基于物理约束与LSTM协同框架的船体波浪载荷时序反演方法

Physics-informed LSTM collaborative framework for time-series inversion of hull wave loads

摘要

针对传统船体波浪载荷反演方法精度受限的问题，本文提出一种融合物理信息神经网络（PINN）与长短期记忆网络（LSTM）的混合反演模型（PINN-LSTM），基于有限元仿真数据，构建了“时序特征提取-物理约束校验-载荷精准反演”的协同反演框架。在该框架中，利用LSTM捕获多测点应变序列的时序动态特征，并借助PINN嵌入基于船体弯扭理论的本构关系与边界条件，实现对预测结果的物理一致性正则化，从而协同提升反演精度与物理合理性。实验结果表明，在多剖面、多浪向等复杂工况下，该模型在垂向弯矩、横向弯矩和扭矩等关键波浪载荷分量上的反演精度显著优于Moore-Penrose求逆方法、纯LSTM模型及纯PINN模型，特别是在载荷突变与弯扭耦合等复杂场景下，该模型仍展现出卓越的预测精度与物理一致性。消融实验与泛化性分析进一步验证了模型各模块的有效性与跨工况适应能力。本研究不仅为船舶波浪载荷的高效、高精度反演提供了新方法，也为复杂物理系统中时序逆问题的求解提供了可迁移的技术范式。

Abstract

Addressing the issue of accuracy limitations of traditionalin hullship wave load inversion， this paper proposes a hybrid inversion model（PINN-LSTM） integrating Physicscal-Informed Neural Network （PINN） Information and Long Short-Term Memory Network （LSTM） is proposed.Based on finite element analysis data， the computational results of the Sesam finite element model， the collaborative framework comprising the temporatime-seriesl dynamic feature extraction， physical constraint validation， and precise hull load inversion” is established.With this framework， capability of LSTM and the physical law constraint advantage of PINN are deeply integrated to construct a collaborative inversion framework of “temporal feature extraction-physical constraint verification-precise load inversion”.The LSTM is employed to module extracts the temporal feature froms of multi-point strain sequences， while PINN ensures physical consistency by embedding the constitutive relationship and boundary condition constraints based on the hull bending and torsion theory， achieving joint optimization of data fitting accuracy and physical rationality.Experimental results show that the proposed model significantly outperforms the traditional Moore-Penrose inverse model， standalone LSTM and PINN models in predicting vertical bending moment， lateral bending moment， and torque across various sections and wave headings.Notably， the model under different conditions such as multiple profiles and wave directions， the inversion accuracy of this model in terms of vertical bending moment， lateral bending moment， and torque， three wave load components， is significantly better than that of traditional methods using Moore-Penrose inversion， pure LSTM models， and pure PINN models.It maintains high accuracy and physical consistency in complex scenarios such as sudden load mutations changes and bending-torsion coupling.Ablation studies experiments and generalization ability analysis further verify the effectiveness and cross-condition adaptability of the models in the proposed framework，each module of the model.This study not only provides a novel high-precison approach for hull wave load inversion and a new method for efficient and high-precision inversion of ship wave loads but also offers a transferable technical paradigm for solving temporal inverse problems in complex physical systems.

Graphical abstract

关键词

物理信息神经网络 / LSTM / Sesam有限元 / 船体波浪载荷反演

Key words

physical information neural network / LSTM / sesam finite element / hull wave load inversion

近几十年来，深海资源开采与海上战略需求日益增长，船舶作为海上作业的关键平台，其结构安全性不容忽视。在船舶航行过程中，船舶常遭遇复杂波浪环境，尤其是非线性波浪的冲击，会令船体结构承受复杂多变的冲击力和力矩，非常考验其结构可靠性。因此获得在各种非线性波浪作用下的船体动态受荷情况，对船体强度分析、健康监测诊断及结构优化设计具有重要意义。

波浪载荷反演任务旨在基于船体结构上布设的应变传感器所监测到的多点应变数据，反演出作用于船体横剖面的三类主要动态载荷分量：垂向弯矩（反映船体在波浪中上下弯曲的强度）、横向弯矩（反映左右弯曲的强度）以及自由扭转扭矩（反映船体绕纵轴扭转变形的强度）^［1］。当前关于船舶动态响应识别的研究主要集中于时域和频域计算方法。时域方法是通过直接求解微分方程，研究系统状态或载荷随时间变化的完整过程^［2］。Ren等^［3］通过对船体结构施加特定载荷获得响应，建立影响系数矩阵，获得动态载荷。Jiang等^［4］提出了一种基于 Newmark-β方法的时域算法，以解决连续系统动态荷载识别问题。但目前时域方法识别结果的准确性高度依赖于采样时间间隔，实际精度仅在较小间隔内有效，且不可避免地会产生规模巨大的核函数响应矩阵。在频域计算方法上，Kang等^［5］将动态荷载转化为等效静态荷载集，并使结构在某一时刻的位移场与动态荷载产生的位移场相同。李军等^［6］基于频域随机动载荷识别理论，采用 Moore Penrose广义逆方法，识别海上导管架风机的气动载荷。目前基于时域频域的动态响应识别方法对计算要求较高，识别精度依赖于响应信息的准确性^［7］，且本质上是一个病态的逆问题，微小测量误差可能导致解的巨大偏差。

为克服传统方法的局限性，数据驱动与物理信息融合方法成为新趋势。在数据驱动方面，长短期记忆网网络（Long Short-Term Memory， LSTM）等时序神经网络凭借其记忆门控机制，在船舶运动预报、波浪载荷预测等任务中展现出优越性能^［8］。Liu等^［9］利用LSTM网络基于运动数据预测船体梁的波浪诱导载荷和振动响应。Sun等^［10］基于船舶垂荡、纵摇的运动数据以及垂直加速度来分别预测波浪载荷和高频颤振载荷，叠加后计算总截面载荷，LSTM 模型较ANN 和 CNN 模型预测精度更高。但纯数据驱动的LSTM模型严重依赖大量高质量训练数据并缺乏物理信息约束，其“黑箱”特性导致在训练数据覆盖范围之外的工况下可能产生违反物理规律的预测结果，模型的可解释性、物理一致性及泛化能力有限^［11］。物理信息神经网络（Physics-Informed Neural Networks， PINN）通过将控制方程、边界条件等物理定律以软约束形式嵌入神经网络的损失函数，可在小样本下引导模型输出满足物理规律^［12］。Xin等^［13］提出物理信息Res-UNet模型，将平台结构动力学方程嵌入网络损失函数，用于海洋平台载荷识别。Wang等^［8］则将波浪频散关系作为物理约束嵌入LSTM模型，显著提升了在数据受限条件下波浪周期与波长的预测精度。然而，现有研究多将PINN应用于正演问题或参数已知的波动方程求解^［14］，对于船体波浪载荷反演这一逆问题，如何有效融合时序动力特征与物理约束，尚未得到充分探索。

基于以上背景，本研究针对波浪载荷反演计算问题，基于Sesam有限元模型仿真计算结果作为训练数据，提出一种基于融合物理信息的长短期记忆物理（PINN-LSTM）混合反演模型，深度融合LSTM的时序动态特征提取能力与PINN的物理规律约束优势，构建“时序特征提取-物理约束校验-载荷精准反演”的完整框架，在本文设定的任务中，模型以船体剖面上 3 个测点的历史纵向应变序列作为输入，同步反演出当前时刻对应的3个波浪载荷分量：垂向弯矩M_V、横向弯矩M_H和自由扭转扭矩T_f（单位：kN·m）。所提方法能在获取船体剖面应变信息后快速同步反演出载荷分量，显著提升了反演效率，为船舶波浪载荷高精度反演具有积极意义；同时，也为复杂物理系统中的时序逆问题求解提供了可迁移的方法范式。

1 基于PINN-LSTM的波浪载荷反演模型

船舶波浪载荷具有强时序动态性、高度非线性和随机性，单一数据驱动模型难以兼顾时序特征捕捉与波浪载荷的物理一致性，传统物理模型又无法适配非线性动态载荷。为此，本研究提出PINN-LSTM混合反演模型，通过LSTM模块提取应变数据的时序动态特征，PINN模块嵌入船舶动态响应物理规律约束，构建“时序特征提取-物理约束校验-载荷精准反演”的完整架构，实现数据拟合精度与物理合理性的协同优化，该模型的整体框架如图1所示。

基于PINN-LSTM的波浪载荷反演框架主要包含3个核心模块。1） 输入数据模块：基于Sesam有限元分析软件生成应变-载荷配对数据集，经标准化预处理后形成滑动时间窗口内的多测点应变序列，为模型训练与验证提供实验数据； 2） LSTM时序特征提取模块：利用长短期记忆网络的门控机制处理多测点应变时序数据，选择性保留关键历史信息，捕捉波浪载荷作用下的时序动态依赖关系与累积效应，输出编码历史应变演化特征的状态向量；3）PINN物理约束模块：基于船体梁弯扭分解理论建立应变-载荷本构关系，将其作为软约束嵌入损失函数，同时引入结构对称性与边界条件约束，在训练过程中协同优化数据拟合损失与物理一致性损失，提升模型泛化稳定性。下文将依次对各模块进行详细阐述。

1.1 输入数据定义

本研究采用有限元分析软件 Sesam 生成船舶波浪载荷反演所需的训练数据。通过建立船体有限元模型，在典型海况条件下计算获得多测点应变时序响应及其对应的三向波浪载荷分量。为便于后续模型构建与公式表达，本文对输入输出数据及相关物理量作如下统一符号形式化定义。

本模型中输入数据为滑动时间窗口内的多测点应变序列。设t为时间步索引，t=\mathrm{1,2},\dots ,T，其中 T 表示时间序列总长度；设w为滑动时间窗口长度，用于构造历史输入序列。对于船体横剖面布置的n个应变测点，我们记i=\mathrm{1,2},\dots ,n为测点索引，{\epsilon }_{i,t}表示t时刻第i个测点的纵向应变值，因此在t时刻的应变输入向量记为{\mathit{x}}_t={\left[{\epsilon }_{\mathrm{1},t},{\epsilon }_{\mathrm{2},t},\dots ,{\epsilon }_{n,t}\right]}^{\mathrm{T}}\in {\mathbb{R}}^n。t时刻的滑动窗口输入序列记为

{\mathit{X}}_{t,w}=({\mathit{x}}_{t-w+\mathrm{1}},\dots ,{\mathit{x}}_{t-\mathrm{1}},{\mathit{x}}_t)\in {\mathbb{R}}^{w\times n}，

其中t=w,w+\mathrm{1},\dots ,T。

输出数据对应同一时刻的三向波浪载荷分量。记M_{V,t},M_{H,t},T_{f,t}分别为t时刻的垂向波浪弯矩、横向波浪弯矩和自由扭转扭矩。在t时刻的载荷输出向量记为{\mathit{y}}_t=[M_{V,t},M_{H,t},T_{f,t}{]}^{\mathrm{T}}\in {\mathbb{R}}^{\mathrm{3}}。

此外，为建立后续物理约束关系，还需定义与测点位置及剖面几何相关的物理参数。其中记I_y,I_z分别为横剖面对y轴和z轴的惯性矩，J为自由扭转惯性矩，三者为截面几何属性。记z_i,y_i分别为第i个测点的z轴和y轴坐标，r_i为第i个测点到扭心的距离，三者用于描述测点空间位置。

基于上述符号定义，本研究构建的数据集可以形式化地表示为：D=\{(X_{t,w},y_t)|t=w,w+\mathrm{1},\dots ,T\}。该数据集 D 将用于后续LSTM特征提取与PINN物理约束嵌入的模型训练。

1.2 LSTM时序动态特征提取层

波浪载荷是典型的时序动态响应，其演化过程同时具有长期依赖特征和短时波动特征。船体在随机波浪作用下的载荷响应不仅取决于当前时刻的应变状态，还与前期波浪激励和结构响应的累积效应密切相关。因此，本文引入长短期记忆网络（Long Short-Term Memory， LSTM）对多测点应变序列进行建模，以提取表征波浪载荷演化过程的时序动态特征。

LSTM的核心在于其门控循环单元结构，该结构通过精巧的“门”机制解决了传统循环神经网络中的梯度消失/爆炸问题，从而能够学习长期依赖关系。对于一个时间步 t，LSTM单元的内部状态更新由以下公式组严格定义。

1） 遗忘门：决定从上一细胞状态C_{t-\mathrm{1}}中丢弃哪些信息，如式（1）。

f_t=\sigma \left(W_f\cdot \left[h_{t-\mathrm{1}},x_t\right]+b_f\right)（1）

其中，\sigma为sigmoid激活函数，输出值在［0，1］之间，W_f、b_f为权重和偏置，h_{t-\mathrm{1}}是上一时刻隐藏状态，x_t是当前输入（即当前时刻的多测点应变向量）。f_t越接近0，对应历史信息被遗忘得越多。

2） 输入门：决定哪些新信息将被存储到当前细胞状态C_t中，如式（2）和式（3）所示。

i_t=\sigma \left(W_i\cdot \left[h_{t-\mathrm{1}},x_t\right]+b_i\right)（2）

{\tilde{C}}_t=\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(W_C\cdot \left[h_{t-{\mathrm{1}}^{\text{'}}}{x}_t\right]+b_C\right)（3）

其中，i_t控制更新强度，{\tilde{C}}_t为候选细胞状态向量。

细胞状态更新是结合遗忘门与输入门，更新长期记忆，如式（4）。

C_t=f_t\odot C_{t-\mathrm{1}}+i_t\odot {\tilde{C}}_t（4）

式（4）是LSTM的记忆精髓。它通过逐元素乘法（\odot）实现了对历史信息的选择性遗忘（f_t\odot C_{t-\mathrm{1}}）和对新信息的选择性记忆（i_t\odot {\tilde{C}}_t），使细胞状态C_t能够稳定地传递跨越多个时间步的上下文信息。

3） 输出门：基于当前细胞状态，决定该时间步的输出（隐藏状态）如式（5）和式（6）。

o_t=\sigma \left(W_o\cdot \left[h_{t-{\mathrm{1}}^{\text{'}}}{x}_t\right]+b_o\right)（5）

h_t=o_t\odot \mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(C_t\right)（6）

最终输出的隐藏状态h_t包含了为当前预测任务提炼出的时序特征。

结合前文定义的输入数据形式，本文将滑动时间窗口构造得到的多测点应变序列{\mathit{X}}_{t,w}作为 LSTM模块的输入。该输入序列依次进入堆叠式多层LSTM网络，在时序递归计算过程中逐层提取由低阶到高阶的动态响应特征。底层网络主要捕捉原始应变序列中的局部波动模式，上层网络则进一步学习更抽象的时序关联和载荷演化规律。

在网络结构上，本文采用3层堆叠式LSTM，每层包含128个隐藏单元，并在层间引入dropout机制，以降低模型在有限样本条件下的过拟合风险并提升多工况下的泛化能力。经过多层时序特征提取后，最后一层LSTM在最终时间步输出的隐藏状态h_t被视为对整个输入应变序列的综合表征。该高维时序特征随后输入全连接映射层，实现从隐藏特征空间到载荷空间的解码，输出当前 t时刻的三向波浪载荷预测值，即垂向波浪弯矩M_{V,t}、横向波浪弯矩M_{H,t}和自由扭转扭矩T_{f,t}。

波浪载荷可视为一个受随机波浪激励的动力学系统的输出。系统当前状态不仅取决于当前激励，也取决于其历史状态。LSTM的细胞状态{\mathrm{C}}_t恰好模拟了这一系统“状态”，其门控机制使模型能自适应地学习在波浪载荷预测中，哪些历史波动模式是重要的，哪些是应忽略的噪声。因此，通过LSTM模块，模型实现了从静态的“应变-载荷”点对映射，到动态的“应变序列-载荷演化”关系学习的范式升级。

1.3 PINN物理规律约束层

尽管LSTM能够从多测点应变序列中有效提取波浪载荷演化的时序动态特征，但其本质上仍属于纯数据驱动模型，预测结果主要依赖样本分布及参数拟合能力，缺乏对结构力学机理的显式约束。因此，在训练样本不足或工况发生变化时，模型容易出现虽然数值上拟合较好、但物理上不合理的预测结果，尤其在分布外工况下，这种“黑箱”模型的泛化能力和稳定性往往显著下降。为此，本文在LSTM时序特征提取的基础上引入物理信息神经网络（Physics-Informed Neural Network， PINN）思想，将船体弯扭分解理论和力学边界条件嵌入模型训练过程，以增强反演结果的物理一致性与跨工况泛化能力。

PINN的关键不在于改变网络主体结构，而在于将控制系统响应的物理规律转化为可参与优化的约束项，使模型在达到最小化数据误差的同时满足理论先验。对于船舶波浪载荷反演问题，传感器测得的应变并非孤立观测量，而是船体截面在外部波浪载荷作用下产生的结构响应。基于监测数据的弯扭分解理论，传感器测得的应变数据主要由4种载荷成份引起，即垂向弯曲变形、水平弯曲变形、自由扭转引起的剪切变形和约束扭转引起的翘曲变形^［15-16］。当目标船为普通非大开口船型时，由二次扭矩引起的翘曲变形可忽略不计，该弯扭分解方法便可退化，将耦合载荷分解为3种载荷成份。

基于弯扭分解方法，可以得到测点应变与波浪载荷分量之间的映射关系^［17］如式（7），表示为时刻 t第i个测点的理论应变。

{\epsilon }_{i,t}=\frac{M_{V,t}\cdot z_i}{E{I}_y}+\frac{M_{H,t}\cdot y_i}{E{I}_z}+\frac{T_{f,t}^{\mathrm{2}}\cdot r_i^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}{G}^{\mathrm{2}}{J}^{\mathrm{2}}}（7）

其中，E为弹性模量，G为剪切弹性模量，其余符号含义同前文。上述关系揭示了测点应变响应与三向波浪载荷分量之间的基本力学映射。在传统波浪载荷计算中，由于该应变-载荷关系通常难以直接通过矩阵求逆获得外力矩参数，因此往往需要采用 Moore-Penrose逆法对监测横剖面的垂向弯矩、横向弯矩和自由扭转扭矩进行求解。相比之下，本文并不将其作为显式求逆过程处理，而是将式（7）进一步嵌入 PINN 损失函数中，使其作为约束项参与网络训练，从而在数据驱动反演过程中保持结构力学一致性。

基于上述思想，本文构建了由数据损失、本构关系约束损失和边界约束损失组成的联合优化目标。首先，数据损失用于衡量模型预测载荷与真实载荷之间的偏差，是反演任务最直接的监督信号，如式（8）所示。

{\mathrm{ℒ}}_{\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{a}}={‖F_{true}-F_{pred}‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}（8）

其中，F_{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{e}}表示真实波浪载荷向量，F_{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{d}}表示模型预测的波浪载荷向量。该项保证模型具备基本的数据拟合能力，使反演结果在数值意义上尽可能逼近样本标签。

然而，仅最小化数据损失并不能保证预测结果满足结构力学规律。为此，本文进一步引入本构关系约束损失，将模型输出的预测载荷代入式（7）所示的应变-载荷映射关系中，构造理论应变响应，并与对应测点应变进行残差计算。该项可表示为式（9）。

{\mathrm{ℒ}}_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{e}}={‖{\mathrm{ℛ}}_{constitutive}\left(F_{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{d}},S\right)‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}（9）

其中{\mathrm{ℛ}}_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{e}}(F_{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{d}},S)为基于式（7）构造的本构关系残差，即将预测载荷F_{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{d}}代入应变-载荷映射关系后得到的理论应变与实测应变之间的偏差，S为式（7）中涉及的结构参数集合。本构关系约束损失越小，说明预测结果越符合船体弯扭分解理论。由于船体结构尺度、材料性能及典型工况范围的共同制约，垂向弯矩、横向弯矩和扭矩的取值均应处于合理的物理可行域内。若模型输出明显超出该范围，则即便其在局部样本上具有较小误差，也仍可能属于物理上不可接受的结果。基于此，本文进一步构建边界约束损失，对偏离先验物理边界的预测施加惩罚，其形式如式（10）所示。

{\mathrm{ℒ}}_{\mathrm{b}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{y}}={‖{\mathrm{ℛ}}_{boundary}\left(F_{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{d}}\right)‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}（10）

其中，{\mathrm{ℛ}}_{\mathrm{b}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{y}}(F_{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{d}})表示预测载荷相对于预设物理边界条件的残差函数。边界约束的加入有助于抑制模型在训练后期或分布外工况下出现异常振荡和非物理解，提高模型输出的稳定性与工程可信度。

综合上述3部分约束，本文采用联合损失函数对网络参数进行统一优化，其总损失函数如式（11）所示。

\mathrm{ℒ}={\mathrm{ℒ}}_{\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{a}}+{\lambda }_{\mathrm{1}}{\mathrm{ℒ}}_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{e}}+{\lambda }_{\mathrm{2}}{\mathrm{ℒ}}_{\mathrm{b}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{y}}（11）

其中，{\lambda }_{\mathrm{1}}和{\lambda }_{\mathrm{2}}为物理约束项的权重系数，用于平衡数据驱动学习与物理规律约束对模型训练的共同作用。通过该联合优化机制，LSTM模块提取的时序动态特征能够在PINN物理规律约束下进一步映射为满足结构力学机理的载荷预测结果，从而实现波浪载荷反演精度与物理一致性的统一。

总体而言，PINN物理规律约束层在本文模型中承担了两方面作用：一方面，它利用弯扭分解理论将应变响应与三向波浪载荷分量之间的力学联系显式嵌入训练过程，弥补了纯数据驱动模型物理可解释性不足的缺陷；另一方面，它通过本构关系约束和边界约束共同缩小模型输出的可行解空间，提高了模型在复杂工况尤其是分布外工况下的泛化能力和稳定性。由此，本文构建的PINN-LSTM 反演框架不仅能够学习应变序列与波浪载荷之间的动态映射关系，还能够确保反演结果满足基本物理规律，为实现高精度、高可信度的船舶波浪载荷动态反演提供了理论支撑。

2 实验方案设计

基于Sesam有限元分析软件，为本文提出的混合波浪载荷反演框架提供详细的实验数据。其介绍了船体参数和应变传感器设置方案，计算得到多工况下的有限元仿真数据，明确数据预处理流程以及评价指标。

2.1 数据来源

数据来源于某简化船型基于Sesam的数值仿真数据集。简化船模型如图2，材料选用Q235钢，杨氏模量E=210 GPa。

基于简化船体模型，开展船体载荷响应计算，设置浪向角范围为0°~90°，步长为30°，共计4个浪向。在工况选取上参考Takami^［18］等基于船舶响应的波浪轮廓重构研究的设置，采用Pierson-Moskowitz（P-M）谱描述、显著波高H_s=8 m、T_z=12 s的海况作为波浪载荷反演与时域分析的基准工况，并选取船体0.25L、0.5L和0.75L（L为船长）共3个关键监测剖面，每个剖面布置8个应变测点，共计24个应变测点。测点布置位置如图3。其中8测点数据用于传统方法求逆计算，A1、A4、A8，3个测点数据用于机器学习模型训练。

计算得到的数据集共包含3995个连续时间步的监测数据，每个时间步记录8个测点的纵向应变时间戳以及对应剖面的垂向波浪弯矩、横向波浪弯矩、自由扭转扭矩真实值。

2.2 数据预处理

为保证模型训练的稳定性与反演精度，数据预处理遵循“清洗-归一化-时序样本构建-数据集划分”的完整流程，数据处理流程如图4所示。

本文以每个监测剖面的3个应变测点作为输入通道，即输入测点数取n=3。为刻画应变响应的时间演化特征，采用滑动时间窗口方法构造时序输入样本，经实验验证后窗口长度设定为w=30，即每个样本由连续30个时间步的多测点应变序列组成，对应输出为当前时刻的垂向波浪弯矩、横向波浪弯矩和自由扭转扭矩。通过上述处理，原始监测数据被转换为适用于PINN-LSTM模型训练的时序监督样本。在此基础上，进一步对样本数据进行归一化处理，以消除不同物理量之间的量纲差异并提高模型训练的稳定性。

归一化后的应变时序样本输入LSTM网络，用于提取反映载荷演化规律的动态特征，捕捉应变响应中的长期变化趋势与短时波动特征。在此基础上，提取得到的时序特征进一步输入嵌入本构关系约束与边界约束的PINN模块，使模型在学习数据统计规律的同时满足基本物理规律。训练过程中，通过构建包含数据拟合误差、本构关系误差和边界违规惩罚的加权损失函数对网络参数进行迭代优化；当总损失小于预设阈值或迭代次数达到上限时，终止训练，否则继续通过反向传播更新网络参数。最终，对模型输出的归一化载荷结果进行反归一化处理，得到真实量纲下的波浪载荷反演结果。

由于数据来源于不同浪向以及剖面的仿真结果，数据集的划分采用差异化动态分配策略，以适配不同场景下的数据分布特性，如表1所示。具体可分为训练集构建与测试集验证两个维度。

用于模型基础测试的数据集，在0°、30°、90°等3个常规浪向下，均采用70%数据用于训练、30%数据用于测试的固定比例，为模型提供稳定的基础训练样本。

用于验证模型泛化性的测试集，在0°、30°、90°浪向下，除保留70%训练、30%测试的基础比例外，额外设置了单一剖面的全训练场景，用于验证模型在单一剖面数据下的拟合上限；将60°浪向下数据全部作为测试集，验证模型在无经验浪向下的跨场景泛化性能。

2.3 评价指标

为全面验证PINN-LSTM混合模型在船舶波浪载荷反演中的性能，本研究以船舶波浪载荷反演为核心任务，选取垂向弯矩、横向弯矩和扭矩三大核心载荷为反演目标，设计基准对比实验。实验选取4类典型模型作为对比对象，包括基于8测点数据，利用Moore-Penrose求逆法计算的传统载荷反演方法、纯时序模型LSTM、纯物理约束模型PINN，以及本研究提出的PINN-LSTM混合模型，通过对比实验，验证本文提出的混合模型性能。

采用均方误差（E_MSE）、平均绝对百分比误差（E_MAPE）和决定系数（R²）为核心评价指标，具体计算公式如式（9）~式（11）。

1） 均方误差（E_MSE）：反映预测值与真实值之间平方偏差的平均水平，对大误差更为敏感，

E_{\mathrm{M}\mathrm{S}\mathrm{E}}=\frac{\mathrm{1}}{m}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^m}{\left(y_{\mathrm{i}}-{\widehat{y}}_i\right)}^{\mathrm{2}}（9）

2） 平均绝对百分比误差（E_MAPE）：消除载荷量级影响，反映预测结果的偏差程度，

E_{\mathrm{M}\mathrm{A}\mathrm{P}\mathrm{E}}=\frac{\mathrm{1}}{N}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^N}\left|\frac{{\widehat{Y}}_k-Y_k}{Y_k}\right|\times \mathrm{100}\mathrm{\%}（10）

3） 决定系数（R²）：衡量模型对真实载荷方差的解释能力，

R^{\mathrm{2}}=\mathrm{1}-\frac{{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^N}{\left(Y_k-{\widehat{Y}}_k\right)}^{\mathrm{2}}}{{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^N}{\left(Y_k-\overline{Y}\right)}^{\mathrm{2}}}（11）

所有模型均固定超参数并重复训练10次取均值，消除随机误差对实验结果的干扰，确保对比的可靠性。

3 实验结果及其分析

在前述实验方案基础上，本文围绕船舶波浪载荷反演任务，对所提出的PINN-LSTM混合模型开展系统实验分析。通过构建多模型对比、消融实验及跨工况泛化测试，从反演精度、动态响应拟合能力及物理一致性等方面，对模型性能进行多维度评估与验证。

3.1 不同模型性能对比

本研究围绕船舶波浪载荷反演的核心目标，对四类模型的测试集表现展开分析，重点验证PINN-LSTM混合模型在垂向弯矩、横向弯矩和扭矩等3个波浪载荷分量反演中的优势，同时论证“LSTM时序动态捕捉+PINN载荷物理信息约束”的协同机制，对复杂波浪载荷反演场景的适配性与泛化性。由于不同载荷分量量级不同且数值量级较大，因此需对预测结果按各载荷分量量级范围做归一化，四类模型在测试集上的整体反演性能指标如表2所示，从定量角度直观反映各模型的反演效果。

整体反演性能对比结果表明，PINN-LSTM混合模型在船舶波浪载荷反演中性能最优。在垂向弯矩反演中，PINN-LSTM的E_MAPE显著降低，R²明显提升，显著优于纯时序与传统方法，这主要是由于LSTM对载荷时序动态的精准捕捉，以及PINN嵌入的应变-载荷耦合约束对非物理预测的抑制。

横向弯矩反演中，PINN-LSTM的性能优势更为突出，其E_MAPE为所有模型最低，R²达到最高，表明混合模型对船舶弯曲变形的适配性更强。在扭矩方面，PINN-LSTM的E_MAPE得到有效控制，R²显著提升，解决了纯LSTM在扭转效应反演中误差过大的问题。

综合分析，纯LSTM因缺乏物理约束，扭矩E_MAPE仍相对较高，物理一致性不足；利用Moore-Penrose求逆方法受限于线性假设，各载荷反演误差较大，无法很好地适配复杂波浪载荷的非线性特性。LSTM和PINN形成闭环优化，突破了传统线性算法的假设局限，并解决了单一深度学习模型的物理一致性缺失问题，从宏观层面验证了PINN-LSTM混合模型在船舶波浪载荷反演中的整体性能优势。为船舶波浪载荷反演提供了高效可靠的新方案。

模型对动态载荷的细粒度拟合精度、训练过程的泛化稳定性，以及物理约束的实际生效机制，通过可视化实验结果进行进一步论证。

载荷反演的拟合，本质上依赖模型训练过程中数据拟合与物理约束的协同优化，若训练过程中两类损失出现冲突或收敛缓慢，会直接影响模型的泛化能力与计算效率。图5是PINN-LSTM混合模型损失收敛曲线，展示了PINN-LSTM混合模型训练过程中总损失、数据拟合损失与物理约束损失的收敛曲线，Epoch迭代至50次时，三类损失同步快速下降，总损失从0.8降至0.2以下，表明时序特征提取与物理约束嵌入初期协同性良好。Epoch迭代至150时，损失下降速率放缓，物理约束损失的收敛幅度略快于数据拟合损失，反映出物理约束对数据拟合起到修正作用，当迭代至300时，三类损失均稳定收敛至0.05以下且波动极小，验证了模型对载荷动态特征的精准捕捉，实现了数据拟合精度与物理合规性的双重收敛。下文将从模型预测效果进行分析，体现PINN-LSTM在当前反演过程中的优势，图6和图7分别是SecB和SecC的3种载荷分量的反演结果对比图。

图6a和7a为垂向弯矩反演结果对比。利用Moore-Penrose求逆的传统方法因依赖线性最小二乘求解，在非平稳工况下难以准确还原载荷幅值，最大偏差超过20%。LSTM模型虽能捕捉时序趋势，但在载荷突变区易受噪声干扰，产生非物理解。相比之下，PINN-LSTM预测曲线与真实值高度吻合，误差控制在9%以内。其优势源于LSTM有效提取应变序列中的动态特征（如浪周期变化引起的弯矩激增），而PINN通过嵌入应变-载荷本构映射关系，将预测结果约束在物理可行域内，避免纯数据驱动的过拟合。

图6b和图7b为横向弯矩反演结果对比。横向弯矩受浪向切换影响，呈现复杂波动。PINN-LSTM在全样本区间误差不超过13%，显著优于基线方法。图6c和图7c为扭矩反演结果对比。扭矩的计算在弯扭耦合的情况下波动剧烈，其精度直接影响船体的扭转疲劳评估。PINN-LSTM 实现了扭矩的高保真同步反演，这得益于LSTM的长时序建模能力，以及PINN通过应变-扭矩映射项对非物理预测的有效抑制。物理约束在这阶段充当“正则化器”，即使在训练数据稀疏区域，也能引导模型输出符合物理规律的解。

本研究通过表2的定量指标与图6和图7的可视化实验结果，论证了PINN-LSTM混合模型在船舶波浪载荷反演中的良好效果，从定量性能看，该模型在垂向弯矩、横向弯矩和扭矩三类核心载荷的 MSE、MAPE指标上均实现最优且R²大于0.95，突破了传统算法的线性假设局限与单一模型的精度和物理性失衡问题，从训练机制看，其损失收敛曲线体现了时序特征提取与物理约束嵌入的深度协同，实现了数据拟合与物理合规性的同步优化，保障了模型的泛化稳定性与训练效率。

3.2 消融实验及泛化性能验证

为进一步论证PINN-LSTM混合模型核心组件的作用机制，并验证其在实际复杂场景下的适配能力，本文设计消融实验以量化各模块贡献度，同时针对新浪向、跨剖面二类典型泛化场景开展测试，全面评估模型性能。

消融实验以PINN-LSTM混合模型为基准，通过逐一移除LSTM时序模块、PINN物理约束细分项和动态权重适配机制，构建4组变体模型。通过对比各变体在测试集上的反演性能，量化各组件对模型性能的影响，实验结果如表3。

消融实验表明，各组件在PINN-LSTM框架中不可替代。LSTM时序模块是捕捉波浪载荷动态演化（如浪向切换、幅值突变）的关键，其缺失使相对误差E_MAPE从9.54% 升至11.65%，显著削弱了时序建模能力；PINN的本构约束，是保障物理一致性的核心，移除后E_MAPE进一步增至14.51%，预测结果明显偏离物理规律，泛化性能大幅下降；边界约束虽影响相对较小，E_MAPE仅有微小增幅，但在极值工况下对抑制非物理振荡起到关键稳定作用；动态权重适配机制作为调节模块，能根据输入特征自适应平衡数据拟合与物理约束强度，其移除导致E_MAPE上升至10.81%，体现其在复杂海况下维持精度与鲁棒性的重要功能。

泛化测试则聚焦于新浪向、跨剖面两类典型“分布外”（Out-of-Distribution， OOD）场景，通过与PINN、LSTM及传统求逆法的全面对比，全面评估模型在分布外（OOD）场景下的适应性，验证本模型的工程实用价值，表4展示了各模型在两类测试场景下的平均绝对百分比误差（E_MAPE）定量对比结果。

基于表4的定量数据分析表明，各模型的泛化性能呈现显著差异。传统求逆法由于不依赖数据训练，其误差表现受工况变化影响较小，在两类场景中E_MAPE稳定在19%~21%之间，但受限于线性假设，整体精度存在天花板。纯数据驱动的 LSTM模型在OOD场景下泛化能力严重衰退，其 E_MAPE在新浪向和新剖面测试中分别高达 20.16%和20.04%，甚至略高于传统方法，显示出对训练数据分布的强依赖性。相比之下，引入物理约束的PINN模型鲁棒性显著提升，误差波动范围控制在15%~17%。本文提出的PINN-LSTM混合模型表现最优，在两类场景下的MAPE分别低至13.19%和12.47%，较LSTM降低约7个百分点，较PINN降低约4个百分点，证明了协同机制在提升精度方面的有效性。

为了进一步揭示各模型在时域上的动态跟踪特性，如图8所示，泛化性测试以垂向弯矩分量为例，直观展示了“新浪向 60°（SecA 剖面）”与“新剖面 SecC（30°浪向）”两种典型工况下的反演结果对比（图8a为测试 1，图8b为测试 2）。从可视化结果可见，传统求逆法在载荷峰值区域存在明显的系统性偏差；LSTM 模型在新浪向工况下对突变信号跟踪失效，产生了非物理振荡与趋势发散，这与表 4中高误差数据相互印证。图8中右上角的局部放大视图（截取 1000~1050 步）进一步揭示了微观细节：在该短时时序窗口内，PINN 模型虽未出现非物理解，但在细节拟合上略显平滑。而PINN-LSTM 的预测曲线仍能紧密贴合真实值的微小波动，即使在载荷剧烈波动的峰值区域也能精准捕捉时序特征，无明显相位滞后或幅值衰减，直观地诠释了其为何能在定量指标上取得最优结果。

综上所述，定量指标与时序可视化结果共同证实了PINN-LSTM混合模型通过融合时序特征提取与物理规律约束，成功突破了传统算法的线性局限与单一数据驱动模型的泛化瓶颈，在未知浪向与不同船体位置下均实现了高精度、强鲁棒的载荷反演。

4 结论

本文针对船舶波浪载荷反演中传统方法依赖线性假设、纯数据驱动模型缺乏物理一致性、纯物理信息模型难以捕捉时序动态等关键问题，提出一种融合物理信息与长短期记忆网络的混合反演模型（PINN-LSTM）。该模型通过LSTM模块精准提取多测点应变序列的时序动态特征，并嵌入基于船体弯扭理论的本构关系与边界约束，构建“时序特征提取-物理约束校验-载荷同步反演”的协同优化框架。

实验结果表明：在多剖面、多浪向等不同工况下，PINN-LSTM在垂向弯矩、横向弯矩和扭矩等3个波浪载荷分量上的反演结果显著优于利用Moore-Penrose求逆的传统方法、LSTM和PINN等基线方法。在载荷突变与弯扭耦合场景下均具有高精度与物理合理性。消融与泛化实验也表明模型具备良好的模块可解释性与跨工况适应能力。不仅为船舶结构健康监测提供了高精度、高可信度的载荷反演新方法，也为复杂物理系统的时序逆问题求解提供了可迁移的技术范式。

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基金资助

国家自然科学基金(U2572203)