基于不规则ARIS拓扑构型优化的NOMA无线通信模型

NOMA wireless communication model based on irregular topology optimization of ARIS

摘要

有源可重构智能表面（Active Reconfigurable Intelligent Surface，ARIS）辅助的非正交多址（Non-orthogonal Multiple Access，NOMA）技术能够有效提升无线通信系统的能效。现有研究多聚焦规则拓扑构型的ARIS，但此类构型无法适配用户动态分布场景，导频开销较高。本文提出基于不规则ARIS拓扑构型优化的NOMA无线通信模型，模型将可移动天线技术引入ARIS辅助的NOMA系统，通过优化ARIS反射单元的拓扑构型实现用户动态分布条件下的智能可控无线通信。鉴于传统的不规则构型优化方法存在易陷入局部最优的问题，本文设计了遗传-禁忌搜索算法（Genetic Tabu Search Algorithm，GTSA），将其应用于不规则ARIS的拓扑构型寻优，然后使用分式规划方法（Fractional Programming，FP）交替求解基站与ARIS间的波束成形问题。仿真结果表明，本文提出的通信模型的能效优于传统基于规则ARIS构型的通信系统（提升约20%），也优于使用TS寻优算法优化的不规则ARIS辅助NOMA通信系统（提升约11%）。本文的研究为下一代无线通信系统研发提供了一条可能路径。

Abstract

Active reconfigurable intelligent surface （ARIS）-aided non-orthogonal multiple access （NOMA） wireless communication systems have attracted widespread attention due to their high energy efficiency.ARIS using regular topology fails to adapt the dynamic user distribution and may result in high pilot overhead.To adress this problem， a NOMA wireless communication model based on irregular topology optimization of ARIS is proposed by incorporating the mobile antenna technology into the system to optimize the topology of ARIS reflection elements.Considering that traditional optimization algorithms tend to fall into local optima， the genetic tabu search algorithm （GTSA） is utilized to optimize the irregular topology， and the fractional programming （FP） method is adopted to alternately solve the beamforming problem for the base station and ARIS.Simulation results show that the proposed communication model achives an approximately 20% improvement in energy efficiency in comparison with that using the ARIS with regular topology，and an approximately 11% improvement in comparison with that using the ARIS with irrgular topology optimizated by the tabu search （TS） algorithm.The obtained result is expected to help the design of next generation wireless communication systems.

Graphical abstract

关键词

ARIS / NOMA / 不规则拓扑构型 / 分式规划 / 遗传-禁忌搜索

Key words

ARIS / NOMA / irregular topology / fractional programming / genetic-tabu search

可重构智能表面（Reconfigurable Intelligent Surface，RIS）由大量可控相移元件组成，主要通过优化反射波束方向和相位来增强无线通信系统的频谱效率和能效^［1］。RIS具有低成本低功耗特点，能够有效克服信号阻塞、提升信道容量，降低系统发射功率，因而受到广泛关注^［2］。

非正交多址（Non-orthogonal Multiple Access，NOMA）技术能够增强用户连接数、提高频谱效率，提升系统吞吐量，并提供公平资源分配，增强系统的抗干扰能力。目前，NOMA技术已成为无线通信网络中的重要技术^［3］。

将RIS与NOMA融合起来使用，有望产生协同增效的效应。一方面，RIS通过调整各反射单元系数来有效改变不同用户的信道条件，满足NOMA对用户信道差异性的要求。另一方面，不同于正交多址（Orthogonal Multiple Access，OMA）技术，RIS辅助的NOMA系统在多用户通信场景下具有更高的系统容量和能效^［4］。文献［5］提出了一种结合分式规划（Fractional Programming，FP）和连续凸逼近的交替优化方法，以最大化RIS辅助的NOMA通信系统的速率。文献［6］指出，当用户数量确定且发射功率预先设定时，RIS-NOMA能够为更多用户提供服务，且在总速率方面表现比RIS-OMA更加出色。文献［7］针对RIS辅助的MIMO-NOMA系统，基于统计CSI与莱斯信道模型并利用高维随机矩阵理论推导了遍历和速率的确定性表达式，并联合优化基站协方差矩阵与RIS相移，显著提升了系统的通信速率。

乘性衰落效应严重限制RIS-NOMA系统的通信容量。在基站-RIS-用户级联信道中，信号在RIS反射过程中所产生的路径损耗是基站-RIS和RIS-用户的乘积而不是加和。这在很大程度上限制了系统的通信容量^［8］。为此研究者提出了有源可重构智能表面（Active Reconfigurable Intelligent Surface，ARIS）技术。ARIS在其元件中集成了功率放大器，通过放大反射信号来弥补信号在传输路径中的损耗，提升通信系统的覆盖范围和通信质量^［9］。文献［10］提出了一种基于ARIS反射单元分组的反射调制方案，推导了最大似然检测下的理论比特错误概率的上界和可达速率，提升了误码性能和频谱效率。文献［11］比较了ARIS系统和无源RIS系统的可达速率，发现在功率预算适中、RIS元件数量不多的情况下ARIS系统的性能优于无源RIS。文献［12］研究了ARIS辅助的上行多天线NOMA系统，通过优化均衡器、功率分配和波束成形提高了系统的总速率，克服了无源RIS系统的乘性衰落效应。文献［13］研究了ARIS辅助的NOMA网络在级联Nakagami-m衰落信道中的性能，发现ARIS-NOMA网络在中断概率和遍历数据速率方面优于传统OMA和无源RIS方案，同时系统的能效也有提高。

现有的ARIS-NOMA研究多关注规则ARIS，其元件规则地排列在恒定间距网格上。值得注意的是，由于规则排列未考虑用户分布的动态特征，容易出现导频开销较高的问题^［14］，需要通过优化来提高其系统能效。传统的拓扑优化算法缺乏全局搜索基础，易陷入局部最优。而且，未联合拓扑与波束成形的优化方案也难以平衡多参数耦合关系，最终限制系统能效提升。文献［15］针对现有的ARIS全连接架构因额外集成有源组件导致功耗较高的问题提出了ARIS的子连接架构，通过大大减少功率放大器数量来节省功耗，实现更高的能效。文献［16］考虑在外部和内部窃听者参与的场景下ARIS以及PRIS（Passive RIS）辅助的NOMA网络的物理层安全性，发现虽然ARIS-NOMA网络的保密中断概率和秘密吞吐量优于PRIS-NOMA和ARIS/PRIS-OMA网络，但过多的反射元件则会降低系统安全性。文献［17］提出了一种基于子连接的ARIS辅助能效优化方案，通过交替优化基站和RIS波束设计显著降低了无线通信网络中超密集基站的功耗。以上研究均未能突破规则ARIS拓扑构型的束缚，依然难以解决导频开销与多用户动态适配问题。

不规则ARIS拓扑构型是在一个扩展表面上不规则地配置一定数量的ARIS元件，并通过智能配置反射单元来以较低成本降低系统的能耗，响应动态多用户应用场景下的通信需求。不规则ARIS可被视为可移动天线的一种应用迁移，能够通过对反射单元的拓扑构型进行调整来实现“虚拟移动”效果，以灵活调控空间域自由度（Degree of Freedom，DoF）的方式更好匹配用户的动态分布特征。同时，通过优化不规则ARIS的拓扑构型、动态调整反射路径和信号覆盖范围，还可以避免对天线阵列进行物理移动，降低系统故障率。这种高度灵活的处理方式使不规则ARIS更适用于基于信道条件进行解码的NOMA系统，为其提供额外的DoF来进一步优化信道条件和通信能效。

本文将不规则ARIS辅助的NOMA通信系统集成到下行MISO通信系统中，综合考虑ARIS元件的拓扑构型优化、接收端用户之间的信道差异、连续干扰消除（Serial Interference Cancellation，SIC）顺序以及用户与基站的距离等因素，探索将不规则ARIS与NOMA结合起来，提升系统能效。本文的主要工作如下。

1） 考虑了ARIS元件数量有限且存在视距链路的ARIS-NOMA场景。通过平衡参与反射的单元数量和系统能效，本文获得了优化的ARIS反射单元数量，并仿真分析其合理性。通过动态调整ARIS反射单元的拓扑构型、优化不同用户的信道条件，用户对信道的差异化需求得以满足。

2） 为解决ARIS-NOMA中不规则ARIS的拓扑搜索问题，本文使用了GTSA算法。算法先利用遗传算法（Genetic Algorithm，GA）设置一定比例的元件数量进行初始全局搜索，再通过禁忌搜索（Tabu Search，TS）算法进行局部精细化优化，以找到使系统能源效率较大时的ARIS拓扑构型。

3） 联合不规则ARIS拓扑、基站波束成形以及反射面波束成形，采用分式规划方法交替地优化求解能效最大化问题，并定量验证了空间域自由度优化对系统能效提升的贡献。

1 模型及问题描述

1.1 模型

不规则ARIS-NOMA的下行MISO无线通信系统如图1所示。基站通过不规则ARIS辅助NOMA进行下行通信，基站配备M根发射天线，同时为K个单天线用户提供服务。

引入不规则ARIS新结构后，与元件以恒定的间距排列在规则表面上的规则ARIS不同，N个ARIS元件不规则地分布在ARIS表面的Ns个网格点 （Ns>N）上。假设网格约束具有固定的网格间距，相邻网格点之间的间距为载波频率波长的一半^［18］。\mathit{G}\in {\mathit{ℂ}}^{N\mathrm{s}\times M}，{\mathit{g}}_k^{\mathrm{H}}\in {\mathit{ℂ}}^{\mathrm{1}\times Ns}，{\mathit{h}}_k^{\mathrm{H}}\in {\mathit{ℂ}}^{\mathrm{1}\times M}分别为基站（Base Station，BS）与不规则ARIS、不规则ARIS与第k个用户以及BS与第k个用户之间的信道。假设被ARIS反射两次或多次的信号功率可以忽略不计，所有涉及的信道均采用莱斯衰落信道模型，且都能获得完美的信道状态信息（Channel State Information，CSI）。不规则ARIS拓扑结构的拓扑矩阵用\mathbf{\Xi }=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(\mathit{m})表示，其中\mathit{m}=\left[m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}},\cdots ,m_{Ns}\right]。定义m_n\in \left\{\mathrm{1,0}\right\}来指示RIS元素是否部署在第n个网格点，n=\mathrm{1},\cdots ,Ns，m_n=\mathrm{1}表示该位置被选择，m_n=\mathrm{0}表示未被选择。

在下行NOMA通信中，发送端将多个用户信号叠加传输，接收端使用SIC技术逐一恢复各用户的信号。由于已知各用户信道的CSI，用户可以按功率增益排序

{\left|{\mathit{h}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{H}}+{\mathit{g}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{H}}\mathbf{\Xi }\mathbf{\alpha }\mathbf{\Theta }\mathit{G}\right|}^{\mathrm{2}}\ge \cdots \ge {\left|{\mathit{h}}_k^{\mathrm{H}}+{\mathit{g}}_k^{\mathrm{H}}\mathbf{\Xi }\mathbf{\alpha }\mathbf{\Theta }\mathit{G}\right|}^{\mathrm{2}}

作为解码顺序。解码时，首先解码离基站位置较远（信道质量差）的用户信号，使该信号因分配较高的功率而优先解码。解码完成后，将该用户的信号从叠加信号中移除，以减少干扰。随后，按照功率递减的顺序依次解码其余用户的信号，并在每次成功解码后重复干扰消除过程，直至所有用户的信号被成功分离。这样，用户k接收到的信号为

y_k=\left({\mathit{h}}_k^{\mathrm{H}}+{\mathit{g}}_k^{\mathrm{H}}\mathbf{\Xi }\mathbf{\alpha }\mathbf{\Theta }\mathit{G}\right){\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^K}{\mathit{w}}_j{\mathit{s}}_j+{\mathit{g}}_k^{\mathrm{H}}\mathbf{\Xi }\mathbf{\alpha }\mathbf{\Theta }\nu +n_s（1）

其中，s_k为第k个用户的信号，{\mathit{w}}_k\in {\mathbb{C}}^{M\times \mathrm{1}}为s_k的BS预编码向量，\mathbf{\alpha }=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\left({\alpha }_{\mathrm{1}},\cdots ,{\alpha }_{Ns}\right)为不规则ARIS的放大系数矩阵，\mathbf{\Theta }=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\left({\mathrm{e}}^{{}^{\mathrm{j}{\theta }_{\mathrm{1}}}},\cdots ,{\mathrm{e}}^{{}^{\mathrm{j}{\theta }_{Ns}}}\right)\in {\mathbb{C}}^{Ns\times Ns}为不规则ARIS表面Ns个网格点的反射系数。假设每个ARIS元件具有相同的放大系数，由于\mathbf{\alpha }和\mathbf{\Theta }始终以乘积的形式出现，因此\mathbf{\alpha }和\mathbf{\Theta }可以合并为

\mathbf{\Psi }=\mathbf{\alpha }\mathbf{\Theta }=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\left({\alpha }_{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}{\theta }_{\mathrm{1}}},\cdots ,{\alpha }_{Ns}{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}{\theta }_{Ns}}\right)\in {\mathbb{C}}^{Ns\times Ns}（2）

\mathbf{\Psi }为ARIS波束成形矩阵，\nu \sim \mathrm{𝒞}\mathrm{𝒩}({\mathrm{0}}_N,{\sigma }_u^{\mathrm{2}}{I}_N)为ARIS引入的动态噪声，n_s~\mathrm{𝒞}\mathrm{𝒩}(\mathrm{0},{\sigma }^{\mathrm{2}})为用户k处的加性高斯白噪声。用户k处的信干噪比为

{\gamma }_k=\frac{{\left|\left({\mathit{H}}_k^{\mathrm{H}}{\mathit{w}}_k\right)\right|}^{\mathrm{2}}}{{\displaystyle \sum _{j=k+\mathrm{1}}^K}{\left|\left({\mathit{H}}_k^{\mathrm{H}}{\mathit{w}}_j\right)\right|}^{\mathrm{2}}+{‖{\mathit{g}}_k^{\mathrm{H}}\mathbf{\Xi }\mathbf{\Psi }‖}^{\mathrm{2}}{\sigma }_u^{\mathrm{2}}+{\sigma }^{\mathrm{2}}}（3）

其中，{\mathit{H}}_k^{\mathrm{H}}=\left({\mathit{h}}_k^{\mathrm{H}}+{\mathit{g}}_k^{\mathrm{H}}\mathbf{\Xi }\mathbf{\Psi }\mathit{G}\right)为等效信道，系统的总频谱效率表示为

R={\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}\mathrm{l}\mathrm{o}{\mathrm{g}}_{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}+{\gamma }_k\right)（4）

所考虑的系统功耗主要包括BS发射功率、ARIS的反射功率以及系统所有组件消耗的功率。系统总功耗可表示为

\begin{array}{l}P=\xi {\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}{‖{\mathit{w}}_k‖}^{\mathrm{2}}+W_{\mathrm{p}}+\\ \zeta \left({\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}{‖\mathbf{\Xi }\mathbf{\Psi }\mathit{G}{\mathit{w}}_k‖}^{\mathrm{2}}+{‖\mathbf{\Xi }\mathbf{\Psi }‖}^{\mathrm{2}}{\sigma }_u^{\mathrm{2}}\right)\end{array}（5）

其中，W_{\mathrm{p}}=K{W}_{\mathrm{U}\mathrm{E}}+W_{\mathrm{B}\mathrm{S}}+N{W}_{\mathrm{P}\mathrm{S}}+L{W}_{\mathrm{P}\mathrm{A}}表示系统的静态硬件功耗，W_{\mathrm{U}\mathrm{E}}和W_{\mathrm{B}\mathrm{S}}分别表示每个用户和BS处的耗散功率，W_{\mathrm{P}\mathrm{S}}和W_{\mathrm{P}\mathrm{A}}对应ARIS的移相电路和功率放大器的耗散功率，N表示ARIS的反射单元数，L表示ARIS中功率放大器的数量，\xi和\zeta分别为BS和ARIS处能量转换系数的倒数。假设功率放大器在其线性区域工作，对入射信号功率没有限制。

1.2 问题的数学描述

将联合不规则ARIS优化拓扑构型搜索、相应基站波束成形及反射面的波束成形（即\mathbf{\Xi }、\mathit{W}和\mathbf{\Psi }）并最大化系统能效的问题记为（P1），其数学表述为

\begin{array}{l}\underset{\mathbf{\Xi },\mathit{W},\mathbf{\Psi }}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\eta =\frac{R}{P},\mathrm{s}.\mathrm{t}.\\ \left(\mathrm{C}\mathrm{1}\right)\xi {\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}{‖{\mathit{w}}_k‖}^{\mathrm{2}}+W_{\mathrm{B}\mathrm{S}}\le P_{\mathrm{B}\mathrm{S}}^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}},\\ \left(\mathrm{C}\mathrm{2}\right)\zeta \left({\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}{‖\mathbf{\Xi }\mathbf{\Psi }\mathit{G}{\mathit{w}}_k‖}^{\mathrm{2}}+{‖\mathbf{\Xi }\mathbf{\Psi }‖}^{\mathrm{2}}{\sigma }_u^{\mathrm{2}}\right)+\\ N{W}_{\mathrm{P}\mathrm{S}}+L{W}_{\mathrm{P}\mathrm{A}}\le P_{\mathrm{A}}^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}},\\ \left(\mathrm{C}\mathrm{3}\right){\theta }_n\in \mathit{F},{\forall }_n=\mathrm{1,2},\cdots ,Ns,\\ \left(\mathrm{C}\mathrm{4}\right){\gamma }_k\ge {\gamma }_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}},\\ \left(\mathrm{C}\mathrm{5}\right)m_n\in \left\{\mathrm{1,0}\right\},{\forall }_n=\mathrm{1,2},\cdots ,Ns,\\ \left(\mathrm{C}\mathrm{6}\right)\mathrm{t}\mathrm{r}\left(\mathbf{\Xi }\right)=N\end{array}（6）

其中，\mathit{W}=\left[w_{\mathrm{1}},w_{\mathrm{2}},\dots ,w_k\right]为BS波束成形矩阵，（C1）为BS发射功率约束，（C2）为ARIS的反射功率约束，（C3）为离散相移约束，相移{\theta }_n从量化相移集\mathit{F}=\left\{\mathrm{0},\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{{\mathrm{2}}^b},\cdots ,\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{{\mathrm{2}}^b}\left({\mathrm{2}}^b-\mathrm{1}\right)\right\}中取离散值，其中b是有限离散相移的量化位数，（C4）为用户服务质量约束，（C5）和（C6）是不规则ARIS的拓扑约束，拓扑矩阵\mathbf{\Xi }的N个对角元素被赋予值1，其余Ns-N对角元素被赋予值0。由于问题（P1）是非凸的，直接求解是复杂的。为了解决这个问题，将原问题解耦为3个子问题，分别是：不规则ARIS拓扑构型搜索，BS波束成形和ARIS反射波束成形。

2 优化方法

2.1 不规则ARIS拓扑构型搜索

GA（Genetic Algorithm）算法是一种基于自然选择和遗传学原理的优化算法，通过选择、交叉和变异等操作来迭代优化解决方案。GA算法具有较强的全局搜索能力，能够在解空间中探索多个可能解，并通过不断进化和选择找到最优或较优解^［19］。另一方面，TS（Tabu Search）算法通过维护一个禁忌列表来防止搜索过程陷入局部最优解，增强算法的局部搜索能力。该算法的搜索能力对初始解的要求较高^［20］。本文拟综合这两种算法的优点，采用GTSA（Genetic-Tabu Search Algorithm）算法来解决不规则ARIS拓扑构型优化搜索问题，具体做法为：首先将反射面的元件稀疏部署构成ARIS的不规则拓扑结构，然后用GTSA算法优化反射面的元件布局，最后找到使系统能源效率较大的不规则ARIS拓扑结构。GTSA算法结合了GA算法和TS算法，其中的GA算法用于全局搜索以确定一定比例的优秀个体，TS算法则将GA算法获得的优秀个体进行局部搜索优化，进一步提升拓扑结构的性能。这种结合的好处在于既能广泛搜索解空间、找到全局最优解，又能避免陷入局部最优解。GTSA算法的执行步骤如下。

1） 随机生成一个初始种群。每个个体是一个二进制向量，代表一种可能的ARIS拓扑配置，其元素代表ARIS的每个可能位置是被激活（取值为1）还是未激活（取值为0）。

2） 每个个体都计算在该ARIS配置下系统的能源效率，作为个体的适应度，个体适应度值越大即能源效率越大，个体越好。

3） 选择操作（也称为复制）。通过轮盘赌的方法，从种群中筛选适应度值高的个体，适应度值越高被选择的概率就越大。进行交叉操作（也称为重组），通过交换选择出来的两个个体的染色体编码，生成新的子代个体。进行变异操作，即将交叉生成的子代个体进行基因编码的突变（即0变成1，1变成0），生成新的染色体。

4） 选择GA算法选出的优秀个体，更新种群，作为TS的初始解。对于初始解{\mathbf{\Xi }}_{\mathrm{0}}，基于BS处的预编码和ARIS处的离散相移调整来计算在该ARIS配置下系统的能源效率。

5） 设置空禁忌表。在第i次迭代中，在{\mathbf{\Xi }}_i的对角线元素中随机交换p个1和p个0生成新的ARIS拓扑构型，并将其定义为{\mathbf{\Xi }}_i的邻居保存至禁忌表中。禁忌表的作用是存储一定长度内的邻居，并在特定的迭代次数内禁止列表中的解重复出现。

6） 获得Q_p个邻居后，分别计算Q_p个邻居对应的能源效率作为邻域解，然后选择能源效率较大的作为最佳候选解，并将其保存到禁忌列表中，作为下一次迭代的新拓扑。

7） 在禁忌列表中检查获得的候选解。当候选解在禁忌列表中时，重新生成该候选解，直到该候选解不在禁忌列表中，以避免一个拓扑被多次搜索。

8） 满足迭代次数，完成迭代并返回最优解。GTSA算法结合GA算法的多样性和TS算法的局部优化能力，提供了一种有效的方法来解决不规则ARIS拓扑搜索问题。 该算法能够自适应地调整搜索策略、保持种群的多样性，避免陷入局部最优解，提高搜索效率和解的质量。

基于得到的{\mathbf{\Xi }}_{\mathrm{0}}，可将问题（P1）简化为问题（P2）：

\begin{array}{l}\underset{\mathit{W},\mathbf{\Psi }}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\eta =\frac{R}{P},\mathrm{s}.\mathrm{t}.\\ \begin{array}{cc}& \left(\mathrm{C}\mathrm{1}\right)\xi {\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}{‖{\mathit{w}}_k‖}^{\mathrm{2}}+W_{\mathrm{B}\mathrm{S}}\le P_{\mathrm{B}\mathrm{S}}^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}},\end{array}\\ \left(\mathrm{C}\mathrm{2}\right)\zeta \left({\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}{‖{\mathbf{\Xi }}_{\mathrm{0}}\mathbf{\Psi }\mathit{G}{\mathit{w}}_k‖}^{\mathrm{2}}+{‖{\mathbf{\Xi }}_{\mathrm{0}}\mathbf{\Psi }‖}^{\mathrm{2}}{\sigma }_u^{\mathrm{2}}\right)+\\ N{W}_{\mathrm{P}\mathrm{S}}+L{W}_{\mathrm{P}\mathrm{A}}\le P_{\mathrm{A}}^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}},\\ \left(\mathrm{C}\mathrm{3}\right){\theta }_n\in \mathit{F},{\forall }_n=\mathrm{1,2},\cdots ,Ns,\\ \left(\mathrm{C}\mathrm{4}\right){\gamma }_k\ge {\gamma }_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\end{array}(7)

本文用FP（Fractional Programming）方法交替求解BS波束成形和ARIS反射波束成形问题。

2.2 分式规划

对于求解BS波束成形和ARIS反射波束成形的多比率FP问题，本文采用二次变换方法。该方法通过解耦每个比率项的分子和分母，将具有凹凸性质的多比率FP问题转化为凸优化问题。虽然Dinkelbach变换能够将分式问题变换为和差的形式，但主要用于单比率优化问题，无法直接应用于多维FP。二次变换方法类似于经典Dinkelbach变换^［21］，通过引入一个额外约束条件保持目标函数值不变，使其适用于多比率问题而不仅限于单一比率问题。

由于最大化能源效率问题是非凸的，为了处理其中的非凸对数项和分数项，本文利用FP方法来解耦问题（P2）中的变量。首先，采用Dinkelbach变换将问题转换为等效形式

\begin{array}{l}\underset{\mathit{W},\mathbf{\Psi }}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}(R-{\eta }^{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}}P)=\mathrm{0},\\ \mathrm{满足}\mathrm{条件}\left(\mathrm{C}\mathrm{1}\right)\sim \left(\mathrm{C}\mathrm{4}\right)\end{array}（8）

通过分式规划重构最优{\eta }^{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}}求解问题，得

\begin{array}{l}\underset{\mathit{W},\mathbf{\Psi }}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}{f}_{\mathrm{1}}(\mathit{W},\mathbf{\Psi })=R-\eta P,\\ \mathrm{满足}\mathrm{条件}\left(\mathrm{C}\mathrm{1}\right)\sim \left(\mathrm{C}\mathrm{4}\right)\end{array}（9）

然后通过交替优化求解。由于式（9）中的新目标函数f_{\mathrm{1}}仍然是非凸的，并且还是一个含有log（1+SINR）对数项的离散调度问题，本文对式（9）进行拉格朗日对偶变换，得

\begin{array}{l}\underset{\mathit{W},\mathbf{\Psi },\mathbf{\delta }}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}{f}_{\mathrm{2}}(\mathit{W},\mathbf{\Psi },\mathbf{\delta })=\\ \begin{array}{c}\end{array}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{1}+{\delta }_k\right)-{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}{\delta }_k+{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}\frac{\left(\mathrm{1}+{\delta }_k\right){\gamma }_k}{\mathrm{1}+{\gamma }_k}-\eta P,\\ \begin{array}{c}\end{array}\mathrm{满足}\mathrm{条件}\left(\mathrm{C}\mathrm{1}\right)\sim \left(\mathrm{C}\mathrm{4}\right)\end{array}(10)

其中\mathbf{\delta }=\left[{\delta }_{\mathrm{1}},{\delta }_{\mathrm{2}},\cdots ,{\delta }_k\right]为{\gamma }_k的拉格朗日辅助变量。进行FP后，问题（10）等效为

\begin{array}{l}\underset{\mathit{W},\mathbf{\Psi },\mathbf{\delta }}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}{f}_{\mathrm{3}}(\mathit{W},\mathbf{\Psi },\mathbf{\delta })={\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}\frac{\left(\mathrm{1}+{\delta }_k\right){\gamma }_k}{\mathrm{1}+{\gamma }_k}-\eta P,\\ \begin{array}{cc}& \end{array}\mathrm{满足}\mathrm{条件}\left(\mathrm{C}\mathrm{1}\right)\sim \left(\mathrm{C}\mathrm{4}\right)\end{array}（11）

对于式（11）中\mathit{W}和\mathbf{\Psi }耦合的问题，可以采用交替优化方法求解。

2.2.1 BS波束成形

将二次变换应用于多比率FP问题意味着在变换后的问题中优化目标的值保持与原问题相同，以保证问题的一致性和准确性。问题（11）中，固定\mathbf{\Psi }和{\mathbf{\Xi }}_{\mathrm{0}}后求解\mathit{W}的问题重构为

\begin{array}{l}\underset{\mathit{W}}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}{f}_{\mathrm{4}}(\mathit{W})=\\ \begin{array}{cc}& \end{array}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}\frac{\left(\mathrm{1}+{\delta }_k\right){\left|\left({\mathit{H}}_k^{\mathrm{H}}{\mathit{w}}_k\right)\right|}^{\mathrm{2}}}{{\displaystyle \sum _{j=k}^K}{\left|{\mathit{H}}_k^{\mathrm{H}}{\mathit{w}}_j\right|}^{\mathrm{2}}+{‖{\mathit{g}}_k^{\mathrm{H}}{\mathbf{\Xi }}_{\mathrm{0}}\mathbf{\Psi }‖}^{\mathrm{2}}{\sigma }_u^{\mathrm{2}}+{\sigma }^{\mathrm{2}}}-\eta ,\\ \begin{array}{cc}& \end{array}\mathrm{满足}\mathrm{条件}\left(\mathrm{C}\mathrm{1}\right),\left(\mathrm{C}\mathrm{2}\right),\left(\mathrm{C}\mathrm{4}\right)\end{array}(12)

以上问题通过二次变换后，可以被重构为

\begin{array}{l}\underset{\mathit{W},\mathbf{\rho }}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}{f}_{\mathrm{5}}(\mathit{W},\mathbf{\rho })=\\ \begin{array}{cc}& \end{array}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}\mathrm{2}\sqrt[]{\left(\mathrm{1}+{\delta }_k\right)}\mathrm{R}\mathrm{e}\left\{{\rho }_k^{\mathrm{*}}{\mathit{H}}_k^{\mathrm{H}}{\mathit{w}}_k\right\}-\\ \begin{array}{cc}& \end{array}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}{\left|{\rho }_k\right|}^{\mathrm{2}}\left({\displaystyle \sum _{j=k}^K}{\left|{\mathit{H}}_k^{\mathrm{H}}{\mathit{w}}_j\right|}^{\mathrm{2}}+\right.\\ \begin{array}{l}\begin{array}{cc}& \end{array}\left.{‖{\mathit{g}}_k^{\mathrm{H}}{\mathbf{\Xi }}_{\mathrm{0}}\mathbf{\Psi }‖}^{\mathrm{2}}{\sigma }_u^{\mathrm{2}}+{\sigma }^{\mathrm{2}}\right)-\eta P,\\ \begin{array}{cc}& \end{array}\mathrm{满足}\mathrm{条件}\left(\mathrm{C}\mathrm{1}\right),\left(\mathrm{C}\mathrm{2}\right),\left(\mathrm{C}\mathrm{4}\right)\end{array}\end{array}(13)

其中，\mathrm{R}\mathrm{e}\left\{·\right\}表示取实部，*表示取共轭，\mathbf{\rho }=\left[{\rho }_{\mathrm{1}},{\rho }_{\mathrm{2}},\cdots ,{\rho }_k\right]为二次辅助变量。对{\rho }_k求偏导并令\frac{\partial f_{\mathrm{5}}}{\partial {\rho }_k}=\mathrm{0}，可得{\rho }_k的最优解

{\rho }_k^{\mathrm{*}}=\frac{\sqrt[]{\left(\mathrm{1}+{\delta }_k\right)}{\mathit{H}}_k^{\mathrm{H}}{\mathit{w}}_k}{{\displaystyle \sum _{j=k}^K}{\left|{\mathit{H}}_k^{\mathrm{H}}{\mathit{w}}_j\right|}^{\mathrm{2}}+{‖{\mathit{g}}_k^{\mathrm{H}}{\mathbf{\Xi }}_{\mathrm{0}}\mathbf{\Psi }‖}^{\mathrm{2}}{\sigma }_u^{\mathrm{2}}+{\sigma }^{\mathrm{2}}}（14）

将问题f_{\mathrm{5}}重构为标准二次约束二次规划（QCQP）问题，得

\begin{array}{l}\underset{\mathit{W}}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}{f}_{\mathrm{6}}=\mathrm{2}\mathrm{R}\mathrm{e}\left\{{\mathit{U}}^{\mathrm{H}}\mathit{w}\right\}-{\mathit{w}}^{\mathrm{H}}\mathit{A}\mathit{w},\mathrm{s}.\mathrm{t}.\\ \begin{array}{cc}& \end{array}\left(\mathrm{C}\mathrm{1}\right){\mathit{w}}^{\mathrm{H}}\mathit{w}\le {\overline{P}}_{\mathrm{B}\mathrm{S}}^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}},\\ \begin{array}{cc}& \end{array}\left(\mathrm{C}\mathrm{2}\right){\mathit{w}}^{\mathrm{H}}\mathit{B}\mathit{w}\le {\overline{P}}_{\mathrm{m}}^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}},\\ \left(\mathrm{C}\mathrm{4}\right){\gamma }_k\ge {\gamma }_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\end{array}（15）

其中，

\mathit{U}={\left[{\mathit{U}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{{\rm T}}},{\mathit{U}}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{{\rm T}}},\cdots ,{\mathit{U}}_k^{\mathrm{{\rm T}}}\right]}^{\mathrm{{\rm T}}}（16）

{\mathit{U}}_k^{\mathrm{H}}=\sqrt[]{\left(\mathrm{1}+{\delta }_k\right)}{\rho }_k^{\mathrm{*}}{\mathit{H}}_k^{\mathrm{H}}（17）

{\overline{P}}_{\mathrm{B}\mathrm{S}}^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}={\xi }^{-\mathrm{1}}\left(P_{\mathrm{B}\mathrm{S}}^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}-W_{\mathrm{B}\mathrm{S}}\right)（18）

\mathit{B}={\mathit{I}}_k\otimes \left({\mathit{G}}^{\mathrm{H}}{\mathbf{\Psi }}^{\mathrm{H}}{{\mathbf{\Xi }}_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{H}}{\mathbf{\Xi }}_{\mathrm{0}}\mathbf{\Psi }\mathit{G}\right)（19）

\begin{array}{l}\mathit{A}={\mathit{I}}_k\otimes \left({\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}{\left|{\rho }_k\right|}^{\mathrm{2}}{\mathit{H}}_k{\mathit{H}}_k^{\mathrm{H}}+\eta \xi {\mathit{I}}_{\mathrm{M}}\right)+\\ {\mathit{I}}_k\otimes \eta \zeta {\mathit{G}}^{\mathrm{H}}{\mathbf{\Psi }}^{\mathrm{H}}{{\mathbf{\Xi }}_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{H}}{\mathbf{\Xi }}_{\mathrm{0}}\mathbf{\Psi }\mathit{G}\end{array}（20）

{\overline{P}}_{\mathrm{m}}^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}={\zeta }^{-\mathrm{1}}\left(P_{\mathrm{A}}^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}-N{W}_{\mathrm{P}\mathrm{S}}-L{W}_{\mathrm{P}\mathrm{A}}\right)-{‖{\mathbf{\Xi }}_{\mathrm{0}}\mathbf{\Psi }‖}^{\mathrm{2}}{\sigma }_u^{\mathrm{2}}（21）

这里的\otimes为克罗内克积。这样，通过引入拉格朗日乘子，本文将原始问题转化为一个无约束的优化问题，然后通过求解该无约束问题得到原问题的解。此时，该问题的目标函数和约束条件均为二次型，采用拉格朗日乘子法可以得到f_{\mathrm{6}}的最优解为

{\mathit{W}}^{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}}={\left(\mathit{A}+{\lambda }_{\mathrm{1}}{\mathit{I}}_{}+{\lambda }_{\mathrm{2}}\mathit{B}\right)}^{-\mathrm{1}}\mathit{U}（22）

其中，{\lambda }_{\mathrm{1}},{\lambda }_{\mathrm{2}}是满足功率约束条件（C1）和（C2）的拉格朗日乘子，I为单位阵。最优拉格朗日乘子{{\lambda }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}},{{\lambda }_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}}可通过二维网格搜索^［22］得到，具体做法如下。将{\lambda }_{\mathrm{1}},{\lambda }_{\mathrm{2}}的取值范围离散化为网格点，计算每对\left({\lambda }_{\mathrm{1}},{\lambda }_{\mathrm{2}}\right)对应的最优解{\mathit{W}}^{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}}，并检查是否满足约束条件（C1）和（C2），最终选择能够使目标函数最优的{{\lambda }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}},{{\lambda }_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}}。

2.2.2 反射波束成形

令

{\mathit{b}}_j=\mathit{G}{\mathit{w}}_j，

{\mathit{a}}_k=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\left({\mathit{g}}_k^{\mathrm{H}}{\mathbf{\Xi }}_{\mathrm{0}}\right)，

{\beta }_{k,j}={\mathit{h}}_k^{\mathrm{H}}{\mathit{w}}_j，

{\mathbf{\psi }}^{\mathrm{H}}=\left[{\alpha }_{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}{\theta }_{\mathrm{1}}},\cdots ,{\alpha }_{Ns}{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}{\theta }_{N_s}}\right]。

等效信道重构为{\mathit{H}}_k^{\mathrm{H}}{\mathit{w}}_j={\beta }_{k,j}+{\mathbf{\psi }}^{\mathrm{H}}{\mathit{a}}_k{\mathit{b}}_j，问题（11）中固定\mathit{W}和{\mathbf{\Xi }}_{\mathrm{0}}求解\mathbf{\Psi }的问题重构为

\begin{array}{l}\underset{\mathbf{\Psi }}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}{f}_{\mathrm{7}}(\mathbf{\Psi })=\\ \begin{array}{c}\end{array}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}\frac{\left(\mathrm{1}+{\delta }_k\right){\left|\left({\beta }_{k,k}+{\mathbf{\psi }}^{\mathrm{H}}{\mathit{a}}_k{\mathit{b}}_k\right)\right|}^{\mathrm{2}}}{{\displaystyle \sum _{j=k}^K}{\left|\left({\beta }_{k,j}+{\mathbf{\psi }}^{\mathrm{H}}{\mathit{a}}_k{\mathit{b}}_j\right)\right|}^{\mathrm{2}}+{‖{\mathbf{\psi }}^{\mathrm{H}}{\mathit{a}}_k‖}^{\mathrm{2}}{\sigma }_u^{\mathrm{2}}+{\sigma }^{\mathrm{2}}}-\\ \begin{array}{c}\end{array}\eta P,\mathrm{满足}\mathrm{条件}\left(\mathrm{C}\mathrm{2}\right)\sim \left(\mathrm{C}\mathrm{4}\right)\end{array}(23)

对式（23）进行二次变换，得

\begin{array}{l}\underset{\mathbf{\psi },\mathbf{\epsilon }}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}{f}_{\mathrm{8}}(\mathbf{\psi },\mathbf{\epsilon })=\\ \begin{array}{cc}& \end{array}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}\mathrm{2}\sqrt[]{\left(\mathrm{1}+{\delta }_k\right)}\mathrm{R}\mathrm{e}\left\{{\epsilon }_k^{\mathrm{*}}{\beta }_{k,k}+{\epsilon }_k^{\mathrm{*}}{\mathbf{\psi }}^{\mathrm{H}}{\mathit{a}}_k{\mathit{b}}_k\right\}-\\ \begin{array}{cc}& \end{array}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}{\left|{\epsilon }_k\right|}^{\mathrm{2}}\left({\displaystyle \sum _{j=k}^K}{\left|\left({\beta }_{k,j}+{\mathbf{\psi }}^{\mathrm{H}}{\mathit{a}}_k{\mathit{b}}_j\right)\right|}^{\mathrm{2}}+{\sigma }^{\mathrm{2}}\right)+\\ \begin{array}{cc}& \end{array}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}{\left|{\epsilon }_k\right|}^{\mathrm{2}}{‖{\mathbf{\psi }}^{\mathrm{H}}{\mathit{a}}_k‖}^{\mathrm{2}}{\sigma }_u^{\mathrm{2}}-\eta P,\\ \begin{array}{cc}& \end{array}\mathrm{满足}\mathrm{条件}\left(\mathrm{C}\mathrm{2}\right)\sim \left(\mathrm{C}\mathrm{4}\right)\end{array}(24)

其中\mathbf{\epsilon }=\left[{\epsilon }_{\mathrm{1}},{\epsilon }_{\mathrm{2}},\cdots ,{\epsilon }_{Ns}\right]为二次辅助变量。对{\epsilon }_k求偏导并令\frac{\partial f_{\mathrm{8}}}{\partial {\epsilon }_k}=\mathrm{0}，得到{\epsilon }_k的最优解为

{\epsilon }_k^{\mathrm{*}}=\frac{\sqrt[]{\left(\mathrm{1}+{\delta }_k\right)}\left({\beta }_{k,k}+{\mathbf{\psi }}^{\mathrm{H}}{\mathit{a}}_k{\mathit{b}}_k\right)}{{\displaystyle \sum _{j=k}^K}{\left|\left({\beta }_{k,j}+{\mathbf{\psi }}^{\mathrm{H}}{\mathit{a}}_k{\mathit{b}}_j\right)\right|}^{\mathrm{2}}+{‖{\mathbf{\psi }}^{\mathrm{H}}{\mathit{a}}_k‖}^{\mathrm{2}}{\sigma }_u^{\mathrm{2}}+{\sigma }^{\mathrm{2}}}（25）

展开

\begin{array}{l}{\left|\left({\beta }_{k,j}+{\mathbf{\psi }}^{\mathrm{H}}{\mathit{a}}_k{\mathit{b}}_j\right)\right|}^{\mathrm{2}}=\\ \begin{array}{l}\begin{array}{cc}& \end{array}{\left|{\beta }_{k,j}\right|}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}\mathrm{R}\mathrm{e}\left\{{\mathbf{\psi }}^{\mathrm{H}}{\beta }_{k,j}{\mathit{a}}_k{\mathit{b}}_j\right\}+\\ \begin{array}{cc}& \end{array}{\mathbf{\psi }}^{\mathrm{H}}{\mathit{a}}_k{\mathit{b}}_j{\mathit{b}}_j^{\mathrm{H}}{\mathit{a}}_k^{\mathrm{H}}\mathbf{\psi }\end{array}\end{array}（26）

将问题（24）的QCQP问题重构为

\begin{array}{l}\underset{\mathbf{\psi }}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}{f}_{\mathrm{9}}=\mathrm{2}\mathrm{R}\mathrm{e}\left\{{\mathbf{\psi }}^{\mathrm{H}}\mathit{C}\right\}-{\mathbf{\psi }}^{\mathrm{H}}\mathbf{\Omega }\mathbf{\psi },\mathrm{s}.\mathrm{t}.\\ \left(\mathrm{C}\mathrm{2}\right){\mathbf{\psi }}^{\mathrm{H}}\mathit{D}\mathbf{\psi }\le {\overline{P}}_{\mathrm{m}}^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}},\\ \left(\mathrm{C}\mathrm{3}\right){\theta }_n\in \mathit{F},{\forall }_n=\mathrm{1,2},\cdots ,Ns,\\ \left(\mathrm{C}\mathrm{4}\right){\gamma }_k\ge {\gamma }_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\end{array}（27）

其中，

\mathit{D}={\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}diag({\mathit{b}}_k\odot {\mathit{b}}_k^{*})+{\sigma }_u^{\mathrm{2}}{\mathit{I}}_N（28）

\begin{array}{l}\mathit{C}={\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}\sqrt[]{\left(\mathrm{1}+{\delta }_k\right)}{\epsilon }_k^{\mathrm{*}}{\mathit{a}}_k{\mathit{b}}_k-\\ \begin{array}{cc}& \end{array}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}{\left|{\epsilon }_k\right|}^{\mathrm{2}}{\displaystyle \sum _{j=k}^K}{\mathit{a}}_k{\beta }_{{}_{k,j}}^{\mathrm{*}}{\mathit{b}}_j\end{array}（29）

\begin{array}{l}\mathbf{\Omega }={\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}{\left|{\epsilon }_k\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}({\mathit{a}}_k\odot {\mathit{a}}_k^{\mathrm{*}}){\sigma }_u^{\mathrm{2}}+\\ {\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}{\left|{\epsilon }_k\right|}^{\mathrm{2}}{\displaystyle \sum _{j=k}^K}diag({\mathit{b}}_j^{*}){\mathit{a}}_k{\mathit{a}}_k^{\mathrm{H}}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}({\mathit{b}}_j)+\\ \eta \zeta {\sigma }_u^{\mathrm{2}}{\mathit{I}}_N+\eta \zeta \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}({\mathit{b}}_k\odot {\mathit{b}}_k^{\mathrm{*}})\end{array}（30）

\odot表示哈达玛积。采用拉格朗日乘子法可得到问题的最优解为

{\mathbf{\psi }}^{\mathrm{*}}={\left(\mathbf{\Omega }+\mu \mathit{D}\right)}^{-\mathrm{1}}\mathit{C}（31）

其中\mu是满足功率约束条件（C2）的拉格朗日乘子。同样，最优拉格朗日乘子{\mu }^{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}}可通过二分查找法^［22］得到，具体做法如下。通过设定一个初始搜索区间对拉格朗日乘子\mu的可能值进行逐步缩小，通过比较当前乘子的目标函数值逐步调整区间范围，直到找到使目标函数最小化并满足约束条件（C2）的最优拉格朗日乘子{\mu }^{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}}。

2.3 复杂度分析

算法的时间复杂度由分式规划时间复杂度与GTSA算法搜索时间复杂度构成。在分式规划过程中，Dinkelbach变换的时间复杂度为O\left(\mathrm{l}\mathrm{o}{\mathrm{g}}_{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}/{\epsilon }_{\mathrm{1}}\right)\right)，其中{\epsilon }_{\mathrm{1}}为设置的精度。更新\mathbf{\rho }和\mathbf{\epsilon }的时间复杂度分别为O\left(KM\right)和O\left(K^{\mathrm{2}}M+KN\mathrm{s}\right)。 更新BS预编码矩阵W的时间复杂度为O\left(T_{\mathrm{0}}\left(\sqrt[]{KM+\mathrm{3}}(\mathrm{1}+MK)M^{\mathrm{3}}{K}^{\mathrm{3}}\right)\right)，更新ARIS反射矩阵\mathbf{\Psi }的时间复杂度为O\left(T_{\mathrm{0}}\left(\sqrt[]{Ns+\mathrm{1}}\left(\mathrm{1}+\mathrm{2}Ns\right)N{s}^{\mathrm{2}}\right)\right)。因此，分式规划过程的总时间复杂度为O\left(\mathrm{l}\mathrm{o}{\mathrm{g}}_{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}/{\epsilon }_{\mathrm{1}}\right)T_{\mathrm{0}}\left(M^{\mathrm{4.5}}{K}^{\mathrm{4.5}}+N{s}^{\mathrm{3.5}}\right)\right)，其中T_{\mathrm{0}}是迭代次数。

GTSA搜索过程的时间复杂度由GA算法阶段和TS算法阶段组成。GA算法阶段时间复杂度为O\left(T_{\mathrm{G}\mathrm{A}}{M}_{p}E\right)，其中T_{\mathrm{G}\mathrm{A}}为GA算法迭代次数，M_p为种群大小，E为计算个体适应度的时间。TS算法阶段时间复杂度为O\left(T_{\mathrm{T}\mathrm{S}}{\lambda }_{Q}p\right)，其中T_{\mathrm{T}\mathrm{S}}为TS算法迭代次数，{\lambda }_Q为邻域解数量。这样，GTSA算法搜索过程的总时间复杂度表示为O\left(\left(T_{\mathrm{G}\mathrm{A}}{M}_{p}E+T_{\mathrm{T}\mathrm{S}}{\lambda }_{Q}p\right)\right)。最终，整个算法的时间复杂度为

O\left(\mathrm{l}\mathrm{o}{\mathrm{g}}_{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}/{\epsilon }_{\mathrm{1}}\right)T_{\mathrm{0}}\left(T_{\mathrm{G}\mathrm{A}}{M}_{p}E+T_{\mathrm{T}\mathrm{S}}{\lambda }_{Q}p\right)\left(M^{\mathrm{4.5}}{K}^{\mathrm{4.5}}+N{s}^{\mathrm{3.5}}\right)\right)。

值得指出的是，通过调整种群规模M_p、迭代次数T_{\mathrm{G}\mathrm{A}}、邻域解的数量{\lambda }_Q、搜索空间维度以及引入并行计算策略，进一步优化参数配置还可以降低算法的计算开销。

3 仿真分析

为了验证经拓扑优化的不规则ARIS辅助NOMA系统对能效提升的有效性，本文用GTSA算法搜索不规则ARIS的最优拓扑构型，并以最大化系统能源效率为目标来确定最优的ARIS反射单元数量，然后在此基础上进行进一步的仿真分析。为确保结果的稳定性与准确性，本文将进行多次实验，然后取每组实验的平均值，以消除偶然误差的影响。

在仿真实验中设定用户数K = 4，ARIS有效元件数量N = 60，ARIS反射面的网格数Ns = 120。本文用2维坐标表示BS、ARIS的位置关系。配备6根天线的基站位置固定在（0，0），不规则ARIS位置固定在（150，0），4个用户的位置在（150，±50）范围内随机生成。

邻居距离p取决于ARIS的不规则比率，即N/Ns，并在迭代过程中动态变化。 最初，设定p=\mathrm{3}，当迭代到最大迭代次数的一半时，设定p=\mathrm{2}。此外，考虑到ARIS拓扑的可能情况过多，本文基于问题的解空间特性将禁忌表的大小设置为1来扩大搜索范围、降低陷入循环的概率^［8］。根据文献［15］、［20］及［23］中关于参数设置的建议，本文设置的系统参数值如表1所示。

3.1 算法收敛性分析

图2为分别使用TS算法与GTSA算法优化得到的不规则ARIS的通信系统的能效收敛图，其中用户位置的横坐标固定为150 m。随迭代次数增加，对于两种拓扑搜索优化算法，系统能效的增加逐渐变缓，最终均能收敛。但是，在相同迭代次数下，GTSA算法比TS算法率先收敛至更高能效水平，表明GTSA算法在收敛速度和最终解的质量上优于TS算法。究其原因，GTSA算法能够协同GA算法的全局搜索能力与TS算法的局部优化特性，在较少的迭代次数内迅速提高系统能效，并稳定在较高水平。另一方面，由于TS算法具有较强的局部优化特性，对初始解高度依赖，因而需要更多的迭代次数才能达到相近能效。

3.2 用户位置对不规则ARIS-NOMA系统能效的影响

为了验证基于GTSA优化的不规则ARIS-NOMA方案（后文简称本文方案）的能效提升效果，本文将其与规则ARIS-NOMA、ARIS-OMA、不规则ARIS-NOMA_TS以及无ARIS-NOMA等方案进行比较，结果如图3所示。随用户横坐标（距基站距离）逐渐增大，用户与不规则ARIS的距离先减小后增大。 当用户横坐标为150 m时，用户与不规则ARIS的距离最近，此时系统能效达到峰值。

在此场景下，本文方案通过减少接入元件和功率放大器数量，并对反射单元进行智能调控来有效提升用户的信道增益，更充分地发挥NOMA的非正交发送和SIC解码技术的优势，能效相较规则ARIS-NOMA方案提升约20%。 此外，缘于GTSA算法在初始全局搜索的基础上结合了局部精细优化，本文方案的能效也优于不规则ARIS-NOMA_TS方案（即基于TS算法优化的不规则ARIS-NOMA方案），能效提升约11%。相比之下，ARIS-OMA方案在用户位置远离基站时，由于时频资源无法被多个用户共享导致资源分配的灵活性不足，能效表现相对较差。最后，由于缺乏ARIS的反射增益，无ARIS-NOMA方案的用户信道质量无法得到改善，整体能效最低。因此，本文方案能够在用户位置远离基站时有效提升系统的能效。

3.3 基站发射功率对不规则ARIS-NOMA系统能效的影响

图4展示了用户位置横坐标固定于150 m时不同ARIS拓扑构型在GTSA算法和TS算法优化下的能效表现。采用GTSA算法搜索优化得到的不规则ARIS拓扑构型的系统在各功率下的能源效率都高于采用TS算法优化的系统。例如，当基站发射功率为11 dBW时，前者比后者提高约11%。

图5展示了用户位置的横坐标距基站150 m时分别使用本文优化策略的不规则ARIS与使用规则ARIS的系统的能源效率随用户数量和发射功率的变化。可以看到，在相同功率预算下，不规则ARIS方案展现出更高的能源效率和更好的多用户传输性能。随用户数量从1增加到4，前者的能效提升更为显著，这可以归因于NOMA技术带来的多用户分集增益和频谱利用率提升。此外，在仿真设置的发射功率范围内，系统能效随发射功率的增加而下降。这是因为，更高的发射功率虽然能提高信号强度，但同时也导致功耗增加，而系统能效则反映的是传输性能与功耗的平衡。本文的优化不规则ARIS方案通过优化反射路径提高了系统的自由度，使其在面对信道条件变化时能够更有效地增强信道增益、减少损耗。

3.4 反射单元数及与网格点数对系统能效的影响

为了说明本文方案得到的ARIS反射单元数的优越性，本文将优化后的ARIS配置方案在不同反射单元数下的系统能效进行了比较，结果如图6所示。可以看到，反射单元数介于40至70之间时，系统能够精准调整反射单元的相位和角度，将反射信号与直达信号在接收端实现高效叠加，增强接收信噪比，使系统能效达到了最佳状态。当单元数小于40时，由于反射单元数量不足，本文的优化方案难以对信号反射路径进行充分优化，导致能效提升受限。 当单元数超过70后，虽然信号调控能力有所增强，但过多反射单元引入的额外硬件功耗抵消了能效的提升，从而导致系统能效下降。相比不规则ARIS-NOMA方案，不规则ARIS-OMA方案的能效增长较为缓慢。这是因为，在NOMA接入方式下，不规则ARIS通过优化拓扑结构有效优化了信号反射路径分布，减少了信号间干扰，提升了系统能效。此外，合理地控制反射单元数量既优化了硬件配置，又降低了系统功耗和配置成本，实现能效与成本之间的平衡。

图7展示了不同网格点数下本文提出的不规则ARIS-NOMA方案的能效，规则ARIS的反射元件数为30。随网格点数增加，本文提出的不规则ARIS-NOMA方案通过减少元件数来降低功耗并优化反射配置，提升信道增益和系统能效。当网格点数接近60时，本文提出的不规则ARIS-NOMA方案的能效比规则ARIS-NOMA方案提升约20%。这是因为，网格点数的增加为不规则ARIS提供了更灵活的布局空间，而GTSA算法则能够动态计算并调整反射单元位置来优化拓扑构型，更好满足多用户信号需求，增强NOMA的非正交多用户接入能力，减少SIC解码干扰，从而提升系统能效。 此外，相比规则ARIS方案，本文提出的不规则ARIS-NOMA方案通过合理地规划反射元件数量来优化信号传输路径，实现功耗控制与布局优化的平衡，提升系统能效。

4 结论

本文针对不规则ARIS-NOMA无线通信网络模型提出了GTSA算法，用于搜索ARIS优化拓扑构型，然后结合FP方法实现优化构型搜索、基站波束成形与ARIS波束成形的联合优化，以便在满足多重功率与拓扑约束条件下最大化系统能效。仿真结果表明，本文提出的不规则ARIS-NOMA方案能够在用户数量增加的情况下保持明显的能效增益。本文的研究为高能效、低成本的下一代无线网络系统设计提供了一条可能路径。

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基金资助

国家自然科学基金(62461030)

云南省基础研究重点项目(202401AS070105)

云南省基础研究面上项目(202401AT070415)