基于不同纠缠态光场的四组分量子秘密共享

Quantum secret sharing with four components based on different entangled state optical fields

摘要

量子秘密共享（Quantum Secret Sharing，QSS）是量子密码学的重要分支之一，用于多个用户之间的秘密共享，在量子计算和量子通信等领域有着很大的应用潜力。随着量子信息的迅速发展，人们对QSS的用户数量及安全性有了更高的要求。本文分析了连续变量四组分束缚纠缠（Bound Entanglement， BE）态、Greenberger-Horn-Zeilinger（GHZ）态与Cluster态这3种纠缠态光场的纠缠特性，并以它们作为量子资源来构建四组分的QSS方案；通过理论计算，明确各方案中QSS的安全性与不同物理参量的依赖关系。此外，从多方面对比分析了不同方案的应用优势，为后续不同应用场景中QSS方案的选取提供参考。

Abstract

Quantum secret sharing （QSS） is one of the important branches of quantum cryptography， which is used to share a secret among multiple participants， and has great potential for applications in fields such as quantum computing and quantum communication. With the rapid development of quantum information， people have higher requirements for the number of users and security of quantum secret sharing. This article analyzes the entanglement characteristics of three entangled states， namely the continuous variable four component Bound Entanglement （BE） state， GHZ （Greenberger-Horn-Zeilinger） state， and Cluster state， and uses them as quantum resources to construct a four component quantum secret sharing scheme. The dependence of quantum secret sharing security on different physical parameters is theoretically calculated for each scheme. The results show that the secret key rate of different entangled state optical fields has a consistent relationship with the signal strength when four users cooperate. While the secret key rate in the BE entangled-state light field corresponding to the QSS scheme is balanced in orthogonal amplitude and orthogonal bit-phase components with a symmetric relationship when three users cooperate， the GHZ entangled-state and the Cluseter entangled-state light field corresponding to the QSS scheme show a larger secret key rate in a single orthogonal component.

Graphical abstract

关键词

量子秘密共享 / 四组分纠缠态光场 / 安全性 / 对比分析

Key words

quantum secret sharing / four-component entangled optical field / security / comparative analysis

近年来，随着计算机技术的快速发展以及数字化、网络化程度的提高，加密通信变得越来越重要和复杂，信息安全性随之成为亟待解决的关键问题。秘密共享作为信息安全与数据保密衍生的保密技术，通过将秘密进行分割存储，可有效防止秘密过度集中，降低泄密的风险。该技术由Shamir在1979年首次提出^［1］。秘密共享方案的出现，促进了量子通信^［2］领域的发展，加速了其与其他学科领域的融合。

随着量子信息技术的出现，量子秘密共享（Quantum Secret Sharing，QSS）逐渐进入人们的视野。1992年，Bennett等提出了BBM92协议^［3］，为多方信息交互提供了可行性。该协议将量子纠缠态引入密钥分发领域，与传统密码学不同，QSS是一种利用量子力学原理（特别是量子纠缠和量子叠加）实现多方安全共享秘密信息的协议。相较于传统信息的秘密共享方案，QSS借助量子力学特性，在安全性、抗攻击性及多用户场景下表现更优；在量子计算快速发展，传统信息安全遭受威胁的背景下，QSS已成为提升信息安全性的重要方案之一。众多研究者相继提出了多种基于纠缠态与混合态的QSS协议，并针对各种攻击模型开展了深入分析，提出量子态可认证性概念，以此保障共享信息的真实性，增强协议的安全性^［4-9］。1999年，Hillery等提出首个QSS方案，利用Greenberger-Horn-Zeilinger（GHZ）粒子实现了（2，2）阈值和（3，3）阈值的QSS^［10］。此后，一系列用于共享经典信息和量子态的QSS方案被陆续提出，其中多数基于分离变量体系。如，2014年，Bell等通过全光装置实现了graph态的QSS方案^［11］。2016年，Lu等采用六光子演示了一种量子阈值方案，可有效重建共享信息，保真度达93%^［12］。2021年，Liu等通过实验实现了光量子信息的掩蔽，成功将量子信息隐藏于非局域的量子纠缠态中^［7］。该成果不仅验证了量子信息掩蔽作为新型量子信息处理协议的可行性，更为保密量子通信的理论研究和实际应用提供了重要支撑。连续变量的物理特性（一般为振幅或相位分量）可通过即时光学测量技术直接获取，因此其在实时性与操作效率方面具备显著优势，在量子信息领域展现出很大的应用前景。2004年，Lance等首次将连续变量与QSS方案相结合，以连续变量三组分GHZ纠缠态光场为量子资源，构建了（2，3）阈值QSS方案^［13］。此后，连续变量领域QSS方案的研究取得诸多进展。2018年，基于四组分束缚纠缠态（Bound Entanglement state，BE）的QSS方案成功通过实验验证^［14］；2019年，Grice等提出的基于高斯调制相干态的连续变量（n，n）阈值方案，在窃听攻击下仍保持安全性^［15］。为推动量子信息的实用化进程并满足复杂信息传输场景的需求，需制备更多组分、更多种类的纠缠态光场，以此作为量子资源来构建多用户的连续变量QSS方案。通过研究不同种类纠缠态光场的优劣势，可在特定应用场景中筛选出最优的纠缠态体系，用于构建高性能QSS方案。

本文以Einstein-Podolsky-Rosen（EPR）纠缠态光场为基础，通过不同耦合形式制备具有不同纠缠特性的四组分纠缠态光场，并将其作为量子资源构建（k，n）阈值QSS方案，以防止信息被不诚信用户泄露。理论分析各方案中用户数量、信号强度及压缩因子等因素对QSS效果的影响，并对比分析不同方案在不同场景的应用优势，为有限条件下最优QSS方案的选择提供理论参考。

1 四组分QSS方案的构建

秘密共享是信息安全的重要组成部分，其目的在于将秘密信息拆分后发送给其他用户，使用户可通过特定组合重建秘密信息^［16］。纠缠态作为量子信息技术的重要资源，在量子隐形传态^［17］、量子网络计算^［18］及QSS等量子通信协议中有着广泛应用。QSS正是在传统秘密共享的基础上引入量子资源，将秘密信息（经典信息或量子态）分发给用户，最终通过多用户合作实现秘密信息的重建。

QSS的用户在空间上是分离的，与其他系统相比，光学系统具备优异的可移动性，因此成为连续变量QSS较合适的实现方式^［19］。图1为四组分QSS的原理图，其实现过程如下：首先，完成秘密信息的加载，将秘密信息a_{\mathrm{s}}及其共轭a_{\mathrm{s}}^{\mathrm{*}}通过振幅与相位调制器加载到纠缠态光场的制备光路中［a_{\mathrm{s}}=(x_{\mathrm{s}}+\mathrm{i}{p}_{\mathrm{s}})/\mathrm{2}， a_{\mathrm{s}}^{\mathrm{*}}=(x_{\mathrm{s}}-\mathrm{i}{p}_{\mathrm{s}})/\mathrm{2}，其中， x_{\mathrm{s}}和p_{\mathrm{s}}分别为秘密信息的振幅分量与相位分量］，令用于QSS的纠缠态光场携带秘密信息；然后，将携带秘密信息的纠缠态的不同子模{\widehat{b}}_j^{\text{'}} （j=1、2、3、4）分别发送给A、B、C、D四用户；接着，测量不同用户合作时的关联噪声；最后，各用户利用测量结果合作恢复秘密信息。

随着量子通信技术的逐步完善，人们对通信系统的要求不断提高。安全密钥速率作为重要指标之一，对系统的安全性与信息恢复程度有着很大影响^［20］。

QSS安全密钥速率K可由最大秘密共享速率表示^［21］，如式（1）~式（3）所示。

K=I(\mathrm{D}:\mathrm{A})-I(\mathrm{D}:\mathrm{E})(1)

I(\mathrm{D}:\mathrm{A})=H(\mathrm{A})-H(\mathrm{A}\left|\mathrm{D})\right.(2)

I(\mathrm{D}:\mathrm{E})=S({\widehat{P}}_{\mathrm{E}})-\int P_{\mathrm{D}}(s)S_{\mathrm{D}}\left({\widehat{P}}_{\mathrm{E}|\mathrm{D}}(s)\right)\mathrm{d}s(3)

式中， I（D：A）表示分发者与合作者的经典交互信息量， I（D：E）表示窃听者所获得的信息的上界，H（A）为合作者测量结果的香农（Shanaon）熵，H（A|D）为在已知秘密信息前提下的香农熵，S({\widehat{P}}_{\mathrm{E}})表示冯诺依曼熵（von Neumann），{\widehat{P}}_{\mathrm{E}|\mathrm{D}}表示分发信息时窃听者获得的量子态，{\widehat{P}}_{\mathrm{E}}为窃听者获得的量子态。高斯态的冯诺依曼熵，可通过其协方差矩阵V_{\mathrm{G}}来计算，将矩阵元定义为V_{ij}=〈\left\{\mathrm{\Delta }{x}_i,\mathrm{\Delta }{x}_j\right\}〉/\mathrm{2}，冯诺依曼熵可写为式（4）形式。

S(\widehat{P})={\displaystyle \sum _i^r}g(v_k)(4)

式中，v_k是矩阵\mathrm{i}\mathrm{\Omega }{V}_{\mathrm{G}}的辛本征值， \mathrm{\Omega }=\stackrel{N}{\underset{K=\mathrm{1}}{\oplus }}\omega， \omega =\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0}& \mathrm{1}\\ -\mathrm{1}& \mathrm{0}\end{array}\right)， g(v)=（v+1/2）log₂（v+1/2）－（v－1/2）·log₂（v－1/2）。

在无窃听的四用户合作场景中，安全密钥速率应等于四用户间的经典信息交互量；而在三用户合作且存在1个窃听者场景下，需考虑窃听者获取的信息量。如式（1）所示，此时的安全密钥速率由合作者与分发者之间的经典交互信息量，减去窃听者获取的经典交互信息量得到。

QSS的核心目的是利用量子物理特性，实现更高效、更安全的多方秘密共享。针对不同纠缠态的QSS方案展开研究，不仅能为不同应用场景筛选适配的纠缠态构建QSS方案，还能为有限条件下最佳QSS方案的选取提供理论参考。

2 多种纠缠态光场在QSS中的应用

本节主要以四组分BE态、GHZ态和Cluster态作为量子资源构建QSS理论方案。

2.1 基于四组分BE态光场的QSS方案

BE态光场是指处于束缚态且具有量子纠缠特性的光场，在量子通信与信息处理中发挥着重要作用^［22］。基于该光场，可实现远距离量子通信和量子态的传输与保护。

四组分BE态光场的制备过程如图2所示，在50∶50分束器（BS）中，将一对EPR纠缠态^［23］光场与两束高斯分布热光场分别耦合，即可得到四组分纠缠态光场。纠缠态光场的4个子模{\widehat{b}}_{\mathrm{1}}\mathrm{、}{\widehat{b}}_{\mathrm{2}}\mathrm{、}{\widehat{b}}_{\mathrm{3}}\mathrm{、}{\widehat{b}}_{\mathrm{4}}如式（5）所示。

\left\{\begin{array}{l}{\widehat{b}}_{\mathrm{1}}=({\widehat{a}}_{EPR\mathrm{1}}+{\widehat{v}}_{\mathrm{1}}^T)/\sqrt[]{\mathrm{2}},\\ {\widehat{b}}_{\mathrm{2}}=({\widehat{a}}_{EPR\mathrm{1}}-{\widehat{v}}_{\mathrm{1}}^T)/\sqrt[]{\mathrm{2}},\\ {\widehat{b}}_{\mathrm{3}}=({\widehat{a}}_{EPR\mathrm{2}}+{\widehat{v}}_{\mathrm{2}}^T)/\sqrt[]{\mathrm{2}},\\ {\widehat{b}}_{\mathrm{4}}=({\widehat{a}}_{EPR\mathrm{2}}-{\widehat{v}}_{\mathrm{2}}^T)/\sqrt[]{\mathrm{2}}\end{array}\right.(5)

式中，{\widehat{a}}_{\mathrm{E}\mathrm{P}\mathrm{R}j} （j=1、2）为工作在参量反向放大状态的输出光场，而{\widehat{v}}_j^{\mathrm{T}} （j=1、2）为单模热态。由此可得到输入的相干态光场的振幅、相位分量与EPR纠缠态光场之间的关系，如式（6）所示。

\left\{\begin{array}{l}{\widehat{x}}_{a\mathrm{E}\mathrm{P}\mathrm{R}\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left.\left[{\widehat{x}}_{a\mathrm{E}\mathrm{P}\mathrm{R}\mathrm{1}}^{\mathrm{0}}({\mathrm{e}}^{r+r\mathrm{\text{'}}}+{\mathrm{e}}^{-r})-{\widehat{x}}_{a\mathrm{E}\mathrm{P}\mathrm{R}\mathrm{2}}^{\mathrm{0}}({\mathrm{e}}^{r+r\mathrm{\text{'}}}-{\mathrm{e}}^{-r})\right.\right],{\widehat{x}}_{a\mathrm{E}\mathrm{P}\mathrm{R}\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left[\left.{\widehat{x}}_{a\mathrm{E}\mathrm{P}\mathrm{R}\mathrm{2}}^{\mathrm{0}}({\mathrm{e}}^{r+r\mathrm{\text{'}}}+{\mathrm{e}}^{-r})-{\widehat{x}}_{a\mathrm{E}\mathrm{P}\mathrm{R}\mathrm{1}}^{\mathrm{0}}({\mathrm{e}}^{r+r\mathrm{\text{'}}}-{\mathrm{e}}^{-r})\right]\right.\\ {\widehat{p}}_{a\mathrm{E}\mathrm{P}\mathrm{R}\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left.\left[{\widehat{p}}_{a\mathrm{E}\mathrm{P}\mathrm{R}\mathrm{1}}^{\mathrm{0}}({\mathrm{e}}^{r+r\mathrm{\text{'}}}+{\mathrm{e}}^{-r})-{\widehat{p}}_{a\mathrm{E}\mathrm{P}\mathrm{R}\mathrm{2}}^{\mathrm{0}}({\mathrm{e}}^{r+r\mathrm{\text{'}}}-{\mathrm{e}}^{-r})\right.\right],{\widehat{p}}_{a\mathrm{E}\mathrm{P}\mathrm{R}\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left.\left[{\widehat{p}}_{a\mathrm{E}\mathrm{P}\mathrm{R}\mathrm{2}}^{\mathrm{0}}({\mathrm{e}}^{r+r\mathrm{\text{'}}}+{\mathrm{e}}^{-r})-{\widehat{p}}_{a\mathrm{E}\mathrm{P}\mathrm{R}\mathrm{1}}^{\mathrm{0}}({\mathrm{e}}^{r+r\mathrm{\text{'}}}-{\mathrm{e}}^{-r})\right.\right]\end{array}\right. (6)

式中，r为压缩因子，r\mathrm{\text{'}}为反压缩因子，{\widehat{x}}_{a\mathrm{E}\mathrm{P}\mathrm{R}j}与{\widehat{p}}_{a\mathrm{E}\mathrm{P}\mathrm{R}j} （j=1、2）分别为EPR纠缠对所对应的信号光场与闲置光场的振幅与相位分量，{\widehat{x}}_{a\mathrm{E}\mathrm{P}\mathrm{R}j}^{\mathrm{0}}与{\widehat{p}}_{a\mathrm{E}\mathrm{P}\mathrm{R}j}^{\mathrm{0}}（j=1、2）分别为相干态光场的振幅与相位分量。

为了检测纠缠态光场的4个子模{\widehat{b}}_{\mathrm{1}}\mathrm{、}{\widehat{b}}_{\mathrm{2}}\mathrm{、}{\widehat{b}}_{\mathrm{3}}\mathrm{、}{\widehat{b}}_{\mathrm{4}}是否为BE态，需完成两项关键证明：其一，无法通过局域操作与经典通信（Local Operations and Classical Communication， LOCC）方法从任意2个子模中提纯出纠缠态光场^［24］；其二，满足van Loock等提出的多组分不可分判据^［25］。将式（5）和式（6）相结合，求得的热光场的噪声起伏必须满足式（7）。

〈{\delta }^{\mathrm{2}}{\widehat{x}}_{v^{\mathrm{T}}}〉=〈{\delta }^{\mathrm{2}}{\widehat{p}}_{v^{\mathrm{T}}}〉\ge \mathrm{2}-\mathrm{3}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}r}+\mathrm{2}\sqrt[]{\mathrm{1}-\mathrm{2}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}r}+\mathrm{2}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{4}r}}(7)

式中，〈{\delta }^{\mathrm{2}}(y)〉 （y为变量）表示其关联噪声，〈{\delta }^{\mathrm{2}}{\widehat{x}}_{v^{\mathrm{T}}}〉与〈{\delta }^{\mathrm{2}}{\widehat{p}}_{v^{\mathrm{T}}}〉分别为热光场的振幅与相位分量上的噪声起伏。

接下来计算不同子模之间的关联噪声。由式（5）~式（7）计算得到不同子模间的关联噪声与压缩因子r的曲线关系，如图3所示。根据文献［26］，本文选取r\mathrm{\text{'}}=\mathrm{2}r/3，单模热光场噪声取值如式（8）所示。

〈{\delta }^{\mathrm{2}}{\widehat{x}}_{v_{\mathrm{1}(\mathrm{2})}^{\mathrm{T}}}〉=〈{\delta }^{\mathrm{2}}{\widehat{p}}_{v_{\mathrm{1}(\mathrm{2})}^{\mathrm{T}}}〉=\mathrm{1.08}(\mathrm{2}-\mathrm{3}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}r}+\mathrm{2}\sqrt[]{\mathrm{1}-\mathrm{2}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}r}+\mathrm{2}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{4}r}})(8)

根据BE态的检测依据，无法通过LOCC方法从任意2个子模间提纯出纠缠态光场，而在3个子模与4个子模之间有纠缠关联，所以其可用于构建QSS方案。

接下来构建基于四组分BE态光场的QSS方案，如图4所示：首先，激光器输出2个不同波段光场，通过DBS进行分束；然后，经过模式清洁器MC1与MC2后进入NOPA谐振腔，得到一对EPR纠缠态光场；接着，将秘密信息通过振幅和相位调制器加载到2个EPR纠缠态光场的子模上，得到携带秘密信息的四组分BE纠缠态光场；最后，将携带秘密信息的BE纠缠态光场的子模分发给四用户，对不同用户合作的关联噪声进行测量以恢复秘密信息。

接下来对秘密共享过程进行理论计算。将秘密信息加载后，四用户接收到的子模可表示为式（9）形式。

\left\{\begin{array}{l}{\widehat{b}}_{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{\sqrt[]{\mathrm{2}}}({\widehat{a}}_{\mathrm{E}\mathrm{P}\mathrm{R}\mathrm{1}}+{\widehat{v}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}+a_{\mathrm{s}}),\\ {\widehat{b}}_{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{\sqrt[]{\mathrm{2}}}({\widehat{a}}_{\mathrm{E}\mathrm{P}\mathrm{R}\mathrm{1}}-{\widehat{v}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}+a_{\mathrm{s}})\\ {\widehat{b}}_{\mathrm{3}}=\frac{\mathrm{1}}{\sqrt[]{\mathrm{2}}}({\widehat{a}}_{\mathrm{E}\mathrm{P}\mathrm{R}\mathrm{2}}+{\widehat{v}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}+a_{\mathrm{s}}^{\mathrm{*}}),\\ {\widehat{b}}_{\mathrm{4}}=\frac{\mathrm{1}}{\sqrt[]{\mathrm{2}}}({\widehat{a}}_{\mathrm{E}\mathrm{P}\mathrm{R}\mathrm{2}}-{\widehat{v}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}+a_{\mathrm{s}}^{\mathrm{*}})\end{array}\right.(9)

结合式（6）和式（9）计算不同用户间的关联噪声，分别对其振幅与相位分量的关联噪声求解，通过计算得到三用户合作的关联噪声，如式（10）和式（11）所示。

\left\{\begin{array}{l}〈{\delta }^{\mathrm{2}}(g_{\mathrm{1}}^x{\widehat{x}}_{b\mathrm{1}}+g_{\mathrm{2}}^x{\widehat{x}}_{b\mathrm{2}}+{\widehat{x}}_{b\mathrm{3}(\mathrm{4})})〉=\frac{(g_{\mathrm{1}}^x+g_{\mathrm{2}}^x{+\mathrm{1})}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}r}+\frac{(g_{\mathrm{1}}^x+g_{\mathrm{2}}^x{-\mathrm{1})}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}(r+r\mathrm{\text{'}})}+\\ \frac{(g_{\mathrm{1}}^x+g_{\mathrm{2}}^x{+\mathrm{1})}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}{V}_{x\mathrm{s}}+\frac{(g_{\mathrm{1}}^x-g_{\mathrm{2}}^x{)}^{\mathrm{2}}+\mathrm{1}}{\mathrm{4}}〈\delta ({\widehat{x}}_{v^{\mathrm{T}}})〉,\\ 〈{\delta }^{\mathrm{2}}(g_{\mathrm{1}(\mathrm{2})}^x{\widehat{x}}_{b\mathrm{1}}+g_{\mathrm{3}}^x{\widehat{x}}_{b\mathrm{3}}+{\widehat{x}}_{b\mathrm{4}})〉=\frac{(g_{\mathrm{3}}^x+g_{\mathrm{4}}^x{+\mathrm{1})}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}r}+\frac{(g_{\mathrm{3}}^x+g_{\mathrm{4}}^x{-\mathrm{1})}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}(r+r\mathrm{\text{'}})}+\\ \frac{(g_{\mathrm{3}}^x+g_{\mathrm{4}}^x{+\mathrm{1})}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}{V}_{x\mathrm{s}}+\frac{(g_{\mathrm{3}}^x-g_{\mathrm{4}}^x{)}^{\mathrm{2}}+\mathrm{1}}{\mathrm{4}}〈\delta ({\widehat{x}}_{v^{\mathrm{T}}})〉\end{array}\right.(10)

\left\{\begin{array}{l}〈{\delta }^{\mathrm{2}}(g_{\mathrm{1}}^P{\widehat{p}}_{b\mathrm{1}}+g_{\mathrm{2}}^P{\widehat{p}}_{b\mathrm{2}}-{\widehat{p}}_{b\mathrm{3}(\mathrm{4})})〉=\frac{(g_{\mathrm{1}}^p+g_{\mathrm{2}}^p{+\mathrm{1})}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}r}+\frac{(g_{\mathrm{1}}^p+g_{\mathrm{2}}^p{-\mathrm{1})}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}(r+r\mathrm{\text{'}})}+\\ \frac{(g_{\mathrm{1}}^p+g_{\mathrm{2}}^p{+\mathrm{1})}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}{V}_{p\mathrm{s}}+\frac{(g_{\mathrm{1}}^p-g_{\mathrm{2}}^p{)}^{\mathrm{2}}+\mathrm{1}}{\mathrm{4}}〈\delta ({\widehat{p}}_{v^{\mathrm{T}}})〉,\\ 〈{\delta }^{\mathrm{2}}(g_{\mathrm{1}(\mathrm{2})}^P{\widehat{p}}_{b\mathrm{1}}-g_{\mathrm{2}}^P{\widehat{p}}_{b\mathrm{3}}-{\widehat{p}}_{b\mathrm{4}})〉=\frac{(g_{\mathrm{3}}^p+g_{\mathrm{4}}^p{+\mathrm{1})}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}r}+\frac{(g_{\mathrm{3}}^p+g_{\mathrm{4}}^p{-\mathrm{1})}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}(r+r\mathrm{\text{'}})}+\\ \frac{(g_{\mathrm{3}}^p+g_{\mathrm{4}}^p{+\mathrm{1})}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}{V}_{p\mathrm{s}}+\frac{(g_{\mathrm{3}}^p-g_{\mathrm{4}}^p{)}^{\mathrm{2}}+\mathrm{1}}{\mathrm{4}}〈\delta ({\widehat{p}}_{v^{\mathrm{T}}})〉\end{array}\right.(11)

结合式（10）与式（11），得到最佳增益因子如式（12）所示。

g_{\mathrm{1}}^x=g_{\mathrm{2}}^x=g_{\mathrm{3}}^x=g_{\mathrm{4}}^x=g_{\mathrm{1}}^p=g_{\mathrm{2}}^p=g_{\mathrm{3}}^p=g_{\mathrm{4}}^p=\frac{({\mathrm{e}}^{\mathrm{2}r+\mathrm{2}r\mathrm{\text{'}}}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}r})}{\mathrm{2}({\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}r}+{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}r+\mathrm{2}r\mathrm{\text{'}}})}(12)

式中，g_j^x与g_j^p(j=\mathrm{1,2},\mathrm{3,4})表示令关联噪声最小的最佳增益因子。

四用户场景下的关联噪声可表示为式（13）形式。

\left\{\begin{array}{l}〈{\delta }^{\mathrm{2}}({\widehat{x}}_{b\mathrm{1}}+{\widehat{x}}_{b\mathrm{2}}+{\widehat{x}}_{b\mathrm{3}}+{\widehat{x}}_{b\mathrm{4}})〉=\mathrm{4}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}r}+\mathrm{8}{V}_{x\mathrm{s}}\\ 〈{\delta }^{\mathrm{2}}({\widehat{p}}_{b\mathrm{1}}+{\widehat{p}}_{b\mathrm{2}}+{\widehat{p}}_{b\mathrm{3}}+{\widehat{p}}_{b\mathrm{4}})〉=\mathrm{4}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}r}+\mathrm{8}{V}_{p\mathrm{s}}\end{array}\right.(13)

结合式（10）~式（13），理论计算密钥速率K。若K>0，可恢复秘密信息；反之，则不能。

2.2 基于四组分GHZ态和Cluster态光场的QSS方案

GHZ态是多个量子比特的集体纠缠态，在量子信息学、量子通信和量子计算中有着重要的应用价值^［27］。其典型特征为多个量子比特间存在强关联性。GHZ纠缠态是由3个或更多粒子构成的高度纠缠态，其特征表现为粒子间的强烈纠缠和超距关联，即对任一粒子实施测量，均会立即影响其他粒子的状态。Cluster态的优势在于，可通过LOCC实现量子逻辑运算。这一特性在量子计算中尤为重要^［28-29］。Cluster态的关键特性是其独特的图形结构：每个量子比特与其他几个量子比特通过特定的相互作用相连，形成类似晶格的结构。

四组分GHZ纠缠态光场的制备流程如图5所示。其中，利用一对NOPA腔生成两对正交压缩态光场，其正交振幅压缩光为{\widehat{a}}_{\mathrm{1}}、{\widehat{a}}_{\mathrm{4}}，正交相位压缩光为{\widehat{a}}_{\mathrm{2}}、{\widehat{a}}_{\mathrm{3}}，正交振幅和相位压缩光与相干态光场间的关系如式（14）所示。

\left\{\begin{array}{l}{\widehat{x}}_{a\mathrm{1}}={\mathrm{e}}^r{\widehat{x}}_{a\mathrm{1}}^{\mathrm{0}},{\widehat{p}}_{a\mathrm{1}}={\mathrm{e}}^{-r}{\widehat{p}}_{a\mathrm{1}}^{\mathrm{0}},\\ {\widehat{x}}_{a\mathrm{2}}={\mathrm{e}}^{-r}{\widehat{x}}_{a\mathrm{2}}^{\mathrm{0}},{\widehat{p}}_{a\mathrm{2}}={\mathrm{e}}^r{\widehat{p}}_{a\mathrm{2}}^{\mathrm{0}},\\ {\widehat{x}}_{a\mathrm{3}}={\mathrm{e}}^{-r}{\widehat{x}}_{a\mathrm{3}}^{\mathrm{0}},{\widehat{p}}_{a\mathrm{3}}={\mathrm{e}}^r{\widehat{p}}_{a\mathrm{3}}^{\mathrm{0}},\\ {\widehat{x}}_{a\mathrm{4}}={\mathrm{e}}^r{\widehat{x}}_{a\mathrm{4}}^{\mathrm{0}},{\widehat{p}}_{a\mathrm{4}}={\mathrm{e}}^{-r}{\widehat{p}}_{a\mathrm{4}}^{\mathrm{0}}\end{array}\right.(14)

式中， {\widehat{x}}_{aj}^{\mathrm{0}}与{\widehat{p}}_{aj}^{\mathrm{0}}(j=\mathrm{1}\mathrm{、}\mathrm{2}\mathrm{、}\mathrm{3}\mathrm{、}\mathrm{4})为注入的相干态光场，r为压缩因子。

图5中，两束正交振幅压缩光{\widehat{a}}_{\mathrm{2}}与{\widehat{a}}_{\mathrm{3}}以\mathrm{\pi }/\mathrm{2}的相位差通过BS1耦合，得到光场{\widehat{a}}_{\mathrm{5}}和{\widehat{a}}_{\mathrm{6}}； {\widehat{a}}_{\mathrm{5}}与{\widehat{a}}_{\mathrm{1}}以0相位差在BS2上耦合，{\widehat{a}}_{\mathrm{6}}和{\widehat{a}}_{\mathrm{4}}以0相位差在BS3上耦合，得到四组分GHZ纠缠态光场{\widehat{b}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{G}}、{\widehat{b}}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{G}}、{\widehat{b}}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{G}}、{\widehat{b}}_{\mathrm{4}}^{\mathrm{G}}。通过式（15）得到其输出光场的正交振幅与正交相位分量分别为：

\left\{\begin{array}{l}{\widehat{x}}_{{}_{b\mathrm{1}}}^{\mathrm{G}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}({\mathrm{e}}^{-r}{\widehat{x}}_{a\mathrm{2}}^{\mathrm{0}}-{\mathrm{e}}^r{\widehat{p}}_{a\mathrm{3}}^{\mathrm{0}})-\frac{\mathrm{1}}{\sqrt[]{\mathrm{2}}}{\mathrm{e}}^r{\widehat{x}}_{a\mathrm{1}}^{\mathrm{0}},\\ {\widehat{x}}_{{}_{b\mathrm{2}}}^{\mathrm{G}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}({\mathrm{e}}^{-r}{\widehat{x}}_{a\mathrm{2}}^{\mathrm{0}}-{\mathrm{e}}^r{\widehat{p}}_{a\mathrm{3}}^{\mathrm{0}})+\frac{\mathrm{1}}{\sqrt[]{\mathrm{2}}}{\mathrm{e}}^r{\widehat{x}}_{a\mathrm{1}}^{\mathrm{0}},\\ {\widehat{x}}_{{}_{b\mathrm{3}}}^{\mathrm{G}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}({\mathrm{e}}^{-r}{\widehat{x}}_{a\mathrm{2}}^{\mathrm{0}}+{\mathrm{e}}^r{\widehat{p}}_{a\mathrm{3}}^{\mathrm{0}})+\frac{\mathrm{1}}{\sqrt[]{\mathrm{2}}}{\mathrm{e}}^r{\widehat{x}}_{a\mathrm{4}}^{\mathrm{0}},\\ {\widehat{x}}_{{}_{b\mathrm{4}}}^{\mathrm{G}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}({\mathrm{e}}^{-r}{\widehat{x}}_{a\mathrm{2}}^{\mathrm{0}}-{\mathrm{e}}^r{\widehat{p}}_{a\mathrm{3}}^{\mathrm{0}})-\frac{\mathrm{1}}{\sqrt[]{\mathrm{2}}}{\mathrm{e}}^r{\widehat{x}}_{a\mathrm{4}}^{\mathrm{0}}\end{array}\right.(15)

\left\{\begin{array}{l}{\widehat{p}}_{{}_{a\mathrm{1}}}^{\mathrm{G}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}({\mathrm{e}}^r{\widehat{p}}_{a\mathrm{2}}^{\mathrm{0}}+{\mathrm{e}}^{-r}{\widehat{p}}_{a\mathrm{3}}^{\mathrm{0}})-\frac{\mathrm{1}}{\sqrt[]{\mathrm{2}}}{\mathrm{e}}^r{\widehat{p}}_{a\mathrm{1}}^{\mathrm{0}},\\ {\widehat{p}}_{{}_{a\mathrm{2}}}^{\mathrm{G}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}({\mathrm{e}}^r{\widehat{p}}_{a\mathrm{2}}^{\mathrm{0}}+{\mathrm{e}}^{-r}{\widehat{p}}_{a\mathrm{3}}^{\mathrm{0}})+\frac{\mathrm{1}}{\sqrt[]{\mathrm{2}}}{\mathrm{e}}^r{\widehat{p}}_{a\mathrm{1}}^{\mathrm{0}},\\ {\widehat{p}}_{{}_{a\mathrm{3}}}^{\mathrm{G}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}({\mathrm{e}}^r{\widehat{p}}_{a\mathrm{2}}^{\mathrm{0}}-{\mathrm{e}}^{-r}{\widehat{p}}_{a\mathrm{3}}^{\mathrm{0}})+\frac{\mathrm{1}}{\sqrt[]{\mathrm{2}}}{\mathrm{e}}^r{\widehat{p}}_{a\mathrm{4}}^{\mathrm{0}},\\ {\widehat{p}}_{{}_{a\mathrm{4}}}^{\mathrm{G}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}({\mathrm{e}}^r{\widehat{p}}_{a\mathrm{2}}^{\mathrm{0}}-{\mathrm{e}}^{-r}{\widehat{p}}_{a\mathrm{3}}^{\mathrm{0}})-\frac{\mathrm{1}}{\sqrt[]{\mathrm{2}}}{\mathrm{e}}^r{\widehat{p}}_{a\mathrm{4}}^{\mathrm{0}}\end{array}\right.(16)

只改变图5中{\widehat{a}}_{\mathrm{4}}与{\widehat{a}}_{\mathrm{6}}之间的相移器PS，使其等于\mathrm{\pi }/\mathrm{2}，其他部分保持不变，即可得到四组分Cluster纠缠态光场。

要验证输出光场是否为四组分GHZ纠缠态和Cluster纠缠态，可通过其是否违背式（17）或式（18）进行检测^［30］。

\left\{\begin{array}{l}〈{\delta }^{\mathrm{2}}({\widehat{p}}_{b\mathrm{1}}^{\mathrm{G}}-{\widehat{p}}_{b\mathrm{2}}^{\mathrm{G}})〉+〈{\delta }^{\mathrm{2}}({\widehat{x}}_{{}_{b\mathrm{1}}}^G+{\widehat{x}}_{{}_{b\mathrm{2}}}^G+g_{G\mathrm{3}}^x{\widehat{x}}_{{}_{b\mathrm{3}}}^G+\\ g_{G\mathrm{4}}^x{\widehat{x}}_{{}_{b\mathrm{4}}}^G)〉\ge \mathrm{1},\\ 〈{\delta }^{\mathrm{2}}({\widehat{p}}_{b\mathrm{2}}^{\mathrm{G}}-{\widehat{p}}_{b\mathrm{3}}^{\mathrm{G}})〉+〈{\delta }^{\mathrm{2}}(g_{G\mathrm{1}}^x{\widehat{x}}_{{}_{b\mathrm{1}}}^G+{\widehat{x}}_{{}_{b\mathrm{2}}}^{\mathrm{G}}+{\widehat{x}}_{{}_{b\mathrm{3}}}^{\mathrm{G}}+\\ g_{G\mathrm{4}}^x{\widehat{x}}_{{}_{b\mathrm{4}}}^G)〉\ge \mathrm{1},\\ 〈{\delta }^{\mathrm{2}}({\widehat{p}}_{b\mathrm{3}}^{\mathrm{G}}-{\widehat{p}}_{b\mathrm{4}}^{\mathrm{G}})〉+〈{\delta }^{\mathrm{2}}(g_{G\mathrm{1}}^x{\widehat{x}}_{{}_{b\mathrm{1}}}^G+g_{\mathrm{G}\mathrm{2}}^x{\widehat{x}}_{{}_{b\mathrm{2}}}^{\mathrm{G}}+\\ {\widehat{x}}_{{}_{b\mathrm{3}}}^G+{\widehat{x}}_{{}_{b\mathrm{4}}}^G)〉\ge \mathrm{1}\end{array}\right.(17)

\left\{\begin{array}{l}〈{\delta }^{\mathrm{2}}({\widehat{p}}_{b\mathrm{1}}^{\mathrm{C}}-{\widehat{p}}_{b\mathrm{2}}^{\mathrm{C}})〉+〈{\delta }^{\mathrm{2}}({\widehat{x}}_{{}_{b\mathrm{1}}}^C+{\widehat{x}}_{{}_{b\mathrm{2}}}^C+\\ g_{C\mathrm{3}}^x{\widehat{x}}_{{}_{b\mathrm{3}}}^C)〉\ge \mathrm{1},\\ 〈{\delta }^{\mathrm{2}}({\widehat{x}}_{b\mathrm{3}}^{\mathrm{C}}-{\widehat{x}}_{b\mathrm{4}}^{\mathrm{C}})〉+〈{\delta }^{\mathrm{2}}(-g_{C\mathrm{2}}^p{\widehat{x}}_{{}_{b\mathrm{2}}}^C+\\ {\widehat{x}}_{{}_{b\mathrm{3}}}^{\mathrm{C}}+{\widehat{x}}_{{}_{b\mathrm{4}}}^{\mathrm{C}})〉\ge \mathrm{1},\\ 〈{\delta }^{\mathrm{2}}(-\mathrm{2}{\widehat{p}}_{b\mathrm{2}}^{\mathrm{C}}+{\widehat{p}}_{b\mathrm{3}}^{\mathrm{C}}+g_{C\mathrm{4}}^p{\widehat{p}}_{b\mathrm{4}}^{\mathrm{C}})〉+\\ 〈{\delta }^{\mathrm{2}}(g_{C\mathrm{1}}^x{\widehat{x}}_{{}_{b\mathrm{1}}}^C+{\widehat{x}}_{{}_{b\mathrm{2}}}^{\mathrm{C}}+\mathrm{2}{\widehat{x}}_{{}_{b\mathrm{3}}}^{\mathrm{C}})〉\ge \mathrm{2}\end{array}\right.(18)

式中， g_{\mathrm{G}j}^x(g_{\mathrm{C}j}^x)与g_{\mathrm{G}j}^p(g_{\mathrm{C}j}^p) （j=1、2、3、4）表示对应振幅分量与相位分量的增益因子， {\widehat{x}}_{{}_{bj}}^{\mathrm{C}}和{\widehat{p}}_{{}_{bj}}^{\mathrm{C}}（j=1、2、3、4）为Cluster纠缠态光场4个子模的振幅与相位分量。

接下来通过式（14）~式（18）理论计算得到不同子模之间关联噪声随压缩因子r变化的曲线关系。如图6所示，（a）为GHZ纠缠态3个子模与4个子模间的关联噪声随r变化的曲线关系，（b）为Cluster纠缠态3个子模与4个子模间的关联噪声随r变化的曲线关系，可以看出，GHZ纠缠态3个子模间的关联噪声在振幅分量上较大，在相位分量上则较小，Cluster纠缠态则刚好相反。二者4个子模间的关联噪声在振幅和相位分量上一致，具有相同的曲线关系。

然后构建基于GHZ与Cluster态的QSS方案，如图7所示。首先，通过激光器输出2个不同波段光场，经过DBS分为2部分，通过MC1与MC2进行模式清洁，经过偏振棱镜分为2束分别进入2个NOPA谐振腔中，得到2个振幅压缩态光场与2个相位压缩态光场；然后，将秘密信息按照如图7所示的方法通过振幅和相位调制器加载到2个压缩态光场的子模上，得到携带秘密信息的GHZ纠缠态光场或Cluster纠缠态光场；最后，完成秘密信息的加载后，即可把纠缠态光场的4个子模分发给4个用户，测量不同用户合作时的关联噪声，完成秘密信息的恢复。

将秘密信息加载后4个用户接收到的量子态可以表示为式（19）和式（20）。

\left\{\begin{array}{l}{\widehat{b}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{G}}=\frac{\mathrm{1}}{\sqrt[]{\mathrm{2}}}\left({\widehat{a}}_{\mathrm{5}}-{\widehat{a}}_{\mathrm{1}}+a_{\mathrm{s}}\right),\\ {\widehat{b}}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{G}}=\frac{\mathrm{1}}{\sqrt[]{\mathrm{2}}}\left({\widehat{a}}_{\mathrm{5}}+{\widehat{a}}_{\mathrm{1}}+a_{\mathrm{s}}\right),\\ {\widehat{b}}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{G}}=\frac{\mathrm{1}}{\sqrt[]{\mathrm{2}}}\left({\widehat{a}}_{\mathrm{6}}+{\widehat{a}}_{\mathrm{4}}+a_{\mathrm{s}}^{\mathrm{*}}\right),\\ {\widehat{b}}_{\mathrm{4}}^{\mathrm{G}}=\frac{\mathrm{1}}{\sqrt[]{\mathrm{2}}}\left({\widehat{a}}_{\mathrm{6}}-{\widehat{a}}_{\mathrm{4}}+a_{\mathrm{s}}^{\mathrm{*}}\right)\end{array}\right.(19)

\left\{\begin{array}{l}{\widehat{b}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{C}}=\frac{\mathrm{1}}{\sqrt[]{\mathrm{2}}}\left({\widehat{a}}_{\mathrm{5}}-{\widehat{a}}_{\mathrm{1}}+a_{\mathrm{s}}\right),\\ {\widehat{b}}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{C}}=\frac{\mathrm{1}}{\sqrt[]{\mathrm{2}}}\left({\widehat{a}}_{\mathrm{5}}+{\widehat{a}}_{\mathrm{1}}+a_{\mathrm{s}}\right),\\ {\widehat{b}}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{C}}=\frac{\mathrm{1}}{\sqrt[]{\mathrm{2}}}\left({\widehat{a}}_{\mathrm{6}}-{\widehat{a}}_{\mathrm{4}}+a_{\mathrm{s}}^{\mathrm{*}}\right),\\ {\widehat{b}}_{\mathrm{4}}^{\mathrm{C}}=\frac{\mathrm{1}}{\sqrt[]{\mathrm{2}}}\left({\widehat{a}}_{\mathrm{6}}+{\widehat{a}}_{\mathrm{4}}+a_{\mathrm{s}}^{\mathrm{*}}\right)\end{array}\right.(20)

然后分别计算加载秘密信息后GHZ态与Cluster态在三用户合作与四用户合作时的关联噪声。基于GHZ纠缠态光场的三用户合作时的关联噪声如式（21）和式（22）所示。

\left\{\begin{array}{l}〈{\delta }^{\mathrm{2}}(g_{\mathrm{G}\mathrm{1}}^x{\widehat{x}}_{b\mathrm{1}}^{\mathrm{G}}+g_{\mathrm{G}\mathrm{2}}^x{\widehat{x}}_{b\mathrm{2}}^{\mathrm{G}}+{\widehat{x}}_{b\mathrm{3}(\mathrm{4})}^{\mathrm{G}})〉=\frac{(g_{\mathrm{G}\mathrm{1}}^x+g_{\mathrm{G}\mathrm{2}}^x{+\mathrm{1})}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}r}+\frac{(g_{\mathrm{G}\mathrm{1}}^x+g_{\mathrm{G}\mathrm{2}}^x{+\mathrm{1})}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}{V}_{x\mathrm{s}}+\\ \frac{(g_{\mathrm{G}\mathrm{1}}^x+g_{\mathrm{G}\mathrm{2}}^x{-\mathrm{1})}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}(g_{\mathrm{G}\mathrm{1}}^x-g_{\mathrm{G}\mathrm{2}}^x{)}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}}{\mathrm{4}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}(r+r\mathrm{\text{'}})},\\ 〈{\delta }^{\mathrm{2}}({\widehat{x}}_{b\mathrm{1}(\mathrm{2})}^{\mathrm{G}}+g_{\mathrm{G}\mathrm{3}}^x{\widehat{x}}_{b\mathrm{3}}^{\mathrm{G}}+g_{\mathrm{G}\mathrm{4}}^x{\widehat{x}}_{b\mathrm{4}}^{\mathrm{G}})〉=\frac{(g_{\mathrm{G}\mathrm{3}}^x+g_{\mathrm{G}\mathrm{4}}^x{+\mathrm{1})}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}r}+\frac{(g_{\mathrm{G}\mathrm{3}}^x+g_{\mathrm{G}\mathrm{4}}^x{+\mathrm{1})}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}{V}_{x\mathrm{s}}+\\ \frac{(g_{\mathrm{G}\mathrm{3}}^x+g_{\mathrm{G}\mathrm{4}}^x{-\mathrm{1})}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}(g_{\mathrm{G}\mathrm{3}}^x+g_{\mathrm{G}\mathrm{4}}^x{)}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}}{\mathrm{4}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}(r+r\mathrm{\text{'}})}\end{array}\right.(21)

\left\{\begin{array}{l}〈{\delta }^{\mathrm{2}}(g_{\mathrm{G}\mathrm{1}}^P{\widehat{p}}_{b\mathrm{1}}^{\mathrm{G}}+g_{\mathrm{G}\mathrm{2}}^P{\widehat{p}}_{b\mathrm{2}}^{\mathrm{G}}-{\widehat{p}}_{b\mathrm{3}(\mathrm{4})}^{\mathrm{G}})〉=\frac{(g_{\mathrm{G}\mathrm{1}}^p+g_{\mathrm{G}\mathrm{2}}^p{-\mathrm{1})}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}(r+r\mathrm{\text{'}})}+\frac{(g_{\mathrm{G}\mathrm{1}}^p+g_{\mathrm{G}\mathrm{2}}^p{+\mathrm{1})}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}{V}_{p\mathrm{s}}+\\ \frac{(g_{\mathrm{G}\mathrm{1}}^p+g_{\mathrm{G}\mathrm{2}}^p{+\mathrm{1})}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}(g_{\mathrm{G}\mathrm{1}}^p-g_{\mathrm{G}\mathrm{2}}^p{)}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}}{\mathrm{4}}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}r},\\ 〈{\delta }^{\mathrm{2}}({\widehat{p}}_{b\mathrm{1}(\mathrm{2})}^{\mathrm{G}}+g_{\mathrm{G}\mathrm{3}}^p{\widehat{p}}_{b\mathrm{3}}^{\mathrm{G}}+g_{\mathrm{G}\mathrm{4}}^p{\widehat{p}}_{b\mathrm{4}}^{\mathrm{G}})〉=\frac{(g_{\mathrm{G}\mathrm{3}}^p+g_{\mathrm{G}\mathrm{4}}^p{-\mathrm{1})}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}(r+r\mathrm{\text{'}})}+\frac{(g_{\mathrm{G}}^p+g_{\mathrm{G}}^p{+\mathrm{1})}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}{V}_{p\mathrm{s}}+\\ \frac{(g_{\mathrm{G}\mathrm{3}}^p+g_{\mathrm{G}\mathrm{4}}^p{+\mathrm{1})}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}(g_{\mathrm{G}\mathrm{3}}^p-g_{\mathrm{G}\mathrm{4}}^p{)}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}}{\mathrm{4}}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}r}\end{array}\right.(22)

其中，V_{x\mathrm{s}}与V_{p\mathrm{s}}为调制信号在振幅与相位分量上的强度。g_{\mathrm{G}j}^x与g_{\mathrm{G}j}^p(j=\mathrm{1}\mathrm{、}\mathrm{2}\mathrm{、}\mathrm{3}\mathrm{、}\mathrm{4})为GHZ纠缠态光场在三用户合作时的最佳增益因子。

基于GHZ纠缠态光场的四用户合作时的关联噪声如式（23）所示。

\begin{array}{l}〈{\delta }^{\mathrm{2}}({\widehat{x}}_{b\mathrm{1}}^{\mathrm{G}}+{\widehat{x}}_{b\mathrm{2}}^{\mathrm{G}}+{\widehat{x}}_{b\mathrm{3}}^{\mathrm{G}}+{\widehat{x}}_{b\mathrm{4}}^{\mathrm{G}})〉=\mathrm{4}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}r}+\mathrm{8}{V}_{x\mathrm{s}}\\ 〈{\delta }^{\mathrm{2}}({\widehat{p}}_{b\mathrm{1}}^{\mathrm{G}}+{\widehat{p}}_{b\mathrm{2}}^{\mathrm{G}}+{\widehat{p}}_{b\mathrm{3}}^{\mathrm{G}}+{\widehat{p}}_{b\mathrm{4}}^{\mathrm{G}})〉=\mathrm{4}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}r}+\mathrm{8}{V}_{p\mathrm{s}}\end{array}(23)

按照图7的方案也可以构建基于Cluster纠缠态光场的QSS方案，类比GHZ纠缠态光场的计算过程，即可求解Cluster纠缠态光场在不同用户合作时的关联噪声，并根据计算结果完成后续的结果分析。

通过式（19）~式（23）计算密钥速率K，若K>0，可以恢复秘密信息；反之，则不能。

2.3 理论计算与结果分析

以上述对几种纠缠态的输出光场表达式与QSS的原理为基础，可以计算基于不同纠缠态光场的QSS方案的密钥速率，得到密钥速率与信号强度的依赖关系。在四用户合作时，由于束缚纠缠态光场与调制信号均为高斯分布，可以通过K=[\mathrm{l}\mathrm{o}{\mathrm{g}}_{\mathrm{2}}(\mathrm{1}+\mathrm{S}\mathrm{N}\mathrm{R})]/\mathrm{2}来计算四用户场景下的密钥速率，其中SNR为信噪比，通过计算得到四用户合作时密钥速率K与信号强度V_s的关系，如图8所示。由图8可得在四用户合作时，压缩因子取值相同时，3种纠缠态对应的曲线是重合的，即采用不同纠缠态光场，其密钥速率与信号强度的关系一致。

在三用户合作时，需要结合式（1）~式（3）来求解密钥速率，由计算结果绘制三用户合作时不同纠缠态光场密钥速率K与信号强度V_s 的关系图。其中压缩因子r的取值为0.93，V_s 的取值范围为0~20。

如图9所示，从下到上的曲线分别为GHZ态的振幅分量、Cluster态的相位分量、BE态的相位分量、GHZ态的相位分量、Cluster态的振幅分量相对应的调制信号强度V_s 与密钥速率K的关系图。可以看到，在三用户合作时，BE态在振幅分量与相位分量上对应的密钥速率具有相同特性。以GHZ态作为量子资源，正交相位分量对应的密钥速率明显大于其他两种。以Cluster态作为量子资源，正交振幅分量对应的密钥速率明显大于其他两种。

根据上述给出的3种纠缠态光场的理论计算结果与光学构建方案，完成实验设计是可行的。在构建BE态时，可以通过锁相放大器将激光频率锁定在模式清洁器上，达到光源稳定的条件，通过调节信号发生器来降低热噪声的影响。但由于实验系统较为复杂，想要得到较好的测量结果，需要同时锁定多个光场间的相对相位，多次调整实验装置，才能完成。

3 结论

与传统信息传输方法相比，因为QSS使用了量子资源，在安全性、灵活性上有显著优势，所以在未来的信息传输领域有着优秀的应用前景。本文以BE态、GHZ态及Cluster态为量子资源完成了四组分QSS理论方案的搭建，分析了不同用户数量下调制信号强度与密钥速率的相对关系。结果表明，四用户合作时，不同纠缠态光场的密钥速率与信号强度的关系一致。而在三用户合作时，BE纠缠态光场对应QSS方案中的密钥速率在正交振幅与正交相位分量上是平衡的，具有对称关系，而GHZ纠缠态与Cluseter纠缠态光场对应QSS方案则表现为在单个正交分量上的密钥速率更大。基于GHZ纠缠态光场的密钥速率在正交相位分量上的密钥速率最大，基于Cluster纠缠态光场在正交振幅分量上的密钥速率最大。BE纠缠态光场的抗干扰性更强，且制备过程相较其他两种更为简便，而GHZ与Cluster纠缠态光场的量子纠缠度更高，关联性更强。通过对比分析，可以根据不同纠缠态的纠缠特性与其QSS方案的优劣势，在采用合适的压缩因子与增益因子的前提下，灵活选用不同纠缠态作为量子资源，以使QSS方案效果达到最佳。

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基金资助

国家自然科学基金(12004276)

国家自然科学基金(11804246)

国家自然科学基金(11904218)

山西省基础研究计划自然科学研究面上项目(202203021221214)