Caputo分数阶微分方程的广义比较原理

A General Comparison Principle for Caputo Fractional Differential Equations

摘要

重点研究高阶Caputo分数阶微分方程的比较原理。通过利用高阶Caputo导数的微分性质、Caputo分数阶微分方程最大解的存在性定理，以及含Caputo导数的分数阶微分方程解的单调性，最终建立了Caputo分数阶微分方程的广义比较原理。

Abstract

The comparison principle for higher-order Caputo fractional differential equations is mainly investigated.By leveraging the differential properties of higher-order Caputo derivatives， the existence theorem for the maximal solution of Caputo-type fractional differential equations， and the monotonicity of solutions to fractional differential equations involving Caputo derivatives， a generalized comparison principle for Caputo fractional differential equations is ultimately established.

关键词

Caputo 分数阶微分方程 / Caputo 导数 / 最大解 / 广义比较原理

Key words

Caputo fractional differential equation / Caputo derivative / maximal solution / general comparison principle

分数阶微分方程^［1］理论，特别是基于Caputo型导数的模型，因其能有效描述具有记忆和遗传特性的系统，已在物理学、工程学、电化学及其他领域获得了广泛应用。与经典的整数阶模型相比，分数阶微分算子（包括导数和积分）为描述材料和过程的记忆依赖性^［2］提供了更强大的数学工具，在模拟聚合物等复杂材料的力学和电学特性方面展现出显著优势。在各种分数阶导数的定义中，Caputo型导数^［1］因其独特的初始条件形式而具有更清晰的物理意义：其初始条件与传统整数阶微分方程保持一致，仅需指定具有直接物理解释的初始值^［3］，如x(\mathrm{0}),x^{\text{'}}(\mathrm{0}),\cdots ,x^{(n-\mathrm{1})}(\mathrm{0})。这一特点使其成为应用于数学和工程建模的重要工具^［4］。

鉴于Caputo分数阶微分方程在模拟实际系统时具有更强的物理合理性，研究其解的性质以及数值求解方法变得尤为重要。然而，这类方程的解析解通常只能在特殊情况下求得，这导致近年来对其存在性理论、定性性质和数值求解方法的研究兴趣日益增长。在此研究背景下，比较原理是分析微分方程解性质的关键工具^［5］，它在分数阶情形下与在整数阶方程中同样重要。它不仅为Lyapunov稳定性分析提供了有效方法，而且在数值解理论和误差分析中起着关键作用。建立完善的Caputo分数阶微分方程的比较原理，对于完善分数阶微积分的理论体系以及推动分数阶模型的实际工程应用都具有重要意义^［6］。

求解Riemann-Liouville型分数阶微分方程的初始条件通常缺乏明确的物理意义，更常用于纯数学研究^［7］。而Caputo分数阶微分方程的求解则通过采用传统的物理初始条件，有效克服了上述局限。因此，建立Caputo分数阶微分方程的比较原理对于研究其解的性质至关重要。Lakshmikantham等^［8］提出了Caputo分数阶常微分方程的一个比较结果，但该结论要求比较函数m（t）满足局部Hölder连续性。然后，Lakshmikantham等^［9］提出了另一项改进的比较结果，将假设条件放宽，仅要求比较方程的向量场函数g（t，u）关于u非减。

近年来，关于分数阶比较原理的研究结果主要针对其他类型分数阶导数（通常被称为广义Caputo分数阶导数）的常微分方程。2014年，Wang等^［6］通过假设向量场函数的局部Lipschitz连续性（解的唯一性）和比较函数的局部Hölder连续性，证明了分数阶常微分方程的一个比较定理，比较不等式中涉及了一种不同于Caputo、Riemann-Liouville以及文献［8］中定义的分数阶导数，这种不同的分数阶导数被称为广义Caputo分数阶导数，定义为

D_{t_{\mathrm{0}}}^{q+}x(t)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{\Gamma }(\mathrm{1}-q)}{\int }_{t_{\mathrm{0}}}^t\frac{D^{+}x(\tau )}{{(t-\tau )}^q}\mathrm{d}\tau，

其中，D^{+}x(t)表示x(t)的右上Dini导数。显然，该导数与标准Caputo分数阶导数的关系，类似于函数的右上Dini导数与其一阶导数的关系。

对于涉及阶数为的Caputo导数的分数阶微分方程的比较原理研究仍是一个未被探索的领域。本文旨在建立阶数的Caputo分数阶微分方程的比较原理，并研究此类方程最大解的存在性。

1 预备知识

1.1 Caputo分数阶导数

Riemann-Liouville分数阶积分公式^［1］推广了著名的Cauchy积分公式。设a\mathrm{、}b\in \mathbb{R}且，记E=(a,b)，则对于任意整数k\in \mathbb{N}，基于左端点x=a的k重积分算子{}_a{I}_x^k可递归定义为{}_a{I}_x^{k}f(x)={\int }_a^x{}_a{I}_s^{k-\mathrm{1}}f(s)\mathrm{d}s,k=\mathrm{1,2},\dots，则对于k\ge \mathrm{1}有如下Cauchy迭代积分公式：

{}_a{I}_x^{k}f(x)=\frac{\mathrm{1}}{(k-\mathrm{1})!}{\int }_a^x{(x-s)}^{k-\mathrm{1}}f(s)\mathrm{d}s。

类似地，有

{}_x{I}_b^{k}f(x)=\frac{\mathrm{1}}{(k-\mathrm{1})!}{\int }_x^b{(s-x)}^{k-\mathrm{1}}f(s)\mathrm{d}s。

定义1^［10］ 设f\in L^{\mathrm{1}}(E)且。若相应积分存在，则函数f在左端点x=a处的\alpha阶左Caputo分数阶导数定义为

{}_a^C{D}_x^{\alpha }f(x):{=}_a{I}_x^{n-\alpha }{f}^{(n)}(x)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{\Gamma }(n-\alpha )}{\int }_a^x{(x-s)}^{n-\alpha -\mathrm{1}}{f}^{(n)}(s)\mathrm{d}s（1）

类似地，若相应积分存在，其在右端点x=b处的\alpha阶右Caputo分数阶导数定义为

{}_x^C{D}_b^{\alpha }f(x):={(-\mathrm{1})}^n{(}_x{I}_b^{n-\alpha }{f}^{(n)})(x)=\frac{{(-\mathrm{1})}^n}{\mathrm{\Gamma }(n-\alpha )}{\int }_x^b{(s-x)}^{n-\alpha -\mathrm{1}}{f}^{(n)}(s)\mathrm{d}s（2）

定义2^［11］ 设[a,b]\subset \mathbb{R}且\{g_k\}是函数序列，其中g_k:[a,b]\to \mathbb{R}，则该序列

① 一致有界当且仅当存在M>\mathrm{0}，使得对于所有k和t\in [a,b]，有|g_k(t)|\le M；

② 等度连续当且仅当对于任意\epsilon >\mathrm{0}，存在\delta >\mathrm{0}，使得对于所有k和t_{\mathrm{1}}\mathrm{、}{t}_{\mathrm{2}}\in [a,b]，，使得成立；

③ 一致收敛当且仅当对于任意\epsilon >\mathrm{0}，存在正整数N，使得k>N，对于所有t\in [a,b]，使得成立。

引理1^［12］ 如果\{g_k\}是定义在[a,b]上的一致有界且等度连续的函数序列，则存在函数序列的一个子列在[a,b]上一致收敛。

定义3^［13］ 设\Omega \subset {\mathbb{R}}^n为开区域，\alpha \in (\mathrm{0,1}]为Hölder指数。函数f:\Omega \to \mathbb{R}在\Omega上是\alpha-Hölder连续的，如果存在常数C>\mathrm{0}，使得对于所有x\mathrm{、}y\in \Omega，有|f(x)-f(y)|\le C|x-y{|}^{\alpha }，其中，最小的常数C被称为f的Hölder系数，记为{[f]}_{C^{\mathrm{0},\alpha }}。

定义4^［14］ 对于非负整数k和Hölder指数\alpha \in (\mathrm{0,1}]，Hölder空间定义为C^{k,\alpha }(\Omega )=\left\{f\in C^k(\Omega ):\right.，其范数为\Vert f{\Vert }_{C^{k,\alpha }}=\Vert f{\Vert }_{C^k}+\mathrm{m}\mathrm{a}{\mathrm{x}}_{|\beta |=k}[D^{\beta }{f]}_{C^{\mathrm{0},\alpha }}，其中，C^k-范数为\Vert f{\Vert }_{C^k}=\mathrm{m}\mathrm{a}{\mathrm{x}}_{|\beta |\le k}\underset{x\in \Omega }{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}|D^{\beta }f(x)|，而Hölder半范数定义为

{[f]}_{C^{\mathrm{0},\alpha }}=\underset{\begin{array}{c}x,y\in \Omega \\ x\ne y\end{array}}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y{|}^{\alpha }}。

引理2^［14］ 设，如果f\in C^{n-\mathrm{1},\gamma }(\overline{E}),\gamma \in (\mathrm{0,1}]，则对于任意\alpha -n-\mathrm{1}\in (\mathrm{0},\gamma )，有

{}_a^C{D}_x^{\alpha }f(x)=\frac{f^{(n-\mathrm{1})}(x)-f^{(n-\mathrm{1})}(a)}{\mathrm{\Gamma }(n-\alpha ){(x-\alpha )}^{\alpha -n+\mathrm{1}}}+\frac{\alpha -n+\mathrm{1}}{\mathrm{\Gamma }(n-\alpha )}{\int }_a^x\frac{f^{(n-\mathrm{1})}(x)-f^{(n-\mathrm{1})}(s)}{{(x-s)}^{\alpha -n+\mathrm{2}}}\mathrm{d}s（3）

为方便起见，此后令E=(\mathrm{0},T)，记{}_a{D}_x^{\alpha }为{}_a^C{D}_x^{\alpha }。

1.2 Caputo分数阶微分方程的初值问题

考虑以下Caputo分数阶微分方程的初值问题

\left\{\begin{array}{c}{}_{\mathrm{0}}{D}_t^{\alpha }x(t)=f(t,x(t))\\ x^{(k)}(\mathrm{0})=x_k,k=\mathrm{0,1},\dots ,n-\mathrm{1}\end{array}\right.（4）

其中，f\in C([\mathrm{0},T]\times \mathbb{R},\mathbb{R})且。式（4）等价于以下Volterra分数阶积分方程^［15］：

x(t)={\displaystyle \sum _{k=\mathrm{0}}^{n-\mathrm{1}}}\frac{x_k{t}^k}{\mathrm{\Gamma }(k+\mathrm{1})}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}{\int }_{\mathrm{0}}^t{(t-s)}^{\alpha -\mathrm{1}}f(s,x(s))\mathrm{d}s。

引理3 假设f\left(t,x\right)和F\left(t,x\right)是定义在G=[\mathrm{0},T]\times \mathbb{R}上的两个连续函数，满足不等式，\forall (t,x)\in G。

假设x=\varphi (t)和x=\psi (t)分别是以下初值问题的解：

\left\{\begin{array}{c}{}_{\mathrm{0}}{D}_t^{\alpha }x(t)=f(t,x(t))\\ x^{(k)}(\mathrm{0})=x_k,k=\mathrm{0,1},\dots ,n-\mathrm{1}\end{array}\right.，

\left\{\begin{array}{c}{}_{\mathrm{0}}{D}_t^{\alpha }x(t)=F(t,x(t))\\ x^{(k)}(\mathrm{0})=x_k,k=\mathrm{0,1},\dots ,n-\mathrm{1}\end{array}\right.，

则对于任意的t\in (\mathrm{0},T]，有。

引理4 假设f\in C[R_{\mathrm{1}},\mathbb{R}]，其中

R_{\mathrm{1}}=\left\{(t,x):\mathrm{0}\le t\le T,\left|x(t)-{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{0}}^{n-\mathrm{1}}}\frac{x_k{t}^k}{\mathrm{\Gamma }(k+\mathrm{1})}\right|\le K\right\}，

且存在常数M>\mathrm{0}，使得在R_{\mathrm{1}}上|f(t,x)|\le M，则初值问题（4）在区间t\in [\mathrm{0},T]上至少存在一个解。

定义5^［16］ 设y(t)为初值问题（4）在区间t\in [\mathrm{0},T]上的一个解，如果对于任何其他解u(t)，对于任意的t\in [\mathrm{0},T]都有u(t)\le y(t)，则称y(t)是初值问题（4）的一个最大解。

引理5 假设f\in C[R_{\mathrm{1}},\mathbb{R}]，其中

R_{\mathrm{1}}=\left\{(t,x):\mathrm{0}\le t\le T,\left|x(t)-{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{0}}^{n-\mathrm{1}}}\frac{x_k{t}^k}{\mathrm{\Gamma }(k+\mathrm{1})}\right|\le K\right\}，

且存在M>\mathrm{0}，使得在R_{\mathrm{1}}上|f(t,x)|\le M，则初值问题（4）在区间t\in [\mathrm{0},T]上存在最大解。

注　引理3、引理4和引理5来自文献［17］中的定理1和定理3。

2 广义比较原理

考虑以下Caputo分数阶微分方程的初值问题：

\left\{\begin{array}{c}{}_{\mathrm{0}}{D}_t^{\alpha }x(t)=f(t,x(t))+\epsilon \\ x^{(k)}(\mathrm{0})=x_k+\epsilon ,k=\mathrm{0,1},\dots ,n-\mathrm{1}\end{array}\right.（5）

定理1 假设f\in C[R_{\mathrm{1}},\mathbb{R}]，其中

R_{\mathrm{1}}=\left\{(t,x):\mathrm{0}\le t\le T,\left|x(t)-{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{0}}^{n-\mathrm{1}}}\frac{x_k{t}^k}{\mathrm{\Gamma }(k+\mathrm{1})}\right|\le K\right\}，

设\varphi (t,\epsilon )是初值问题（5）在区间t\in [\mathrm{0},T]上的一个解，则

① 如果，则对于k=\mathrm{0,1},\dots ,n-\mathrm{1}成立；

② 存在初值问题（5）的一个解\gamma (t)定义在t\in [\mathrm{0},T]上，使得\underset{\epsilon \to {\mathrm{0}}^{+}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\varphi (t,\epsilon )=\gamma (t)在t\in [\mathrm{0},T]上一致成立，且\gamma (t)是式（4）在t\in [\mathrm{0},T]上的最大解。

证明 ①当k=\mathrm{0}时，如果，则考虑k=\mathrm{1}，否则，则一定存在t_{\mathrm{0}}，使得\varphi (t_{\mathrm{0}},{\epsilon }_{\mathrm{1}})=\varphi (t_{\mathrm{0}},{\epsilon }_{\mathrm{2}})，且对于所有t\in [\mathrm{0},t_{\mathrm{0}})，有，这是因为如果不存在这样的t_{\mathrm{0}}，则一定存在t_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}使得\varphi (t_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}},{\epsilon }_{\mathrm{1}})=\varphi (t_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}},{\epsilon }_{\mathrm{2}})，由于\varphi (t,\epsilon )的连续性，可以得到一个单调递减的序列\{t_{\mathrm{0}}^n\}，因为它是单调有界数列，则一定收敛，令其极限为t_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\text{'}}}，若t_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\text{'}}}=\mathrm{0}，因为，在零点处矛盾，于是t_{\mathrm{0}}\ne \mathrm{0}，则令t_{\mathrm{0}}=t_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\text{'}}}。

设，则。假设对于某个t_k\in [\mathrm{0},T]和某个k有{\varphi }^{(k)}(t_k,{\epsilon }_{\mathrm{1}})={\varphi }^{(k)}(t_k,{\epsilon }_{\mathrm{2}})，且对于所有t\in [\mathrm{0},t_k)，有，根据函数关于t求导公式{\varphi }^{(k+\mathrm{1})}(t)=\underset{h\to \mathrm{0}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{{\varphi }^{(k)}(t+h)-{\varphi }^{(k)}(t)}{h}，由于{\varphi }^{(k+\mathrm{1})}(t)是连续的，只考虑它的左导数，因此得到{\varphi }^{(k+\mathrm{1})}(t_{\mathrm{1}},{\epsilon }_{\mathrm{1}})>{\varphi }^{(k+\mathrm{1})}(t_{\mathrm{1}},{\epsilon }_{\mathrm{2}})，但是，根据连续性，则一定存在一个零点，将其记为t_{k+\mathrm{1}}。类似地，将得到点列\left\{t_{\mathrm{0}},\cdots ,t_{n-\mathrm{1}}\right\}，记点列的最小值为t^{\text{'}}=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{t_{\mathrm{0}},\cdots ,t_{n-\mathrm{1}}\}，则有{\varphi }^{(k)}(t^{\text{'}},{\epsilon }_{\mathrm{1}})={\varphi }^{(k)}(t^{\text{'}},{\epsilon }_{\mathrm{2}})，且对于所有t\in [\mathrm{0},t^{\text{'}})，对所有的k有成立，以及有以下不等式成立：

\begin{array}{l}{}_{\mathrm{0}}{D}_t^{\alpha }(\varphi (t_{\mathrm{1}},{\epsilon }_{\mathrm{1}})-\varphi (t_{\mathrm{1}},{\epsilon }_{\mathrm{2}}))=\frac{{\varphi }^{(n-\mathrm{1})}(t_{\mathrm{1}},{\epsilon }_{\mathrm{1}})-{\varphi }^{(n-\mathrm{1})}(t_{\mathrm{1}},{\epsilon }_{\mathrm{2}})-({\varphi }^{(n-\mathrm{1})}(\mathrm{0},{\epsilon }_{\mathrm{1}})-{\varphi }^{(n-\mathrm{1})}(\mathrm{0},{\epsilon }_{\mathrm{2}}))}{\mathrm{\Gamma }(n-\alpha )t_{\mathrm{1}}^{\alpha -n+\mathrm{1}}}\\ +\frac{\alpha -n+\mathrm{1}}{\mathrm{\Gamma }(n-\alpha )}{\int }_{\mathrm{0}}^{t_{\mathrm{1}}}\frac{{\varphi }^{(n-\mathrm{1})}(t_{\mathrm{1}},{\epsilon }_{\mathrm{1}})-{\varphi }^{(n-\mathrm{1})}(t_{\mathrm{1}},{\epsilon }_{\mathrm{2}})-({\varphi }^{(n-\mathrm{1})}(\mathrm{0},{\epsilon }_{\mathrm{1}})-{\varphi }^{(n-\mathrm{1})}(\mathrm{0},{\epsilon }_{\mathrm{2}}))}{{(t-\tau )}^{\alpha -n+\mathrm{2}}}\mathrm{d}\tau \\ =\frac{-({\varphi }^{(n-\mathrm{1})}(\mathrm{0},{\epsilon }_{\mathrm{1}})-{\varphi }^{(n-\mathrm{1})}(\mathrm{0},{\epsilon }_{\mathrm{2}}))}{\mathrm{\Gamma }(n-\alpha )t_{\mathrm{1}}^{\alpha -n+\mathrm{1}}}+\frac{\alpha -n+\mathrm{1}}{\mathrm{\Gamma }(n-\alpha )}{\int }_{\mathrm{0}}^{t_{\mathrm{1}}}\frac{-({\varphi }^{(n-\mathrm{1})}(\mathrm{0},{\epsilon }_{\mathrm{1}})-{\varphi }^{(n-\mathrm{1})}(\mathrm{0},{\epsilon }_{\mathrm{2}}))}{{(t-\tau )}^{\alpha -n+\mathrm{2}}}\mathrm{d}\tau \\ >\mathrm{0},\end{array}

这意味着{}_{\mathrm{0}}{D}_t^{\alpha }\varphi (t_{\mathrm{1}},{\epsilon }_{\mathrm{1}})>{}_{\mathrm{0}}{}^{}D{}_t^{\alpha }\varphi (t_{\mathrm{1}},{\epsilon }_{\mathrm{2}})。然而，有

{}_{\mathrm{0}}{D}_t^{\alpha }\varphi (t,{\epsilon }_{\mathrm{2}})=f(t,\varphi (t,{\epsilon }_{\mathrm{2}}))+{\epsilon }_{\mathrm{2}}=f(t,\varphi (t,{\epsilon }_{\mathrm{1}}))+{\epsilon }_{\mathrm{2}}>f(t,\varphi (t,{\epsilon }_{\mathrm{1}}))+{\epsilon }_{\mathrm{1}}{=}_{\mathrm{0}}{D}_t^{\alpha }\varphi (t,{\epsilon }_{\mathrm{1}})，

存在矛盾。因此，对于k=\mathrm{0,1},\dots ,n-\mathrm{1}，有。

② 选择一个序列\{{\epsilon }_m\}使得{\epsilon }_{\mathrm{1}}>{\epsilon }_{\mathrm{2}}>{\epsilon }_{\mathrm{3}}>\dots >{\epsilon }_m>\mathrm{0}且当m\to \mathrm{\infty }时{\epsilon }_m\to \mathrm{0}。设{\varphi }_m(t)=\varphi (t,{\epsilon }_m)是以下方程的解：

\left\{\begin{array}{c}{}_{\mathrm{0}}{D}_t^{\alpha }x(t)=f(t,x(t))+{\epsilon }_m\\ x^{(k)}(\mathrm{0})=x_k+{\epsilon }_m,k=\mathrm{0,1},\dots ,n-\mathrm{1}\end{array}\right.，

可以得到

{\varphi }_m(t)={\displaystyle \sum _{k=\mathrm{0}}^{n-\mathrm{1}}}\frac{(x_k+{\epsilon }_m)t^k}{\mathrm{\Gamma }(k+\mathrm{1})}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}{\int }_{\mathrm{0}}^t{(t-s)}^{\alpha -\mathrm{1}}[f(s,{\varphi }_m(s))+{\epsilon }_m]\mathrm{d}s，

存在常数N_{\mathrm{1}}使以下不等式成立：

\begin{array}{l}|{\varphi }_m(t)|=\left|{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{0}}^{n-\mathrm{1}}}\frac{(x_k+{\epsilon }_m)t^k}{\mathrm{\Gamma }(k+\mathrm{1})}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}{\int }_{\mathrm{0}}^t{(t-s)}^{\alpha -\mathrm{1}}[f(s,{\varphi }_m(s))+{\epsilon }_m]\mathrm{d}s\right|\\ \le \left|{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{0}}^{n-\mathrm{1}}}\frac{(x_k+{\epsilon }_m)t^k}{\mathrm{\Gamma }(k+\mathrm{1})}+\frac{\mathrm{2}M}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}{\int }_{\mathrm{0}}^t{(t-s)}^{\alpha -\mathrm{1}}\mathrm{d}s\right|\\ =\left|{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{0}}^{n-\mathrm{1}}}\frac{(x_k+{\epsilon }_m)t^k}{\mathrm{\Gamma }(k+\mathrm{1})}+\frac{\mathrm{2}M{t}^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +\mathrm{1})}\right|\\ \le N_{\mathrm{1}}\mathrm{。}\end{array}

对于，有

\begin{array}{l}{\varphi }_m(t_{\mathrm{1}})-{\varphi }_m(t_{\mathrm{2}})={\displaystyle \sum _{k=\mathrm{0}}^{n-\mathrm{1}}}\frac{(x_k+{\epsilon }_m)(t_{\mathrm{1}}^k-t_{\mathrm{2}}^k)}{\mathrm{\Gamma }(k+\mathrm{1})}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}{\int }_{\mathrm{0}}^{t_{\mathrm{1}}}(t_{\mathrm{1}}{-s)}^{\alpha -\mathrm{1}}[f(s,{\phi }_m(s))+{\epsilon }_m]\mathrm{d}s\\ -\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}{\int }_{\mathrm{0}}^{t_{\mathrm{2}}}(t_{\mathrm{2}}{-s)}^{\alpha -\mathrm{1}}[f(s,{\phi }_m(s))+{\epsilon }_m]\mathrm{d}s,\end{array}

则存在N_{\mathrm{2}}(N_{\mathrm{2}}>\mathrm{0})和\epsilon，使得，因此，序列\{{\varphi }_m(t)\}由在区间\mathrm{0}\le t\le T上等度连续且一致有界的函数组成。由Ascoli-Arzela定理^［11］，序列\{{\varphi }_m(t)\}有一个一致收敛的子序列\{{\varphi }_{m_k}(t)\}，记为\gamma (t)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{\varphi }_{m_k}(t)。现在，证明\gamma (t)是式（4）的解。因为

{\varphi }_{m_k}(t)={\displaystyle \sum _{k=\mathrm{0}}^{n-\mathrm{1}}}\frac{(x_k+{\epsilon }_m)t^k}{\mathrm{\Gamma }(k+\mathrm{1})}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}{\int }_{\mathrm{0}}^t{(t-s)}^{\alpha -\mathrm{1}}[f(s,{\varphi }_{m_k}(s))+{\epsilon }_{m_k}]\mathrm{d}s，

当m\to \mathrm{\infty }时{\epsilon }_{m_k}\to \mathrm{0}，且f(x,t)连续，所以

\gamma (t)={\displaystyle \sum _{k=\mathrm{0}}^{n-\mathrm{1}}}\frac{(x_k+{\epsilon }_m)t^k}{\mathrm{\Gamma }(k+\mathrm{1})}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}{\int }_{\mathrm{0}}^t{(t-s)}^{\alpha -\mathrm{1}}[f(s,\gamma (s))]\mathrm{d}s，

设\varphi (t)是式（5）的一个解，则\varphi (t)也是当\epsilon =\mathrm{0}时式（4）的一个解。因此，通过上述讨论，有。令\epsilon \to {\mathrm{0}}^{+}，得到，所以\gamma (t)是最大解。

定理2 假设f\in C[R_{\mathrm{1}},\mathbb{R}]，其中

R_{\mathrm{1}}=\left\{(t,x):\mathrm{0}\le t\le T,\left|x(t)-{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{0}}^{n-\mathrm{1}}}\frac{x_k{t}^k}{\mathrm{\Gamma }(k+\mathrm{1})}\right|\le K\right\}。

设\gamma (t)是式（4）在t\in [\mathrm{0},T]上的最大解，且m^{(k)}(\mathrm{0})\le x_k，对于k=\mathrm{0,1},\dots ,n-\mathrm{1}，如果{}_{\mathrm{0}}{D}_t^{\alpha }m(t)\le g(t,m(t))对于所有t\in [\mathrm{0},T]成立，则对于任意t，有m^{(n-\mathrm{1})}(t)\le {\gamma }^{(n-\mathrm{1})}(t)。

证明 给定\epsilon >\mathrm{0}，考虑以下带初值的修正比较微分方程

\left\{\begin{array}{c}{}_{\mathrm{0}}{D}_t^{\alpha }x=f(t,x)+\epsilon \\ u^{(k)}(\mathrm{0})=x_k+\epsilon \end{array}\right.（6）

设u(t,\epsilon )是式（6）的一个解，证明对于所有t\in [\mathrm{0},T]，有。假设存在t_{\mathrm{1}}\in (\mathrm{0},T]使得m^{(n-\mathrm{1})}(t_{\mathrm{1}})=u^{(n-\mathrm{1})}(t_{\mathrm{1}},\epsilon )，且对于所有t\in [\mathrm{0},t_{\mathrm{1}}]，有。由引理2的式（3），有

\begin{array}{l}{}_{\mathrm{0}}{D}_t^{\alpha }(m(t_{\mathrm{1}})-u(t_{\mathrm{1}},\epsilon ))=\frac{m^{(n-\mathrm{1})}(t_{\mathrm{1}})-u^{(n-\mathrm{1})}(t_{\mathrm{1}},\epsilon )-(m^{(n-\mathrm{1})}(\mathrm{0})-u^{(n-\mathrm{1})}(\mathrm{0},\epsilon ))}{\mathrm{\Gamma }(n-\alpha )t_{\mathrm{1}}^{\alpha -n+\mathrm{1}}}\\ +\frac{\alpha -n+\mathrm{1}}{\mathrm{\Gamma }(n-\alpha )}{\int }_{\mathrm{0}}^{t_{\mathrm{1}}}\frac{m^{(n-\mathrm{1})}(t_{\mathrm{1}})-u^{(n-\mathrm{1})}(t_{\mathrm{1}},\epsilon )-(m^{(n-\mathrm{1})}(\tau )-u^{(n-\mathrm{1})}(\tau ,\epsilon ))}{{(t-\tau )}^{\alpha -n+\mathrm{2}}}\mathrm{d}\tau \\ =\frac{-(m^{(n-\mathrm{1})}(\mathrm{0})-u^{(n-\mathrm{1})}(\mathrm{0},\epsilon ))}{\mathrm{\Gamma }(n-\alpha )t_{\mathrm{1}}^{\alpha -n+\mathrm{1}}}+\frac{\alpha -n+\mathrm{1}}{\mathrm{\Gamma }(n-\alpha )}{\int }_{\mathrm{0}}^{t_{\mathrm{1}}}\frac{-(m^{(n-\mathrm{1})}(\tau )-u^{(n-\mathrm{1})}(\tau ,\epsilon ))}{{(t-\tau )}^{\alpha -n+\mathrm{2}}}\mathrm{d}\tau \\ >\mathrm{0},\end{array}

这意味着{}_{\mathrm{0}}{D}_t^{\alpha }m(t_{\mathrm{1}}){>}_{\mathrm{0}}{D}_t^{\alpha }u(t_{\mathrm{1}},\epsilon )=f(t,u(t,\epsilon ))+\epsilon =f(t,m(t_{\mathrm{1}}))+\epsilon >f(t,m(t))，存在矛盾。因此，对于所有t\in [\mathrm{0},T]，有，由定理1，令\epsilon \to {\mathrm{0}}^{+}，可得m^{(n-\mathrm{1})}(t)\le {\gamma }^{(n-\mathrm{1})}(t)。

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基金资助

国家自然科学基金项目(12361027)