激光跟踪测量场转站误差和ERS点配置优化方法研究

Research on field transfer station error and ERS point configuration optimization method in laser tracking measurement

摘要

在高端装备制造领域，激光跟踪仪转站测量是大尺寸结构测量的基本方法之一。转站测量时，激光跟踪仪需要进行多次转站，测量场中公共观测点（ERS点）配置和转站测量误差是影响总测量精度的两个主要因素。在实际应用中，如何合理确定ERS点配置方案并控制转站测量误差是两个重要问题。基于转站测量误差传递模型及ERS点配置方法研究了一种大尺寸飞行器复杂结构的高精度激光跟踪转站测量。以灵敏度系数为评价指标仿真分析ERS配置对测量误差的影响。为了确定转站测量误差的控制范围，本文对完整转站过程进行Monte Carlo仿真，结果表明平均平移误差和旋转误差分别为1.05%和1.08%，平均转站误差为0.28%。本文的结果为大尺寸复杂结构的高精度测量提供一个重要案例。

Abstract

In the field of high-end equipment manufacturing， laser tracker transfer station measurement is one of the fundamental methods for measuring large-sized structures. When conducting station transfer measurements， the laser tracker needs to perform multiple station transfers. The configuration of common observation points （ERS points） in the measurement field and the station transfer measurement error are the two main factors affecting the overall measurement accuracy. In practical applications， how to reasonably determine the ERS point configuration scheme and control the transfer station measurement error are two important issues. Based on the error transfer model of transfer station measurement and the ERS point configuration method， this paper studies a high-precision laser tracking transfer station measurement for the complex structure of large-sized aircraft. This paper takes the sensitivity coefficient as the evaluation index to simulate and analyze the influence of ERS configuration on measurement errors. In order to determine the control range of the transfer station measurement error， this paper conducts Monte Carlo simulation on the complete transfer station process. The results show that the average translation error and rotation error are 1.05% and 1.08% respectively， and the average transfer station error is 0.28%. The results of this paper provide an important case for high-precision measurement of large-sized and complex structures.This paper also analyzes the optimization of ERS point configuration in the measurement field and adopts the sensitivity coefficient as the evaluation index for the influence of ERS point configuration methods on the uncertainty of transfer station parameter errors. Based on the uncertainty ellipsoid model， this paper simulates the configuration of ERS points in a large-scale measurement field， analyzes the influence of the number of ERS points and different layouts on the transfer station error， in order to provide a reference for the configuration of ERS points during the actual measurement process.

Graphical abstract

关键词

激光跟踪仪 / 转站误差 / ERS点配置 / 大尺寸结构

Key words

laser tracker measurement / transfer station error / ERS configuration / large-scale structure

大尺寸复杂结构的精密测量技术是衡量国家制造能力和科技水平的重要指标之一^［1］。随着激光跟踪仪等设备的推广应用，大尺寸复杂结构的测量精度不断提高^［2］。在工程应用中，受结构复杂性或现场条件（如遮挡等）的限制，仅使用单台激光跟踪仪往往无法覆盖整个测量目标，此时就需要使用多台激光跟踪仪进行协同测量，或使用单台激光跟踪仪进行转站测量，即在多个预设站位间逐步转进、实现对测量目标的完整覆盖^［3］。一般而言，后一种测量方法更具成本优势。

转站测量需要建立测量场并合理配置公共观测点。公共观测点配置和单次转站测量误差（简称转站误差）是影响总测量精度的两个主要因素。实际测量往往使用间接测量，即利用一组固定的增强参考系统点（Enhanced Reference System points， ERS点）测量3个或更多互不共线、互不共面的增强参考系统点的坐标^［4］，然后通过奇异值分解法（Singular Value Decomposition，SVD）^［5-6］，四元数法及正交矩阵法等刚性匹配算法计算测量设备坐标系与基准坐标系间的转换关系。在测量过程中，如何根据工况条件合理配置ERS点、控制转站误差，达到预设测量精度是两个难点。其中，对于转站误差控制，文献［7］通过引入模式搜索策略，优化了大尺寸测量中的坐标转站流程，显著提升了转站过程的可靠性。文献［8］提出的刚体运动学算法，有效剔除了超差公共点，为坐标系转换提供了理论支撑。文献［9］提出了一种带工程几何约束的加权点匹配算法，当测量点数量增加时仍能保持较高运算速度，并补偿温度的影响、减小转站误差。文献［10］提出一种基于Procrustes分析法的EIV-EOPA模型的Procrustes加权整体最小二乘法，提高了飞机大尺寸部件装配的精度和计算效率。文献［11］分析了不确定度对转站参数和转站误差的影响。值得注意的是，上述方法主要针对特定测量系统，没有考虑ERS点配置对总测量精度的影响。在ERS点配置评价方面，文献［12］采用4种不同配置方式定性研究了ERS点布局形态和数量对测量值的影响，但没有分析转站误差对总测量误差的影响。

鉴于目前同时考虑转站误差和ERS点配置对总测量误差的影响的文献还不多见，本文以某型无人机机身骨架典型薄壁梁构件为研究对象，基于转站误差模型并通过计算测量场的不确定度及蒙特卡洛仿真研究了如何合理确定ERS点配置并控制转站误差，最终达到预设的总测量误差，为激光测量仪在大尺寸复杂结构高精度测量中的进一步应用提供参考。

1 大尺寸测量场误差分析模型

1.1 转站误差

图1为多站位激光跟踪仪转站测量示意图。转站误差可归结为位置和姿态参数误差，从数学上看，位置参数即为测量坐标系到全局坐标系转换关系中的平移向量，其误差代表定位精度。

在图2中，矢量{\mathit{T}}_{\mathrm{0}}为激光跟踪仪与^［13］全局坐标系O_{\mathrm{L}\mathrm{1}}\mathrm{⁃}{X}_{\mathrm{L}\mathrm{1}}{Y}_{\mathrm{L}\mathrm{1}}{Z}_{\mathrm{L}\mathrm{1}}的位置，矢量\mathit{T}为激光跟踪装置与全局坐标系O_{\mathrm{L}\mathrm{2}}\mathrm{⁃}{X}_{\mathrm{L}\mathrm{2}}{Y}_{\mathrm{L}\mathrm{2}}{Z}_{\mathrm{L}\mathrm{2}}的实际测量位置，从而位置误差如式（1）所示。

\mathrm{\Delta }\mathit{T}=\mathit{T}-{\mathit{T}}_{\mathrm{0}}={\left[T_x-T_{x\mathrm{0}}{T}_y-T_{y\mathrm{0}}{T}_z-T_{z\mathrm{0}}\right]}^{\mathrm{T}}(1)

式中， \mathrm{\Delta }\mathit{T}=[\mathrm{\Delta }{T}_x\Delta T_y\Delta T_z{]}^{\mathrm{T}}。

姿态参数是激光跟踪仪坐标系（测量坐标系）在全局坐标系中的方向向量^［14］，其误差^［15-16］代表姿态精度。如图3所示，坐标系O_{\mathrm{L}\mathrm{1}}\mathrm{⁃}{X}_{\mathrm{L}\mathrm{1}}{Y}_{\mathrm{L}\mathrm{1}}{Z}_{\mathrm{L}\mathrm{1}}为激光跟踪仪在全局坐标系中的理论位姿。基于刚性转换原理，将坐标系O_{\mathrm{L}\mathrm{2}}\mathrm{⁃}{X}_{\mathrm{L}\mathrm{2}}{Y}_{\mathrm{L}\mathrm{2}}{Z}_{\mathrm{L}\mathrm{2}}视为通过旋转矩阵变换而获得的坐标系O_{\mathrm{L}\mathrm{1}}\mathrm{⁃}{X}_{\mathrm{L}\mathrm{1}}{Y}_{\mathrm{L}\mathrm{1}}{Z}_{\mathrm{L}\mathrm{1}}。因此，姿态误差矩阵\mathrm{\Delta }\mathit{R}的定义如式（2）所示。

\mathrm{\Delta }\mathit{R}=\mathit{R}{\mathit{R}}_{\mathrm{0}}^{-\mathrm{1}}=\mathit{R}{\mathit{R}}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{T}}(2)

用RPY角表示姿态误差。当RPY角度很小时，△\mathit{R}可近似表示为式（3）形式。

\begin{array}{l}△\mathit{R}\approx \left[\begin{array}{ccc}\mathrm{1}& -△\gamma & △\beta \\ △\gamma & \mathrm{1}& -△\alpha \\ -△\beta & △\alpha & \mathrm{1}\end{array}\right]=\\ \left[\begin{array}{ccc}\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{0}& -△\gamma & △\beta \\ △\gamma & \mathrm{0}& -△\alpha \\ -△\beta & △\alpha & \mathrm{0}\end{array}\right]\end{array}(3)

从而姿态误差矩阵△\mathit{R}便能够用RPY角误差的△\alpha、△\beta和△\gamma来表示。

1.2 误差传递公式

设ERS点在全局坐标系^［17-18］下的理论真值设为{\mathit{y}}_i，用{\mathit{x}}_i和\mathrm{\Delta }{\mathit{x}}_i分别表示ERS点在测量坐标系下的实际测量均值和测量误差，假定测量误差\mathrm{\Delta }{\mathit{x}}_i服从均值为零、协方差为{\mathrm{\Sigma }}_{xi}的正态分布。则转站误差^［19］如式（4）所示。

\begin{array}{l}R{E}^{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{N}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}{\left|\mathit{R}\left({\mathit{x}}_i+\mathrm{\Delta }{\mathit{x}}_i\right)+\mathit{T}-{\mathit{y}}_i\right|}^{\mathrm{2}}=\\ \frac{\mathrm{1}}{N}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}{\left|\mathit{R}{\mathit{x}}_i+\mathit{T}-{\mathit{y}}_i+\mathrm{\Delta }{\mathit{\epsilon }}_i\right|}^{\mathrm{2}}\end{array}(4)

如果没有测量误差，两个ERS点能够很好地匹配，则它们的位置坐标应符合式（5）的关系。

{\mathit{y}}_i={\mathit{R}}_{\mathrm{0}}{\mathit{x}}_i+{\mathit{T}}_{\mathrm{0}}(5)

将式（4）代入式（5）得到式（6）。

\begin{array}{l}R{E}^{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{N}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}|\mathit{R}({\mathit{x}}_i+\mathrm{\Delta }{\mathit{x}}_i)+\\ \mathit{T}-({\mathit{R}}_{\mathrm{0}}{\mathit{x}}_i+{\mathit{T}}_{\mathrm{0}}){|}^{\mathrm{2}}=\\ \frac{\mathrm{1}}{N}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}{\left|\overline{\mathrm{\Delta }\mathit{R}}{\mathit{X}}_i+\mathrm{\Delta }\mathit{T}+\mathrm{\Delta }{\mathit{\epsilon }}_i\right|}^{\mathrm{2}}\end{array}(6)

可见，转站误差由角参数误差、位置参数误差及激光跟踪仪测量误差等3部分组成。ERS点测量误差矩阵如式（7）所示。

\mathit{e}={\left[\begin{array}{ccccccccccc}-\mathrm{\Delta }{\mathit{\epsilon }}_{\mathrm{11}}& -\mathrm{\Delta }{\mathit{\epsilon }}_{\mathrm{12}}& -\mathrm{\Delta }{\mathit{\epsilon }}_{\mathrm{13}}& \cdots & -\mathrm{\Delta }{\mathit{\epsilon }}_{i\mathrm{1}}& -\mathrm{\Delta }{\mathit{\epsilon }}_{i\mathrm{2}}& -\mathrm{\Delta }{\mathit{\epsilon }}_{i\mathrm{3}}& \cdots & -\mathrm{\Delta }{\mathit{\epsilon }}_{N\mathrm{1}}& -\mathrm{\Delta }{\mathit{\epsilon }}_{N\mathrm{2}}& -\mathrm{\Delta }{\mathit{\epsilon }}_{N\mathrm{3}}\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}(7)

转站误差如式（8）所示。

{\mathit{f}}_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}=\mathit{U}\left[\begin{array}{cc}\mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& {\mathit{I}}_{\mathrm{3}N-\mathrm{6}}\end{array}\right]{\mathit{U}}^{\mathrm{T}}\mathit{e}(8)

通过矩阵运算，式（8）清晰地表达了转站误差、ERS点测量误差和正交矩阵 U 的关系。对ERS点配置矩阵进行奇异值分解（SVD），可得到转站误差计算公式，如式（9）所示。

\begin{array}{l}\mathit{F}\mathit{E}=\mathit{R}(\mathit{r}+\mathrm{\Delta }\mathit{r})+\mathit{T}-{\mathit{r}}_{\mathrm{0}}=\\ \mathit{R}(\mathit{r}+\mathrm{\Delta }\mathit{r})+\mathit{T}-({\mathit{R}}_{\mathrm{0}}\mathit{r}+{\mathit{T}}_{\mathrm{0}})\end{array}(9)

其中，\mathit{r}是激光跟踪仪坐标系统下测量场内任意点的真实值，\mathrm{\Delta }\mathit{r}为测量误差。根据式（6），测量误差如式（10）所示。

\begin{array}{l}\mathit{F}\mathit{E}=\left(\mathit{R}{\mathit{R}}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{T}}{\mathit{R}}_{\mathrm{0}}\mathit{r}-{\mathit{R}}_{\mathrm{0}}r\right)+\left(\mathit{T}-{\mathit{T}}_{\mathrm{0}}\right)+\\ \mathit{R}\mathrm{\Delta }\mathit{r}=\mathit{D}\mathit{q}+\mathit{R}\mathrm{\Delta }\mathit{r}\end{array}(10)

即测量误差为式（11）和式（12）之和。

\mathit{F}{\mathit{E}}_{\mathrm{q}}=\mathit{D}{\mathit{q}}_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}(11)

\mathit{F}{\mathit{E}}_{\mathrm{r}}=\mathit{R}\mathrm{\Delta }\mathit{r}(12)

式中，\mathit{F}{\mathit{E}}_{\mathrm{q}}刻画了转站误差和测量点位置对测量场误差的影响。\mathit{F}{\mathit{E}}_{\mathrm{r}}刻画了激光跟踪仪相对于测量场的测量误差。另外，虽然 R 对测量精度也有影响，但因为 R 是旋转矩阵，所以总有|\mathit{F}{\mathit{E}}_{\mathrm{r}}|=‖\mathrm{\Delta }\mathit{r}‖。

1.3 转站误差的不确定度评价

由不确定度定律^［20］，某一被测量y可以由某些输入变量x_{\mathrm{1}}\mathrm{、}{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{、}\dots \mathrm{、}{x}_n的测量值间接得出。若被测对象y与输入变量x_{\mathrm{1}}\mathrm{、}{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{、}\dots \mathrm{、}{x}_n符合适当条件，那么y的不确定度u\left(y\right)可通过式（13）从输入变量u\left(x_{\mathrm{1}}\right)\mathrm{、}u\left(x_{\mathrm{2}}\right)\mathrm{、}\dots \mathrm{、}u\left(x_n\right)的基准不确定度计算。

\begin{array}{l}{u}_c^{\mathrm{2}}\left(y\right)={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}{(\frac{\partial f}{\partial x_i})}^{\mathrm{2}}{u}^{\mathrm{2}}(x_i)+\\ \mathrm{2}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{N-\mathrm{1}}}{\displaystyle \sum _{j=i+\mathrm{1}}^N}\frac{\partial f}{\partial x_i}\frac{\partial f}{\partial x_j}u(x_i,x_j)=\\ {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}{(\frac{\partial f}{\partial x_i})}^{\mathrm{2}}{u}^{\mathrm{2}}(x_i)+\\ \mathrm{2}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{N-\mathrm{1}}}{\displaystyle \sum _{j=i+\mathrm{1}}^N}\frac{\partial f}{\partial x_i}\frac{\partial f}{\partial x_j}r(x_i,x_j)u(x_i)u(x_j)\end{array}(13)

其中，u\left(x_i,x_j\right)为x_i\mathrm{、}{x}_j协方差估计值，r\left(x_i,x_j\right)为x_i\mathrm{、}{x}_j之间的相关系数。式（13）可简化为式（14）。

u_c^{\mathrm{2}}(y)={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{c}_i^{\mathrm{2}}{u}^{\mathrm{2}}(x_i)(14)

从而转站误差的不确定度如式（15）所示。

{\left(q_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\right)}_k={\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{\mathrm{3}N}}{C}_{kj}^{+}{e}_j,k=\mathrm{1,2},\cdots ,\mathrm{6}(15)

当ERS点的误差矩阵\mathit{e}的不确定度已知时，转站参数q的不确定度矩阵如式（16）所示。

\mathit{U}(\mathit{q})={\mathit{C}}^{+}\mathit{U}(\mathit{e}){\left({\mathit{C}}^{+}\right)}^{\mathrm{T}}(16)

此外，第i个ERS点的匹配误差如式（17）所示。

\begin{array}{l}{\left.\mathit{R}{\mathit{E}}_{ij}=\left(\begin{array}{c}{\mathit{f}}_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\end{array}\right.\right)}_{\mathrm{3}(i-\mathrm{1})+j},i=\mathrm{1,2},\cdots ,N;\\ j=\mathrm{1,2},\mathrm{3}\end{array}(17)

最后，转站误差的估算值可表示为式（18）。

\begin{array}{l}〈\mathit{R}{\mathit{E}}^{\mathrm{2}}〉=\frac{\mathrm{1}}{N}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{\mathrm{3}N}}({\mathrm{\Sigma }}_{\mathit{R}\mathit{E}}{)}_{kk}=\\ \frac{\mathrm{1}}{N}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{\mathrm{3}N}}(\mathit{U}\mathrm{\Sigma }(\mathit{e}){\mathit{U}}^{\text{'}}{)}_{jj}\end{array}(18)

给定转站参数的不确定度后，可由以下公式求测量场的误差不确定度：

\mathit{U}(\mathit{F}\mathit{E})=\mathit{D}\mathit{U}(\mathit{q}){\mathit{D}}^{\mathrm{T}}+\mathit{R}\mathit{U}(\mathit{r})\mathit{R}(19)

1.4 ERS点布局对转站误差的影响

ERS点配置对转站误差也有影响。根据式（16）可得转站误差的表达式，如式（20）所示。

\left\{\begin{array}{l}U(\mathrm{\Delta }\alpha )={\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{\mathrm{3}N}}{C}_{\mathrm{2}j}^{+}{)}^{\mathrm{2}}U(e_j),\\ U(\mathrm{\Delta }\gamma )={\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{\mathrm{3}N}}(C_{\mathrm{3}j}^{+}{)}^{\mathrm{2}}U(e_j),\\ U(\mathrm{\Delta }x)={\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{\mathrm{3}N}}(C_{\mathrm{4}j}^{+}{)}^{\mathrm{2}}U(e_j),\\ U(\mathrm{\Delta }y)={\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{\mathrm{3}N}}(C_{\mathrm{5}j}^{+}{)}^{\mathrm{2}}U(e_j),\\ U(\mathrm{\Delta }z)={\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{\mathrm{3}N}}(C_{\mathrm{6}j}^{+}{)}^{\mathrm{2}}U(e_j)\end{array}\right.(20)

式（20）可简化为：

\left\{\begin{array}{l}{K}_{\alpha }={\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{\mathrm{3}N}}(C_{\mathrm{1}j}^{+}{)}^{\mathrm{2}},\\ K_{\mathrm{\beta }}={\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{\mathrm{3}N}}(C_{\mathrm{2}j}^{+}{)}^{\mathrm{2}},\\ K_{\gamma }={\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{\mathrm{3}N}}(C_{\mathrm{3}j}^{+}{)}^{\mathrm{2}},\\ K_x={\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{\mathrm{3}N}}(C_{\mathrm{4}j}^{+}{)}^{\mathrm{2}},\\ K_y={\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{\mathrm{3}N}}(C_{\mathrm{5}j}^{+}{)}^{\mathrm{2}},\\ K_z={\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{\mathrm{3}N}}(C_{\mathrm{6}j}^{+}{)}^{\mathrm{2}}\end{array}\right.(21)

式中，K_{\alpha }\mathrm{、}{K}_{\beta }\mathrm{、}{K}_{\gamma }分别是角\alpha、\beta、\gamma的角度误差灵敏系数，K_x\mathrm{、}{K}_y\mathrm{、}{K}_z分别是x、y、z的位置误差灵敏系数。这些系数表征了ERS点测量不确定度变化所导致的转站误差不确定度的变化率，直观反映ERS点布局对转站精度的影响。当ERS点测量不确定度恒定时，误差灵敏度系数与转站误差不确定度具有以下特点：较小的灵敏度系数对应较低转站误差不确定度，因而这一特点可作为评估ERS点空间配置优劣的重要判据。此外，如果将误差灵敏度系数表示为角误差灵敏度系数与位置误差灵敏度系数之和，则有式（22）的关系。

\begin{array}{l}{K}_{\mathrm{A}}=K_{\alpha }+K_{\beta }+K_{\gamma }\\ K_{\mathrm{P}}=K_x+K_y+K_z\end{array}(22)

从而可以用\{K_{\mathrm{A}},K_{\mathrm{P}}\}来评价ERS点配置的优劣。

2 面向无人机典型梁构件的大尺寸测量场配置分析与优化

梁结构是飞机机翼关键承力部件，具有尺寸大、结构复杂及精度要求高等显著特点。用于仿真的结构为典型的“工”字形截面加筋梁，总长度为1.6 m，截面高度变化范围200~450 mm，腹板厚度为3~5 mm，具有显著薄壁弱刚性特征，如图4所示。

在制造与装配过程中，由于梁体存在复杂的曲面外形和密集的连接孔系，传统的接触式测量方法难以实现高效检测，另一方面，采用激光跟踪仪进行光学非接触测量时则存在多站位转换带来的误差累积问题。本研究针对该航空梁结构的几何特征和测量难点，重点分析激光跟踪仪多站测量过程中误差传递规律，并基于该典型构件开展测量精度优化方法研究，为航空大尺寸弱刚性构件的精密测量提供技术参考。

对激光跟踪仪的转站操作进行蒙特卡洛模拟需要对其进行误差建模。激光跟踪仪是一种典型的球面坐标值，3个坐标\mathit{\psi }={\left[\begin{array}{ccc}\theta & \varphi & r\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}为跟踪仪传感器参数的合成函数，如式（23）所示。

\mathit{x}=\mathit{f}(\mathit{\psi })=\left[\begin{array}{c}r\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\varphi )\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\theta )\\ r\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\varphi )\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\theta )\\ r\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\varphi )\end{array}\right](23)

其中，激光跟踪仪的测量参数由水平角\varphi、垂直角\theta和距离r构成，分别对应仪器的角度和距离传感器读数。激光跟踪仪的角度传感器的不确定度为u\left(\varphi \right)=u\left(\theta \right)={\mathrm{2}}^{″}，距离传感器不确定度为u(r)=\mathrm{10}\mu +\mathrm{5}\mu /m。

仿真分析采用以下步骤进行误差分析： 1） 建立激光跟踪仪转站参数模型，包括旋转矩阵\mathit{R}，平移矩阵\mathit{T}，并计算理论测量值\mathit{x}={\mathit{R}}^{-\mathrm{1}}(\mathit{y}-\mathit{T})。2） 利用蒙特卡洛法模拟激光跟踪仪进行10 000次转站操作。第1步，先根据式（23）逆向求出与各ERS点相对应的激光跟踪仪的传感器参数，并计算雅各比矩阵\mathit{J}\left(\theta \right)；第2步，使用随机噪声\delta \theta模拟每个ERS点的激光跟踪仪传感器测量误差，其中角度传感器误差\delta \varphi和\delta \theta服从均值0，标准差为u\left(\varphi \right)和u\left(\theta \right)的正态分布距离误差\delta d服从均值为0，标准差为u\left(d\right)的正态分布；第3步，传感器的参数有较小的误差存在时，根据式\mathrm{\Delta }\mathit{x}=\mathit{J}\left(\mathit{\psi }\right)\mathit{\delta }\mathit{\psi }计算各ERS点的测量误差；第4步，利用公式{\mathit{x}}^{\text{'}}=\mathit{x}+\mathrm{\Delta }\mathit{x}进行参数解算；第5步，将实测值\mathit{x}与理论值\mathit{y}进行匹配操作，通过SVD方法进行实测值与理论值的最佳匹配，求出转站误差。3）统计并分析以上模拟结果，求得转站参数误差的标准不确定度\left(s\right)，并对转站误差的平均特性进行评估。s的表达式如式（24）所示。

s=\sqrt[]{\frac{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}(A_i{-\overline{A})}^{\mathrm{2}}}{n-\mathrm{1}}}(24)

4） 对各个站位分别求取转站参数测量误差不确定度的估计量，并同时得到对应的转站误差估计值。5） 将各站测量数据与模拟数据进行对比分析，验证总测量精度的一致性。

2.1 转站参数误差和转站误差分布

在已知转站误差模型的前提下，通过对转站参数误差分布特性的探讨，其可视为激光跟踪仪对ERS点测量误差经过ERS点空间配置矩阵线性加权后的结果。图5为仿真数据直方图，直观展示了转站参数误差的分布特征，其中的正态分布概率密度函数曲线表明，转站参数误差符合正态分布规律，符合理论预期。然而，完整的转站误差（包含旋转和平移分量）作为一个整体并不服从正态分布，如图6所示。

2.2 转站参数误差的不确定度估计

图7对比分析了不同测量站位下转站参数误差的不确定度仿真结果与理论预测值。由图可知，理论模型计算得到的不确定度与仿真结果一致，验证了估计方法的准确性。此外，理论估计值在整体趋势和数值大小上均与仿真结果吻合，平移参数误差的不确定度，其平均估计偏差为1.05%，最大估计偏差为1.21%；而旋转参数误差对应的不确定度，平均估计偏差为1.08%，最大估计偏差为1.87%。总体来看，本方法对平移和旋转参数的不确定度估计误差均未超过3%，具有较高的估计精度和可靠性，旋转参数误差的不确定度估计精度略低于平移参数。

2.3 转站误差估计

图8展示了不同站位激光跟踪仪转站误差的仿真值与理论估计值的对比结果，圆形标记为理论估计值，星形标记为仿真均值，二者呈现高度一致性。可以看到，本方法在转站误差估计的准确度非常高，对转站误差的平均估计误差仅为0.28%，最大估计误差仅为0.52%。

3 ERS点配置及优化

ERS点的配置优化实验是在蒙特卡洛仿真方法的基础上采用不确定度椭球方法仿真测量误差的样本数据实现的。在精密测量领域，不确定度椭球作为一种有效的误差表征方法能够直观反映测量数据的空间分布特性。该方法通过计算测量样本的均值向量和协方差矩阵来构建三维椭球模型，其中椭球的几何参数（如半轴长度、方向角等）精确表征了测量误差在不同空间方向上的分布特征。图9展示了基于不确定度椭球的测量误差分析流程，这种基于概率统计的误差表征方法为评估复杂构件的测量精度提供了可靠依据。

设激光跟踪仪在测量坐标系下的坐标为P_T=(x_T,y_T,z_T)，第i个ERS点的理论坐标值为P_E=(x_i,y_i,z_i)，计算跟踪仪与各个ERS点间的距离如式（25）所示。

r=\sqrt[]{(x_T-x_i{)}^{\mathrm{2}}+(y_T-y_i{)}^{\mathrm{2}}+(z_T-z_i{)}^{\mathrm{2}}}(25)

使用Leica公司的型号为AT901-LR的激光跟踪仪。在不确定度椭球坐标系下，距离的最大不确定度如式（26）所示。

e_{\mathrm{d}}=e_{\mathrm{d}\mathrm{s}}+r{e}_{\mathrm{d}}^{\text{'}}=\mathrm{10}\mu +r\mathrm{*}\mathrm{0.5}\mu /m(26)

角度的最大不确定度如式（27）所示。

e_{\mathrm{d}}=r{e}_{\mathrm{a}}^{\mathrm{\text{'}}}=r\mathrm{*}\mathrm{0.5}\mu /m(27)

其中，e_{\mathrm{d}}和e_{\mathrm{a}}分别代表距离和角度方向上的不确定度，即椭球的半轴长。当e=\mathrm{2}\sigma时，置信水平可超过95%。此时，依据计算得到的\sigma，便能够在不确定度椭球坐标系内构造出服从正态分布的随机误差序列e_{\mathrm{e}}。其中，\sigma代表距离和角度上的标准偏差。如图10所示，参考不确定度椭球的定义，点P_i^{\text{'}}是通过旋转点P_i而形成的不确定度椭球。

根据不确定度椭球计算公式，测量点在P_i^{\text{'}}=(r,\mathrm{0,0})的协方差矩阵如式（28）所示。

{\mathit{Q}}^{\mathit{\text{'}}}=\left[\begin{array}{ccc}{e}_{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& e_{\mathrm{a}}^{\mathrm{2}}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& e_{\mathrm{a}}^{\mathrm{2}}\end{array}\right](28)

由此可得旋转矩阵{\mathit{R}}_{\mathrm{e}}，如式（29）所示。

{\mathit{R}}_{\mathrm{e}}={\left[\begin{array}{ccc}{\mathit{V}}_{\mathrm{1}}& {\mathit{V}}_{\mathrm{2}}& {\mathit{V}}_{\mathrm{3}}\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}(29)

其中的{\mathit{V}}_{\mathrm{1}}\mathrm{、}{\mathit{V}}_{\mathrm{2}}\mathrm{、}{\mathit{V}}_{\mathrm{3}}按照式（30）求解：

\left\{\begin{array}{l}{\mathit{V}}_{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{\sqrt[]{x^{\mathrm{2}}+y^{\mathrm{2}}+z^{\mathrm{2}}}}(x-y-z)\\ {\mathit{V}}_{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{\sqrt[]{x^{\mathrm{2}}+y^{\mathrm{2}}}}(y-x-\mathrm{0})\\ {\mathit{V}}_{\mathrm{3}}={\mathit{V}}_{\mathrm{1}}\times {\mathit{V}}_{\mathrm{2}}\end{array}\right.(30)

按式（31）求解不确定椭球的协方差矩阵

\mathit{Q}={\mathit{R}}_{\mathrm{e}}{\mathit{Q}}^{\mathit{\text{'}}}{\mathit{R}}_{\mathrm{e}}^{\mathrm{T}}(31)

式中，\mathit{Q}为不确定椭球的协方差矩阵，当椭球方向与坐标轴一致时，存在式（32）的关系。

{\mathit{Q}}^{\mathit{\text{'}}}=\left[\begin{array}{cccc}{\sigma }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}& \mathrm{0}& \cdots & \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& {\sigma }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}& \cdots & \mathrm{0}\\ ⋮& ⋮& \ddots & \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& ...& {\sigma }_{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}\end{array}\right](32)

根据式（29）和式（30）求解出不确定度椭球的旋转变换矩阵{\mathit{R}}_{\mathrm{e}}，可以把生成的随机误差矩阵{\mathit{e}}_{\mathrm{e}}转换至装配坐标系下，如式（33）所示。

{\mathit{e}}_{\mathit{e}}^{\mathit{\text{'}}}={\mathit{e}}_{\mathrm{e}}\times {\mathit{R}}_{\mathrm{e}}(33)

如图11所示，在ERS点配置数量实验中，ERS点布局为边长3 m的四棱锥。为研究ERS点数量对转站精度的影响，首次选用5个顶点的ERS点坐标，之后每次实验依次增加4个ERS点。各ERS点的理论坐标值见表1。

在图12所示的实验结果中，在ERS点配置形状相同的情况下，转站误差随ERS点数量的增加而减小，即ERS点数量越多大尺寸测量场的测量结果就越精确。

图13展示了角度误差灵敏度系数和位置误差灵敏度系数随ERS点数量的变化。随着ERS点增加，二者均单调递减，且在相同情况下角度误差灵敏度系数小于位置误差灵敏度系数，即ERS点数量增加引起的角度转站参数误差不确定度比位置转站参数误差不确定度小。

4 结论

本文围绕激光跟踪仪转站测量展开研究，重点探讨了转站参数误差以及相应不确定度的评估方法。通过引入蒙特卡洛数值仿真，对完整的转站测量流程进行了仿真建模与分析，验证了大尺寸不确定度评估和ERS点配置方法的准确性。其中，对于旋转参数，其平均估计误差为1.08%，最大值为1.87%；而对于平移参数，平均估计误差为1.05%，对应的最大误差为1.21%；对转站误差的平均估计误差仅为0.28%，最大估计误差也仅为0.52%。本文还对测量场中ERS点配置的优化进行分析，并采用灵敏度系数作为ERS点配置方式对转站参数误差不确定度影响的评价指标。基于不确定度椭球模型，本文对大尺寸测量场中ERS点的配置进行仿真，分析了ERS点数量对转站误差的影响，以便为实测过程中ERS点的配置提供参考。

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基金资助

国家重点研发计划(2022YFB4602304)

四川省科技计划资助项目(2024NSFSC0891)