专栏评述：深度学习方法在多物理耦合建模与计算中的应用

随着科学与工程问题复杂度的持续提升，多物理耦合建模与计算正在成为航空航天、能源环境、材料科学、生物医学和核工程等领域的共同基础问题。此类问题通常同时包含流体、界面演化、扩散、反应、热工水力、中子学等多个物理过程，并表现出高维、强非线性、多尺度、参数不确定和数据噪声并存等特征。虽然传统数值方法在精度和可靠性方面积累了坚实基础，但在快速多次查询、复杂参数空间探索、在线预测、数字孪生和不确定性量化等应用场景中，仍面临计算成本高、模型维度大和实时性不足等挑战。近年来，深度学习方法凭借强大的非线性表征能力、端到端优化框架和并行计算潜力，为多物理耦合问题的代理建模、高维偏微分方程求解、降阶计算和鲁棒数据学习提供了新的技术路线。

“深度学习方法在多物理耦合建模与计算中的应用”专栏旨在展示深度学习与多物理耦合建模与计算交叉领域的代表性进展，主要关注神经网络架构、物理信息驱动学习、算子学习、降阶模型、鲁棒机器学习以及不确定性量化等方法在复杂物理系统中的应用。本专栏共收录 4 篇研究论文，作者分别来自四川大学、上海科技大学、香港城市大学、上海应用技术大学、上海交通大学和中国核动力研究设计院等单位，内容涵盖不可压缩Navier-Stokes 方程与Cahn-Hilliard方程的深度随机神经网络求解、随机参数偏微分方程的区域分解算子学习、堆芯功率分布的变分自编码器降阶建模，以及面向复杂噪声数据的鲁棒Bagging集成学习方法。现分述如下。

1） 《一种用于求解不可压缩Navier-Stokes方程和Cahn-Hilliard方程的新型深度神经网络》针对高维非线性偏微分方程求解中的维数灾难问题，扩展了基于正倒向随机微分方程的正倒向随机神经网络方法。文章将该框架用于求解不可压缩Navier-Stokes方程，并从Cahn-Hilliard方程的稳定格式出发，推导出可写为连续抛物型系统的修正方程，使其能够与正倒向随机微分方程表示相结合，再用神经网络近似未知解及相关梯度信息。进一步，该方法被推广到Cahn-Hilliard-Navier-Stokes耦合系统，并考虑不同边界条件和界面演化问题。数值实验表明，该方法在高维情形下具有较好的稳定性和精度，为流体运动、相场演化及其耦合系统的深度学习求解提供了可行方案。

2） 《基于非重叠型区域分解的随机参数偏微分方程算子学习》面向大规模高维含随机参数偏微分方程中全局神经算子训练成本高、泛化精度受限的问题，提出了融合非重叠区域分解与深度神经算子的代理建模框架。该方法将全局计算域划分为多个不重叠局部子区域，并结合局部Karhunen-Loève展开实现随机参数降维。在训练阶段，该方法分别学习从局部参数和界面条件到局部解的映射。在预测阶段，该方法则通过界面连续性约束优化实现全局近似解的快速重构与并行推理。二维随机扩散方程实验显示，该方仅需约20%的网络参数即可获得更高、更稳健的逼近效果，相对误差约降低34%。该研究表明，将经典区域分解思想与算子学习结合有助于缓解全局模型在高维复杂物理场中的拟合压力，提升代理模型的可扩展性。

3） 《基于变分自编码器的堆芯功率降阶计算模型》聚焦核反应堆三维相对功率分布的快速重构与不确定度量化问题。高保真堆芯计算通常依赖大规模数值模拟，难以满足快速评估、多次查询和数字孪生场景的需求。该文将截断线性模态表示与变分自编码器相结合：先通过POD（Proper Orthogonal Decomposition）将高维快照场投影到低维模态空间，再由变分自编码器学习模态系数的非线性潜在分布，并训练物理参数到潜空间变量的映射关系；最后在线阶段通过潜变量抽样和解码器重构功率场给出不确定度估计和预测区间。基于华龙一号HPR1000堆芯的数值实验表明，该方法能够以较低潜空间维数保持较高重构精度，相对误差在代表性设置中可控制在接近1%的量级，并能在单根燃料棒尺度上反映局部预测质量。该研究为复杂高维物理场的非线性降阶建模、数据同化和数字孪生分析提供了有益探索。

4） 《基于实例硬度加权采样的增强Bagging集成分类方法》从复杂数据环境中模型鲁棒性的角度为多物理耦合数据建模提供了机器学习算法支撑。多物理耦合系统数据常伴随噪声、边界模糊、样本复杂度差异和数据稀缺等问题，传统Bagging集成学习方法在噪声样本和难分类样本并存时容易出现性能不稳定。该文在eBagging集成学习框架基础上引入了实例硬度和增强自助采样机制，提出了eNewBagging方法，通过为样本分配自适应权重在抑制噪声样本影响的同时强化难分类样本学习。基于7个UCI与KEEL公开数据集，从2%至30% 不同噪声水平的实验结果显示，该方法在ACC、AUC和F1指标上均取得最优或次优表现，在高噪声情形下较BaggingIH和 GrpMixBag方法的下降幅度更小，表现出较强的噪声鲁棒性。该研究对于提升数据驱动代理模型在复杂、含噪和有限样本场景中的稳定性具有重要参考价值。

总体来看，本专栏所收录的论文从不同层面回应了深度学习及相关机器学习方法进入多物理耦合建模与计算后的关键问题：在方程求解层面，正倒向随机神经网络为高维Navier-Stokes方程、Cahn-Hilliard方程及其耦合系统提供了新的求解路径；在代理建模层面，区域分解算子学习以局部化和并行化方式提升了随机参数偏微分方程的可扩展计算能力；在工程应用层面，POD-VAE（Variational Autoencoder）模型将非线性降阶、快速预测和不确定度量化结合起来，服务于堆芯功率场重构和数字孪生需求；在数据学习层面，融合实例硬度的集成学习方法强化了模型面对噪声与样本复杂性的鲁棒性。这些工作共同表明，面向多物理耦合问题的科学机器学习研究正在从单纯的数据拟合转向物理结构、数值算法、降阶表征、不确定性和工程可靠性协同融合的新阶段。

未来，深度学习及相关智能计算方法在多物理耦合建模与计算中的进一步发展仍需在若干方向上持续推进：一是更充分地融合守恒律、边界条件、界面连续性和稳定性等物理约束，以提升小样本和外推场景下的可信度；二是加强算子学习、区域分解、降阶模型和传统高保真数值方法之间的协同，形成兼具效率与精度的混合计算框架；三是完善不确定性量化、误差估计和鲁棒训练机制，使模型能够面对真实工程数据中的噪声、偏差和分布漂移；四是推动方法在核工程、复杂流体、相场材料、能源环境等真实多物理系统中的验证与落地。相信本专栏的相关研究能够为读者理解科学机器学习在多物理耦合计算中的价值、边界与发展趋势提供启发，并进一步促进数学、计算科学、人工智能和工程应用之间的交叉融合。