复辛空间中耗散子空间的充要条件

The Necessary and Sufficient Conditions for Dissipative Subspaces in Complex Symplectic Spaces

摘要

运用辛几何的方法研究了复辛空间中耗散子空间的刻画问题。从低维到高维，先探讨了{\mathbb{C}}^{\mathrm{2}}、{\mathbb{C}}^{\mathrm{3}}、{\mathbb{C}}^{\mathrm{4}}中线性子空间为耗散子空间的充要条件，最后讨论了一般n维复辛空间{\mathbb{C}}^n中线性子空间为耗散子空间的充要条件。

Abstract

The characterization problem of dissipative subspaces in complex symplectic spaces is researched via symplectic geometry.From low dimensions to high dimensions， the necessary and sufficient conditions for linear subspaces to be dissipative subspaces are first explored in {\mathbb{C}}^{\mathrm{2}}， {\mathbb{C}}^{\mathrm{3}} and {\mathbb{C}}^{\mathrm{4}}.Finally， the necessary and sufficient conditions for linear subspaces to be dissipative subspaces in the general n-dimensional complex symplectic space {\mathbb{C}}^n are discussed.

关键词

复辛空间 / 耗散子空间 / 严格耗散子空间 / 耗散扩张

Key words

complex symplectic space / dissipative subspace / strictly dissipative subspace / dissipative extension

微分算子是一类极具重要性且应用广泛的无界线性算子，对称微分算子各类扩张的刻画，尤其是自共轭扩张与耗散扩张的刻画是众多学者关注的研究方向^［1-7］，而辛几何的方法是描述微分算子扩张的有效方法。1999年，Everitt等^［1］首次利用辛几何方法给出了对称微分算子的自伴扩张的完全描述。2014年，Yao等^［8］运用同样的方法研究了对称算子的耗散扩张问题，得到了由耗散扩张构成的集合与耗散子空间构成的集合之间存在一一对应关系的结论。2022年，刘婷等^［9］初步研究了复辛空间中耗散子空间的构造问题，给出了线性子空间为耗散子空间的充分条件。本文进一步探讨复辛空间中耗散子空间的刻画，分别给出了复辛空间{\mathbb{C}}^{\mathrm{2}}、{\mathbb{C}}^{\mathrm{3}}、{\mathbb{C}}^{\mathrm{4}}以及{\mathbb{C}}^n中线性子空间为耗散子空间的充要条件。

1 预备知识

复辛空间是在其乘积空间上的复值函数［∶］满足半双线性型和反埃尔米特型且为非退化的复线性空间。复值函数［∶］称为辛形式，也可称为辛内积。下面给出耗散空间的相关定义和定理。

定义1^［10］ 复辛空间S的线性子空间D是耗散的，若\mathrm{\Im }\left[u:u\right]\ge \mathrm{0}，对于\forall u\in D，称复辛空间S的耗散子空间D是严格的；若\mathrm{\Im }\left[u:u\right]>\mathrm{0}，对于\forall u\in D，u\ne \mathrm{0}，将严格耗散子空间记为D_s。

定义2^［10］ 称耗散子空间D\subset S是最大的耗散子空间，若对于任意的耗散子空间D^{\mathrm{*}}\subset S满足D\subseteq D^{\mathrm{*}}，都有D=D^{\mathrm{*}}。

引理1^［10］ 设S是有限维复辛空间，正负指数为\left(p,q\right)，D\subseteq S是S的耗散子空间且\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}D=r，则

（1） r\le p；

（2） 存在非奇异耗散子空间当且仅当p\ne \mathrm{0}；

（3） 当p\ne \mathrm{0}时，耗散子空间D是最大的耗散子空间当且仅当\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}D=p。

引理2^［10］ 设M是一个一般的对称微分表达式，且\tilde{S}=D_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}/D_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}是复辛空间，则

（1） 由M的所有耗散扩张构成的集合\left\{T_D\right\}与由复辛空间\tilde{S}的所有耗散子空间构成的集合\left\{\tilde{D}\right\}之间存在一一对应；

（2） 由M的所有严格耗散扩张构成的集合\left\{T_{sD}\right\}与由复辛空间\tilde{S}的所有严格耗散子空间构成的集合\left\{{\tilde{D}}_s\right\}之间存在一一对应。

定义3^［11］ 令\mathit{A}是n阶Hermite矩阵，若对于任意复n维列向量x\ne \mathrm{0}都有x^H\mathit{A}x\ge \mathrm{0}，其中，x^H表示x的共轭转置，则称\mathit{A}为Hermite非负定（半正定）矩阵，简称\mathit{A}为非负定（半正定）矩阵；若对于任意复n维列向量x\ne \mathrm{0}都有x^H\mathit{A}x>\mathrm{0}，则称\mathit{A}为Hermite正定矩阵，简称\mathit{A}为正定矩阵。

引理3^［11］ Hermite矩阵\mathit{A}是正定矩阵的充分必要条件是\mathit{A}的n个顺序主子式的值全为正数。

2 线性子空间为耗散子空间的完全刻画

从低维到高维研究复辛空间中线性子空间为耗散子空间和严格耗散子空间的充要条件。为了避免重复，本章探讨复辛空间{\mathbb{C}}^{\mathrm{2}}\mathrm{、}{\mathbb{C}}^{\mathrm{3}}\mathrm{、}{\mathbb{C}}^{\mathrm{4}}中最大耗散子空间的刻画，其他维数耗散子空间的刻画与之相似。

2.1 复辛空间S={\mathbb{C}}^{\mathrm{2}}中耗散子空间的构造

定理1 考虑复辛空间S={\mathbb{C}}^{\mathrm{2}}，正负指数为p=q=\mathrm{1}。设\left\{u_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{1}}\right\}是S的一组基且满足\left[u_{\mathrm{1}}:u_{\mathrm{1}}\right]=\mathrm{i},\left[v_{\mathrm{1}}:v_{\mathrm{1}}\right]=-\mathrm{i},\left[u_{\mathrm{1}}:v_{\mathrm{1}}\right]=\mathrm{0}。令D=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\left\{w\right\}是S的线性子空间，且w=a{u}_{\mathrm{1}}+b{v}_{\mathrm{1}}\left(\forall a\mathrm{、}b\in \mathbb{C}\right)，则

（1） D是耗散子空间当且仅当a\overline{a}-b\overline{b}\ge \mathrm{0}；

（2） D是严格耗散子空间当且仅当a\overline{a}-b\overline{b}>\mathrm{0}。

证明 由于D=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\left\{w\right\}是S=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\left\{u,v\right\}的一维线性子空间，则对于\forall \alpha \in \mathbb{C}，\mathrm{\Im }\left[\alpha w:\alpha w\right]=\mathrm{\Im }\left[\alpha \left(a{u}_{\mathrm{1}}+b{v}_{\mathrm{1}}\right):\alpha \left(a{u}_{\mathrm{1}}+b{v}_{\mathrm{1}}\right)\right]=\mathrm{\Im }\alpha \overline{\alpha }\left(a\overline{a}\left[u_{\mathrm{1}}:u_{\mathrm{1}}\right]+b\overline{b}\left[v_{\mathrm{1}}:v_{\mathrm{1}}\right]\right)=\mathrm{\Im }\alpha \overline{\alpha }\left[\left(a\overline{a}-b\overline{b}\right)\mathrm{i}\right]={\left|\alpha \right|}^{\mathrm{2}}\left(a\overline{a}-\right.\left.b\overline{b}\right)。

由定义1可知，D是耗散子空间当且仅当对于\forall \alpha \in \mathbb{C}，有\mathrm{\Im }\left[\alpha w:\alpha w\right]\ge \mathrm{0}，即当且仅当a\overline{a}-b\overline{b}\ge \mathrm{0}。同样可知，D是严格耗散子空间当且仅当a\overline{a}-b\overline{b}>\mathrm{0}。

定理2 考虑复辛空间S={\mathbb{C}}^{\mathrm{2}}，正负指数为p=\mathrm{2},q=\mathrm{0}。设\left\{u_{\mathrm{1}},u_{\mathrm{2}}\right\}是S的一组基且满足\left[u_{\mathrm{1}}:u_{\mathrm{1}}\right]=\mathrm{i},\left[u_{\mathrm{2}}:u_{\mathrm{2}}\right]=\mathrm{i},其他辛内积都为0。令D=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\left\{w_{\mathrm{1}},w_{\mathrm{2}}\right\}是S的线性子空间，且\left(\begin{array}{c}{w}_{\mathrm{1}}\\ w_{\mathrm{2}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{a}_{\mathrm{11}}& a_{\mathrm{12}}\\ a_{\mathrm{21}}& a_{\mathrm{22}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{u}_{\mathrm{1}}\\ u_{\mathrm{2}}\end{array}\right)，a_{ij}\in \mathbb{C},i,j=\mathrm{1,2}。记\mathit{A}=\left(\begin{array}{cc}{a}_{\mathrm{11}}& a_{\mathrm{12}}\\ a_{\mathrm{21}}& a_{\mathrm{22}}\end{array}\right)且\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}\left(\mathit{A}\right)=\mathrm{2}，则

（1） D是耗散子空间当且仅当\mathit{A}{\mathit{A}}^{\mathrm{*}}是半正定矩阵；

（2） D是严格耗散子空间当且仅当\mathit{A}{\mathit{A}}^{\mathrm{*}}是正定矩阵。

证明 由于D=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\left\{w_{\mathrm{1}},w_{\mathrm{2}}\right\}是S=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\left\{u_{\mathrm{1}},u_{\mathrm{2}}\right\}的二维线性子空间，则对于\forall \alpha \mathrm{、}\beta \in \mathbb{C}，令w=\alpha w_{\mathrm{1}}+\beta w_{\mathrm{2}}，则有

\begin{array}{l}\mathrm{\Im }\left[w:w\right]=\mathrm{\Im }\left[\alpha w_{\mathrm{1}}+\beta w_{\mathrm{2}}:\alpha w_{\mathrm{1}}+\beta w_{\mathrm{2}}\right]\\ =\mathrm{\Im }\left(\alpha \overline{\alpha }\left[w_{\mathrm{1}}:w_{\mathrm{1}}\right]+\alpha \overline{\beta }\left[w_{\mathrm{1}}:w_{\mathrm{2}}\right]+\beta \overline{\alpha }\left[w_{\mathrm{2}}:w_{\mathrm{1}}\right]+\beta \overline{\beta }\left[w_{\mathrm{2}}:w_{\mathrm{2}}\right]\right)\\ =\alpha \overline{\alpha }\left(a_{\mathrm{11}}\overline{a_{\mathrm{11}}}+a_{\mathrm{12}}\overline{a_{\mathrm{12}}}\right)+\alpha \overline{\beta }\left(a_{\mathrm{11}}\overline{a_{\mathrm{21}}}+a_{\mathrm{12}}\overline{a_{\mathrm{22}}}\right)+\beta \overline{\alpha }\left(a_{\mathrm{21}}\overline{a_{\mathrm{11}}}+a_{\mathrm{22}}\overline{a_{\mathrm{12}}}\right)+\beta \overline{\beta }\left(a_{\mathrm{21}}\overline{a_{\mathrm{21}}}+a_{\mathrm{22}}\overline{a_{\mathrm{22}}}\right),\end{array}

由于\mathit{A}{\mathit{A}}^{\mathrm{*}}=\left(\begin{array}{cc}{a}_{\mathrm{11}}& a_{\mathrm{12}}\\ a_{\mathrm{21}}& a_{\mathrm{22}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\overline{a_{\mathrm{11}}}& \overline{a_{\mathrm{21}}}\\ \overline{a_{\mathrm{12}}}& \overline{a_{\mathrm{22}}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{a}_{\mathrm{11}}\overline{a_{\mathrm{11}}}+a_{\mathrm{12}}\overline{a_{\mathrm{12}}}& a_{\mathrm{11}}\overline{a_{\mathrm{21}}}+a_{\mathrm{12}}\overline{a_{\mathrm{22}}}\\ a_{\mathrm{21}}\overline{a_{\mathrm{11}}}+a_{\mathrm{22}}\overline{a_{\mathrm{12}}}& a_{\mathrm{21}}\overline{a_{\mathrm{21}}}+a_{\mathrm{22}}\overline{a_{\mathrm{22}}}\end{array}\right)，则有\mathrm{\Im }\left[w:w\right]=\left(\begin{array}{cc}\alpha & \beta \end{array}\right)\mathit{A}{\mathit{A}}^{\mathrm{*}}\left(\begin{array}{c}\overline{\alpha }\\ \overline{\beta }\end{array}\right)。

由定义1及定义3可知，D是耗散子空间当且仅当对于\forall w\in D，有\mathrm{\Im }\left[w:w\right]\ge \mathrm{0}，即当且仅当\mathit{A}{\mathit{A}}^{\mathrm{*}}为半正定矩阵。同样可知，D是严格耗散子空间当且仅当\mathit{A}{\mathit{A}}^{\mathrm{*}}为正定矩阵。

2.2 复辛空间S={\mathbb{C}}^{\mathrm{3}}中耗散子空间的构造

定理3 考虑复辛空间S={\mathbb{C}}^{\mathrm{3}}，正负指数为p=\mathrm{1},q=\mathrm{2}。设\left\{u_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{2}}\right\}是S的一组基且满足\left[u_{\mathrm{1}}:u_{\mathrm{1}}\right]=\mathrm{i},\left[v_{\mathrm{1}}:v_{\mathrm{1}}\right]=-\mathrm{i},\left[v_{\mathrm{2}}:v_{\mathrm{2}}\right]=-\mathrm{i}，其他辛内积都为0。令D=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\left\{w\right\}是S的线性子空间，且w=a{u}_{\mathrm{1}}+b_{\mathrm{1}}{v}_{\mathrm{1}}+b_{\mathrm{2}}{v}_{\mathrm{2}}，\forall a\mathrm{、}{b}_{\mathrm{1}}\mathrm{、}{b}_{\mathrm{2}}\in \mathbb{C}，则

（1） D是耗散子空间当且仅当a\overline{a}-b_{\mathrm{1}}\overline{b_{\mathrm{1}}}-b_{\mathrm{2}}\overline{b_{\mathrm{2}}}\ge \mathrm{0}；

（2） D是严格耗散子空间当且仅当a\overline{a}-b_{\mathrm{1}}\overline{b_{\mathrm{1}}}-b_{\mathrm{2}}\overline{b_{\mathrm{2}}}>\mathrm{0}。

证明 由于D=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\left\{w\right\}是S=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\left\{u_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{2}}\right\}的一维线性子空间，则对于\forall \alpha \in \mathbb{C}，有

\begin{array}{l}\mathrm{\Im }\left[\alpha w:\alpha w\right]=\mathrm{\Im }\left[\alpha \left(a{u}_{\mathrm{1}}+b_{\mathrm{1}}{v}_{\mathrm{1}}+b_{\mathrm{2}}{v}_{\mathrm{2}}\right):\alpha \left(a{u}_{\mathrm{1}}+b_{\mathrm{1}}{v}_{\mathrm{1}}+b_{\mathrm{2}}{v}_{\mathrm{2}}\right)\right]\\ =\mathrm{\Im }\alpha \overline{\alpha }\left(a\overline{a}\left[u_{\mathrm{1}}:u_{\mathrm{1}}\right]+b_{\mathrm{1}}\overline{b_{\mathrm{1}}}\left[v_{\mathrm{1}}:v_{\mathrm{1}}\right]+b_{\mathrm{2}}\overline{b_{\mathrm{2}}}\left[v_{\mathrm{2}}:v_{\mathrm{2}}\right]\right)\\ =\mathrm{\Im }\alpha \overline{\alpha }\left[\left(a\overline{a}-b_{\mathrm{1}}\overline{b_{\mathrm{1}}}-b_{\mathrm{2}}\overline{b_{\mathrm{2}}}\right)\mathrm{i}\right]\\ ={\left|\alpha \right|}^{\mathrm{2}}\left(a\overline{a}-b_{\mathrm{1}}\overline{b_{\mathrm{1}}}-b_{\mathrm{2}}\overline{b_{\mathrm{2}}}\right)\mathrm{。}\end{array}

由定义1可知，D是耗散子空间当且仅当对于\forall \alpha \in \mathbb{C}，有\mathrm{\Im }\left[\alpha w:\alpha w\right]\ge \mathrm{0}，即当且仅当\left(a\overline{a}-b_{\mathrm{1}}\overline{b_{\mathrm{1}}}-b_{\mathrm{2}}\overline{b_{\mathrm{2}}}\right)\ge \mathrm{0}。同样可知，D是严格耗散子空间当且仅当\left(a\overline{a}-b_{\mathrm{1}}\overline{b_{\mathrm{1}}}-b_{\mathrm{2}}\overline{b_{\mathrm{2}}}\right)>\mathrm{0}。

定理4 考虑复辛空间S={\mathbb{C}}^{\mathrm{3}}，正负指数为p=\mathrm{2},q=\mathrm{1}。设\left\{u_{\mathrm{1}},u_{\mathrm{2}},v_{\mathrm{1}}\right\}是S的一组基且满足\left[u_{\mathrm{1}}:u_{\mathrm{1}}\right]=\mathrm{i},\left[u_{\mathrm{2}}:u_{\mathrm{2}}\right]=\mathrm{i},\left[v_{\mathrm{1}}:v_{\mathrm{1}}\right]=-\mathrm{i}，其他辛内积都为0。令D=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\left\{w_{\mathrm{1}},w_{\mathrm{2}}\right\}是S的线性子空间，且\left(\begin{array}{c}{w}_{\mathrm{1}}\\ w_{\mathrm{2}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{a}_{\mathrm{11}}& a_{\mathrm{12}}\\ a_{\mathrm{21}}& a_{\mathrm{22}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{u}_{\mathrm{1}}\\ u_{\mathrm{2}}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}{b}_{\mathrm{1}}\\ b_{\mathrm{2}}\end{array}\right)v_{\mathrm{1}}，其中a_{ij}\mathrm{、}{b}_i\in \mathbb{C},i,j=\mathrm{1,2}。记\mathit{A}=\left(\begin{array}{cc}{a}_{\mathrm{11}}& a_{\mathrm{12}}\\ a_{\mathrm{21}}& a_{\mathrm{22}}\end{array}\right)，\mathit{B}=\left(\begin{array}{l}{b}_{\mathrm{1}}\\ b_{\mathrm{2}}\end{array}\right)，且\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}\left(\mathit{A}\right)=\mathrm{2}，则

（1） D是耗散子空间当且仅当\mathit{A}{\mathit{A}}^{\mathrm{*}}-\mathit{B}{\mathit{B}}^{\mathrm{*}}是半正定矩阵；

（2） D是严格耗散子空间当且仅当\mathit{A}{\mathit{A}}^{\mathrm{*}}-\mathit{B}{\mathit{B}}^{\mathrm{*}}是正定矩阵。

证明 由于D=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\left\{w_{\mathrm{1}},w_{\mathrm{2}}\right\}是S=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\left\{u_{\mathrm{1}},u_{\mathrm{2}},v_{\mathrm{1}}\right\}的二维线性子空间，那么对于\forall \alpha \mathrm{、}\beta \in \mathbb{C}，令w=\alpha w_{\mathrm{1}}+\beta w_{\mathrm{2}}，有

\begin{array}{l}\mathrm{\Im }\left[w:w\right]=\mathrm{\Im }\left[\alpha w_{\mathrm{1}}+\beta w_{\mathrm{2}}:\alpha w_{\mathrm{1}}+\beta w_{\mathrm{2}}\right]\\ =\mathrm{\Im }\left(\alpha \overline{\alpha }\left[w_{\mathrm{1}}:w_{\mathrm{1}}\right]+\alpha \overline{\beta }\left[w_{\mathrm{1}}:w_{\mathrm{2}}\right]+\beta \overline{\alpha }\left[w_{\mathrm{2}}:w_{\mathrm{1}}\right]+\beta \overline{\beta }\left[w_{\mathrm{2}}:w_{\mathrm{2}}\right]\right)\\ =\alpha \overline{\alpha }\left(a_{\mathrm{11}}\overline{a_{\mathrm{11}}}+a_{\mathrm{12}}\overline{a_{\mathrm{12}}}-b_{\mathrm{1}}\overline{b_{\mathrm{1}}}\right)+\alpha \overline{\beta }\left(a_{\mathrm{11}}\overline{a_{\mathrm{21}}}+a_{\mathrm{12}}\overline{a_{\mathrm{22}}}-b_{\mathrm{1}}\overline{b_{\mathrm{2}}}\right)+\beta \overline{\alpha }\left(a_{\mathrm{21}}\overline{a_{\mathrm{11}}}+a_{\mathrm{22}}\overline{a_{\mathrm{12}}}-b_{\mathrm{2}}\overline{b_{\mathrm{1}}}\right)\end{array}

+\beta \overline{\beta }\left(a_{\mathrm{21}}\overline{a_{\mathrm{21}}}+a_{\mathrm{22}}\overline{a_{\mathrm{22}}}-b_{\mathrm{2}}\overline{b_{\mathrm{2}}}\right)\mathrm{。}

由于

\mathit{A}{\mathit{A}}^{\mathrm{*}}=\left(\begin{array}{cc}{a}_{\mathrm{11}}& a_{\mathrm{12}}\\ a_{\mathrm{21}}& a_{\mathrm{22}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\overline{a_{\mathrm{11}}}& \overline{a_{\mathrm{21}}}\\ \overline{a_{\mathrm{12}}}& \overline{a_{\mathrm{22}}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{a}_{\mathrm{11}}\overline{a_{\mathrm{11}}}+a_{\mathrm{12}}\overline{a_{\mathrm{12}}}& a_{\mathrm{11}}\overline{a_{\mathrm{21}}}+a_{\mathrm{12}}\overline{a_{\mathrm{22}}}\\ a_{\mathrm{21}}\overline{a_{\mathrm{11}}}+a_{\mathrm{22}}\overline{a_{\mathrm{12}}}& a_{\mathrm{21}}\overline{a_{\mathrm{21}}}+a_{\mathrm{22}}\overline{a_{\mathrm{22}}}\end{array}\right)，\mathit{B}{\mathit{B}}^{\mathrm{*}}=\left(\begin{array}{cc}{b}_{\mathrm{1}}\overline{b_{\mathrm{1}}}& b_{\mathrm{1}}\overline{b_{\mathrm{2}}}\\ b_{\mathrm{2}}\overline{b_{\mathrm{1}}}& b_{\mathrm{2}}\overline{b_{\mathrm{2}}}\end{array}\right)，

则有

\mathrm{\Im }\left[w:w\right]=\left(\begin{array}{cc}\alpha & \beta \end{array}\right)\left(\mathit{A}{\mathit{A}}^{\mathrm{*}}-\mathit{B}{\mathit{B}}^{\mathrm{*}}\right)\left(\begin{array}{c}\overline{\alpha }\\ \overline{\beta }\end{array}\right)。

由定义1及定义3可知，D是耗散子空间当且仅当对于\forall w\in D，有\mathrm{\Im }\left[w:w\right]\ge \mathrm{0}，即当且仅当\mathit{A}{\mathit{A}}^{\mathrm{*}}-\mathit{B}{\mathit{B}}^{\mathrm{*}}为半正定矩阵。同样可知，D是严格耗散子空间当且仅当\mathit{A}{\mathit{A}}^{\mathrm{*}}-\mathit{B}{\mathit{B}}^{\mathrm{*}}为正定矩阵。

定理5 考虑复辛空间S={\mathbb{C}}^{\mathrm{3}}，正负指数为p=\mathrm{3},q=\mathrm{0}。设\left\{u_{\mathrm{1}},u_{\mathrm{2}},u_{\mathrm{3}}\right\}是S的一组基且满足\left[u_{\mathrm{1}}:u_{\mathrm{1}}\right]=\mathrm{i}，\left[u_{\mathrm{2}}:u_{\mathrm{2}}\right]=\mathrm{i}，\left[u_{\mathrm{3}}:u_{\mathrm{3}}\right]=\mathrm{i}，其他辛内积都为0。令D=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\left\{w_{\mathrm{1}},w_{\mathrm{2}},w_{\mathrm{3}}\right\}是S的线性子空间，且

\left(\begin{array}{c}{w}_{\mathrm{1}}\\ \begin{array}{l}{w}_{\mathrm{2}}\\ w_{\mathrm{3}}\end{array}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{\mathrm{11}}& a_{\mathrm{12}}& a_{\mathrm{13}}\\ a_{\mathrm{21}}& a_{\mathrm{22}}& a_{\mathrm{23}}\\ a_{\mathrm{31}}& a_{\mathrm{32}}& a_{\mathrm{33}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{u}_{\mathrm{1}}\\ \begin{array}{l}{u}_{\mathrm{2}}\\ u_{\mathrm{3}}\end{array}\end{array}\right)，a_{ij}\in \mathbb{C},i,j=\mathrm{1,2},\mathrm{3}。

记\mathit{A}=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{\mathrm{11}}& a_{\mathrm{12}}& a_{\mathrm{13}}\\ a_{\mathrm{21}}& a_{\mathrm{22}}& a_{\mathrm{23}}\\ a_{\mathrm{31}}& a_{\mathrm{32}}& a_{\mathrm{33}}\end{array}\right)，且\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}\left(\mathit{A}\right)=\mathrm{3}，则

（1） D是耗散子空间当且仅当\mathit{A}{\mathit{A}}^{\mathrm{*}}是半正定矩阵；

（2） D是严格耗散子空间当且仅当\mathit{A}{\mathit{A}}^{\mathrm{*}}是正定矩阵。

证明 由于D=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\left\{w_{\mathrm{1}},w_{\mathrm{2}},w_{\mathrm{3}}\right\}是S=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\left\{u_{\mathrm{1}},u_{\mathrm{2}},u_{\mathrm{3}}\right\}的三维线性子空间，则对于\forall \alpha \mathrm{、}\beta \mathrm{、}\gamma \in \mathbb{C}，令w=\alpha w_{\mathrm{1}}+\beta w_{\mathrm{2}}+\gamma w_{\mathrm{3}}，则有

\begin{array}{l}\mathrm{\Im }\left[w:w\right]=\mathrm{\Im }\left[\alpha w_{\mathrm{1}}+\beta w_{\mathrm{2}}+\gamma w_{\mathrm{3}}:\alpha w_{\mathrm{1}}+\beta w_{\mathrm{2}}+\gamma w_{\mathrm{3}}\right]\\ =\mathrm{\Im }\left(\alpha \overline{\alpha }\left[w_{\mathrm{1}}:w_{\mathrm{1}}\right]+\alpha \overline{\beta }\left[w_{\mathrm{1}}:w_{\mathrm{2}}\right]+\alpha \overline{\gamma }\left[w_{\mathrm{1}}:w_{\mathrm{3}}\right]\right.+\beta \overline{\alpha }\left[w_{\mathrm{2}}:w_{\mathrm{1}}\right]+\beta \overline{\beta }\left[w_{\mathrm{2}}:w_{\mathrm{2}}\right]\\ +\beta \overline{\gamma }\left[w_{\mathrm{2}}:w_{\mathrm{3}}\right]+\gamma \overline{\alpha }\left[w_{\mathrm{3}}:w_{\mathrm{1}}\right]+\gamma \overline{\beta }\left[w_{\mathrm{3}}:w_{\mathrm{2}}\right]+\left.\gamma \overline{\gamma }\left[w_{\mathrm{3}}:w_{\mathrm{3}}\right]\right)\\ =\mathrm{\Im }\left[\alpha \overline{\alpha }\left(a_{\mathrm{11}}\overline{a_{\mathrm{11}}}+a_{\mathrm{12}}\overline{a_{\mathrm{12}}}+a_{\mathrm{13}}\overline{a_{\mathrm{13}}}\right)\mathrm{i}\right.+\alpha \overline{\beta }\left(a_{\mathrm{11}}\overline{a_{\mathrm{21}}}+a_{\mathrm{12}}\overline{a_{\mathrm{22}}}+a_{\mathrm{13}}\overline{a_{\mathrm{23}}}\right)\mathrm{i}\\ +\alpha \overline{\gamma }\left(a_{\mathrm{11}}\overline{a_{\mathrm{31}}}+a_{\mathrm{12}}\overline{a_{\mathrm{32}}}+a_{\mathrm{13}}\overline{a_{\mathrm{33}}}\right)\mathrm{i}+\beta \overline{\alpha }\left(a_{\mathrm{21}}\overline{a_{\mathrm{11}}}+a_{\mathrm{22}}\overline{a_{\mathrm{12}}}+a_{\mathrm{23}}\overline{a_{\mathrm{13}}}\right)\mathrm{i}\\ +\beta \overline{\beta }\left(a_{\mathrm{21}}\overline{a_{\mathrm{21}}}+a_{\mathrm{22}}\overline{a_{\mathrm{22}}}+a_{\mathrm{23}}\overline{a_{\mathrm{23}}}\right)\mathrm{i}+\beta \overline{\gamma }\left(a_{\mathrm{21}}\overline{a_{\mathrm{31}}}+a_{\mathrm{22}}\overline{a_{\mathrm{32}}}+a_{\mathrm{23}}\overline{a_{\mathrm{33}}}\right)\mathrm{i}\\ +\gamma \overline{\alpha }\left(a_{\mathrm{31}}\overline{a_{\mathrm{11}}}+a_{\mathrm{32}}\overline{a_{\mathrm{12}}}+a_{\mathrm{33}}\overline{a_{\mathrm{13}}}\right)\mathrm{i}+\gamma \overline{\beta }\left(a_{\mathrm{31}}\overline{a_{\mathrm{21}}}+a_{\mathrm{32}}\overline{a_{\mathrm{22}}}+a_{\mathrm{33}}\overline{a_{\mathrm{23}}}\right)\mathrm{i}\\ +\left.\gamma \overline{\gamma }\left(a_{\mathrm{31}}\overline{a_{\mathrm{31}}}+a_{\mathrm{32}}\overline{a_{\mathrm{32}}}+a_{\mathrm{33}}\overline{a_{\mathrm{33}}}\right)\mathrm{i}\right]\mathrm{。}\end{array}

由于

\begin{array}{c}\mathit{A}{\mathit{A}}^{\mathrm{*}}=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{\mathrm{11}}& a_{\mathrm{12}}& a_{\mathrm{13}}\\ a_{\mathrm{21}}& a_{\mathrm{22}}& a_{\mathrm{23}}\\ a_{\mathrm{31}}& a_{\mathrm{32}}& a_{\mathrm{33}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}\overline{a_{\mathrm{11}}}& \overline{a_{\mathrm{21}}}& \overline{a_{\mathrm{31}}}\\ \overline{a_{\mathrm{12}}}& \overline{a_{\mathrm{22}}}& \overline{a_{\mathrm{32}}}\\ \overline{a_{\mathrm{13}}}& \overline{a_{\mathrm{23}}}& \overline{a_{\mathrm{33}}}\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{ccc}{a}_{\mathrm{11}}\overline{a_{\mathrm{11}}}+a_{\mathrm{12}}\overline{a_{\mathrm{12}}}+a_{\mathrm{13}}\overline{a_{\mathrm{13}}}& a_{\mathrm{11}}\overline{a_{\mathrm{21}}}+a_{\mathrm{12}}\overline{a_{\mathrm{22}}}+a_{\mathrm{13}}\overline{a_{\mathrm{23}}}& a_{\mathrm{11}}\overline{a_{\mathrm{31}}}+a_{\mathrm{12}}\overline{a_{\mathrm{32}}}+a_{\mathrm{13}}\overline{a_{\mathrm{33}}}\\ a_{\mathrm{21}}\overline{a_{\mathrm{11}}}+a_{\mathrm{22}}\overline{a_{\mathrm{12}}}+a_{\mathrm{23}}\overline{a_{\mathrm{13}}}& a_{\mathrm{21}}\overline{a_{\mathrm{21}}}+a_{\mathrm{22}}\overline{a_{\mathrm{22}}}+a_{\mathrm{23}}\overline{a_{\mathrm{23}}}& a_{\mathrm{21}}\overline{a_{\mathrm{31}}}+a_{\mathrm{22}}\overline{a_{\mathrm{32}}}+a_{\mathrm{23}}\overline{a_{\mathrm{33}}}\\ a_{\mathrm{31}}\overline{a_{\mathrm{11}}}+a_{\mathrm{32}}\overline{a_{\mathrm{12}}}+a_{\mathrm{33}}\overline{a_{\mathrm{13}}}& a_{\mathrm{31}}\overline{a_{\mathrm{21}}}+a_{\mathrm{32}}\overline{a_{\mathrm{22}}}+a_{\mathrm{33}}\overline{a_{\mathrm{23}}}& a_{\mathrm{31}}\overline{a_{\mathrm{31}}}+a_{\mathrm{32}}\overline{a_{\mathrm{32}}}+a_{\mathrm{33}}\overline{a_{\mathrm{33}}}\end{array}\right),\end{array}

则有

\mathrm{\Im }\left[w:w\right]=\left(\begin{array}{ccc}\alpha & \beta & \gamma \end{array}\right)\mathit{A}{\mathit{A}}^{\mathrm{*}}\left(\begin{array}{c}\overline{\alpha }\\ \overline{\beta }\\ \overline{\gamma }\end{array}\right)。

由定义1及定义3可知，D是耗散子空间当且仅当对于\forall w\in D，有\mathrm{\Im }\left[w:w\right]\ge \mathrm{0}，即当且仅当\mathit{A}{\mathit{A}}^{\mathrm{*}}为半正定矩阵。同样可知，D是严格耗散子空间当且仅当\mathit{A}{\mathit{A}}^{\mathrm{*}}为正定矩阵。

2.3 复辛空间S={\mathbb{C}}^{\mathrm{4}}中耗散子空间的构造

为了避免重复，本节只对复辛空间S={\mathbb{C}}^{\mathrm{4}}中正负指数为p=q=\mathrm{2}的情况进行讨论，正负指数为其他的情况可以参考2.1节和2.2节的证明。

定理6 考虑复辛空间S={\mathbb{C}}^{\mathrm{4}}，正负指数为p=q=\mathrm{2}。设\left\{u_{\mathrm{1}},u_{\mathrm{2}},v_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{2}}\right\}是S的一组基且满足\left[u_{\mathrm{1}}:u_{\mathrm{1}}\right]=\mathrm{i},\left[u_{\mathrm{2}}:u_{\mathrm{2}}\right]=\mathrm{i},\left[v_{\mathrm{1}}:v_{\mathrm{1}}\right]=-\mathrm{i},\left[v_{\mathrm{2}}:v_{\mathrm{2}}\right]=-\mathrm{i}，其他辛内积都为0。令D=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\left\{w_{\mathrm{1}},w_{\mathrm{2}}\right\}是S的线性子空间，且\left(\begin{array}{c}{w}_{\mathrm{1}}\\ w_{\mathrm{2}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{a}_{\mathrm{11}}& a_{\mathrm{12}}\\ a_{\mathrm{21}}& a_{\mathrm{22}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{u}_{\mathrm{1}}\\ u_{\mathrm{2}}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}{b}_{\mathrm{11}}& b_{\mathrm{12}}\\ b_{\mathrm{21}}& b_{\mathrm{22}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}{v}_{\mathrm{1}}\\ v_{\mathrm{2}}\end{array}\right)，a_{ij}\mathrm{、}{b}_{ij}\in \mathbb{C},i,j=\mathrm{1,2}。记\mathit{A}=\left(\begin{array}{cc}{a}_{\mathrm{11}}& a_{\mathrm{12}}\\ a_{\mathrm{21}}& a_{\mathrm{22}}\end{array}\right)，\mathit{B}=\left(\begin{array}{cc}{b}_{\mathrm{11}}& b_{\mathrm{12}}\\ b_{\mathrm{21}}& b_{\mathrm{22}}\end{array}\right)，且\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}\left(\mathit{A}\right)=\mathrm{2}，则

（1） D是耗散子空间当且仅当\mathit{A}{\mathit{A}}^{\mathrm{*}}-\mathit{B}{\mathit{B}}^{\mathrm{*}}是半正定矩阵；

（2） D是严格耗散子空间当且仅当\mathit{A}{\mathit{A}}^{\mathrm{*}}-\mathit{B}{\mathit{B}}^{\mathrm{*}}是正定矩阵。

证明 由于D=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\left\{w_{\mathrm{1}},w_{\mathrm{2}}\right\}是S=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\left\{u_{\mathrm{1}},u_{\mathrm{2}},v_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{2}}\right\}的二维线性子空间，那么对于\forall \alpha \mathrm{、}\beta \in \mathbb{C}，令w=\alpha w_{\mathrm{1}}+\beta w_{\mathrm{2}}，则有

\begin{array}{l}\mathrm{\Im }\left[w:w\right]=\mathrm{\Im }\left[\alpha w_{\mathrm{1}}+\beta w_{\mathrm{2}}:\alpha w_{\mathrm{1}}+\beta w_{\mathrm{2}}\right]\\ =\mathrm{\Im }\left(\alpha \overline{\alpha }\left[w_{\mathrm{1}}:w_{\mathrm{1}}\right]+\alpha \overline{\beta }\left[w_{\mathrm{1}}:w_{\mathrm{2}}\right]+\beta \overline{\alpha }\left[w_{\mathrm{2}}:w_{\mathrm{1}}\right]+\beta \overline{\beta }\left[w_{\mathrm{2}}:w_{\mathrm{2}}\right]\right)\\ =\alpha \overline{\alpha }\left(a_{\mathrm{11}}\overline{a_{\mathrm{11}}}+a_{\mathrm{12}}\overline{a_{\mathrm{12}}}-b_{\mathrm{11}}\overline{b_{\mathrm{11}}}-b_{\mathrm{12}}\overline{b_{\mathrm{12}}}\right)+\alpha \overline{\beta }\left(a_{\mathrm{11}}\overline{a_{\mathrm{21}}}+a_{\mathrm{12}}\overline{a_{\mathrm{22}}}-b_{\mathrm{11}}\overline{b_{\mathrm{21}}}-b_{\mathrm{12}}\overline{b_{\mathrm{22}}}\right)\end{array}

+\beta \overline{\alpha }\left(a_{\mathrm{21}}\overline{a_{\mathrm{11}}}+a_{\mathrm{22}}\overline{a_{\mathrm{12}}}-b_{\mathrm{21}}\overline{b_{\mathrm{11}}}-b_{\mathrm{22}}\overline{b_{\mathrm{12}}}\right)+\beta \overline{\beta }\left(a_{\mathrm{21}}\overline{a_{\mathrm{21}}}+a_{\mathrm{22}}\overline{a_{\mathrm{22}}}-b_{\mathrm{21}}\overline{b_{\mathrm{21}}}-b_{\mathrm{22}}\overline{b_{\mathrm{22}}}\right)\mathrm{。}

由于

\begin{array}{l}\mathit{A}{\mathit{A}}^{\mathrm{*}}=\left(\begin{array}{cc}{a}_{\mathrm{11}}& a_{\mathrm{12}}\\ a_{\mathrm{21}}& a_{\mathrm{22}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\overline{a_{\mathrm{11}}}& \overline{a_{\mathrm{21}}}\\ \overline{a_{\mathrm{12}}}& \overline{a_{\mathrm{22}}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{a}_{\mathrm{11}}\overline{a_{\mathrm{11}}}+a_{\mathrm{12}}\overline{a_{\mathrm{12}}}& a_{\mathrm{11}}\overline{a_{\mathrm{21}}}+a_{\mathrm{12}}\overline{a_{\mathrm{22}}}\\ a_{\mathrm{21}}\overline{a_{\mathrm{11}}}+a_{\mathrm{22}}\overline{a_{\mathrm{12}}}& a_{\mathrm{21}}\overline{a_{\mathrm{21}}}+a_{\mathrm{22}}\overline{a_{\mathrm{22}}}\end{array}\right),\\ \mathit{B}{\mathit{B}}^{\mathrm{*}}=\left(\begin{array}{cc}{b}_{\mathrm{11}}& b_{\mathrm{12}}\\ b_{\mathrm{21}}& b_{\mathrm{22}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\overline{b_{\mathrm{11}}}& \overline{b_{\mathrm{21}}}\\ \overline{b_{\mathrm{12}}}& \overline{b_{\mathrm{22}}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{b}_{\mathrm{11}}\overline{b_{\mathrm{11}}}+b_{\mathrm{12}}\overline{b_{\mathrm{12}}}& b_{\mathrm{11}}\overline{b_{\mathrm{21}}}+b_{\mathrm{12}}\overline{b_{\mathrm{22}}}\\ b_{\mathrm{21}}\overline{b_{\mathrm{11}}}+b_{\mathrm{22}}\overline{b_{\mathrm{12}}}& b_{\mathrm{21}}\overline{b_{\mathrm{21}}}+b_{\mathrm{22}}\overline{b_{\mathrm{22}}}\end{array}\right),\end{array}

则有

\mathrm{\Im }\left[w:w\right]=\left(\begin{array}{cc}\alpha & \beta \end{array}\right)\left(\mathit{A}{\mathit{A}}^{\mathrm{*}}-\mathit{B}{\mathit{B}}^{\mathrm{*}}\right)\left(\begin{array}{c}\overline{\alpha }\\ \overline{\beta }\end{array}\right)。

由定义1及定义3可知，D是耗散子空间当且仅当对于\forall w\in D，有\mathrm{\Im }\left[w:w\right]\ge \mathrm{0}，即当且仅当\mathit{A}{\mathit{A}}^{\mathrm{*}}-\mathit{B}{\mathit{B}}^{\mathrm{*}}为半正定矩阵。同样可知，D是严格耗散子空间当且仅当\mathit{A}{\mathit{A}}^{\mathrm{*}}-\mathit{B}{\mathit{B}}^{\mathrm{*}}为正定矩阵。

3 复辛空间S={\mathbb{C}}^n中耗散子空间的刻画

将所研究问题推广到一般的n维空间S={\mathbb{C}}^n中，探讨m\left(m\le p\right)维线性子空间为耗散子空间以及严格耗散子空间的充要条件，其中，当m=p时，D为S的最大耗散子空间。

定理7 考虑复辛空间S={\mathbb{C}}^n，正负指数为（p，q），其中p>0。设\left\{u_{\mathrm{1}},u_{\mathrm{2}},\cdots ,u_p,v_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{2}},\cdots ,v_q\right\}是S的一组基且满足\left[u_k:u_k\right]=\mathrm{i},\left[v_j:v_j\right]=-\mathrm{i},k=\mathrm{1,2},\cdots ,p,j=\mathrm{1,2},\cdots ,q,其他辛内积都为0。令D=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\left\{w_{\mathrm{1}},w_{\mathrm{2}},\cdots ,w_m\right\}是复辛空间S的m\left(m\le p\right)维线性子空间，且

\left(\begin{array}{c}{w}_{\mathrm{1}}\\ w_{\mathrm{2}}\\ ⋮\\ w_m\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{\mathrm{11}}& a_{\mathrm{12}}& \cdots & a_{\mathrm{1}p}\\ a_{\mathrm{21}}& a_{\mathrm{22}}& \cdots & a_{\mathrm{2}p}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m\mathrm{1}}& a_{m\mathrm{2}}& \cdots & a_{mp}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{u}_{\mathrm{1}}\\ u_{\mathrm{2}}\\ ⋮\\ u_p\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cccc}{b}_{\mathrm{11}}& b_{\mathrm{12}}& \cdots & b_{\mathrm{1}q}\\ b_{\mathrm{21}}& b_{\mathrm{22}}& \cdots & b_{\mathrm{2}q}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ b_{m\mathrm{1}}& b_{m\mathrm{2}}& \cdots & b_{mq}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{v}_{\mathrm{1}}\\ v_{\mathrm{2}}\\ ⋮\\ v_q\end{array}\right)，

记\mathit{A}={\left(a_{ij}\right)}_{m\times p}，\mathit{B}={\left(b_{ij}\right)}_{m\times q}，其中a_{ij}\mathrm{、}{b}_{ij}\in \mathbb{C}，\mathrm{1}\le i,j\le \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{p,q\right\}且\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}\left(\mathit{A}\right)=m。则

（1） D是耗散子空间当且仅当\mathit{A}{\mathit{A}}^{\mathrm{*}}-\mathit{B}{\mathit{B}}^{\mathrm{*}}是半正定矩阵；

（2） D是严格耗散子空间当且仅当\mathit{A}{\mathit{A}}^{\mathrm{*}}-\mathit{B}{\mathit{B}}^{\mathrm{*}}是正定矩阵。

证明 由于D=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\left\{w_{\mathrm{1}},w_{\mathrm{2}},\cdots ,w_m\right\}是S的m维线性子空间，且

{\left(\begin{array}{cccc}{w}_{\mathrm{1}}& w_{\mathrm{2}}& \cdots & w_m\end{array}\right)}^{\mathrm{T}}=\mathit{A}{\left(\begin{array}{cccc}{u}_{\mathrm{1}}& u_{\mathrm{2}}& \cdots & u_p\end{array}\right)}^{\mathrm{T}}+\mathit{B}{\left(\begin{array}{cccc}{v}_{\mathrm{1}}& v_{\mathrm{2}}& \cdots & v_q\end{array}\right)}^{\mathrm{T}}，

那么对于\mathrm{1}\le j,k\le m，有

\begin{array}{l}\mathrm{\Im }\left[w_j:w_k\right]=\mathrm{\Im }\left[\left({\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{a}_{ji}{u}_i+{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^q}{b}_{ji}{v}_i\right):\left({\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{a}_{ki}{u}_i+{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^q}{b}_{ki}{v}_i\right)\right]\\ =\mathrm{\Im }\left[\left(a_{j\mathrm{1}}\overline{a_{k\mathrm{1}}}+a_{j\mathrm{2}}\overline{a_{k\mathrm{2}}}+\cdots +a_{jp}\overline{a_{kp}}-b_{j\mathrm{1}}\overline{b_{k\mathrm{1}}}-b_{j\mathrm{2}}\overline{b_{k\mathrm{2}}}-\cdots -b_{jq}\overline{b_{kq}}\right)\mathrm{i}\right]\\ ={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{a}_{ji}\overline{a_{ki}}-{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^q}{b}_{ji}\overline{b_{ki}}\mathrm{。}\end{array}

对于\forall {\alpha }_{\mathrm{1}},{\alpha }_{\mathrm{2}},\cdots ,{\alpha }_m\in \mathbb{C}，令w={\alpha }_{\mathrm{1}}{w}_{\mathrm{1}}+{\alpha }_{\mathrm{2}}{w}_{\mathrm{2}}+\cdots +{\alpha }_m{w}_m，有

\begin{array}{l}\mathrm{\Im }\left[w:w\right]=\mathrm{\Im }\left[{\alpha }_{\mathrm{1}}{w}_{\mathrm{1}}+{\alpha }_{\mathrm{2}}{w}_{\mathrm{2}}+\cdots +{\alpha }_m{w}_m:{\alpha }_{\mathrm{1}}{w}_{\mathrm{1}}+{\alpha }_{\mathrm{2}}{w}_{\mathrm{2}}+\cdots +{\alpha }_m{w}_m\right]\\ =\mathrm{\Im }\left({\alpha }_{\mathrm{1}}\overline{{\alpha }_{\mathrm{1}}}\left[w_{\mathrm{1}}:w_{\mathrm{1}}\right]+{\alpha }_{\mathrm{1}}\overline{{\alpha }_{\mathrm{2}}}\left[w_{\mathrm{1}}:w_{\mathrm{2}}\right]+\cdots +{\alpha }_{\mathrm{1}}\overline{{\alpha }_m}\left[w_{\mathrm{1}}:w_m\right]\right.\\ +{\alpha }_{\mathrm{2}}\overline{{\alpha }_{\mathrm{1}}}\left[w_{\mathrm{2}}:w_{\mathrm{1}}\right]+{\alpha }_{\mathrm{2}}\overline{{\alpha }_{\mathrm{2}}}\left[w_{\mathrm{2}}:w_{\mathrm{2}}\right]+\cdots +{\alpha }_{\mathrm{2}}\overline{{\alpha }_m}\left[w_{\mathrm{2}}:w_m\right]\\ +\cdots +{\alpha }_m\overline{{\alpha }_{\mathrm{1}}}\left[w_m:w_{\mathrm{1}}\right]+{\alpha }_m\overline{{\alpha }_{\mathrm{2}}}\left[w_m:w_{\mathrm{2}}\right]+\cdots +\left.{\alpha }_m\overline{{\alpha }_m}\left[w_m:w_m\right]\right)\\ ={\alpha }_{\mathrm{1}}\overline{{\alpha }_{\mathrm{1}}}\left({\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{a}_{\mathrm{1}i}\overline{a_{\mathrm{1}i}}-{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^q}{b}_{\mathrm{1}i}\overline{b_{\mathrm{1}i}}\right)+\cdots +{\alpha }_{\mathrm{1}}\overline{{\alpha }_m}\left({\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{a}_{\mathrm{1}i}\overline{a_{mi}}-{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^q}{b}_{\mathrm{1}i}\overline{b_{mi}}\right)\\ +{\alpha }_{\mathrm{2}}\overline{{\alpha }_{\mathrm{1}}}\left({\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{a}_{\mathrm{2}i}\overline{a_{\mathrm{1}i}}-{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^q}{b}_{\mathrm{2}i}\overline{b_{\mathrm{1}i}}\right)+\cdots +{\alpha }_{\mathrm{2}}\overline{{\alpha }_m}\left({\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{a}_{\mathrm{2}i}\overline{a_{mi}}-{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^q}{b}_{\mathrm{2}i}\overline{b_{mi}}\right)\\ +\cdots +{\alpha }_m\overline{{\alpha }_m}\left({\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{a}_{mi}\overline{a_{mi}}-{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^q}{b}_{mi}\overline{b_{mi}}\right)\\ ={\displaystyle \sum _j^m}{\displaystyle \sum _k^m}{\alpha }_j\overline{{\alpha }_k}\left({\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{a}_{ji}\overline{a_{ki}}-{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^q}{b}_{ji}\overline{b_{ki}}\right)\mathrm{。}\end{array}

由于

\mathit{A}{\mathit{A}}^{\mathrm{*}}=\left(\begin{array}{cccc}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{a}_{\mathrm{1}i}\overline{a_{\mathrm{1}i}}& {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{a}_{\mathrm{1}i}\overline{a_{\mathrm{2}i}}& \cdots & {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{a}_{\mathrm{1}i}\overline{a_{mi}}\\ {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{a}_{\mathrm{2}i}\overline{a_{\mathrm{1}i}}& {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{a}_{\mathrm{2}i}\overline{a_{\mathrm{2}i}}& \cdots & {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{a}_{\mathrm{2}i}\overline{a_{mi}}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{a}_{mi}\overline{a_{\mathrm{1}i}}& {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{a}_{mi}\overline{a_{\mathrm{2}i}}& \cdots & {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{a}_{mi}\overline{a_{mi}}\end{array}\right),\mathit{B}{\mathit{B}}^{\mathrm{*}}=\left(\begin{array}{cccc}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^q}{b}_{\mathrm{1}i}\overline{b_{\mathrm{1}i}}& {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^q}{b}_{\mathrm{1}i}\overline{b_{\mathrm{2}i}}& \cdots & {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^q}{b}_{\mathrm{1}i}\overline{b_{mi}}\\ {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^q}{b}_{\mathrm{2}i}\overline{b_{\mathrm{1}i}}& {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^q}{b}_{\mathrm{2}i}\overline{b_{\mathrm{2}i}}& \cdots & {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^q}{b}_{\mathrm{2}i}\overline{b_{mi}}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^q}{b}_{mi}\overline{b_{\mathrm{1}i}}& {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^q}{b}_{mi}\overline{b_{\mathrm{2}i}}& \cdots & {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^q}{b}_{mi}\overline{b_{mi}}\end{array}\right)，

则有

\mathrm{\Im }\left[w:w\right]=\left(\begin{array}{cccc}{\alpha }_{\mathrm{1}}& {\alpha }_{\mathrm{2}}& \cdots & {\alpha }_m\end{array}\right)\left(\mathit{A}{\mathit{A}}^{\mathrm{*}}-\mathit{B}{\mathit{B}}^{\mathrm{*}}\right)\left(\begin{array}{c}\overline{{\alpha }_{\mathrm{1}}}\\ \overline{{\alpha }_{\mathrm{2}}}\\ ⋮\\ \overline{{\alpha }_m}\end{array}\right)。

由定义1及定义3可知，D是耗散子空间当且仅当对于\forall w\in D，有\mathrm{\Im }\left[w:w\right]\ge \mathrm{0}，即当且仅当\mathit{A}{\mathit{A}}^{\mathrm{*}}-\mathit{B}{\mathit{B}}^{\mathrm{*}}为半正定矩阵。同样可知，D是严格耗散子空间当且仅当\mathit{A}{\mathit{A}}^{\mathrm{*}}-\mathit{B}{\mathit{B}}^{\mathrm{*}}为正定矩阵。

引理4^［10］ 在辛形式为［∶］的有限维复辛空间S中，设D是S的r维复辛空间，令D_L=\left\{u\in D\left|\left[u:u\right]=\mathrm{0}\right.\right\}\subseteq D，是D中所有Lagrangian元素构成的空间，则D_L为S的Lagrangian子空间。

引理5^［10］ 令引理4中的符号和假设成立，设D是S的非严格耗散子空间，则存在D的一组基\left\{e_{\mathrm{1}},\cdots ,e_{r_S},a_{\mathrm{1}},\cdots ,a_{r_L}\right\}，r_S+r_L=r，使得

（1） D_L=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\left\{a_{\mathrm{1}},\cdots ,a_{r_L}\right\}是Lagrangian子空间，D_S=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\left\{e_{\mathrm{1}},\cdots ,e_{r_S}\right\}是严格耗散子空间，且\left[D_S:D_L\right]=\mathrm{0}；

（2） 由S诱导的D中的辛内积所对应的反-Hermitian矩阵为{\mathit{H}}_D=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{i}{I}_{r_S}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& {\mathrm{0}}_{r_L\times r_L}\end{array}\right)。

定义4 设S是有限维复辛空间，辛形式为［∶］，正负指数为\left(p,q\right)。设D\subseteq S是S的耗散子空间且\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}D=r\left(r\le p\right)，若D中线性无关的耗散元素的个数为r_S，则称r_S为耗散子空间D的耗散阶，称D为S的r_S阶r维耗散子空间。

注1 对于引理5中的r维耗散子空间D，有以下结论：

（1） 当r_S=r时，D是S的严格耗散子空间；

（2） 当时，D是S的非严格耗散子空间且r-r_S=r_L；

（3） 当r_S=\mathrm{0}时，D是S的Lagrangian子空间。

定理8 令定理7和引理5中的符号与假设都成立，设D=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\left\{e_{\mathrm{1}},\cdots ,e_{r_S},a_{\mathrm{1}},\cdots ,a_{r_L}\right\}是复辛空间S的r_S阶r维耗散子空间。令

{\left(e_{\mathrm{1}},\cdots ,e_{r_S},a_{\mathrm{1}},\cdots ,a_{r_L}\right)}^{\mathrm{T}}=\mathit{A}{\left(u_{\mathrm{1}},\cdots ,u_p\right)}^{\mathrm{T}}+\mathit{B}{\left(v_{\mathrm{1}},\cdots ,v_p\right)}^{\mathrm{T}},

其中

\mathit{A}=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{\mathrm{11}}& \cdots & a_{\mathrm{1}p}\\ ⋮& & ⋮\\ a_{r_S\mathrm{1}}& \cdots & a_{r_{S}p}\\ \widetilde{a_{\mathrm{11}}}& \cdots & \widetilde{a_{\mathrm{1}p}}\\ ⋮& & ⋮\\ \widetilde{a_{r_L\mathrm{1}}}& \cdots & \widetilde{a_{r_{L}p}}\end{array}\right)，\mathit{B}=\left(\begin{array}{ccc}{b}_{\mathrm{11}}& \cdots & b_{\mathrm{1}q}\\ ⋮& & ⋮\\ b_{r_S\mathrm{1}}& \cdots & b_{r_{S}q}\\ \widetilde{b_{\mathrm{11}}}& \cdots & \widetilde{b_{\mathrm{1}q}}\\ ⋮& & ⋮\\ \widetilde{b_{r_L\mathrm{1}}}& \cdots & \widetilde{b_{r_{L}q}}\end{array}\right)，

记{\mathit{A}}_{sD}={\left(a_{ij}\right)}_{r_S\times p},{\mathit{A}}_L={\left(\widetilde{a_{ij}}\right)}_{r_L\times p},{\mathit{B}}_{sD}={\left(b_{ij}\right)}_{r_S\times q},{\mathit{A}}_L={\left(\widetilde{b_{ij}}\right)}_{r_L\times q}，则

\mathit{A}{\mathit{A}}^{\mathrm{*}}-\mathit{B}{\mathit{B}}^{\mathrm{*}}=\left(\begin{array}{cc}{\mathit{A}}_{sD}{\mathit{A}}_{sD}^{\mathrm{*}}-{\mathit{B}}_{sD}{\mathit{B}}_{sD}^{\mathrm{*}}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right),

且{\mathit{A}}_{sD}^{}{\mathit{A}}_{sD}^{\mathrm{*}}-{\mathit{B}}_{sD}^{}{\mathit{B}}_{sD}^{\mathrm{*}}为正定矩阵。

证明 由于D=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\left\{e_{\mathrm{1}},\cdots ,e_{r_S},a_{\mathrm{1}},\cdots ,a_{r_L}\right\}且

{\left(\begin{array}{cccccc}{e}_{\mathrm{1}}& \cdots & e_{r_S}& a_{\mathrm{1}}& \cdots & a_{r_L}\end{array}\right)}^{\mathrm{T}}=\left(\begin{array}{c}{\mathit{A}}_{sD}\\ {\mathit{A}}_L\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{u}_{\mathrm{1}}\\ u_{\mathrm{2}}\\ ⋮\\ u_p\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{\mathit{B}}_{sD}\\ {\mathit{B}}_L\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{v}_{\mathrm{1}}\\ v_{\mathrm{2}}\\ ⋮\\ v_q\end{array}\right),

由引理5可知，\left[a_i:a_k\right]=\mathrm{0}，\left[a_i:e_j\right]=\mathrm{0}\left(\mathrm{1}\le i,k\le r_L,\mathrm{1}\le j\le r_S\right)，对于\forall {\alpha }_{\mathrm{1}},\cdots ,{\alpha }_{r_S},{\beta }_{\mathrm{1}},\cdots ,{\beta }_{r_L}\in \mathbb{C}，令w={\alpha }_{\mathrm{1}}{e}_{\mathrm{1}}+\cdots +{\alpha }_{r_S}{e}_{r_S}+{\beta }_{\mathrm{1}}{a}_{\mathrm{1}}+\cdots +{\beta }_{r_L}{a}_{r_L}，则

\begin{array}{c}\mathrm{\Im }\left[w:w\right]=\mathrm{\Im }\left({\alpha }_{\mathrm{1}}\overline{{\alpha }_{\mathrm{1}}}\left[e_{\mathrm{1}}:e_{\mathrm{1}}\right]+{\alpha }_{\mathrm{1}}\overline{{\alpha }_{\mathrm{2}}}\left[e_{\mathrm{1}}:e_{\mathrm{2}}\right]+\cdots +{\alpha }_{\mathrm{1}}\overline{{\alpha }_{r_S}}\left[e_{\mathrm{1}}:e_{r_S}\right]\right.+\mathrm{0}+\cdots +\mathrm{0}\\ +{\alpha }_{\mathrm{2}}\overline{{\alpha }_{\mathrm{1}}}\left[e_{\mathrm{2}}:e_{\mathrm{1}}\right]+{\alpha }_{\mathrm{2}}\overline{{\alpha }_{\mathrm{2}}}\left[e_{\mathrm{2}}:e_{\mathrm{2}}\right]+\cdots +{\alpha }_{\mathrm{2}}\overline{{\alpha }_{r_S}}\left[e_{\mathrm{2}}:e_{r_S}\right]+\mathrm{0}+\cdots +\mathrm{0}\\ +\cdots +{\alpha }_{r_S}\overline{{\alpha }_{\mathrm{1}}}\left[e_{r_S}:e_{\mathrm{1}}\right]+{\alpha }_{r_S}\overline{{\alpha }_{\mathrm{2}}}\left[e_{r_S}:e_{\mathrm{2}}\right]+\cdots +\left.{\alpha }_{r_S}\overline{{\alpha }_{r_S}}\left[e_{r_S}:e_{r_S}\right]+\mathrm{0}+\cdots +\mathrm{0}\right)\\ =\left(\begin{array}{cccccc}{\alpha }_{\mathrm{1}}& \cdots & {\alpha }_{r_S}& {\beta }_{\mathrm{1}}& \cdots & {\beta }_{r_L}\end{array}\right)\left(\mathit{A}{\mathit{A}}^{\mathrm{*}}-\mathit{B}{\mathit{B}}^{\mathrm{*}}\right)\left(\begin{array}{c}\overline{{\alpha }_{\mathrm{1}}}\\ ⋮\\ \overline{{\alpha }_{r_S}}\\ \overline{{\beta }_{\mathrm{1}}}\\ ⋮\\ \overline{{\beta }_{r_L}}\end{array}\right),\end{array}

其中

\begin{array}{l}\mathit{A}{\mathit{A}}^{\mathrm{*}}-\mathit{B}{\mathit{B}}^{\mathrm{*}}=\left(\begin{array}{cccccc}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{a}_{\mathrm{1}i}\overline{a_{\mathrm{1}i}}-{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^q}{b}_{\mathrm{1}i}\overline{b_{\mathrm{1}i}}& \cdots & {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{a}_{\mathrm{1}i}\overline{a_{r_{S}i}}-{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^q}{b}_{\mathrm{1}i}\overline{b_{r_{S}i}}& \mathrm{0}& \cdots & \mathrm{0}\\ ⋮& & ⋮& ⋮& & ⋮\\ {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{a}_{r_{S}i}\overline{a_{\mathrm{1}i}}-{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^q}{b}_{r_{S}i}\overline{b_{\mathrm{1}i}}& \cdots & {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{a}_{r_{S}i}\overline{a_{r_{S}i}}-{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^q}{b}_{r_{S}i}\overline{b_{r_{S}i}}& \mathrm{0}& \cdots & \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \cdots & \mathrm{0}& \mathrm{0}& \cdots & \mathrm{0}\\ ⋮& & ⋮& ⋮& & ⋮\\ \mathrm{0}& \cdots & \mathrm{0}& \mathrm{0}& \cdots & \mathrm{0}\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{cc}{A}_{sD}{A}_{sD}^{\mathrm{*}}-B_{sD}{B}_{sD}^{\mathrm{*}}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right)\mathrm{。}\end{array}

由引理5可知，D_S=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\left\{e_{\mathrm{1}},\cdots ,e_{r_S}\right\}是严格耗散子空间，其中\left(\begin{array}{c}{e}_{\mathrm{1}}\\ ⋮\\ e_{r_S}\end{array}\right)={\mathit{A}}_{sD}\left(\begin{array}{c}{u}_{\mathrm{1}}\\ ⋮\\ u_p\end{array}\right)+{\mathit{B}}_{sD}\left(\begin{array}{c}{v}_{\mathrm{1}}\\ ⋮\\ v_q\end{array}\right)，由定理7可知，{\mathit{A}}_{sD}^{}{\mathit{A}}_{sD}^{\mathrm{*}}-{\mathit{B}}_{sD}^{}{\mathit{B}}_{sD}^{\mathrm{*}}为正定矩阵。

4 例子

下面给出2个复辛空间S={\mathbb{C}}^{\mathrm{4}}中耗散子空间的例子。

例1 设S={\mathbb{C}}^{\mathrm{4}}是正负指数为p=q=\mathrm{2}的复辛空间，且基\left\{u_{\mathrm{1}},u_{\mathrm{2}},v_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{2}}\right\}满足\left[u_{\mathrm{1}}:u_{\mathrm{1}}\right]=\mathrm{i}，\left[u_{\mathrm{2}}:u_{\mathrm{2}}\right]=\mathrm{i}，\left[v_{\mathrm{1}}:v_{\mathrm{1}}\right]=-\mathrm{i}，\left[v_{\mathrm{2}}:v_{\mathrm{2}}\right]=-\mathrm{i}，其他辛内积为0。令D=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\left\{w_{\mathrm{1}},w_{\mathrm{2}}\right\}是S的线性子空间，其中，\left(\begin{array}{c}{w}_{\mathrm{1}}\\ w_{\mathrm{2}}\end{array}\right)=\mathit{A}\left(\begin{array}{c}{u}_{\mathrm{1}}\\ u_{\mathrm{1}}\end{array}\right)+\mathit{B}\left(\begin{array}{c}{v}_{\mathrm{1}}\\ v_{\mathrm{2}}\end{array}\right)且\mathit{A}=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{1}+\mathrm{i}& \mathrm{2}\\ \mathrm{1}& \mathrm{i}\end{array}\right),\mathit{B}=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{i}& -\mathrm{i}\\ \mathrm{i}& \mathrm{1}\end{array}\right)，则D是耗散子空间。

证明 由于

\begin{array}{l}\mathit{A}{\mathit{A}}^{\mathrm{*}}=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{1}+\mathrm{i}& \mathrm{2}\\ \mathrm{1}& \mathrm{i}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\mathrm{1}-\mathrm{i}& \mathrm{1}\\ \mathrm{2}& -\mathrm{i}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{6}& \mathrm{1}-\mathrm{i}\\ \mathrm{1}+\mathrm{i}& \mathrm{2}\end{array}\right),\\ \mathit{B}{\mathit{B}}^{\mathrm{*}}=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{i}& -\mathrm{i}\\ \mathrm{i}& \mathrm{1}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-\mathrm{i}& -\mathrm{i}\\ \mathrm{i}& \mathrm{1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{2}& \mathrm{1}-\mathrm{i}\\ \mathrm{1}+\mathrm{i}& \mathrm{2}\end{array}\right),\end{array}

则有\mathit{A}{\mathit{A}}^{\mathrm{*}}-\mathit{B}{\mathit{B}}^{\mathrm{*}}=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{4}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right)，那么\mathit{A}{\mathit{A}}^{\mathrm{*}}-\mathit{B}{\mathit{B}}^{\mathrm{*}}是半正定矩阵。因此，根据定理6可知，D是S的一阶二维耗散子空间。

例2 设S={\mathbb{C}}^{\mathrm{4}}是正负指数为p=q=\mathrm{2}的复辛空间，且基\left\{u_{\mathrm{1}},u_{\mathrm{2}},v_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{2}}\right\}满足\left[u_{\mathrm{1}}:u_{\mathrm{1}}\right]=\mathrm{i}，\left[u_{\mathrm{2}}:u_{\mathrm{2}}\right]=\mathrm{i}，\left[v_{\mathrm{1}}:v_{\mathrm{1}}\right]=-\mathrm{i}，\left[v_{\mathrm{2}}:v_{\mathrm{2}}\right]=-\mathrm{i}，其他辛内积为0。令D=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\left\{w_{\mathrm{1}},w_{\mathrm{2}}\right\}是S的线性子空间，其中，\left(\begin{array}{c}{w}_{\mathrm{1}}\\ w_{\mathrm{2}}\end{array}\right)=\mathit{A}\left(\begin{array}{c}{u}_{\mathrm{1}}\\ u_{\mathrm{1}}\end{array}\right)+\mathit{B}\left(\begin{array}{c}{v}_{\mathrm{1}}\\ v_{\mathrm{2}}\end{array}\right)，且\mathit{A}=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{i}& \mathrm{2}\\ \mathrm{2}+\mathrm{i}& -\mathrm{i}\end{array}\right),\mathit{B}=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{i}& \mathrm{1}\\ \mathrm{1}& -\mathrm{i}\end{array}\right)，则D是严格耗散子空间。

证明 由于

\begin{array}{l}\mathit{A}{\mathit{A}}^{\mathrm{*}}=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{i}& \mathrm{2}\\ \mathrm{2}+\mathrm{i}& -\mathrm{i}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-\mathrm{i}& \mathrm{2}-\mathrm{i}\\ \mathrm{2}& \mathrm{i}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{5}& \mathrm{1}+\mathrm{4}\mathrm{i}\\ \mathrm{1}-\mathrm{4}\mathrm{i}& \mathrm{6}\end{array}\right),\\ \mathit{B}{\mathit{B}}^{\mathrm{*}}=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{i}& \mathrm{1}\\ \mathrm{1}& -\mathrm{i}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-\mathrm{i}& \mathrm{1}\\ \mathrm{1}& \mathrm{i}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{2}& \mathrm{2}\mathrm{i}\\ -\mathrm{2}\mathrm{i}& \mathrm{2}\end{array}\right),\end{array}

则有\mathit{A}{\mathit{A}}^{\mathrm{*}}-\mathit{B}{\mathit{B}}^{\mathrm{*}}=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{3}& \mathrm{1}+\mathrm{2}\mathrm{i}\\ \mathrm{1}-\mathrm{2}\mathrm{i}& \mathrm{4}\end{array}\right)，那么根据引理3可知，\mathit{A}{\mathit{A}}^{\mathrm{*}}-\mathit{B}{\mathit{B}}^{\mathrm{*}}是正定矩阵。再由定理6可知，D是S的严格耗散子空间。

参考文献

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[11] 程云鹏，张凯院，徐仲.矩阵论［M］.4版.西安：西北工业大学出版社，1999：360-370.

基金资助

国家自然科学基金项目(11801286)

内蒙古自然科学基金项目(2018MS01021)