基于斜信息相干性的最优量子态近似标准

Criteria for optimal quantum state approximation based on skew information coherence

摘要

在量子资源理论中，寻找与目标量子态最接近的给定量子态凸组合中的最优量子态，不仅是一种切实可行的量子特性量化方案，更能为实验操作提供指导意义。常用的量子态距离度量包括迹距离、L_{\mathrm{1}}范数以及保真度等，通过这3种态距离度量可找到与目标量子态最难以区分的最优量子态。本文基于特定的量子相干性信息任务，借助C_{\mathrm{s}\mathrm{k}}相干性度量、C_{\mathrm{s}\mathrm{k}}^{\mathrm{u}}相干性度量对基于这3种态距离的最优量子态近似效果展开分析比较，明确每种距离度量的适用范围。此外，我们发现基于保真度的最优量子态近似，总是可以保存更多的斜信息相干性，其在消耗斜信息相干性的量子信息任务中占据优势。这也从侧面印证了保真度距离度量与斜信息相干性在某种程度上的关联性。此研究不仅给出了3种态距离度量下最优近似态的最佳斜信息相干性解析解，给予实验操作下量子态距离度量选择的精准范围，也展示了量子资源理论中各种资源度量之间的内在联系。

Abstract

In the quantum resource theory， finding the optimal quantum state within the convex combination of given quantum states that is closest to the target quantum state is not only a practical approach for quantifying quantum properties but also holds guiding significance for experimental operations. Common distance metrics for quantum states include trace distance， L_{\mathrm{1}}-norm， and fidelity， through which the optimal quantum state that is most indistinguishable from the target quantum state can be identified. In this paper， based on specific quantum coherence information tasks， we use the C_{\mathrm{s}\mathrm{k}}-coherence metric and C_{\mathrm{s}\mathrm{k}}^{\mathrm{u}}-coherence metric to analyze and compare the approximation effects of optimal quantum states based on these three state distances， and clarify the applicable range of each distance metric. Furthermore， we find that the optimal quantum state approximation based on fidelity can always preserve more skew-information coherence， which gives it an advantage in quantum information tasks that consume skew-information coherence. This also indirectly verifies the correlation between the fidelity distance metric and skew-information coherence to some extent. The choice of state distance also depends on different quantum information tasks， which consume different quantum resources. In this paper， we consider two quantum resources： skew-information coherence C_{\mathrm{s}\mathrm{k}} and average skew-information coherence C_{\mathrm{s}\mathrm{k}}^{\mathrm{u}}. When the given quantum state is in the B_{\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}} set， no state distance metric can preserve the skew-information coherence C_{\mathrm{s}\mathrm{k}}， but all of them retain a certain amount of average skew-information coherence C_{\mathrm{s}\mathrm{k}}^{\mathrm{u}}. Among them， the optimal approximation based on fidelity exhibits the best preservation effect. From the B_{\mathrm{2}}^{\mathrm{\text{'}}} distance， it is found that when the range of the analytical solution is x+z>\mathrm{1} and {\left(x+z\right)}^{\mathrm{2}}+y^{\mathrm{2}}>\mathrm{1} where x， y， and z refer to the Bloch vector of the target quantum state \rho， the optimal approximation based on the trace norm always preserves more skew-information coherence C_{\mathrm{s}\mathrm{k}} than that based on the L_{\mathrm{1}}-norm. However， the average skew-information coherence C_{\mathrm{s}\mathrm{k}}^{\mathrm{u}} exhibits multiple scenarios， which specifically depend on the parameter settings of the target quantum state \rho. Our research not only presents the analytical solutions for the optimal skew-information coherence of the optimally approximated states under the three state distance metrics， providing theoretical guidance and practical references for specific experimental operations， but also demonstrates the internal connections among various resource metrics in quantum resource theory.

Graphical abstract

关键词

迹距离 /

L_{\mathrm{1}}

范数 / 保真度 /

C_{\mathrm{s}\mathrm{k}}

相干性度量

Key words

trace distance /

L_{\mathrm{1}}

-norm / fidelity /

C_{\mathrm{s}\mathrm{k}}

coherence measure

近年来，随着量子信息技术的飞速发展，对量子特性资源的定量化研究，即量子资源理论的发展逐渐完善^［1-4］，精确量化量子特性成为学者持续关注的研究课题。量化量子特性的方法之一，是通过测定目标量子态与自由态集合之间的最短距离来实现。如，量子纠缠^［5-6］可被量化为给定态与可分态（即量子纠缠特性的自由态）集合的最短距离，量子相干性^［7］可被视为目标态与非相干态（给定参考基矢量的凸组合）集合的最短距离，量子叠加性^［8］测量了给定态与线性无关态的凸组合集的最短距离，量子关联^［9-10］指的是给定态与经典量子态集合之间的最短距离。因此研究目标量子态与给定量子态的凸组合集的最短距离具有切实的理论意义。

通过有限量子态的凸组合实现目标量子态的最优近似，具有更为普遍的实验意义。在特定实验场景中，往往仅能制备一组有限的量子态；而出于研究或应用需求，常需某一特定量子态，该量子态可能因经济或物理层面的限制无法直接制备。基于此，研究者们围绕各类量子态距离度量，开展了最优量子态近似模型的相关研究^［11-12］。最常用的态距离度量包括迹距离^［13］、保真度^［14］以及L_{\mathrm{1}}范数^［15］。两个量子态\rho和\sigma之间的迹距离可表示为式（1）形式。

D\left(\rho ,\sigma \right)={‖\rho -\sigma ‖}_{\mathrm{1}}=\mathrm{T}\mathrm{r}\sqrt[]{{\left(\rho -\sigma \right)}^{†}\left(\rho -\sigma \right)}={\sum }_i\left|s_i\right|(1)

其中，s_i是矩阵\rho -\sigma的奇异值。迹距离具有许多优良的性质： 1） 非负性：\mathrm{0}\le D\left(\rho ,\sigma \right)\le \mathrm{2}，当\rho =\sigma时，D\left(\rho ,\sigma \right)=\mathrm{0}，当\rho \perp \sigma时，D\left(\rho ,\sigma \right)=\mathrm{2}； 2） 对称性：交换两个量子态的输入位置不改变迹距离的值，D\left(\rho ,\sigma \right)=D\left(\sigma ,\rho \right)； 3） 幺正不变性：迹距离在量子态进行幺正变换U后保持不变，D\left(U\rho U^{†},U\sigma U^{†}\right)=D\left(\rho ,\sigma \right)； 4） 强凸性：给定2组概率分布\left\{p_i\right\}与\left\{q_i\right\}，量子态的平均迹距离满足D\left({\sum }_{\mathrm{i}}{p}_i{\rho }_i,{\sum }_{\mathrm{i}}{q}_i{\sigma }_i\right)\le d\left(p_i,q_i\right)+{\sum }_{\mathrm{i}}{p}_{i}D\left({\rho }_i,{\sigma }_i\right); 5） 单调性：对量子态进行保迹操作\epsilon \left(\bullet \right)，迹距离不会增加，D\left(\epsilon \left(\rho \right),\epsilon \left(\sigma \right)\right)\le D\left(\rho ,\sigma \right)。两个量子态\rho与\sigma的保真度F\left(\rho ,\sigma \right)\equiv \mathrm{T}\mathrm{r}\sqrt[]{\sqrt[]{\rho }\sigma \sqrt[]{\rho }}同样具有大量良好的性质，如非负性、对称性、幺正不变性、强凹性和单调性等。两个量子态\rho与\sigma的L_{\mathrm{1}}范数C_{L_{\mathrm{1}}}\left(\rho -\sigma \right)={\sum }_{ij}\left|{\rho }_{ij}-{\sigma }_{ij}\right|同样具有优点，如非负性、凸性、对称性以及高计算性等。

选择不同的量子态距离度量，会导致不同的量子态最优近似结果，从而导致目标量子态和最优制备量子态的量子资源的差异性。如，文献［16］利用量子资源（包括量子纠缠、量子相干性和纯度等）稀释的办法提升量子系统噪声鲁棒性；文献［17］建立了一次性相干性稀释的理论框架，量化有限资源下的相干性转换成本。本文在3种态距离最优凸近似解析解的基础上，进一步提出了一种基于斜信息相干性度量的衡量标准，用于检验最优凸近似的实际应用效果。具体而言，针对基于迹范数、保真度和L_{\mathrm{1}}范数的最优制备态，需探究其与目标量子态在斜信息相干性的近似程度，以及该最优制备态能在多大程度上代替目标量子态进行关于消耗特定斜信息相干性的量子信息任务。其本质是探究通过最优近似的方法处理后，目标量子态的斜信息相干性资源的保留程度。本文详细讨论了基于Pauli距离（即可获得的量子态集合由Pauli矩阵的本征态构成）的各种量子凸组合最优近似问题，并阐述了3种量子态距离度量的最优近似适用范围，以及其相应的物理解释。

1 C_{\mathrm{s}\mathrm{k}}和C_{\mathrm{s}\mathrm{k}}^{\mathrm{u}}相干性度量

本文以量子态的相干性作为最优量子态近似的衡量标准，选择C_{\mathrm{s}\mathrm{k}}和C_{\mathrm{s}\mathrm{k}}^{\mathrm{u}}两种相干性度量。

C_{\mathrm{s}\mathrm{k}}相干性度量^［18］在d维度空间的表达式如式（2）所示。

C_{\mathrm{s}\mathrm{k}}\left(\rho \right)=\mathrm{1}-{{\sum }_k〈k\left|\sqrt[]{\rho }\right|k〉}^{\mathrm{2}}(2)

C_{\mathrm{s}\mathrm{k}}满足一个相干性度量的所有必备条件： 1） 零值性：C_{\mathrm{s}\mathrm{k}}\left(\rho \right)=\mathrm{0}是态为非相干态的充分必要条件； 2） 单调性：C_{\mathrm{s}\mathrm{k}}在非相干完全正定保迹操作下不增：C_sk（ρ）≥C_sk［Φ_ICPTP（ρ）］； 3） 强单调性：C_{\mathrm{s}\mathrm{k}}\left(\rho \right)\ge {{\sum }_{n}p}_n{C}_{\mathrm{s}\mathrm{k}}\left({\rho }_n\right)，p_n =Tr（K_n ρK_n^{†}），{\rho }_n=K_n\rho K_n^{†}/p_n； 4） 凸性：C_sk在量子态混合下不增，C_sk（ρ）≤{\sum }_n{q}_n{C}_{\mathrm{s}\mathrm{k}}({\rho }_n)，ρ={\sum }_n{q}_n{\rho }_n，{\sum }_n{q}_n=\mathrm{1}，q_n>\mathrm{0}。

C_{\mathrm{s}\mathrm{k}}^{\mathrm{u}}相干性度量^［19］在d维空间的表达式如式（3）所示。

C_{\mathrm{s}\mathrm{k}}^{\mathrm{u}}\left(\rho \right)=\frac{d-{\left(\mathrm{T}\mathrm{r}\sqrt[]{\rho }\right)}^{\mathrm{2}}}{d+\mathrm{1}}(3)

C_{\mathrm{s}\mathrm{k}}^{\mathrm{u}}同样有许多良好的性质： 1） 非负性：其大小满足\mathrm{0}\le C_{\mathrm{s}\mathrm{k}}^{\mathrm{u}}\left(\rho \right)\le (d-\mathrm{1})/(d+\mathrm{1})； 2） 酉不变性：C_{\mathrm{s}\mathrm{k}}^{\mathrm{u}}\left(U\rho U^{†}\right)=C_{\mathrm{s}\mathrm{k}}^{\mathrm{u}}\left(\rho \right)； 3） 凸性：C_{\mathrm{s}\mathrm{k}}^{\mathrm{u}}\left(\rho \right)是关于\rho的凸函数。

为便于计算，我们在布洛赫表象中考虑该问题，即r_i={\left(x_i,y_i,z_i\right)}^{\mathrm{T}}表示给定量子态集合中的第i个量子态{\rho }_i的布洛赫向量，r={\left(x,y,z\right)}^{\mathrm{T}}表示目标量子态\rho的布洛赫向量。其计算方法为x=\mathrm{T}\mathrm{r}(\rho {\sigma }_x)。任意目标量子态\rho，在布洛赫表象下为\rho =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\begin{array}{cc}\mathrm{1}+z& x-\mathrm{i}y\\ x+\mathrm{i}y& \mathrm{1}-z\end{array}\right)。因此，目标量子态\rho的C_{\mathrm{s}\mathrm{k}}和C_{\mathrm{s}\mathrm{k}}^{\mathrm{u}}相干性度量表达式可分别转化为式（4）和式（5）形式。

C_{\mathrm{s}\mathrm{k}}\left(\rho \right)=\mathrm{1}-{〈\mathrm{0}\left|\sqrt[]{\rho }\right|\mathrm{0}〉}^{\mathrm{2}}-{〈\mathrm{1}\left|\sqrt[]{\rho }\right|\mathrm{1}〉}^{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\frac{x^{\mathrm{2}}+y^{\mathrm{2}}}{x^{\mathrm{2}}+y^{\mathrm{2}}+z^{\mathrm{2}}}\left[\mathrm{1}-\sqrt[]{\mathrm{1}-\left(x^{\mathrm{2}}+y^{\mathrm{2}}+z^{\mathrm{2}}\right)}\right.(4)

\begin{array}{l}{C}_{\mathrm{s}\mathrm{k}}^{\mathrm{u}}\left(\rho \right)=\frac{\mathrm{2}-{\left(\mathrm{T}\mathrm{r}\sqrt[]{\rho }\right)}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{3}}=\\ \frac{\mathrm{1}-\sqrt[]{\mathrm{1}-\left(x^{\mathrm{2}}+y^{\mathrm{2}}+z^{\mathrm{2}}\right)}}{\mathrm{3}}\end{array}(5)

2 不同态距离度量下最优量子态的相干性比较

量子态最优凸近似的一个核心问题在于：可获得量子态集合的选取。从量子资源理论的角度出发，Pauli矩阵^［20］具有简洁性与可实用性，所以我们选择Pauli矩阵的本征态作为可获得量子态集合。分别考虑B_{\mathrm{1}}距离与B_{\mathrm{2}}距离，即可获得量子态集合中包含Pauli矩阵的1组或2组本征态。\left|\mathrm{0}\right.〉=\left(\begin{array}{c}\mathrm{1}\\ \mathrm{0}\end{array}\right)、\left|\mathrm{1}\right.〉=\left(\begin{array}{c}\mathrm{0}\\ \mathrm{1}\end{array}\right)、\left|\mathrm{2}\right.〉=\frac{\mathrm{1}}{\sqrt[]{\mathrm{2}}}\left(\begin{array}{c}\mathrm{1}\\ \mathrm{1}\end{array}\right)、\left|\mathrm{3}\right.〉=\frac{\mathrm{1}}{\sqrt[]{\mathrm{2}}}\left(\begin{array}{c}\mathrm{1}\\ -\mathrm{1}\end{array}\right)、\left|\mathrm{4}\right.〉=\frac{\mathrm{1}}{\sqrt[]{\mathrm{2}}}\left(\begin{array}{c}\mathrm{1}\\ \mathrm{i}\end{array}\right)、 \left|\mathrm{5}\right.〉=\frac{\mathrm{1}}{\sqrt[]{\mathrm{2}}}\left(\begin{array}{c}\mathrm{1}\\ -\mathrm{i}\end{array}\right)，分别为Pauli矩阵{\sigma }_z、{\sigma }_x、{\sigma }_y的本征态。考虑6种可获得量子态的集合：B_{\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}}=\left\{\left|\mathrm{0}\right.〉,\left|\mathrm{1}\right.〉\right\}、B_{\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}}=\left\{\left|\mathrm{2}\right.〉,\left|\mathrm{3}\right.〉\right\}、B_{\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}}=\left\{\left|\mathrm{4}\right.〉,\left|\mathrm{5}\right.〉\right\}、B_{\mathrm{2}}^{\mathrm{\text{'}}}=\left\{\left|\mathrm{0}\right.〉,\left|\mathrm{1}\right.〉,\right.\left.\left|\mathrm{2}\right.〉,\left|\mathrm{3}\right.〉\right\}、B_{\mathrm{2}}^{\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}}=\left\{\left|\mathrm{0}\right.〉,\left|\mathrm{1}\right.〉,\left|\mathrm{4}\right.〉,\left|\mathrm{5}\right.〉\right\}、B_{\mathrm{2}}^{\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}}=\left\{\left|\mathrm{2}\right.〉,\right.\left.\left|\mathrm{3}\right.〉,\left|\mathrm{4}\right.〉,\left|\mathrm{5}\right.〉\right\}。

2.1 B_{\mathrm{1}}距离下最优量子态\sigma与目标量子态\rho的相干性比较

当可获得量子态集合为B_{\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}}=\left\{\left|\mathrm{0}\right.〉,\left|\mathrm{1}\right.〉\right\}时，迹距离度量下的最优量子态为式（6）形式。

\sigma =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\begin{array}{cc}\mathrm{1}+z& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{1}-z\end{array}\right)(6)

L_{\mathrm{1}}范数度量下的最优量子态为式（7）形式。

\sigma =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\begin{array}{cc}\mathrm{1}+z& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{1}-z\end{array}\right)(7)

保真度度量下的最优量子态为式（8）形式。

\sigma =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\begin{array}{cc}\mathrm{1}+\frac{z}{\sqrt[]{\mathrm{1}-y^{\mathrm{2}}-x^{\mathrm{2}}}}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{1}+\frac{z}{\sqrt[]{\mathrm{1}-y^{\mathrm{2}}-x^{\mathrm{2}}}}\end{array}\right)(8)

对以上最优量子态\sigma进行C_{\mathrm{s}\mathrm{k}}和C_{\mathrm{s}\mathrm{k}}^{\mathrm{u}}相干性度量，并与目标量子态\rho的斜信息相干性比较，结果如表1所示（令m=x^{\mathrm{2}}+y^{\mathrm{2}}+z^{\mathrm{2}}，该式全文通用）。从表1中可以看出，B_{\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}}态集合下制备的最优量子态\sigma的C_{\mathrm{s}\mathrm{k}}相干性均为0，可能并不是选择的态距离度量问题，而是B_{\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}}态集合中的量子态非对角元皆为0，其不适用于需要消耗C_{\mathrm{s}\mathrm{k}}相干性的量子信息任务。与此相比，B_{\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}}态集合制备的最优量子态\sigma的C_{\mathrm{s}\mathrm{k}}^{\mathrm{u}}相干性全不为0，并且通过对比3种态距离下最优量子态\sigma与目标量子态\rho的C_{\mathrm{s}\mathrm{k}}^{\mathrm{u}}相干性比值可以发现，基于保真度度量的最优量子态\sigma的相干性保存得更多，在B_{\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}}态集合下进行C_{\mathrm{s}\mathrm{k}}^{\mathrm{u}}相干性任务时，我们优先考虑保真度度量。

当可获得量子态集合为B_{\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}}=\left\{\left|\mathrm{2}\right.〉,\left|\mathrm{3}\right.〉\right\}时，迹距离度量下的最优量子态为式（9）形式。

\sigma =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\begin{array}{cc}\mathrm{1}& x\\ x& \mathrm{1}\end{array}\right)(9)

L_{\mathrm{1}}范数度量下最优量子态为式（10）形式。

\sigma =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\begin{array}{cc}\mathrm{1}& x\\ x& \mathrm{1}\end{array}\right)(10)

保真度度量下的最优量子态为式（11）形式。

\sigma =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\begin{array}{cc}\mathrm{1}& \frac{x}{\sqrt[]{\mathrm{1}-y^{\mathrm{2}}-z^{\mathrm{2}}}}\\ \frac{x}{\sqrt[]{\mathrm{1}-y^{\mathrm{2}}-z^{\mathrm{2}}}}& \mathrm{1}\end{array}\right)(11)

计算最优量子态\sigma的C_{\mathrm{s}\mathrm{k}}和C_{\mathrm{s}\mathrm{k}}^{\mathrm{u}}相干性度量，并与目标量子态\rho的斜信息相干性比较，结果如表2所示。由表2可见，B_{\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}}态集合制备的最优量子态\sigma的C_{\mathrm{s}\mathrm{k}}相干性与C_{\mathrm{s}\mathrm{k}}^{\mathrm{u}}相干性均不为0，说明在进行相干性任务的时候3种态距离方法都有意义，但是对比最优量子态\sigma与目标量子态\rho斜信息相干性后发现，基于保真度度量的相干性保存更多，因此在进行相干性任务时，选择保真度度量更合适。

给定量子态集合为B_{\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}}=\left\{\left|\mathrm{4}\right.〉,\left|\mathrm{5}\right.〉\right\}时，迹距离度量下的最优量子态为式（12）形式。

\sigma =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\begin{array}{cc}\mathrm{1}& -\mathrm{i}y\\ \mathrm{i}y& \mathrm{1}\end{array}\right)(12)

L_{\mathrm{1}}范数度量下的最优量子态为式（13）形式。

\sigma =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\begin{array}{cc}\mathrm{1}& -\mathrm{i}y\\ \mathrm{i}y& \mathrm{1}\end{array}\right)(13)

保真度度量下的最优量子态为式（14）形式。

\sigma =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\begin{array}{cc}\mathrm{1}& \frac{-\mathrm{i}y}{\sqrt[]{\mathrm{1}-x^{\mathrm{2}}-z^{\mathrm{2}}}}\\ \frac{\mathrm{i}y}{\sqrt[]{\mathrm{1}-x^{\mathrm{2}}-z^{\mathrm{2}}}}& \mathrm{1}\end{array}\right)(14)

计算最优量子态\sigma的斜信息相干性，并与目标量子态\rho进行比较，结果如表3所示。从表3可以看出，迹距离与L_{\mathrm{1}}范数度量下的目标量子\mathrm{态}\rho的斜信息相干性相同，说明这两种态距离度量方法可以交换使用。二者与保真度度量相比，后者的效果更好。因此，在进行相干性任务时，保真度度量方法更合适。

综上我们可以发现，当给定的量子态为任意Pauli矩阵的2个本征态时，基于保真度的最优态近似总能保持更多的斜信息相干性，在进行相干性消耗的量子信息任务中更具优势。

2.2 B_{\mathrm{2}}距离下最优量子态\sigma与目标量子态\rho的相干性比较

当可获得的量子态集合为B_{\mathrm{2}}^{\mathrm{\text{'}}}=\left\{\left|\mathrm{0}\right.〉,\left|\mathrm{1}\right.〉,\left|\mathrm{2}\right.〉,\left|\mathrm{3}\right.〉\right\}时，迹距离度量下的最优量子态有2种情况：当x+z\le \mathrm{1}时，最优量子态为式（15）形式。

\sigma =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\begin{array}{cc}\mathrm{1}+z& x\\ x& \mathrm{1}-z\end{array}\right)(15)

当x+z>\mathrm{1}时，最优量子态为式（16）形式。

\sigma =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left(\begin{array}{cc}\mathrm{3}+z-x& \mathrm{1}+x-z\\ \mathrm{1}+x-z& \mathrm{1}+x-z\end{array}\right)(16)

L_{\mathrm{1}}范数度量下的最优量子态有2种情况：当x+z\le \mathrm{1}时，最优量子态为式（17）形式。

\sigma =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\begin{array}{cc}\mathrm{1}+z& x\\ x& \mathrm{1}-z\end{array}\right)(17)

当x+z>\mathrm{1}时，最优量子态为式（18）形式。

\sigma =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\begin{array}{cc}\mathrm{1}+z& \mathrm{1}-z\\ \mathrm{1}-z& \mathrm{1}-z\end{array}\right)(18)

保真度度量下的最优量子态也有2种情况：当{\left(x+z\right)}^{\mathrm{2}}+y^{\mathrm{2}}\le \mathrm{1}时，最优量子态为式（19）形式。

\sigma =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\begin{array}{cc}\mathrm{1}+\frac{z}{\sqrt[]{\mathrm{1}-y^{\mathrm{2}}}}& \frac{x}{\sqrt[]{\mathrm{1}-y^{\mathrm{2}}}}\\ \frac{x}{\sqrt[]{\mathrm{1}-y^{\mathrm{2}}}}& \mathrm{1}-\frac{z}{\sqrt[]{\mathrm{1}-y^{\mathrm{2}}}}\end{array}\right)(19)

当{\left(x+z\right)}^{\mathrm{2}}+y>\mathrm{1}时，最优量子态为式（20）形式。

\mathrm{\sigma }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left(\begin{array}{cc}\mathrm{3}+t_{\mathrm{1}}& \mathrm{1}-t_{\mathrm{1}}\\ \mathrm{1}-t_{\mathrm{1}}& \mathrm{1}-t_{\mathrm{1}}\end{array}\right)(20)

式中，

t_{\mathrm{1}}=\frac{z-x}{\sqrt[]{\mathrm{2}-\mathrm{2}{y}^{\mathrm{2}}-{\left(x+z\right)}^{\mathrm{2}}}}(21)

计算最优量子态\sigma和目标量子态\rho的斜信息相干性，结果如表4所示。由表4可见，B_{\mathrm{2}}^{\mathrm{\text{'}}}态集合下制备的最优量子态\sigma的C_{\mathrm{s}\mathrm{k}}与C_{\mathrm{s}\mathrm{k}}^{\mathrm{u}}相干性均不为0。当解析解的范围是x+z\le \mathrm{1}且{\left(x+z\right)}^{\mathrm{2}}+y^{\mathrm{2}}\le \mathrm{1}时，C_{\mathrm{保}}>C_{\mathrm{迹}}=C_{L_{\mathrm{1}}}且C_{\mathrm{保}}^{\mathrm{u}}>C_{\mathrm{迹}}^{\mathrm{u}}=C_{L_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{u}}。迹距离与L_{\mathrm{1}}范数度量下的斜信息相干性完全相同，相比之下基于保真度的最优态近似相干性保存效果更好。当解析解的范围是x+z\le \mathrm{1}且{\left(x+z\right)}^{\mathrm{2}}+y^{\mathrm{2}}>\mathrm{1}时，有2种情况：C_{\mathrm{保}}>C_{\mathrm{迹}}=C_{L_{\mathrm{1}}}且C_{\mathrm{保}}^{\mathrm{u}}>C_{\mathrm{迹}}^{\mathrm{u}}=C_{L_{\mathrm{1}}}^u，且。这说明基于保真度的最优态近似存在浮动效果。当解析解的范围是x+z>\mathrm{1}且{\left(x+z\right)}^{\mathrm{2}}+y^{\mathrm{2}}>\mathrm{1}时，C_{\mathrm{s}\mathrm{k}}存在3种情况：C_{\mathrm{保}}>C_{\mathrm{迹}}>C_{L_{\mathrm{1}}}，C_{\mathrm{迹}}>C_{\mathrm{保}}>C_{L_{\mathrm{1}}}，C_{\mathrm{迹}}>C_{L_{\mathrm{1}}}>C_{\mathrm{保}}。基于迹范数的相干性保存效果总是优于基于L_{\mathrm{1}}范数的相干性保存效果，而基于保真度的相干性保存效果可大可小。C_{\mathrm{s}\mathrm{k}}^{\mathrm{u}}存在6种情况，即3种态距离度量的大小完全不确定，需要根据具体的给定量子态来选择合适的态距离度量方式。

当可获得量子态集合为B_{\mathrm{2}}^{\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}}=\left\{\left|\mathrm{0}\right.〉\right.，\left|\mathrm{1}\right.〉，\left|\mathrm{4}\right.〉，\left.\left|\mathrm{5}\right.〉\right\}时，迹距离度量下的最优量子态有2种情况：当z+y\le \mathrm{1}时，最优量子态为式（22）形式。

\sigma =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\begin{array}{cc}\mathrm{1}+z& -\mathrm{i}y\\ \mathrm{i}y& \mathrm{1}-z\end{array}\right)(22)

当z+y>\mathrm{1}时，最优量子态为式（23）形式。

\sigma =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left(\begin{array}{cc}\mathrm{3}+z-y& -\left(\mathrm{1}+y-z\right)\mathrm{i}\\ \left(\mathrm{1}+y-z\right)\mathrm{i}& \left(\mathrm{1}+y-z\right)\end{array}\right)(23)

L_{\mathrm{1}}范数度量下的最优量子态有2种情况：当z+y\le \mathrm{1}时，最优量子态为式（24）形式。

\mathrm{\sigma }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\begin{array}{cc}\mathrm{1}+z& -\mathrm{i}y\\ \mathrm{i}y& \mathrm{1}-z\end{array}\right)(24)

当z+y>\mathrm{1}时，最优量子态为式（25）形式。

\sigma =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\begin{array}{cc}\mathrm{1}+z& -\left(\mathrm{1}-z\right)\mathrm{i}\\ \left(\mathrm{1}-z\right)\mathrm{i}& \mathrm{1}-z\end{array}\right)(25)

保真度度量下的最优量子态也有2种情况：当{\left(y+z\right)}^{\mathrm{2}}+x^{\mathrm{2}}\le \mathrm{1}时，最优量子态为式（26）形式。

\mathrm{\sigma }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\begin{array}{cc}\mathrm{1}+\frac{z}{\sqrt[]{\mathrm{1}-x^{\mathrm{2}}}}& \frac{-\mathrm{i}y}{\sqrt[]{\mathrm{1}-x^{\mathrm{2}}}}\\ \frac{\mathrm{i}y}{\sqrt[]{\mathrm{1}-x^{\mathrm{2}}}}& \mathrm{1}-\frac{z}{\sqrt[]{\mathrm{1}-x^{\mathrm{2}}}}\end{array}\right)(26)

当{\left(y+z\right)}^{\mathrm{2}}+x^{\mathrm{2}}>\mathrm{1}时，最优量子态为式（27）形式。

\mathrm{\sigma }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left(\begin{array}{cc}\mathrm{3}+t_{\mathrm{2}}& -\left(\mathrm{1}-t_{\mathrm{2}}\right)\mathrm{i}\\ \left(\mathrm{1}-t_{\mathrm{2}}\right)\mathrm{i}& \left(\mathrm{1}-t_{\mathrm{2}}\right)\end{array}\right)(27)

式中，

t_{\mathrm{2}}=\frac{z-y}{\sqrt[]{\mathrm{2}-\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}}-{\left(y+z\right)}^{\mathrm{2}}}}(28)

计算最优量子态\sigma和目标量子态\rho的斜信息相干性，结果如表5所示。由表5可知，当解析解的范围是y+z\le \mathrm{1}且{\left(y+z\right)}^{\mathrm{2}}+x^{\mathrm{2}}\le \mathrm{1}时，C_{\mathrm{保}}>C_{\mathrm{迹}}=C_{L_{\mathrm{1}}}且C_{\mathrm{保}}^{\mathrm{u}}>C_{\mathrm{迹}}^{\mathrm{u}}=C_{L_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{u}}。当解析解的范围是y+z\le \mathrm{1}且{\left(y+z\right)}^{\mathrm{2}}+x^{\mathrm{2}}>\mathrm{1}时，存在2种情况：C_{\mathrm{保}}>C_{\mathrm{迹}}=C_{L_{\mathrm{1}}}且C_{\mathrm{保}}^{\mathrm{u}}>C_{\mathrm{迹}}^{\mathrm{u}}=C_{L_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{u}}，且。当解析解的范围是y+z>\mathrm{1}且{\left(y+z\right)}^{\mathrm{2}}+x^{\mathrm{2}}>\mathrm{1}时，C_{\mathrm{s}\mathrm{k}}存在3种情况：C_{\mathrm{保}}>C_{\mathrm{迹}}>C_{L_{\mathrm{1}}}，C_{\mathrm{迹}}>C_{\mathrm{保}}>C_{L_{\mathrm{1}}}和C_{\mathrm{迹}}>C_{L_{\mathrm{1}}}>C_{\mathrm{保}}。C_{\mathrm{s}\mathrm{k}}^{\mathrm{u}}则存在可能的全部6种情况。显然，B_{\mathrm{2}}^{\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}}态集合的相干性情况和B_{\mathrm{2}}^{\mathrm{\text{'}}}态集合的相干性情况一致。

当给定的量子态集合为B_{\mathrm{2}}^{\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}}=\left\{\left|\mathrm{2}\right.〉\right.，\left|\mathrm{3}\right.〉，\left|\mathrm{4}\right.〉，\left.\left|\mathrm{5}\right.〉\right\}，迹距离度量下最优量子态有2种情况：当x+y\le \mathrm{1}时，最优量子态为式（29）形式。

\sigma =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\begin{array}{cc}\mathrm{1}& x-\mathrm{i}y\\ x+\mathrm{i}y& \mathrm{1}\end{array}\right)（29）

当x+y>\mathrm{1}时，最优量子态为式（30）形式。

\sigma =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left(\begin{array}{cc}\mathrm{2}& \left(\mathrm{1}+x-y\right)-\left(\mathrm{1}+y-x\right)\mathrm{i}\\ \left(\mathrm{1}+x-y\right)+\left(\mathrm{1}+y-x\right)\mathrm{i}& \mathrm{2}\end{array}\right) （30）

L_{\mathrm{1}}范数度量下的最优量子态有2种情况:当x+y\le \mathrm{1}时，最优量子态为式（31）形式。

\sigma =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\begin{array}{cc}\mathrm{1}& x-\mathrm{i}y\\ x+\mathrm{i}y& \mathrm{1}\end{array}\right)（31）

当x+y>\mathrm{1}时，最优量子态为式（32）形式。

\mathrm{\sigma }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left(\begin{array}{cc}\mathrm{2}& \left(\mathrm{1}+x-y\right)-\left(\mathrm{1}+y-x\right)\mathrm{i}\\ \left(\mathrm{1}+x-y\right)+\left(\mathrm{1}+y-x\right)\mathrm{i}& \mathrm{2}\end{array}\right) （32）

保真度度量下的最优量子态也有2种情况:当{\left(x+y\right)}^{\mathrm{2}}+z^{\mathrm{2}}\le \mathrm{1}时，最优量子态为式（33）形式。

\mathrm{\sigma }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\begin{array}{cc}\mathrm{1}& \frac{x-\mathrm{i}y}{\sqrt[]{\mathrm{1}-z^{\mathrm{2}}}}\\ \frac{x+\mathrm{i}y}{\sqrt[]{\mathrm{1}-z^{\mathrm{2}}}}& \mathrm{1}\end{array}\right)（33）

当{\left(x+y\right)}^{\mathrm{2}}+z^{\mathrm{2}}>\mathrm{1}时，最优量子态为式（34）形式。

\mathrm{\sigma }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left(\begin{array}{cc}\mathrm{2}& \mathrm{1}+t_{\mathrm{3}}-\mathrm{i}\left(\mathrm{1}-t_{\mathrm{3}}\right)\\ \mathrm{1}+t_{\mathrm{3}}+\mathrm{i}\left(\mathrm{1}-t_{\mathrm{3}}\right)& \mathrm{2}\end{array}\right)（34）

其中,

t_{\mathrm{3}}=\frac{x-y}{\sqrt[]{\mathrm{2}-\mathrm{2}{z}^{\mathrm{2}}-\left(x+y\right)\mathrm{2}}}（35）

计算最优量子态\sigma和目标量子态\rho的斜信息相干性，结果如表6所示。从表6可以看出，C_{\mathrm{s}\mathrm{k}}相干性与C_{\mathrm{s}\mathrm{k}}^{\mathrm{u}}相干性只差一个常数项因子，因此具有相同的大小对比。可以发现无论是何种解析解成立的前提范围，基于迹距离与L_{\mathrm{1}}范数度量下的斜信息相干性完全相同，且都小于基于保真度度量的斜信息相干性，说明在B_{\mathrm{2}}^{\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}}态集合下保真度距离度量在相干性保存方面具有一定的优越性。

综上我们可以发现，当给定的量子态为任意2个Pauli矩阵的4个本征态时，不同的给定量子态选择以及目标量子态的变化，都会导致最优态的相干性受到影响。这源自给定量子态本质上是从3个布洛赫方向x、y、z对目标量子态进行最优近似，不同的给定量子态意味着不同的近似方向，从而导致具有差异的近似效果，这也进一步说明了我们解析解的必要性。

3 结论

基于斜信息相干性度量C_{\mathrm{s}\mathrm{k}}与C_{\mathrm{s}\mathrm{k}}^{\mathrm{u}}，我们对比了迹距离、L_{\mathrm{1}}范数和保真度3种态距离在最优量子态凸近似过程中保存相干性的能力。在考虑给定量子态由Pauli矩阵的本征态组成时，我们发现虽然不同的量子态集合对于3种态距离保存相干性效果略有不同，但从整体来看，保真度的相干性保存效果优于迹距离和L_{\mathrm{1}}范数。这可能是因为保真度和斜信息相干性度量在处理量子信息时，均对量子态的密度矩阵进行了开方处理。因此在进行量子态最优近似的计算过程中，考虑其适用的量子信息任务非常必要。根据不同的任务消耗特性，从而选择合适的量子态距离度量以及恰当的给定量子态集合。对于其他类型的量子特性任务，如量子纠缠、量子非局域性、量子导引等，如何选择合适的态距离度量，将是我们更深入研究的方向。

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基金资助

国家自然科学基金(12205176)

山西省基础研究计划（自由探索类）青年科学研究项目(202203021222225)