加权Dirichlet空间上序有界的广义加权复合算子

On the order-bounded and generalized weighted composition operators on weighted Dirichlet spaces

摘要

设\mathit{𝔻}是复平面\mathbb{C}中的单位圆盘，H\left(\mathit{𝔻}\right)是由\mathit{𝔻}上所有解析函数构成的函数空间。给定一个解析映射\phi :\mathit{𝔻}\to \mathit{𝔻}以及u\in H\left(\mathit{𝔻}\right)。设n为非负整数。定义n阶微分算子为D^{n}f=f^{\left(n\right)}。利用D^n定义广义加权复合算子为D_{u,\phi }^{n}f=u\cdot f^{\left(n\right)}\circ \phi。本文利用加权Dirichlet空间D_{\alpha }^p中的检验函数以及D_{\alpha }^p上的点值泛函{\delta }_z，结合函数论与算子理论的方法获得了广义加权复合算子D_{u,\phi }^n:D_{\alpha }^p\to L^q\left(\mathrm{d}{A}_{\beta }\right)序有界性的刻画。进一步， 本文研究了广义加权复合算子的和L_{\mathit{u},\phi }^{\left(n\right)}={\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^n}{D}_{u_j,\phi }^j的序有界性与单个广义加权复合算子序有界的关系。

Abstract

Let \mathit{𝔻} be the unit disk on the complex plane \mathbb{C} and H\left(\mathit{𝔻}\right) be the space of all analytic functions on \mathit{𝔻}.Given an analytic mapping \phi :\mathit{𝔻}\to \mathit{𝔻} and an analytic function u\in H\left(\mathit{𝔻}\right)， and let n be a nonnegative integer.The n-order differential operator is defined asD^{n}f=f^{\left(n\right)}.Using the n-order differential operator D_{u,\phi }^n， the generalized weighted composition operator is defined as D_{u,\phi }^{n}f=u\cdot f^{\left(n\right)}\circ \phi.In recent years， the study of the properties of weighted composition operators on function spaces has become an important topic in the field of functional analysis and complex analysis.With the deepening of research， scholars have gradually extended their attention from the classical weighted composite operators to some more general generalized weighted composite operators.The existing literature mainly focuses on the basic characteristics such as boundedness and compactness of such operators.However， the research on the order boundedness of generalized weighted composition operators is relatively scarce.In this paper， the order boundedness of the operator D_{u,\phi }^n:D_{\alpha }^p\to L^q\left(\mathrm{d}{A}_{\beta }\right) is characterized by constructing some suitable test functions in the weighted Dirichlet space D_{\alpha }^p.Specifically， a suitable test function in D_{\alpha }^p space and a point-valued functional {\delta }_z on D_{\alpha }^p are constructed by a special method.Combining the methods of function theory and operator theory， the order boundedness of generalized weighted composition operator D_{u,\phi }^n:D_{\alpha }^p\to L^q\left(\mathrm{d}{A}_{\beta }\right) is characterized.In addition， the definition and operator L_{u,\phi }^{\left(n\right)}={\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^n}{D}_{u_j,\phi }^j are further studied.The corresponding characterization theorems and corollaries are given， which generalizes the related results of weighted composition operators and differential operators in the existing literature.The method in this paper is not only applicable to the study of the order boundedness of a single operator， but also can be extended to the study of the superposition of multiple operators， which provides a new research idea for further development of operator theory on analytic function spaces.

Graphical abstract

关键词

加权Dirichlet空间 / 点值泛函 / 广义加权复合算子 / 序有界

Key words

weighted Dirichlet space / point-valued functional / generalized weighted composition operator / order boundedness

为了研究加权Dirichlet空间上广义加权复合算子的序有界性， 需要引入一些相关的函数空间。设\mathit{𝔻}是复平面\mathbb{C}上的单位圆盘，H\left(\mathit{𝔻}\right)是由\mathit{𝔻}上所有解析函数组成的空间。设。Hardy空间H^p是由\mathit{𝔻}上满足

的解析函数构成的空间。当时， 在平移不变度量\rho \left(f,g\right)={‖f-g‖}_{H^p}^p下， H^p是一F空间。当p\ge \mathrm{1}时， 在范数{‖f‖}_{H^p}下H^p是一个Banach空间。关于Hardy空间的更多详细信息，参见文献［1］。

设，\alpha >\mathrm{1}，\mathrm{d}A\left(z\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{\pi }}\mathrm{d}x\mathrm{d}y是标准的Lebesgue面积测度。加权Bergman空间A_{\alpha }^p是由\mathit{𝔻}上满足

的解析函数构成的空间， 其中\mathrm{d}{A}_{\alpha }\left(z\right)={\left(\mathrm{1}-{\left|z\right|}^{\mathrm{2}}\right)}^{\alpha }\mathrm{d}A\left(z\right)。当时， 在平移不变度量\rho \left(f,g\right)={‖f-g‖}_{A_{\alpha }^p}^p下A_{\alpha }^p是Fréchet空间。当p\ge \mathrm{1}时， 在范数{‖f‖}_{A_{\alpha }^p}下A_{\alpha }^p是Banach空间。事实上，H^p可以视为A_{\alpha }^p在\alpha \to -\mathrm{1}时的极限。关于加权Bergman空间， 可参阅文献［2-4］。

加权Dirichlet空间D_{\alpha }^p是由\mathit{𝔻}上满足

的解析函数构成。根据定义， f\in D_{\alpha }^p当且仅当f^{\text{'}}\in A_{\alpha }^p。当\alpha =\mathrm{0}时，D_{\alpha }^{\mathrm{2}}是经典的Dirichlet空间。由文献［5］中的定理6可知， 若， 则D_{\alpha }^p=A_{\alpha -p}^p。此外，D_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}等价于Hardy空间H^{\mathrm{2}}， 并且Hardy空间与加权Dirichlet空间还存在如下关系： 当时，D_{p-\mathrm{1}}^p\subset H^p； 当时，H^p\subset D_{p-\mathrm{1}}^p。众所周知， 加权Bergman空间与Hardy空间存在连续嵌入关系， 即当p\ge \mathrm{2}时存在连续嵌入H^p\hookrightarrow A_{\alpha }^p（对于空间D_{p-\mathrm{1}}^p也成立）， 反之不成立。

设\mathrm{\phi }是\mathit{𝔻}到自身的解析映射，u\in H\left(\mathit{𝔻}\right)。加权复合算子定义为W_{u,\phi }f=u\cdot f\circ \phi ,f\in H\left(\mathit{𝔻}\right)。如果u\equiv \mathrm{1}， 那么W_{u,\phi }被称为复合算子， 通常用C_{\phi }表示。如果\phi \left(z\right)=z， 那么W_{u,\phi }被称为乘法算子， 通常用M_u表示。自1980年至今， 经典解析函数空间（如Hardy空间、Bergman空间）上的复合算子理论已逐步完善（部分研究可见文献［6-16］）。

对于解析函数空间H\left(\mathit{𝔻}\right)， 微分算子D定义为Df=f^{\text{'}}， 通常是无界算子。但有趣的是， 其与复合算子的乘积D{C}_{\phi }或C_{\phi }D可能具有有界性。已有研究者对D{C}_{\phi }和C_{\phi }D进行了广泛的研究， 特别是刻画它们的有界性和紧性（如文献［17-22］）。

设n是一非负整数。定义n阶微分算子为D^{n}f=f^{\left(n\right)}。特别地， 当n=\mathrm{0}时D^{\mathrm{0}}即为恒等算子。利用D^n， 定义广义加权复合算子为

D_{u,\phi }^{n}f=u\cdot f^{\left(n\right)}\circ \phi ,f\in H\left(\mathit{𝔻}\right)。

广义加权复合算子是文献［23］提出的。显然， 如果n=\mathrm{0}且u\equiv \mathrm{1}， 则D_{u,\phi }^n退化成复合算子C_{\phi }。当n=\mathrm{0}时， D_{u,\phi }^n为加权复合算子，通常用u{C}_{\phi }表示。特别地，当n=\mathrm{1}且u\left(z\right)={\phi }^{\text{'}}\left(z\right)时，D_{u,\phi }^n=D{C}_{\phi }。当n=\mathrm{1}且u\equiv \mathrm{1}时， D_{u,\phi }^n=C_{\phi }D。文献［24-25］分别研究了算子D_{u,\phi }^{\mathrm{1}}从加权Bergman空间到Zygmund型空间、Bloch空间和Bers空间的有界性及紧致性条件。关于广义加权复合算子的更多研究可参考文献［26-32］。

目前， 算子理论的研究范畴正不断扩展， 从经典的有界性和紧性等研究延伸至序有界性探讨， 并取得了一些研究结果。设X是定义在\mathit{𝔻}上的解析函数Banach空间， \left(\mathrm{\Omega },\mathit{𝒜},\mu \right)是一个测度空间，

。

设T:X\to L^p\left(\mathrm{\Omega },\mathit{𝒜},\mu \right)是一线性算子。如果存在一个非负函数h\in L^p\left(\mathrm{\Omega },\mathit{𝒜},\mu \right)， 使得对任意f\in X且{‖f‖}_X\le \mathrm{1}， 都有

\left|T\left(f\right)\left(x\right)\right|\le h\left(x\right),\mathrm{a}.\mathrm{e}.\left[\mu \right],

则称T:X\to L^p\left(\mathrm{\Omega },\mathit{𝒜},\mu \right)是序有界的。

Hunziker和Jarchow在文献［33］中证明：如果复合算子从C_{\phi }:H^p\to L^q是序有界的， 那么当时C_{\phi }:H^p\to L^q是紧的。受此启发， Hibschweiler在文献［34］中刻画了加权复合算子W_{\psi ,\varphi }:A_{\alpha }^p\to L^q的序有界性。Ueki在文献［35］中刻画了加权Bergman空间上序有界加权复合算子及Bloch型空间到加权Bergman空间加权复合算子的序有界性。Wolf在文献［36］中将Hibschweiler的结果推广到更一般的加权Bergman空间上， 得到了类似Hibschweiler的结果。近年来， 文献［37-39］系统研究了加权复合算子在Hardy空间、加权Bergman空间、加权Dirichlet空间及导数Hardy空间等多个Banach函数空间上的序有界性。

根据上述分析， 函数空间上复合算子和加权复合算子的序有界性已被广泛研究。除了这些算子外， 函数空间上还有很多值得研究的算子， 如广义加权复合算子。受文献［35-36， 40］的启发， 本文重点研究加权Dirichlet空间上的广义加权复合算子， 刻画其序有界性， 并证明广义加权复合算子和的序有界性等价于单个广义加权复合算子的序有界性。

本文约定C表示某正数， 且在不同地方C值可能不同。若存在一个正数C， 使得a\le Cb（或a\ge Cb）， 则记为a\lesssim b（或a\gtrsim b）。a\asymp b表示a\lesssim b和a\gtrsim b同时成立。

1 预备知识

为了得到主要结果， 本节给出了下面一些引理。

引理1.1 对于f\in H\left(\mathit{𝔻}\right)，下式成立：

\left|{\left(D_{u,\phi }^{n}f\right)}^{\text{'}}\left(z\right)\right|=\left|u^{\text{'}}\left(z\right)f^{\left(n\right)}\left(\phi \left(z\right)\right)+u\left(z\right){\phi }^{\text{'}}\left(z\right)f^{\left(n+\mathrm{1}\right)}\left(\phi \left(z\right)\right)\right|\mathrm{。}

证明 直接计算即得。

设z\in \mathit{𝔻}， 称{\delta }_z\left(f\right)=f\left(z\right)为D_{\alpha }^p上的点值泛函。关于点值泛函， 文献［41］给出了以下估计：

引理1.2 设z\in \mathit{𝔻}， 则

1） 如果，那么

‖{\delta }_z‖\asymp \frac{\mathrm{1}}{{\left(\mathrm{1}-{\left|z\right|}^{\mathrm{2}}\right)}^{\left(\alpha +\mathrm{2}-p\right)/p}}；

2） 如果p=\alpha +\mathrm{2}，那么

‖{\delta }_z‖\asymp\frac{\mathrm{1}}{{\left(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{1}-{\left|z\right|}^{\mathrm{2}}}\right)\right)}^{\left(\mathrm{1}-p\right)/p}}；

3） 如果p>\alpha +\mathrm{2}，那么‖{\delta }_z‖\asymp \mathrm{1}。

设{\delta }_z^{\left(n\right)}表示D_{\alpha }^p上在点z\in \mathit{𝔻}处的n阶导数点值泛函， 即{\delta }_z^{\left(n\right)}f=f^{\left(n\right)}\left(z\right),f\in D_{\alpha }^p。

引理1.3 设z\in \mathit{𝔻}， 则

‖{\delta }_z^{\left(n\right)}‖\lesssim \frac{\mathrm{1}}{{\left(\mathrm{1}-{\left|z\right|}^{\mathrm{2}}\right)}^{\frac{\alpha +\mathrm{2}}{p}+n-\mathrm{1}}}。

证明 设f\in D_{\alpha }^p，则f^{\text{'}}\in A_{\alpha }^p。于是， 由文献［24］知， 存在一个与f和z无关的正常数C， 使得

\left|f^{\left(n\right)}\left(z\right)\right|=\left|{\left(f^{\text{'}}\right)}^{\left(n-\mathrm{1}\right)}\left(z\right)\right|\le C\frac{{‖f^{\text{'}}‖}_{A_{\alpha }^p}}{{\left(\mathrm{1}-{\left|z\right|}^{\mathrm{2}}\right)}^{\frac{\alpha +\mathrm{2}}{p}+n-\mathrm{1}}}。

由于{‖f^{\text{'}}‖}_{A_{\alpha }^p}\le {‖f‖}_{D_{\alpha }^p}， 故

‖{\delta }_z^{\left(n\right)}‖\lesssim \frac{\mathrm{1}}{{\left(\mathrm{1}-{\left|z\right|}^{\mathrm{2}}\right)}^{\frac{\alpha +\mathrm{2}}{p}+n-\mathrm{1}}}\mathrm{。}

证毕。

引理1.3表明， 存在一个f和z无关的正常数C， 使得

\left|f^{\left(n\right)}\left(z\right)\right|\le C\frac{{‖f‖}_{D_{\alpha }^p}}{{\left(\mathrm{1}-{\left|z\right|}^{\mathrm{2}}\right)}^{\frac{\alpha +\mathrm{2}}{p}+n-\mathrm{1}}}\mathrm{。}

为了构造D_{\mathrm{\alpha }}^p中的一些特殊函数， 需要以下引理（见文献［42］）。

引理1.4 设c\ge \mathrm{0}。令

J_{\alpha ,c}\left(z\right)=\underset{\mathit{𝔻}}{\int }\frac{{\left(\mathrm{1}-{\left|w\right|}^{\mathrm{2}}\right)}^{\alpha }}{{\left|\mathrm{1}-\overline{z}w\right|}^{\alpha +\mathrm{2}+c}}\mathrm{d}A\left(w\right)。

则下面结论成立：

1） 如果c>\mathrm{0}， 那么J_{\alpha ,c}\left(z\right)\asymp \frac{\mathrm{1}}{{\left(\mathrm{1}-{\left|z\right|}^{\mathrm{2}}\right)}^c};

2） 如果c=\mathrm{0}， 那么J_{\alpha ,c}\left(z\right)\asymp \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}-{\left|z\right|}^{\mathrm{2}}}\mathrm{。}

利用引理1.4可得到D_{\alpha }^p中的特殊函数如下。

引理1.5 对固定的w\in \mathit{𝔻}，j\in \mathbb{N}， 以下函数属于D_{\alpha }^p：

k_{w,j}\left(z\right)=\frac{{\left(\mathrm{1}-{\left|w\right|}^{\mathrm{2}}\right)}^{\frac{\alpha +\mathrm{2}}{p}+j}}{{\left(\mathrm{1}-\overline{w}z\right)}^{\frac{\mathrm{2}\alpha +\mathrm{4}}{p}+j-\mathrm{1}}},

并且\underset{w\in \mathit{𝔻}}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{‖k_{w,j}‖}_{D_{\alpha }^p}\lesssim \mathrm{1}\mathrm{。}

证明 通过计算得

\left|k_{w,j}\left(\mathrm{0}\right)\right|={\left(\mathrm{1}-{\left|w\right|}^{\mathrm{2}}\right)}^{\frac{\alpha +\mathrm{2}}{p}+j}\le \mathrm{1},

及

k_{w,j}^{\text{'}}\left(z\right)=\left(\alpha +j-\mathrm{1}\right)\overline{w}\frac{{\left(\mathrm{1}-{\left|w\right|}^{\mathrm{2}}\right)}^{\frac{\alpha +\mathrm{2}}{p}+j}}{{\left(\mathrm{1}-\overline{w}z\right)}^{\frac{\mathrm{2}\alpha +\mathrm{4}}{p}+j}}\mathrm{。}

因此， 由引理1.4中结论 1）， 存在一个与w无关的正常数C， 使得

{‖k_{w,j}‖}_{D_{\alpha }^p}^p=\underset{\mathit{𝔻}}{\int }{\left|k_{w,j}^{\text{'}}\left(z\right)\right|}^p\mathrm{d}{A}_{\alpha }\left(z\right)+{\left|k_{w,j}\left(\mathrm{0}\right)\right|}^p\le

\begin{array}{l}\mathrm{1}+\left(\alpha +j-\mathrm{1}\right){\left(\mathrm{1}-{\left|w\right|}^{\mathrm{2}}\right)}^{\alpha +\mathrm{2}+pj}\underset{\mathit{𝔻}}{\int }\frac{{\left(\mathrm{1}-{\left|z\right|}^{\mathrm{2}}\right)}^{\alpha }}{{\left|\mathrm{1}-\overline{w}z\right|}^{\mathrm{2}\alpha +\mathrm{4}+pj}}\mathrm{d}A\left(z\right)=\\ \mathrm{1}+\left(\alpha +j-\mathrm{1}\right)C\mathrm{。}\end{array}

证毕。

利用函数k_{w,j}， 可以构造D_{\alpha }^p中的特殊函数（类似构造方法也可见文献［43-44］）。

引理1.6 设w\in \mathit{𝔻}。则对每一个k\in \{\mathrm{0,1},\dots ,n+\mathrm{1}\}，存在常数c_{k,\mathrm{0}},c_{k,\mathrm{1}},\dots ,c_{k,n+\mathrm{1}} 使得

f_{w,k}\left(z\right)={\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^{n+\mathrm{1}}}{c}_{k,j}{k}_{w,j}\left(z\right)

满足

f_{w,k}^{\left(k\right)}\left(w\right)=\frac{{\overline{w}}^k}{{\left(\mathrm{1}-{\left|w\right|}^{\mathrm{2}}\right)}^{\frac{\alpha +\mathrm{2}}{p}+k-\mathrm{1}}},f_{w,k}^{\left(j\right)}\left(w\right)=o（1）

对每个j\in \{\mathrm{0,1},\dots ,n+\mathrm{1}\}\setminus \{k\}成立，且\underset{w\in \mathit{𝔻}}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{‖f_{w,k}‖}_{D_{\alpha }^p}\lesssim \mathrm{1}。

证明 不失一般性， 假设k=\mathrm{0}。为了方便起见，令a=\left(\mathrm{2}\mathrm{\alpha }+\mathrm{4}\right)/p。通过计算， 得到问题（1）等价于方程组

\left\{\begin{array}{l}{c}_{\mathrm{0,0}}+c_{\mathrm{0,1}}+\cdots +c_{\mathrm{0},n+\mathrm{1}}=\mathrm{1},\\ \left(a-\mathrm{1}\right)c_{\mathrm{0,0}}+a{c}_{\mathrm{0,1}}+\cdots +\left(a+n\right)c_{\mathrm{0},n+\mathrm{1}}=\mathrm{0},\\ \left(a-\mathrm{1}\right)a{c}_{\mathrm{0,0}}+a\left(a+\mathrm{1}\right)c_{\mathrm{0,1}}+\cdots +\left(a+n\right)\left(a+n+\mathrm{1}\right)c_{\mathrm{0},n+\mathrm{1}}=\mathrm{0},\\ \cdots \cdots \\ {\displaystyle \prod _{j=\mathrm{0}}^{n-\mathrm{1}}}\left(a+j-\mathrm{1}\right)c_{\mathrm{0,0}}+{\displaystyle \prod _{j=\mathrm{0}}^{n-\mathrm{1}}}\left(a+j\right)c_{\mathrm{0,1}}+\cdots +{\displaystyle \prod _{j=\mathrm{0}}^{n-\mathrm{1}}}\left(a+n+j\right)c_{\mathrm{0},n+\mathrm{1}}=\mathrm{0}\mathrm{。}\end{array}\right.

因此， 只需要证明存在常数c_{\mathrm{0,0}},c_{\mathrm{0,1}},\dots ,c_{\mathrm{0},n+\mathrm{1}}使得上述方程组成立。根据文献［45］中的引理3，此方程组的行列式等于{\prod }_{j=\mathrm{1}}^n=j!， 其不同于零。于是存在常数c_{\mathrm{0,0}},c_{\mathrm{0,1}},\dots ,c_{\mathrm{0},n+\mathrm{1}}使得方程组成立。对于k\ne \mathrm{0}的情形， 可以类似证明， 此处省略。证毕。

2 主要结果和证明

定理2.1 设\alpha ,\beta >-\mathrm{1}，，u\in H\left(\mathit{𝔻}\right)，\phi是\mathit{𝔻}到自身的解析映射。则D_{u,\phi }^n:D_{\alpha }^p\to L^q\left(\mathrm{d}{A}_{\beta }\right)是序有界的当且仅当

（2）

证明 假设式（2）成立。设f\in D_{\alpha }^p且{‖f‖}_{D_{\alpha }^p}\le \mathrm{1}。由引理1.1和引理1.3有

\begin{array}{l}\left|{\left(D_{u,\phi }^{n}f\right)}^{\text{'}}\left(z\right)\right|=\left|u^{\text{'}}\left(z\right)f^{\left(n\right)}\left(\phi \left(z\right)\right)+u\left(z\right){\phi }^{\text{'}}\left(z\right)f^{\left(n+\mathrm{1}\right)}\left(\phi \left(z\right)\right)\right|\le \left|u^{\text{'}}\left(z\right)f^{\left(n\right)}\left(\phi \left(z\right)\right)\right|+\\ \left|u\left(z\right){\phi }^{\text{'}}\left(z\right)f^{\left(n+\mathrm{1}\right)}\left(\phi \left(z\right)\right)\right|\le \left|u^{\text{'}}\left(z\right)\right|\left|f^{\left(n\right)}\left(\phi \left(z\right)\right)\right|+\left|u\left(z\right){\phi }^{\text{'}}\left(z\right)\right|\left|f^{\left(n+\mathrm{1}\right)}\left(\phi \left(z\right)\right)\right|\lesssim \\ \frac{\left|u^{\text{'}}\left(z\right)\right|}{{\left(\mathrm{1}-{\left|\phi \left(z\right)\right|}^{\mathrm{2}}\right)}^{\frac{\alpha +\mathrm{2}}{p}+n-\mathrm{1}}}+\frac{\left|u\left(z\right){\phi }^{\text{'}}\left(z\right)\right|}{{\left(\mathrm{1}-{\left|\phi \left(z\right)\right|}^{\mathrm{2}}\right)}^{\frac{\alpha +\mathrm{2}}{p}+n}}(\mathrm{3})\end{array}

由式（2），运用基本不等式{\left(\left|a\right|+\left|b\right|\right)}^p\le {\mathrm{2}}^p\left({\left|a\right|}^p+{\left|b\right|}^p\right)知

h\left(z\right)=\frac{\left|u^{\text{'}}\left(z\right)\right|}{{\left(\mathrm{1}-{\left|\phi \left(z\right)\right|}^{\mathrm{2}}\right)}^{\frac{\alpha +\mathrm{2}}{p}+n-\mathrm{1}}}+\frac{\left|u\left(z\right){\phi }^{\text{'}}\left(z\right)\right|}{{\left(\mathrm{1}-{\left|\phi \left(z\right)\right|}^{\mathrm{2}}\right)}^{\frac{\alpha +\mathrm{2}}{p}+n}}

属于L^q\left(\mathrm{d}{A}_{\beta }\right)。由式（3）得\left|{\left(D_{u,\phi }^{n}f\right)}^{\text{'}}\left(z\right)\right|\lesssim h\left(z\right)。因此，D_{u,\phi }^n:D_{\alpha }^p\to L^q\left(\mathrm{d}{A}_{\beta }\right)是序有界的。

反之，假设D_{u,\phi }^n:D_{\alpha }^p\to L^q\left(\mathrm{d}{A}_{\beta }\right)是序有界的， 则存在非负函数h\in L^q\left(d{A}_{\beta }\right)使得对于f\in D_{\alpha }^p且{‖f‖}_{D_{\alpha }^p}\le \mathrm{1}，有

\left|{\left(D_{u,\phi }^{n}f\right)}^{\text{'}}\left(z\right)\right|\le h\left(z\right),\mathrm{a}.\mathrm{e}.\left[\mathrm{d}{A}_{\beta }\right]（4）

设w\in \mathit{𝔻}。根据引理1.6，存在函数f_{\phi \left(w\right),n}\in D_{\alpha }^p且\underset{w\in \mathit{𝔻}}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{‖f_{\phi \left(w\right),n}‖}_{D_{\alpha }^p}\lesssim \mathrm{1}，使得

f_{\phi \left(w\right),n}^{\left(n\right)}\left(\phi \left(w\right)\right)=\frac{{\overline{\phi \left(w\right)}}^n}{{\left(\mathrm{1}-{\left|\phi \left(w\right)\right|}^{\mathrm{2}}\right)}^{\frac{\alpha +\mathrm{2}}{p}+n-\mathrm{1}}},f_{\phi \left(w\right),n}^{\left(n+\mathrm{1}\right)}\left(\phi \left(w\right)\right)=\mathrm{0}（5）

因此，将函数f_{\phi \left(w\right),n}代入（4）式， 并由式（5）得

\begin{array}{l}h\left(w\right)\gtrsim \left|{\left(D_{u,\phi }^n{f}_{\phi \left(w\right),n}\right)}^{\text{'}}\left(w\right)\right|=\\ \left|u^{\text{'}}\left(w\right)f_{\phi \left(w\right),n}^{\left(n\right)}\left(\phi \left(w\right)\right)\right|=\\ \frac{\left|u^{\text{'}}\left(w\right)\right|{\left|\phi \left(w\right)\right|}^n}{{\left(\mathrm{1}-{\left|\phi \left(w\right)\right|}^{\mathrm{2}}\right)}^{\frac{\alpha +\mathrm{2}}{p}+n-\mathrm{1}}},\mathrm{a}.\mathrm{e}.\left[\mathrm{d}{A}_{\beta }\right]\mathrm{。}\end{array}

这表明

。

现在考虑函数f_{\phi \left(w\right),n+\mathrm{1}}。由引理1.6知，

\underset{w\in \mathit{𝔻}}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{‖f_{\phi \left(w\right),n+\mathrm{1}}^{(\mathrm{n}+\mathrm{1})}‖}_{D_{\alpha }^p}\lesssim \mathrm{1},

f_{\phi \left(w\right),n+\mathrm{1}}^{\left(n+\mathrm{1}\right)}\left(\phi \left(w\right)\right)=\frac{{\left|\overline{\phi \left(w\right)}\right|}^{n+\mathrm{1}}}{{\left(\mathrm{1}-{\left|\phi \left(w\right)\right|}^{\mathrm{2}}\right)}^{\frac{\alpha +\mathrm{2}}{p}+n}},f_{\phi \left(w\right),n+\mathrm{1}}^{\left(n\right)}\left(\phi \left(w\right)\right)=\mathrm{0}。

由D_{u,\phi }^n:D_{\alpha }^p\to L^q\left(\mathrm{d}{A}_{\beta }\right)的序有界性知，

\begin{array}{l}h\left(w\right)\gtrsim \left|{\left(D_{u,\phi }^n{f}_{\phi \left(w\right),n+\mathrm{1}}\right)}^{\text{'}}\right|=\\ \left|u\left(w\right){\phi }^{\text{'}}\left(w\right)\right|f_{\phi \left(w\right),n+\mathrm{1}}^{\left(n+\mathrm{1}\right)}\left(\phi \left(w\right)\right)=\\ \frac{\left|u\left(w\right){\phi }^{\text{'}}\left(w\right)\right|{\left|\overline{\phi \left(w\right)}\right|}^{n+\mathrm{1}}}{{\left(\mathrm{1}-{\left|\phi \left(w\right)\right|}^{\mathrm{2}}\right)}^{\frac{\alpha +\mathrm{2}}{p}+n}},\mathrm{a}.\mathrm{e}.\left[\mathrm{d}{A}_{\beta }\right]\mathrm{。}\end{array}

因此， 对于\left|\phi \left(w\right)\right|>\mathrm{1}/\mathrm{2}， 有

\frac{\left|u\left(w\right){\phi }^{\text{'}}\left(w\right)\right|}{{\left(\mathrm{1}-{\left|\phi \left(w\right)\right|}^{\mathrm{2}}\right)}^{\frac{\alpha +\mathrm{2}}{p}+n}}\lesssim h\left(w\right),\mathrm{a}.\mathrm{e}.\left[\mathrm{d}{A}_{\beta }\right]（6）

接下来考虑\left|\phi \left(w\right)\right|\le \mathrm{1}/\mathrm{2}的情况。此时我们有

\frac{\mathrm{1}}{{\left(\mathrm{1}-{\left|\phi \left(w\right)\right|}^{\mathrm{2}}\right)}^{\frac{\alpha +\mathrm{2}}{p}+n}}\lesssim \mathrm{1}\mathrm{。}

设f\left(z\right)=z^{n+\mathrm{1}}。由算子D_{u,\phi }^n:D_{\alpha }^p\to L^q\left(\mathrm{d}{A}_{\beta }\right)的序有界性， 有

\left|{\left(D_{u,\phi }^n{z}^{n+\mathrm{1}}\right)}^{\text{'}}\left(z\right)\right|=\left|\left(n+\mathrm{1}\right)!u^{\text{'}}\left(z\right)\phi \left(z\right)+u\left(z\right){\phi }^{\text{'}}\left(z\right)\left(n+\mathrm{1}\right)!\right|\lesssim h\left(z\right)\mathrm{a}.\mathrm{e}.\left[\mathrm{d}{A}_{\beta }\right]\mathrm{。}

由此， 我们得到以下关系

\left|u\left(z\right){\phi }^{\text{'}}\left(z\right)\right|\lesssim h\left(z\right),\mathrm{a}.\mathrm{e}.\left[\mathrm{d}{A}_{\beta }\right]\mathrm{。}

因此， 对于\left|\phi \left(w\right)\right|\le \mathrm{1}/\mathrm{2}， 有

\frac{\left|u\left(w\right){\phi }^{\text{'}}\left(w\right)\right|}{{\left(\mathrm{1}-{\left|\phi \left(w\right)\right|}^{\mathrm{2}}\right)}^{\frac{\alpha +\mathrm{2}}{p}+n}}\lesssim h\left(w\right),\mathrm{a}.\mathrm{e}.\left[\mathrm{d}{A}_{\beta }\right]（7）

由式（6）和式（7）， 对于w\in \mathit{𝔻}，

\frac{\left|u\left(w\right){\phi }^{\text{'}}\left(w\right)\right|}{{\left(\mathrm{1}-{\left|\phi \left(w\right)\right|}^{\mathrm{2}}\right)}^{\frac{\alpha +\mathrm{2}}{p}+n}}\lesssim h\left(w\right),\mathrm{a}.\mathrm{e}.\left[\mathrm{d}{A}_{\beta }\right],

即

。

证毕。

文献［46］研究了算子L_{\mathit{u},\phi }^{\left(n\right)}={\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^n}{D}_{u_j,\phi }^j. 这是对Stević-Sharma算子和广义加权复合算子D_{\alpha }^p的自然推广。对于和算子L_{\mathit{u},\phi }^{\left(n\right)}:D_{\alpha }^p\to L^q\left(d{A}_{\beta }\right)的序有界性， 本文还获得了以下结果：

定理2.2 设，，\phi是\mathit{𝔻}到自身的解析映射， 且u_j\in H\left(\mathit{𝔻}\right)，j=\mathrm{0,1},\dots ,n\mathrm{。}则L_{\mathit{u},\phi }^{\left(n\right)}:D_{\alpha }^p\to L^q\left(d{A}_{\beta }\right)是序有界的当且仅当

（8）

证明 假设式（8）成立。设f\in D_{\alpha }^p且{‖f‖}_{D_{\alpha }^p}\le \mathrm{1}。由引理1.3有

\begin{array}{l}\left|{\left(L_{\mathit{u},\phi }^{\left(n\right)}f\right)}^{\text{'}}\left(z\right)\right|=\left|{\left({\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^n}{D}_{u_j,\phi }^{j}f\right)}^{\text{'}}\left(z\right)\right|=\left|{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^n}{u}_j^{\text{'}}\left(z\right)f^{\left(j\right)}\left(\phi \left(z\right)\right)+u_j\left(z\right){\phi }^{\text{'}}\left(z\right)f^{\left(j+\mathrm{1}\right)}\left(\phi \left(z\right)\right)\right|\le \\ {\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^n}\left|u_j^{\text{'}}\left(z\right)f^{\left(j\right)}\left(\phi \left(z\right)\right)+u_j\left(z\right){\phi }^{\text{'}}\left(z\right)f^{\left(j+\mathrm{1}\right)}\left(\phi \left(z\right)\right)\right|\le \\ {\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^n}\left(\left|u_j^{\text{'}}\left(z\right)\right|\left|f^{\left(j\right)}\left(\phi \left(z\right)\right)\right|+\left|u_j\left(z\right){\phi }^{\text{'}}\left(z\right)\right|\left|f^{\left(j+\mathrm{1}\right)}\left(\phi \left(z\right)\right)\right|\right)\lesssim \\ {\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^n}\left(\frac{\left|u_j^{\text{'}}\left(z\right)\right|}{{\left(\mathrm{1}-{\left|\phi \left(z\right)\right|}^{\mathrm{2}}\right)}^{\frac{\alpha +\mathrm{2}}{p}+j-\mathrm{1}}}+\frac{\left|u_j\left(z\right){\phi }^{\text{'}}\left(z\right)\right|}{{\left(\mathrm{1}-{\left|\phi \left(z\right)\right|}^{\mathrm{2}}\right)}^{\frac{\alpha +\mathrm{2}}{p}+j}}\right)\mathrm{。}\end{array}

令

g\left(z\right)=\left(\frac{\left|u_j^{\text{'}}\left(z\right)\right|}{{\left(\mathrm{1}-{\left|\phi \left(z\right)\right|}^{\mathrm{2}}\right)}^{\frac{\alpha +\mathrm{2}}{p}+j-\mathrm{1}}}+\frac{\left|u_j\left(z\right){\phi }^{\text{'}}\left(z\right)\right|}{{\left(\mathrm{1}-{\left|\phi \left(z\right)\right|}^{\mathrm{2}}\right)}^{\frac{\alpha +\mathrm{2}}{p}+j}}\right)\mathrm{。}

则由式（8）知g属于L^q\left(\mathrm{d}{A}_{\beta }\right)且

\left|{\left(L_{u,\phi }^{\left(n\right)}f\right)}^{\text{'}}\left(z\right)\right|\lesssim g\left(z\right)。

因此， 算子L_{\mathit{u},\phi }^{\left(n\right)}:D_{\alpha }^p\to L^q\left(\mathrm{d}{A}_{\beta }\right)是序有界的。

反过来， 假设L_{\mathit{u},\phi }^{\left(n\right)}:D_{\alpha }^p\to L^q\left(\mathrm{d}{A}_{\beta }\right)是序有界的。则存在h\in L^q\left(d{A}_{\beta }\right)使得对于f\in D_{\alpha }^p且{‖f‖}_{D_{\alpha }^p}\le \mathrm{1}， 有

\left|{\left(L_{\mathit{u},\phi }^{\left(n\right)}f\right)}^{\text{'}}\left(z\right)\right|\le h\left(z\right),\mathrm{a}.\mathrm{e}.\left[\mathrm{d}{A}_{\beta }\right]（9）

对于w\in \mathit{𝔻}， 根据引理1.6，存在一个函数f_{\phi \left(w\right),j}^{\left(n\right)}\in D_{\alpha }^p与\underset{w\in \mathit{𝔻}}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{‖f_{\phi \left(w\right),j}^{\left(n\right)}‖}_{D_{\alpha }^p}\lesssim \mathrm{1}，使得

f_{\phi \left(w\right),j}^{\left(j\right)}\left(\phi \left(w\right)\right)=\frac{{\left|\overline{\phi \left(w\right)}\right|}^j}{{\left(\mathrm{1}-{\left|\phi \left(w\right)\right|}^{\mathrm{2}}\right)}^{\frac{\alpha +\mathrm{2}}{p}+j-\mathrm{1}}},f_{\phi \left(w\right),j}^{\left(j+\mathrm{1}\right)}\left(\phi \left(w\right)\right)=\mathrm{0}（10）

因此，将函数f_{\phi \left(w\right),j}代入式（9）， 并由式（10）可得

\begin{array}{l}g\left(w\right)\gtrsim \left|{\left(L_{\mathit{u},\phi }^{\left(n\right)}{f}_{\phi \left(w\right),j}\right)}^{\text{'}}\right|=\\ {\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^n}\left|u_j^{\text{'}}\left(w\right)f_{\phi \left(w\right),j}^{\left(j\right)}\left(\phi \left(w\right)\right)\right|=\\ {\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^n}\frac{\left|u_j^{\text{'}}\left(w\right)\right|{\left|\phi \left(w\right)\right|}^j}{{\left(\mathrm{1}-{\left|\phi \left(w\right)\right|}^{\mathrm{2}}\right)}^{\frac{\alpha +\mathrm{2}}{p}+j-\mathrm{1}}},\mathrm{a}.\mathrm{e}.\left[\mathrm{d}{A}_{\beta }\right]\mathrm{。}\end{array}

这表明

对于

的证明与定理2.1的第二部分证明相似， 此处省略。证毕。

结合定理2.1和定理2.2， 我们得到以下推论：

推论2.3 设，，\phi是\mathit{𝔻}到自身的解析映射， 且u_j\in H\left(\mathit{𝔻}\right)，j=\mathrm{0,1},\dots ,n。则L_{\mathit{u},\phi }^{\left(n\right)}:D_{\alpha }^p\to L^q\left(\mathrm{d}{A}_{\beta }\right)是序有界的当且仅当D_{u,\phi }^j:D_{\alpha }^p\to L^q\left(d{A}_{\beta }\right)是序有界， 其中j=\mathrm{0,1},\dots ,n。

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基金资助

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