f有界且\Vert S_f\Vert =\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\mathrm{0}。所以S_f=\mathrm{0}必定是紧算子。

反之， 若S_f是紧算子， 由引理3.5可知， 对于任意的w\in {\mathbb{C}}^n， 有

|f(w)|=\underset{s\to \mathrm{0}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\Vert S_f{\gamma }_{w,s}{\Vert }_{L_{\alpha }^{\mathrm{2}}}=\mathrm{0}（47）

由此可知\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\mathrm{0}。证毕。

参考文献

[1] Deepak K D， Kumar P D， Jaydeb S.Partially isometric Toeplitz operators on the polydisc ［J］.Bull Lond Math Soc， 2022， 54（4）： 1350-1362.

[2] Du J T， Hu B Y， Li S X， et al.Toeplitz operators on Bergman spaces induced by doubling weights in the unit ball of C n ［J］.J Math Anal Appl， 2025， 544： 129077.

[3] Wang C C， Zhao X F.Hyponormal dual Toeplitz operators on the orthogonal complement of the harmonic Bergman space ［J］.Acta Math Sin， 2023， 39（5）： 846-862.

[4] Sadraoui H， Halouani B.Commuting Toeplitz operators on weighted harmonic Bergman spaces and hyponormality on the Bergman space of the punctured unit disk ［J］.AIMS Math， 2024， 9（8）： 15593-15608.

[5] Armando S N， José R O， Carlos G F.Toeplitz operators with symmetric， alternating and anti-symmetric separately radial symbols on the unit ball ［J］.Bol Soc Mat Mexicana， 2024， 30（3）： 95.

[6] Gérard P， Pushnitski A.Unbounded Hankel operators and the flow of the cubic Szegő equation ［J］.Invent Math， 2023， 232（3）： 995-1026.

[7] Datt G， Gupta B B.Essential commutativity and spectral properties of slant Hankel operators over Lebesgue spaces ［J］.J Math Phys， 2022， 63（6）： 061703.

[8] Lv X F， Wang E M.Hankel operators on doubling Fock spaces ［J］.J Math Anal Appl， 2024， 531（1）： 127780.

[9] Liu G J， Wang X F， Chen J J.IDA and Hankel operators on the Doubling Fock spaces ［J］.Acta Math Sin， 2023， 66（5）： 1003-1018.

[10] 刘桂军， 王晓峰， 陈建军.IDA与Doubling Fock空间上Hankel算子.数学学报［J］.2023， 66（5）： 1003-1018.

[11] Bothner T.A Riemann-Hilbert approach to Fredholm determinants of Hankel composition operators： scalar-valued kernels ［J］.J Funct Anal， 2023， 285（12）： 110160.

[12] Stroethoff K， Zheng D C.Algebraic and spectral properties of dual Toeplitz operators ［J］.Trans Amer Math Soc， 2002， 354（6）： 2495-2520.

[13] Lu Y F， Yang J.Commuting dual Toeplitz operators on weighted Bergman spaces of the unit ball ［J］.Acta Math Sin， 2011， 27（9）： 1725-1742.

[14] Lu Y F.Commuting dual Toeplitz operators with pluriharmonic symbols ［J］.J Math Anal Appl， 2004， 302（1）： 149-156.

[15] Benaissa L， Guediri H.Properties of dual Toeplitz operators with applications to Haplitz products on the Hardy space of the polydisk ［J］.Taiwanese J Math， 2015， 19（1）： 31.

[16] Chen Y， Yu T.Essentially commuting dual Toeplitz operators on the unit ball ［J］.Adv Math， 2009， 38（4）： 453-464.

[17] 陈泳， 于涛.单位球上本质交换的对偶Toeplitz算子［J］.数学进展， 2009， 38（4）： 453-464.

[18] Guediri H.Dual Toeplitz operators on the sphere ［J］.Acta Math Sin， 2013， 29（9）： 1791-1808.

[19] Lee Y J.Finite sums of dual Toeplitz products ［J］.Studia Math， 2020， 256（2）： 197-215.

[20] He L， Huang P Y， Lee Y J.Sums of dual Toeplitz products on the orthogonal complements of the Hardy-Sobolev spaces ［J］.Complex Anal Oper Theory， 2021， 15（8）： 119.

[21] Wu B Q.Dual Toeplitz operator on Fock-Sobolev space and its orthogonal complement ［D］.Guangzhou： Guangzhou University， 2023.

[22] 邬碧倩.Fock-Sobolev空间及其正交补上的对偶Toeplitz算子［D］.广州： 广州大学， 2023.

[23] Cho H R， Isralowitz J， Joo J C.Toeplitz operators on Fock-Sobolev type spaces ［J］.Integr Equat Oper Th， 2015， 82（1）： 1-32.

[24] Cho H R， Choe B R， Koo H.Fock-Sobolev spaces of fractional order ［J］.Potential Anal， 2015， 43（2）： 199-240.

[25] Rudin W.Real and complex analysis ［M］.New York： McGraw-Hill Book Company， 1974.

基金资助

国家自然科学基金(12071155)