拉普拉斯方程和热方程弱解的模连续估计

Modulus continuity estimates for weak solutions of Laplace equation and Heat equation

摘要

本文利用扰动方法研究了单位球上的拉普拉斯方程∆u\left(x\right)=f\left(x\right),x\in B_{\mathrm{1}}的H^{\mathrm{1}}弱解的模连续估计，证明其解的振幅函数能够被f的L^{\mathrm{2}}加权平均增长函数和{‖u‖}_{L^{\mathrm{2}}}控制。该结果蕴含了经典的拉普拉斯方程C^{\alpha }型估计。其次，本文研究了单位抛物柱体上热方程{\partial }_{t}u\left(x,t\right)-\mathrm{\Delta }u\left(x,t\right)=f\left(x,t\right),\left(x,t\right)\in Q_{\mathrm{1}}的H^{\mathrm{1}}弱解的模连续估计， 证明其解在抛物距离下的振幅函数能够被f的L^{\mathrm{2}}加权平均增长函数和{‖u‖}_{L^{\mathrm{2}}}控制。该结果蕴含了经典的热方程C^{\alpha ,\alpha /\mathrm{2}}-型估计。

Abstract

In this paper， we employ the perturbation method to study the modulus continuity estimates for Laplace equation and heat equation.Firstly， we investigate the modulus continuity estimate for the H^{\mathrm{1}} weak solutions of the Laplace equation ∆u\left(x\right)=f\left(x\right),x\in B_{\mathrm{1}}on unit ball.It is proven that the oscillation function of solutions can be bounded by the weighted L^{\mathrm{2}}-average growth function of f and {‖u‖}_{L^{\mathrm{2}}}， which implies the classical C^{\alpha } type estimate for the Laplace equation.Secondly， we study the modulus continuity estimate for the H^{\mathrm{1}} weak solutions of the heat equation {\partial }_{t}u\left(x,t\right)-\mathrm{\Delta }u\left(x,t\right)=f\left(x,t\right),\left(x,t\right)\in Q_{\mathrm{1}}on unit parabolic cylinder.It is proven that the oscillation function of solution under the parabolic distance can be controlled by the L^{\mathrm{2}}-weighted average growth function of f and {‖u‖}_{L^{\mathrm{2}}}.This result entails the classicalC^{\alpha ,\alpha /\mathrm{2}}-type estimate for the heat equation.

关键词

拉普拉斯方程 / 热方程 / 扰动方法 / 模连续

Key words

Laplace equation / heat equation / perturbation method / modulus continuity（2020 MSC 35J65）

拉普拉斯方程的C^{\mathrm{2},\alpha }估计又称Schauder估计， 是椭圆型偏微分方程的基本估计^［1］，首先由Schauder发现并证明。Schauder估计已有多种证明方法， 其中比较常见的有两类。一类借助积分型估计，包括以下几种处理方式： 文献 ［1］ 给出的经典牛顿位势估计方法；文献［2］ 引入的Campanato空间并结合局部积分估计给出的证明；文献［3］利用奇异积分估计证明的解的二阶导数对非齐次项的模连续估计。另一类是扰动方法，如文献［4-7］中的证明方法以及文献［8］给出的证明方法。扰动法需要构造一列逼近解，通过逼近解的性质来了解目标解的性质。在这方面，文献［8］的处理方式很巧妙，得到了一种量化形式的模连续估计。用B_{\mathrm{1}}=B_{\mathrm{1}}(\mathrm{0})表示 {\mathbb{R}}^n(n\ge \mathrm{2}) 中以原点为中心的单位开球，给定 B_{\mathrm{1}} 上的函数f， 令

文献［8］证明了下述估计：

定理A 设u\in C^{\mathrm{2}}\left(B_{\mathrm{1}}\right)满足方程\mathrm{\Delta }u\left(x\right)=f\left(x\right),x\in B_{\mathrm{1}},且则

\begin{array}{l}\underset{x,y\in B_{\mathrm{1}/\mathrm{2}},\left|x-y\right|\le d}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}\left|D^{\mathrm{2}}u\left(x\right)-D^{\mathrm{2}}u\left(y\right)\right|\le \\ C_n\left({\int }_{\mathrm{0}}^d\frac{\omega \left(r\right)}{r}\mathrm{d}r+d{\int }_d^{\mathrm{1}}\frac{\omega \left(r\right)}{r^{\mathrm{2}}}\mathrm{d}r+d{‖u‖}_{L^{\mathrm{\infty }}\left(B_{\mathrm{1}}\right)}\right)\mathrm{。}\end{array}

定理A量化了非齐次项对方程解的二阶导数的影响。特别地， 定理蕴含了经典 Schauder估计。值得注意的是，文献［8］中的方法也可用于处理完全非线性方程、蒙日安培方程等^［9-10］。

热方程也有Schauder估计^［11］。其证明方法与拉普拉斯方程类似，一种是借助积分型估计，比较典型的是采用各向异性的Campanato空间理论，另一种是扰动方法^［4-5］。此外，文献 ［8］也给出了与定理A类似的模连续估计。我们将其概述如下。给定点X=\left(x,t_{\mathrm{1}}\right),Y=\left(y,t_{\mathrm{2}}\right),x,y\in {\mathbb{R}}^n,t_{\mathrm{1}},t_{\mathrm{2}}\in \mathbb{R}，引入抛物距离

\delta \left(X,Y\right)=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{\left|x-y\right|,\sqrt[]{\left|t_{\mathrm{1}}-t_{\mathrm{2}}\right|}\right\}\mathrm{。}

定义抛物柱体

Q_r\left(X\right)=B_r\left(x\right)\times (t-r^{\mathrm{2}},t],X=\left(x,t\right)\mathrm{。}

令

定理B 设u\in C_{x,t}^{\mathrm{2,1}}\left(Q_{\mathrm{1}}\right)满足方程

{\partial }_{t}u(x,t)-\mathrm{\Delta }u\left(x,t\right)=f\left(x,t\right),(x,t)\in Q_{\mathrm{1}},

且则

\begin{array}{l}\underset{x,y\in Q_{\mathrm{1}/\mathrm{2}},\delta (X,Y)\le d}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}\left|D^{\mathrm{2}}u\left(X\right)-D^{\mathrm{2}}u\left(Y\right)\right|\le \\ C_n\left({\int }_{\mathrm{0}}^d\frac{\omega \left(r\right)}{r}\mathrm{d}r+d{\int }_d^{\mathrm{1}}\frac{\omega \left(r\right)}{r^{\mathrm{2}}}\mathrm{d}r+d{‖u‖}_{L^{\mathrm{\infty }}\left(Q_{\mathrm{1}}\right)}\right)\mathrm{。}\end{array}

文献［8］的研究是开创性的，也引起了很多后继研究，如文献［12］用同样方法改进了所谓的偏Schauder估计，即仅针对解的部分导数给出量化估计。目前，偏Schauder估计已经成为一个研究热点，相关研究可参见文献［13-14］，一个比较清晰的综述可参考文献［15］，最近的一些研究进展参见文献［16］以及其中的文献。

本文的目的是给出拉普拉斯方程和热方程的H^{\mathrm{1}}弱解的模连续估计。本文采用类似文献［8］的处理方法，但在以下两个方面有所不同： 1） 采用齐次方程的解作为逼近解，而不是非齐次项为常数的方程的解；2） 采用能量估计方法，而非极大值原理。

1 拉普拉斯方程的模连续估计

用B_r(x)表示{\mathbb{R}}^n\left(n\ge \mathrm{2}\right)中以x为中心，r为半径的开球，在不影响理解的前提下将其简记为B_r。引入记号

显然，\omega是 t的单调递增函数。

下面的引理是熟知的，参见文献［17］。

引理1.1 设函数u是B_r上的调和函数，即\mathrm{\Delta }u=\mathrm{0}, 则对任何\alpha都有

{‖D^{\alpha }u‖}_{L^{\mathrm{\infty }}(B_{r/\mathrm{2}})}\le \frac{C_{n,k}}{r^k}{\left(\frac{\mathrm{1}}{\left|B_r\right|}\underset{B_r}{\int }{\left|u\right|}^{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{1}/\mathrm{2}},

此处k=\left|\alpha \right|。

定理1.2 设u\in H^{\mathrm{1}}\left(B_{\mathrm{1}}\right)是方程

\mathrm{\Delta }u\left(x\right)=f\left(x\right),x\in B_{\mathrm{1}}（1）

的一个弱解，且

（2）

则

\begin{array}{l}\underset{x,y\in B_{\mathrm{1}/\mathrm{2}},\left|x-y\right|\le d}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}\left|u\left(x\right)-u\left(y\right)\right|\le \\ C_n\left({\int }_{\mathrm{0}}^d\frac{\omega \left(t\right)}{t}\mathrm{d}t+d{\int }_d^{\mathrm{1}}\frac{\omega \left(t\right)}{t^{\mathrm{2}}}\mathrm{d}t+d{‖u‖}_{L^{\mathrm{2}}\left(B_{\mathrm{1}}\right)}\right)\mathrm{。}\end{array}

特别地，当f\in L^p(B_{\mathrm{1}})时，

\omega \left(t\right)\le C_n{‖f‖}_{L^p\left(B_{\mathrm{1}}\right)}{t}^{\mathrm{2}-\frac{n}{p}},

则由定理1.2可直接得到如下的经典结果：

推论1.3 设函数u是方程（1）的一个H^{\mathrm{1}}弱解，且存在某个n>p>\frac{n}{\mathrm{2}},f\in L^p(B_{\mathrm{1}})。则对于\alpha =\mathrm{2}-\frac{n}{p}\in \left(\mathrm{0,1}\right),有

{\left[u\right]}_{C^{\alpha }(B_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}})}\le C_{n,p}\left({‖f‖}_{L^p\left(B_{\mathrm{1}}\right)}+|{\left|u|\right|}_{L^{\mathrm{2}}\left(B_{\mathrm{1}}\right)}\right)\mathrm{。}

推论1.3通常由W^{\mathrm{2},p}估计和Sobolev嵌入定理得到。但W^{\mathrm{2},p}-估计的证明是比较困难的。此外， 借鉴下面的证明过程，用扰动方法也可直接证明推论1.3，我们将其留给感兴趣的读者。

定理1.2的证明分为三步。首先，通过解边值问题构造逼近函数列，并用能量方法估计逼近函数列的收敛速度。其次，证明逼近函数列的极限与原方程的解相同。最后，结合积分论证给出所需要的估计。

定理1.2的证明 约定在下面的证明过程中常数C可以不同但仅依赖于维数。首先，任给x\in B_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}(\mathrm{0})，解边值问题\mathrm{\Delta }{u}_k=\mathrm{0},u_k{\left.\right|}_{\partial B_k}=u,此处B_k=B_{R_k}\left(x\right),R_k=\frac{\mathrm{1}}{{\mathrm{2}}^k},k\ge \mathrm{1}\mathrm{。}记v_k=u-u_k。则\mathrm{\Delta }{v}_k=f,v_k{\left.\right|}_{\partial B_k}=\mathrm{0}。根据能量估计，有

{‖\nabla v_k‖}_{L^{\mathrm{2}}(B_k)}^{\mathrm{2}}\le C{‖f‖}_{L^{\mathrm{2}}\left(B_k\right)}{‖v_k‖}_{L^{\mathrm{2}}\left(B_k\right)}。

结合Poincaré不等式^［1］，可得

{‖v_k‖}_{L^{\mathrm{2}}\left(B_k\right)}\le C{R}_k^{\mathrm{2}}{‖f‖}_{L^{\mathrm{2}}\left(B_k\right)}。

根据引理1.1及\omega (t)的单调性，有

\begin{array}{l}\left|u_k\left(x\right)-u_{k+\mathrm{1}}\left(x\right)\right|\le \\ C{\left(\frac{\mathrm{1}}{\left|B_{k+\mathrm{1}}\right|}\underset{B_{k+\mathrm{1}}}{\int }{\left(u_k-u_{k+\mathrm{1}}\right)}^{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}\le \\ C{\left(\frac{\mathrm{1}}{\left|B_k\right|}\underset{B_k}{\int }{\left(u-u_k\right)}^{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}+\\ C{\left(\frac{\mathrm{1}}{\left|B_{k+\mathrm{1}}\right|}\underset{B_{k+\mathrm{1}}}{\int }{\left(u-u_{k+\mathrm{1}}\right)}^{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}=\\ C{\left(\frac{\mathrm{1}}{\left|B_k\right|}\underset{B_k}{\int }{v}_k^{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}+C{\left(\frac{\mathrm{1}}{\left|B_{k+\mathrm{1}}\right|}\underset{B_{k+\mathrm{1}}}{\int }{v}_{k+\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}\le \\ C{R}_k^{\mathrm{2}}{\left(\frac{\mathrm{1}}{\left|B_k\right|}\underset{B_k}{\int }{f}^{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}\le C\omega \left(R_k\right),k\ge \mathrm{1}\mathrm{。}\end{array}

在下面的证明中，我们经常会用到单调函数积分的性质，不再一一说明。我们有

{\displaystyle \sum _{j=k}^{\mathrm{\infty }}}\left|u_j\left(x\right)-u_{j+\mathrm{1}}\left(x\right)\right|\le C{\displaystyle \sum _{j=k}^{\mathrm{\infty }}}\omega \left(R_j\right)\le C{\displaystyle \sum _{j=k}^{\mathrm{\infty }}}{\int }_{R_j}^{R_{j-\mathrm{1}}}\frac{\omega \left(t\right)}{t}\le

于是\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{u}_k(x)存在，将其记为\widehat{u}\left(x\right)\mathrm{。}则

\left|u_k\left(x\right)-\widehat{u}\left(x\right)\right|\le C\mathrm{。}\frac{\omega \left(t\right)}{t}。

其次，对于，存在唯一的k\ge \mathrm{3}，使得 。因此，

{\left(\frac{\mathrm{1}}{\left|B_r(x)\right|}\underset{B_r(x)}{\int }{\left(u-\widehat{u}(x)\right)}^{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}\le C{\left(\frac{\mathrm{1}}{\left|B_k\left(x\right)\right|}\underset{B_k\left(x\right)}{\int }{\left(u-u_{k-\mathrm{1}}\left(x\right)\right)}^{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}+C|u_{k-\mathrm{1}}\left(x\right)-\widehat{u}(x)|\le C{\left(\frac{\mathrm{1}}{\left|B_{k-\mathrm{1}}\left(x\right)\right|}\underset{B_{k-\mathrm{1}}\left(x\right)}{\int }{\left(u-u_{k-\mathrm{1}}\right)}^{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}+C{\left(\frac{\mathrm{1}}{\left|B_k\left(x\right)\right|}\underset{B_k\left(x\right)}{\int }{\left(u-u_{k-\mathrm{1}}\left(x\right)\right)}^{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}+C{\int }_{\mathrm{0}}^{R_{k-\mathrm{2}}}\frac{\omega \left(t\right)}{t}\le C{\left(\frac{\mathrm{1}}{\left|B_k\left(x\right)\right|}\underset{B_k\left(x\right)}{\int }{\left(u_{k-\mathrm{1}}-u_{k-\mathrm{1}}\left(x\right)\right)}^{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}+C{\int }_{\mathrm{0}}^{R_{k-\mathrm{2}}}\frac{\omega \left(t\right)}{t}\mathrm{。}

为了估计u_{k-\mathrm{1}}-u_{k-\mathrm{1}}\left(x\right),引入

u_{k-\mathrm{1}}={\displaystyle \sum _{j=\mathrm{2}}^{k-\mathrm{1}}}{h}_j+u_{\mathrm{1}},h_j=u_j-u_{j-\mathrm{1}}\mathrm{。}

当z\in B_k(x)时，由中值定理和引理1.1可得

\begin{array}{l}\left|h_j\left(z\right)-h_j\left(x\right)\right|\le \left|z-x\right|{\left|\nabla h_j\right|}_{L^{\mathrm{\infty }}\left(B_{j+\mathrm{1}}\right)}\le \\ C\left|z-x\right|R_j^{-\mathrm{1}}{\left(\frac{\mathrm{1}}{|B_j|}\underset{B_j}{\int }{h}_j^{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}\le C\left|z-x\right|R_{j-\mathrm{1}}{\left(\frac{\mathrm{1}}{|B_{j-\mathrm{1}}|}\underset{B_{j-\mathrm{1}}}{\int }{f}^{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}\le C\left|z-x\right|\frac{\omega \left(R_{j-\mathrm{1}}\right)}{R_{j-\mathrm{1}}}\mathrm{。}\end{array}

于是

\begin{array}{l}\left|u_{k-\mathrm{1}}\left(z\right)-u_{k-\mathrm{1}}\left(x\right)\right|\le \\ C\left|z-x\right|{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{2}}^{k-\mathrm{1}}}\frac{\omega \left(R_{j-\mathrm{1}}\right)}{R_{j-\mathrm{1}}}+Cz-x{‖u‖}_{L^{\mathrm{2}}(B_{\mathrm{1}})}\le \\ C{R}_k{\int }_{R_{k-\mathrm{2}}}^{\mathrm{1}}\frac{\omega \left(t\right)}{t^{\mathrm{2}}}+C{R}_k{‖u‖}_{L^{\mathrm{2}}\left(B_{\mathrm{1}}\right)}\mathrm{。}\end{array}

因此，

{\left(\frac{\mathrm{1}}{\left|B_k\left(x\right)\right|}\underset{B_k\left(x\right)}{\int }{\left(u-u_{k-\mathrm{1}}\left(x\right)\right)}^{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}\le C{R}_k\left({\int }_{R_{k-\mathrm{2}}}^{\mathrm{1}}\frac{\omega \left(t\right)}{t^{\mathrm{2}}}+{‖u‖}_{L^{\mathrm{2}}\left(B_{\mathrm{1}}\right)}\right)\mathrm{。}

于是

\begin{array}{l}{\left(\frac{\mathrm{1}}{\left|B_r(x)\right|}\underset{B_r(x)}{\int }{\left(u-\widehat{u}(x)\right)}^{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}\le \\ C\left({\displaystyle \underset{\mathrm{0}}{\overset{r}{\int }}}\frac{\omega \left(t\right)}{t}+r{\int }_r^{\mathrm{1}}\frac{\omega \left(t\right)}{t^{\mathrm{2}}}+r{‖u‖}_{L^{\mathrm{2}}\left(B_{\mathrm{1}}\right)}\right)\mathrm{。}\end{array}

由此，结合式（2）可知\underset{r\to \mathrm{0}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{\mathrm{1}}{|B_r|}\underset{B_r}{\int }u=\widehat{u}\mathrm{。}由勒贝格微分定理有u=\widehat{u}\mathrm{a}.\mathrm{e}.,x\in B_{\mathrm{1}/\mathrm{2}}\left(\mathrm{0}\right)\mathrm{。}

最后，任取x,y\in B_{\mathrm{1}/\mathrm{2}}(\mathrm{0})。当时，由标准的积分论证（参见文献［17］中定理3.1的证明）得

\begin{array}{l}\left|u\left(x\right)-u\left(y\right)\right|\le \\ C{\left(\frac{\mathrm{1}}{\left|B_r\left(x\right)\right|}\underset{B_r\left(x\right)}{\int }{\left(u-u\left(x\right)\right)}^{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}+C{\left(\frac{\mathrm{1}}{\left|B_r(y)\right|}\underset{B_r(y)}{\int }{\left(u-u(y\right)}^{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}\le C\left({\displaystyle \underset{\mathrm{0}}{\overset{r}{\int }}}\frac{\omega \left(t\right)}{t}+r{\int }_r^{\mathrm{1}}\frac{\omega \left(t\right)}{t^{\mathrm{2}}}+r{‖u‖}_{L^{\mathrm{2}}\left(B_{\mathrm{1}}\right)}\right)\mathrm{。}\end{array}

当\left|x-y\right|=r\ge \mathrm{1}/\mathrm{8}时，在x,y中间插入至多\mathrm{7}个点总可以使得相邻两个点的距离小于\mathrm{1}/\mathrm{8}，从而使得证明转化为已经得证的情形。证毕。

借助标准奇延拓方法，上述证明还可以处理边界估计，此时要求解在边界为零。

定理1.4 设函数u是方程

\mathrm{\Delta }u\left(x\right)=f\left(x\right),x\in B_{\mathrm{1}}^{+};u{\left.\right|}_{x_n=\mathrm{0}}=\mathrm{0}

的一个H^{\mathrm{1}}弱解，且则

\begin{array}{l}\underset{x,y\in B_{\mathrm{1}/\mathrm{2}}^{+},\left|x-y\right|\le d}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}\left|u\left(x\right)-u\left(y\right)\right|\le \\ C_n\left({\int }_{\mathrm{0}}^d\frac{\omega \left(t\right)}{t}\mathrm{d}t+d{\int }_d^{\mathrm{1}}\frac{\omega \left(t\right)}{t^{\mathrm{2}}}\mathrm{d}t+d{‖u‖}_{L^{\mathrm{2}}\left(B_{\mathrm{1}}^{+}\right)}\right)\mathrm{。}\end{array}

此处B_{\mathrm{1}}^{+}=B_{\mathrm{1}}\left(\mathrm{0}\right)\cap \{x|x_n>\mathrm{0}\}。

2 热方程的模连续估计

如前所述，用Q_s(X)表示以X为中心的抛物柱体，也简记为Q_s.约定Q_{\mathrm{1}}=Q_{\mathrm{1}}(\mathrm{0})并定义

显然，\omega是关于r的单调递增函数。

引理2.1^［18］ 设函数u是Q_r上齐次热方程的解，即{\partial }_{t}u-\mathrm{\Delta }u=\mathrm{0}. 则对任何的\alpha ,m都有

{‖D_x^{\alpha }{D}_t^{m}u‖}_{L^{\mathrm{\infty }}(Q_{\frac{r}{\mathrm{2}}})}\le \frac{C_{n,k,m}}{r^{k+\mathrm{2}m}}{\left(\frac{\mathrm{1}}{\left|Q_r\right|}\underset{Q_r}{\int }{\left|u\right|}^{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{1}/\mathrm{2}},

此处k=\left|\alpha \right|。

定理2.2 设u\in H^{\mathrm{1}}\left(Q_{\mathrm{1}}\right)是热方程

{\partial }_{t}u(x,t)-\mathrm{\Delta }u\left(x,t\right)=f\left(x,t\right),(x,t)\in Q_{\mathrm{1}}（3）

的一个弱解，且

（4）

则

\begin{array}{l}\underset{X,Y\in Q_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}},\delta (X,Y)\le d}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}\left|u\left(X\right)-u\left(Y\right)\right|\le \\ C_n\left({\int }_{\mathrm{0}}^d\frac{\omega \left(r\right)}{r}\mathrm{d}r+d{\int }_d^{\mathrm{1}}\frac{\omega \left(r\right)}{r^{\mathrm{2}}}\mathrm{d}r+d{‖u‖}_{L^{\mathrm{2}}\left(Q_{\mathrm{1}}\right)}\right)\mathrm{。}\end{array}

特别地，当f\in L^p(Q_{\mathrm{1}})时，

\omega \left(r\right)\le C_n{‖f‖}_{L^p\left(Q_{\mathrm{1}}\right)}{r}^{\mathrm{2}-\frac{n+\mathrm{2}}{p}},

此时便得到如下的经典结果：

推论2.3 设函数u是方程（3）的一个H^{\mathrm{1}}弱解，且存在某个n+\mathrm{2}>p>\frac{n+\mathrm{2}}{\mathrm{2}},f\in L^p\left(B_{\mathrm{1}}\right)\mathrm{。}则对\alpha =\mathrm{2}-\frac{n+\mathrm{2}}{p}\in \left(\mathrm{0,1}\right),有

{\left[u\right]}_{C^{\alpha ,\alpha /\mathrm{2}}(Q_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}})}\le C_{n,p}\left({‖f‖}_{L^p\left(Q_{\mathrm{1}}\right)}+{‖u‖}_{L^{\mathrm{2}}\left(Q_{\mathrm{1}}\right)}\right)\mathrm{。}

定理2.2的证明 鉴于证明过程与定理1.2的证明类似，简便起见我们仅给出大致过程。首先，任给X\in Q_{\mathrm{1}/\mathrm{2}}(\mathrm{0})，解边值问题\mathrm{\Delta }{u}_k=\mathrm{0},u_k{\left.\right|}_{{\partial }_T{Q}_k}=u\mathrm{。}此处{\partial }_T{Q}_k表示Q_k的抛物边界，

Q_k=Q_{R_k}\left(X\right),R_k=\frac{\mathrm{1}}{{\mathrm{2}}^k},k\ge \mathrm{1}\mathrm{。}

记v_k=u-u_k。则{\partial }_t{v}_k-\mathrm{\Delta }{v}_k=f,v_k{\left.\right|}_{{\partial }_T{Q}_k}=\mathrm{0}\mathrm{。}根据能量估计，有

{‖v_k‖}_{L^{\mathrm{2}}\left(Q_k\right)}\le C{R}_k^{\mathrm{2}}{‖f‖}_{L^{\mathrm{2}}\left(Q_k\right)}\mathrm{。}

根据引理2.1，有

\begin{array}{l}\left|u_k\left(X\right)-u_{k+\mathrm{1}}\left(X\right)\right|\le \\ C{\left(\frac{\mathrm{1}}{\left|Q_{k+\mathrm{1}}\right|}\underset{Q_{k+\mathrm{1}}}{\int }{\left(u_k-u_{k+\mathrm{1}}\right)}^{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}\le C\omega \left(R_k\right),k\ge \mathrm{1}\mathrm{。}\end{array}

因此，

{\displaystyle \sum _{j=k}^{\mathrm{\infty }}}\left|u_j\left(X\right)-u_{j+\mathrm{1}}\left(X\right)\right|\le C{\displaystyle \sum _{j=k}^{\mathrm{\infty }}}\omega \left(R_j\right)\le C{\displaystyle \sum _{j=k}^{\mathrm{\infty }}}{\int }_{R_j}^{R_{j-\mathrm{1}}}\frac{\omega \left(r\right)}{r}\le

于是\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{u}_k(X)存在，记其为\widehat{u}(X)。从而有

\left|u_k\left(X\right)-\widehat{u}\left(X\right)\right|\le C\mathrm{。}\frac{\omega \left(r\right)}{r}。

其次，对于，存在唯一的k\ge \mathrm{3}，使得。因此，

{\left(\frac{\mathrm{1}}{\left|Q_r(X)\right|}\underset{Q_r(X)}{\int }{\left(u-\widehat{u}(X)\right)}^{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}\le C{\left(\frac{\mathrm{1}}{\left|Q_k\left(X\right)\right|}\underset{Q_k\left(X\right)}{\int }{\left(u_{k-\mathrm{1}}-u_{k-\mathrm{1}}\left(x\right)\right)}^{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}+C{\int }_{\mathrm{0}}^{R_{k-\mathrm{2}}}\frac{\omega \left(s\right)}{s}\mathrm{。}

为了估计u_{k-\mathrm{1}}-u_{k-\mathrm{1}}\left(x\right), 引入

u_{k-\mathrm{1}}={\displaystyle \sum _{j=\mathrm{2}}^{k-\mathrm{1}}}{h}_j+u_{\mathrm{1}},h_j=u_j-u_{j-\mathrm{1}}\mathrm{。}

当Z\in Q_k(X)时，由中值定理和引理2.1得

\left|h_j\left(Z\right)-h_j\left(X\right)\right|\le C{R}_k\frac{\omega \left(R_{j-\mathrm{1}}\right)}{R_{j-\mathrm{1}}}\mathrm{。}

于是

\begin{array}{l}\left|u_{k-\mathrm{1}}\left(Z\right)-u_{k-\mathrm{1}}\left(X\right)\right|\le \\ C{R}_k{\int }_{R_{k-\mathrm{2}}}^{\mathrm{1}}\frac{\omega \left(s\right)}{s^{\mathrm{2}}}+C{R}_k{\left||u|\right|}_{L^{\mathrm{2}}\left(Q_{\mathrm{1}}\right)}\mathrm{。}\end{array}

因此，

{\left(\frac{\mathrm{1}}{\left|Q_k\left(X\right)\right|}\underset{Q_k\left(X\right)}{\int }{\left(u-u_{k-\mathrm{1}}\left(X\right)\right)}^{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}\le C{R}_k\left({\int }_{R_{k-\mathrm{2}}}^{\mathrm{1}}\frac{\omega \left(s\right)}{s^{\mathrm{2}}}+{‖u‖}_{L^{\mathrm{2}}\left(Q_{\mathrm{1}}\right)}\right)\mathrm{。}

于是

\begin{array}{l}{\left(\frac{\mathrm{1}}{\left|Q_r(X)\right|}\underset{Q_r(X)}{\int }{\left(u-\widehat{u}(X)\right)}^{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}\le \\ C\left({\displaystyle \underset{\mathrm{0}}{\overset{r}{\int }}}\frac{\omega \left(s\right)}{s}+r{\int }_r^{\mathrm{1}}\frac{\omega \left(s\right)}{s^{\mathrm{2}}}+r{‖u‖}_{L^{\mathrm{2}}\left(Q_{\mathrm{1}}\right)}\right)\mathrm{。}\end{array}

由此，结合条件（2）可知\underset{r\to \mathrm{0}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{\mathrm{1}}{|Q_r|}\underset{Q_r}{\int }u=\widehat{u}\mathrm{。}由勒贝格微分定理，有

u=\widehat{u},\mathrm{a}.\mathrm{e}.,X\in Q_{\mathrm{1}/\mathrm{2}}\left(\mathrm{0}\right)\mathrm{。}

最后，任取X,Y\in B_{\mathrm{1}/\mathrm{2}}(\mathrm{0})。当时，由标准的积分论证得到

\begin{array}{l}\left|u\left(X\right)-u\left(Y\right)\right|\le \\ C{\left(\frac{\mathrm{1}}{\left|Q_r\left(X\right)\right|}\underset{B_r\left(X\right)}{\int }{\left(u-u\left(X\right)\right)}^{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}+C{\left(\frac{\mathrm{1}}{\left|Q_r(Y)\right|}\underset{Q_r(Y)}{\int }{\left(u-u(Y\right))}^{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}\le C\left({\displaystyle \underset{\mathrm{0}}{\overset{r}{\int }}}\frac{\omega \left(s\right)}{s}+r{\int }_r^{\mathrm{1}}\frac{\omega \left(s\right)}{s^{\mathrm{2}}}+r{‖u‖}_{L^{\mathrm{2}}\left(Q_{\mathrm{1}}\right)}\right)\mathrm{。}\end{array}

当\delta (X,Y)=r\ge \mathrm{1}/\mathrm{8}时，在X,Y中间插入至多\mathrm{7}个点，总可以使得相邻两个点的距离小于\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}，从而将证明转化为已证明情形。证毕。

参考文献

[1] Gilbarg D， Trudinger N S.Elliptic partial differential equations of second order ［M］.Berlin： Springer， 1983.

[2] Campanato S.Proprietà di una famiglia di spazi funzionali ［J］.Ann Scuola Norm Sup Pisa， 1964， 18（3）： 137-160.

[3] Burch C.The Dini condition and regularity of weak solutions of elliptic equations ［J］.J Differ Equations， 1978， 30： 308-323.

[4] Safonov M V.The classical solution of the elliptic Bellman equation ［J］.Dokl Akad Nauk SSSR， 1984， 278： 810-813.

[5] Safonov M V.Classical solution of second-order nonlinear elliptic equations ［J］.Izv Akad Nauk SSSR Ser Mat， 1988， 52： 1272-1287.

[6] Caffarelli L A.Interior a priori estimates for solutions of fully nonlinear equations ［J］.Ann Math， 1989， 130： 189-213.

[7] Caffarelli L A.Interior W 2 , p estimates for solutions of Monge- Ampère equations ［J］.Ann Math， 1990， 131： 135-150.

[8] Wang X J.Schauder estimate for elliptic and parabolic equations ［J］.Chinese Ann Math B， 2006， 27： 637-642.

[9] Jian H Y， Wang X J.Continuity estimates for the Monge-Ampère equation ［J］.SIAM J Math Anal， 2007， 39（2）： 608-626.

[10] Chen S B， Liu J K， Wang X J.Global regularity for the Monge-Ampère equation with natural boundary condition ［J］.Ann Math， 2021， 194（3）： 745-793.

[11] Lieberman G M.Second order parabolic differential equations ［M］.Singapore： World Scientific， 1996.

[12] Wang X J， Tian G.Partial regularity for elliptic equations ［J］.Discrete Cont Dyn-A， 2010， 28： 899-913.

[13] Dong H J， Kim S.Partial Schauder estimates for second-order elliptic and parabolic equations ［J］.Calc Var Partial Dif， 2011， 40： 481-500.

[14] Dong H， Kim S.Partial Schauder estimates for second-order elliptic and parabolic equations： A revisit ［J］.Int Math Res Not， 2019， 2019（7）： 2085-2136.

[15] Cao Y， Li D S.Partial Schauder estimates for second-order elliptic and parabolic equations ［J］.Science China： Mathematics， 2018， 48 （1）： 15-30.

[16] 曹毅，李东升.二阶椭圆与抛物方程的偏 Schauder估计［J］.中国科学：数学，2018， 48 （1）： 15-30.

[17] Kukavica I， Le Q.On the pointwise Schauder estimates for elliptic and parabolic equations ［J］.Discrete Cont Dyn-A， 2024， 44（12）： 3734-3759.

[18] Han Q， Lin F.Elliptic partial differential equations ［M］.Providence： AMS， 2011.

[19] Evans L C.Partial differential equations ［M］.Providence： AMS， 1998.

基金资助

国家重点研发计划项目(2024YFA1012803)

国家自然科学基金(12271400)

天津大学极基础项目(2025XJ21-0010)