基于BPNN代理模型及PSO的复合地基参数优化

Parameter optimization of composite foundation based on BPNN surrogate model and PSO algorithm

摘要

针对复合地基参数设计优化过程的多约束、非线性特征，以及传统岩土有限元计算方法效率较低等问题，本文提出了一种基于反向传播神经网络（Backpropagation Neural Network，BPNN）和粒子群优化（Particle Swarm Optimization，PSO）算法的高效优化设计方法。首先，本文基于参数相关性分析建立了权值初始化BPNN代理模型，实现对地基沉降、稳定性、承载力多约束条件及工程造价目标函数的拟合。然后，本文利用PSO算法对代理模型进行全局寻优，获得了满足约束的最优参数组合。最后，为验证方法的优越性，本文以赣深高铁DK37+168典型路基工点为例进行了实验验证。其中，在拟合阶段，本文将BPNN代理模型与传统基于响应面法（RSM）和支持向量机（SVM）的两种代理模型进行比较，在寻优阶段将方法与遗传算法（GA）和全局遍历法进行比较。结果显示，BPNN代理模型的非线性回归能力更优，拟合决定系数值均超过0.99。此外，方法也具有显著的总体优势：在相同终止条件下，优化效率高于GA，单次计算总耗时仅37.63 s，较GA（耗时73.54 s）降低48.8%；稳定性好，能够以80%的概率收敛到全局遍历法（耗时117.9 s，虽精确但耗时较长）得到的全局最优解，而GA仅有40%概率达到相同精度。本文的方法有望为解决相关工程优化问题提供参考。

Abstract

This paper addresses the low efficiency problem of traditional geotechnical finite element calculation methods used in parameter design and optimization process of composite foundation， which is inherently nonlinear and with multiple constraints.A new method that integrates an improved surrogate model and an intelligent optimization algorithm is proposed.To achieve the fitting of multiple constraint conditions such as foundation settlement， stability， bearing capacity and the objective function of project cost， a backpropagation neural network （BPNN） surrogate model with weight initialization is established based on the parameter correlation analysis.Then the surrogate model is globally optimized by using the particle swarm optimization （PSO） algorithm to get the optimal parameter combination that satisfies the constraints.To comprehensively evaluate the performance of the method， two sets of comparative numerical simulations are implemented by taking the typical subgrade work point DK37+168 of the Ganzhou-Shenzhen High-Speed Railway as an example.In the fitting stage， the BPNN surrogate model is compared with the traditional surrogate models based on response surface method （RSM） and support vector machine （SVM）.In the optimization stage， the method is compared with the genetic algorithm （GA） and the global traversal method.It is shown that the BPNN surrogate model has better nonlinear regression ability with all fitting determination coefficient values exceeding 0.99.Meanwhile， the method shows significant advantages in optimization efficiency and stability as well.Under the same termination conditions， the total time consumed by the method for one single calculation is 37.63 s， which is 48.8% lower than that of GA （73.54 s）.Additionally， the method converges to the global optimal solution obtained by the global traversal method （117.9 s， lower calculation efficiency） with 80% probability， while GA has only 40% probability of achieving the same accuracy.The proposed method is expected to provide a reference for the design of optimization processes in similar engineering problems.

Graphical abstract

关键词

复合地基 / 参数优化 / 代理模型 / BPNN / PSO

Key words

composite foundation / parameter optimization / surrogate model / BPNN / PSO

复合地基是通过对部分土体进行增强或置换，形成增强体，结合周围地基土共同承担荷载的一类人工地基^［1］。作为一种增强地基承载能力的重要手段，目前复合地基已被广泛应用于铁路建设等复杂地质条件下的路基处理工程。

复合地基优化设计旨在通过优化桩平面布置形式、桩长及桩间距等关键参数，基于沉降、稳定性及承载力等指标值来确定经济量化指标最优的地基处理方案。在铁路建设工程中，复合地基设计的合理性直接影响铁路路基的长期稳定性与服役性能，是确保铁路运营安全的关键技术环节。

基于试验、理论或经验公式以及数值模拟等不同方法，形成了多种复合地基设计法。这些方法各有优缺点。在基于试验的设计方法中，受地层结构、荷载及环境条件等因素影响，方法的实际效果往往依赖于工程技术人员的经验和室内试验及现场试验结果，需通过人工逐步调整桩径、桩间距、桩长及桩基布置形式等参数来确定设计方案，设计过程耗时长，且难以达到经济量化指标最优。基于理论或经验公式的设计方法遵循一定的通用原则和流程来明确设计目标，并基于理论或经验公式建立优化设计数学模型，然后求解模型获得最优设计参数。陈丽萍^［2］给出了按承载力控制设计和按变形控制思想设计的方法。陈昌富等^［3］提出了长短桩复合地基设计数学模型，并利用复合形法求解该模型。对于设计理论完善且计算公式清晰的简单复合地基，这种方法较为便捷。然而，对于复杂复合地基，构建具有明确表达式的优化计算模型面临较大挑战。基于数值模拟的设计方法通常需要调用岩土有限元检算程序，该程序包含地质参数、材料属性、网络划分、线路数据等基础信息，并集成应力分布、承载力分析、安全指标验证模块等复杂路基工程理论，还需评估结构稳定性及计算工程成本，最终输出承载力、沉降量、稳定性和造价等结果，用以模拟地基的工程力学行为并评估设计方案的可行性和经济指标。宋宝宏^［4］提出了基于Lagrange数乘法的CFG桩复合地基设计方法。陈新岩等^［5］提出了基于遗传算法的CFG桩复合地基设计方法。值得注意的是，由于需要频繁调用岩土有限元检算程序，对于参数组合多样、随机以及结果验证复杂的应用场景，这种方法的计算量大且耗时较长，对设计人员的经验和时间成本要求较高。

代理模型法（Surrogate Modeling）是解决数值模拟方法存在的问题的一种有效方法，其核心思想是通过岩土有限元程序的足量样本数据来构建输入参数与输出响应之间的近似映射关系^［6］，并将其用于代理原有限元程序，在满足精度要求的前提下对代理模型进行优化，以大幅降低计算成本、提高参数优化效率。传统的代理模型主要有响应面模型（Response Surface Methodology， RSM）和Kriging模型等。

近年来，随着机器学习方法的快速发展，多种智能代理模型，如基于神经网络（Neural Network， NN）及基于支持向量机（Support Vector Machines， SVM）的代理模型等相继出现。陈昌富等^［7］提出了一种基于响应面沉降代理模型的深厚软土区水泥搅拌桩复合地基设计方法，将支持向量机作为沉降代理模型^［8］。焦健^［9］构造了两级神经网络模型来拟合地基承载力与沉降量，并利用模拟退火算法来搜寻固定桩径下的最小成本设计方案。陈延展^［10］对比分析了RSM和Kriging代理模型与几种典型机器学习模型的性能，发现机器学习模型普遍有更高的预测精度。袁翌昕^［11］提出了一种BP神经网络代理模型，并验证了神经网络代理模型相对SVM代理模型有更好的预测精度。值得注意的是，现有的智能代理模型往往存在以下两个局限：1） 未考虑参数间的相关性；2） 建模仅针对单一约束条件，未集成造价目标与多约束条件。

本文提出一种新的复合地基优化设计方法。方法采用基于皮尔逊相关系数分析进行权值初始化以及后向传播神经网络（Backpropagation Neural Network，BPNN）代理模型，然后利用粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization，PSO）进行参数优选。本文以实际工程案例验证了方法在计算效率和优化精度等方面的优越性，为复合地基优化设计提供了更加高效准确的解决方案。

1 方法描述

1.1 问题的数学描述

复合地基的设计参数主要包含桩平面布置形式、桩长、桩径、桩间距，其参数优化设计问题是给定这些参数及其取值范围，在满足安全性指标的前提下利用优化算法寻找造价最优的参数组合。从数学的角度看，该问题可以抽象为以造价为目标，以沉降、承载力及稳定性为约束的单目标优化模型，具体模型为：

\begin{array}{c}\begin{array}{l}\underset{x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},x_{\mathrm{3}},x_{\mathrm{4}}}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}f\left(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},x_{\mathrm{3}},x_{\mathrm{4}}\right),\mathrm{s}.\mathrm{t}.\\ \left\{\begin{array}{l}{h}_j\left(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},x_{\mathrm{3}},x_{\mathrm{4}}\right)\le \mathrm{0},\hspace{1em}\mathrm{1}\le j\le \mathrm{3},\\ x_i\in \{a_i,a_i+{\delta }_{x_i},\cdots ,b_i\},\hspace{1em}\mathrm{1}\le i\le \mathrm{4}\end{array}\right.\end{array}\end{array}（1）

其中，x_{\mathrm{1}}\mathrm{、}{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{、}{x}_{\mathrm{3}}\mathrm{、}{x}_{\mathrm{4}}为复合地基设计参数，f(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},x_{\mathrm{3}},x_{\mathrm{4}})为造价函数，h_j\left(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},x_{\mathrm{3}},x_{\mathrm{4}}\right),j=\mathrm{1,2},\mathrm{3}为复合地基的沉降、承载力及稳定性约束，a_i,b_i分别表示参数x_i取值的下限和上限，{\delta }_{x_i}代表x_i的最小容许改变量。

1.2 BPNN代理模型

为避免参数设计过程中反复调用高复杂度的验算程序的问题，本文引入BPNN代理模型，因为BPNN在处理非线性映射问题时具有较强的容错能力。将优化模型（1）转化为以下代理模型：

\begin{array}{l}\underset{x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},x_{\mathrm{3}},x_{\mathrm{4}}}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}g(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},x_{\mathrm{3}},x_{\mathrm{4}}),\mathrm{s}.\mathrm{t}.\\ \begin{array}{cc}& \end{array}\left\{\begin{array}{l}{s}_j(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},x_{\mathrm{3}},x_{\mathrm{4}})\le \mathrm{0},j=\mathrm{1,2},\mathrm{3},\\ x_i\in \{a_i,a_i+{\delta }_{x_i},\cdots ,b_i\},\mathrm{1}\le i\le \mathrm{4}\end{array}\right.\end{array}（2）

其中，s_j(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},x_{\mathrm{3}},x_{\mathrm{4}}),j=\mathrm{1,2},\mathrm{3}及g(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},x_{\mathrm{3}},x_{\mathrm{4}})分别为基于BPNN得到的沉降、造价、承载力及稳定约束拟合函数。岩土有限元程序与代理模型间的关系图如图1所示。

PSO是一类通过个体之间信息共享来引导搜索空间的寻优算法。在本文中，每个粒子的速度与位置的更新公式^［12］为：

\begin{array}{l}{v}_{(i+\mathrm{1})d}=w\times v_{id}+c_{\mathrm{1}}\times r_{\mathrm{1}}\times (\mathrm{p}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}{\mathrm{t}}_{id}-\\ x_{id})+\cdots +c_{\mathrm{2}}\times r_{\mathrm{2}}\times (\mathrm{g}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}{\mathrm{t}}_i-x_{id})\end{array}（3）

x_{(i+\mathrm{1})d}=x_{id}+v_{(i+\mathrm{1})d}（4）

其中，v_{id}、x_{id}、v_{(i+\mathrm{1})d}、x_{(i+\mathrm{1})d}分别表示第i代和i+\mathrm{1}代第d个粒子的速度与位置，w为惯性权重，c_{\mathrm{1}}和c_{\mathrm{2}}是学习因子，\mathrm{p}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}{\mathrm{t}}_{id}为个体历史最佳位置，\mathrm{g}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}{\mathrm{t}}_i表示全局最优位置，r_{\mathrm{1}}，r_{\mathrm{2}}为随机数。基于代理模型的多参数、非线性特点，本文采用具有记忆功能的PSO算法进行寻优，以提高全局最优解的收敛速度，具体流程如图2所示。

1.3 BPNN代理模型构建

1.3.1 样本库构建

将桩平面布置形式x_{\mathrm{1}}、桩长x_{\mathrm{2}}、桩径x_{\mathrm{3}}、桩间距x_{\mathrm{4}}、造价y_{\mathrm{1}}、沉降量y_{\mathrm{2}}、承载力y_{\mathrm{3}}和路基稳定系数y_{\mathrm{4}}作为数据样本，即：

\mathit{P}=\{p_{\mathrm{1}},p_{\mathrm{2}},p_{\mathrm{3}}\cdots ,p_q\}（5）

其中，{\mathit{p}}_{\mathit{i}}=(x_{\mathrm{1}}^{(i)},x_{\mathrm{2}}^{(i)},x_{\mathrm{3}}^{(i)},x_{\mathrm{4}}^{(i)},y_{\mathrm{1}}^{(i)},y_{\mathrm{2}}^{(i)},y_{\mathrm{3}}^{(i)},y_{\mathrm{4}}^{(i)})，参数x_i,i=\mathrm{1,2},\mathrm{3,4}的取值范围取决于有限元程序的内部设置与实际工况条件。

为确保模型学习的充分性和验证的有效性，本文调用岩土有限元检算程序随机生成数据规模的10%~30%的数据样本，建立沉降量、承载力、稳定性及对应造价的样本数据库。

1.3.2 输入层与隐含层间的初始权值设置

BPNN代理模型的初始权值通常随机产生，这可能导致收敛速度变慢。为此本文通过目标与参数间的相关性分析来选择初始权值：若目标与参数之间强相关，则选择较小的初始权值，使训练初期能够局部有效学习且更快收敛于局部最优；若为弱相关或无关，则选择较大初始权值，增加模型在参数空间中的全局搜索能力。

本文用皮尔逊相关系数表示目标与参数之间的相关性，其绝对值与相关强度分类的对应关系参见表1。

本文考虑4个复合地基参数的优化问题，并引入相关系数向量{\mathit{R}}_{\mathbf{c}\mathbf{o}\mathbf{r}\mathbf{r}}=(R_{\mathrm{1}},R_{\mathrm{2}},R_{\mathrm{3}},R_{\mathrm{4}}{)}^{\mathrm{T}}设定初始权值，其中R_i,i=\mathrm{1,2},\mathrm{3,4}为神经网络输出与第i个输入之间的相关系数。在神经网络中，初始权值通常设为0~1之间的随机数。根据复合地基优化问题中目标与参数的相关程度，若目标y关于参数x_i为强相关性，则应适当减小初始权值，取第i个输入节点与隐含层节点间的初始权值为-\mathrm{0.5}~\mathrm{0.5}之间的随机数，否则适当增加权值，取\mathrm{0.5}~\mathrm{1.5}之间的随机数。皮尔逊相关系数与初始权值之间的对应公式如下：

\mathrm{初始}\mathrm{权值}=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}(-\mathrm{0.5,0.5}),|R_{\mathrm{i}}|\ge \mathrm{0.5},\\ \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}(\mathrm{0.5,1.5}),|R_{\mathrm{i}}|\mathrm{0.5}\end{array}\right.（6）

1.3.3 BPNN参数选取

BPNN参数（网络层数、隐含层节点数和激活函数等）按如下方式选择。

1） 输入、输出层节点数选取。因复合地基设计参数为桩平面布置形式、桩长、桩径、桩间距，确定神经网络输入层的神经元节点个数为4，模型输出为造价、沉降量、承载力或稳定系数，输出层的节点个数为1。

2） 网络层数选取。根据复合地基的实际工况数据，选择神经网络层数为3。

3） 隐含层节点数选取。隐含层神经元数量通常需根据实际问题选择，本文采用以下经验公式^［9］：

r=\sqrt[]{m+n}+a（7）

其中，r表示隐含层节点个数，m,n分别是输出、输入层节点数，a是介于1至10之间的常数。因n=\mathrm{4},m=\mathrm{1}，根据式（6），取r\in [\mathrm{4,13}]。

4） 激活函数选取。由于S型激活函数在反向传播时更易于求导，本文的隐含层激活函数选用logsig，输出层通常为purelin，数学表达式分别为：

\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}(x)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{\mathrm{e}}^{-x}}（8）

\mathrm{p}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}(x)=x（9）

1.3.4 模型训练及代理模型获取

训练函数决定学习率的调整机制，直接影响BPNN代理模型的收敛速度和精度。在MATLAB神经网络工具箱中，trainlm函数（基于Levenberg-Marquardt优化算法）能够动态调整学习率，结合梯度下降法和牛顿法的优点可高效逼近最优解。

由于地基加固模型中各参数与目标的量纲不同，需先对数据进行归一化。对复合地基加固的任意一组输入参数\mathit{X}=(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},x_{\mathrm{3}},x_{\mathrm{4}}{)}^{\mathrm{T}}进行归一化，得到{\mathit{X}}^{\mathit{*}}=({x_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{*}},{x_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{*}},{x_{\mathrm{3}}}^{\mathrm{*}},{x_{\mathrm{4}}}^{\mathrm{*}}{)}^{\mathrm{T}}，归一化公式为：

x^{\mathrm{*}}=\mathrm{2}\times \frac{x-x_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}}{x_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}-x{}_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}{}^{}}-\mathrm{1}（10）

其中，x_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}、x_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}分别为训练样本中输入变量的最大值和最小值。

经训练后，BPNN的输出对应权值矩阵和阈值向量，从而获得BPNN代理模型。3层神经网络代理模型的拓扑结构如图3所示。

设{\mathit{A}}_{r\times \mathrm{4}}=(w_{ij}{)}_{r\times \mathrm{4}}、{\mathit{B}}_{\mathrm{1}\times r}=({\gamma }_{jk}{)}_{\mathrm{1}\times r}分别为BPNN的输入层与隐含层之间及隐含层和输出层之间的权值矩阵，\varphi、\phi分别为logsig和purelin激活函数，{\mathit{a}}_{r\times \mathrm{1}}、{\mathit{b}}_{\mathrm{1}\times \mathrm{1}}分别为隐含层、输出层的阈值。则隐含层输出{\mathit{D}}_{r\times \mathrm{1}}的计算公式为^［13］：

\mathit{D}=\varphi (\mathit{A}{\mathit{X}}^{\mathit{*}}+\mathit{a})（11）

输出层y^{\mathrm{*}}为：

y^{\mathrm{*}}=\phi (\mathbf{B}\mathbf{D}+\mathit{b})（12）

综上，通过BPNN得到的输出y^{\mathrm{*}}与输入{\mathit{X}}^{\mathit{*}}=({x_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{*}},{x_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{*}},{x_{\mathrm{3}}}^{\mathrm{*}},{x_{\mathrm{4}}}^{\mathrm{*}}{)}^{\mathrm{T}}之间的函数可表示为：

y^{\mathrm{*}}=\phi (\mathit{B}\varphi (\mathit{A}{\mathit{X}}^{\mathit{*}}+\mathit{a})+\mathit{b})（13）

即复合地基优化模型中造价、沉降量、承载力及稳定系数等拟合函数均具有如下形式：

y^{\mathrm{*}}=\phi (\mathit{B}\varphi (\mathit{A}{\mathit{X}}^{\mathit{*}}+\mathit{a})+\mathit{b}),{\mathit{X}}^{\mathit{*}}\in \mathit{K}（14）

其中，\mathit{K}为输入参数归一化后的取值范围矩阵。

运算结束后，需对y^{\mathrm{*}}进行反归一化，将其还原到原始数据范围。

2 参数优化

基于BPNN代理模型，用PSO算法寻优的求解步骤如下。

1） 参数设计。确定网络层数、网络节点数及最大迭代次数等。

2） 确定造价、沉降量、承载力及稳定等4个神经网络的初始权值。为保证样本的代表性和结果的可靠性，随机选取样本数据的5%~10%分别进行相关性系数分析。通过MATLAB的corrcoef函数计算相关系数向量{\mathit{R}}_{\mathbf{c}\mathbf{o}\mathbf{r}\mathbf{r}}，根据计算结果设置神经网络的初始权值，实现相关性分析及自适应初始值设置。

3） 4个网络模型训练。信号正向传播，判断训练是否终止，若终止则转第4）步，否则误差反向传播并修正权值和阈值，继续训练。

4） 获取代理优化模型。所有神经网络训练结束之后，获取对应权值和阈值矩阵，得到优化后的BPNN代理模型。

5） 初始化粒子种群^［14］。随机生成初始位置和速度。

6） 更新速度和位置。利用造价拟合函数评估微粒的适应度，并利用沉降量等约束的拟合函数进行检验，将其适应度分别与历史最佳位置、全局最优位置进行比较，并判断是否满足约束：若比历史最佳更优且满足约束，则更新pbest；若比全局最优更好且满足约束，则更新gbest，并按式（3）和式（4）更新速度和位置，适应度函数为：

\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}=\mathrm{1}/g\left(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},x_{\mathrm{3}},x_{\mathrm{4}}\right)（15）

其中，g\left(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},x_{\mathrm{3}},x_{\mathrm{4}}\right)为由步骤（4）得到的造价拟合函数。

7） 判断是否达到结束条件。若达到，则输出全局最优位置，否则转第（6）步。

8） 验算并获得准确最优造价。通过PSO算法获得最优参数，然后调用岩土检算程序验算该组参数是否满足约束，并得到其准确造价。

3 工程实例验证

本文以赣深高铁DK37+168复合地基参数优化为例，采用基于BPNN代理模型的PSO优化算法，并与遍历法及经典遗传算法（GA）进行对比。

3.1 工程概况

赣深高铁为设计时速350 km/h的双线、无砟高速铁路，其中的DK37路基位于剥蚀丘陵区，地基上覆粉质黏土，下层为全弱风化花岗岩，地层信息如表2所示。该工点的设计控制指标主要包括：工后沉降（≤15 mm）、复合地基承载力（不小于基底压力）和路基稳定性系数（≥1.25）。设计所采用的措施主要有：路基范围内地基处理采用CFG桩加固，人工设计选定桩间距1.5 m，桩长10 m，桩径0.5 m，采用正方形布桩形式，如图4所示。另外，桩体内聚力1000 kPa，桩身模量100 MPa，桩土应力比为5。

桩平面布置形式包括三角形和正方形。令“0”和“1”分别表示正方形和三角形布置。该工点复合地基代理模型的主要参数及取值范围参见表3，其中0.5、0.6、0.7及0.8 m桩径的桩每延米单价分别为55、65、78和90元。

3.2 样本选取及参数取值

取320 组数据作为样本，其中前300 组作为训练样本、后20 组数据作为测试样本。基于BPNN代理模型的PSO优化方法中的参数取值参表4。

3.3 结果与分析

以造价拟合为例，本文对造价及设计参数进行相关性分析，并对训练后的BPNN代理模型的效果进行验证。由图5可见，相关系数向量为

{\mathit{R}}_{\mathbf{c}\mathbf{o}\mathbf{r}\mathbf{r}}={(\mathrm{0.26,0.63,0.24},-\mathrm{0.60})}^{\mathrm{T}}。

另外，据表1可知，案例中的造价与桩长、桩间距之间的相关性强度为强相关，与桩平面布置形式、桩径设计参数之间为弱相关。因此，本文设置第2个和第4个输入层节点与隐含层之间的初始权值均为-\mathrm{0.5}~\mathrm{0.5}之间的随机数，第1个和第3个输入层节点与隐含层之间的初始权值为\mathrm{0.5}~\mathrm{1.5}之间的随机数。

均方差（MSE）是衡量BPNN代理模型回归性能的一个重要指标^{［13， 16］}。图6展示了基于相关性分析及随机初始权值的BPNN代理模型的训练、验证及测试样本的造价均方差变化曲线，表明BPNN代理模型所拟合的造价函数精度高。此外，在精度相近的前提下，多次测试的结果均显示基于相关性分析确定输入与隐含层间的初始权值可以使得BPNN代理模型的收敛速度更快。

决定系数R(\mathrm{0}\le R\le \mathrm{1})是评价回归模型拟合效果的另一个有效指标，值越趋近于1说明拟合性能越好。由图7可知，训练、验证、测试及整体样本的R值分别为0.999 93、0.999 9、0.999 91和0.999 92，均大于0.99，说明本文所建立的BPNN代理模型是可信的。

为了对比不同代理模型的预测能力，本文基于相同样本数据分别建立了基于支持向量机和响应面的代理模型，并将3种模型的预测精度进行比较，结果参见表5。可以看到，BPNN代理模型的预测精度略高于其他两种模型，表明其具有更强的非线性回归能力。

用训练得到的BPNN代理模型对测试样本造价进行预测，预测值与真实值的对比结果如图8所示。可以看到，真实值与预测值的相对误差绝对值均小于0.04，满足工程设计中误差限小于0.1的基本要求。相同分析可知，沉降量、承载力及路基稳定性约束的拟合函数也都是可信的。因此，BPNN代理模型的可靠性是有保证的。

本文最后比较人工设计、本文方法、GA与遍历法的效果差异。由表6可知，对所有参数组合，沉降量均小于15 mm，路基稳定系数均大于1.25，且复合地基承载力容许值大于路堤基底压力，均满足沉降量、稳定性及承载力的约束，符合安全指标要求。其中，本文方法得到的最优参数组合及造价函数与遍历法得到的结果相同，单次总耗时仅为37.63 s（包括样本生成34.88 s、模型训练1.06 s及PSO优化1.69 s），较GA算法显著缩短。需说明的是，作为前期工作，样本生成与模型训练可通过模型复用来提高后续优化效率。

考虑到寻优算法的随机性，分别用本文方法和GA算法各执行10次，以种群迭代更新次数大于6，且连续6次迭代最优个体保持不变作为终止准则。两种方法每次得到的最优造价如图9所示。结果表明，本文方法有80%的概率收敛到可行域内最小造价，而GA算法仅有40%的概率能找到最优组合，说明本文的方法相对GA更加稳定。

4 结论

针对复合地基参数设计中有限元检算程序计算过程复杂、难以通过传统优化算法快速求解等问题，本文提出了一种基于BPNN代理模型与PSO优化算法的复合地基参数优化设计方法，利用工程实例对其进行了效果验证，得到以下结论。

1） 基于皮尔逊相关性系数选择初始权值，BPNN代理模型通过拟合沉降、承载力与稳定性约束函数及造价目标函数实现了复合地基参数设计的高效、高质量模拟。

2） 本文算法基于造价拟合函数构造粒子的适应度，通过比较当前粒子与历史最佳位置、全局最优位置的适应度来更新优化速度及位置，并利用局部搜索与全局搜索相结合的策略逐步逼近全局最优解，得到满足工程安全性要求且成本最小的设计方案。

3） 与RSM代理模型和支持向量机代理模型相比，BPNN代理模型具有更高的非线性回归能力，预测精度提升5%以上，决定系数可达0.99。

4） 本文方法的参数优化结果与遍历法一致，且相比常用GA方法得到的结果造价更优、耗时更短，收敛更稳定。

总之，本文方法在保证结果准确性的同时展现出显著的效率优势， 有望被用于复合地基参数优化设计，也可为类似工程的优化设计提供参考。

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基金资助

国家重点研发计划(2021YFB2600404)

中国铁建股份有限公司科技研发计划项目(2022-A02)