一种基于变分自编码器的核反应堆堆芯功率降阶计算方法

A reduced-order method based on variational autoencoder for core power reconstruction of nuclear reactor

摘要

三维相对功率分布是表征核反应堆堆芯中子学状态和空间功率非均匀性的重要物理量，其高保真计算依赖大规模数值求解，计算代价较高，难以满足快速评估、多次查询及不确定性量化等应用需求。本文针对堆芯相对功率场重构与不确定度量化问题提出了一种结合截断线性模态表示与变分自编码器的非线性降阶计算方法。在训练阶段，该方法首先将快照场通过POD（Proper Orthogonal Decomposition）投影到截断模态空间，得到低维模态系数，然后利用变分自编码器学习模态系数的非线性潜在分布，并训练由物理参数到潜空间变量的映射关系。在线应用阶段，该方法通过输入物理参数并映射得到潜变量分布，将潜变量抽样样本通过解码器实现功率场重构与不确定度分析。基于华龙一号HPR1000堆芯的仿真实验表明，相较于传统线性降维方法，该方法能够在更低潜空间维数下得到更高的重构精度，同时给出相应的不确定度估计与预测区间。本研究为核反应堆堆芯功率分布的快速代理建模与不确定性分析提供了一种可行途径，使后续数据同化和数字孪生成为可能，同时也为高维复杂物理场的非线性降阶建模与不确定度量化提供了思路。

Abstract

Three-dimensional relative power distribution is an important physical quantity for characterizing the neutronic state of a reactor core and the spatial uniformity of core power.However， the high-fidelity calculation of three-dimensional relative power distribution heavily relies on large-scale numerical simulations and is computationally expensive， which makes it difficult to satisfy the demands of rapid evaluation， repeated-query tasks and uncertainty quantification in practical applications.To address this issue， a nonlinear reduced order method is developed for the reconstruction and uncertainty characterization of relative power fields by combining the truncated linear modal representation with the variational autoencoder.In the offline phase of the method， high-fidelity snapshot fields are first projected onto a truncated modal space by proper orthogonal decomposition （POD）， to obtain the low-dimensional modal coefficients that retain the dominant physical structures of the original power field.Then， a variational autoencoder is employed to learn the nonlinear latent distribution of the modal coefficients， such that the high-dimensional relative power field can be represented and reconstructed in a more compact latent space.On this basis， a parameter-to-latent prediction network is further trained to establish the mapping from physical parameters to latent variables， and the reconstructed power field is obtained through the decoder together with the truncated modal basis.For the online application of the method， by inputting the parameters of physical model， the distribution of latent variables is first obtained and then sampled in the latent space.The method is able to propagate uncertainty from the latent representation to the reconstructed power field， thereby providing uncertainty estimates and confidence intervals for the prediction results.Simulation experiments are carried out for the steady-state three-dimensional relative power distribution of the HPR1000 reactor core of Hualong One， where high-fidelity samples are generated by CORCA-3D and 5% Gaussian noise is added to test the robustness of the method.It is shown that， in comparison with traditional linear reduced order modelling and neural-network-based methods， the method can maintain high reconstruction accuracy with much lower latent-space dimension， the relative error can be controlled close to 1% in the representative settings， while the uncertainty estimates are generally consistent with the local prediction quality and can reflect the reliability of the reconstructed results by providing the corresponding confidence intervals.These results demonstrate that the method provides an effective approach for rapid reactor-core power restruction and uncertainty quantification.

Graphical abstract

关键词

核反应堆 / 变分自编码器 / 降阶方法 / 堆芯功率重构

Key words

nuclear reactor / variational autoencoder / reduced order method / core power reconstruction

现代核反应堆堆芯分析涉及中子学、热工水力等多物理过程及其耦合反馈。高保真数值模拟能够为堆芯设计、运行评估和安全分析提供精细的三维空间场信息。其中，相对功率分布是表征堆芯中子学状态与功率非均匀性的重要物理量之一。由于堆芯的空间结构复杂、局部梯度明显，通常需要利用CORCA-3D等高保真程序进行求解才能获得具有工程参考价值的堆芯功率分布^［1-2］。此类高保真模拟往往计算代价高，难以直接支撑参数扫描、快速评估、在线分析及数字孪生等多次查询类任务。因此，如何在保持主要物理特征和可接受精度的前提下构建面向高维功率场的高效降阶代理方法，目前已成为堆芯分析中的一个重要研究方向。

在参数化偏微分方程及复杂物理系统的快速求解中，降阶方法是被广泛使用的技术路线。以本征正交分解（Proper Orthogonal Decomposition，POD）为代表的线性降阶方法通过对快照矩阵进行特征分解提取主导模态，将高维解表示为少量基函数的线性组合，从而显著降低系统维数与计算成本^［3-4］。但是，由于堆芯模拟的复杂性，传统的线性降阶方法很难同时满足堆芯功率快速重构的精度和效率要求。

近年来，基于非线性流形表示的降阶方法为复杂高维物理场的重构提供了新的思路^［5］。其中，自编码器能够通过编码解码映射学习高维状态的低维潜在表示，其非线性表达能力通常优于传统的线性模态截断^［6］。已有研究表明，将降阶模型与深度学习结合可以有效提升参数化非线性问题的降阶能力^［7］，结合潜空间同化方法来有效提高降阶精度与效率^［8-9］。在核工程领域，相关研究已将深度学习用于反应堆功率分布预测和流场快速近似^［10-11］，并已被用于华龙一号HPR1000 堆芯功率场的数字孪生前向建模。结合广义潜空间同化，以上研究能够实现参数识别与状态估计，并给出具有一定物理约束特征的编码降维方法^［12-13］。

已有的投影空间非线性降阶框架^［14］主要侧重压缩重构与数据同化。本文进一步以华龙一号HPR1000 堆芯稳态三维的相对功率分布为对象构建了一个集线性模态表示、潜空间非线性压缩、参数到潜空间预测以及不确定度量化于一体的降阶代理建模框架，并研究从参数到潜空间的直接预测映射，进而通过变分自编码器（Variational Autoencoder，VAE）实现代理模型输出的不确定度量化与可信区间估计，以便在保持重构精度的同时兼顾预测效率与结果可靠性。

后文的安排如下。第1节介绍堆芯物理模型及高保真求解方法。第2节给出降阶模型和计算方法，第3节通过仿真实验展示方法的有效性。最后，第4节对全文工作进行总结。

1 堆芯模型及求解方法

1.1 堆芯模型

本文所研究的华龙一号HPR1000堆芯为典型的三代压水堆堆型，其177个燃料组件沿轴向垂直排列构成三维堆芯计算域，其中部分组件布置有自供电中子探测器。此外，堆芯装载中包含控制棒组件以及不同富集度燃料分区，从而使堆芯中子学响应与功率分布呈现显著的空间非均匀性。在高保真计算中，一般采用四分之一堆芯建模，同时保持与全堆一致的主要空间分布特征。

在稳态条件下，堆芯区域\mathrm{\Omega }\subset {\mathbf{R}}^{\mathrm{3}}内的中子通量\mathit{\varphi }=\left({\mathit{\varphi }}_{\mathrm{1}},{\mathit{\varphi }}_{\mathrm{2}}\right)可采用两群扩散模型近似。以{\mathit{\varphi }}_{\mathrm{1}}表示快群通量，{\mathit{\varphi }}_{\mathrm{2}}表示热群通量，则通量满足如下特征值问题：

\left\{\begin{array}{l}-\nabla \cdot (D_{\mathrm{1}}\nabla {\mathit{\varphi }}_{\mathrm{1}})+({\mathbf{\Sigma }}_{a,\mathrm{1}}+{\mathbf{\Sigma }}_{\mathrm{1}\to \mathrm{2}}){\mathit{\varphi }}_{\mathrm{1}}=\\ \hspace{1em}\frac{\mathrm{1}}{k_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}}{\mathit{\chi }}_{\mathrm{1}}(\mathit{\nu }{\mathbf{\Sigma }}_{f,\mathrm{1}}{\mathit{\varphi }}_{\mathrm{1}}+\mathit{\nu }{\mathbf{\Sigma }}_{f,\mathrm{2}}{\mathit{\varphi }}_{\mathrm{2}}),x\in \mathbf{\Omega },\\ -\nabla \cdot (D_{\mathrm{2}}\nabla {\mathit{\varphi }}_{\mathrm{2}})+{\mathbf{\Sigma }}_{a,\mathrm{2}}{\mathit{\varphi }}_{\mathrm{2}}-{\mathbf{\Sigma }}_{\mathrm{1}\to \mathrm{2}}{\mathit{\varphi }}_{\mathrm{1}}=\\ \hspace{1em}\frac{\mathrm{1}}{k_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}}{\mathit{\chi }}_{\mathrm{2}}(\mathit{\nu }{\mathbf{\Sigma }}_{f,\mathrm{1}}{\mathit{\varphi }}_{\mathrm{1}}+\mathit{\nu }{\mathbf{\Sigma }}_{f,\mathrm{2}}{\mathit{\varphi }}_{\mathrm{2}}),x\in \mathbf{\Omega },\\ {\mathit{\varphi }}_{\mathrm{1}}={\mathit{\varphi }}_{\mathrm{2}}=\mathrm{0},x\in \partial \mathbf{\Omega }\end{array}\right.（1）

其中，D_i为第i群扩散系数，{\mathrm{\Sigma }}_{a,i}为宏观吸收截面，{\mathrm{\Sigma }}_{\mathrm{1}\to \mathrm{2}}为从快群到热群的宏观散射截面，{\mathrm{\Sigma }}_{f,i}为宏观裂变截面，\nu为每次裂变平均放出中子数，{\chi }_i为裂变谱分布，k_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}为有效增殖因子。由中子通量可得到堆芯功率分布，其定义为：

P(\mathbf{x})={\mathrm{\Sigma }}_i^{\mathrm{1,2}}\nu {\mathrm{\Sigma }}_{f,\mathrm{1}}(\mathbf{x}){\varphi }_i(\mathbf{x}),\mathbf{x}\in \mathrm{\Omega }（2）

为消除不同工况下整体功率水平变化导致的尺度差异，本文进一步采用均值归一化的相对功率分布作为本文计算模型的目标量，即

\left\{\begin{array}{l}{P}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{l}}(\mathbf{x})=\frac{P(\mathbf{x})}{\overline{P}},\\ \overline{P}=\frac{\mathrm{1}}{|\mathrm{\Omega }|}{\int }_{\mathrm{\Omega }}P(r)\mathrm{d}r\approx \frac{\mathrm{1}}{N}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}{P}_i\end{array}\right.\hspace{1em}（3）

1.2 高保真求解方法

本文的高保真堆芯中子学计算采用CORCA-3D，该程序可为各燃料组件生成少群均匀化截面参数，求解稳态三维两群扩散特征值问题并可选耦合热工水力反馈，并进一步重构得到更细尺度的功率分布。

图1给出了CORCA-3D计算得到的 HPR1000堆芯典型三维相对功率分布示例。由图可见，堆芯功率分布在轴向与径向上均表现出明显的空间非均匀性，不同区域之间存在清晰的梯度变化与局部峰值特征。这表明功率场不仅具有高维度，而且具有显著的空间结构性，仅依赖线性低维子空间往往难以在较低维度下充分刻画其复杂变化，因而有必要进一步引入具有更强非线性表达能力的降阶代理模型。

尽管CORCA-3D能够提供高精度的全堆芯场分布结果，但其输出维度高、重复求解计算代价大，难以满足如参数扫描、快速评估等需要大量重复计算的应用场景。对此问题，本文将构建基于自编码器的降阶代理模型，以便在保证精度的前提下实现快速重构，为相关应用提供支撑。

2 基于自编码器的降阶模型

2.1 线性降阶模态表示

对参数化模型（1）抽样选取一组工况参数{\alpha }_m,m=\mathrm{1,2},\cdots ,M，用高保真模型计算得到的相对功率分布（快照解）为：

\mathbf{u}\left({\alpha }_m\right)={\left[u\left(x_{\mathrm{1}};{\alpha }_m\right),\cdots ,u\left(x_N;{\alpha }_m\right)\right]}^{\mathrm{T}}，

其中，N为离散后的自由度总数，M为快照样本数。将全部快照解按列排成快照矩阵\mathbf{U}=[u\left({\alpha }_{\mathrm{1}}\right),\cdots ,u\left({\alpha }_M\right)]。POD的基本思想是在快照解张成的高维解空间中提取一组最优正交基。对快照矩阵做奇异值分解\mathbf{U}=\mathrm{\Phi }\mathrm{\Sigma }{\mathrm{\Psi }}^{\mathrm{T}},其中\mathrm{\Phi }=\left[{\varphi }_{\mathrm{1}},{\varphi }_{\mathrm{2}},\cdots ,{\varphi }_M\right]为左奇异向量，\mathrm{\Sigma }为奇异值{\sigma }_{\mathrm{1}}\ge {\sigma }_{\mathrm{2}}\ge \cdots \ge {\sigma }_R按降序排列的对角矩阵。按顺序截取前r个左奇异向量得截断POD基

{\mathrm{\Phi }}_r=\left[{\varphi }_{\mathrm{1}},{\varphi }_{\mathrm{2}},\cdots ,{\varphi }_r\right]，

从而高维物理场可近似表示为

u(x;\alpha )\approx {\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^r}{a}_k(\alpha ){\varphi }_k(x)\triangleq {\mathrm{\Phi }}_{r}a(\alpha ),

其中\mathbf{a}(\alpha )=[a_{\mathrm{1}}(\alpha ),\cdots ,a_r{(\alpha )]}^T为表示系数向量。在训练阶段，由于快照解u\left({\alpha }_m\right)已知，根据奇异向量的正交性，对应的表示系数向量可由投影得到，即\mathbf{a}({\alpha }_m)={\mathrm{\Phi }}_r^{\mathrm{T}}\mathbf{u}\left({\alpha }_m\right)。

截断维数r通常依据累计能量贡献率选取，可选取满足最小容差{\eta }_{\mathrm{0}}的维数r，即

r=\mathrm{m}\mathrm{i}{\mathrm{n}}_{r>\mathrm{0}}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^r}{\sigma }_k^{\mathrm{2}}/{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^R}{\sigma }_k^{\mathrm{2}}\ge {\eta }_{\mathrm{0}}。

对于本文的堆芯相对功率分布，其高非线性导致奇异值下降缓慢，仅依赖于线性模态叠加往往需要较大的截断维数才能达到给定精度，影响降阶效率。虽然空间结构复杂导致非线性强，但高保真解也可以用低维的内在流形逼近。因此，在保持物理结构的同时，本文进一步采用满足非线性降维、能捕捉低维解特征的方法，以更紧凑地刻画解流形的潜在结构。

2.2 基于投影空间的自编码器

借助神经网络的非线性拟合能力，本文使用自编码器来提取参数化物理系统解流形中的非线性特征，并学习从投影空间到潜空间的低维嵌入及其逆映射，以构造更低维的潜在子空间。

将从投影空间系数a(\alpha )到潜空间变量\mathbf{z}及其逆映射的编码器与解码器分别记为

那么潜空间\mathbf{z}\in {\mathrm{R}}^d到投影空间的映射为z(\alpha )={\mathrm{ℰ}}_{\theta }(\mathbf{a}(\alpha ))与\widehat{\mathbf{a}}(\alpha )={\mathrm{𝒟}}_{\omega }(z(\alpha ))。相应地，通过映射得到的重构场可写为

\widehat{\mathbf{u}}(\alpha )={\mathrm{\Phi }}_r{\mathit{𝒟}}_{\omega }\left({\mathrm{ℰ}}_{\theta }\left({\mathrm{\Phi }}_r^{\mathrm{T}}\mathbf{u}(\alpha )\right)\right)（4）

本文使用神经网络拟合编码器{\mathrm{ℰ}}_{\theta }和解码器{\mathrm{𝒟}}_{\omega }，实现对原始高维物理场的紧凑表征。

对于M个训练样本{\left\{\mathbf{u}\left({\alpha }_m\right)\right\}}_{m=\mathrm{1}}^M，根据其投影系数{\mathbf{a}}_m={\mathrm{\Phi }}_r^{\mathrm{T}}\mathbf{u}\left({\alpha }_m\right)、重构系数{\widehat{\mathbf{a}}}_m={\mathrm{𝒟}}_{\omega }\left({\mathrm{ℰ}}_{\theta }\left({\mathbf{a}}_m\right)\right)以及重构后的物理场{\widehat{\mathbf{u}}}_m={\mathrm{\Phi }}_r{\widehat{\mathbf{a}}}_m，原始物理场上的重构误差可以写为

{\mathrm{ℒ}}_{\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{d}}=\frac{\mathrm{1}}{M}{\displaystyle \sum _{m=\mathrm{1}}^M}{‖\mathbf{u}\left({\alpha }_m\right)-{\widehat{\mathbf{u}}}_m‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}（5）

限制在投影空间、给定根据奇异值大小给定的权重矩阵W=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\left(w_{\mathrm{1}},w_{\mathrm{2}},\cdots ,w_r\right)，则加权误差为

\begin{array}{l}{\mathrm{ℒ}}_{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j}}=\frac{\mathrm{1}}{M}{\displaystyle \sum _{m=\mathrm{1}}^M}{‖W\left({\mathbf{a}}_m-{\widehat{\mathbf{a}}}_m\right)‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}=\\ \frac{\mathrm{1}}{M}{\displaystyle \sum _{m=\mathrm{1}}^M}{‖W{\mathrm{\Phi }}_r^{\mathrm{T}}\left(u\left({\alpha }_m\right)-{\widehat{\mathbf{u}}}_m\right)‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\end{array}（6）

于是，整体的训练误差（损失函数）可以写为

{\mathrm{ℒ}}_{\mathrm{S}\mathrm{V}\mathrm{D}-\mathrm{A}\mathrm{E}}={\alpha }_f{\mathrm{ℒ}}_{\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{d}}+{\alpha }_p{\mathrm{ℒ}}_{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j}}（7）

尽管自编码器本身属于数据驱动的非线性映射，但本文的降维方法与直接针对原始高维功率场的神经网络非线性压缩的方法不同，神经网络并非直接作用于原始高维物理场，而是作用于由主导模态张成的POD投影系数空间。因此，在投影空间中的保结构约束下，降维过程能够在引入非线性表达能力的同时较好保持主导物理结构信息，具有一定的可解释性与可控性，从而形成一种兼顾物理结构约束与非线性表示能力的降阶建模思路。具体实现方式见算法1。

算法1 自编码器\widehat{\mathbf{u}}={\mathrm{\Phi }}_r{\mathit{𝒟}}_{\omega }\left({\mathrm{ℰ}}_{\theta }\left({\mathrm{\Phi }}_r^{\mathrm{T}}\mathbf{u}\right)\right)

输入：高保真快照u\left({\alpha }_i\right)，截断维数r，潜空间维数d，损失权重{\alpha }_f、{\alpha }_p。

输出：训练后的编码器{\mathrm{ℰ}}_{\theta }，解码器{\mathit{𝒟}}_{\omega }。

1） 对快照矩阵\mathbf{U}作奇异值分解，取前r个左奇异向量构造截断基{\mathrm{\Phi }}_r，并做投影得到系数{\mathbf{a}}_m={\mathrm{\Phi }}_r^{\mathbf{T}}\mathbf{u}\left({\alpha }_m\right)；

2） 初始化编码器参数\theta和解码器参数\omega；

3） {\mathbf{a}}_m作为神经网络的输入，输出为潜空间维度的向量\mathbf{z}构造{\mathrm{E}}_{\theta }，同时用神经网络构造逆映射Decoder {\mathit{𝒟}}_{\omega }；

4） 重构物理场{\widehat{\mathbf{u}}}_m={\mathrm{\Phi }}_r{\widehat{\mathbf{a}}}_m，计算加权loss，即{\alpha }_f{\mathrm{L}}_{\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{d}}+{\alpha }_p{\mathrm{L}}_{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j}}；

5） 训练神经网络更新参数迭代至模型收敛。

2.3 基于潜空间预测的代理模型

虽然自编码器能够在较低维的潜空间中对高维物理场进行有效压缩，并保持较高的重构精度，但实际使用的在线阶段自编码器的输入\mathbf{a}(\alpha )={\mathrm{\Phi }}_r^{\mathrm{T}}\mathbf{u}\left(\alpha \right)是未知的，无法直接使用。本文在自编码器降维框架的基础上加入参数化预测，建立参数空间到潜空间之间的非线性映射关系\widehat{z}={\mathrm{𝒢}}_{\eta }(\alpha )。如图2所示，对于给定的物理参数\alpha，通过训练好的神经网络{\mathrm{𝒢}}_{\eta }映射到潜空间变量，再将预测潜变量通过解码器得到投影系数，并结合线性降维的基函数得到代理模型的重构结果，即\widehat{u}={\mathrm{\Phi }}_r{\mathit{𝒟}}_{\omega }({\mathit{𝒢}}_{\eta }(\alpha ))。

因为预测网络{\mathrm{𝒢}}_{\eta }的加入，自编码降维过程和预测过程的训练需要采用分段式训练策略。本文采用如下的训练策略：

1） 利用快照样本训练编码器{\mathrm{ℰ}}_{\theta }和解码器{\mathrm{𝒟}}_{{}_{\omega }}，使网络参数充分收敛，从而获得稳定的潜空间表征；

2） 固定自编码器的网络参数，利用物理参数样本与第一阶段得到的对应潜变量样本训练预测网络{\mathrm{𝒢}}_{\eta }，并通过解码后的重构误差对预测结果进行约束。

对于训练好的代理模型，在线使用时编码器并不参与计算，其在自编码器中只作为降维手段的离线训练。另外，构造潜空间和学习物理参数到潜变量的映射并不局限于特定的神经网络，因而本文均采用标准的全连接前馈神经网络。自编码器降阶计算模型的重点在于构建降维表征、潜空间预测、物理场重构这一统一的非线性降维建模框架，不同网络结构可根据数据形式和具体问题进行灵活替换。

2.4 变分自编码器与不确定度预测

由于样本扰动、参数不确定性或观测噪声的不确定性，对于堆芯功率分布的仿真，其计算结果往往具有一定随机性。因此，在局部梯度变化剧烈、功率峰值明显或观测样本覆盖不足的区域，本文通过采用变分自编码器引入不确定度描述，以提高代理模型的可解释性、鲁棒性和工程应用的可靠性。

变分自编码器VAE在自编码器基础上多做一步变分推理，为潜变量\mathbf{z}添加不确定度的神经网络设计^［15-16］。变分自编码器将潜变量\mathbf{z}的每个维度视作独立的随机变量并服从独立正态分布。因此，VAE编码器的输出变为{\mu }_{\varphi }(\mathbf{a})\in {\mathbf{R}}^d和{\sigma }_{\varphi }^{\mathrm{2}}(\mathbf{a})\in {\mathbf{R}}^d，分别代表\mathbf{z}的期望和方差，通过重参数技巧产生解码器的输入，即\mathbf{z}={\mu }_{\varphi }(\mathbf{a})+{\sigma }_{\varphi }(\mathbf{a})\odot \epsilon，其中符号\odot表示逐元素乘积（Hadamard 积），\epsilon ~\mathrm{𝒩}(\mathrm{0},\mathbf{I})。由此，潜空间中的随机扰动便能够自然传播到POD系数及原始物理场，实现不确定度由低维潜空间向高维解的传递。

然而，标准VAE的证据下界（Evidence Lower Bound，ELBO）损失函数更侧重潜变量分布的统一正则约束与一般性的生成一致性，难以兼顾复杂物理场的局部结构与模型精度。因此，在损失函数设计上，本文仍以POD投影系数及其对应高维物理场的准确重构为核心，由M个采样得到对应的POD系数重构结果，即

{\widehat{\mathbf{a}}}^{(m)}=D_{\omega }\left({\mathbf{z}}^{(m)}\right)，m=1, ..., M，

则投影系数的样本均值为

\overline{\mathbf{a}}=\frac{\mathrm{1}}{M}{\displaystyle \sum _{m=\mathrm{1}}^M}{\widehat{\mathbf{a}}}^{(m)}（8）

对统计均值继续沿用2.2节中的损失函数。

为进行重构结果的不确定性分析，在构建代理模型时预测神经网络的输出也需要变为{\mu }_{\varphi }(\mathbf{a})和{\sigma }_{\varphi }^{\mathrm{2}}(\mathbf{a})进行训练。在线使用时，首先将物理参数\alpha输入{\mathrm{𝒢}}_{\eta }得到\mathbf{z}的分布（数学期望和方差），再依分布对\mathbf{z}进行随机采样，将样本值输入解码器得到POD表示系数从而得到重构结果。由于可以依分布对\mathbf{z}进行多次随机采样，并得到对应的重构结果的随机样本，因而可以通过标准统计方法对重构结果进行不确定度分析和区间估计。这样，代理模型的整个预测与重构过程并未脱离原始物理场所对应的投影空间，从而保证模型在进行不确定度预测时仍保持与前文一致的物理结构约束。值得注意的是，本文的不确定度预测并非独立附加在代理模型之外，而是在投影空间结构约束下与降维表征、参数预测和高维场重构一并完成。

3 仿真实验

本文以华龙一号HPR1000堆芯稳态相对功率分布为研究对象，高保真样本由 CORCA-3D程序生成，降阶模型重构的目标量为三维平均相对功率场。在仿真实验中，变化的物理参数为控制棒程序步位、燃耗、核功率水平、入口慢化剂温度以及4个控制棒组棒位的8维工况向量，用以描述堆芯控制状态、燃耗状态及热工运行工况。在样本生成时，本文在上述工况参数的允许取值范围内采用拉丁超立方采样（Latin hypercube sampling，LHS）构造8000组输入工况，并按7：3的比例随机划分为训练集和测试集。

为模拟真实工况与检验模型鲁棒性，本文对原始样本添加5%水平的高斯噪声：

\tilde{\mathbf{u}}=\mathbf{u}\circ (\mathrm{1}+\mathrm{0.05}\epsilon )，\epsilon \sim \mathrm{𝒩}(\mathrm{0},\mathbf{I})。

在测试集采用平均相对L_{\mathrm{2}}误差评价模型精度，即

E_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{l}}=\frac{\mathrm{1}}{N}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}{‖{\widehat{\mathbf{u}}}^{(i)}-{\mathbf{u}}^{(i)}‖}_{\mathrm{2}}/{‖{\mathbf{u}}^{(i)}‖}_{\mathrm{2}}（9）

其中N为测试样本数，{\mathbf{u}}^{(i)}与{\widehat{\mathbf{u}}}^{(i)}分别表示第i个样本的高保真解与代理模型得到的解。

记POD-VAE为本文构建的代理模型。本文把它和直接使用POD和神经网络融合的线性降维方法（记作POD-MLP）进行对比，以验证方法的有效性。其中，在POD-MLP中，预测网络直接学习物理参数到POD基的表示系数之间的映射。POD-VAE模型的主要参数如表1所示，其中H_i表示第i个隐藏层，r为POD截断维数，d为潜空间维数。各隐藏层均采用ReLU激活函数，训练采用Adam优化器，学习率为\mathrm{1}\times {\mathrm{10}}^{-\mathrm{4}}，权重衰减为\mathrm{1}\times {\mathrm{10}}^{-\mathrm{5}}，批量大小为 128。损失函数为

\mathrm{ℒ}={\alpha }_f{\mathrm{ℒ}}_{\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{d}}+{\alpha }_p{\mathrm{ℒ}}_{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j}}，

权重({\alpha }_f,{\alpha }_p)=(\mathrm{5,1})。

图3给出了当POD维数r分别为20、50、100、200时POD-VAE的重构误差随潜空间维数d增加的变化。可以看到，当d很小时，重构误差随d的增加而显著减小，但当d>\mathrm{8}后，误差下降已趋于平缓，表明物理模型的主要特征已经被较低维度的潜空间有效捕捉。此外，POD-VAE的预测精度还与POD截断维数r有关，较高的r能够为后续潜空间建模保留更充分的主导信息，提升代理模型的预测能力。当r=\mathrm{200}，d\ge \mathrm{7}时，相对误差可稳定控制到接近1%量级，表明该方法在仿真数据有5%高斯噪声条件下仍可以用更低维的潜空间刻画堆芯功率场中复杂的非线性结构，使代理模型具有满足实际需求的重构精度与鲁棒性，从而验证了基于潜空间映射的代理建模思路在高维非线性物理场问题中的有效性。

表2给出了不同维度下POD-VAE的预测误差，并与POD-MLP进行了对比。可以看到，POD-VAE降阶计算模型可以用低得多潜空间维数捕捉物理模型的主要特征，而且预测精度比相同POD维数r的POD-MLP计算模型更高。

图4展示了固定潜空间维数d=\mathrm{8}，POD维数r分别取50和200时POD-VAE模型中每根燃料棒的预测误差分布。从空间分布看，误差较大的燃料棒通常对应于功率变化更剧烈或局部非均匀性更明显的区域，表明在局部梯度较强、耦合关系更复杂的位置，预测难度相对更高。对于功率变化较平缓的区域，模型通常能够给出更稳定、更准确的结果。

图5展示了参考图1中位于位置（1，2）的燃料棒的功率预测结果。可以看到，固定d=\mathrm{8}，当POD维数r分别为50和200时，POD-VAE模型的预测结果与高保真计算结果很接近，潜空间预测网络能够在单根燃料棒层面保留较为细致的局部信息，重构误差基本取决于参数到潜层拟合本身的拟合方法和训练效果。因此，POD-VAE模型不仅能够完成全局功率场的快速近似，还能够在单棒尺度上保持较好的预测精度。

图6分别展示了POD-VAE模型在位置（3， 3）与（8， 2）的燃料棒功率预测与不确定度分析结果。可以看到，模型给出的预测均值整体上能够较好地吻合高保真结果的变化趋势，不确定度也能够在一定程度上反映预测的准确度，可以验证本文提出的重构模型对复杂区域预测的不确定性响应信息。

综上所述，在线性投影空间中引入非线性潜空间压缩后，模型能够以更低的潜空间维数实现对高维功率场主要特征的有效表征。通过变分潜空间建模，模型在具备了面向在线场景的快速预测能力的同时也能够准确给出预测均值，并提供与局部误差水平相对应的不确定度信息。

4 结论

面向堆芯三维相对功率分布高维、非线性强及快速评估需求，本文针对高维功率场的降阶表征、在线预测与不确定度量化问题构建了一个结合截断线性模态表示与变分潜空间学习的非线性降阶模型框架，并从降维、预测和不确定度等三个方面进行了研究。该方法在保留主导物理结构的同时提高了高维功率场的紧凑表达能力，使模型能够在在线阶段实现由输入参数到堆芯功率分布的快速重构，实现高鲁棒性、高精度的结果与模型不确定度传播、可信区间估计。仿真结果表明，本文提出的模型框架相较于传统线性降维与一般神经网络能够以更低潜空间维数获得更高精度，并且能够在单棒尺度上给出与局部预测质量相一致的不确定度表征。

本文的模型为参数化高维物理场的代理建模提供了一种可行思路。后续可进一步面向更复杂工况和多物理耦合问题，研究模型的泛化能力与工程适用性。

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基金资助

国家自然科学基金区域创新发展联合基金(U25A20200)