基于统计学岩石物理模型的火山岩横波速度预测方法

S-Wave Velocity Prediction Method of Volcanic Rock Based on Statistical Rock-Physics Model

摘要

火山岩储层因蕴藏地热、矿产、油气等资源，受到各国学者的广泛关注. 横波速度是地震AVO分析、储层特征描述和流体识别的必要信息，因受限于采集技术和采集成本等因素，测井资料中常常缺失横波速度信息. 基于统计学岩石物理反演方法和Xu-White岩石物理模型，提出了一种适用于火山岩储层的统计学岩石物理模型横波速度预测方法. 该方法利用Xu-White模型中砂的纵、横波速度和粘土相关孔隙纵横比作为关键岩石物理参数对岩石速度的影响，根据统计学岩石物理反演方法，首先通过已知参考井常规测井资料和Xu-White模型构建关键岩石物理参数的先验分布，其次利用先验分布代替固定参数值初始化Xu-White模型建立统计学岩石物理模型，再次基于贝叶斯反演理论，匹配目标井位实际纵波速度与模拟纵波速度，计算目标井位关键岩石物理参数后验信息，最后利用统计学岩石物理模型和目标井关键岩石物理参数的后验分布反演出目标井的横波速度信息. 将该方法应用于中国东部南堡凹陷5号构造实际测井数据，得到的横波速度预测结果优于常规方法，证明了该方法的有效性和准确性. 研究将为火山岩储层的后续勘探开发提供更准确的横波速度资料.

关键词

火山岩储层 / 横波速度预测 / Xu-White模型 / 统计学岩石物理模型 / 贝叶斯反演 / 地球物理

Key words

volcanic reservoir / S-wave velocity prediction / Xu-White model / statistical rock-physics model / bayesian inversion / geophysics

0 引言

火山岩储层蕴藏多种资源，包括地下热能、矿产资源、地下水和油气藏等. 随着勘探开发程度不断深入，火山岩储层作为一种特殊的油气藏类型备受关注. 自世界上第一个火山岩油气藏在美国加利福尼亚州被发现以来，俄罗斯、古巴、阿根廷、日本等国先后发现了高产的火山岩油气藏（Hunter and Davies，1979；Hawlander，1990；Zimmermann et al.，1992）. 20世纪70年代起，在我国渤海湾盆地、新疆准噶尔盆地、内蒙二连盆地、江汉盆地、苏北盆地、塔里木盆地和海拉尔盆地等地相继发现了火山岩油气藏（张超等，2009；Xing et al.， 2021；吴海波等，2022）. 随着火山岩油气藏的不断发现，火山岩油气藏储层评价技术也进入了新发展阶段，火山岩的岩性识别、储层描述和裂缝属性等成为研究的核心内容.

横波速度在地震叠前反演和储层属性分析中起关键作用，同时也是岩石物性反演、储层岩性和裂缝流体识别的重要参数. 然而，在实际生产中，受井位条件、测井技术和采集成本的限制，测井资料中横波速度信息往往较为匮乏，因此火山岩横波速度预测便成为亟需解决的重要问题. 为解决此问题，许多学者利用常规测井资料和相关理论方法预测横波速度，主要分为经验公式法、岩石物理模型法和机器学习智能预测法. 基于经验公式的方法是在横波速度和测井数据之间建立了简单且直接的关系. Castagna et al.（1985）提出了“泥岩线”公式，给出纵、横波速度之间的经验关系. Han et al.（1986）考虑孔隙度和粘土含量对速度的影响，给出了不同压力下纵、横波速度之间的线性回归方程. Greenberg et al.（1992）提出了多种矿物组分的水饱和的纵、横波速度经验公式. Yan et al.（2002）考虑孔隙纵横比对速度的影响，改进了Han et al.（1986）的经验公式. 利用经验公式法预测横波速度，是依据实际横波速度和其他测井数据建立的拟合关系，未考虑岩石的物理机理，依赖样本数据的质量，预测结果准确性不足. 基于机器学习和人工神经网络的智能预测方法（Rajabi et al.，2010；王晓光，2013；Zhang et al.， 2020）是根据大量目标参数的真实数据（如 V_{\mathrm{s}}），通过预测机训练得到横波速度与其它测井数据的强非线性关系，再根据此关系预测横波速度. 该方法同样未考虑岩石的物理机理，因此缺乏训练数据范围之外的外推，对样本数据的数量和质量要求较高，且预测过程复杂、计算效率不高.

岩石物理模型描述了微观结构对岩石整体属性的影响，将岩石的微观特征（如孔隙度、孔隙结构）与宏观特征（如弹性模量、速度）联系起来，因此基于岩石物理模型的横波速度预测方法成为了现行的主流方法. Berryman（1980）提出了等效介质自相容近似模型（SCA），假设岩石是由不同孔隙纵横比的椭球体组成的. Xu and White（1995， 1996）考虑储层岩石的孔隙几何形态，提出了泥质砂岩储层的等效介质模型. Keys and Xu（2002）引入干岩石模量的近似方程对Xu-White模型进行了改进. Ruiz and Dvorkin（2010）提出了基于微分等效介质模型（DEM），采用固定的孔隙纵横比进行横波速度预测. 白俊雨等（2012）采用可变的孔隙纵横比改进了Xu-White模型. 张冰等（2018）建立了适用于各向异性页岩储层参数反演的统计岩石模型，为横波速度预测提供了参考. Sohail and Hawkes（2020）评估了用于横波速度预测的经验模型和岩石物理模型，并认为修正后的 Xu-White 模型是当前可用方法的最佳选择.

目前，针对砂岩、碳酸盐岩储层的岩石物理横波速度预测方法较为成熟，而针对火山岩储层的岩石物理模型相关研究较少. 火山岩的岩性复杂，一般将其分为火山熔岩和火山碎屑岩两大类（王德滋和周新民，1982；赵鹏飞等，2021）. 火山岩储层具有复杂的矿物组分和多样的孔隙结构等特征（Pan et al.，2008；张丽华，2009；张丽华等，2020）. Pan et al.（2008）基于分类方案，提出了一种QAPM火山岩岩石物理模型，模型中将Q（石英）、A（碱性长石）、P（斜长石）、M（镁铁质）作为主要矿物类型并加入了孔隙，但未考虑凝灰质的影响. Zhao et al.（2009）基于等效介质自相容近似模型（SCA），将酸性火山岩视为基质矿物，中基性火山岩视为充填矿物，建立了二元岩石物理模型，模型中未考虑火山岩多种矿物和孔隙结构的特征. Xu et al.（2020）结合Xu-White模型与微分等效介质模型（DEM）提出了各向同性岩石物理模型并添加了多种矿物和孔隙，模型中未考虑孔隙结构的影响. 在火山岩岩石物理模型构建及横波速度预测研究中，如何兼顾多种矿物组分和复杂孔隙结构对岩石性质的影响，以及横波预测中需要较多测井数据和岩心数据的问题研究较少.

针对上述方法存在的不足，结合已有的研究成果和火山岩储层的特点，以中国东部渤海湾盆地南堡５号构造的典型火山熔岩区油气藏为例，本文提出了一种基于统计学岩石物理模型的火山岩横波速度预测方法. 该方法以Xu-White模型为基础，分析了模型中影响岩石速度的关键岩石物理参数，根据统计学岩石物理反演方法，利用参考井位常规测井资料等先验信息形成关键岩石物理参数的先验分布，以先验分布代替固定参数初始化Xu-White模型构建统计学岩石物理模型，在贝叶斯反演框架下，以目标井位实际纵波速度为约束条件，利用模拟退火粒子群算法（刘财等，2017；乔汉青，2017），得到目标井位关键岩石物理参数的后验分布及最优参数，最后利用统计学岩石物理模型和目标井位岩石物理参数反演出目标井位的横波速度信息. 该方法考虑了火山岩储层多矿物组分和复杂孔隙结构的特征，同时解决了目标井位测井资料不足、矿物组分信息缺失条件下的横波速度预测，通过对实际火山岩常规测井资料进行测试，验证该方法的有效性和准确性.

1 常规火山岩横波速度预测方法

1.1　基于Han经验公式的火山岩横波速度预测

利用经验公式法来预测横波速度的基础是由实际数据建立起的岩石不同属性之间的联系. 这类方法直接建立了目标参数和测井曲线之间的关系，计算简单且普遍应用于实际横波速度预测问题.

Han et al.（1986）通过测量不同压力下的岩样并考虑孔隙度和粘土含量的影响，给出了纵、横波速度之间的线性回归方程. 可利用火山岩常规测井资料和Han公式直接预测横波速度，公式如下：

V_{\mathrm{p}} = \mathrm{5.59} - \mathrm{6.93} \varphi - \mathrm{2.18} C,（1）

V_{\mathrm{s}} = \mathrm{3.52} - \mathrm{4.91} \varphi - \mathrm{1.89} C,（2）

其中： V_{\mathrm{p}}为纵波速度（ \mathrm{k} \mathrm{m} / \mathrm{s}）； V_{\mathrm{s}}为横波速度（ \mathrm{k} \mathrm{m} / \mathrm{s}）； \varphi为孔隙度； C为粘土含量.

1.2　基于Xu-White模型的火山岩横波速度预测

由于火山岩成岩机制的特殊性，孔隙类型复杂多样，其中凝灰质矿物和粘土相似，考虑到凝灰质矿物所占比例较大，在构建火山岩岩石物理模型时不能忽略. 相比于包裹体理论，Xu-White模型忽略了矿物颗粒的细节，更注重孔隙的性质，故此使用Xu-White模型构建火山岩岩石物理模型来预测横波速度.

Xu and White（1995， 1996）考虑孔隙度、基质性质、流体和孔隙纵横比等因素，结合Gassmann流体替换方程、K-T方程和微分等效介质理论（DEM）提出了Xu-White模型. 模型的基质由砂和粘土组成，孔隙可分为具有较大孔隙纵横比的砂相关孔隙和具有较小孔隙纵横比的粘土相关孔隙. 公式表达如下：

\varphi = {\varphi }_{\mathrm{s}} + {\varphi }_{\mathrm{c}},（3）

{\varphi }_{\mathrm{s}} = f_{\mathrm{s}} \frac{\varphi }{\mathrm{1}-\varphi },（4）

{\varphi }_{\mathrm{c}} = f_{\mathrm{c}} \frac{\varphi }{\mathrm{1}-\varphi },（5）

\begin{array}{l}{K}_{\mathrm{d}}-K_{\mathrm{0}}=\\ \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\left(K_{\mathrm{1}}-K_{\mathrm{0}}\right)\frac{\mathrm{3}{K}_{\mathrm{d}}+\mathrm{4}{\mu }_{\mathrm{0}}}{\mathrm{3}{K}_{\mathrm{0}}+\mathrm{4}{\mu }_{\mathrm{0}}}{\sum }_{l=s,c} {\varphi }_{\mathrm{1}}{T}_{iijj}\left({\alpha }_{\mathrm{1}}\right)\end{array},（6）

\begin{array}{l}{\mu }_{\mathrm{d}}-{\mu }_{\mathrm{0}}=\\ \frac{\left({\mu }_{\mathrm{1}}-{\mu }_{\mathrm{0}}\right)}{\mathrm{5}}\frac{\mathrm{6}{\mu }_{\mathrm{d}}\left(K_{\mathrm{0}}+\mathrm{2}{\mu }_{\mathrm{0}}\right)+{\mu }_{\mathrm{0}}\left(\mathrm{9}{K}_{\mathrm{0}}+\mathrm{8}{\mu }_{\mathrm{0}}\right)}{\mathrm{5}{\mu }_{\mathrm{0}}\left(\mathrm{3}{K}_{\mathrm{0}}+\mathrm{4}{\mu }_{\mathrm{0}}\right)}\\ {\sum }_{l=s,c} {\varphi }_{\mathrm{1}}F\left({\alpha }_{\mathrm{1}}\right)\end{array},（7）

F ( \alpha ) = T_{ijij} ( \alpha ) - \frac{T_{iijj}(\alpha )}{\mathrm{3}},（8）

其中： \varphi、 {\varphi }_{\mathrm{s}}、 {\varphi }_{\mathrm{c}}分别为总孔隙度、砂相关孔隙度、粘土相关孔隙度； f_{\mathrm{s}}和 f_{\mathrm{c}}为砂的体积分数和粘土的体积分数，且 f_{\mathrm{s}} + f_{\mathrm{c}} = \mathrm{1} - \varphi； K_{\mathrm{d}}、 K_{\mathrm{0}}、 K_{\mathrm{1}}分别为岩石骨架、岩石矿物基质、孔隙流体的体积模量（ \mathrm{G} \mathrm{P} \mathrm{a}）； {\mu }_{\mathrm{d}}、 {\mu }_{\mathrm{0}}、 {\mu }_{\mathrm{1}}分别为岩石骨架、岩石矿物基质、孔隙流体的剪切模量（ \mathrm{G} \mathrm{P} \mathrm{a}），对于干岩石来说， K_{\mathrm{1}}和 {\mu }_{\mathrm{1}}为零， F ( \alpha )、 T_{ijij} ( \alpha )、 T_{iijj} ( \alpha )为关于孔隙纵横比 \alpha的函数.

为了避免DEM微分计算中迭代运算计算量过大的问题，Keys and Xu（2002）对Xu-White模型进行改进，利用求解一阶线性常微分方程组确定岩石骨架弹性模量，泥质砂岩干岩石骨架的弹性模量表达式如下：

K_{\mathrm{d}} = K_{\mathrm{0}} {(\mathrm{1}-\varphi )}^p,（9）

{\mu }_{\mathrm{d}} = {\mu }_{\mathrm{0}} {(\mathrm{1}-\varphi )}^q,（10）

式中： p和 q为几何因子，其关系式如下：

p = \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}} {\sum }_{l=s,c} f_l T_{iijj} \left({\alpha }_l\right),（11）

q = \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}} {\sum }_{l=s,c} f_l F \left({\alpha }_l\right),（12）

其中： f_l为相关矿物组分的体积分数.

Berryman（1980）提出了N相混合物自相容近似模型（SCA）来估计多相介质的等效弹性模量，同时给出了计算 p和 q所需的标量.

T_{iijj} \left({\alpha }_l\right) = \frac{\mathrm{3}{F}_{\mathrm{1}}}{F_{\mathrm{2}}},（13）

F \left({\alpha }_l\right) = \frac{\mathrm{2}}{F_{\mathrm{3}}} + \frac{\mathrm{1}}{F_{\mathrm{4}}} + \frac{F_{\mathrm{4}}{F}_{\mathrm{5}}+F_{\mathrm{6}}{F}_{\mathrm{7}}-F_{\mathrm{8}}{F}_{\mathrm{9}}}{F_{\mathrm{2}}{F}_{\mathrm{4}}},（14）

其中：

\begin{array}{l}{F}_{\mathrm{1}}=\\ \mathrm{1}+A\left[\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}(f+\theta )-R(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}f+\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}\theta -\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}})\right]\end{array},（15）

F_{\mathrm{2}} = \mathrm{1} + A \left[\mathrm{1}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\left(f+\theta \right)-R\left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}f+\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}\theta \right)\right] + B \left(\mathrm{3}-\mathrm{4}R\right) + \frac{A}{\mathrm{2}} \left(A+\mathrm{3}B\right) \left(\mathrm{3}-\mathrm{4}R\right) \left[f+\theta -R\left(f-\theta +\mathrm{2}{\theta }^{\mathrm{2}}\right)\right],（16）

F_{\mathrm{3}} = \mathrm{1} + A \left[\mathrm{1}-\left(f+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\theta \right)-R\left(f+\theta \right)\right],（17）

F_{\mathrm{4}} = \mathrm{1} + \frac{A}{\mathrm{4}} \left[f+\mathrm{3}\theta -R\left(f-\theta \right)\right],（18）

\begin{array}{l}{F}_{\mathrm{5}}=\\ A\left[-f+R\left(f+\theta -\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}\right)\right]+B\theta \left(\mathrm{3}-\mathrm{4}R\right)\end{array},（19）

F_{\mathrm{6}} = \mathrm{1} + A \left[\mathrm{1}+f-R\left(f+\theta \right)\right] + B \left(\mathrm{1}-\theta \right) \left(\mathrm{3}-\mathrm{4}R\right),（20）

\begin{array}{l}{F}_{\mathrm{7}}=\mathrm{2}+\\ \frac{A}{\mathrm{4}}\left[\mathrm{3}f+\mathrm{9}\theta -R\left(\mathrm{3}f+\mathrm{5}\theta \right)\right]+B\theta \left(\mathrm{3}-\mathrm{4}R\right)\end{array},（21）

F_{\mathrm{8}} = A \left[\mathrm{1}-\mathrm{2}R+\frac{f}{\mathrm{2}}\left(R-\mathrm{1}\right)+\frac{\theta }{\mathrm{2}}\left(\mathrm{5}R-\mathrm{3}\right)\right] + B \left(\mathrm{1}-\theta \right) \left(\mathrm{3}-\mathrm{4}R\right),（22）

F_{\mathrm{9}} = A \left[\left(R-\mathrm{1}\right)f-R\theta \right] + B \theta \left(\mathrm{3}-\mathrm{4}R\right).（23）

上式中部分参数由下式求出：

A = \frac{{\mu }_{\mathrm{j}}}{{\mu }_{\mathrm{m}}} - \mathrm{1}，B = \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}} \left(\frac{K_{\mathrm{j}}}{K_{\mathrm{m}}}-\frac{{\mu }_{\mathrm{j}}}{{\mu }_{\mathrm{m}}}\right)，

R = \frac{\mathrm{3}{\mu }_{\mathrm{m}}}{\mathrm{3}{K}_{\mathrm{m}}+\mathrm{4}{\mu }_{\mathrm{m}}}，

\theta = \frac{\alpha }{{\left(\mathrm{1}-{\alpha }^{\mathrm{2}}\right)}^{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}}} \left[\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha -\alpha {\left(\mathrm{1}-{\alpha }^{\mathrm{2}}\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right]，f = \frac{{\alpha }^{\mathrm{2}}}{\mathrm{1}-{\alpha }^{\mathrm{2}}} \left(\mathrm{3}\theta -\mathrm{2}\right),

其中： K_{\mathrm{j}}和 {\mu }_{\mathrm{j}}分别为各矿物组分的体积模量（ \mathrm{G} \mathrm{P} \mathrm{a}）和剪切模量（ \mathrm{G} \mathrm{P} \mathrm{a}）， K_{\mathrm{m}}和 {\mu }_{\mathrm{m}}分别为矿物基质的体积模量（ \mathrm{G} \mathrm{P} \mathrm{a}）和剪切模量（ \mathrm{G} \mathrm{P} \mathrm{a}）.

岩石物理模型将岩石的微观结构和成分与整体属性联系在一起，描述了岩石内部属性对外在弹性属性的影响. 地震波在均匀、各向同性弹性介质中，波速可以用岩石体积模量、剪切模量和密度来表示：

V_p = \sqrt[]{\frac{\left(K_{\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{t}}+\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}{\mu }_{sat}\right)}{{\rho }_{\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{t}}}},（24）

V_s = \sqrt[]{\frac{{\mu }_{\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{t}}}{{\rho }_{\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{t}}}},（25）

其中： K_{\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{t}}和 {\mu }_{\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{t}}为流体饱和岩石体积模量（ \mathrm{G} \mathrm{P} \mathrm{a}）和剪切模量（ \mathrm{G} \mathrm{P} \mathrm{a}）， {\rho }_{sat}为流体饱和岩石密度（ \mathrm{g} / \mathrm{c} {\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}）， V_p、 V_s为流体饱和岩石的纵、横波速度（ \mathrm{k} \mathrm{m} / \mathrm{s}）.

Gassmann流体替换方程（Gassmann，1951）可以通过一种流体饱和岩石速度预测另外一种流体饱和岩石速度，同样也可以用岩石骨架速度预测流体饱和岩石速度，其关系式如下：

\frac{K_{\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{t}}}{K_{\mathrm{0}}-K_{\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{t}}} = \frac{K_{\mathrm{d}}}{K_{\mathrm{0}}-K_{\mathrm{d}}} + \frac{K_{\mathrm{1}}}{\varphi \left(K_{\mathrm{0}}-K_{\mathrm{1}}\right)},（26）

{\mu }_{\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{t}} = {\mu }_{\mathrm{d}},（27）

其中： K_{\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{t}}和 {\mu }_{\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{t}}为流体饱和岩石体积模量（ \mathrm{G} \mathrm{P} \mathrm{a}）和剪切模量（ \mathrm{G} \mathrm{P} \mathrm{a}）.

Xu-White模型中流体饱和岩石的密度由以下公式给出：

{\rho }_{\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{t}} = ( \mathrm{1} - \varphi ) {\rho }_{\mathrm{0}} + \varphi {\rho }_{\mathrm{f}},（28）

{\rho }_{\mathrm{0}} = f_{\mathrm{s}} {\rho }_{\mathrm{s}} + f_{\mathrm{c}} {\rho }_{\mathrm{c}},（29）

{\rho }_{\mathrm{f}} = \left(\mathrm{1}-S_{\mathrm{w}}\right) {\rho }_{\mathrm{g}\mathrm{a}\mathrm{s}} + S_{\mathrm{w}} {\rho }_{\mathrm{w}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}},（30）

其中： {\rho }_{\mathrm{0}}和 {\rho }_{\mathrm{f}}分别为矿物基质的密度和饱和流体的密度（ \mathrm{g} / \mathrm{c} {\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}）； S_{\mathrm{w}}为含水饱和度； {\rho }_{\mathrm{s}}、 {\rho }_{\mathrm{c}}、 {\rho }_{\mathrm{g}\mathrm{a}\mathrm{s}}和 {\rho }_{\mathrm{w}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}}分别为砂、粘土、气和水的密度（ \mathrm{g} / \mathrm{c} {\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}）.

Hill平均（Hill，1952）可以在不考虑矿物几何形状的条件下计算基质矿物的模量：

M_{\mathrm{H}} = \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \left({\sum }_{i=\mathrm{1}}^N f_i{M}_i+\frac{\mathrm{1}}{{\sum }_{i=\mathrm{1}}^N \frac{f_i}{M_i}}\right),（31）

其中： i为基质中某一矿物； M_i为矿物所对应的模量（ \mathrm{G} \mathrm{P} \mathrm{a}）； f_i为矿物所对应的体积分数， M_{\mathrm{H}}为Hill有效模量（ \mathrm{G} \mathrm{P} \mathrm{a}）.

Wood公式（Wood，1956）可以计算孔隙流体混合物的等效模量，如下：

\frac{\mathrm{1}}{K_f} = {\sum }_{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{N}} \frac{f_i}{K_i},（32）

其中： f_i ， K_i分别为流体组分的体积分数和体积模量（ \mathrm{G} \mathrm{P} \mathrm{a}）.

当给定火山岩中砂、粘土和孔隙的体积分数、密度和固有模量，砂相关孔隙纵横比，先利用Hill平均计算矿物基质模量，通过Xu-White模型计算出岩石的骨架模量，再利用Wood公式计算孔隙流体模量，通过Gassmann流体替换方程计算出流体饱和岩石的弹性模量，最后利用速度方程计算出饱和岩石的横、纵波速度.

2 Xu-White模型中影响岩石速度性质的关键岩石物理参数

常规测井资料中仅有部分测井曲线，如密度、速度、孔隙度、粘土含量和含水饱和度等，矿物组分信息往往缺失. 基于经验公式法预测横波速度是直接建立测井曲线与纵、横波速度间的关系进行求取，而基于岩石物理模型预测横波速度时需要更多的细节. 利用Xu-White模型预测横波速度时通常进行简化，假定了模型中砂、粘土的性质不随深度变化，其物性参数是通过实验或经验得出的常数，这使得在缺失矿物组分信息的条件下预测岩石速度成为可能. 但实际岩石中矿物基质的性质、孔隙度和孔隙纵横比等随深度的变化而改变，视为常数对横波速度预测的准确性造成很大影响.

Xu-White模型中砂的纵、横波速度可以通过时间平均公式来求取（Xu and White，1995， 1996），公式如下：

K_{\mathrm{0}} = {\rho }_{\mathrm{0}} \left[\frac{\mathrm{1}}{{\left(T_{\mathrm{0}}^{\mathrm{P}}\right)}^{\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}{\left(T_{\mathrm{0}}^{\mathrm{S}}\right)}^{\mathrm{2}}}\right],（33）

{\mu }_{\mathrm{0}} = {\rho }_{\mathrm{0}} \left[\frac{\mathrm{1}}{{\left(T_{\mathrm{0}}^{\mathrm{S}}\right)}^{\mathrm{2}}}\right],（34）

T_{\mathrm{0}}^{\mathrm{P}} = \left(\mathrm{1}-f_{\mathrm{c}}^{\mathrm{\text{'}}}\right) T_{\mathrm{s}}^{\mathrm{P}} + f_{\mathrm{c}}^{\mathrm{\text{'}}} T_{\mathrm{c}}^{\mathrm{P}},（35）

T_{\mathrm{0}}^{\mathrm{S}} = \left(\mathrm{1}-f_{\mathrm{c}}^{\mathrm{\text{'}}}\right) T_{\mathrm{s}}^{\mathrm{S}} + f_{\mathrm{c}}^{\mathrm{\text{'}}} T_{\mathrm{c}}^{\mathrm{S}},（36）

f_{\mathrm{c}}^{\mathrm{\text{'}}} = \frac{f_{\mathrm{c}}}{\mathrm{1}-\varphi },（37）

{\rho }_{\mathrm{0}} = \left(\mathrm{1}-f_{\mathrm{c}}^{\mathrm{\text{'}}}\right) {\rho }_{\mathrm{s}} + f_{\mathrm{c}}^{\mathrm{\text{'}}} {\rho }_{\mathrm{c}},（38）

其中： T_{\mathrm{0}}^{\mathrm{P}}、 T_{\mathrm{s}}^{\mathrm{P}}和 T_{\mathrm{c}}^{\mathrm{P}}分别为基质、砂和粘土的纵波传播时间（ \mathrm{s}）； T_{\mathrm{0}}^{\mathrm{S}}、 T_{\mathrm{s}}^{\mathrm{S}}和 T_{\mathrm{c}}^{\mathrm{S}}分别为基质、砂和粘土的横波传播时间（ \mathrm{s}），传播时间是速度的倒数； f_{\mathrm{c}}^{\mathrm{\text{'}}}为归一化的粘土体积分数.

如图1所示，给出了Xu-White模型中不同砂的速度下岩石的纵、横波速度. 结果表明，岩石速度受基质中砂的速度影响较大，常规Xu-White模型中简化砂的速度性质会导致横波速度预测的误差.

在Xu-White模型中，孔隙度和孔隙纵横比被认为是影响岩石性质的主要因素. 砂相关孔隙和粘土相关孔隙的性质不同，在常规Xu-White模型中采用固定的孔隙纵横比，砂相关孔隙纵横比（ {\alpha }_{\mathrm{s}}）为0.10~0.12，粘土相关孔隙纵横比（ {\alpha }_{\mathrm{c}}）为0.03~0.04，其中粘土颗粒倾向于形成较小纵横比的孔隙（Xu and White，1995， 1996）. 如图2，3所示，给出了Xu-White模型在不同性质孔隙、不同孔隙纵横比下模拟的岩石纵、横波速度. 结果表明，两种性质的孔隙结构对岩石速度均有影响，岩石速度随孔隙度的增加而减小，随孔隙纵横比的增加而增大，但砂相关孔隙纵横比对岩石速度不敏感，反观粘土相关孔隙纵横比对其影响较大. 因此，在求取砂相关孔隙纵横比时，可采用Pillar et al.（2007）给出的砂相关孔隙纵横比（ {\alpha }_{\mathrm{s}}）的计算公式：

{\alpha }_{\mathrm{s}} = \mathrm{0.171} \mathrm{14} - \mathrm{0.244} \mathrm{77} \varphi + \mathrm{0.004} \mathrm{314} f_{\mathrm{c}},（39）

其中： {\alpha }_{\mathrm{s}}为砂相关孔隙纵横比； \varphi为总孔隙度； f_{\mathrm{c}}为粘土的体积分数.

结合前人的研究成果（Ruiz and Dvorkin，2010；白俊雨等，2012；Zhang et al.，2020）和文中对模型参数的分析，发现基质中砂的速度、孔隙度和粘土相关孔隙的纵横比对岩石速度影响最大，可以作为Xu-White模型中影响岩石速度性质的关键岩石物理参数.

3 基于统计学岩石物理模型的火山岩横波速度预测方法

3.1　统计学岩石物理模型的先验信息

先验信息指研究区域的实际数据、经验信息和试验结果等. 常规的横波速度预测方法，使用的某些物性参数是由先验信息转化得到的常数，但大量的先验信息经统计后会表现出特定的统计学特征. 统计学岩石物理方法（Bachrach，2006；Grana and Della Rossa，2010；Yuan et al.，2016；张冰等，2018）的提出解决了上述先验信息的利用问题，该方法已被应用于储层特征描述等研究，不仅可以得到了较好的反演结果，而且提供了一些统计学信息. 在横波速度预测过程中可将先验信息的统计学特征融入岩石物理模型，利用先验信息建立关键物性参数分布，并将其应用于目标参数反演过程.

因实际测井资料受井位条件、采集技术和成本等条件限制，目标区内往往仅有少数井位或部分井段具有准确且完整的测井资料和矿物组分信息. 先验信息是建立关键岩石物理参数分布的必要信息，因此这些高质量井位或井段资料可作为先验信息，称为参考井. 参考井信息内容丰富，包括纵、横波速度、矿物信息、密度和孔隙度等.

3.2　横波速度预测流程

本文提出了一种基于统计学岩石物理模型的横波速度预测方法. 该方法以Xu-White模型为基础，以严重影响岩石速度且无法从常规测井资料中获取的参数作为关键岩石物理参数，结合先验信息形成关键岩石物理参数的先验分布，根据文中上述分析结果，明确了砂的纵波速度、砂的横波速度和粘土相关孔隙纵横比是Xu-White模型中影响岩石速度的关键岩石物理参数. 其中，砂相关孔隙纵横比和砂的速度可由上述公式（33~39）求取，粘土相关孔隙纵横比（ {\alpha }_{\mathrm{c}}）利用如下公式计算：

{\alpha }_{\mathrm{c}} = \mathrm{a} \mathrm{r} \mathrm{g} \mathrm{m} \mathrm{i} \mathrm{n} \left(\left|\frac{{\tilde{V}}_{\mathrm{p}}-V_{\mathrm{p}}}{V_{\mathrm{p}}}\right|+\left|\frac{{\tilde{V}}_{\mathrm{s}}-V_{\mathrm{s}}}{V_{\mathrm{s}}}\right|\right),（40）

其中： {\tilde{V}}_{\mathrm{p}}和 {\tilde{V}}_{\mathrm{s}}是利用Xu-White模型模拟的纵波速度（ \mathrm{k} \mathrm{m} / \mathrm{s}）和横波速度（ \mathrm{k} \mathrm{m} / \mathrm{s}）.

由此，该方法利用参考井的先验信息得到关键岩石物理参数的先验分布，并用其代替常数初始化Xu-White模型进而构建统计学岩石物理模型. 贝叶斯反演框架可以在反演过程中将先验分布和统计模型结合，并已应用于地球物理反演问题（Mollajan et al.，2019）. 因此，在贝叶斯反演框架下，将关键岩石物理参数的先验分布融入到反演过程中，结合统计学模型，以目标井的纵横波速度为约束，反演出目标井的关键岩石物理参数的后验分布，其目标函数如下：

m = \mathrm{a} \mathrm{r} \mathrm{g} \mathrm{m} \mathrm{a} \mathrm{x} \left[P\left(m\mid V_{\mathrm{p}}\right)\right],（41）

P \left(m\mid V_{\mathrm{p}}\right) \propto P \left(V_{\mathrm{p}}\mid m\right) P ( m ) = N \left(V_{\mathrm{p}};\widetilde{V_{\mathrm{p}}},{\mathrm{V}}_{\mathrm{1}}\right) N \left(m;\mathrm{E},{\mathrm{V}}_{\mathrm{2}}\right),（42）

其中： m为 V_{\mathrm{p}\_\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}}、 V_{\mathrm{s}\_\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}}和 {\alpha }_{\mathrm{c}}三参数组成的向量； P ( \cdot )为概率函数； N ( \cdot )为正态分布的概率； V_{\mathrm{1}}为 V_{\mathrm{p}}中噪声的方差； V_{\mathrm{2}}为协方差矩阵； E为三参数期望值组成的向量.

为了解决反演问题中的非线性目标函数，可以采用全局优化算法进行求解. 模拟退火粒子群算法（SA-PSO）是一种基于模拟退火思想的全局优化算法，可有效改善传统粒子群算法中局部寻优能力，能解决反演中非线性目标函数求解问题，已被应用于储层描述的非线性反演问题（刘财等，2017；乔汉青，2017）. 因此，将其应用于求解目标函数，通过搜索参数 m的最优解，使后验分布 P \left(m\mid V_{\mathrm{p}}\right)最大. 最后，利用目标井关键岩石物理参数的后验分布和统计学岩石物理模型预测目标井的横波速度信息.

图4为基于统计学岩石物理模型的横波速度预测工作流程，首先通过参考井的先验信息计算出Xu-White模型下关键岩石物理参数的先验分布；然后利用先验分布初始化Xu-White模型构建统计学岩石物理模型；再次在贝叶斯反演框架下，反演出目标井在模型下关键岩石物理参数的后验分布；最后利用后验分布和统计学岩石物理模型预测目标井的横波速度信息.

4 实例分析

4.1　实际井位资料

本文选取中国东部南堡凹陷5号构造实际井位测井资料进行研究. 研究区域位于渤海湾盆地黄骅坳陷北部南堡凹陷西南庄断层下降盘，主要储层为下第三系沙河街组的火山熔岩，中间夹不等厚火山碎屑岩，其分布范围广、厚度大（张丽华，2009；张丽华等，2010；朱学娟，2011）.

图5给出了参考井的测井曲线和矿物组分信息，测井曲线包括伽马射线（ G R）、纵波速度（ V_{\mathrm{p}}）、横波速度（ V_{\mathrm{s}}）、密度（ \rho）、孔隙度（ \varphi）和含水饱和度（ S_{\mathrm{w}}）. 其中，纵、横波速度呈正相关与伽马射线值呈负相关，孔隙度较低符合火山熔岩岩石物理特征. 参考井的矿物组分信息中岩浆包裹体（SMI）组成成分对岩石物性影响很大，经文献调研（王建伟等，2019），该井位中的岩浆包裹体（SMI）主要成分是长石，故模型采用长石的物性参数（模量、密度）替换岩浆包裹体（SMI）进行等效计算，组分信息均通过测井资料和岩心数据得出，矿物和孔隙流体的模量和密度见表1，图6给出了目标井的测井曲线，两口井的井深相似、距离较近，但目标井缺失矿物组分信息.

4.2　不同方法预测结果与讨论

为了验证本文方法的可行性和准确性，文中将利用基于Han经验公式法（Han，1986）、基于常规Xu-White模型方法（白俊雨等，2012）和基于统计学岩石物理模型方法对目标井进行横波速度预测，采用均方差（MSE）和相关系数（ r）进行定量评价，评价公式如下：

\mathrm{M} \mathrm{S} \mathrm{E} = \frac{\mathrm{1}}{N} {\sum }_{i=\mathrm{1}}^N {\left({\tilde{V}}_i-V_i\right)}^{\mathrm{2}}，（43）

r = \frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}(\tilde{V},V)}{\sigma \tilde{V}\sigma V}，（44）

其中： i为深度点位； {\tilde{V}}_i和 V_i为预测速度（ \mathrm{k} \mathrm{m} / \mathrm{s}）和实际速度（ \mathrm{k} \mathrm{m} / \mathrm{s}）； N为深度点位总数； \mathrm{c} \mathrm{o} \mathrm{v} ( \cdot )为协方差； \sigma为速度的标准偏差.

在利用基于统计学岩石物理模型预测目标井横波速度时，首先在Xu-White模型下，利用参考井的测井信息，反演出参考井中砂的纵波速度（ V_{\mathrm{p}\_\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}}）、砂的横波速度（ V_{\mathrm{s}\_\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}}）和粘土相关孔隙纵横比（ {\alpha }_c）并形成3个关键岩石物理参数的统计学先验信息，如图7所示，并以此建立用于后续过程的先验分布；其次，利用关键岩石物理参数的先验分布初始化Xu-White模型构建统计学岩石物理模型；再次，利用目标井的已知测井信息，通过公式（28~30，39）分别计算出目标井中砂的密度和砂相关孔隙纵横比（ {\alpha }_s）；然后，利用贝叶斯反演框架，在统计学岩石物理模型下，结合参考井的先验分布和目标井的已知信息，求解目标函数（公式41~42），反演出目标井的关键岩石物理参数的后验信息，如果8所示；最后，利用目标井的岩石物理参数的后验分布和统计学岩石物理模型计算出目标井的横波速度.3种方法的横波速度预测结果如图9所示，其定量评价结果如表2所示.

其中，基于Han经验公式的预测结果如图9绿色实线所示，该方法是由大量实际数据拟合构建的方程，因此预测结果表现出全局误差较小并具有较好的相关性，但在地层变化的特殊井段会存在局部误差较大的情况，如图中4 950~4 965 m. 基于常规Xu-White模型预测结果如图9蓝色实线所示，该方法比基于Han经验公式的预测结果具有更好的相关性，全局误差得到有效改善，横波速度预测结果大幅提升，因为目标井的粘土相关孔隙纵横比（ {\alpha }_c）是在实际纵波速度约束下反演得到的，砂相关孔隙纵横比（ {\alpha }_s）由孔隙度和砂的体积分数计算得出，但岩浆包裹体（SMI）中矿物组分无法准确给出，使得参考井提供砂的先验信息存在偏差，导致结果与实际数据仍有较大误差，如图中4 946~4 960 m、4 985~4 990 m. 基于统计学岩石物理模型的预测结果为最佳，如图9红色实线所示，该方法考虑了岩石性质随井位深度变化造成的影响，以参考井的先验分布利用贝叶斯理论对3个关键岩石物理参数进行反演，过程中未使用过多计算所需的经验公式，在缺失矿物组分信息的条件下，得出了目标井横波速度预测所需的参数，有效减小了人为误差，其预测结果与实际数据拟合程度高，全局误差和局部误差均得到有效降低，相关性进一步提升，较上述两种方法预测结果的准确性大幅提高，验证了本文方法应用于火山岩储层测井区域横波速度预测的可行性和准确性.

5 结论

本文提出了一种基于统计学岩石物理模型的火山岩储层横波速度预测方法. 文中给出了统计学岩石物理模型的构建细节，同时总结了统计学岩石物理模型横波速度预测的工作流程，该方法适用于测井信息丰富的少数井，也适用于仅有常规测井信息的井位. 本文方法利用关键岩石物理参数的先验分布初始化Xu-White模型构建统计岩石物理模型，模型更适用于火山熔岩区的井位，在贝叶斯反演框架下，结合目标井关键岩石物理参数的后验分布和统计岩石物理模型预测出火山岩储层的横波速度信息，通过与常规预测方法的预测结果相对比，验证了本文方法能有效提升预测结果精度，同时解决常规方法所需过多测井信息的问题.

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基金资助

中国地质调查项目(DD20221638)

中国地质调查局基本科研项目(AS2022J04)

中国地质调查局基本科研项目(AS2020J02)

中国地质调查局基本科研项目(AS2020P01)