Stacking集成策略下的径向基函数曲面复杂矿体三维建模方法

Complex Orebody 3D Modeling Using Radial Basis Function Surface Incorporating Stacking Integration Strategy

摘要

建立三维矿体模型是数字矿山、智慧矿山的基础.针对经典径向基函数曲面重建算法在原始数据稀疏时出现曲面边界自拟合及模型不连续现象，提出了一种集成多种机器学习模型的径向基函数曲面复杂矿体三维建模方法.该方法利用Stacking模型学习矿体轮廓线离散化点云数据的分布特征，建立表征矿体模型几何信息的有向点集；在此基础上提取边界点及法向量，通过Hermite型径向基函数建立隐式场，最后基于行进四面体算法建立三维矿体模型.与轮廓线拼接法、经典径向基函数曲面重建算法、简单克里金插值法相比，该方法能够有效减少曲面边界自拟合现象，减少模型多余孔洞，提高模型的连续性；建立的模型所切轮廓线与原始轮廓线相似度达75.14%，与人工干预程度较高的显式模型相当；在体积表征上与显式模型的差距达到最低.

关键词

复杂矿体建模 / 隐式建模 / Stacking集成策略 / 机器学习 / 径向基函数 / 三维建模

Key words

complex orebody modeling / implicit modeling / Stacking integration strategy / machine learning / radial basis function / 3D modeling

三维矿体建模是利用地下勘探数据对矿产资源的几何形态和属性分布进行三维重建（吴立新等， 2012； 李章林等， 2013），对梳理成矿系统、评估矿体资源储量、预测深部矿体靶区等一系列矿产资源勘探流程有重要意义（张申等， 2007； Calcagno et al.， 2008）.然而，由于地下矿体的不可见性以及勘探数据的稀疏性等原因，如何快速建立准确、合理的三维矿体模型一直是研究热点（Guo et al.， 2020； 张夏林等， 2020； Shi et al.， 2021）.

按照建模过程及数学原理分类，建模方法可以分为显式建模和隐式建模（郭甲腾等， 2016）.显式建模是在建模软件等三维可视化环境下，利用建模数据源原始点位及特征线进行插值，通过人机交互连接边界线建立矿体表面，并最终构建三维矿体模型（Apel， 2006）.常见的显式建模方法是基于序列勘探线剖面的矿体轮廓线连接法，在MapGIS、GOCAD、Surpac、3DMine、QuantyPES等国内外三维矿体建模软件中被普遍采用（周洁等， 2017； 耿瑞瑞等， 2020； 黄超等， 2021；邰文星等，2023）.但显式建模方法通常需要较多地人机交互，当矿体形态复杂时，该建模方法效率低、难度大等局限性将不可忽视（Wang et al.， 2018a）.更重要的是，显式建模结果往往存在大量拓扑错误，且构建的模型表面粗糙、棱角尖利，可视化效果较差.尽管该方法便于融入建模者的经验，但受建模人员的经验以及认知水平差异影响，建模结果往往存在一定的主观性、不确定性和多解性，同时模型的实时更新较为困难.隐式建模是基于空间离散采样数据，利用空间插值建立地质体表面几何形态的隐式表达（f（x， y， z）=0），形成空间隐式场，进而使用图形显式化采样方法（移动立方体算法、行进四面体算法）建立三维模型（Calcagno et al.， 2008）.因其建模速度快、不需要人工交互、实时动态建模等特点近年来被广泛应用于地层建模、矿体建模（毕林等， 2018； Wang et al.， 2018a）.隐式建模方法的关键在于选择合适的空间插值算法，以构建符合地质认知的隐式函数表达（Macêdo et al.， 2011）.常见的插值算法包括：克里金插值（李晓军等， 2008）、距离反比插值（Liu et al.， 2021）、离散光滑插值（许国和王长海， 2013）、机器学习插值（Jia et al.， 2021）、径向基函数插值（Zhong et al.， 2019）等.其中，克里金插值、距离反比插值、离散光滑插值等传统插值方法需要假定输入数据横向和纵向分布均匀合理（Smirnoff et al.， 2008），对于轮廓线数据而言，其数据分布特征导致只能控制单一方向模型形态，难以适用于传统插值方法.机器学习插值能够利用多种数据但较适用于层间分明的地层建模（郭甲腾等， 2019），对于矿体建模来说，通过机器学习插值得到的表面较为突兀.径向基函数插值是以相对于采样点欧式距离为自变量构造地质体的曲面函数表达，能够受到数据的强约束，充分利用采样点位置自身的场效应，较好地拟合矿体轮廓线.但该方法通常需要密集均匀的数据，在轮廓线数据稀疏时，利用径向基插值会导致模型内部出现孔洞和模型边界不连续现象（郭甲腾等， 2016）.

本文针对径向基函数曲面建模方法在矿体水平方向上需要均匀数据问题，提出了一种基于Stacking集成策略（stacked generalization）的径向基曲面复杂矿体建模方法.首先针对形态复杂且轮廓线稀疏分布不均的建模区域，通过Stacking集成策略建立有向空间点云数据集，增强了几何特征，降低采用径向基插值方法时对原始数据质量的高要求；其次提取边界点和法向量组成点对数据，利用点对数据解析Hermite型径向基隐函数，计算出建模区域格网节点函数值；最终利用行进四面体算法（marching tetrahedron， MT）可视化得到三维矿体模型.实验表明，本文提出的方法能够有效利用矿体轮廓线的属性和几何特征，在减少人工参与的情况下，快速建立出高质量的复杂三维矿体模型.

1 建模算法原理

1.1　Stacking算法原理

Stacking是一种集成学习算法（Wolpert， 1992），它由多个单一的基分类器及一个元分类器组成.基分类器的预测结果可以作为元分类器的训练数据，能充分利用每个单一分类器的性能.该方法可以有效提高训练效果，可用作建立反映矿体形态特征的空间点云数据集.

Stacking中各基分类器训练效果越相似且关联程度越低，训练效果越好，它能将多个不同的基分类器结合起来，提高泛化能力及训练效果.在以往的研究中，随机森林（random forest， RF）、K邻近算法（K-Nearest Neighbor， KNN）、XGBOOST、神经网络等机器学习方法被学者们广泛应用到岩层识别、矿物勘探及矿床分类等方面（Rodriguez-Galiano et al.， 2015； Wang et al.， 2018b； Sun et al.， 2021； 丰超等， 2023）.经过不同分类器的性能测试，针对矿体轮廓线数据，本文Stacking中第一层基分类器采用RF、KNN及XGBoost，第二层元分类器采用XGBoost.具体的分类器集成训练方法见2.2小节.

RF（Zhang et al.， 2021）通过构建多个决策树来决定点云的属性类别，多个决策树随机抽取不同维度的特征对空间三维点数据进行分类，共同投票来决定三维点属性为矿体或岩石，经过参数搜索，决策树数量ntree设置为300.RF能够有效处理高维数据，能收敛于更小的泛化误差，且训练效率高.并且在训练过程中能够检测特征间的相互影响.特别的，对于不平衡的数据集来说，它可以有效平衡误差.对于密集的空间点云数据而言，该方法具备很好适应性.

KNN（Zhangand Zhou， 2007）是通过计算待分类三维点和附近k个三维点的距离来决定待分类三维点的属性.距离计算函数选择欧几里得距离d（A， B）=［（x _{1 a－}x _{1 b} ）²+（x _{2 a－}x _{2 b} ）²+（x _{3 a－}x _{3 b} ）²］^1/2，其中A、B为待计算点，x_ia 、x_ib 为A、B的第i个特征值.对于本研究而言，KNN的距离计算策略与三维点之间的距离计算相符合，能够很好地对空间点之间的关系进行推理，使得结果更加符合地理认知.

XGBOOST（Chen and Guestrin， 2016）面对轮廓线离散化的点云数据，利用不断的迭代累加得到最终的结果.迭代方式如下：F_m （x_i ）=F_{m -1}（x_i ）+ f_m （x_i ），其中F_m （x_i ）为当前计算模型，F_{m -1}（x_i ）为当前已经累加的m-1个模型，f_{m -1}（x_i ）为当前子模型. XGBOOST基于改进的梯度提升算法，通过加入正则项能够有效解决训练过程中由于稀疏轮廓线数据而产生的过拟合现象.模型内置的稀疏感知策略、并行化策略能够有效处理缺失值，显著提高训练效率.

1.2　Hermite型径向基算法原理

径向基函数曲面是根据采样点坐标以及其内外属性，构建一系列径向基函数组成曲面表达函数，通过计算空间格网节点函数值，提取零值点得到的三维空间曲面.面对具有空间相关性的地下采样数据，Hermite型径向基函数（Hermite radial basis function， HRBF）通过计算属性未知节点与采样点的欧氏距离，结合曲面法向量构建隐式场（Macêdo et al.， 2011），如图1所示.构建过程既考虑了所有采样点，又兼顾了局部支持函数，因此能够重建出复杂矿体模型的光滑表面及局部细节.故本文采用HRBF作为建模方法的基础算法.

HRBF通过计算具体三维空间节点的函数值区分三维空间节点的位置，如式（1）所示.基函数包括高斯曲面函数、多项式函数、线性函数、立体方曲面函数，面对实际矿体轮廓线采样点特征，选择了立体方曲面函数作为基函数（ψ（x）=t ³）.具体Hermite型径向基函数表达形式如式（2）~式（4）：

,（1）

其中，x_i 为建模区域内三维空间节点.

f ( x ) = {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{0}}^n} \left\{{\alpha }_i\psi (x_i-x_j)-[{\beta }_i,\nabla \psi (x_i-x_j)]\right\}，（2）

其中，ψ（x_i， x_j ）=［（x_{i 1} - x_{j 1}）²+（x_{i 2} - x_{j 2}）²+（x_{i 3} - x_{j 3}）²］^3/2为距离三次方的径向基函数；x_i， x_j ∈R ³为空间离散点；α_i 、β_i 为待求解的隐函数系数，可由以下公式求解：

\left\{\begin{array}{c}f(x_j)={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{0}}^n}\left\{{\alpha }_j\psi (x_i-x_j)-[{\beta }_i,\nabla (x_i-x_j)]\right\}=\mathrm{0}\\ \nabla f(x_j)={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}\left\{{\alpha }_j\nabla \psi (x_i-x_j)-H\psi (x_i-x_j){\beta }_i=n_j\right\}\end{array}\right.，（3）

其中，n_j 为边界点对应的法向量，表现为n_x、 n_y、 n_z、H为Hessian算子，可以由以下公式计算：

H_{i,j} = \frac{{\partial }^{\mathrm{2}}}{{\partial }_{x_i}{\partial }_{x_j}} .（4）

2 基于Stacking集成策略的隐式三维模型构建流程

本文方法步骤如图2所示，主要由3个步骤组成.（1）轮廓线离散化并构建数据集（2.1小节），（2）Stacking集成策略模型训练（2.2小节），（3）径向基函数曲面建立三维模型（2.3小节）.

2.1　数据集构建

首先将原始轮廓线进行离散化，建立点云样本集.离散化流程见图3，将位于轮廓线内部点云和外部点云分别标记为矿体（l=+1）与岩石（l=0），建立点云样本集 \left\{(x_{\mathrm{1}},l_{\mathrm{1}}),(x_{\mathrm{2}},l_{\mathrm{2}}),...,(x_n,l_n),\right\} , x_i \in R^{\mathrm{3}} ( i = \mathrm{1,2} , . . . , n ) , l \in \{ + \mathrm{1,0} \}，如图4所示.

此外，为了减少点云样本集中样本特征差异对训练的影响，加快模型收敛速度，保证原始样本特征分布情况，采用线性函数归一化方法（式5）对点云样本集数据进行归一化.

x \mathrm{\text{'}} = \frac{x-x_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}}{x_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}-x_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}},（5）

其中x'为归一化后的值；x为待归一化的值；x _min为数据集中最小值；x _max为数据集中最大值.

2.2　Stacking集成策略模型架构

在训练模型之前，需要选择模型最佳参数.本文采用5折交叉验证方法对每个基分类器进行模型训练，避免过拟合，以获得最优参数，如图5所示.对于第一层3个基分类器需要利用划分为5份的训练集，每个基分类器选取其中任意4份进行训练，来预测剩下的1份数据，第一层3个分类器都训练5次，第二层利用第一层的输出训练1次，故本文Stacking算法共需要训练16个机器学习模型.为了提高超参数的选取效率，本文采用Scikit-Learn机器学习包中的网格搜索法（GridSearchCV）对每个模型在预设的参数范围内进行参数寻优（Pedregosa et al.， 2012）.

将2.1小节中提供的点云数据集保留正负样本比例的情况下分割为训练集（80%）和测试集（20%），利用训练集训练所有的基分类器，利用基分类器的输出作为新的数据特征训练元分类器.具体Stacking算法流程如图6所示.

利用Stacking模型建立矿体空间区域内的点云数据集，为了提高横向约束力，减少孔洞及不连续现象.根据轮廓线数据分布情况，在建模区域内按照指定间隔利用Stacking模型建立待分类点云平面，保证指定间隔内有点云数据控制矿体形态，进而在整个建模区域内建立均匀密集、能够反映矿体形态特征的点云数据集.相对于原始轮廓线数据，重新建立的点云数据集增强了横向几何约束，能够有效减少模型的不连续现象.

2.3　径向基函数曲面矿体建模

通过Hermite型径向基函数构建三维矿体模型主要包括两部分，首先进行边界点提取及其对应法向量计算，然后构建矿体隐式场及隐式场可视化，最终建立三维矿体模型.

2.3.1　边界点提取及法向量计算

本文将空间点云数据集按照10 m为间隔提取边界点，同时，采用基于K-近邻搜索局部表面拟合的PCA法（宣伟等， 2019）（式（6）和式（7））提取边界点数据所对应的法向量，将空间点云数据集转化为表征矿体形态的有向数据集，所提取的法向量方向均指向矿体品位高的地方.

p ( n , d ) = \underset{(n,d)}{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}} {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^k} (n\times p_i{-d)}^{\mathrm{2}}，（6）

其中，n为局部表面p的法向量；d为坐标原点到局部表面p的距离.求解过程可以转化为对局部领域协方差矩阵C进行特征值分解，C的最小特征值对应的特征向量即为p_i 点对应的法向量，协方差矩阵C如式（7）所示.

C = \frac{\mathrm{1}}{n} {\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n} (p_{ij}-\overline{p_i})\times (p_{ij}{-\overline{p_i})}^{\mathrm{T}}，（7）

其中，n为采样点p_i 临近点个数； \overline{p_i}为p_i 局部表面的重心.设定C的3个特征值为λ ₁≤λ ₂≤λ ₃，则最小的特征值λ ₃所对应的特征向量即为采样点p_i 的法向量n_i .

2.3.2　隐式场构建及其可视化

根据设定的矿体模型精细程度，按照确定的格网大小将建模区域填充满立方体，采用八叉树数据结构存储三维点及其对应的法向量，解析出Hermite型径向基函数系数，建立隐式场（图7）.此时，隐式场并不能够直接在计算机中显示出三维矿体模型，必须通过三维可视化算法将其转化为三维模型.行进四面体算法是渲染隐式曲面的一种方法，将空间立方体切分成6个四面体，每个四面体根据其节点属性被分割为两个子多边形，共有7种分割方式（图8），每个子多边形根据其节点属性将其表面渲染成不同颜色，最终实现隐式场可视化.

3 三维矿体建模实验分析

3.1　实验数据介绍

基于上述建模流程，针对某矿区矿体轮廓线数据开展三维矿体建模实验.实验区域共包含8条矿体轮廓线，分布在长991 m，宽823 m，高282 m的空间区域中，原始轮廓线分布及对应形态如图9所示.

3.2　矿体模型构建

在上述算法基础上，采用Python3.6、C#以及C++编程语言，结合Scikit-learn机器学习包和MapGIS10.5软件平台，利用某区域矿体轮廓线数据完成原始数据处理、Stacking模型训练、隐式场建立等，最终建立三维矿体模型.

针对该工程案例，按照上述方法对矿体轮廓线进行样本集建立；进行Stacking模型训练时，网格搜索法参数寻优区间及寻优结果见表1.完成模型训练，利用F1分数（F1-score）（王民等，2023）（表2）对Stacking集成策略模型进行评价，由F1分数可知，对于矿体类别分类结果，Stacking模型分数高出其他分类器3%以上，对于岩石类别分类结果，Stacking模型分数高出其他分类器2%以上，均达到最佳性能.由于轮廓线数据形态复杂，训练数据中表征矿体类别和岩石类别点云数据分布不均，导致Stacking预测岩石类别性能比预测矿体性能高.总体而言，Stacking集成策略模型达到了最好的分类效果.最终利用Stacking模型每隔60 m预测矿体分布点云切面，建立均匀密集的空间点云数据集（图10）.按照10 m为间隔提取边界点以及对应法向量，解析Hermite型径向基函数系数，建立12 m× 12 m×5 m为单元尺度大小的空间网格，解析空间网格节点函数值，建立隐式三维矿体模型，利用行进四面体算法完成三维矿体模型的显式化（图11）.

3.3　建模方法对比及分析

本文采用经典径向基函数曲面重建算法、显式建模方法（轮廓线拼接法）、传统插值方法（简单克里金插值）分别建立模型.从模型整体几何形态（图12）、轮廓线相似度（图13）以及模型体积（图14）三方面对不同模型的几何质量、模型产状的准确度以及矿体赋存情况进行对比分析，从而验证所提方法的有效性.

模型几何形态对比情况如图12所示.从模型整体几何形态来看，经典径向基函数曲面重建算法所建模型表面光滑，几何质量较高，较为符合真实矿体形态，但模型连续性不理想，出现曲面边界自拟合、矿体多余孔洞现象，这是因为原始数据无法提供足够的约束支撑，当计算空间格网点位函数值时，计算立体方曲面函数值过大导致将当前空间格网被分为另一部分，未形成连续整体.轮廓线拼接法模型表面突兀，较为尖锐，虽然轮廓线拼接法融入了大量专家经验，但它是一种“硬”拼接方法，导致模型过渡性差、表面形态不理想.简单克里金方法模型表面形态较为光滑，但由于相邻轮廓线距离过远，导致模型出现间断、缺失现象.总体而言，本文方法所建模型几何形态光滑、质量较高，并且与经典径向基函数曲面重建算法所建模型相比，连续性有所提升.

随机选取一条原始数据中轮廓线与4种模型相同位置所提取矿体轮廓线（蓝色箭头所指）进行相似度对比，如图12所示.采用VGG16神经网络法（李发森等， 2022）计算原始轮廓线和模型提取轮廓线之间的相似度，计算结果如图13所示.可以看出，轮廓线拼接法模型所切轮廓线与原始轮廓线相似度最高，达到83.1%，在轮廓线控制的区域能够完全反映矿体的产状.而简单克里金方法对应的轮廓线相似度最低，其进行插值时模型内部受到复杂轮廓线形态影响，导致内部插值点位准确率较低.本文的方法和经典径向基函数曲面重建算法都能较好地反映矿体产状，这是由于径向基函数计算时能够受到数据的强约束，能够在复杂几何形态的轮廓线条件下建立符合约束的模型.但本文建立模型与原始轮廓线相似度优于经典径向基函数曲面重建算法模型，轮廓线相似度达到了75.14%，这是由于本文采用了Stacking算法建立均匀密集的空间点云数据集，改善了由于原始数据稀疏而导致的曲面边界自拟合和不连续的现象.

矿体模型体积以及与显式模型的差值百分比如图14所示.可以看出，以专家人工控制的显式模型作为基准，本文所建矿体体积与显式模型体积差距相差11.3%，差距最小；简单克里金法所建矿体与其显式模型体积差距为26.6%，差距最大.本文所建矿体模型基本达到由人工控制得到的矿体赋存要求，能够反映出矿区具体储量.

4 结论

本文针对经典径向基函数曲面重建算法的不足，提出了一种基于Stacking集成策略的径向基函数曲面复杂矿体建模方法.本文方法能够利用Stacking集成策略建立起均匀密集反映矿体形态的点云数据集，为隐式场的建立提供强力有效的约束，降低了矿体建模中采用径向基插值方法对原始数据的高要求.

与轮廓线拼接法、经典径向基函数曲面重建算法、简单克里金插值法相比，本文方法建立的模型能够减少曲面边界自拟合现象，减少模型多余孔洞，提高模型的连续性；模型所切轮廓线与原始轮廓线相似度达到75.14%，在隐式建模方法建立的模型中达到最高，所建模型符合矿体实际产状；体积与专家控制的显式模型的差距达到最低11.3%，所建模型满足矿体赋存要求.同时，本文方法过程较少的人工参与，能够在原始数据稀疏的情况下快速建立起连续性更高的三维矿体模型.

但是对于轮廓线数据过于复杂且形态细小的地方，模型难以拟合，导致模型出现一些独立的部分，需要后续添加一些额外约束或者进行手动修改，加入专业人员的经验，以保证更高的模型质量.此外，在改善原始稀疏数据的问题过程中，如何确定最优改动以保证更好的三维矿体模型也是值得研究的方面.

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基金资助

国家重点研发计划项目(2016YFB0502300)

中国地质调查局项目(12120114074001)