参数化泊松方程的模型降阶预处理

摘要

本文针对数值求解参数化泊松方程提出了一种基于模型降阶思想的预处理共轭梯度（Preconditioned Conjugate Gradient,PCG）算法。为加快所得离散线性方程组的求解速度，本文首先基于模型降阶思想构造了一般形式的预处理矩阵，并证明其对称正定性。在算法的off-line阶段，本文基于少量参数对应的全模型解数据，利用PCG算法并结合本征正交分解（Proper Orthogonal Decomposition,POD）方法生成了一组动态预处理矩阵。然后，在on-line阶段，本文利用动态预处理矩阵结合PCG算法建立所需算法。为了验证算法的性能，本文分别在单位矩形区域和L形区域上数值求解参数化泊松方程。结果显示，在相同精度条件下，算法的平均计算时间比标准共轭梯度算法快40倍以上。

关键词

参数化泊松方程 / 模型降阶 / 预处理矩阵 / 共轭梯度