基于非重叠型区域分解的随机参数偏微分方程算子学习

Nonoverlapping domain decomposition based operator learning for partial differential equations with stochastic parameters

摘要

深度神经算子通过构建数据驱动的代理模型为含随机参数的偏微分方程提供高效求解途径。在大规模高维问题中，直接训练全局神经算子普遍面临计算成本高昂、泛化精度受限的双重瓶颈。本文提出了一种融合非重叠区域分解方法与算子学习的新型计算框架，该框架将全局计算域剖分为若干不重叠的局部子区域，并结合局部Karhunen-Loève（KL）展开实现参数降维。在训练阶段，该框架独立训练局部神经算子，建立局部参数与界面条件到局部解的映射。在预测阶段，该框架引入基于界面约束的优化算法来驱动各局部算子并行、快速地推断全局近似解。相比传统全局神经算子，该方法显著降低了代理模型的拟合难度，能够以更低的计算代价获得更高的预测精度。在二维随机扩散方程的数值实验中，相比全局神经算子，本文方法仅需约20%的网络参数即可获得更优更稳健的逼近效果，且相对误差降低约34%。本文的方法具有局部化结构，天然支持并行计算，可以有效提升大规模参数化偏微分方程的求解效率。

Abstract

Deep neural operators have emerged as a promising paradigm for efficiently solving parametric partial differential equations （PDEs） with random parameters via data-driven surrogate modeling.However， directly training global neural operators for large-scale， high-dimensional problems usually suffers from prohibitive computational costs and limited generalization capabilities.To address these challenges， this paper proposes a novel computational framework that couples nonoverlapping domain decomposition methods （DDM） with operator learning.This approach partitions the global computational domain into several local subdomains and utilizes local Karhunen-Loève （KL） expansions to effectively reduce the parameter dimensionality.In the training phase， each local neural operator is trained independently to learn the mapping from local parameters and interface conditions to the local solution.In the prediction phase， an optimization algorithm based on interface constraints is further proposed， enabling all local operators to infer the global approximation rapidly and in parallel.Compared with the global neural operator， domain decomposition significantly reduces the fitting difficulty of surrogate models and achieves higher prediction accuracy at lower computational cost.A numerical example on a two-dimensional stochastic diffusion equation demonstrates that the proposed local operator requires only about 20% of the network parameters to achieve a better and more robust approximation performance， with the relative error reduced by approximately 34%.Furthermore， its localized structure naturally supports parallel computing， providing a new paradigm for the efficient solution of large-scale parameterized PDEs.

Graphical abstract

关键词

含参偏微分方程 / 非重叠型区域分解 / 算子学习 / 代理模型

Key words

parametric partial differential equation / nonoverlapping domain decomposition / operator learning / surrogate model

偏微分方程是计算科学与工程领域刻画物理现象的核心数学工具，在流体仿真、大气模拟等领域具有极其广泛的应用。然而，在针对复杂问题进行建模时，需要求解的模型通常带有表示不确定性的随机参数，如果采用传统数值方法（有限元方法^［1］，有限差分方法^［2］等）反复进行计算求解，往往会产生难以承受的计算成本。

目前，通过构建代理模型来加速预测已成为缓解上述计算瓶颈的研究热点。代理模型能够有效融合历史数据和潜在物理信息，以相对低的计算代价获得高精度的近似求解。为此，研究人员发展了广义多项式混沌展开^［3-4］，高斯过程回归^［5-6］和深度神经网络^［7-8］等多种高效建模方法。

近年来，基于神经网络的算子学习方法因其具有逼近复杂映射的能力及处理高维数据的优势而成为极具前景的研究方向。算子学习的核心在于利用深度学习模型拟合输入空间与输出空间之间的映射关系，如学习偏微分方程中随机参数到其解的映射等。其中，深度算子网络（Deep Operator Network， DeepONet）^［9］是一种双网络架构，无需固定网格离散化就能学习函数之间的映射。傅里叶神经算子（Fourier Neural Operator， FNO）^［10］构建了在频域中运行的专有架构，能够将神经网络与特定物理结构离散化解耦。

为了进一步拓展算子模型在不同场景下的适用性，研究人员提出了多种扩展框架。例如，为处理复杂物理边界，可学习形变的傅里叶神经算子^［11］引入了辅助网络，实现规则域到不规则域的映射。面对训练数据稀缺的挑战，内嵌物理信息的神经算子^［12-13］提出将控制方程等先验物理知识融入训练过程的算法，有效提升模型的泛化能力与预测性能。

尽管算子学习方法在求解偏微分方程方面取得了进展，但仍旧面临着一些挑战。首先，训练模型过程需要高昂的计算与存储成本，特别是在处理高维问题时。算子模型通常需要在多次求解高维偏微分方程所得到的大型数据集上进行训练，不仅消耗极大的算力，还会带来巨大的内存需求。其次，基于单一全局计算域训练的算子模型的泛化能力有限，在处理非线性和多尺度问题时目标映射在整个定义域内呈现出显著的差异，进一步加剧使用单一全局算子进行高精度全局逼近的难度。

为应对以上挑战，研究者引入了区域分解方法^［14-20］。这是一种极具前景的破局思路，核心是将大型计算区域剖分为多个局部子域，以缓解整体计算压力。将该思想应用在算子学习中可以将单一的全局映射转化为一组作用于各子域的局部算子。由于局部算子仅需拟合较小区域内的物理演化，这就使需要处理的问题相对变得低频简单，进而使深度学习模型能够更精准地捕捉解的局部特征，展现更好的泛化能力。此外，区域分解方法具备高度的可并行性，局部算子的训练能够充分利用计算资源，实现算法层面的高效扩展。并且，该策略还允许在不同子域内灵活配置异构网络分辨率，为多保真度数据融合提供支持，在保证局部复杂区域求解精度的同时最大化地提升整体计算效率。

本文提出了一种结合深度神经算子与区域分解的新型算子学习框架，以应对含参偏微分方程的计算挑战。数值实验结果表明，该方法能够显著降低算力开销，保证预测精度，为大规模含参偏微分方程的高效逼近提供可行的新方案。

1 问题描述

设D\subset {\mathbf{R}}^n(n=\mathrm{2,3})为具有多边形边界\partial D的有界连通区域，其中\mathit{x}\in D表示空间变量。本文考虑如下含随机参数的偏微分方程系统：

\left\{\begin{array}{l}L\left(\mathit{x},u\left(\mathit{x},\omega \right);a(\mathit{x},\omega )\right)=f\left(\mathit{x}\right),\forall \mathit{x}\in D,\\ B\left(\mathit{x},u\left(\mathit{x},\omega \right);a(\mathit{x},\omega )\right)=g\left(\mathit{x}\right),\forall \mathit{x}\in \partial D\end{array}\right.（1）

其中，L和B分别表示含随机参数的微分算子与边界算子，f和g分别表示确定性源项与边界条件，系统随机输入a(\mathit{x},\omega )是定义在物理区域D上的随机过程，通常称为随机场，即

a(\mathit{x},\omega ):D\times \mathrm{\Omega }\to \mathbf{R},

其中，\mathrm{\Omega }是定义在完备概率空间\left(\mathrm{\Omega },F,P\right)中的样本空间，F为\sigma代数，P为概率测度。

在实际计算中，难以直接处理无限维随机场，通常需要采用有限维随机变量对其进行参数化表示与降维。Karhunen-Loève （KL）展开^［21］是一种常用的随机场降维方法，通过有限项截断有效刻画随机场中的主导不确定性。对均值{\mu }_a\left(\mathit{x}\right)和协方差函数C_a(\mathit{x},{\mathit{x}}^{\mathrm{\text{'}}})的随机场a(\mathit{x},\omega )，其d阶截断KL展开可表示为：

\tilde{a}\left(\mathit{x},\omega \right)={\mu }_a\left(\mathit{x}\right)+{\sum }_{j=\mathrm{1}}^d\sqrt[]{{\lambda }_j}{\psi }_j\left(\mathit{x}\right){\xi }_j\left(\omega \right)（2）

其中，{\left\{{\lambda }_j,{\psi }_j\left(\mathit{x}\right)\right\}}_{j=\mathrm{1}}^d为协方差算子的前d个特征对，并按特征值大小降序排列，{\left\{{\xi }_j\left(\omega \right)\right\}}_{j=\mathrm{1}}^d是一组互不相关的随机变量。使用截断KL展开式（2），近似替代原随机场a(\mathit{x},\omega )后，无限维随机参数偏微分方程系统（1）可转化为如下的有限维参数化问题：

\left\{\begin{array}{l}L\left(\mathit{x},u\left(\mathit{x},\mathit{\xi }\right);\tilde{a}\left(\mathit{x},\mathit{\xi }\right)\right)=f\left(\mathit{x}\right),\forall \mathit{x}\in D,\\ B\left(\mathit{x},u\left(\mathit{x},\mathit{\xi }\right);\tilde{a}\left(\mathit{x},\mathit{\xi }\right)\right)=g\left(\mathit{x}\right),\forall \mathit{x}\in \partial D,\end{array}\right.

其中，\mathit{\xi }={\left[{\xi }_{\mathrm{1}},\cdots ,{\xi }_d\right]}^{\mathrm{T}}\in \mathrm{\Gamma }={\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{1}}\times \cdots \times {\mathrm{\Gamma }}_d\subset {\mathbf{R}}^d为由随机变量组成的有限维参数向量。针对上述有限维参数化偏微分方程问题，本文结合区域分解思想与深度学习算子方法构建局部化神经算子框架。该方法能够利用区域分解在处理大规模问题中的优势，在降低计算成本的同时为参数化偏微分方程问题构建高精度代理模型。

2 区域分解与局部参数化

考虑具有多边形边界\partial D的物理区域D\subset {\mathbf{R}}^n(n=\mathrm{2,3})。将全局区域D划分为N_D个互不重叠的子区域\left\{D^{(\mathrm{1})},\cdots ,D^{(N_D)}\right\}，满足D={\bigcup }_{i=\mathrm{1}}^{N_D}{D}^{(i)}，且对于任意i\ne j有D^{(i)}\bigcap D^{(j)}=\mathrm{\varnothing }，记各子区域D^{(i)}的边界为\partial D^{(i)}。对于每个子区域D^{(i)}，定义如下边界集合与邻接关系。

1） 子区域D^{(i)}与D^{(j)}之间的交界面定义为{\partial }_j{D}^{(i)}≔\partial D^{(i)}\cap \partial D^{(j)}，其中i\ne j，显然有{\partial }_j{D}^{(i)}={\partial }_i{D}^{(j)}。

2） 子区域D^{(i)}位于全局物理边界上的部分定义为{\partial }_{\mathrm{e}\mathrm{x}}{D}^{(i)}≔\partial D^{(i)}\cap \partial D，称为外部边界。相应地，子区域的内部界面部分定义为{\partial }_{\mathrm{i}\mathrm{n}}{D}^{(i)}≔\partial D^{\left(i\right)}\setminus {\partial }_{\mathrm{e}\mathrm{x}}{D}^{\left(i\right)}。

3） 与子区域D^{(i)}相邻的子区域指标集定义为{\mathrm{\Lambda }}^{(i)}≔\left\{j|j\in \left\{\mathrm{1},\cdots ,N_D\right\},j\ne i,\partial D^{(i)}\cap \partial D^{(j)}\ne \mathrm{\varnothing }\right\}，该集合表示所有与D^{(i)}共享公共界面的相邻子区域编号。在N_D>\mathrm{1}且区域划分不存在孤立子区域的情况下，有{\mathrm{\Lambda }}^{(i)}\ne \mathrm{\varnothing }。

4） 所有相邻子区域的有序编号对构成集合\mathrm{\Lambda }≔\left\{\left(i,j\right)|i\in \left\{\mathrm{1},\cdots ,N_D\right\},j\in {\mathrm{\Lambda }}^{(i)}\right\}。

图1给出了包含两个非重叠型子区域的区域分解示例。此时，有D=D^{(\mathrm{1})}\bigcup D^{(\mathrm{2})}，{\mathrm{\Lambda }}^{(\mathrm{1})}=\left\{\mathrm{2}\right\}，{\mathrm{\Lambda }}^{(\mathrm{2})}=\left\{\mathrm{1}\right\}并且\mathrm{\Lambda }=\left\{\left(\mathrm{1,2}\right),(\mathrm{2,1})\right\}。

针对每个子区域D^{(i)}，定义局部随机场a^{(i)}\left(\mathit{x},\omega \right)为全局随机场a\left(\mathit{x},\omega \right)在该子区域上的限制，即

a^{(i)}\left(\mathit{x},\omega \right)≔a\left(\mathit{x},\omega \right){\mathbb{I}}_{D^{\left(i\right)}}\left(\mathit{x}\right)，

其中，{\mathbb{I}}_{D^{\left(i\right)}}\left(\mathit{x}\right)是子区域D^{(i)}的区域指示函数，当\mathit{x}\in D^{\left(i\right)}时取值为1，否则为0。基于上述区域分解，全局含随机参数的偏微分方程问题（1）可转化为定义在各子区域D^{(i)}上的局部偏微分方程系统：

\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}{L}^{(i)}\left(\mathit{x},u^{\left(i\right)}\left(\mathit{x},\omega \right);a^{(i)}\left(\mathit{x},\omega \right)\right)=f^{(i)}\left(\mathit{x}\right),\\ \forall \mathit{x}\in D^{\left(i\right)},\end{array}\\ \begin{array}{l}{B}^{(i)}\left(\mathit{x},u^{\left(i\right)}\left(\mathit{x},\omega \right);a^{(i)}\left(\mathit{x},\omega \right)\right)=g^{(i)}\left(\mathit{x}\right),\\ \forall \mathit{x}\in {\partial }_{\mathrm{e}\mathrm{x}}{D}^{\left(i\right)},\end{array}\\ \begin{array}{l}{C}_{ij}\left(u^{\left(i\right)}\left(\mathit{x}\right),u^{\left(j\right)}\left(\mathit{x}\right)\right)=\mathrm{0},\forall \mathit{x}\in {\partial }_j{D}^{(i)},\\ \forall j\in {\mathrm{\Lambda }}^{\left(i\right)}\end{array}\end{array}\right.（3）

其中，L^{(i)}=L{|}_{D^{\left(i\right)}}和B^{(i)}=B{|}_{D^{\left(i\right)}}分别表示限制在子区域D^{\left(i\right)}上的局部微分算子与局部边界算子，f^{(i)}与g^{(i)}分别表示相应的局部源项与外部边界条件，界面算子C_{ij}用于描述相邻子区域在公共界面{\partial }_j{D}^{(i)}上的耦合条件，约束局部解的连续性以及通量连续性，从而保证各局部问题组合后能够形成一致的全局解。

在求得各子区域上的局部解u^{\left(i\right)}\left(\mathit{x},\omega \right)后，全局解u\left(\mathit{x},\omega \right)可以通过局部解的组装得到，即

u\left(\mathit{x},\omega \right)={\sum }_{i=\mathrm{1}}^{N_D}{u}^{\left(i\right)}\left(\mathit{x},\omega \right){\mathbb{I}}_{D^{\left(i\right)}}\left(\mathit{x}\right)。

显然，局部随机场a^{(i)}\left(\mathit{x},\omega \right)继承了全局随机场a\left(\mathit{x},\omega \right)在子区域D^{\left(i\right)}上的统计性质。具体而言，其均值函数可表示为{\mu }_{a^{(i)}}\left(\mathit{x}\right)={\mu }_a\left(\mathit{x}\right){\mathbb{I}}_{D^{\left(i\right)}}\left(\mathit{x}\right)，并且在D^{(i)}\times D^{(i)}上，其协方差函数满足C_{a^{(i)}}\left(\mathit{x},{\mathit{x}}^{\mathit{\text{'}}}\right)=C_a(\mathit{x},{\mathit{x}}^{\mathit{\text{'}}}){\mathbb{I}}_{D^{\left(i\right)}}\left(\mathit{x}\right){\mathbb{I}}_{D^{\left(i\right)}}\left({\mathit{x}}^{\mathit{\text{'}}}\right)。对每个子区域D^{\left(i\right)}独立地应用截断KL展开^{［15， 22］}，可得到局部随机场的有限维表示

{\tilde{a}}^{(i)}\left(\mathit{x},{\mathit{\xi }}^{(i)}\right)={\mu }_{a^{(i)}}\left(\mathit{x}\right)+{\sum }_{j=\mathrm{1}}^{d^{(i)}}\sqrt[]{{{\lambda }_j}^{(i)}}{{\psi }_j}^{(i)}\left(\mathit{x}\right){{\xi }_j}^{(i)}\left(\omega \right)（4）

其中，{\mathit{\xi }}^{(i)}={\left[{\xi }_{\mathrm{1}}^{(i)},\cdots ,{\xi }_{d^{(i)}}^{(i)}\right]}^{\mathrm{T}}为局部随机变量组成的参数向量，其分量可定义为

{{\xi }_j}^{(i)}\left(\omega \right)=\frac{\mathrm{1}}{\sqrt[]{{{\lambda }_j}^{(i)}}}\underset{D^{(i)}}{\int }\left(a^{(i)}\left(\mathit{x},\omega \right)-{\mu }_{a^{(i)}}\left(\mathit{x}\right)\right){{\psi }_j}^{(i)}\left(\mathit{x}\right)\mathrm{d}x,j=\mathrm{1,2},\cdots ,d^{\left(i\right)}。

因此，局部偏微分方程系统（3）可进一步转化为以下有限维参数化问题：

\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}{L}^{(i)}\left(\mathit{x},u^{\left(i\right)}\left(\mathit{x},{\mathit{\xi }}^{(i)}\right);{\tilde{a}}^{(i)}\left(\mathit{x},{\mathit{\xi }}^{(i)}\right)\right)=f^{(i)}\left(\mathit{x}\right),\\ \forall \mathit{x}\in D^{\left(i\right)},\end{array}\\ \begin{array}{l}{B}^{(i)}\left(\mathit{x},u^{\left(i\right)}\left(\mathit{x},{\mathit{\xi }}^{(i)}\right);{\tilde{a}}^{(i)}\left(\mathit{x},{\mathit{\xi }}^{(i)}\right)\right)=g^{(i)}\left(\mathit{x}\right),\\ \forall \mathit{x}\in {\partial }_{\mathrm{e}\mathrm{x}}{D}^{\left(i\right)},\end{array}\\ \begin{array}{l}{C}_{ij}\left(u^{\left(i\right)}\left(\mathit{x}\right),u^{\left(j\right)}\left(\mathit{x}\right)\right)=\mathrm{0},\\ \forall \mathit{x}\in {\partial }_j{D}^{(i)},\forall j\in {\mathrm{\Lambda }}^{\left(i\right)}\mathrm{。}\end{array}\end{array}\right.

引入区域分解并在各子区域上进行局部展开的核心目的在于降低参数空间的有效维数。如文献［22］所述，KL展开中特征值的衰减速率与随机场的相对相关长度l_{a,D}密切相关。该相对相关长度是场自身相关长度l_a与物理区域特征尺度l_D的比值（即l_{a,D}\propto l_a∕l_D）。相对相关长度越大，KL特征值衰减越迅速，因而只需保留较少的KL展开项即可有效刻画随机场中的主要不确定性。在执行非重叠区域分解后，局部子区域D^{(i)}的几何特征尺度通常显著小于全局区域特征尺度，因而子区域上局部随机场的相对相关长度会相应增大，使局部KL特征值衰减更快。因此，相较于全局随机场的KL展开，局部随机场所需保留的KL展开项的数量d^{(i)}会减少。

综上所述，通过将全局问题分解为一系列复杂度更低的局部子区域问题，并在各子区域上进行局部参数化表示，可以有效降低代理模型的构建难度。同时，该局部化框架适合并行计算，有助于在保证近似精度的前提下提升大规模参数化偏微分方程的求解效率。

3 算子学习

算子学习是科学机器学习领域的重要研究方向，核心目标是构建能够逼近函数空间之间映射关系的深度学习模型。考虑输入函数a:D_a\to {\mathbf{R}}^{n_a}和输出函数u:D_u\to {\mathbf{R}}^{n_u}，并分别用\mathit{𝒜}(D_a;{\mathbf{R}}^{n_a})和\mathit{𝒰}(D_u;{\mathbf{R}}^{n_u})表示其所属的函数空间。定义算子G:\mathit{𝒜}\to \mathit{𝒰}，用于刻画输入函数空间和输出函数空间之间的映射关系，即G\left(a\right)=u。以含随机参数的偏微分方程系统（1）为例，从随机输入场a\left(\mathit{x},\omega \right)到系统响应解u\left(\mathit{x},\omega \right)的映射关系可由参数化神经算子G_{\theta }近似表示为：

G_{\theta }\left(a\right)\approx G\left(a\right)=u,

其中\theta表示神经网络参数，最优参数{\theta }^{*}可通过最小化预测解与真实解的误差得到，即

{\theta }^{*}=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{i}{\mathrm{n}}_{\theta }\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }C\left(u\left(\mathit{x},\omega \right),G_{\theta }\left(a\left(\mathit{x},\omega \right)\right)\right)\mathrm{d}P(\omega ),

其中，C:\mathit{𝒰}\times \mathit{𝒰}\to \mathbf{R}为非负代价泛函，用于度量预测解G_{\theta }\left(a\left(\cdot ,\omega \right)\right)与真实解u\left(\cdot ,\omega \right)之间的误差。

在实际计算中，通常给定由高保真数值求解器生成的训练样本集{\left\{a^k,u^k\right\}}_{k=\mathrm{1}}^N，其中a^k表示第k个输入样本，u^k表示对应的高保真解。基于蒙特卡罗方法^［23］对积分进行近似，得到神经算子的经验损失函数如下：

\mathrm{ℒ}\left(\theta \right)=\frac{\mathrm{1}}{N}{\sum }_{k=\mathrm{1}}^{N}C\left(u^k,G_{\theta }\left(a^k\right)\right)。

因此，神经算子的训练过程可视为在给定样本集上求解如下优化问题：

{\theta }^{*}=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{i}{\mathrm{n}}_{\theta }\mathrm{ℒ}\left(\theta \right)。

通过上述训练，神经算子能够学习从输入函数a到输出函数u的映射关系。训练完成后，对于新的随机输入，可直接通过前向推理得到对应系统响应的近似解，从而避免对每个新样本求解原始偏微分方程，提高参数化偏微分方程问题的预测效率。

3.1 深度算子网络

深度算子网络^［9］是一类具有较强表达能力的神经算子模型，其核心架构包含两个子网络：主干网络和分支网络。主干网络以空间坐标\mathit{x}\in D_u作为输入，输出一个p维特征向量

t\left(\mathit{x}\right)={\left[t_{\mathrm{1}}\left(\mathit{x}\right),t_{\mathrm{2}}\left(\mathit{x}\right),\cdots ,t_p\left(\mathit{x}\right)\right]}^{\mathrm{T}}\in {\mathbf{R}}^p。

分支网络以输入函数的离散化观测值\tilde{a}作为输入，输出对应的p维系数向量

b\left(\tilde{a}\right)={\left[b_{\mathrm{1}}\left(\tilde{a}\right),b_{\mathrm{2}}\left(\tilde{a}\right),\cdots ,b_p\left(\tilde{a}\right)\right]}^{\mathrm{T}}\in {\mathbf{R}}^p。

对于给定的输入函数样本\tilde{a}和空间坐标\mathit{x}，神经算子G_{\theta }的近似预测值可由分支网络与主干网络输出向量的内积得到，即

G_{\theta }\left(\tilde{a}\right)\left(\mathit{x}\right)={\sum }_{k=\mathrm{1}}^p{b}_k\left(\tilde{a}\right)t_k\left(\mathit{x}\right)+b_{\mathrm{0}},

其中，b_{\mathrm{0}}为可训练的偏置项，\theta表示网络中所有可训练参数。

在深度算子网络结构中，主干网络学习定义域D_u上的一组基函数\left\{t_{\mathrm{1}},t_{\mathrm{2}},\cdots ,t_p\right\}，而分支网络则根据输入函数\tilde{a}预测对应的展开系数\left\{b_{\mathrm{1}},b_{\mathrm{2}},\cdots ,b_p\right\}。由于空间坐标\mathit{x}作为独立输入传入主干网络，训练完成后的模型可以在定义域内任意空间位置进行查询，从而具有一定的无网格预测能力。该特性使深度算子网络能够灵活适配不同空间采样点上的预测需求，并为参数化偏微分方程的快速求解提供有效的代理模型。根据分支网络和主干网络的组合方式，深度算子网络可进一步分为非堆叠式架构和堆叠式架构，本文采用非堆叠式的网络架构，如图2所示。

3.2 局部算子学习

本文将区域分解方法引入算子学习框架，为每个子区域独立构建局部神经算子。对每个子区域D^{(i)}及其相邻子区域指标集合{\mathrm{\Lambda }}^{(i)}，令{\varphi }_{i,j}(\mathit{x})表示定义在公共界面{\partial }_j{D}^{(i)}上的未知界面函数，其中j\in {\mathrm{\Lambda }}^{(i)}。则子区域D^{(i)}的内部界面条件函数{\beta }^{\left(i\right)}(\mathit{x})可以定义为

{\beta }^{\left(i\right)}\left(\mathit{x}\right)={\sum }_{j\in {\Lambda }^{(i)}}{\varphi }_{i,j}(\mathit{x}){\mathbb{I}}_{{\partial }_j{D}^{(i)}}\left(\mathit{x}\right),\forall \mathit{x}\in {\partial }_{in}{D}^{\left(i\right)}。

在局部算子训练过程中，为保证后续全局组装时相邻子区域解及其通量在界面上的连续性，局部界面条件函数{\beta }^{\left(i\right)}(\mathit{x})需要与随机场参数a^{(i)}共同作为神经算子的输入。针对此类多输入函数映射问题，本文采用多输入算子网络架构^［24］，即为每一个输入函数分别构建独立的分支网络。对于输入函数\tilde{a}和\tilde{\beta }，局部神经算子的输出可表示为

G_{\theta }\left(\tilde{a},\tilde{\beta }\right)\left(\mathit{x}\right)={\sum }_{k=\mathrm{1}}^p{b}_k^{(\mathrm{1})}\left(\tilde{a}\right)b_k^{\left(\mathrm{2}\right)}(\tilde{\beta })t_k\left(\mathit{x}\right)+b_{\mathrm{0}}，

其中，b_k^{\left(\mathrm{1}\right)}(\tilde{a})和b_k^{\left(\mathrm{2}\right)}(\tilde{\beta })分别为两个分支网络输出的第k个分量，t_k\left(\mathit{x}\right)为主干网络输出的第k个分量，b_{\mathrm{0}}为可训练偏置项。

考虑定义在子区域D^{(i)}上的局部偏微分方程系统（3），记相应的局部算子为G^{\left(i\right)}\left(a^{\left(i\right)},{\beta }^{\left(i\right)}\right)=u^{(i)}。在获取样本集{\left\{{\tilde{a}}^{\left(i\right),k},{\tilde{\beta }}^{\left(i\right),k},u^{\left(i\right),k}\right\}}_{k=\mathrm{1}}^N后，局部神经算子G_{\theta }^{(i)}可通过最小化如下经验损失函数进行训练：

{\mathrm{ℒ}}^{(i)}\left(\theta \right)=\frac{\mathrm{1}}{N}{\sum }_{k=\mathrm{1}}^{N}C\left(u^{\left(i\right),k},G_{\theta }^{(i)}\left({\tilde{a}}^{\left(i\right),k},{\tilde{\beta }}^{\left(i\right),k}\right)\right),

其中，{\tilde{a}}^{\left(i\right)}和{\tilde{\beta }}^{\left(i\right)}分别为输入函数a^{\left(i\right)}和界面条件函数{\beta }^{\left(i\right)}的离散化表示，C为度量预测解与参考解之间误差的非负代价泛函。

通过上述训练方式，每个局部神经算子能够学习从局部随机参数及界面条件到局部解的映射关系。由于不同子区域的局部算子可独立训练，该结构可以降低全局算子学习的拟合复杂度，天然具有并行计算优势。

3.3 基于优化的子域耦合

在各子区域的局部神经算子训练完成后，全局解的重构仍依赖于未知界面条件。因此，需要确定各子区域界面条件函数{\beta }^{\left(i\right)}，以保证相邻子区域在公共界面上的解连续性。为此，本文采用基于优化的界面耦合策略，对界面条件进行求解。记\tilde{\beta }={\left[{\tilde{\beta }}^{\left(\mathrm{1}\right)},\cdots ,{\tilde{\beta }}^{\left(N_D\right)}\right]}^{\mathrm{T}}为所有子区域界面条件离散化表示的集合。为了使相邻子区域在公共界面上满足连续性条件，构建如下界面损失函数：

\begin{array}{l}{\mathrm{ℒ}}_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}}\left(\tilde{\beta }\right)={\mathrm{ℒ}}_{\mathrm{1}}\left(\tilde{\beta }\right)+{\mathrm{ℒ}}_{\mathrm{2}}\left(\tilde{\beta }\right),\\ {\mathrm{ℒ}}_{\mathrm{1}}\left(\tilde{\beta }\right)=\sum _{(i,j)\in \mathrm{\Lambda }}\underset{{\partial }_j{D}^{(i)}}{\int }{\left(G_{\theta }^{(i)}\left({\tilde{a}}^{\left(i\right)},{\tilde{\beta }}^{\left(i\right)}\right)\left(\mathit{x}\right)-G_{\theta }^{(j)}\left({\tilde{a}}^{\left(j\right)},{\tilde{\beta }}^{\left(j\right)}\right)\left(\mathit{x}\right)\right)}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}\mathit{x},\\ {\mathrm{ℒ}}_{\mathrm{2}}\left(\tilde{\beta }\right)=\sum _{(i,j)\in \mathrm{\Lambda }}\underset{{\partial }_j{D}^{(i)}}{\int }{\left(\nabla G_{\theta }^{(i)}\left({\tilde{a}}^{\left(i\right)},{\tilde{\beta }}^{\left(i\right)}\right)\left(\mathit{x}\right)\bullet \mathit{n}\left(\mathit{x}\right)-\nabla G_{\theta }^{(j)}\left({\tilde{a}}^{\left(j\right)},{\tilde{\beta }}^{\left(j\right)}\right)\left(\mathit{x}\right)\bullet \mathit{n}\left(\mathit{x}\right)\right)}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}\mathit{x},\end{array}

其中\mathit{n}\left(\bullet \right)是界面处的法向量，上述界面积分可采用蒙特卡罗积分方法进行数值近似。

在最小化界面损失函数时，所有已训练完成的局部神经算子G_{\theta }^{\left(i\right)}(i=\mathrm{1},\cdots ,N_D)的网络权重均保持固定，仅将界面参数集合\tilde{\beta }作为待优化变量。该优化问题可采用梯度下降等标准优化算法进行求解。界面参数的初始化通过对测试数据中前100个样本在接口节点上的精确解求均值得到。由于原始界面自由度较高，可进一步采用主成分分析对界面参数进行低维表示。

求得最优界面条件{\tilde{\beta }}^{*}={\left[{\tilde{\beta }}^{\left(\mathrm{1}\right),*},\cdots ,{\tilde{\beta }}^{\left(N_D\right),*}\right]}^{\mathrm{T}}后，各子区域的最优预测解可表示为

u^{\left(i\right),*}\left(x\right)=G_{\theta }^{(i)}\left({\tilde{a}}^{\left(i\right)},{\tilde{\beta }}^{\left(i\right),*}\right)\left(\mathit{x}\right)。

最后，全局预测解u_{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{d}}(\mathit{x})可通过各局部预测解的组装得到，即

u_{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{d}}\left(\mathit{x}\right)={\sum }_{i=\mathrm{1}}^{N_D}{u}^{\left(i\right),*}\left(\mathit{x}\right){\mathbb{I}}_{D^{\left(i\right)}}\left(\mathit{x}\right)（5）

其中{\mathit{𝕀}}_{D^{\left(i\right)}}\left(\mathit{x}\right)是子区域D^{(i)}的区域指示函数。该组装方式能够在非重叠区域分解框架下将各局部预测结果组装为全局近似解。

4 数值算例

本节以一个含随机参数的二维扩散方程为例验证所提出的非重叠型区域分解算子学习方法的有效性，并将其与全局神经算子进行对比，以展示该方法在降低计算成本与提升预测精度方面的优势。

考虑如下带随机输入的二维扩散方程：

\left\{\begin{array}{l}-\nabla \bullet \left(K\left(\mathit{x},\omega \right)\nabla u\left(\mathit{x},\omega \right)\right)=f\left(\mathit{x}\right),\forall \mathit{x}\in D,\\ u\left(\mathit{x},\omega \right)=g\left(\mathit{x}\right),\forall \mathit{x}\in \partial D,\end{array}\right.

其中，计算区域为D=\left[-\mathrm{1,1}\right]\times \left[-\mathrm{1,1}\right]， 空间坐标记为\mathit{x}=(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}})，源项设置为

f\left(\mathit{x}\right)=\mathrm{2}+\mathrm{0.6}{x}_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}+\mathrm{0.3}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{\pi }{x}_{\mathrm{1}})\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\mathrm{\pi }{x}_{\mathrm{2}}\right)，

狄利克雷边界条件定义为

g\left(\mathit{x}\right)=\mathrm{2}+\mathrm{0.4}{x_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{3}}{x}_{\mathrm{2}}+\mathrm{0.3}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{\pi }{x}_{\mathrm{1}})+\mathrm{0.3}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{\pi }{x}_{\mathrm{2}})。

系统的不确定性来源于扩散系数，其定义为K\left(\mathit{x},\omega \right)=\mathrm{0.5}\left|a\left(\mathit{x},\omega \right)\right|+\mathrm{0.5}。其中，随机场a\left(\mathit{x},\omega \right)的均值函数为{\mu }_a\left(\mathit{x}\right)=\mathrm{1}，协方差函数如下：

C_a\left(\mathit{x},{\mathit{x}}^{\mathit{\text{'}}}\right)=\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\frac{{\left|\left|\mathit{x}-{\mathit{x}}^{\mathit{\text{'}}}\right|\right|}^{\mathrm{2}}}{l^{\mathrm{2}}}\right),\mathit{x},{\mathit{x}}^{\mathit{\text{'}}}\in D。

本实验中相关长度取为l=\mathrm{0.5}。如图3所示，全局物理区域D被均匀划分为4个互不重叠的子区域：

\begin{array}{l}{D}^{\left(\mathrm{1}\right)}=\left[-\mathrm{1,0}\right]\times \left[-\mathrm{1,0}\right],\\ D^{\left(\mathrm{2}\right)}=\left[-\mathrm{1,0}\right]\times \left[\mathrm{0,1}\right],\end{array}

\begin{array}{l}{D}^{(\mathrm{3})}=\left[\mathrm{0,1}\right]\times \left[-\mathrm{1,0}\right],\\ D^{(\mathrm{4})}=\left[\mathrm{0,1}\right]\times \left[\mathrm{0,1}\right]\mathrm{。}\end{array}

针对全局随机场和各局部子区域随机场，分别进行KL展开。图4对比展示了全局区域和局部子区域KL展开的前20个特征值。由于4个子区域尺寸完全相同，图中仅展示其中一个子区域的局部KL特征值。可以看出，当子区域尺寸减小后，局部随机场的相对相关长度增大，局部KL展开的特征值衰减更为迅速。因此，与全局KL展开相比，局部KL展开仅需保留较少的特征项即可刻画随机场中的主要不确定性。

在构建局部神经算子的训练数据集时，需要为每个子区域D^{\left(i\right)}准备局部随机场样本和内部界面条件参数。首先，对每个子区域的局部随机场执行KL展开，得到截断后的局部随机场特征对{\left\{{\lambda }_j^{(i)},{{\psi }_j}^{(i)}\left(\mathit{x}\right)\right\}}_{j=\mathrm{1}}^{d^{(i)}}。实验中统一设置局部KL展开截断项数为d^{(i)}=\mathrm{12}\left(i=\mathrm{1,2},\mathrm{3,4}\right)，全局随机场的KL展开截断项数设置为d=\mathrm{34}。随后，从标准正态分布\mathit{𝒩}(\mathrm{0},{\mathrm{I}}_{d_{(i)}})中采样N=\mathrm{2500}个随机变量样本{\left\{{\mathit{\xi }}^{\left(i\right),k}\right\}}_{k=\mathrm{1}}^N，并结合式（4）生成对应的局部随机场样本{\left\{{\tilde{a}}^{\left(i\right),k}(\mathit{x},{\mathit{\xi }}^{(i)})\right\}}_{k=\mathrm{1}}^N。局部神经算子所需的内部界面条件样本由少量全局样本导出。为降低界面参数维度并提取主要特征，首先选取n个界面有限元节点上的取值构成向量{\left[{\beta }^{\left(i\right)}\left(x_{\mathrm{1}}\right),\cdots ,{\beta }^{\left(i\right)}\left(x_n\right)\right]}^{\mathrm{T}}。随后，对该向量应用主成分分析法^［25］进行降维，提取其主成分系数作为最终的离散化输入{\tilde{\beta }}^{\left(i\right)}，由此构成界面条件参数样本{\left\{{\tilde{\beta }}^{\left(i\right),k}\right\}}_{k=\mathrm{1}}^N。接着，采用有限元方法^［26-27］生成高保真参考解，并构造对应的局部训练样本集{\left\{u^{\left(i\right)}(\mathit{x},{\tilde{a}}^{\left(i\right),k},{\tilde{\beta }}^{\left(i\right),k})\right\}}_{k=\mathrm{1}}^N。数值计算使用均匀方形网格，网格尺寸取h=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{32}}，并基于双线性基函数实现空间离散。同时，采用相同方式额外生成N_{\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}=\mathrm{500}个样本作为测试集。最后，构建神经网络的输入：局部随机场的离散化表示{\tilde{a}}^{\left(i\right)}和界面条件函数的离散化表示{\tilde{\beta }}^{\left(i\right)}，{\tilde{a}}^{\left(i\right)}由其KL展开系数{\mathrm{\xi }}^{(\mathrm{i})}给出。为统一符号，将随机变量{\mathrm{\xi }}^{(\mathrm{i})}记为{\tilde{a}}^{\left(i\right)}，以便与界面特征输入{\tilde{\beta }}^{\left(i\right)}对应。

在每个网络结构中，分支网络和主干网络均使用等宽全连接结构，并使用双曲正切激活函数\sigma \left(x\right)=\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(x\right)=\frac{{\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x}}{{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}}。模型采用Adam优化器，初始学习率设定为\mathrm{0.001}，总迭代次数为\mathrm{2000}次，每训练\mathrm{200}次后学习率衰减为原来的一半。为减少随机初始化带来的误差，所有网络均采用不同随机种子独立训练\mathrm{5}次，并统计平均结果。在构建全局神经算子的训练数据集时，仅需在完整计算域内构造全域随机场参数，无需额外引入界面条件参数。具体而言，首先对全域随机场执行KL展开，截断项数设置为d=\mathrm{34}，并从标准正态分布中采样N=\mathrm{2500} 组随机样本，结合式（2）生成全局随机场实现样本。随后，采用有限元方法求解得到全域高保真参考解，有限元网格、基函数等数值离散设置均与局部算子保持一致。同样划分N_{\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}=\mathrm{500}组测试样本，全局神经算子的输入由全局随机场的KL展开系数表征。为保证实验条件统一，全局神经算子沿用与子域网络相同的网络结构、激活函数、优化器、学习率衰减策略以及迭代次数，并重复5次独立训练以降低随机误差。

网络预测精度通过预测解{\tilde{u}}^{\left(i\right)}和参考解u_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}^{(i)}之间的L^{\mathrm{2}}相对误差进行评估，定义如下：

E_{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{l}}=\frac{{‖{\tilde{u}}^{\left(\mathrm{i}\right)}\left(\mathit{x}\right)-u_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}^{(i)}\left(\mathit{x}\right)‖}_{D^{\left(\mathrm{i}\right)},\mathrm{2}}}{{‖u_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}^{(i)}\left(\mathit{x}\right)‖}_{D^{\left(\mathrm{i}\right)},\mathrm{2}}},

其中，{‖\bullet ‖}_{D,\mathrm{2}}表示定义在区域D上的L^{\mathrm{2}}范数，即{‖f(\mathit{x})‖}_{D,\mathrm{2}}={\left(\underset{D}{\int }{f}^{\mathrm{2}}(x)\mathrm{d}x\right)}^{\mathrm{1}∕\mathrm{2}}。在实际误差计算时，由于连续积分难以解析计算，本文采用蒙特卡罗数值积分对其进行近似。

为全面评估局部神经算子耦合重构全局解的能力，重新采样N_{\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}=\mathrm{1000}个全局随机场的实现{\left\{a^k\right\}}_{k=\mathrm{1}}^{N_{\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}}，计算对应的有限元解{\left\{u_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}^k\right\}}_{k=\mathrm{1}}^{N_{\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}}作为参考解。利用局部KL展开构造局部算子输入{\left\{{\tilde{a}}^{\left(i\right),k}\right\}}_{k=\mathrm{1}}^{N_{\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}}，在固定局部神经算子网络参数后，采用3.3节所述的优化算法求解最优内部界面条件{\left\{{\tilde{\beta }}^{\left(i\right),k}\right\}}_{k=\mathrm{1}}^{N_{\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}}，之后通过式（5）组装得到全局预测解u_{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{d}}(\mathit{x})，并计算全局L^{\mathrm{2}}相对误差：

E_{\mathrm{g}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{a}\mathrm{l}}=\frac{{‖u_{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{d}}(\mathit{x})-u_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}(\mathit{x})‖}_{D,\mathrm{2}}}{{‖u_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}(\mathit{x})‖}_{D,\mathrm{2}}}。

表1给出了全局神经算子与局部神经算子在5次独立实验中的平均性能对比。结果表明，相较于全局神经算子，局部神经算子在使用更小规模网络架构的情况下，能够将全局相对误差从约0.973\mathrm{\%}降低至约0.638\mathrm{\%}，相对误差降低约34\mathrm{\%}。同时，其误差标准差由0.154%降低至0.142%，表明模型预测结果更稳定、波动更小。此外，为确保对比实验的客观性，本文统一了子域网络与全局网络的训练超参数（包括批次规模与迭代次数）。虽然网络参数量不一致，但是子域网络需要额外考虑界面参数，因此二者训练耗时基本相近。在硬件资源开销方面，单个子域模型在训练阶段和预测阶段的显存占用峰值分别为47.26 MB和46.21 MB，而全局模型训练阶段和预测阶段的显存占用峰值分别为81.41 MB和66.13 MB。在推理速度方面，子域网络对单样本预测时间约为0.000 124 s，远优于全局网络预测时间的0.002 06 s。以上结果表明，局部神经算子在保证预测精度的同时具备更低的资源占用与更高的推理效率。

图5展示了测试集中某一随机样本的随机场及其对应的有限元参考解。为了更加清晰地展示结果，随机场的色标范围设置为［-1.0，4.0］，有限元参考解的色标范围设置为［1.0，3.0］。

针对该特定样本，全局神经算子与基于区域分解的局部神经算子代理模型的预测结果及逐点误差分布如图6所示，该结果基于界面变量优化的非重叠区域耦合方法得到。局部神经算子训练完成后，在界面优化阶段网络参数保持固定，仅将各子区域接口处的边界输入作为待优化变量，通过最小化相邻子区域间的不连续性来实现区域之间的耦合。界面参数的初始值由测试数据中前100个样本在接口节点上的高保真解均值给出。通过主成分分析进行降维后，实验中每个子区域的待优化界面变量的维度为12。界面优化时采用Adam方法，学习率设为0.1，使用阶梯式学习率衰减策略，每100次迭代将学习率乘以0.9，界面优化总共执行1000次迭代，未设置提前停止条件。在NVIDIA GeForce RTX 4090D GPU上，对单个测试样本进行1000次界面优化的耗时约为11.348 s。可以看到，全局神经算子与局部神经算子得到的预测解在视觉上均与高保真参考解具有较好的一致性，两种方法的预测解的色标范围均设置为［1.0，3.0］，逐点误差图像的色标范围均设置为［-0.1，0.1］。进一步比较逐点误差分布可以发现，得益于区域分解策略对子区域局部空间特征的精细化捕捉与精准拟合，本文所提出的局部神经算子代理模型能够显著降低区域内的误差，获得更高精度、更稳定的全局近似解。这充分体现了区域分解与局部神经算子耦合策略在提升预测精度方面的优势。

综上，二维随机扩散方程算例验证了所提出的局部神经算子的有效性和稳定性。实验结果表明，该计算框架具备良好的泛化能力与工程拓展潜力。从应用场景层面分析，该方法可进一步推广至多尺度扩散、介质热传导、地下水渗流、结构力学形变分析以及反应堆多物理场耦合等各类参数化偏微分方程求解问题。在实际工程场景中，物理场普遍存在参数随机扰动、介质非均匀分布等复杂特征。本文方法依靠较少的网络参数即可实现高精度、稳健的数值逼近，能够适配此类复杂参数化PDE的求解需求。同时，将该框架推广至实际复杂工程问题仍存在部分技术难点：后续面向不规则复杂几何计算域、多子域耦合求解以及强非线性偏微分方程问题时，需重点优化算子边界约束处理方式、完善多区域信息交互机制，并改进非线性项的拟合能力，以此进一步提升模型在复杂工程多物理场计算中的适配性与稳定性。

5 结论

本文提出了一种融合非重叠区域分解与深度神经算子的代理模型新框架，通过全局剖分、局部KL展开实现高维随机参数的降维，并提出基于界面连续性约束的优化策略，实现了参数化偏微分方程全局解的精准重构与快速推理。二维随机扩散方程的数值结果验证了该方法的有效性：相较于全局神经算子，基于区域分解的单个局部算子模型仅需约20%的网络参数量，即可实现更高精度的预测结果，且对物理场局部特征具备更敏锐的刻画能力。该框架有效缓解了传统全局算子在高维问题中计算负担重、拟合能力有限的缺陷，为复杂高维参数化偏微分方程代理模型的构建提供了一种高效、可扩展的全新技术路径。针对本文方法，后续仍存在进一步优化与完善的空间：未来可通过设计更稳健高效的界面优化算法，进一步提升多子域拼接精度；同时可深度融合控制方程、边界条件等物理先验信息，改善模型在小样本场景下的建模可靠性，以更好地适配高维复杂偏微分方程的求解场景。

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基金资助

国家自然科学基金(12071291)