融合数学物理知识的神经网络算子方法

摘要

本文提出了一种融合能量方法、最大值原理和格林函数思想的神经网络算子架构改进方案，以解决传统深度算子网络求解偏微分方程时物理一致性不足和预测精度有限的问题。该方法在经典的神经网络算子框架中引入新的物理约束：利用能量方法确保解的能量演化符合物理规律，应用最大值原理避免数值解出现不符物理规律的极值，结合格林函数相关思想引导学习底层算子的响应特性。其中，能量方法与最大值原理以损失函数的形式加入传统深度算子网络作为改进，格林函数则将传统深度算子网络中的分支网络替换为傅里叶层。本文以多种典型方程为测试基准，包括一维热传导方程、二维热传导方程、一维Allen-Cahn方程和一维Burgers方程，系统评估了以上改进策略对解的精度和物理可信度的提升。实验结果表明，融合数学物理知识的神经网络算子在均方误差和L2相对误差等指标上相比原始模型有所降低。以L2相对误差为例，在一维热传导方程上最大可降低30.5%，在一维Burgers方程上可降低12.79%，在一维Allen-Cahn方程上可降低6.28%，在二维热传导方程上最大可降低57.47%。对于均方误差，在一维热传导方程上最大可降低47.06%，在一维Burgers方程上可降低20.58%，在一维Allen-Cahn方程上可降低15.78%，在二维热传导方程上最大可降低81.95%。其中，格林函数方法对精度提升最显著，能量方法在能量守恒类方程中表现突出，最大值原理则有效抑制非物理极值。同时所得解严格遵循能量守恒或能量耗散规律以及最大值边界，物理一致性明显改善。

关键词

深度算子网络 / 物理约束 / 能量方法 / 最大值原理 / 格林函数

基金资助

国家自然科学基金青年科学基金项目(62306199)